1 Intégration sur un intervalle quelconque.

Ecole Polytechnique
Formation pr´eparatoire - Math´ematiques
Int´egration. Int´egrales d´ependant d’un param`etre.
On suppose connues les notions de fonctions Riemann-int´egrables et d’int´egrales sur un segment
de R(c’est-`a-dire du type [a, b] avec (a, b)∈R2).
On consid´erera ici uniquement des fonctions continues par morceaux :
Soit Jun segment de R. Une fonction f:J→Cest continue par morceaux sur Js’il existe une
suite finie a0< a1< . . . < aravec [a0, ar] = Jtelle que fsoit continue sur ]aj, aj+1[ pour 0 ≤j≤r−1
et fadmet une limite `a droite en chaque ajpour 0 ≤j≤r−1 et une limite `a gauche en ajpour
1≤j≤r.
Soit Iun intervalle de R. Une fonction f:I→Cest continue par morceaux sur Isi pour tout
segment J⊂I, la fonction fest continue par morceaux sur J.
On notera E(I) l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur I.
1 Int´egration sur un intervalle quelconque.
D´efinitions. Soit Iun intervalle quelconque de R. Une fonction f∈ E(I) est int´egrable sur Is’il
existe M > 0 tel que, pour tout segment J⊂I, l’on ait ZJ |f| ≤ M. Dans ce cas, on pose
ZI
|f|= sup
J⊂Isegment ZJ
|f|.
Soit f∈ E(I) `a valeurs r´eelles (i.e. f:I→R) . Alors fest int´egrable sur Isi et seulement
si les fonctions f+=max(f, 0) et f−=max(−f, 0) sont int´egrables sur I. On pose alors ZI f=
ZI
f+−ZI f−.
Soit f∈ E(I) `a valeurs complexes (i-e f:I→C). Alors fest int´egrable sur Isi et seulement
si la partie r´eelle Re(f) et la partie imaginaire Im(f) sont int´egrables sur I. On pose alors ZI f=
ZI
Re(f) + iZI Im(f).
Autres notations et terminologies.
Si J= [a, b] et f∈ E(J), on note ´egalement ZJ f=Zb
a
f(t)dt.
Soit I= [a, b[ avec a∈Ret b= +∞ou b∈R,b > a et f∈ E(I).
La fonction fest int´egrable sur Isi et seulement si lim
x→b, x<b Zx
a
|f(t)|dtexiste. Dans ce cas, la
limite Zb
a
f(t)dt = lim
x→b, x<b Zx
a
f(t)dtexiste et on a Zb
a
f(t)dt =ZI f.
Dans ce cas, on dit ´egalement que l’int´egrale Zb
a
f(t)dtest absolument convergente.
Lorsque la limite Zb
a
f(t)dt = lim
x→b, x<b Zx
a
f(t)dtexiste, on dit aussi que l’int´egrale Zb
a
f(t)dt est
convergente.

Lorsque fn’est pas int´egrable sur Iet que la limite Zb
a
f(t)dt = lim
x→b, x<b Zx
a
f(t)dtexiste, on
dit aussi que l’int´egrale Zb
a
f(t)dt est semi-convergente. Cette int´egrale est appel´ee int´egrale im-
propre ou int´egrale g´en´eralis´ee de fsur I.
On a des notations analogues en prenant I=]a, b] avec b∈R,a∈Ret a≤bou a=−∞ ou encore
I=] − ∞,+∞[.
Exemples.
(1) 1
xαest int´egrable sur ]0,1] si et seulement si α < 1.
(2) 1
xαest int´egrable sur [1,+∞[ si et seulement si α > 1.
(3) L’int´egrale Z+∞
0
sin(t)
tdtest semi-convergente.
2 Int´egrales d´ependant d’un param`etre
Soit Iun intervalle (non sp´ecialement born´e) de R. Soit (fn)nune suite de fonctions de E(I) telle
que, pour tout n∈N,fnest int´egrable sur I. On suppose que pour tout x∈I, la suite (fn(x))n
converge vers f(x).
Attention , mˆeme si ZI f(t)dtest convergente, on peut avoir lim
n→+∞ZI
fn(t)dt6=ZI f(t)dt.
Pour intervertir limite et int´egrale, il faut des hypoth`eses suppl´ementaires.
Th´eor`eme Soit I=[a,b]. On suppose que, pour tout n∈N,fnest Riemann int´egrable sur [a, b]. Si la
la suite (fn) converge uniform´ement vers fsur I
Alors l’int´egrale ZI f(t)dtest convergente et on a lim
n→+∞ZI
fn(x)dx =ZI f(x)dx.
Les deux r´esultats suivants seront vus dans le cadre plus g´en´eral de l’int´egration de Lebesgues.
Th´eor`eme de convergence monotone Soit (fn)nune suite croissante de fonctions continues par
morceaux d´efinies sur un intervalle I(non sp´ecialement born´e) de Rdans [0,+∞[. On suppose que la
suite (fn)nconverge simplement vers une fonction fcontinue par morceaux et int´egrable sur I. Alors
on a lim
n→∞ ZI
fn(x)dx =ZI f(x)dx.
Th´eor`eme de convergence domin´ee Soit (fn)nune suite de fonctions continues par morceaux
d´efinies sur un intervalle I(non sp´ecialement born´e) de R.
Hypoth`eses
(a) la suite (fn)nconverge simplement vers une fonction fcontinue par morceaux sur I.
(b) hypoth`ese de domination : Il existe une fonction ϕcontinue par morceaux et int´egrable sur I
telle que :
∀n∀x∈I|fn(x)| ≤ ϕ(x)
Alors on a lim
n→∞ ZI
fn(x)dx =ZI f(x)dx.
Applications `a l’´etude de fonctions d´efinies par une int´egrale d´ependant d’un param`etre.
Soit Iet Jdeux intervalles de Ret f: (x, t)→f(x, t) une fonction de I×J`a valeurs dans Rou
C.

Th´eor`eme de continuit´e : Sous les hypoth`eses suivantes :
(a) pour tout t∈J, la fonction x→f(x, t) est continue,
(b) pour tout x∈I, la fonction t→f(x, t) est continue par morceaux et int´egrable sur J,
(c) il existe une fonction ϕint´egrable sur Jtelle que pour tout (x, t)∈I×Jon ait |f(x, t)| ≤ ϕ(t),
Alors la fonction g(x) = ZJ f(x, t)dt est continue sur I.
Th´eor`eme de d´erivation Sous les hypoth`eses suivantes :
(a) pour tout t∈J, la fonction x→f(x, t) est d´erivable et x→∂f
∂x (x, t) est continue ,
(b) pour tout x∈I, les fonctions t→f(x, t) et t→∂f
∂x (x, t) sont continues par morceaux et int´egrables
sur J,
(c) il existe une fonction ϕint´egrable sur Jtelle que pour tout (x, t)∈I×Jon ait |∂f
∂x (x, t)| ≤ ϕ(t),
Alors la fonction g(x) = ZJ f(x, t)dt est de classe C1sur Iet g0(x) = ZJ
∂f
∂x (x, t)dt.
Remarque importante La continuit´e et la d´erivabilit´e d’une fonction sont des propri´et´es locales.
Pour montrer que fest continue ou de classe C1sur Iil suffit de montrer que pour tout a<b
avec [a, b]⊂I, la fonction est continue ou de classe C1sur [a, b]. Ceci est important pour v´erifier
l’hypoth`ese de domination qui, souvent, est possible sur un compact (on peut utiliser le fait qu’une
fonction continue sur un compact est born´ee) mais pas possible sur tout l’intervalle Iconsid´er´e.