Matrices - BCPST Hoche

Chapitre 6
Matrices
– Connaître les opérations sur les matrices : addition, multiplication, transposition, etc.
– Savoir utiliser la formule de Newton sur les matrices.
– Connaître les propriétés des matrices carrées, symétriques, scalaires, diagonales
et triangulaires.
– Avoir fait quelques exercices type (diagonalisation, calcul de puissances et d’inverse).
– Connaître le lien entre effectuer des opérations élémentaires et multiplier par
certaines matrices particulières.
– La méthode de remontée.
– Introduire les notations utiles pour la suite ainsi que faire le lien entre système
linéaire et matrices.
\
=
$
CC
BY:
I
Introduction : définitions
Dans tout le chapitre, la lettre K désigne R ou C. Les éléments de K sont appelés les scalaires
(par opposition aux vecteurs), et sont traditionnellement notés avec des lettres grecques.
I.1
Rappel sur Kn
Définition 1. L’ensemble Kn est l’ensemble des n-uplets, c’est-à-dire des éléments de la forme :
x = (x1 , · · · , xn ), où les xi ∈ K. Les xi sont appelés les composantes du vecteur x.
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont le même nombre d’éléments et que tous leurs
éléments sont égaux.
Dans cet ensemble, on peut ajouter des éléments x et x′ en ajoutant composante par composante :
x + x′ = (x1 , · · · , xn ) + (x′1 , · · · , x′n ) = (x1 + x′1 , · · · , xn + x′n ).
(on parle d’addition interne).
1
2
CHAPITRE 6. MATRICES
On peut aussi multiplier un vecteur x par un scalaire λ i.e. un élément de K, en multipliant
toutes les composantes :
λx = λ(x1 , · · · , xn ) = (λx1 , · · · , λxn ).
(on parle de multiplication externe).
On ne peut pas multiplier des vecteurs, mais il existe le produit scalaire entre deux vecteurs x
et x′ :
x · x′ = (x1 , · · · , xn ) · (x′1 , · · · , x′n ) =
n
X
xi x′i
i=1
Ce produit scalaire associe à deux vecteurs un scalaire i.e. un élément de K.
I.2
Ensemble des matrices Mp,q (K)
Définition 2. Une matrice A à p lignes et q colonnes à coefficients dans K est un tableau de p × q
éléments (ai,j )i=1···p, j=1···q .
C’est donc :


a11 a12 · · · a1q


a21 a22 · · · a2q 

A= .
..
..
.. 

 ..
.
.
. 
ap1 ap2 · · · apq
Une matrice est donc déterminée par ses dimensions p et q, et par ses p × q coefficients (qui sont
éléments de K).
Deux matrices A et B sont égales si elles ont mêmes dimensions, et si elles ont les mêmes coefficients, i.e. ∀i ∈ [[1, p]] , j ∈ [[1, q]] , Aij = Bij .
On note Mp,q (K), l’ensemble des matrices de taille p par q.
Note: Dans les matrices, le 1er indice est l’indice de ligne, le suivant, l’indice de colonne.
Exemple: !
1 2 3
–
∈ M2,3 (R)
4 5 6
!
1 i
–
∈ M2,2 (C)
−i 5


2 3


– La matrice de taille (3 × 2) telle que ai,j = i + j est : 3 4 ∈ M3,2 (R)
4 5
Une matrice de taille n (entier générique) est représenté en donnant ses éléments, par exemple :
Aij = max(i, j), ou bien en donnant sa forme générale en utilisant · · · , ici :

1

2

3

A = 4

.
.
.
2
2
3
4
..
.
3
3
3
4
..
.
n n n
4
4
4
4
···
···
···
···

n
n


n

.
n



n
··· n
II. OPÉRATION SUR LES MATRICES
3
On utilise aussi souvent la convention que les termes non écrits sont nuls.
Enfin, les vecteurs de Kn peuvent s’identifier au vecteur colonne de Mn,1 (K) ou au vecteur
ligne M1,n (K).
II
Opération sur les matrices
II.1
Addition de matrices
Définition 3. Soient A et B deux matrices de même taille p, q, la matrice A + B est définie comme
la matrice de taille p, q, telle que : ∀i ∈ [[1, p]] , ∀j ∈ [[1, q]] , (A + B)ij = Aij + Bij .
L’addition de deux matrices correspond donc à l’addition dans Kp×q , i.e. l’addition élément par
élément. C’est encore l’addition interne : à deux matrices de taille (p, q) on associe une matrice de
taille (p, q).
Attention, on ne peut ajouter que des matrices de même taille.
Proposition 1. On a les propriétés classiques de l’addition : pour trois matrice A, B et C ∈ Mp,q (K)
– l’addition est commutative : A + B = B + A
– l’addition est associative : A + (B + C) = (A + B) + C
– si on note 0pq la matrice de taille p, q dont tous les éléments sont nuls, on a : A + 0pq =
Opq + A = A.
Démonstration. C’est l’addition dans Kp×q , donc cela hérite des propriétés de l’addition.
Exemple:
"
#
"
#
"
1 i
2i 3i
1 + 2i
4i
+
=
−i 5
0 5i
−i
5 + 5i
#
Il faut aussi être capable d’additionner des matrices écrites avec des · · · comme :

0 1
0
···
. .
.. 1 0 · · ·
 ..

.
..
..
.
.
.
.
.
..
.
.
. 0
0 ···
···
II.2


0


0
··· 0
0 1
0
···
 


..
..


. 0 · · · 0
. 1 0···
0
 1
 1
 


.
.
.
..
..
+

.. .. 
.
.
 0 . .
 = 0 1
 .
 .
..
..
 .
 .
. 0  . 0
.
1  . 0
1
1
0
0 ··· 0
1 0
0 ··· 0
1
0

0

0


0



1
0
Multiplication par un scalaire
Définition 4. Soient A une matrice de Mp,q (K) et λ ∈ K, on appelle λA la matrice de Mp,q (K),
définie par ∀i ∈ [[1, p]] , j ∈ [[1, q]] , (λA)ij = λAij .
Ici encore, c’est la simple multiplication d’un vecteur par un scalaire, on retrouve la multiplication externe de Kn .
Note: De plus, on peut maintenant parler de différence entre matrices, comme A + (−B).
Proposition 2. On a les propriétés classiques : soient A et B deux matrices de Mp,q (K)
4
CHAPITRE 6. MATRICES
– α(βA) = (αβ)A,
– (α + β)A = αA + βA,
– α(A + B) = αA + αB.
Démonstration. Encore une fois il n’y a rien à démontrer : ce sont les mêmes propriétés pour Rp×q
Note: Attention dans l’écriture (α + β)A = αA + βA, les + n’ont pas le même sens : cela peut être une
addition dans K, ou dans Mp,q (K)
Exemple:
"
#
"
x y z
λx λy λz
λ
=
u v w
λu λv λw
II.3
#
Produit matriciel
On quitte maintenant l’aspect purement vectoriel des matrices en ajoutant le produit de matrices.
Définition 5. Soient A ∈ Mp,q et B ∈ Mq,r On définit le produit de A par B comme la matrice C
de taille p, r telle que :
∀i ∈ [[1, p]] , ∀r ∈ [[1, r]] , Ci,j =
q
X
Ai,k Bk,j
k=1
Remarque:
– On ne peut pas faire le produit de n’importe quelle matrice par une autre : il faut que les
dimensions soient compatibles, il faut qu’il y ait une dimension en commun (celle sur laquelle
on fait la somme). En particulier, ce n’est pas parce que le produit AB est défini que le produit
BA est défini.
– On conserve le même nombre de lignes que la première et on prend le nombre de colonne de la
seconde : si A ∈ Mp,q et B ∈ Mq,r , on a AB ∈ Mp,r .
– L’élément (AB)ij est donc le produit scalaire de la ligne i de A et de la colonne j de B.
D’une manière générale, on fait toujours le produit d’une ligne par une colonne.
Exemple:


"
#
"
# 1 2
a + 3b + 5c 2a + 4b + 6c
a b c 

3 4 =
d + 3e + 5f 2b + 4e + 6f
d e f
5 6
Pour faire un produit matriciel, on utilise souvent la technique le produit ainsi :

1

3
"
# "5
1 2 1
12
2 2 2
18
Remarquons qu’en particulier :
"
#" #
a b
c d
"

2

4
6 #
16
24
x
ax + by
=
y
cx + dy
#
II. OPÉRATION SUR LES MATRICES
Donc le système d’équations linéaire
(
5
ax + by = x0
bx + cy = y0
peut s’écrire comme une équation matricielle : AX = X0 , avec X =
!
a b
x0
inconnues, A =
la matrice (2×2) des coefficients, et X0 =
y0
c d
ce qui motive le produit matriciel.
!
!
x
y
le vecteur (colonne) des
le vecteur de second membre,
Proposition 3. Résoudre le système :
(S)


a11 x1 + . . . a1p xp





 a21 x1 + . . . a2p xp
= b1
(l1 )
= b2
.
= ..
(l2 )
an1 x1 + . . . anp xp = bn
(ln )







..
.
d’inconnue (x1 , . . . , xn ) revient à résoudre l’équation : AX = B, d’inconnue X ∈ Mn1 avec A =
 

b1
a11 a12 · · · a1p
 


 b2 
 a21 a22 · · · a2p 
 
 .
.. 
..
..
 ∈ Mnp la matrice des coefficients, B =  ..  ∈ Mn1 le vecteur (colonne) du
 .
.
 .
. 
.
.
bn
an1 an2 · · · anp
 
x1
 
 x2 

second membre. et X = 
 ..  le vecteur (colonne) des inconnues.
 . 

xn
Proposition 4. Certaines propriétés classiques de la multiplication sont conservées mais attention
pas toutes (commutativité et intégrité).
– Associativité : Soient A ∈ Mp,q , B ∈ Mq,r , et C ∈ Mr,s , ( i.e. telles que (AB)C ait un sens).
On a alors :
(AB)C = A(BC) = ABC
– Distributivité : Soient A ∈ Mp,q , B ∈ Mp,q , et C ∈ Mq,r ( i.e. telles que A(B + C) ait un
sens).
On a alors :
A(B + C) = AB + AC.
De même si (A + B)C a un sens alors : (A + B)C = AC + BC.
– Distributivité sur les scalaires : Soient A ∈ Mp,q , B ∈ Mp,q et λ ∈ K, on a alors
(λA)B = A(λB) = λ(AB).
– Soit A ∈ Mpq (K), et r ∈ N, on a alors : A0qr = 0pr et 0rp A = 0rq ,
– Non commutativité : En règle générale AB 6= BA. Dans le cas contraire, on dit que les
matrices commutent.
6
CHAPITRE 6. MATRICES
– Non intégrité : on peut avoir deux matrices A 6= 0 et B 6= 0 et AB = 0, De même, on peut
avoir AB = AC, sans que B = C.
Commençons par les contre-exemples. Pour AB 6= BA :
"
#"
0 1
1 0
tandis que
"
#
"
#
#
"
#
0 −1
1 0
=
1 0
0 −1
#"
−1 0
0 1
=
1 0
0 1
0 −1
1 0
Ainsi les scalaires commutent avec les matrices mais pas les matrices entre elles.
Pour AB = 0 avec A 6= 0 et B 6= 0 :
"
#
#"
#
"
0 0
1 1
=
0 0
1 1
1 −1
1 −1
Démonstration. On commence par l’associativité, soient A ∈ Mp,q (K), B ∈ Mq,r (K), et C ∈
Mr,s (K).
On a : (AB) ∈ Mp,r (K), et (AB)C existe et (AB)C ∈ Mp,s (K). De même (BC) ∈ Mq,s (K), donc
A(BC) existe et A(BC) ∈ Mp,s (K).
Donc les matrices ont la bonne dimension.
q
De plus, d’après les formules du produit matriciel, (AB)ij =
X
Aik Bkj , et (BC)kj =
k=1
donc
((AB)C)ij =
=
=
r
X
(AB)il Clj =
l=1
q
r X
X
l=1 k=1
q
X
Aik
k=1
q
X
r
X
l=1
Aik Bkl Clj =
r
X
Bkl Clj =
l=1
|
= A(BC)ij
Aik Bkl
k=1
q X
r
X
r
X
Bkl Clj
l=1
!
Clj
Aik Bkl Clj
k=1 l=1
q
X
Aik (BC)kj
k=1
{z
(BC)kj
}
Montrons la distributivité. Soient A ∈ Mp,q , B ∈ Mp,q , et C ∈ Mq,r (i.e. telles que A(B + C) ait
un sens).
On a :
[A(B + C)]ij =
=
=
q
X
Aik (B
k=1
q 
X
k=1
q
X
k=1
+ C)kj

Aik Bkj + Aik Ckj 
Aik Bkj +
q
X
k=1
= (AB)ij + (AC)ij
Aik Ckj
III. MATRICES CARRÉES
Idem de l’autre côté.
Enfin la distributivité sur les scalaires :
(λA)B =
q
X
7
(λAik )Bkj = λ
k=1
q
X
Aik Bkj =
k=1
Le dernier point est évident :
(A0)i,j =
q
X
q
X
Aik (λBkj ).
k=1
Aik 0kj = 0.
k=1
III
III.1
Matrices carrées
Définition
Définition 6. Une matrice carrée est une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes.
On note Mp (K) l’ensemble des matrices carrées de taille p. L’intêrét principal de cet ensemble est que
le produit y est bien défini et reste interne, on peut aussi multiplier une matrice carrée par elle-même.
On peut donc toujours multiplier deux matrices carrées de même taille, et ceci dans les deux sens,
mais le produit n’est pas commutatif.
Définition 7. On appelle matrice identité de taille n, la matrice carrée de Mn (K) notée In qui ne
contient que des 1 sur la diagonale.

0
0



..
1 0 ···

0 1 · · ·

.
..
.
.
In = 
.
0
Proposition 5. Cette matrice vérifie :
···

.
0
0

0

.. 
.




1
∀A ∈ Mn (K), AIn = In A = A.
Démonstration. On peut le constater en faisant le produit ou simplement écrire :
h
∀(i, j) ∈ [[1, n]]2 , AI
i
i,j
=
n
X
Aij Ikj = Aij ,
k=1
en effet le seul terme non nul est le terme pour k = j.
Remarque:
– Un corollaire important : In commute avec toutes les matrices.
– On dit que la matrice In est l’élément neutre pour la multiplication. Elle joue le même rôle que
1 pour la multiplication des scalaires Attention à ne pas écrire 1 au lieu de In .
8
CHAPITRE 6. MATRICES
Définition 8. Pour n ∈ N, On appelle puissance n-ième d’une matrice A ∈ Mn (K), la matrice
An = AA · · · A. Par convention : A0 = In .
Remarque:
– Calculer une puissance n-ième d’une matrice n’est pas facile. C’est souvent le sujet des exercices.
– sur le commutant d’une matrice : Toute matrice A commute avec elle-même, avec l’identité
et avec An pour tout n. De plus, si A commute avec B et C, alors elle commute avec B + C et
BC. Une conséquence importante est qu’une matrice A commute avec tout polynôme en A,
i.e. toute matrice B qui s’écrit B = a0 In + a1 A + a2 A2 + · · · + an An .
Déterminer l’ensemble des matrices qui commutent avec une matrice A est un exercice classique.
III.2
Formule du binôme
Dans Mn (K), on peut effectuer des calculs algébriques, en prenant garde au fait que deux
matrices ne commutent pas. On a par exemple :
(A + B)2 = A2 + B 2 + AB + BA
et
(A + B)(A − B) = A2 − B 2 − AB + BA
Pour revenir à l’identité classique, il faut que les matrices commutent, i.e. AB = BA. Un cas
particulier où on est sûr qu’il n’y a rien à vérifier est le cas de l’identité (qui commute avec toutes les
matrices).
Dans ce cas, on a, par exemple, la formule du binôme de Newton, et les formules de factorisation.
Proposition 6. Soient A ∈ Mn (K), et p ∈ N, on a :
(In + A)p =
!
p
X
p k
A
k
k=0
On a aussi :
n
In − A = (In − A)
n−1
X
(6.1)
Ak .
k=0
Si A et B sont deux matrices carrées qui commutent, alors :
(A + B)p =
p
X
k=0
!
p k p−k
A B
.
k
Note: À chaque fois que la formule en (A + B) est utilisée, il faut préciser que les matrices commutent.
n
Démonstration. Les démonstrations sont les mêmes que dans R ou C.
Par exemple :
(In − A)
n−1
X
Ak =
k=0
=
=
n−1
X
k=0
n−1
X
k=0
n−1
X
k=0
Ak − A
Ak −
Ak −
n−1
X
Ak
k=0
n−1
X
Ak+1
k=0
n
X
k=1
Ak = In − An .
III. MATRICES CARRÉES
9
Note: On voit en particulier ici l’intérêt d’apprendre la formule de Newton sous la forme (1 + x)n . En
effet, la formule sur (I + A)n est vraie quelque soit la matrice A, tandis que celle sur (A + B)n n’est vraie que
si A et B commute.
La formule du binôme de Newton est particulièrement utile pour calculer la puissance n-ième
d’une matrice A qui s’écrit A = λI + µN , où N est une matrice dont il est facile de calculer la
puissance n-ième. C’est le cas en particulier si la matrice N est nilpotente i.e. si N p = 0 pour un
certain p, dans ce cas la somme 6.1 se réduit à une somme pour k < p. C’est aussi le cas, si la matrice
N vérifie N p = λp N , i.e. s’écrit comme un scalaire multiplié par elle-même. Dans ce cas, on peut
écrire la formule 6.1 comme un scalaire multiplié par N .
Exemple:
"
#
a c
Soit A ∈ M2 (R), qui s’écrit : A =
avec a et b réels.
0 a
On écrit :
"
# "
#
"
#
"
#
a 0
0 c
1 0
0 1
A=
+
=a
+c
= aI2 + cN
0 a
0 0
0 1
0 0
"
#
0 1
avec N =
. En calculant, on obtient N 2 = 0. Ainsi on a : ∀n > 2, N n = N n−2 N 2 = 0.
0 0
On obtient alors :
An =(aI + bN )n
=
=
=
n
X
k=0
n
X
k=0
1
X
k=0
=an I2
!
n
(aI)n−k (bN )k
k
!
n n−k k k
a
b N
k
!
n n−k k k
a
b N
k
car ∀k > 2N k = 0
+ nan−1 bN
"
#
an nan−1 b
=
.
0
an
"
#
a+b
b
Exemple: Soit A ∈ M2 (R) qui s’écrit : A =
avec a et b réels. On écrit alors :
b
a+b
!
b b
a 0
+
A=
b b
0 a
!
!
!
1 1
= aI2 + bJ,
= aI2 + b
1 1
1 1
avec J =
.
1 1
On obtient facilement J 2 = 2J. Puis, par récurrence, on démontre ∀n ∈ N∗ , J n = 2n−1 J. (Attention la formule n’est pas vraie si n = 0).
10
CHAPITRE 6. MATRICES
On a alors :
An =(aI + bJ)n
=
n
X
k=0
!
n
(aI)n−k (bJ)k
k
n
=a I2 +
n
=a I2 +
n
=a I2 +
!
n
X
n
(aI)n−k (bJ)k
k
k=1
n
X
k=1
" n
X
!
n n−k k k−1
a
b 2 J
k
k=1
!
#
n n−k k k−1
J
a
b 2
k
{z
|
}
∈R
Or on a :
n
X
k=1
!
"
!
"
!
n
n n−k
n n−k k k−1 1 X
a
(2b)k
a
b 2
=
2 k=1 k
k
#
n
n n−k
1 X
=
a
(2b)k − an
2 k=0 k
#
1
= (a + 2b)n − an .
2
Ainsi :
III.3
"
1
an + 12 (a + 2b)n − an
An = an I2 + (a + 2b)n − an J =
1
n
n
2
2 (a + 2b) − a
Matrices inversibles
1
n
n
2 (a+ 2b) − a
an + 21 (a + 2b)n − an
#
Définition 9. Une matrice A ∈ Mn (K) est dite inversible s’il existe B ∈ Mn (K) telle que AB =
BA = In . La matrice B est alors unique et on la note A−1 .
Note: Par définition pour montrer qu’une matrice A est inversible et que son inverse est B, il suffit donc
de vérifier AB = I et BA = I.
Démonstration. Démontrons que l’inverse est unique en supposant qu’il existe deux inverses B et B ′
vérifiant AB = AB ′ = BA = B ′ A = In . On a alors : B ′ AB = B = B ′ .
Note: Une matrice commute toujours avec son inverse.
Proposition 7. De plus, si AB = AC et A est inversible, alors on a B = C. En particulier, si
AB = 0 et A est inversible, alors B = 0.
Ainsi, une matrice inversible est simplifiable dans une équation.
Démonstration. Cette conséquence est claire : si AB = AC alors en multipliant par A−1 , on a B =
C.
IV. TRANSPOSITION, MATRICES SYMÉTRIQUES ET ANTISYMÉTRIQUES
11
Note: En fait, on peut démontrer qu’il suffit que AB = In pour avoir BA = In . Voir le programme de
seconde année pour cela.
Exemple: Soit une matrice A telle que A2 = αA + βI. On a alors :
A2 − αA = βI
et donc
A(A − αI) = βI et (A − αI)A = βI
Si β 6= 0, on peut alors écrire :
1
A (A − αI) = I et
β
1
(A − αI) A = I.
β
Ainsi, la matrice A est inversible, et A−1 = β1 (A − αI).
Si β = 0, on a :
A(A − αI) = 0.
Ainsi, il y a deux solution : soit A n’est pas inversible, soit A = αI (avec dans ce cas forcément α 6= 0).
Proposition 8. Soient A B deux matrices carrées de taille n inversible, alors (AB) est inversible
avec (AB)−1 = B −1 A−1 . En particulier, (A−1 )n = (An )−1 , ce qui permet de définir la puissance
négative d’une matrice inversible.
Démonstration. Pour démontrer que (AB) est inversible d’inverse B −1 A−1 , il suffit de former les deux
produits :
(AB)B −1 A−1 = AA−1 = In
et B −1 A−1 (AB) = BB −1 = In
Note:
– La matrice 0 n’est évidement pas inversible, (on peut par exemple le démontrer en remarquant qu’elle
n’est pas simplifiable dans l’équation 0A = 0).
– La somme de matrices inversibles n’est évidement pas inversible (dans le cas général), par exemple pour
toute matrice A, A + (−A) = 0 n’est pas inversible.
– Si A est inversible et λ 6= 0, alors (λA) est inversible d’inverse λ1 A−1 .
IV
IV.1
Transposition, matrices symétriques et antisymétriques
Transposition
Définition 10. Soit A ∈ Mpq On appelle transposée de A, la matrice t A ∈ Mqp , telle que
∀i ∈ [[1, q]] , ∀j ∈ [[1, p]] ,
t
A
Autrement dit, les lignes de t A sont les colonnes de A.
ij
= Aji .
Note: La transposée a une interprétation mathématique dans le programme de seconde année.
Exemple:
t

"
#
1 2
1 3 5


3 4 =
2 4 6
5 6
12
Proposition 9. On a les propriétés suivantes :
CHAPITRE 6. MATRICES
transposé de transposé Pour toute matrice A ∈ Mpq , on a t ( t A) = A,
transposé d’une somme Pour toutes matrices A et B ∈ Mpq , on a t (A + B) = t A + t B
transposé d’un produit Pour toutes matrices A ∈ Mpq et B ∈ Mqr , on a t (AB) = t B t A,
transposé d’une puissance Pour toute matrice A ∈ Mp , on a : ∀n ∈ N, t (An ) = (t A)n , que l’on
note simplement t An .
transposé de l’inverse Pour toute matrice A ∈ Mp inversible, on a : t A est inversible et (t A)−1 =
t
(A−1 ).
Démonstration. Les deux premiers points sont évidents.
Démontrons la propriété sur le produit. Soient A ∈ Mpq et B ∈ Mqr deux matrices. On a :
t
(AB)ij
= (AB)ji =
q
X
Ajk Bki
k=1
=
q
X
(t A)kj (t B)ik =
k=1
t t
q
X
t
Bik t Akj
k=1
= ( B A)ij
La relation ∀n ∈ N, t (An ) = (t A)n , se démontre alors par récurrence en utilisant la propriété
précédente.
Soit A inversible, la matrice t (A−1 ) existe alors et
t
A t (A−1 ) = t (A−1 A) = In
et
t
(A−1 ) t A = t (AA−1 ) = In
Ce qui démontre que t A est inversible et la relation (t A)−1 = t (A−1 ).
IV.2
Matrices symétriques et antisymétriques
En conséquence de la transposition, on définit
Définition 11. Soit A ∈ Mp une matrice carrée. On dit que A est une matrice symétrique si
A = A, tandis qu’on dit qu’une matrice A est antisymétrique si t A = −A.
t




1 2 3
0
1 2




Exemple: La matrice 2 4 5 est symétrique, tandis que la matrice : −1 0 3 est
3 5 6
−2 −3 0
antisymétrique.
Note:
– Une matrice antisymétrique vérifie donc ∀i ∈ [[1, p]] , Aii = 0, i.e. les coefficients diagonaux sont nuls.
– La seule matrice symétrique et antisymétrique est la matrice nulle.
– On note Sn (K) (resp. An (K)) l’ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques).
Proposition 10. Pour les matrices symétriques, on a :
– Si A et B sont symétriques, A + B est symétrique, i.e. la somme de deux matrices symétriques
est une matrice symétrique.
IV. TRANSPOSITION, MATRICES SYMÉTRIQUES ET ANTISYMÉTRIQUES
13
– Si A et B sont symétriques et si A et B commutent, alors AB est aussi symétrique.
– En particulier, si A est une matrice symétrique, alors ∀n ∈ N, An est une matrice symétrique.
– Si A est une matrice symétrique, et A inversible, alors A−1 est une matrice symétrique.
Pour les matrices antisymétrique, la situation est plus complexe, on a :
– Si A et B sont antisymétriques, A + B est antisymétrique, i.e. la somme de deux matrices
antisymétriques est une matrice antisymétrique.
– Par contre, le produit de deux antisymétriques n’est pas, dans le cas général, antisymétrique
même si les matrices commutent. De même la puissance n-ième d’une matrice antisymétrique
n’est pas antisymétrique.
– Si A est une matrice antisymétrique, et A inversible, alors A−1 est une matrice antisymétrique.
Démonstration. Pour la première partie, soient A et B deux matrices symétriques, on a alors :
– t (A + B) = t A + t B = A + B, donc A + B est symétrique.
– t (AB) = t B t A = BA = AB, donc AB est symétrique (si les matrices commutent).
– En raisonnant par récurrence on obtient alors : ∀n ∈ N, t (An ) est symétrique.
i−1
h
= A−1 , donc l’inverse de A est
– Si A est inversible et symétrique, alors on a t (A−1 ) = t A
aussi symétrique.
Pour la deuxième partie, soient A et B deux matrices antisymétriques, on a alors :
– t (A + B) = t A + t B = −A − B = −(A + B), donc A + B est antisymétrique.
– Si A est inversible et antisymétrique, alors on a t (A−1 ) =
l’inverse de A est aussi antisymétrique.
Pour les contre-exemples :
!
!
!
1 2
1 3
7 7
=
2 3
3 2
11 12
h
t
i−1
A
=
h
i−1
−A
= −A−1 , donc
(donc le produit de deux matrices symétriques n’est pas toujours symétriques).
0 1
−1 0
!
0 2
−2 0
!
=
!
0 2
−2 0
!
0 1
=
−1 0
!
−2 0
0 −2
donc le produit de deux matrices antisymétriques n’est pas antisymétrique, même si les matrices
commutent. On a aussi :
!2
0 1
−1 0
=
!
−1 0
0 −1
n’est pas antisymétrique.
Application 1 Montrer que toute matrice A s’écrit de manière unique comme la somme d’une
matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
Application 2 Déterminer les conditions pour que deux matrices A et B antisymétriques vérifient
AB est symétrique.
IV.3
Trace
Cette partie est hors programme, il s’agit d’un exercice classique à savoir refaire.
14
La trace est une application à connaître :
CHAPITRE 6. MATRICES
Définition 12. Soit une matrice A ∈ Mn (K), les coefficients diagonaux de A sont les n réels :
Aii .
On appelle trace de A, le réel T r(A) =
n
X
Akk , i.e. la trace est la somme des éléments diagonaux.
k=1
Note: On peut aussi parler de coefficients diagonaux d’une matrice non carrée et de sa trace, dans ce cas,
en considérant les élément Akk .
Proposition 11. On a les propriétés :
– ∀A, B ∈ Mn (K), ∀λ ∈ K,
T r(A + B) = T r(A) + T r(B),
T r(λA) = λT r(A).
et
– ∀A, B ∈ Mn (K), T r(AB) = T r(BA).
– ∀A ∈ Mn (K), T r(t AA) =
n
X
A2ij ( i.e. la somme des carrés de tous les coefficients). En parti-
i,j=1
culier, T r(t AA) = 0 si et seulement si A = 0.
Démonstration. Soit A et B deux matrices, alors on a : ∀i ∈ [[1, n]], (A + B)ii = Aii + Bii , donc :
T r(A + B) =
n
X
(A + B)ii =
n
X
Aii +
Bii = T r(A) + T r(B).
i=1
i=1
i=1
n
X
De même, pour λ ∈ K,
n
X
T r(λA) =
(λA)ii =
i=1
n
X
λAii = λ
i=1
n
X
Aii = λT r(A).
i=1
Pour le produit, on a :
T r(AB) =
n
X
i=1
(AB)ii =
n X
n
X
Aik Bki =
i=1 k=1
n X
n
X
k=1 i=1
|
Pour la dernière propriété, on a :
T r(t AA) =
n
X
i=1
(t AA)ii =
Bki Aik =
n X
n
X
(BA)kk = T r(BA).
k=1
{z
(BA)kk
}
(t A)ij Aji =
i=1 j=1
n
X
n X
n
X
A2ji .
i=1 j=1
En particulier, cette somme n’est constituée que de termes positifs, donc si elle est nulle c’est que
tous les termes sont nuls, et donc que : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2 , Aij = 0, i.e. tous les coefficients de A sont
nuls et donc A = 0.
Ce résultat est à redémontrer (en l’adaptant) avant de l’utiliser.
V. MATRICES PARTICULIÈRES
V
15
Matrices particulières
V.1
Matrices scalaires
Définition 13. Soit λ ∈ K. On appelle matrices scalaires, une matrice M ∈ Mp (K) qui s’écrit
M = λIn .
Proposition 12. Multiplier par une telle matrice revient alors à multiplier par λ.
Note:
– En particulier, les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices.
– Si λ 6= 0, la matrice M = λIn est inversible d’inverse λ1 In .
– De manière évidente, la somme, le produit et l’inverse (si λ 6= 0) de matrice scalaire est une matrices
scalaire.
V.2
Matrices diagonales
Définition 14. Une matrice diagonale est une matrice A qui vérifie : i 6= j ⇒ aij = 0, i.e. les
seuls éléments non nuls sont sur la diagonale.


λ1 0 · · · 0

.
..
0 λ
. .. 


2
Ainsi la matrice A s’écrit : A =  . .
.
..
.
.
.
. 0

.
0 · · · 0 λn
Note: On utilise parfois la notation A = diag(λ1 , · · · , λn ).
Proposition 13. On a les propriétés :
– La somme de matrices diagonales est diagonales, avec des coefficients diagonaux obtenus en
faisant la somme des coefficients diagonaux.
Cela s’écrit :

λ1

0

.
.
.
0
0
λ2
..
.
···





λ1 + α1
0
···
0
··· 0


..
.. 
.
..


. . 
0
λ2 + α2 . .
.

 
.
=
..
..
..
..

