Corrigé gratuit du Bac Mathématiques spécialité Pondichéry 2015

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S
Pondichery 2015
Spécialité
EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats
Partie A
Soit f la fonction définie sur R par f(x) 
et la droite d’équation et la droite d’équation y  3.
1) Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R.
 Calcul de la dérivée de f(x) :
La fonction f est définie sur R, car son numérateur est non nul, et elle est dérivable.
La fonction f est de la forme f(x)  3. ; sa dérivée sera de la forme f’(x)  3.
avec u 
et u’  -2
Donc f’(x)  3.
On a donc
.
.
f’(x) 
 Signe de la dérivée f’(x) :
La fonction exponentielle est strictement positive sur R, donc la dérivée étant le quotient de deux fonctions
positives, elle est strictement positive sur R.
On en déduit que la fonction f est donc strictement croissante sur R.
2) Justifier que la droite  est asymptote à la courbe C.
 Détermination de la limite en
:


Par composition,

0
 0
Puis, par addition :

1
Et par quotient :

3
On a donc
0
On en conclut que la droite  d’équation y  3 est asymptote à la courbe C
3) Démontrer que l’équation f(x)  2,999 admet une unique solution α sur R.
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10-2.
 Détermination de la limite en
:


Par composition,



Puis, par addition :


Et par quotient :

0
On a donc
0
 Tableau de variation de f :
On a donc :
x
α
f'(x)
3
2,999
f(x)
0
La fonction f étant dérivable sur R, elle est continue et strictement croissante sur R.
D’après l’étude des limites et le tableau de variations, l’image de R par f est l’intervalle ]0 ; 3[.
Or λ  2,999 appartient à l’intervalle ] 0 ; 3[.
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x)  λ  2,999 admet une solution unique α sur
R.
 Encadrement de α :
A la calculatrice, en remarquant que
 f(4)  2,99899
Alors 4 < α < 4,01
 f(4,01)  2,99901
Partie B
Soit h la fonction définie sur R par h(x)  3 – f(x).
1) Justifier que la fonction h est positive sur R.
Dans la partie A, nous avons démontré que l’image de R par f est l’intervalle ]0 ; 3[.
Donc x R, 0 < f(x) < 3
-3 < - f(x) < 0
0 < 3 - f(x) < 3
Donc
0 < h(x) < 3
Donc la fonction h est positive sur R.
2) Démontrer que H(x) 
ln(1
e -2x) est une primitive de h(x).
H est dérivable sur R, car les fonctions qui la composent le sont.
H(x) est de la forme
ln(u(x)), avec u(x)  1
H’(x) est de la forme
.
Donc H’(x) 
.
x
H’(x) 
Or h(x) 3 -


.
Donc H’(x)  h(x).
Donc H est bien une primitive de h sur R.
e -2x, et u’(x)  -2e -2x.
3) Soit a un réel positif.
a) Donner une interprétation graphique de l’intégrale


la fonction h est continue sur R, donc intégrable sur l’intervalle [0 ; a] (a>0)
fonction h est positive sur R, donc en particulier sur [0 ; a] (question B. 1)

On a h(x) 

Donc l’intégrale
-


représente l’aire, en unité d’aire, délimitée par :
les droites d’équation x  0 et x  a ;
la droite  d’équation y 
la courbe C

représente l’aire hachurée sur la figure.

b) Démontrer que
 H(a)- H(0)

(
)

Donc
2

; or

c) On note D l’ensemble des points M(x ;y) du plan défini par x
f(x)
Déterminer l’aire, en unité d’aire de D.
3
On travaille ici sur le demi-plan d’équation x
.
L’aire recherchée est l’aire du domaine compris entre :
 La droite  d’équation y3
 La courbe Cf
 Et le demi-plan d’équation x
On a donc AD 

Or



0
 1,
Donc
 2, et par composition et produit :
Donc l’aire recherchée est AD 
.

EXERCICE 2 (4 points) commun à tous les candidats
Partie A
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier nature n, par la relation
un 1  aun
b (a et b réels non nuls tels que a 1).
On pose pour tout entier naturel n, vn  un 1) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison a.
vn 1  un 1 -
 aun b 

