Electrons dans les solides - TD 4

Maîtrise PHYTEM
Physique des Solides
2003-2004
Electrons dans les solides - TD 4
Modèle de Kronig-Penney
La détermination des états électroniques dans un potentiel cristallin périodique peut
être réalisée en toute généralité, et sans hypothèse particulière sur la nature du potentiel,
en dimension un.
On considère le potentiel périodique uni-dimensionnel U (x) représenté Fig. 1, où les
ions du cristal se trouvrent aux minima de potentiel, choisis comme nuls. Le potentiel
U (x) résulte de la superposition
de barrières de potentiel v(x − na) de largeur a, centrées
P
aux points x = na, U (x)= n v(x − na).
Dans la suite, on simpliera le problème en supposant que v(x) est pair. Aucune autre
hypothèse ne sera eectuée de sorte que les résultats déterminés ci-dessous ne dépendront
pas de la nature détaillée du potentiel v(x).
Figure 1: Potentiel périodique uni-dimensionnel U (x).
On se propose de calculer la structure de bandes du solide uni-dimensionnel en partant
des états électroniques associés à une barrière de potentiel v(x) isolée.
I. Relation de dispersion
On considère un électron incident du côté gauche (Fig. 2(a)) de la barrière de
potentiel v(x) et d'énergie ε = h̄2 K 2 /2m, où m est la masse de l'électron et K le
vecteur d'onde de l'électron libre incident. Comme v(x) = 0 pour |x| ≥ a/2, la
fonction d'onde ψg (x) associée à cet électron est de la forme:
ψg (x) = exp(iKx) + r exp(−iKx),
= t exp(iKx),
pour(x ≤ −a/2),
pour(x ≥ +a/2),
(1)
(2)
où t et r sont les amplitudes de transmission et de réection sur la barrière de
potentiel.
1
Comme v(x) est pair, ψd (x)=ψg (−x) est aussi une solution de l'équation de
Schrödinger, de même énergie ε. La fonction d'onde ψd (x) est de la forme:
ψd (x) = t exp(−iKx),
= exp(−iKx) + r exp(iKx),
pour(x ≤ −a/2),
pour(x ≥ +a/2),
(3)
(4)
et elle correspond à un électron incident par la droite (Fig. 2(b)) sur la barrière de
potentiel v(x).
Figure 2: Barrière de potentiel isolée v(x) avec un électron incident par la gauche (a) et
par la droite (b).
1. Montrer que la fonction d'onde ψ(x) d'un électron du solide uni-dimensionel
peut s'exprimer sous la forme ψ(x)=Aψg (x)+Bψd (x) dans l'intervalle −a/2 ≤
x ≤ +a/2.
2. Ecrire la relation traduisant la transformation de la fonction de Bloch ψ(x)
d'un électron du solide uni-dimensionel, en faisant apparaître k (à ne pas
confondre avec K ) le nombre quantique translationnel associé à ψ(x).
3. Diérencier par rapport à x l'équation trouvée précédemment.
4. En utilisant les deux équations précédentes en x = −a/2, montrer que la
relation de dispersion des états électroniques du solide uni-dimensionnel est
donnée par:
cos(ka) =
t2 − r 2
1
exp(iKa) + exp(−iKa)
2t
2t
(5)
5. Examiner le cas où v(x)=0. Commenter.
II. Réexion et transmission sur une barrière de potentiel
La caractérisation de l'eet tunnel à travers une barrière de potentiel (amplitudes
de réexion r et de transmission t fonctions du vecteur d'onde K ) dépend bien
évidemment du détail du potentiel v(x). On peut cependant continuer la résolution
exacte du problème en examinant les liens entre r et t.
Soient φ1 et φ2 deux solutions de l'équation de Schrödinger associée à la barrière de
potentiel isolée v(x). On dénit le wronskien W (φ1 , φ2 )=φ01 (x)φ2 (x) − φ1 (x)φ02 (x).
2
1. Montrer que W (φ1 , φ2 ) ne dépend pas de x.
2. Montrer que |r|2 +|t|2 =1, en calculant W (ψg , ψg∗ ) pour x ≤ −a/2 et x ≥ +a/2.
3. Montrer que rt∗ est imaginaire pur, en calculant W (ψg , ψd∗ ) pour x ≤ −a/2 et
x ≥ +a/2.
4. En déduire l'expression de r, t étant mis sous la forme t = |t| exp(iδ).
III. Bandes d'énergie interdites et permises
1. En utilisant les résultats précédents, montrer que la relation de dispersion
prend la forme:
cos(Ka + δ)
cos(ka) =
(6)
|t|
2. Déterminer la position des zéros et des extrema de cos(ka) en fonction de K .
3. En déduire graphiquement la position des bandes d'énergie interdites et autorisées du solide uni-dimensionnel.
4. Cas d'une barrière faible (|t| ∼ 1, |r| ∼ 0, δ ∼ 0).
Montrer que la largeur des bandes d'énergie interdites est donnée par:
∆εgap
h̄2
∼ 2πn 2 |r|
ma
(7)
où n est un entier.
5. Cas d'une barrière élevée (|t| ∼ 0, |r| ∼ 1).
Montrer que la largeur des bandes d'énergie autorisées est proportionnelle à
|t|.
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