Chapitre 15 : Variables aléatoires simultanées

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques Variables aléatoires simultanées
Chapitre 15
Variables aléatoires simultanées
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 21 mars 2011
Introduction
Présentation et objectifs
Comme en statistique descriptive, on est fréquemment amené à considérer plusieurs
variables aléatoires relatives à une expérience aléatoire donnée. C’est l’objet de ce chapitre
que de donner un aperçu des phénomènes qui apparaissent alors.
On définit d’abord, dans les cas discrets et continus, les notions de distribution simul-
tanée pour deux variables aléatoires (la généralisation à nvariables aléatoires étant laissée
au lecteur), puis l’indépendance de variables aléatoires. On considère les propriétés de la
somme de plusieurs variables aléatoires indépendantes, avant de s’intéresser d’un peu plus
près aux différentes propriétés de l’espérance.
La dernière section s’intéresse enfin aux théorèmes limites, notamment la loi des grands
nombres et le théorème de la limite centrale, théorèmes en prise directe avec l’exploitation
de la théorie des probabilités en statistiques.
Prérequis:
Chapitres 12, 13, 14, 2, 4, 7, 11
Suites:
Statistique inductive (1ère année)
Optimisation
Mathématiques financières et sciences « molles »
Informatique et sciences de l’information
1 Distributions simultanées
Soient X, Y deux variables aléatoires sur un espace probabilisé (Ω,T, P ).
1.1 Fonction de répartition conjointe
Définition 1
La fonction de répartition conjointe (ou : simultanée)de Xet Yest la fonction
FX,Y :R2−−−→ R
(x, y)7−−−→ P({X6x}∩{Y6y}).
Les fonctions de répartition de Xet de Y(notées FXet FY) sont alors qualifiées de
marginales.
1

Chapitre 15 MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Proposition 1 (Relations entre répartitions conjointe et marginales)
Avec les notations précédentes, on a
∀x∈R, FX(x) = lim
y→+∞FX,Y (x, y)
∀y∈R, FY(y) = lim
x→+∞FX,Y (x, y)
♠Démontrer cette proposition à l’aide du théorème sur la probabilité limite d’une
suite monotone d’évènements.
♠Exprimer, à l’aide des fonctions de répartitions conjointe et marginales, les
probabilités suivantes :
P({X > x}∪{Y > y}), P ({X > x}∩{Y > y})
et P({x1< X 6x2}∩{y1< Y 6y2})
1.2 Cas de variables discrètes
On suppose ici que Xet Ysont des variables aléatoires discrètes.
Définition 2
On appelle loi de probabilité conjointe de Xet de Yla fonction
pX,Y :X(Ω) ×Y(Ω) −−−→ [0,1]
(x, y)7−−−→ P({X=x}∩{Y=y}).
A nouveau, les lois de Xet de Y, notées pXet pY, sont alors qualifiées de marginales.
Proposition 2 (Relations entre lois conjointe et marginales)
Avec ces notations, on a
∀x∈X(Ω), pX(x) = P(X=x) = X
y∈Y(Ω)
pX,Y (x, y)
∀y∈Y(Ω), pY(y) = P(Y=y) = X
x∈X(Ω)
pX,Y (x, y).
Lorsque X(Ω) et Y(Ω) sont finis, il est d’usage de présenter ces valeurs sous forme
d’un tableau de contingence (cf. chap. 11). Dans ce cas, les lois marginales apparaissent
comme somme des probabilités figurant dans une ligne ou colonne.
♠Dresser le tableau de contingence d’un lancer de deux dés équilibrés différenciés,
les résultats des deux dés étant notés Xet Y.
♠Même question, mais cette fois les deux dés sont indifférenciés. Xdésigne le
plus petit résultat, Yle plus grand.
1.3 Cas de variables continues
2

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques Variables aléatoires simultanées
Définition 3
Deux variables aléatoires Xet Ysont dites conjointement continues s’il existe
une fonction fX,Y :R2−−−→R+telle que pour tout borélien Cde R2on ait
P((X, Y )∈C) = ZZC fX,Y (x, y)dx dy.
Une telle fonction fX,Y est appelée densité de probabilité conjointe de Xet Y
(ou, plus simplement, densité conjointe de Xet Y).
Proposition 3
Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires admettant pour densité conjointe fX,Y .
(1) On a ZZR2fX,Y (x, y)dx dy = 1.
(2) Les variables Xet Ysont continues et leurs densités de probabilités (qualifiées de
marginales) fXet fYsont données par
fX(x) = Z+∞
−∞
fX,Y (x, y)dy fY(y) = Z+∞
−∞
fX,Y (x, y)dx.
(3) On a la relation suivante entre la fonction de répartition conjointe du couple (X, Y )
et sa densité conjointe :
fX,Y (x, y) = ∂2FX,Y
∂x∂y (x, y)
(relation qui n’est valable, en toute rigueur, qu’aux points où fX,Y est continue).
♠Démontrer cette proposition : utiliser l’évènement certain pour le point (1), les
fonctions de répartition marginales pour le point (2), la fonction de répartition
conjointe pour le point (3).
♠On considère un couple (X, Y )de variables aléatoires admettant pour densité
conjointe la fonction
f: (x, y)−−−→
2e−x−2ysi x > 0et y > 0
0sinon.
Exprimer à l’aide de fpuis calculer P({X > 1}∩{Y < 1}),P(X < Y ),
P(X < a). Calculer les densités marginales en Xet Y, la fonction de ré-
partition conjointe ainsi que les fonctions de répartitions marginales en Xet
en Y.
2 Variables aléatoires indépendantes
2.1 Définition
3

