Sommaire Travaux dirigés FONCTIONS – VARIATIONS ET

Sommaire
1. Fonctions dérivables
2. Notion de continuité
3. Propriétés des fonctions continues
4. Fonctions continues et strictement
monotones sur un intervalle
Travaux dirigés
1. Une hypothèse essentielle
2. Utilisation d’une fonction auxiliaire
3. Approximation des solutions
d’une équation fx() k=
Un marcheur a parcouru
10 km en une heure.
Existe-t-il un intervalle d’une demi-
heure pendant lequel il a parcouru
exactement 5 km ?
Voir exercice 98
Le marcheur
FONCTIONS – VARIATIONS ET CONTINUITÉ
FONCTIONS – VARIATIONS ET CONTINUITÉ
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TESTS PRÉLIMINAIRES
TESTS PRÉLIMINAIRES
10
CHAPITRE 1 - FONCTIONS – VARIATIONS ET CONTINUITÉ
Soit g une fonction dérivable sur [– 3 ; 4] dont le
tableau des variations est :
Dire si les informations données permettent
d’affirmer que :
a) ;
b) ;
c) ;
d) Pour tout x de [0 ; 4], ;
e) ;
f) Pour tout x de ]0 ; 2[, ;
g) .
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
a) f: ;
b) f: ;
c) f: ; d) f: ;
e) f: ; f) f: ;
g) f: .
La courbe
Ꮿ ci-dessous représente une fonction f
dérivable sur l’intervalle [– 2,5 ; 5] et certaines de
ses tangentes.
Q.C.M. Une seule proposition est exacte.
1°
2° Lorsque h tend vers 0, le quotient :
a pour limite : .
3° La tangente à
Ꮿ en C a pour équation :
4° La tangente à
Ꮿ en A est parallèle à la droite
d’équation :
5° Pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; 3] :
La fonction f est celle qui est représentée sur le
graphique ci-dessus.
1° Déterminer l’ensemble des solutions des équa-
tions et inéquations suivantes :
a) ; b) ; c)
2° Déterminer, selon les valeurs du réel , le
nombre de solutions de l’équation .
3° Résoudre les équations et inéquations
suivantes :
a) ; b) .
A. Interpréter un tableau des variations
x–3 0 2 4
4–1 10
Voir techniques
de base, p. II.
gx()
g2–()g1()<
g1() g2()<
g2–()g1–()<
gx() 1⭐
g′3() 0>
g′x() 0>
g′2() 0=
B. Calculs de dérivées
Voir techniques
de base, p. VI. x哫5x22x13
x
---+++
x哫3x1
2x
------–
x哫3x4+()x1+x哫3x1+
2x3–
----------------
x哫3x1–x哫2x1–()
3
x哫3x()cos 2x()sin+
C. Tangentes à une courbe
Voir techniques
de base, p. VI.
O
y
ai
aj
A
C
B
af′2–()0=bf′1() 0=cf′3() 0=
f2–h+()f2–()–
h
-----------------------------------------------
a0b+∞c2
ay2x–6+= by1
2
---x–3+= cy2x–=
ay2x=by2x–= cyx
2
---=
af′x() 0⭓bf′x() 0⭐cf′x() 0=
D. Résolution d’équations et d’inéquations
Voir techniques
de base, p. II.
fx() 1–= fx() 0=fx() 0>
λ
fx()
λ
=
f′x() 0=f′x() 0>
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ACTIVITÉS
ACTIVITÉS
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CHAPITRE 1 - FONCTIONS – VARIATIONS ET CONTINUITÉ
La notion de continuité d’une fonction semble assez naturelle par référence au tracé de la courbe représen-
tative qui peut se faire d’un trait continu. Dans ces conditions, le théorème des valeurs intermédiaires (voir
p. 16) est évident.
Le mathématicien et philosophe, d’origine italienne, Bernhard Bolzano
(1781-1848) fut l’un des premiers à rejeter une telle démonstration, qui
fait appel aux concepts du temps et du mouvement, et à comprendre
qu’un tel résultat méritait une démonstration rigoureuse basée sur une
définition précise de la notion de continuité.
Son travail l’amena à distinguer clairement les notions de continuité et
de dérivabilité en un point. Il donna un exemple de fonction continue en
chaque point qui n’est dérivable en aucun point.
Le tracé de la courbe d’une telle fonction est impossible puisque tous
les points sont « des points anguleux ».
De telles courbes sont de même nature que le flocon de Helge VON
KOCH mathématicien suédois du début du XXesiècle : partant d’un
triangle équilatéral de longueur 1, on partage chaque côté en trois
segments de même longueur et on construit un triangle équilatéral sur
le segment du milieu et ainsi de suite sur chaque côté du polygone
obtenu.
Si on réitère indéfiniment la construction, la courbe obtenue possède une infinité de « points anguleux ».
Ces courbes appartiennent au domaine des fractales : objets géométriques qui présentent la même caracté-
ristique à toutes les échelles. On trouve de tels objets dans la nature : par exemple, un chou fleur est constitué
de petits choux, chacun étant formé de choux plus petits, etc.
L’étude de la géométrie fractale a fait l’objet de nombreuses études au cours des cinquante dernières années,
notamment sous l’influence du mathématicien Benoît MANDELBROT, né en 1924.
