c
Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/14
Mines Maths 2 PC 2012 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Romain Cosset (Professeur agrégé) et par Guillaume Dujardin (Chercheur INRIA).
Le sujet propose l’étude de l’équation de la chaleur
∂u
∂t (x, t) = ∂2u
∂x2(x, t)sur ] 0 ; π[×] 0 ; +∞[
C’est un problème très classique et très célèbre puisque c’est ce problème qui a
motivé le mathématicien et physicien Joseph Fourier à introduire les séries trigono-
métriques qui portent désormais son nom. L’épreuve se compose de quatre parties.
•Dans une première partie, on s’intéresse à la résolution d’une équation diffé-
rentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants. On procède à une étude
qualitative des solutions en fonction d’un paramètre et on établit certaines pro-
priétés sur l’énergie de la solution. Cette partie est indépendante des autres
même si certaines techniques qui y sont déployées réapparaissent à la toute
dernière question du problème.
•La deuxième partie propose une mise en œuvre très classique de la théorie de
Fourier. On y établit des relations entre les coefficients de Fourier cn(ϕ)d’une
fonction ϕavec ceux de sa dérivée généralisée. On procède alors au calcul de
ces coefficients et on précise le mode de convergence de la série de Fourier.
•Dans la troisième partie, on construit explicitement une solution à l’équation
de la chaleur avec condition initiale et conditions aux limites. La solution est
construite comme une série de fonctions dont on établit certaines propriétés.
Cette partie est hélas lourdement entachée de notions hors-programme alors
que les propriétés à démontrer peuvent s’obtenir en restant dans le cadre du
programme de PC.
•Dans la dernière partie, on démontre l’unicité de la solution de l’équation de la
chaleur avec condition initiale et conditions aux limites. Une première approche
consiste à mettre en œuvre le principe du maximum en s’appuyant sur des tech-
niques de calcul différentiel. Certaines questions sont très difficiles et requièrent
une grande aisance avec les notions du programme. Dans une dernière question,
une autre approche est suggérée, mais elle s’avère toutefois impraticable du fait
d’hypothèses non adaptées.
Le sujet est un peu décevant. L’enjeu du problème qu’est la résolution de l’équa-
tion de la chaleur est un défi passionnant mais les multiples maladresses de l’énoncé,
notamment les incursions hors-programme, dénaturent le travail de recherche du can-
didat. Cependant, ce sujet constitue un très bon problème d’entraînement et permet
d’apprendre à réagir face à des imprévus dans un énoncé.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .