Table des matières Introduction. 3 Rappels et compléments. 7 0.1 Espace vectoriel normé. Espace de Banach. . . . . . . . . . . . 7 0.2 Continuité et algébre multilinéaire. . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.3 Le groupe Iso(E,F) et l’application u 7→ u−1 . . . . . . . . . . 11 1 Applications différentiables. 1.1 Différentielle en un point et sur un ouvert U . . . . . . . 1.2 Dérivée directionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dérivée d’une fonction composée. . . . . . . . . . . . . 1.4 Opérations sur les dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Fonctions à valeurs dans un produit d’espaces . . . . . 1.6 Fonctions définies sur un ouvert d’un produit d’espaces 1.7 Combinaison des cas précédents . . . . . . . . . . . . . 2 Théorème des accroissements finis et applications. 2.1 Fonctions à variables réelles. . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions à variable dans un espace de Banach . . . 2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Fonctions strictement différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 15 16 17 18 20 22 . . . . 24 24 26 26 29 3 Difféomorphismes de classe C 1 31 3.1 Définition et propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 4 Dérivées d’ordre supérieur-Formule de Taylor 4.1 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Rappel sur l’intégration des fonctions réglées 4.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Formule de Taylor : Cas particulier . . . . . 4.3.2 Formule de Taylor : Cas général . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36 38 39 39 40 40 41 5 Maxima et Minima Relatifs 5.1 Extrema libres. . . . . . . . . . . . . 5.2 Extrema liés. . . . . . . . . . . . . . 5.3 Convexité et minima. . . . . . . . . . 5.4 Introduction au calcul des variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 47 49 52 6 Equations Différentielles nonlinéaires 6.1 Définitions et théorème de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Dépendance de la valeur initiale dans le cas lipschitzien. . . . 6.2.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Critère de différentiabilité par rapport à u : . . . . . . 6.2.3 Intégrales premières et équations au dérivées partielles. 6.2.4 Existence des intégrales premières : E = Rn . . . . . . 6.3 Equations différentielles dépendant d’un paramètre. . . . . . . 6.3.1 Différentiabilité par rapport au paramètre. . . . . . . . 6.3.2 Equations non homogènes. . . . . . . . . . . . . . . . . 54 54 54 54 58 58 59 60 61 62 62 64 7 Equations Différentielles linéaires 7.1 Défintions et théorème d’existence. . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Equations différentielles linéaires à coefficients constants. . . 7.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Cas où E est de dimension finie : . . . . . . . . . . . 7.3.4 Équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 66 68 69 69 69 70 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Introduction. Nous commençons par des rappels sur la notion de dérivée dans le cas le plus simple des fonctions à variables réelles et valeurs réelles. Définition 0.0.1. (fonction réelle dérivable) Soit I un intervalle ouvert de R et f : I → R une fonction réelle. f (x) − f (a) , On dit que f est dérivable en a ∈ I si et seulement si le rapport x−a admet une limite lorsque x tend vers a. Cette limite, comme toute limite de fonction si elle existe est alors unique ; on la note f 0 (a). Il s’agit ici d’un nombre réel. On dit que f 0 (a) est la dérivée