 
.
.
. 0  .
0 
0
···
0 λn + αn
0 αn
α1 0
··· 0

.. 
..

. .
  0 α2
+ .
..
..

.
. 0
  ..
0 ···
0 λn
– Le produit de matrices diagonales est diagonales, avec des coefficients diagonaux obtenus en
faisant le produit des coefficients diagonaux.
Cela s’écrit :

λ1

0

.
.
.
0
0
λ2
..
.
···

··· 0
α1

.. 
..

. .
 0
 .
..

. 0
  ..
0 λn
0
0
α2
..
.
···


··· 0
λ1 α1
0

.. 
..

. . 
λ2 α2
  0
= .
..
..

. 0
.
  ..
0 αn
0
···

···
0
.. 
..
.
. 

.
..

.
0 
0 λn αn
16
CHAPITRE 6. MATRICES
– Une matrice diagonale est diagonale, si tous les éléments diagonaux sont non nuls. L’inverse
est alors obtenue en inversant les coefficients diagonaux. Cela s’écrit :

λ1

0

.
.
.
0
0
λ2
..
.
···
−1
··· 0
.
..
. .. 


..
. 0

0 λn

1
λ1
0
0
..
.
1
λ2



=


..
.
···
0
···
..
.
..
.
0

0
.. 
. 



0
1
λn
–
– La puissance p-ième d’une matrice diagonale se calcule facilement : il suffit de mettre les coefficients diagonaux à la puissance p :

0
λ1

0

.
.
.
0
λ2
..
.
···
Démonstration. Il suffit de le vérifier.
p

λp1
··· 0

.
..
0
. .. 


 =.
..
.

. 0
.
0
0 λn
0
λp2
..
.
···

··· 0
.
..
. .. 


..
. 0

0 λpn
On retiendra en particulier qu’une matrice diagonale est très facile à inverser, ainsi qu’à mettre à
la puissance n-ième.
Application 1 Soient D une matrice diagonale et P une matrice inversible. Soit une matrice A
telle que A = P DP −1 . Exprimer An en fonction de P , P −1 et D n . (Ce raisonnement par récurrence
classique est à savoir faire. Il faut toujours le refaire dans un écrit de concours).
Proposition 14. Soit A une matrice carré de taille n et D une matrice diagonale de taille n. On
note (λi )i∈[[1,n]] les éléments diagonaux de D, et Li (resp. Ci ) les lignes (resp. les colonnes) de A.
La matrice DA est alors obtenue à partir de A en appliquant à A les opérations : ∀i ∈ [[1, n]],
Li → λi Li , i.e. chaque ligne de A est multipliée par λi .
La matrice AD est obtenue à partir de A en appliquant à A les opérations : ∀i ∈ [[1, n]], Ci → λi Ci ,
i.e. chaque colonne de A est multipliée par λi .
Démonstration. C’est un simple calcul de produits de matrices définies avec des · · · . On peut voir
aussi avec un calcul direct :
∀(i, j) ∈ [[1, n]] (DA)ij =
n
X
k=1
La deuxième relation se montre de la même manière.
V.3
Akj = λi Aij .
D
ik
|{z}
=0
si
i6=j
Matrice triangulaire
Définition 15. Une matrice triangulaire (supérieure) est une matrice carré A de taille n qui
vérifie i > j ⇒ aij = 0. Ainsi, A s’écrit :

a11 a12

a22

A=


···
···
..
.

a1n
a2n 

.. 

. 
ann
V. MATRICES PARTICULIÈRES
On définit aussi les matrices triangulaires inférieures.
17
Note:
– On peut aussi définir les matrices triangulaires strictement inférieures/supérieures en imposant des coefficients diagonaux nuls.
– La transposé d’une matrice triangulaire supérieure est évidemment une matrice triangulaire inférieure.
Proposition 15. On a les propriétés :
– La somme de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est triangulaire supérieure (resp. inférieure).
– Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est triangulaire supérieure (resp. inférieure). De plus, les coefficients diagonaux sont obtenus en faisant le produit
des coefficients diagonaux.
– Une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure) est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi supérieure (resp.
inférieure). De plus, les coefficients diagonaux sont alors les inverses des coefficients diagonaux.
Démonstration. Le mieux pour démontrer ces propositions est de le voir en faisant le produit de
deux matrices génériques triangulaires supérieures et de voir que le profil est conservé par somme et
produit.
Cela s’écrit avec deux matrices triangulaires supérieures :






a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
b11 b12 · · · b1n
a11 a12 · · · a1n
 
 

a22 + b22 · · · a2n + b2n 
b22 · · · b2n  
a22 · · · a2n  








..
..  = 
..  + 
..
..
..


.
.
.


.
.  
.  
ann + bnn
bnn
ann
Et :





a11 a12 · · · a1n
b11 b12 · · · b1n
a11 b11
∗
···
∗


 
a22 · · · a2n  
b22 · · · b2n  
a22 b22 · · ·
∗ 







..  
..  = 
.. 
..
..
..

.
.
.
.

. 
.  
. 
ann
bnn
ann bnn
Les termes marqués d’une étoile ∗ étant des termes qui sont (sauf exception) non nuls et que l’on ne
calcule pas.
On peut aussi le démontrer en considérant (AB)ij =
n
X
Aik Bkj .
k=1
On a alors pour deux matrices A et B triangulaires supérieures :
– si i > j, on peut écrire : (AB)ij =
j
X
k=1
Aik Bkj +
|{z}
0
n
X
Aik Bkj = 0, car dans la première somme
k=j+1
|{z}
0
i > j > k, donc Aik = 0 et dans la deuxième : k > j donc Bkj = 0. Donc les termes en dessous
de la diagonales sont nuls.
– si i = j, on a : (AB)ii =
i−1
X
k=1
Aik Bkj + Aii Bii +
|{z}
0
n
X
k=i+1
Aik Bki = 0,
|{z}
0
18
CHAPITRE 6. MATRICES
Le fait que l’inverse d’une triangulaire supérieure est triangulaire supérieure n’est pas évident, et
se démontre en utilisant la méthode de remontée.
Note: Si une matrice est triangulaire inférieure stricte, alors elle n’est pas inversible.
⋆
Méthode de remontée
Le grand intérêt des matrices triangulaires est que si A est une matrice triangulaire et B un
vecteur colonne, le système AX = B se résout par méthode de remontée, c’est-à-dire qu’on part
de la dernière ligne et que l’on calcule les inconnues au fur et à mesure, en partant de la dernière.
Soit A une matrice triangulaire supérieure de taille n et inversible, soit B ∈ Mn1 un vecteur
colonne. Le système AX = B d’inconnu le vecteur X ∈ Mn1 s’écrit :

··· ···
a22 · · ·
..
.
a11




AX = B ⇐⇒ 



..
ann
a2n
..
.
.
an−1 n−1

x1
x2
..
.


b1
b2
..
.


 


 


 


 


=


 


 
an−1 n  xn−1  bn−1 

ann
xn
bn
Résoudre cette équation matricielle, revient donc à résoudre le système d’inconnues (x1 , . . . , xn ) :


a11 x1 +
...






a22 x2 +



..