a
a
 a. vn
On en conclut que (vn) est géométrique de raison a et de 1er terme v0  u0 2) En déduire que, si a appartient à l’intervalle]-1 ; 1[, alors la suite (un) a pour limite
.
 De la question 1) on peut écrire vn en fonction de n :
vn  v0 . an
or vn  un  On en déduit :
un  vn
un  v0 . an
 Etude de la limite :
Or si -1 < a < 1, alors
an  0
(v0 . an )  0
Donc
 Conclusion :
un 
. La suite un converge vers
Partie B
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au
mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze
mois suivants.
1) Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
Dès qu’il est rentré chez lui, Max a taillé sa plante, à laquelle il n’est resté que ¾ de sa hauteur. Sa
plante a donc poussé de 30 cm dans l’année, et mesure donc en mars 2016 :
80
2) Pour tout entier naturel n, on note hn la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015+ n).
a) Justifier que, pour tout entier naturel n, h n+1 = 0,75 hn
.
Soit hn la taille de la plante l’année (2015 + n). Puisque Max coupe ¼ de sa hauteur, il reste ¾ de hn, c’està-dire 0,75 hn, puis la plante gagne 30 cm.
On a donc
h n  0,75 h n
.
b) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
 En faisant tourner un programme qui calcule hn en fonction de n, on peut conjecturer que la suite est
strictement croissante.
 démonstration par récurrence que h n+1 > hn :
- initialisation :
h0  80, et h1  90, donc h 1 > h0.
La conjecture est vraie au rang 0
- hérédité :
On suppose la conjecture est vraie au rang n, et que h n+1 > hn.
Donc on a : 0,75 h n+1
> 0,75 hn
,
C’est-à-dire : h n+2 > h n+1.
La conjecture est donc vraie au rang n+1.
 La conjecture est vraie au rang 0 et est héréditaire. On en conclut que la suite (hn) est croissante.
h n+1 > hn .
c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse
 En faisant tourner le programme de la question b), on observe que la suite semble être majorée par 120.
Dans la partie A, nous avons étudié la suite (un) définie par son premier terme u0 et, pour tout entier nature n, par la
relation : un 1  aun b (a et b réels non nuls tels que a 1).
Posons un hn ; a  0,75 ; b  30 et u0  h0  80.
Dans la question A. 2), nous avons démontré que la suite un (donc hn) converge vers
Donc (hn) converge vers
 120.
EXERCICE 3 (6 points) Commun à tous les candidats
Partie A : Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable
aléatoire X suivant une loi normale N(μ , σ²) de moyenne μ = 84 et d’écart-type σ. De plus, on a P(X 64) = 0,16.
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous.
1)
a) En exploitant le graphique, déterminer P(64 X 104).
En remarquant que 64 = μ – 20 et 104 = μ 20, on en déduit que P(X
On a : P(X 64) P(64 X 104) P(X 104) = 1,
Donc : P(64 X 104) =1 - 2 P(X 64)
=1 - 2
P(64 X 104) =0,68
64) = P(X 104) = 0,16.
b) Quelle valeur approchée entière de s peut-on proposer ?
D’après la propriété des « intervalles 1,2,3 sigma », on peut écrire que :
P(μ – σ X μ σ) =0, 683.
Or nous venons de calculer P(64 X 104) =0,68, avec 64 = μ – 20 et 104 = μ
Donc on peut en conclure qu’une valeur approchée de σ est σ= 20
20.
2) On note Z la variable aléatoire définie par Z =
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ?
Z = σ , avec μ = 84.
La variable X suit une loi normale N(μ , σ²) de moyenne μ = 84 et d’écart-type σ.
On a donc « centré et réduit » la variable X.
On en conclut que La variable Z suit une loi normale centrée réduite N(0 ; 1)
b) Justifier que P(X 64) = P( Z
).
On a : X 64, donc X -84 -20
Et étant positif,
Donc Z
.
On en conclut que P(X 64) = P( Z
).
–3
c) En déduire la valeur de σ, arrondie à 10 .
Sur la Casio 35 , par exemple, on peut déterminer
= - 0,99445
(menu STAT – DIST – NORM – INVN : area = 0,16 ; = 1 et μ = 0)
Donc =
3) Dans cette question, on considère que σ = 20,1.
Les probabilités demandées seront arrondies à 10–3.
a) Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.
2 ans
et 5 ans
On cherche donc P(24
60)
A l’aide de la Casio 35 , par exemple, on obtient : P(24
60) 0,115 (0,11481)
(menu STAT – DIST – NORM – Ncd – lower = 24 ; Upper = ; = 20,1 et μ = 84)
b) Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
2 ans
.
On cherche donc P(
120)
Or P(
120) = 1 - P(
120)
= 1 – 0,963
= 0,037
Partie B : Étude de l’extension de garantie d’El’Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires.
Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5% d’entre eux
font jouer l’extension de garantie.
1)
On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à
un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
a) Quelle est la probabilité qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ?
Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à 10-3
Il s’agit d’un schéma de Bernoulli : on renouvelle 12 fois de manière indépendante une expérience à deux
issues consistant à savoir si un client a pris une extension de garantie ou pas. La probabilité qu’il ait pris une
extension de garantie est de 0,115. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant pris
une extension de garantie à l’issue des 12 tirages. X suit une loi binomiale de paramètres (12 ; 0,115).
3
9
On cherche P(X = 3) =
A l’aide de la Casio 35 , par exemple, on obtient : P(X = 3) =0,111 (0,11143)
(menu STAT – DIST – BINM – Bpd – Var - X = 3 ; Numtrial = 12 ; p = 0,115)
b) Quelle est la probabilité qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à
10-3.
