Vecteurs propres de matrices aléatoires : Convergence de fluctuations

Vecteurs propres de matrices aléatoires :
Convergence de fluctuations
réalisé par :
Ali BOUFERROUM
Encadré par : Mr. Djalil Chafaï
Master 2, Mathématiques et Applications
UPEMLV, Septembre 2011

Table des matières
1 Introduction 4
2 Définitions et Notations 6
2.1 Ensembles gaussiens : GOE/GUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 MatricesdeWigner................................ 7
2.3 ThéorèmedeWigner............................... 7
3 Modèle pour les matrices de covariance empirique 12
3.1 Structure de y=OT
nx.............................. 14
3.2 Conversion du problème à D[0,+∞)...................... 15
3.3 Convergence vers le pont Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Modèle pour les matrices de Wigner 24
4.1 Preuve du problème d’universalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Conversion du problème à D([0,1] ×R).................... 25
Convergence vers la loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Problèmes ouverts 38
6 Annexe 39
6.1 Graphes...................................... 39
6.2 Matrices orthogonales et Matrices unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2

Avant propos
Le présent mémoire est basé sur l’étude approfondie de deux articles 1qui ayant
traité la problématique d’universalité de convergence de fluctuations des vecteurs propres
de matrices aléatoires. Ce phénomène est une sorte de généralisation du cas gaussien
GUE/GOE où les vecteurs propres sont distribués selon la mesure de Haar sur le groupe
unitaire/orthogonal, c’est le même genre d’universalité que représente le théorème de Wi-
gner mais cette fois pour les vecteurs propres et non pas les valeurs propres. Une poursuite
en thèse est envisagée sous la direction de Mr.D.Chafaï pour étudier des problèmes en
relation avec tout ça et qui restent toujours ouverts (voir page 38).
Remerciements
Je tiens tout d’abord à exprimer ma profonde gratitude à mon professeur Mr.Djalil
Chafaï qui m’a donné la chance et l’opportunité de réaliser ce travail, et m’avoir commu-
niqué son enthousiasme pour ce sujet très riche et très courant. Son expérience, ses conseils
judicieux, son soutien et sa bonne humeur m’ont beaucoup apporté. Pour sa confiance en
moi d’avoir accepté de diriger mon projet de recherche en thèse je lui dit Merci, et je lui
souhaite tout le bonheur dans sa vie personnelle et scientifique.
J’adresse également mes plus sincères remerciements à Mr. Damien Lamberton pour
m’avoir donné le goût des probabilités lors de ses enseignements mémorables, et pour
m’avoir beaucoup aidé durant mes premiers pas à l’université de Marne la vallée en tant
que responsable de mon master de recherche. Pour tout ce qu’il a fait pour moi je lui dis
Merci.
Je tiens également à remercier les membres de jury d’avoir accepté de juger mon travail.
Il me serait impossible de ne pas saluer ma famille pour le soutien immense et les
encouragements qu’ils n’ont pas cessé de me prodiguer tout au long de mes études.
A tous ceux qui m’ont aidé de loin ou de près, je leur dis très sincèrement Merci.
1. Premier article : "Eigenvectors of Wigner matrices : Universality of global flutuations" de
F. Benaych-Georges.
Deuxième article : "Weak convergence of random functions defined by the eigenvectors of sample
covariance matrices" de J.W.Silverstein.
3