.
...
+ann xn
=
b1
...
..
.
+a2n xn
..
.
=
b2
..
.
=
an−1 n−1 xn−1 + an−1 n xn = bn−1
ann xn
=
bn
Si la matrice A est inversible, alors comme dit dans la proposition 15, ses coefficients diagonaux sont
alors non nuls. Le système a alors une unique solution qui se calcule rapidement :
bn
,
– la dernière ligne donne xn : xn =
ann
– l’avant-dernière ligne s’écrit :
an−1 n−1 xn−1 + an−1 n xn = bn−1 ,
on peut donc en déduire xn−1 sous la forme :
xn−1 =
1
an−1 n−1
(bn−1 − an−1 n xn ) .
Comme xn est déjà calculé, on a bien xn−1 .
– On calcule de même les xi pour i = n . . . 1. La ligne i s’écrit (avec le signe somme) :
n
X
aik xk = bi ,
k=i
ce qui donne xi en utilisant les valeurs déjà calculées de xk pour k > j :


n
X
1 
bi −
aik xk  .
xi =
aii
k=i+1
VI. MATRICES ET SYSTÈMES
19
Application 2 Montrer qu’une matrice s’écrit toujours comme somme d’une diagonale, d’une
triangulaire supérieure stricte et d’une triangulaire inférieure stricte.
Application 3 Montrer que l’inverse d’une matrice triangulaire supérieure de taille 2 × 2 est
triangulaire supérieure.
⋆
Algorithme de remontée en Scilab
Voici l’algorithme permettant de résoudre le système AX = b pour une matrice A triangulaire
supérieure et inversible :
function x=resoudRemontee(A,b)
// entrée: A matrice triangulaire supérieure inversible de taille (n,n)
//
b vecteur de taille n
// sortie: x vecteur de taille n solution de AX=b
n=size(A,"r");
x(n)=b(n)/A(n,n); // dernier élément
for i=n-1:-1:1
// on calcule la somme
somme=0;
for k=i+1:n
somme=somme+A(i,k)*x(k); //nb: x(k) est déjà calculé
end
x(i)=(b(i)-somme)/A(i,i);
end
endfunction
Note: L’initialisation du dernier élément à part n’est pas utile : si i = n, la boucle for k=i+1:n ne
contient aucun terme, l’exécution ne rentre alors pas dans cette boucle.
VI
Matrices et systèmes
Comme on l’a vu : résoudre un système linéaire revient à déterminer les solutions d’une équation
AX = B, avec A la matrices des coefficients, B le vecteur du second membre, et X le vecteur des
inconnues.
VI.1
Remarques sur l’application X 7→ AX
Le but de cette partie est de montrer par le calcul matriciel, certains résultats que l’on reverra
avec plus de détails dans les chapitres sur les espaces vectoriels (??) et les applications linéaires (??).
Si X est un vecteur colonne de taille n et A ∈ Mn (K), on peut effectuer le produit AX, qui est
alors un vecteur colonne de taille n. Cette opération permets d’associer à la matrice A l’application
20
φA : Kn → Kn définie par :
CHAPITRE 6. MATRICES




x1
y1
 . 
. 
. 
. 
X=
 .  7−→ Y = AX =  . 
xn
yn
On peut ainsi voir A comme une fonction sur Kn .
Définition 16. On appelle l’image du vecteur colonne X ∈ Mn1 par la matrice A ∈ Mn le vecteur
colonne AX.
Proposition 16. On a pour tout X et Y ∈ Mn1 et tout λ ∈ K :
A(X + Y ) = AX + AY
et
A(λx) = λAx.
et
φA (λX) = λφA (X).
Ainsi :
φA (X + Y ) = φA (X) + φA (Y )
Note:
– La fonction φA est donc une application linéaire.
– On peut aussi faire le produit t XA, qui est un vecteur ligne de taille n.
Application 1
Démontrer que φ est injective, si et seulement si φ(X) = 0 =⇒ X = 0.
Définition 17. On appelle ei le vecteur colonne de taille n tel que (ei )j (l’élément j de ce i-ième
vecteur) est nul si i 6= j, vaut 1 sinon. Ainsi :


0
 . 
 . 
 . 




ei = 






0
1
0
..
.
0




 ← ligne i






Ce vecteur s’interprètera plus tard comme le i-ème vecteurs de la base canonique de Rn , pour
l’instant on voit juste que


 
 
 
0
0
1
0
0
1
x1
.
 
 
 
n
1
0
x
. X
 
 
 2
 = x1  .  + x2  .  + · · · + xn  .  =
xi ei .
X=
.
 
.
.
 . 
0
.
.
 . 
i=1
xn
Remarque: Supposons que l’on ait résolu les n équations AX = ei (en supposant que tous ces
systèmes aient une solution).
 On
 dispose donc de n vecteurs Xi vérifiant AXi = ei .
b1
.

Soit maintenant B =  .. 
 un second membre d’un système AX = B (donc avec les mêmes
bn
coefficients).
VI. MATRICES ET SYSTÈMES
Alors on a :
A(
21
n
X
bi Xi ) =
k=1
n
X
bi AXi =
k=1
n
X
bi ei = B.
k=1
Ainsi, si on a résolu les n systèmes AXi = ei , alors :
– d’une part tous les systèmes AX = B, i.e. avec les mêmes coefficients et un second membre
quelconque, ont une solution 1 ,
– de plus une solution est :
n
X
bi Xi , i.e. une combinaison linéaire des vecteur (Xi )i∈[[1,n]] avec les
k=1
poids (bi )i∈[[1,n]] .
Application 2 Démontrer que l’application φA est surjective si et seulement si ∀i ∈ [[1, n]] , ∃fi ∈
Mn1 : φA (fi ) = ei .
Proposition 17. Soit une matrice A ∈ Mn (K), alors Aei est la colonne i de A. Ainsi, l’image par
A du vecteur ei (i-ième vecteur de la base canonique) est la colonne i de A.
Démonstration. Encore une fois le plus simple est de le démontrer avec une matrice générique, en
faisant le produit à la main :
 
0
a11 · · · a1i · · · a1n
a
  1i 
 .

.
.

0

 ..
..
..     ... 

   
1 =  . .
 .
..
.. 
 .
 
  . 
.
. 
 .
0  . 
ani
an1 · · · ani · · · ann
0



Sinon on peut voir :
∀j ∈ [[1, n]] , (Aei )j =
n
X
Ajk (ei )k = Aji .
k=1
Ce qui signifie que la j-ième coordonnée du vecteur (colonne) (Aei ) est l’élément (j, i) de A, ce qui
signifie bien que (Aei ) est la colonne i de A.
Remarque: Au niveau application, si on note pour i ∈ [[1, n]] Ci le vecteur Ci = Aei (Ci est
l’image par A du vecteur ei , mais c’est aussi la i-ième colonne de A). Alors
n
n
X
∀x ∈ K , Ax = A(
i=1
xi ei ) =
n
X
i=1
xi Aei =
n
X
xi Ci .
i=1
Ainsi, l’image d’un vecteur est la combinaison linéaire des images des vecteurs de la base i.e. des
colonnes de A.
On peut aussi voir que si deux matrices A et B vérifient : ∀X ∈ Mn1 , AX = BX, alors A = B
1. on verra que dans ce cas la solution est unique
22
CHAPITRE 6. MATRICES
VI.2
Matrices des opérations élémentaires
Le lien entre opérations élémentaires et matrices n’est qu’un outil destiné aux démonstrations du
chapitre ??. Il est donc inutile de connaître par cœur toutes les matrices d’opérations élémentaires,
seuls la conclusion finale est importante.
De même les notations utilisés ici ne sont pas standards et ne sont pas à retenir.
Puisque résoudre un système linéaire revient à résoudre un système du type AX = B, avec A la
matrice des coefficients et B le vecteur colonne du second membre. On cherche à faire le lien entre les
opérations sur le système (échange de ligne, combinaison linéaire de lignes, etc.) et la multiplication
matricielle.
Pour simplifier, on se restreint à des matrices carrées, i.e. des systèmes avec autant d’équations
que d’inconnues. Les résultats généraux seront donnés au chapitre ??.
Par exemple, soit P la matrice diagonale des éléments (λi )i∈[[1,n]] , on a vu que la matrice P A est
obtenue à partir de A en multipliant chacune des lignes par λi . Or si la matrice si P est inversible,
i.e. si ∀i ∈ [[1, n]] , λi 6= 0 on a : AX = B ⇔ P AX = P B (si la matrice P n’est pas inversible, on n’a
qu’une implication).
On vient donc de démontrer le résultat déjà connu depuis la terminale : en multipliant chacune
des lignes d’un systèmes linéaires par une valeur non nulle, et en faisant la même opération sur le
second membre, on obtient un système équivalent.
Le but de cette partie est d’associer à chaque opérations élémentaires sur les systèmes une matrice.
⋆
Échanger des lignes
Définition 18. Soit 1 6 k < l 6 n, on appelle matrice de permutation des lignes k, l, la matrice
Pkl de taille n égale à l’identité sauf que sur la colonne k le 1 est sur la ligne l et sur la colonne l, le
1 est sur la ligne k.
Par exemple, si n = 7, k = 2 et l = 5, on a :