de f en a. Si f est dérivable en tout point a de I, on en déduit une fonction I 3 a → f 0 (a) ∈ R, appelée fonction dérivée de f . Remarquons que, dire que f est dérivable en a, équivaut à dire qu’il existe un réel f 0 (a), tel que la fonction I\{a} 3 x 7→ 1 [f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)] ∈ R x−a tend vers 0 lorsque x tend vers a. Ceci revient encore à dire qu’il existe un réel f 0 (a) et une fonction a : I → R qui tend vers 0 lorsque x tend vers a tels que : ∀x ∈ I : f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a) = (x − a)a (x) (∗) Interprétation géométrique. f 0 (a) est la pente de la tangente au graphe de f au point (a, f (a)). 3 Définition 0.0.2. (fonction à valeurs dans R2 ) On dit que l’application f : Ω → R2 est dérivable en a si et seulement si 1 la fonction Ω\{a} 3 a 7→ [f (x) − f (a)] ∈ R2 admet une limite en a x−a → − dans R2 (nécessairement unique et noté f 0 (a)), ou de façon équivalente si et → − seulement si il existe un vecteur f 0 (a) ∈ R2 et une application a : Ω → R de limite nulle en a, tel que : → − ∀x ∈ Ω : f (x) − f (a) = f 0 (a)(x − a) + |x − a|a (x) (∗∗) Interprétation géométrique. 4 Remarque 0.0.3. 1. Dans cette définition, la norme de R2 intervient (la notion de limite dépend a priori de la norme choisie sur R2 ), la notion de dérivabilité et de dérivée en un point dépend donc a priori de la norme que l’on se donne sur R2 . Mais dans le cas de R2 toutes les normes étant équivalentes, la dérivabilité et la dérivée de f en un point sont indépendantes de la norme choisie. 2. La définition de dérivabilité (∗∗) n’a plus de sens dès que f est définie sur un espace vectoriel quelconque E, puisque dans ce cas le produit → − (x − a). f 0 n’a plus de sens ! 3. Le but de ce cours est de donner une notion pertinente de ”dérivée”, pour les applications à variables dans un espace vectoriel normé E de dimension > 1. Pour cela, on remarquera que l’application → − L : K 3 x 7→ x. f 0 ∈ F est linéaire, sur ce modèle on remplacera donc dans le cas générale la définition (∗∗) par : ”il existe une application linéaire La : E → F , et une application pa : Ω → F qui tend vers 0F lorsque sa variable tend vers 0E , telles que : 5 ∀x ∈ Ω : f (x) − f (a) = La (a)(x − a) + kx − akpa (x − a). ” Cependant, lorsque la dimension de E est infinie, il se peut qu’une telle application linéaire La ne soit pas continue en 0E . On réclamera alors, dans la définition ci-dessus, afin qu’elle soit plus forte que la continuité de f en a, que l’application linéaire La soit continue. 6 Rappels et compléments. 0.1 Espace vectoriel normé. Espace de Banach. Définition 0.1.1. Soit E un espace vectoriel sur un corps K (= R ou C). On appelle norme sur E toute application ρ : E → R+ ayant les propriétés suivantes : – ρ(x) = 0 ⇔ x = 0 – ρ(λx) = |λ|ρ(x), ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E – ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y), ∀x, y ∈ E On note souvent ρ(x) = kxk. Normes équivalentes : Définition 0.1.2. Deux normes ρ1 et ρ2 sur un espace vectoriel E sont dites équivalentes s’il existe deux constantes strictement positives M et m telles que ∀x ∈ E, mρ1 ≤ ρ2 ≤ M ρ1 . Remarque 0.1.3. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Exemple 0.1.4. Si E = Rn , {e1 , ..., en } est une base de E et ρ est une norme sur E, on a |ρ(x) − ρ(y)| ≤ ρ(x − y) ≤ n X i=1 avec x = n P i=1 xi ei et y = n P yi ei . i=1 7 |xi − yi |ρ(ei ), On en déduit que ρ est continue sur Rn muni de la norme euclidienne vers R et par suite elle est bornée sur la boule unité fermée. Il existe donc m et M vérifiant ∀x ∈ B(0, 1), m ≤ ρ(x) ≤ M. Par conséquent ∀x ∈ E, mkxk ≤ ρ(x) ≤ M kxk. Donc toute norme sur Rn est équivalente à la norme euclidienne. Un espace vectoriel normé E (e.v.n) est un e.v muni d’une norme. Soit d la distance définie par d(x, y) = kx − yk, alors (E, d) est un espace métrique. Si (E, d) est complet, on dit que E est un espace de Banach. Si de plus la norme de E est issue d’un produit scalaire, E est dit espace de Hilbert Définition 0.1.5. (continuité dans les evn). Soient (E, k.kE ) et (F, k.kF ) deux e.v.n, Ω un ouvert de E, a ∈ Ω et f : Ω → F une application. on dit que f est continue en a si et seulement si : ∀ > 0, ∃η , tel que ∀x vérifiant kx − ak ≤ η , on ait : kf (x) − f (a)k ≤ . Clairement, la définition ci-dessus montre que la notion de continuité en un point dépend des normes que l’on se donne sur E et F . Remarque 0.1.6. Soient E et F deux e.v.n, f : E → F est une application continue si et seulement si ∀(xn )n ∈ E / xn → x alors f (xn ) → f (x) 0.2 Continuité et algébre multilinéaire. Proposition 0.2.1. L’espace des fonctions linéaires et continues de E vers F , L(E, F ) muni de la norme kf kL(E,F ) = sup kf (x)kF = sup kxkE ≤1 x6=0 kf (x)k kxk est un espace de Banach. Proposition 0.2.2. Soit f : E → F une application linéaire, alors on a : f est continue ⇔ ∃k > 0 / kf (x)k ≤ kkxk, pour tout x de E. 8 Cas particulier : 1) Si E = R, alors L(E, F ) est isomorphe à F par l’application φ : L(E, F ) → F ϕ → ϕ(1) = φ(ϕ) 2) Si F = R, alors L(E, F ) est l’espace dual de E ou l’ensemble des formes linéaires sur E. Proposition 0.2.3. Si E est de dimension finie, alors E est complet et toute application linéaire f : E → F , où F est un e.v.n est continue. Définition 0.2.4. (applications multilinéaires). Soient E1 , ..., En et F des e.v.n sur K(= R ou C). On dit qu’une application L : E1 × .... × En → F est n−linéaire ssi L est linéaire sur chaque facteur, c’est-à-dire ssi pour tout j ∈ {1, ..., n}, pour tout (a1 , ..., an ) ∈ E1 × .... × En , l’application Laj : Ej → F h → Laj (h) = L(a1 , ..., aj−1 , h, aj+1 , ..., an ) est linéaire. Remarque 0.2.5. Lorsque n = 1, on retrouve la définition d’une application linéaire (1−linéaire). Exemple 0.2.6. • L’application L : R × R → R définie par L(x, y) = xy (i.e le produit dans R) est une application 2−linéaire (on dit bilinéaire) sur R. • L’application L : R2 × R2 → R définie par L(~h, ~k) = 3h1 k1 − 5h2 k2 + h1 k2 , où ~h = (h1 , h2 ) et ~k = (k1 , k2 ) est une application bilinéaire sur R2 . En effet ~ fixons ~k = (a, b) ∈ R2 . L’application Lk : R2 → R définie par ~h = (h1 , h2 ) → ~ Lk (~h) = L(~h, ~k) = 3h1 a − 5h2 b + h1 b est linéaire en ~h et pour ~h = (a, b) ∈ R2 . ~ ~ L’application Lh : R2 → R définie par ~k = (k1 , k2 ) → Lh (~k) = L(~h, ~k) = 3ak1 − 5bk2 + ak2 est linéaire en ~k. • Soit E = C00 l’espace vectoriel des suites réelles nulles à partir d’un certain +∞ P rang, et L : E × E → R définie par L(~u, ~v ) = uj vj (cette somme est i=0 finie, car la suite ~u = (u0 , u1 , ..., ) et ~v = (v0 , v1 , ..., ) sont nulles à partir d’un certain rang). L est bilinéaire. 9 On suppose maintenant que chaque espace vectoriel E1 , ..., En , F de la définition ci-dessus est un espace vectoriel normé, par la norme (respectivement) : k.kE1 , ..., k.kEn , k.kF . On munit alors E1 × ... × En de la norme k(x1 , ..., xn )k = max{kx1 kE1 , ..., kxn kEn }. Exercise 0.2.7. Montrer que k.k est bien une norme sur E1 ×...