k a (1) 0 il existe un réel tel que : ( ) pour tout k k x x I x ƒ = ′ƒ

DM 6
ÉTUDE D'UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE
TS
Soit I un intervalle. Le but de ce problème est la recherche des fonctions ƒ, définies et dérivables sur I, qui
vérifient l'équation fonctionnelle (E) suivante :
(E) : pour tous a et b de I, ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)
Autrement dit, on recherche toutes les fonctions qui transforment les produits en sommes sur un intervalle donné.
1. La fonction nulle, ƒ = 0 sur I, est-elle solution de (E) ?
2. Démontrer que si ƒ est solution de (E), alors pour tout réel λ, la fonction λƒ est aussi solution de (E).
3. Dans cette question, on suppose que 0 ∈ I. Soit ƒ une solution de (E).
Démontrer qu'alors, pour tout b ∈ I :
ƒ(b) = 0
On constate que si I contient 0, alors seule la fonction nulle est solution de (E). (Ce qui n'est pas très intéressant)
Pour les questions 4 et 5, on suppose que I = ]0, +∞[ et que ƒ est une solution de (E) sur I.
4. A l'aide de valeurs de a et b bien choisies, démontrer que :
ƒ(1) = 0
5. Soit a ∈ I. On considère la fonction ga définie sur I par :
ga(x) = ƒ(ax) − ƒ(x)
a. Démontrer que ga est une fonction constante sur I. (On précisera la valeur de cette constante)
b. En déduire que pour tout x ∈ I :
aƒ'(ax) − ƒ'(x) = 0
c. En déduire qu'il existe un réel k tel que :
ƒ'(a) =
k
a
On a donc démontré qu'une fonction dérivable ƒ qui transforme les produits en sommes sur I = ]0, +∞[ vérifie :
ƒ (1) = 0
( S)
il existe un réel k tel que : ƒ ′( x) =
k
pour tout x ∈ I
x
Nous allons maintenant étudier la réciproque.
6. Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur I = ]0, +∞[ vérifiant (S). Démontrer que ƒ vérifie (E).
(On pourra utiliser la fonction ga définie à la question 5)
TS DM6 : équation fonctionnelle ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)
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ÉTUDE D'UNE ÉQUATION FONCTIONNELLE : CORRIGÉ
TS
1. Si ƒ est la fonction nulle sur I, alors pour tous a et b de I, on a :
ƒ(ab) = 0 et ƒ(a) + ƒ(b) = 0
ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)
Donc :
La fonction nulle sur I est bien solution de (E).
2. Comme ƒ est solution de (E), on a, pour tous a et b de I :
ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)
En multipliant par λ :
λƒ(ab) = λƒ(a) + λƒ(b)
Donc λƒ est aussi solution de (E).
3. En remplaçant a par 0, l'équation fonctionnelle s'écrit :
pour tout b ∈ I, ƒ(0) = ƒ(0) + ƒ(b)
D'où, pour tout b ∈ I :
ƒ(b) = 0
Autrement dit, la fonction ƒ est nulle sur I.
Pour les questions 4 et 5, on suppose que I = ]0, +∞[ et que ƒ est une solution de (E) sur I.
4. En prenant a = b = 1, l'équation fonctionnelle devient :
ƒ(1) = ƒ(1) + ƒ(1)
ƒ(1) = 0
D'où :
5. a. Puisque ƒ est solution de (E), on a :
ƒ(ax) = ƒ(a) + ƒ(x)
D'où, pour tout x ∈ I :
ga(x) = ƒ(a)
La fonction ga est donc contante, sur I, égale à ƒ(a).
b. Déjà, la fonction ga est dérivable sur I (car construite à partir des fonctions x
ax et ƒ qui le sont).
D'une part, ga étant constante sur I, on a pour tout x ∈ I :
g a′ ( x) = 0
D'autre part, le théorème de dérivation d'une fonction composée donne, pour tout x ∈ I :
g a′ ( x) = aƒ'(ax) − ƒ'(x)
D'où l'égalité recherchée.
c. En particularisant x = 1 dans l'égalité précédente, on obtient :
aƒ'(a) = ƒ'(1)
Et comme a n'est pas nul (puisque élément de I) :
ƒ'(a) =
ƒ ′(1)
a
Il existe donc bien un réel k (à savoir k = ƒ'(1)) tel que :
ƒ'(a) =
k
a
Ceci montre qu'une fonction dérivable sur ]0, +∞[ qui transforme les produits en sommes vaut 0 en 1 et a
une dérivée proportionnelle à la fonction inverse.
TS DM6 : équation fonctionnelle ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)
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Dans le question 6, nous allons montrer que, réciproquement, toute fonction dérivable sur ]0, +∞[, valant 0 en 1
et ayant une dérivée proportionnelle à la fonction inverse transforme les produits en sommes.
6. Soit ƒ une fonction dérivable sur I = ]0, +∞[ qui vérifie :
ƒ (1) = 0
(S )
il existe un réel k tel que : ƒ ′( x) =
k
pour tout x ∈ I
x
Considérons la fonction ga définie sur I par :
ga(x) = ƒ(ax) − ƒ(x)
On a déjà vu que cette fonction est dérivable sur I et pour tout x ∈ I :
g a′ ( x) = aƒ'(ax) − ƒ'(x)
Et comme ƒ vérifie (S), cela donne :
g a′ ( x) = a ×
k
k
− =0
ax
x
La fonction ga est donc constante. Or, nous savons que ƒ(1) = 0, donc :
ga(1) = ƒ(a)
La fonction ga est donc constante, égale à ƒ(a) sur I :
ga(x) = ƒ(a)
C'est-à-dire :
ƒ(ax) − ƒ(x) = ƒ(a)
ƒ(ax) = ƒ(a) + ƒ(x)
Ceci étant valable pour tous a et x de I.
Autrement dit, la fonction ƒ transforme les produits en sommes, elle est bien solution de (E).
Information : lorsque k = 1, on récupère la fonction logarithme népérien.
TS DM6 : équation fonctionnelle ƒ(ab) = ƒ(a) + ƒ(b)
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