1 Introduction
Dans ce mémoire, on va étudier certains résultats sur la théorie des matrices aléatoires.
Cette théorie originellement créée par E. Wigner pour des modèles de la physique nu-
cléaire s’est propagée à la théorie des nombres avec une liaison intéressante avec l’étude
des fonctions L comme la fonction Zéta de Riemann. De plus, on compte parmi les appli-
cations de cette théorie : les systèmes intégrables, le chaos quantique et plusieurs d’autres
applications en mathématiques pures.
L’étude ici porte sur le comportement asymptotique de certaines fonctions aléatoires
définies à partir de ces matrices. Plus précisément, on va traiter des résultats de conver-
gence de certaines fonctions aléatoires basées sur les vecteurs propres de certains types de
matrices aléatoires dans un aspect très universel en généralisant le cas gaussien GOE/GUE
où la distribution de vecteurs propres est bien connue et bien précisée. Pour plus de sim-
plicité et sans perte de généralité, on s’intéresse dans ce papier au cas réel.
Soit Xnune matrice aléatoire symétrique définie avec certaines conditions sur ses élé-
ments (indépendance, contrôle des moments) que l’on précise ultérieurement. Considérons
la décomposition spectrale de cette matrice donnée sous la forme Xn=OnDnOT
n, où On
est une matrice orthogonale (unitaire dans le cas complexe) dont les colonnes sont les vec-
teurs propres de la matrice Xn,Dnest une matrice diagonale dont les éléments diagonaux
sont les valeurs propres de Xnclassées dans l’ordre croissant, et OT
ndésigne la transposée
de la matrice On. Dans le cas gaussien GOE (voir page 6), la matrice orthogonale On
est distribuée selon la mesure de Haar sur le groupe orthogonal. On peut voir une telle
matrice comme une matrice de rotation uniforme (i.e. nvecteurs uniformément distribués
sur Snla sphère unité de Rnet orthonormalisés). Ainsi, si on applique cette matrice sur
un vecteur xnquelconque tel que kxnk= 1 où k·kdésigne la norme Euclidienne sur Rn,
on trouve un vecteur y=OT
nxnuniformément distribué sur Sn.
Un vecteur uniforme sur la sphère unité est très lié à la distribution gaussienne dans
les deux sens : Uniforme Gaussien.
Uniforme →Gaussien :
Soit yest un vecteur uniforme sur Sn(√n), alors la mesure de comptage définie sur ses
coordonnées converge en loi vers la distribution gaussienne (cf. [7]),
n
X
i=1
δyi
n−→ N(0,1).
De plus, pour tout k≥1, la projection de ysur Rkconverge vers la loi N(0, Ik)quand
n→ ∞. On a aussi, une convergence des fluctuations de ydéfinies par la formule suivante
vers le pont Brownien :
rn
2
bntc
X
i=1 |yi|2−1
n−→
D[0,1] W0( W0est un pont Brownien) (1)
4

Gaussien →Uniforme :
Si (zi)i=1→nsont des variables gaussiennes centrées réduites i.i.d. alors, le vecteur nor-
malisé Z=z
kzkdéfini à partir de ces variables est uniformément distribué sur la sphère
unité.
Résultats de convergence de fulctuations :
On peut voir le même phénomène de convergence qu’on a vu dans l’expression (1) en
regardant les fluctuations sur un bloc d’une matrice Haar orthogonale au lieu d’un seul
vecteur uniforme sur Sn, c’est un résultat de C.Donati-Martin et A.Rouault qui ont
prouvé récemment en [6] que le processus bivarié càdlàg
Bn
s,t =
r1
2X
1≤i≤bnsc
1≤j≤bntc
|Oi,j|2−1
n
s,t∈[0,1]2
(2)
converge pour la topologie de Skorokhod, vers le pont Brownien bivarié, i.e. le processus
gaussien centré continu (Bs,t)s,t∈[0,1]2avec covariance
E[Bs,tBs0,t0] = (min{s, s0} − ss0)(min{t, t0} − tt0).
Ces résultats restent valables pour des matrices Xnplus universelles et pas uniquement
dans le cas gaussien. Il suffit seulement de mettre certaines conditions sur les lois des élé-
ments de ces matrices : contrôle des moments (moyenne, variance, certaine égalité entre
eux et ceux d’une matrice GOE et surtout le moment d’ordre 4! ! !), et éventuellement,
d’autres conditions de symétrie et de continuité absoluée par rapport à la mesure de Le-
besgue sont exigées.
Le premier résultat d’universalité qu’on va traiter dans la suite est dû à J.W.Silverstein
pour le modèle (1) au dessus, il a prouvé le même type de convergence pour des matrices
plus générales, il s’agit de matrices de covariance empirique.
Le deuxième résultat d’universalité concerne le modèle (2) au dessus pour des matrices
de Wigner générales. Ce résultat est conjecturé par D.Chafaï qui a conjecturé le même
phénomène de convergence pour différents types de décompositions matricielles (décompo-
sition spectrale, décomposition en valeurs singulières, décomposition de Householder pour
des matrices non symétriques) tant que ses premiers moments coïncident avec ceux d’une
matrice GOE.
La conjecture dans le cas de décomposition spectrale d’une matrice de Wigner - qu’on va
étudier dans ce papier - est prouvée par F.Benaych-Georges très récemment. Dans les
autres cas, le problème reste toujours ouvert.
5