Math & Co Continuité, dérivabilité, fractales
B. BOLZANO (1781-1848)
Chou Romanesco Ensemble de Mandelbrot
© Hachette© Hachette
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ACTIVITÉS
ACTIVITÉS
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CHAPITRE 1 - FONCTIONS – VARIATIONS ET CONTINUITÉ
Avec une calculatrice, l’instruction nderiv (ou ) permet d’obtenir une valeur approchée du nombre
dérivé d’une fonction en un réel x.
•Sur T.I. : Y2=nderiv(Y1, X, X) •Sur Casio : Y2=d/dx(Y1, X)
1° Soit f la fonction définie sur ⺢ par .
Deux élèves ont calculé la dérivée :
• l’un a trouvé ;
• l’autre .
Qui peut avoir raison ?
Entrer en Y1, la première réponse en Y3 et la seconde en Y4.
Comparer les tableaux de valeurs de Y2, Y3 et Y4, puis conclure.
2° Calculer les dérivées des fonctions suivantes et les vérifier à l’aide
de la calculatrice.
a) ;b) ;
c) ;d) .
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 3] par :
.
1° Résoudre graphiquement les équations :
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
2° En utilisant le graphique, déterminer l’ensemble J
des réels k pour lesquels l’équation admet
au moins une solution dans l’intervalle [0 ; 3].
3° Retrouver algébriquement les résultats précé-
dents.
Activité 1 Dérivées et calculatrices
Activité 2 À la recherche d’antécédents
J est donc l’ensemble de toutes les images par f des
réels appartenant à l’intervalle .
On dit que J est l’image de l’intervalle par f
et on le note .
ddx⁄
Aide :
Consulter les pages
de rabat pour trouver
les instructions. fx() 4x3+
x21+
----------------=
f′
f′x() 12x26x4++
x21+()
2
-----------------------------------=
f′x() 4x2
–6x–4+
x21+()
2
------------------------------------=
fx()
fx() 2xx 1+= fx() x24–
4x
--------------=
fx() 1
4
---1
x2
-----–= fx() x3–2
x3+
------------+=
fx() x22x–2–=
O
y
x
ai
aj
231
1
– 1
– 2
#
Aide :
Les solutions de
l’équation
sont les abscisses des
points d’intersection de
Ꮿ avec la droite
d’équation .
fx() k=
yk=
fx() 0=
fx() 1–=
fx() 4–=
fx() 2=
fx() k=
0; 3[]
0; 3[]
f0; 3[]()
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ACTIVITÉS
ACTIVITÉS
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CHAPITRE 1 - FONCTIONS – VARIATIONS ET CONTINUITÉ
Sur les graphiques ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormal, les courbes repré-
sentatives de trois fonctions u, v et w définies sur l’intervalle .
1° Par lecture graphique, déterminer les ensembles , et .
2° On peut observer que les images de l’intervalle par les fonctions u et w sont des intervalles,
mais qu’il n’en est pas de même pour la fonction v.
À quelle particularité de la courbe ce phénomène est-il dû ?
3° Choisir un intervalle ouvert J contenant .
À l’aide du graphique, représenter sur l’axe des abscisses l’ensemble K des réels x dont l’image par u
appartient à l’intervalle ouvert .
Existe-t-il un intervalle ouvert qui contient 1 et qui est inclus dans K?
Comme la longueur de J peut être aussi petite que l’on veut, cela signifie que est aussi proche de
qu’on le souhaite pour toutes les valeurs x suffisamment proche de 1.
On dit que :
4° En est-il de même pour les fonctions v et w en 1 ?
Le plan est muni d’un repère orthogonal .
1° Construire la courbe représentative d’une fonction f vérifiant les conditions suivantes :
•f est définie et dérivable sur l’intervalle [– 3 ; 3] ;
•f est strictement croissante sur les intervalles [– 3 ; 1] et [2 ; 3] et f est strictement décroissante sur
l’intervalle [1 ; 2] ;
•; ;;; .
2° Répondre aux questions suivantes et donner les justifications en utilisant les conditions vérifiées par la
fonction f.
a) Quelle est la valeur de ?
b) Résoudre graphiquement l’inéquation .
c) L’équation peut-elle admettre plusieurs solutions ?
d) Peut-on affirmer que l’équation admet au moins une solution ?
Activité 3 Images d’intervalles
« Lorsque x tend vers 1, tend vers » et on écrit .
Activité 4 Équations et sens de variation
2; 3–[]
O
#u
–
2 3O
#v
– 2 3 O
#w
– 2 3
y
x
y
x
y
x
ai
aj
ai
aj
ai
aj
Aide :
On peut imaginer
un point M qui décrit
la courbe et observer
l’ensemble décrit par
son ordonnée.
u2; 3–[]()v2; 3–[]()w2; 3–[]()
2; 3–[]
u1()
J
ux()
u1()
ux() u1() ux()
x1→
lim u1()=
O; ai, aj()
Ꮿ
f
f3–() 2–= f1–()2=f2() 2=f3() 3=f′2–()1=
Aide :
On pourra commencer
par un raisonnement
graphique. f′1()
fx() 2>
fx() 1–= fx() 1=
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