Pkl








= 




1
0
1
1
1
1
0
1
1
↑
ck
↑
cl

 ← lk






 ← ll



Cette définition provient de :
Proposition 18. Soit A une matrice de taille n, alors P A est la matrice de taille n égale à A sauf
qu’on a échangé la ligne k et l.
VI. MATRICES ET SYSTÈMES
Démonstration. sur un exemple

1













a11

 a21
0
1

 a31
1


 a41
1

 a51
1
0


1  a61
a71
1
a12
a22
a32
a42
a52
a62
a72
23
a13
a23
a33
a43
a53
a63
a73
a14
a24
a34
a44
a54
a64
a74
a15
a25
a35
a45
a55
a65
a75
a16
a26
a36
a46
a56
a66
a76


a11
a17
 
a27  a51
 

a37 
 a31
 
a47  = a41
 

a57 
 a21
 
a67  a61
a71
a77
a12
a52
a32
a42
a22
a62
a72
a13
a53
a33
a43
a23
a63
a73
a14
a54
a34
a44
a24
a64
a74
a15
a55
a35
a45
a25
a65
a75
a16
a56
a36
a46
a26
a66
a76
Note: On pourra retenir en particulier que P est obtenue à partir de l’identité, en appliquant à l’identité
les changements de lignes : pour retrouver la matrice Pkl on applique donc l’opération associée à l’identité, car :
Pkl = Pkl In .
Proposition 19. Les matrices Pkl sont inversibles et leurs inverses sont elles mêmes.
En conséquence, on ne conserve l’équivalence des systèmes en inversant deux lignes.
Démonstration. En effet, l’opération inverse d’échanger les lignes k et l est de les échanger à nouveau,
donc Pkl est inversible et Pkl −1 = Pkl .
Note:
– Lorsqu’on manipule les matrices P , il est important de garder en tête leur interprétation en termes
d’opérations élémentaires.
– Si Pk′ l′ et Pkl sont deux matrices avec 4 indices distincts, alors ces matrices commutent. Cela signifie
que si on change les lignes k et l et k ′ et l′ , si les 4 indices sont distincts, alors peu importe l’ordre de
ces opérations.
⋆
Multiplier une ligne par un scalaire β
Définition 19. On appelle matrice Mi (β), où β est un nombre réel, une matrice de taille n égale à
l’identité, sauf que l’élément i, i est remplacé par β. Ces matrices sont appelées matrices de multiplication de la ligne i par β.
Par exemple si n = 8, M4 (β) est :


1







M4 (β) = 







Cette définition provient de
1
1
β
1
1
1
1

a17

a57 

a37 


a47 

a27 


a67 
a77






 ← li








Proposition 20. Soit A une matrice de taille n, alors Mi (β)A est la matrice obtenue en multipliant
la ligne i de A par β.
24
CHAPITRE 6. MATRICES
Note: Ici encore, Mi (β) est la matrice identité à qui on a appliqué l’opération correspondante.
Démonstration. Évident par un calcul direct, c’est aussi un cas particulier de multiplication de matrice
diagonale.
Proposition 21. Si β est non nul, alors Mi (β) est inversible d’inverse Mi ( β1 ).
En conséquence, on conserve l’équivalence des systèmes en multipliant une ligne par une valeur
β 6= 0.
Démonstration. Ici encore, c’est un cas particulier de la proposition sur le matrices diagonales.
On peut aussi le voir ainsi : L’inverse de l’opération « multiplier la ligne i par β » est « diviser la
ligne i par β ».
⋆
Ajouter à une ligne une autre ligne
Définition 20. Pour i ∈ [[1, n]] et k ∈ [[1, n]], avec k 6= i on appelle matrice Li,k (α) une matrice égale
à l’identité, sauf sur la colonne i, où on a mis un coefficient α ligne k.
Exemple :


1



1




 ← li
1





1





L36 (α) = 
1



α
1  ← lk

1
↑
ci
Ces matrices sont appelées matrices de combinaison linéaire.
Cette définition provient de
Proposition 22. Soit A une matrice de taille n, alors Li A est la matrice obtenue en faisant l’opération : lk ← lk + αli .
Démonstration. Encore une fois, le plus simple est de le voir directement. Sur un exemple :

=





a11
a21
a31
a41
a51
a61 + αa31
a71





1
a12
a22
a32
a42
a52
a62 + αa32
a72
1
1
1
1
α
1
1
a13
a23
a33
a43
a53
a63 + αa33
a73
a11
a21
a31
a41
a51
a61
a71




a14
a24
a34
a44
a54
a64 + αa34 a64
a74
a12
a22
a32
a42
a52
a62
a72
a13
a23
a33
a43
a53
a63
a73
a15
a25
a35
a45
a55
a65 + αa35
a75
a14
a24
a34
a44
a54
a64
a74
a15
a25
a35
a45
a55
a65
a75
a16
a26
a36
a46
a56
a66 + αa36
a76
a16
a26
a36
a46
a56
a66
a76
a17
a27
a37
a47
a57
a67
a77





a17
a27
a37
a47
a57
a67 + αa37
a77





VI. MATRICES ET SYSTÈMES
Note: Encore une fois, Lik est la matrice identité à qui on a appliqué l’opération correspondante.
25
Proposition 23. La matrice Lik (α) est inversible et {Lik (α)}−1 est Lik (−α).
Démonstration. Pour inverser l’opération lk ← lk + αli , il faut faire : lk ← lk − αli .
⋆
Conclusion
On retiendra plusieurs points essentiels :
– Faire des opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice A corresponds à multiplier la
matrice A à gauche par des matrices particulières.
– Les opérations élémentaires actuellement connues sont :
– Échanger deux lignes : lk ↔ ll . La matrice P correspondante est inversible.
– Multiplier une ligne par un scalaire β : li ← βli . La matrice correspondante est alors inversible
que dans le cas où β 6= 0.
– Ajouter à une ligne k une autre ligne i multipliée par α : lk ← lk + αli . La matrice Lik (α)
correspondante est alors inversible (quelque soit la valeur de α).
Remarque:
– On peut montrer que faire des opérations sur les colonnes de la matrice A revient à multiplier
la matrice A à droite par les mêmes matrices.
– En combinant ces opérations, on obtient les opérations élémentaires du type : ∀k 6= i, lk ←
lk + αk li , qui sont inversibles quelque soit le choix des valeurs (αk )k6=i .
Ces opérations élémentaires seront les plus utilisées pour résoudre les systèmes : la ligne i reste
inchangée et on ajoute à toutes les autres lignes αk li .
– On pourra aussi faire des opérations du type : lk ← βlk + αli , qui sera inversibles si β 6= 0.
– Lorsque l’on fait plusieurs opérations à la suite sur les lignes d’une matrice, cela revient à multiplier plusieurs fois la matrice A à gauche par différentes matrices (chaque matrice correspondant
à une opération). Comme la multiplication n’est pas commutative, l’ordre dans lequel on fait
ces opérations à de l’importance.
26
CHAPITRE 6. MATRICES
Feuille d’exercices Matrices
BCPST Lycée Hoche
Pelletier Sylvain
\
$
CC
BY:
Exercice 1
=
Résolution d’équation matricielle simple
Soient A =
1 2
3 4
!
et B =
−1 5
0
−3 11 −2
!
1. Effectuer le produit AB, que se passe-t-il pour BA ?
2. Trouver toutes les matrices X telles que AX = B
3. Trouver toutes les matrices X telles que XA = B.
Correction
1.
!
a b c
2. Il faut chercher les solutions avec des matrices de la forme :
. La résolution du système
d e f
!
−1 1 −2
d’équation donne : X =
. (c’est la seule solution).
0 2 1
3. Si XA a un sens, c’est que X est de type (p, 2) on a alors XA de type (p, 2), ne peut
Exercice 2
Puissance d’une
! matrice et suites couplées
1 −1
Soit la matrice A =
−1 1
1. Déterminer An pour tout n ∈ N,
2. On considère les deux suites (xn ) et (yn ) définies par la donnée de x0 et y0 et les relations de
récurrence
(
xn+1 = xn − yn
yn+1 = −xn + yn
xn
yn
On pose Xn =
!
3. Établir une relation entre Xn+1 , A et Xn .x
4. En déduire une expression de xn et yn en fonction de x0 , y0 , et n.
Correction :
1. On a An = 2n−1 A, ce que l’on peut démontrer par récurrence.
2. Xn+1 = AXn , donc par récurrence, on a Xn = An X0 .

