TS DM6 : équation fonctionnelle ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)Page 2G. COSTANTINI
DM 6 ÉTUDE D'UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE : CORRIGÉ TS
1. Si ƒ est la fonction nulle sur I, alors pour tous a et b de I, on a :
ƒ(ab) = 0 et ƒ(a) + ƒ(b) = 0
Donc : ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)
La fonction nulle sur I est bien solution de (E).
2. Comme ƒ est solution de (E), on a, pour tous a et b de I :
ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)
En multipliant par λ : λƒ(ab) = λƒ(a) + λƒ(b)
Donc λƒ est aussi solution de (E).
3. En remplaçant a par 0, l'équation fonctionnelle s'écrit :
pour tout b ∈ I, ƒ(0) = ƒ(0) + ƒ(b)
D'où, pour tout b ∈ I : ƒ(b) = 0
Autrement dit, la fonction ƒ est nulle sur I.
Pour les questions 4 et 5, on suppose que I =
==
= ]0, +
++
+∞
∞∞
∞[ et que ƒ
ƒƒ
ƒ est une solution de (E) sur I.
4. En prenant a = b = 1, l'équation fonctionnelle devient :
ƒ(1) = ƒ(1) + ƒ(1)
D'où : ƒ(1) = 0
5. a. Puisque ƒ est solution de (E), on a :
ƒ(ax) = ƒ(a) + ƒ(x)
D'où, pour tout x ∈ I : ga(x) = ƒ(a)
La fonction ga est donc contante, sur I, égale à ƒ(a).
b. Déjà, la fonction ga est dérivable sur I (car construite à partir des fonctions x ax et ƒ qui le sont).
D'une part, ga étant constante sur I, on a pour tout x ∈ I :
( )
a
g x
′= 0
D'autre part, le théorème de dérivation d'une fonction composée donne, pour tout x ∈ I :
( )
a
g x
′= aƒ'(ax) − ƒ'(x)
D'où l'égalité recherchée.
c. En particularisant x = 1 dans l'égalité précédente, on obtient :
aƒ'(a) = ƒ'(1)
Et comme a n'est pas nul (puisque élément de I) :
ƒ'(a) = (1)
a
′
ƒ
Il existe donc bien un réel k (à savoir k = ƒ'(1)) tel que :
ƒ'(a) = k
a
Ceci montre qu'une fonction dérivable sur ]0, +
++
+∞
∞∞
∞[ qui transforme les produits en sommes vaut 0 en 1 et a
une dérivée proportionnelle à la fonction inverse.