Chapitre 9 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions

Universit´es Paris 6 et Paris 7
M1 MEEF
Analyse (UE 3)
2015-2016
Chapitre 9 : Int´egration sur un intervalle quelconque
1 Fonctions int´egrables
Comme pour les s´eries, on commence par le cas des fonctions `a valeurs positives dans
la d´efinition suivante, avant de passer `a la convergence absolue (qui est seule au programme).
D´efinition 1 Soit I⊂Run intervalle et soit f:I→R+une fonction continue par
morceaux. On dit que fest int´egrable sur Isi l’ensemble RJf(t)dt / J ⊂Iest un segment 
est major´e, et on note alors :
ZI
f(t)dt = sup
J⊂Iest un segment ZJ
f(t)dt .
Si Iest un segment, on retrouve donc la notion d’int´egrale d´efinie, mais si par exemple
I= [ a , b [ avec a∈R,b∈R∪ {+∞} et a < b , la convergence de cette int´egrale impropre
´equivaut `a l’existence de la limite :
Zb
a
f(t)dt = lim
b0→b
b0∈I
Zb0
a
f(t)dt
puisque l’int´egrale de fsur le segment [a , b0] est croissante par rapport `a b0, et si on a :
I= ] a , b [ avec a , b ∈R∪ {−∞,+∞} et a<b, elle ´equivaut `a l’existence de la limite :
Zb
a
f(t)dt = lim
a0→a,b0→b
a0, b0∈I
Zb0
a0
f(t)dt .
D´efinition 2 Soit I⊂Run intervalle et soit f:I→Cune fonction continue par morceaux.
On dit que fest int´egrable sur Isi la fonction |f|est int´egrable. Dans ce cas, on peut poser :
ZI
f(t)dt = lim
a0→inf I , b0→sup I
a0∈I , b0∈I
Zb0
a0
f(t)dt .
On ne consid`ere donc ici que des int´egrales absolument convergentes, et la fonction fest
int´egrable sur Isi et seulement si elle est int´egrable au voisinage des bornes ouvertes de I
comme l’exprime la proposition suivante.
Proposition 1 Soit I⊂Run intervalle, soit f:I→Cune fonction continue par morceaux
et soient c , d deux points de I. La fonction fest int´egrable sur Isi et seulement si elle est
int´egrable sur I−=I∩]− ∞, c ]et sur I+=I∩[d , +∞[et on a dans ce cas :
ZI
f(t)dt =ZI− f(t)dt +Zd
c
f(t)dt +ZI+ f(t)dt .
Pour ´etudier l’int´egrabilit´e d’une fonction sur un intervalle quelconque, on peut donc toujours
se ramener `a l’´etude de la convergence de l’int´egrale d’une fonction positive sur un intervalle
semi-ouvert.
Proposition 2 Soit I⊂Run intervalle, soient f , g :I→Cdeux fonctions continues par
morceaux et int´egrables sur Iet soient λ , µ ∈C. Alors la fonction λ f +µ g est int´egrable
sur Iet on a : ZI
λ f(t) + µ g(t)dt =λZI f(t)dt +µZI g(t)dt .
1