×En . Montrer ensuite que cette norme est équivalente aux normes r n k.k1 et k.k2 définie par : n P P kxi k2Ei . Dans le cas où k(x1 , ..., xn )k1 = kxi kEi et k(x1 , ..., xn )k2 = i=1 i=1 n = 2 et E1 = E2 = R, représenter la boule unité de R × R associée à la norme k.k. Exercise 0.2.8. Montrer que l’application bilinéaire L : R2 × R2 → R de l’exemple ci-dessus est une application qui vérifie : il existe un réel Λ ≥ 0 tel que quel que soit (~h, ~k) ∈ R2 × R2 ; |L(~h, ~k)| ≤ Λk~hkR2 .k~kkR2 ≤ Λk(~h, ~k)k2 , k.kR2 étant la norme euclidienne de R2 . En déduire que L est continue. Théorème 0.2.9. Soient E1 , ..., En et F des e.v.n et soit L : E1 × ... × En → F une application n-linéaire. On munit E1 ×...×En de la norme k(h1 , ..., hn )k = max (kh1 kE1 , ..., khn kEn ). j=1,...,n Les propriétés qui suivent sont équivalentes : 1. 2. 3. 4. 5. L L L L Il est continue sur E1 × ... × En . est continue seulement en (0E1 , ..., 0En ). est bornée sur B1 × ... × Bn , où Bj désigne la boule unité de Ej . est bornée sur S1 × ... × Sn , où Sj désigne la sphère unité de Ej . existe un réel Λ > 0, tel que pour tout (x1 , ..., xn ) ∈ E1 × ... × En , kL(x1 , ..., xn )k ≤ Λkx1 k...kxn k Définition 0.2.10. On note L(E1 , ..., En ; F ) l’espace vectoriel des applications n-linéaires continues. Pour tout L ∈ E1 × ... × En , on définit la norme de L par : kL(x1 , ..., xn )k kLk = sup (x1 ,...,xn )∈E1 \{0}×...×En \{0} kx1 k...kxn k Noter que par multilinéairité : kLk = kL(x1 , ..., xn )k (x1 ,...,xn )∈B1 \{0}×...×Bn \{0} kx1 k...kxn k sup 10 Exercise 0.2.11. Montrer que kLk est une quantité qui est bien définie (ie kLk = 6 ∞), en montrant que kLk = inf{Λ vérifiant la propriété 5 du théorème précédent}. Théorème 0.2.12. k.k est une norme sur L(E1 , ..., En ; F ). Remarque 0.2.13. Par l’exercice 0.2.8, pour tout (x1 , ..., xn ) ∈ E1 × ... × En , kL(x1 , ..., xn )kF ≤ kLk.kx1 kE1 ...kxn kEn . Théorème 0.2.14. Si E1 , ..., En sont de dimensions finies, toute application n-linéaire L : E1 × ... × En → F est continue (en particulier toute application linéaire qui part d’un espace de dimension finie est lipschitzienne). 0.3 Le groupe Iso(E,F) et l’application u 7→ u−1 Dans l’optique d’étudier l’existence de certains inverses, nous avons besoin de rappeler des résultats sur les séries convergentes dans les espaces de Banach. Définition P 0.3.1. Soit (un )n une suite dans un espace P de Banach E. On dit la série un est normalement convergente si la série kun k est convergente n dans Rn . Théorème 0.3.2. Si une série est normalement convergente, alors elle est convergente. Démonstration. Ceci se justifie par l’inigalité k X un k ≤ X kun k, et donc le fait d’être de Cauchy pour l’une dans R implique que l’autre est aussi de cauchy mais cette fois-ci dans l’espace E qui est de Banach. 11 Nous avons les deux propositions suivantes : Proposition 0.3.3. Si E est un espace de Banach, alors L(E, E) est de Banach et si u ∈ L(E, E) est tel que kuk < 1, alors 1 − u est inversible. Démonstration. Le premier point a déjà été établi P précédemment. Soit u tel que kuk < 1. La série un est convergente car elle est normalement ∞ P convergente et si on pose v = un , alors v vérifie n=0 uv = vu = ∞ X un . n=1 Par suite, Id = v − uv = (Id − u)v = u = v − vu = v(Id − u) ce qui prouve que 1 − u est inversible. Proposition 0.3.4. 