Chapitre 15 MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Définition 4
Deux variables aléatoires Xet Ysont dites indépendantes si pour tous boréliens A
et Bde R, les évènements {X∈A}et {Y∈B}sont indépendants, c’est-à-dire
P({X∈A}∩{Y∈B}) = P(X∈A)P(Y∈B)
ou encore
P((X, Y )∈A×B) = P(X∈A)P(Y∈B).
En appliquant cette définition à des intervalles ]− ∞, x]et ]− ∞, y], on voit que l’in-
dépendance de Xet Yentraîne que la fonction de répartition conjointe est le « produit »
(attention toutefois aux variables) des fonctions de répartition marginales. La réciproque
est vraie, et repose sur le fait que les intervalles de ce type engendrent la tribu borélienne
de R. On obtient donc la caractérisation suivante :
Proposition 4
Deux variables aléatoires Xet Ysont indépendantes si et seulement si
∀(x, y)∈R2, FX,Y (x, y) = FX(x)FY(y).
Proposition 5
Soient Xet Ydeux variables aléatoires.
(1) Si Xet Ysont deux variables aléatoires discrètes, elles sont indépendantes si et
seulement si
∀(x, y)∈X(Ω) ×Y(Ω), P ({X=x}∩{Y=y}) = P(X=x)P(Y=y).
(2) Si Xet Ysont deux variables aléatoires conjointement continues, elles sont indé-
pendantes si et seulement si
∀(x, y)∈R2, fX,Y (x, y) = fX(x)fY(y).
♠Démontrer le point (2) grâce à la proposition 3 etàlaproposition 4.
♠Un sens du point (1) est trivial ; démontrer l’autre à l’aide de la σ-additivité
(3ème axiome de Kolmogorov) en décomposant l’évènement {(X, Y )∈A×B}
en une réunion dénombrable d’évènements incompatibles.
2.2 Exemples
♠On effectue n+mlancers indépendants d’une pièce (la probabilité d’obtenir
« pile »est notée p). On note Xle nombre de « pile » dans les npremiers
lancers, Yle nombre de « pile » dans les mderniers. Déterminer les lois de
probabilités de Xet Yet démontrer que Xet Ysont des variables aléatoires
indépendantes. Déterminer la loi de probabilité de la variable Z=X+Y; les
variables Xet Zsont-elles indépendantes ?
4

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques Variables aléatoires simultanées
♠Un homme et une femme se donnent rendez-vous entre 12h et 13h ; leurs mi-
nutes d’arrivée respectives sont notées Het F. On suppose que Het Fsont
deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux la loi uniforme
U([0,60[). Quelle est la probabilité que le premier arrivé attende plus de dix
minutes ?
2.3 Plusieurs variables aléatoires indépendantes
Définition 5
Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires réelles. On dit que X1, . . . , Xnsont in-
dépendantes (ou : mutuellement indépendantes, ou totalement indépen-
dantes) si pour tout choix de boréliens B1, . . . , Bn, on a
P n
\
k=1{Xk∈Bk}!=
n
Y
k=1
P(Xk∈Bk).
3 Sommes de variables aléatoires indépendantes
3.1 Convolution
Soient Xet Ydeux variables aléatoires continues et indépendantes, de densités de
probabilité respectives notées fXet fY.
Théorème 6
Sous ces hypothèses, la variable aléatoire X+Yadmet pour densité de probabilité la
fonction fX∗fY, appelée produit de convolution de fXpar fY, définie par
∀z∈R, fX∗fY(z) = Z+∞
−∞
fX(z−y)fY(y)dy
♠Démontrer ce théorème en caractérisant la fonction de répartition de Z=
X+Yà l’aide de la définition de la densité conjointe du couple (X, Y ), en
invoquant l’indépendance de Xet Yet en utilisant le théorème de Fubini pour
évaluer l’intégrale double. Invoquer alors le théorème de dérivation d’une inté-
grale dépendant d’un paramètre pour trouver la densité de probabilité de Z.
♠Vérifier que fX∗fYest bien une densité de probabilité, c’est-à-dire que c’est
une fonction continue par morceaux positive dont l’intégrale sur Rconverge et
vaut 1.
Le produit de convolution définit une nouvelle opération sur les fonctions positives dont
l’intégrale sur Rconverge. Elle possède les propriétés suivantes (liste non exhaustive).
5