Proposition 3 Soit I⊂Run intervalle et soient f , g :I→Cdeux fonctions continues
par morceaux telles que |f(x)|6|g(x)|pour tout x∈I. Si gest int´egrable sur I, alors fest
int´egrable sur I.
Corollaire 1 Soient f , g : [ a , b [→Cdeux fonctions continues par morceaux.
- Si f=O(g)au voisinage de bet si gest int´egrable sur [a , b [, alors fl’est aussi.
- Si |f|∼|g|au voisinage de b, alors fest int´egrable sur [a , b [si et seulement si gl’est.
On a bien sˆur les mˆemes r´esultats si I= ] a , b ] en comparant les fonctions au voisinage de a.
Exemple 1 La fonction t7→ etest int´egrable sur R−et t7→ e−test int´egrable sur R+.
Exemple 2 Int´egrales de Riemann La fonction t7→ t−αest int´egrable sur [ 1 ,+∞[ si
et seulement si α > 1 , et elle est int´egrable sur ] 0 ,1 ] si et seulement si α < 1 . L’int´egrale
doublement impropre Z+∞
0
dt
tαest donc divergente pour tout α∈R.
Exemple 3 La fonction t7→ ln(t) est int´egrable sur ] 0 ,1 ] .
Exercice 1 Int´egrales de Bertrand Montrer que la fonction t7→ t−α(ln t)−βest int´egrable
sur [ 1 ,+∞[ si et seulement si : α > 1 ou : α= 1 et β > 1 .
Exercice 2 Soit fune fonction continue par morceaux et int´egrable sur [a , b [ . Montrer que :
lim
x→b−Zb
x
f(t)dt = 0 .
Exercice 3 Soit f:R+→R+une fonction d´ecroissante et continue par morceaux. Mon-
trer que fest int´egrable sur [ 0 ,+∞[ si et seulement si la s´erie de terme g´en´eral f(n) est
convergente.
Exercice 4 ´ Etudier la convergence de l’int´egrale : Z+∞
0
e−t1
1−e−t−1 tdt .
2 Th´eor`emes de convergence
Th´eor`eme 1 Th´eor`eme de convergence domin´ee Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions
continues par morceaux sur un intervalle I. On suppose que :
- pour tout t∈I, la suite (fn(t))n∈Nest convergente : on note f(t)sa limite,
- la fonction fest continue par morceaux sur I,
- il existe une fonction ϕ:I→R+continue par morceaux et int´egrable sur Itelle que :
|fn(t)|6ϕ(t)pour tout t∈Iet tout n∈N.
Alors fet toutes les fonctions fnpour n∈Nsont int´egrables sur Iet on a :
ZI
f(t)dt = lim
n→+∞ZI
fn(t)dt .
Th´eor`eme 2 Int´egration terme `a terme Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions continues
par morceaux et int´egrables sur un intervalle I. On suppose que :
- pour tout t∈I, la s´erie X
n∈N
fn(t)est convergente : on note f(t)sa somme,
- la fonction fest continue par morceaux sur I,
- la s´erie X
n∈NZI|fn(t)|dt est convergente.
Alors la fonction fest int´egrable sur Iet on a :
ZI
f(t)dt =
+∞
X
n=0 ZI
fn(t)dt .
2

Exercice 5 Calculer : lim
n→+∞Z+∞
0
e−tndt .
Exercice 6 Calculer : lim
n→+∞Zn
01−t
nndt .
Exercice 7 Calculer : Z+∞
1
+∞
X
n=1
ne−n t dt .
3 Int´egrales d´ependant d’un param`etre
Soient Ω , I deux intervalles et soit f: Ω×I→Cune fonction. Pour tout x∈Ω on pose :
F(x) = ZI f(x , t)dt .
Th´eor`eme 3 Th´eor`eme de continuit´e On suppose que :
- pour tout x∈Ωla fonction t7→ f(x , t)est continue par morceaux sur I,
- pour tout t∈Ila fonction x7→ f(x , t)est continue sur Ω,
- il existe une fonction ϕ:I→R+continue par morceaux et int´egrable sur Itelle que :
|f(x , t)|6ϕ(t)pour tout (x , t)∈Ω×I .
Alors la fonction Fest d´efinie et continue sur Ω.
Th´eor`eme 4 Th´eor`eme de Leibniz On suppose que :
- pour tout x∈Ωla fonction t7→ f(x , t)est continue par morceaux et int´egrable sur I,
- pour tout t∈Ila fonction x7→ f(x , t)est de classe C1sur Ω: on note ∂xfsa d´eriv´ee,
- pour tout x∈Ωla fonction t7→ ∂xf(x , t)est continue par morceaux sur I,
- il existe une fonction ϕ:I→R+continue par morceaux et int´egrable sur Itelle que :
|∂xf(x , t)|6ϕ(t)pour tout (x , t)∈Ω×I .
Alors la fonction Fest d´efinie et de classe C1sur Ωet on a :
F0(x) = ZI ∂xf(x , t)dt pour tout x∈Ω.
Remarque : dans ces deux th´eor`emes, il suffit d’obtenir “l’hypoth`ese de domination” sur
tout segment J⊂Ω puisque si Fest continue ou d´erivable sur tout segment J⊂Ω , alors
elle l’est sur Ω tout entier.
Exercice 8 Pour tout r´eel x, on pose :
F(x) = Z1
0
e−x2(1+t2)
1 + t2dt et G(x) = Zx
0
e−t2dt .
a) Montrer que les fonctions Fet Gsont de classe C1sur Ret que la fonction F+G2est
constante.
b) Montrer que : lim
x→+∞F(x) = 0 . En d´eduire la valeur de Z+∞
0
e−t2dt .
Exercice 9 La fonction Gamma d’Euler est d´efinie par :
Γ(x) = Z+∞
0
tx−1e−tdt .
a) Montrer que Γ est de classe C1sur R∗
+.
b) Montrer que pour tout r´eel x > 0 , on a : Γ(x+ 1) = xΓ(x) . En d´eduire la valeur de Γ(n)
pour tout n∈N∗.
c) Montrer que Γ1
2=√π.
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