On cherche P(X 6) = 1 - P(X 5) = 1 – 0,99884 = 0,00116
(menu STAT – DIST – BINM – Bcd – Var - X = 5 ; Numtrial = 12 ; p = 0,115)
2) L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El’Ectro remboursera au
client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de
la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de
garantie si la panne est réparable. On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension
de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client
par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.
a) Justifier que Y prend les valeurs 65 et – 334 puis donner la loi de probabilité de Y.
Il y a deux possibilités :
- Soit le client fait jouer la garantie et l’entreprise El’Ectro perd 399 – 65 = 334€.
- Soit le client ne fait jouer pas la garantie et l’entreprise El’Ectro gagne 65€.
La variable aléatoire Y correspond au gain algébrique en euros réalisé par l’entreprise sur un client donc Y
prend bien les deux valeurs 65 et −334.
De plus, on sait qu’il y a 11,5% de chances que le client fasse jouer la garantie.
On obtient donc le tableau de probabilité suivant :
k
-334
65
P(X= k) P(X= -334) = 0,115 P(X= 65) =1 - 0,115 = 0,885
b) Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.
L’espérance de gain pour l’entreprise est :
E(X) = 0,115 (-334) 0,885 65 = 19,115.
Cette espérance étant positive (environ 19,12€), l’offre d’extension est financièrement avantageuse
pour l’entreprise.
EXERCICE 4 (5 points) Candidat ayant suivi l’enseignement de spécialité
 Les nombres de la forme 2n – 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de
Mersenne.
1) On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que PGCD (b , c) = 1.
Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que :
Si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a.
On a d’après les données, pour k et k’ entiers :
• « b divise a » : donc il existe un entier k tel que a = kb ;
• « c divise a » : donc il existe un entier k′ tel que a = k′c ;
D’après le théorème de Gauss :
Soient a,b,c des entiers :
alors a divise c
 Puisque kb = k′c = a et que b est premier avec c, d’après le théorème de Gauss, c divise k.
Donc il existe un entier q tel que : k = qc.
 On peut donc écrire : a = qcb = q (bc).
Donc le produit bc divise a.
 Conclusion :
Si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a.
2) On considère le nombre de Mersenne 233 – 1.
Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.
Il affirme que 3 divise 233 – 1 et 4 divise 233 – 1 et 12 ne divise pas 233 – 1.
a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1.
Ici, l’élève affirme que :
3 (b) divise 233 – 1 (a)
4 (c) divise 233 – 1 (a).
Or PGCD (3 ; 4) = 1 car 3 et 4 sont premiers entre eux.
Donc d’après le théorème de Gauss et la question 1, cela signifie que 3 4= 12 divise 233 – 1 (a).
 La réponse de l’élève contredit donc le démontré à la question 1.
b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 233 – 1.
 233 = 22 231 = 4 231, donc 4 divise 233.
si 4 divisait (233 – 1) il diviserait également 1. Ce qui est faux.
 On en conclut que 4 ne divise pas 233 – 1
c) En remarquant que 2 - 1 [3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 233 – 1.
 2 - 1 [3], or (-1)33 = -1.
Donc 233 - 1 [3], donc 233 - 1 - 2 [3], donc 233 -1 1[3]
 On en conclut que 233 – 1 n’est pas divisible par 3.
d) Calculer la somme S = 1+ 23 + (23 ) 2 + (23 )3 + ... + (23 )10 .
En posant u0 = 1 et q = 23, on observe que la somme recherchée est la somme des 11 premiers termes d’une suite
géométrique un de raison 23 et de premier terme 1.
D’après une formule du cours, on peut donc écrire que la somme des n premiers termes d’une suite géométrique
est : S = u0
Donc ici : S = 1
=
=
e) En déduire que 7 divise 233 – 1.
La somme S est un entier (c’est la somme de 11 entiers), ce qui signifie que
On en conclut que 7 divise 233 – 1
est un nombre entier.
3) On considère le nombre de Mersenne 27 – 1. Est-il premier ? Justifier.
On peut calculer : 27 – 1 = 127.
Or
11,27.
Cherchons s’il est divisible par les nombres premiers inférieurs à sa racine carrée :
127 n’est pas divisible par : 2 , 3 ; 5 ; 7 ; 11. Donc 127 est premier.
 On en conclut que le nombre de Mersenne 27 – 1 est premier
4) On donne l’algorithme suivant où MOD (N,k) représente le reste de la division euclidienne de N par k.
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
n entier naturel supérieur ou égal à 3
k entier naturel supérieur ou égal à 2
Demander à l’utilisateur la valeur de n.
Affecter à k la valeur 2.
Tant que MOD ( 2n – 1 , k ) ≠ 0 et k
Affecter à k la valeur k + 1
Fin de Tant que.
Afficher k.
Si k
Afficher « CAS 1 »
Sinon
Afficher « CAS 2 »
Fin de Si
a) Qu’affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? Et si on saisit n = 7 ?
n
33
7
Affichage de k
7
12
Affichage du cas CAS 2 CAS 1
b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre
affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
Lorsque n = 33, on obtient k = 7.
En effet, on a vu précédemment que k = 7 est le premier diviseur premier de 233 – 1.
 Le « CAS 2 » signifie donc que le nombre de Mersenne testé (2n − 1) pour n donné n’est pas premier.
c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
Lorsque n = 7, on obtient k = 12.
En effet, on a vu précédemment que
11,27, et donc que le premier entier supérieur à
.
 Le « CAS 1 » signifie donc que le nombre de Mersenne testé (2n − 1) pour n donné est premier.