x =
n
3. on obtient :
y =
n
2n−1 (x0 − y0 )
2n−1 (y0 − x0 )
Matrice nilpotente

0 1 0

Soit la matrice : N =  0 0 1
0 0 0
Exercice 3
et commutant



VI. MATRICES ET SYSTÈMES
1. Calculer N 2 et N 3 ,
27
2. Déterminer l’ensemble des matrices qui commutent avec N , i.e. résoudre l’équation XN = N X,
d’inconnue X.
Correction :


0 0 1


2
1. On obtient N =  0 0 0 , et N 3 = 0
0 0 0
2. On fait l’équation AN = N A, avec A de taille (3, 3), ce qui donne :




d e f
0 a b

 

AN = N A ⇔ 0 d e  = g h i 
0 0 0
0 g h



d=g=h=0


⇔ d=e=i



b = d


a b c


⇔A = 0 a b 
0 0 a
⇔A = aI + bN + cN 2 , (a, b, c) ∈ R3
Exercice 4
Formule de

2

Soit la matrice A =  0
0
Newton et matrice nilpotente

1 0

2 1 
0 2
1. Déterminer λ et µ tels que A = λI3 + µN avec N la matrice de l’exercice précédent.
2. Calculer A2 et A3 en fonction de I3 , N et N 2 .
3. En déduire An pour tout n ∈ N.
Correction :
1. A = 2I + N .
2. A2 = 4I + 4N + N 2 , et A3 = 8I + 12N + 6N 2 .
n(n − 1) n−2 2
2
N .
3. An = 2n I + n2n−1 I +
2
Exercice 5 Calcul de l’inverse! par polynôme annulateur
4 −10
Soit la matrice A =
1 −3
1. Calculer A2 ,
2. Déterminer λ et µ tels que A2 + λA + µI2 = 02 .
3. En déduire que la matrice A est inversible et calculer A−1 .
Correction :
28
1. On obtient :
A2
=
2. on a A2 = A + 2I,
CHAPITRE 6. MATRICES
!
6 10
.
1 −1
1
(1 − I) =
3. On obtient alors : A
2
1
(1 − I) A = I.
2


a 1 1


Exercice 6 Étant donné un nombre complexe a, on définit la matrice M =  1 a 1  On note
1 1 a


1 1 1


I = I3 , et J =  1 1 1 
1 1 1
1. Déterminer M en fonction de a, I et J.
2. Déterminer J k pour k ∈ N.
3. En déduire une expression de la matrice M n pour n ∈ N.
4. (a) Exprimer M 2 en fonction de M et I,
(b) En déduire les valeurs de a pour lesquels M est inversible et déterminer M −1 (lorsqu’elle
existe).
(c) Dans le cas où M est inversible, montrer que la formule trouvée au 3 est encore vraie pour
n = −1, puis pour tout entier n ∈ Z.
Correction :
1. M = (a − 1)I + J.
2. J k = 3k−1 J (récurrence).
1
3. M = (a − 1)n I + [(a + 2)n − (a − 1)n ] J (en utilisant Newton).
3
4. (a) En reprenant l’équation précédente pour n = 2, on obtient : M 2 = (2a + 1)M − (a − 1)(a +
2)M
(b) Si a 6= 1 et a 6= −2, On a :
M
h
i
h
i
1
1
(2a + 1)I − M =
(2a + 1)I − M M = I.
(a − 1)(a + 2)
(a − 1)(a + 2)
Si a = 1 on obtient M (3I − M ) = 0, donc si M est inversible (par l’absurde) alors M = 3I
(contradiction). Donc M n’est pas inversible. Pour a = −2, on obtient de même M = −3I,
donc M non inversible.
(c) Pour a 6= 1 et a 6= 2, on a :
h
i
1
(2a + 1)I − M
(a − 1)(a + 2)
h
i
1
=
(2a + 1)I − (a − 1)I − J
(a − 1)(a + 2)
1
1
(a + 2)I −
J
=
(a − 1)(a + 2)
(a − 1)(a + 2)
1
1
1
1
=
I+
−
J
(a − 1)
3 a+2 a−1
M −1 =
VI. MATRICES ET SYSTÈMES
Donc la formule est vrai pour n = −1.
29
Ai n ∈ Z, on a soit n > 0 et la formule est vrai, soit n = −m avec m ∈ N, et il faut montrer
1
que : M −m = (M m )−1 = (a − 1)−m I + [(a + 2)−m − (a − 1)−m ] J . Pour cela, il suffit de
3
calculer :
M m (a − 1)−m I +
"
1
(a + 2)−m − (a − 1)−m J
3
1
= (a − 1) I + [(a + 2)m − (a − 1)m ] J
3
m
#"
−m
(a − 1)
#
1
I + (a + 2)−m − (a − 1)−m J .
3
Comme les matrices J et I commutent, et J 2 = 3J on obtient :
a + 2m
1 a − 1m
−1+
−1 J
I+
3 a+2
a−1
1
+ (a + 2)−m − (a − 1)−m [(a + 2)m − (a − 1)m ] J 2
9 1 a − 1m a + 2m
1
a − 1m a + 2m
=I+
+
−2 J +
−
+ 1 J = I.
1−
3 a+2
a−1
3
a+2
a−1
Exercice 7 Soit A une matrice carrée telle qu’il existe D diagonale et P inversible, et telle que
A = P DP −1 . On note λ1 , . . . , λn les valeurs sur la diagonale de D. Calculer An pour n ∈ N en
fonction de (λi )i=1...n .
Exercice 8 Soit (un )n∈N une suite définie par les valeurs de u0 et de u1 et la relation de récurrence
(R) : un+2 = un+1 + 2un ,
vraie pour tout entier naturel n.
1. Donner l’expression de un en fonction de n et de u0 et u1 .
2. Soit la matrice


1 −1 −1


A =  −1
1 −1 
−1 −1
1
Montrer que An s’écrit :


an bn bn


An =  bn an bn 
bn bn an
avec les suites an et bn vérifiant (R).
3. Déterminer An pour tout n.
Correction
1. suite récurrente linéaire d’ordre 2 : r 2 − r − 2 = (r − 2)(r + 1) un = α2n + β(−1)n On trouve :
1
un = [2n (u1 + u0 ) − (−1)n (u1 − 2u0 )].
3
2. Par récurrence.
30
CHAPITRE 6. MATRICES
3. En mettant ensemble les questions, on a :
1
an = (2n+1 + (−1)n )
3
bn =
1
(−2n + (−1)n ).
3
D’où An .
Exercice 9 On appelle trace d’une matrice A ∈ Mn (K) le réel T r(A) =
la trace est la somme des éléments diagonaux.
Pn
k=1 Akk ,
autrement dit
1. Montrer que pour toutes matrices A et B, et tout scalaire λ, on a : T r(A+ B) = T r(A)+ T r(B),
et T r(λA) = λT r(A).
2. Montrer que pour toutes matrices A et B, on a T r(AB) = T r(BA)
3. En déduire qu’il n’existe pas de matrice A et B telles que AB − BA = In .
Exercice 10
Soient les matrices :





0 −2
2 1 −2
1 −2
3





A= 2
1
0  , C =  −2
0 −4  , B =  1 3
0 0
5
2
1
1
1 −1
E=
2 1 1
−1 2 1
!
, F =
1 3
2 1
!
, G=
1
2
0
7 −4
AB, BA, AD, AE, EA, ED, EBD
(a) A − 2X = B
(b) 2A + 3(X − B) − C = 5(X + C) − 3B

1
3

2 , D = 
−2
−1
,

3 
1
5
0
1. Calculer les produits suivants :
2. Résoudre les équations suivantes :


!
.