1. Iso(E, F ) est un ouvert de L(E, E). (F est supposé de Banach) 2. L’application u 7→ u−1 est continue. Démonstration. Pour montrer qu’il s’agit d’un ouvert, il suffit de montrer que u−1 0 u est inversible si u est proche de u0 ∈ L(E, E). D’après le résultat précédent, il suffit de vérifier que k1 − u−1 0 uk < 1 si u est suffisamment proche de u0 . −1 −1 Or 1 − u0 u = u0 (u0 − u), d’où en passant aux normes −1 k1 − u−1 0 uk ≤ ku0 kku0 − uk. 1 , alors on aura u−1 Ainsi si on suppose que ku0 − uk < ku−1 0 u inversible et 0 k par suite u est inversible. Pour l’autre point, on pose u = u0 (1 − v) avec kvk < 1. On a u−1 = (1 − v)−1 u−1 0 , d’où on déduit −1 ku−1 0 −u k ≤ kuk 1 − kvk (∗) −1 et quand u tend vers u0 , v tend vers 0 (v = 1−u−1 0 ) donc kvk ≤ ku0 kku0 −uk) −1 et, en vertu de (∗), u−1 tend vers u0 . D’où la continuité. 12 Chapitre 1 Applications différentiables. 1.1 Différentielle en un point et sur un ouvert U. Définition 1.1.1. Soient E et F deux e.v.n et U un ouvert de E. Une application f : U → F est dite différentiable en un point a ∈ U s’il existe une application L ∈ L(E, F ) telle que kf (a + u) − f (a) − L(u)k = o(kuk). (1.1) L est appelée la dérivée de f au point a et noté f 0 (a), ou Df (a) Remarque 1.1.2. Si f est différentiable en a alors sa dérivée en a est unique. En effet supposons que f admette deux dérivées L et K ∈ L(E, F ), au point a on aura alors : k(L − K)k = o(kuk) i.e ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que kuk ≤ δ ⇒ k(L − K)k ≤ εkuk. x Alors ∀x ∈ E, x 6= 0 en prenant u = δ on obtient k(L − K)(x)k = 0. kxk Définition 1.1.3. On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en tout point de U . On peut alors définir l’application dérivée de f f 0 : U → L(E, F ) a → f 0 (a) Remarque 1.1.4. Si f est différentiable en a alors f est continue en a. Cela découle de (1.1) et de la continuité de f 0 (a). 13 Exemple 1.1.5. 1. Si E = R on a L(E, F ) ' F (f → f (1)) f est différentiable en a ⇔ ∃c ∈ F tel que kf (a + u) − f (a) − uck = o(kuk). 2. Si f est linéaire alors f 0 (a) = f pour tout a. 3. Soit E un e.v.n et U un ouvert de E. Si f : U → F est constante, elle est différentiable sur U , et f 0 (u) = 0, pour tout u de U . Proposition 1.1.6. Soient E1 , ..., En , F , des espaces vectoriels normés, n ≥ 1, et f : E1 × ... × En → F une application n−linéaire continue. Alors f est différentiable et sa différentielle est : Df(a) : E1 × ... × En → F (~h1 , ..., ~hn )) → f (~h1 , a2 , ..., an ) + ... + f (a1 , ..., an−1 + ~hn ) Démonstration. Si f : E1 × ... × En → F est une application multilinéaire continue. f (a+~h)−f (a) = f ((a1 , ..., an )+(~h1 , ..., ~hn ))−f (a1 , ..., an ) = f (~h1 , a2 , ..., an )+ ... + f (a1 , ..., an−A + ~hn ) + f ∗ , où f ∗ est une somme de termes du type f (∗1 , ..., ∗n ), avec au moins deux hj comme argument, et des ak pour compléter. Or (~h1 , ..., ~hn ) 7→ f (~h1 , a2 , ..., an ) + ... + f (a1 , ..., an−1 , ~hn ) est linéaire continue et kf (∗1 , ..., ∗n )k ≤ kf k.k~hkk .(max kaj k)n−k , où k(≥ 2) j est le nombre de composantes de ~h figurant dans f (∗1 , ..., ∗n ). En notant A = max(max kaj k)n−k , on obtient : kf (∗1 , ..., ∗n ) ≤ kf k.k~hkk .A, k j avec k ≥ 2. Enfin comme le nombre de termes du type f (∗1 , ..., ∗n ) dans f ∗ ne dépend que de n (il est égale à 2n − 1 − n), on a montré que kf ∗ k = k~hk.