Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d`une fonction [ ]

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Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d’une fonction
I. Continuité
Définition : Continuité d’une fonction
Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors nécessairement
f(a). On écrit alors )a(f)x(flim
ax 
Dire que f est continue sur l’intervalle I signifie que f est continue en tout point de I.
Graphiquement, la courbe de f se dessine
d’un seul trait, sans lever le stylo.
f est continue sur [a; b]
Conséquence : Toute fonction construite comme somme, produit et composée de fonctions continues est
continue. Les fonctions usuelles sont continues.
Théorème : (admis)
Si f est dérivable en a alors elle est continue en a.
Généralisation :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f est dérivable pour toute valeur a de I, alors f est dérivable sur I.
Si f est dérivable sur I alors elle est continue sur I.
Théorème des valeurs intermédiaires (admis)
La fonction Partie Entière n’est pas continue sur
son domaine de définition.
o
y=E(x)
o
y = f(x)
b
a
Si f est une fonction continue sur un
intervalle [a;b] alors pour tout  compris entre f(a)
et f(b),l’équation f(x)=
admet au moins une
solution xo comprise entre a et b.
L’exemple ci-contre montre que l’équation f(x) =
a trois solutions, donc au moins une. a x0 x1 x2 b
f(a)
f(b)
[ ]

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L’image d’un intervalle [a; b] par une fonction continue est toujours un intervalle [m; M], où m est un
minorant de f sur [a; b] et M un majorant. Pour tout réel k compris entre m et M, il existe au moins un réel c
tel que ()
f
ck.
II. Résolution d’équation
Théorème :
Si f est une fonction continue strictement croissante
sur l’intervalle I = [a; b] alors :
1. L’image de I par f est l’intervalle [f(a) ; f(b)]
2. Pour tout  dans [f(a); f(b)], l’équation f(x)=
a une unique solution dans I.
Démonstration : 1. Soit x un réel de l’intervalle [a; b] alors a x b .
f étant strictement croissante sur I, f(a)
f(x) f(b). Ainsi, f (I) est inclus dans [f(a) ; f(b)] .
Soit  un réel de [f(a) ; f(b)]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) =  admet au moins
une solution dans [a;b] donc [f(b), f(a)] est inclus dans f (I).
Il vient alors que [f(b), f(a)] = f (I).
2. f est strictement croissante sur [a; b] donc pour tous nombres x et x’ de [a ; b], x < x’,
f(x) < f(x’) et donc f(x)
f(x’).
Supposons que l’équation f(x) =
admette deux solutions x0 et x0’, alors f(x0) = f(x0’) .
Or, f est strictement croissante sur [a; b] donc pour tous nombres x et x’ de [a ; b], x < x’,
f(x) < f(x’) et donc f(x)
f(x’). Ce qui infirme la supposition.
Donc l’équation f(x) =
admet une unique solution dans I.
Ce théorème est le même si f est une fonction continue strictement décroissante.
III. Révisions et compléments sur la dérivation
1. Nombre dérivé. Fonction dérivée
Définition : Dérivabilité d’une fonction en x0 – Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] et h un réel non nul.
Dire que la fonction f est dérivable en x0 de ]a;b[ signifie qu’il existe un réel A tel que
A
h)x(f)hx(f
h
00
0
lim ou encore que 0
0
0
() ( )
lim
xx
fx fx
A
xx
Le nombre A est appelée nombre dérivé de f en x0.
a c b
f(b)
f(c)
f(a) [ ]

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Définition 3 : Fonction dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f’ qui à
tout x de I associe f’(x).
2. Nombre dérivé et tangente
Définition 4 : Nombre dérivé – coefficient directeur
Le nombre dérivé de f en x0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point de
coordonnées (x0,f(x0))
Définition 5 : Equation réduite de la tangente
Soit f une fonction dérivable sur I et x0 un point de I.
Une équation réduite de la tangente à Cf en M0 (x0, f(x0)) est y = f’(x0)(x – x0) + f(x0)
3. Dérivées usuelles
Fonction Dérivée
Domaine Expression Domaine Expression
R f(x)= k R f’(x)=0
R f(x)= xn,
n
0 R f’(x) = n x n-1
R + f(x)= x R +* f’(x)= x21
o
A
aa + h
f(a)
f(a+h)
f(a) + hf ’(a)
M
P
La distance MP mesure
la valeur absolue de
l’erreur commise par
l’approximation affine.
Plus h est proche de 0,
plus l’erreur est petite.

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4. Opérations sur les fonctions dérivables
Nous admettons les résultats suivants :
a. Dérivée de u + v
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.
La dérivée de la somme, notée (u+ v)’, est égale à la somme des dérivées, notée u’ + v’.
(u + v)’ = u’ + v’
b. Dérivée de u v
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I.
La dérivée du produit, notée (u v)’, est égale à :
(u v)’ = u’ v + u v’ = u v’ + u’ v
Cas particulier : la dérivée de la fonction ku, notée (ku)’, est ku’.
c. Dérivée de v
1
Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I et telle que pour tout x, v(x) 0 . Alors la fonction v
1 est
dérivable sur I et :
'
2
1'v
vv
 .
d. Dérivée de v
u
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Et pour tout x, v(x) 0 . Alors la fonction quotient
u
v est dérivable sur I et : uuvuv
vv
'''
²
e. Cas usuels : Toute fonction polynôme est dérivable sur R.
Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout ensemble inclus dans son ensemble de
définition.
5. Fonction
f
u
Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur I.
La fonction f définie par f(x) = )x(u est dérivable sur I et pour tout x de I, f’(x) = )x(u )x('u
2.
Principe de la démonstration
Soit t appartenant à I le taux d’accroissement de f en t est :
1
lim
→ 1
2′

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6. Fonction
:
f
xuaxb
Soit u une fonction s dérivable sur un intervalle I. La fonction :
f
xuaxb est dérivable sur I et
pour tout x de I,
''
f
xauaxb
Principe de la démonstration
Soit t appartenant à I le taux d’accroissement de f en t est :
On pose  et  .
lim
→ lim
→
′
7. Dérivation de la fonction un
Soit u une fonction dérivable sur I et n un entier naturel non nul.
La fonction f définie par f(x) = (u(x))n est dérivable sur I, et pour tout x de I,
f’(x) =n(u(x))n-1
u’(x) .
Si n< 0 , alors il faut rajouter l’hypothèse, pour tout x de I, u(x)  0 mais la formule est toujours valable.
On remplace alors avant de calculer la dérivée 1
Démonstration ex 61 p 110
8. Dérivation d’une fonction composée (admis)
 ′  ′
9. Application à la dérivation
Théorème fondamental (admis)
f est un fonction dérivable sur un intervalle I.
 Lorsque f’ est strictement positive sur I, sauf peut être en un nombre fini de valeurs où elle
s’annule, f est strictement croissante sur I.
 Lorsque f’ est strictement négative sur I, sauf peut être en un nombre fini de valeurs où elle
s’annule, f est strictement décroissante sur I.
 Lorsque f’ est nulle sur I, f est constante sur I.
Théorème : Soit f dérivable sur un intervalle I et c un réel de I.
Si la dérivée f’ s’annule en c en changeant de signe alors f(c) est un extremum local de f sur I.