(~h), avec (~h) → 0 quand ~h → 0. Définition 1.1.7. On dit que f : U → F est continûment différentiable sur U ou de classe C 1 sur U si • f est différentiable sur U , et • f 0 : U → L(E, F ) est continue. Soient (E, k.k) et (F, k.k0 ), U un ouvert de E et f : U → F continue. Mu0 nissons E de la norme k.k1 équivalente à k.k et F de la norme k.k1 équivalente 14 0 à k.k alors U reste ouvert, f reste continue et nous avons : Proposition 1.1.8. Si f est différentiable en un point a de U pour les anciennes normes, f l’est aussi pour les nouvelles normes et sa dérivée est la même. 1.2 Dérivée directionnelle. Définition 1.2.1. Soit f : U → F et a ∈ U . On dit que f admet au point a une dérivée directionnelle suivant la direction h ∈ E si et seulement si l’application t → f (a + th) de variable scalaire est dérivable en 0 ∈ K. Si cette dérivée existe, en tant que limite, elle est unique ; on la note alors D~h f (a). Exemple 1.2.2. y3 si x 6= 0 et x f (0, y) = 0. Cette fonction admet des dérivées directionnelles suivant toutes les directions à l’origine, cependant f n’est pas continue en (0, 0). Soit en effet ~h = (a, b) ∈ R2 , f ((0, 0)+t~h)−f (0, 0) = f (ta, tb) = t3 b3 /ta si a 6= 0, et 0 si a = 0. Donc quel soit ~h, D~h f (0, 0) existe et vaut 0. Or la fonction R 3 t 7→ γ(t) = (t3 , t) ∈ R2 est continue en t = 0 et γ(0) = (0, 0). Donc si f était continue en (0, 0), f ◦ γ serait continue en 0. Mais (f ◦ γ)(t) = 1 et (f ◦ γ)(0) = 0 : lim(f ◦ γ)(t) 6= (f ◦ γ)(0) a) Soit f : R2 → R définie par (x, y) 7→ f (x, y) = t→0 et f n’est pas continue en (0, 0). b) Exemple de fonctions non différentiables en un point, mais continue et admettant qu’en ce point toutes ses dérivées directionnelles D~h ν(a) sont linéaires et continues par rapport à ~h : f : R2 → R xy 2 si (x, y) 6= (0, 0), et f (0, 0) = 0 (x, y) 7→ f (x, y) = 4 x + y4 g : R2 → R (x, y) 7→ k(x, y)k2 si y = x2 , et f (0, 0) = 0 sinon 15 Nous allons maintenant vérifier que la différentiabilité est une notion plus forte que l’existence des dérivées directionnelles suivant toutes les directions. Supposons f différentiable en a. Pour tout t suffisamment petit, a + t.~h ∈ U , puisque U est un ouvert de E, nous pouvons alors écrire : f (a + t.~h) − f (a) = t.La (~h) + |t|.k~hk.a (a + t.~h) de sorte qu’en faisant tendre t vers 0, on obtient l’existence de la dérivée directionnelle D~h f(a) , et La (~h) = D~h f(a) . D’où la proposition : Proposition 1.2.3. Si f est différentiable en a, f admet en a des dérivées directionnelles suivant toutes les directions, la différentielle La (et par conséquent l’application a ) est unique, on la note Df(a) et on a l’égalité : Df(a) (~h) = D~h f(a) 1.3 Dérivée d’une fonction composée. Théorème 1.3.1. Soient E, F, G trois espaces vectoriels normés, U un ouvert de E et V un ouvert de F . Soient f : U → F , g : V → G, a ∈ U et b = f (a) ∈ V . Si f est différentiable au point a et si g est différentiable au point b = f (a), alors h = g ◦ f est différentiable au point a et on a : h0 (a) = g 0 (b) ◦ f 0 (a) Démonstration. On a : f (a + u) − f (a) − f 0 (a)u = ϕ(u) où kϕ(u)k = o(kuk) et g(b + v) − g(b) − g 0 (b)v = ψ(v) où kψ(v)k = o(kvk) d’où g(f (a + u)) − g(f (a)) − g 0 (b).[f (a + u) − f (a)] = ψ(f (a + u) − f (a)) c’est à dire h(a + u) − h(a) − g 0 (b).[f 0 (a).u + ϕ(u)] = ψ(f (a + u) − f (a)) donc h(a + u) − h(a) − (g 0 (b) ◦ f 0 (a)).u = ψ(f (a + u) − f (a)) + g 0 (b)ϕ(u) 16 il suffit donc de démontrer que kg 0 (b)ϕ(u) + ψ(f (a + u) − f (a))k = o(kuk) or kϕ(u)k kg 0 (b)ϕ(u)k ≤ kg 0 (b)k. → 0 lorsque kuk → 0 kuk kuk et kψ(f (a + u) − f (a))k kψ(f (a + u) − f (a))k kf (a + u) − f (a)k = . kuk kf (a + u) − f (a)k kuk | {z } ↓ 0 et lorsque u → 0. kf (a + u) − f (a)k kϕ(u)k ≤ kf 0 (a)k + kuk kuk kg 0 (b)ϕ(u)k kψ(f (a + u) − f (a))k kg 0 (b)ϕ(u) + ψ(f (a + u) − f (a))k ≤ + kuk kuk kuk 1.4 Opérations sur les dérivées. Proposition 1.4.1. Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur K, et a ∈ E. Si U est un ouvert de E, f, g : U → F deux applications différentiables en a, et si λ ∈ K, alors f +g et λ.f sont aussi différentiables en a, et (f +g)0 (a) = f 0 (a)+g 0 (a), (λf )0 (a) = λf 0 (a). On en conclut que l’ensemble des applications différentiables en un point a de E est un sous espace vectoriel de l’espace des applications continues en a, on le note D(a). De plus, l’application qui a chaque f ∈ D(a) associe f 0 (a) est une application linéaire. Même énoncé pour les applications différentiables sur un ouvert donné de E. Démonstration. La preuve se fait directement en écrivant la définition de différentiabilité. Proposition 1.4.2. (Dérivée d’un produit de deux applications) Soit f, g : U ⊂ E → R où C deux applications différentiables sur U . On 17 définit l’application produit f g de la manière suivante : fg : U ⊂ E → R x → f (x)g(x), alors f g est différentiable et (f g)0 (x) = f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x) Démonstration. On décompose f g en : γ :U →R×R x → (f (x), g(x)), et ϕ:R×R→R (f (x), g(x)) → f (x).g(x), Alors on a • γ est différentiable et γ 0 (x) = (f 0 (x), g 0 (x)) • φ est bilinéaire et continue donc différentiable et on a ϕ0 (a, b)(h1 , h2 ) = ϕ(a, h2 ) + ϕ(h1 , b) • f g = φ ◦ γ donc f g est différentiable et on a (f g)0 (x) = φ0 (γ(x)) ◦ γ 0 (x). = φ0 (f (x), g(x)).(f 0 (x), g 0 (x)) = φ(f 0 x), g 0 (x)) + φ(f 0 (x), g(x)) = f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x) 1.5 Fonctions à valeurs dans un produit d’espaces Soient F = F1 × F2 × ... × Fk , et U ⊂ E ouvert. On définit les applications linéaires et continues φi : F → Fi qi : F i → F y = (y1 , ..., yk ) 7→ yi yi 7→ (0, 0, .., yi , 0, .., 0) k P On a alors φi ◦ qi = 1Fi et qi ◦ φi = 1F i=1 Proposition 1.5.1. Soit f : U → F continue et a ∈ U . f est différentiable en a ⇔ ∀i fi = φi ◦ f : U → Fi est différentiable en a, k P 0 et alors f 0 (a) = qi ◦ fi (a) i=1 18 Démonstration. (⇒) si f est différentiable en a. fi = φi ◦ f est différentiable en a et on a : 0 0 fi (a) = φi (f (a)) ◦ f 0 (a) = φi ◦ f 0 (a) k X qi ◦ i=1 fi0 (a) = k X qi ◦ φi ◦ f 0 (a) = f 0 (a) i=1 (⇐) si fi est différentiable, k k P P on a f = qi ◦ fi est différentiable et f 0 (a) = qi ◦ fi0 (a). i=1 i=1 Exercise 1.5.2. Soit f : U → F une application, où E et F sont deux espaces vectoriel normés, F étant de dimension finie, et où U est un ouvert de E. Soient, a ∈ U et EF = (~e1 , ..., ~em ) une base de F . Si on écrit f (x) = f1 (x).~e1 + ... + fm (x).~em (les composantes de f (x) dans la base EF ), cette écriture définit les composantes (fj )j∈{1,...,m} de f dans la base de EF , m P i.e : f = fj ~ej . Montrer que f est différentiable en a si et seulement si fj j=1 le sont et montrer qu’alors Df (a) = m P Dfj (a)~ej . j=1 Considérons maintenant le cas où E et F sont de dimensions respectives n et m, et choisissons un couple de bases EE et EF , pour respectivement E et F . Soient alors U un ouvert de E et f : U → F une application différentiable en a. Sa différentielle Df (a) : E → F étant une application linéaire de E dans F , on peut lui associer une unique matrice n × m qui la représente, dans les bases EE et EF . Notons-la J(f )(EE ,EF ) (a) ou plus simplement J(f )(a), sans ambiguité. Si ~h = (h1 , ..., hn ) est un vecteur de E écrit dans EE , on a : h1 [Df (a)(~h)]EF = J(f )(a) ... hn Par l’exercice précédent : m X [Df (a)(~h)]EF = [ j=1 Df1 (a)(~h) .. = = J(f )(a) . Dfm (a)(~h) Dfj (a)(~h)~ej ]EF 19 h1 .. . hn de sorte que l’élément de J(f )(a) qui se trouve à la j eme ligne et la k eme ∂fj (a). colonne est Dfj (a)(~ek ) = D~ek fj (a) = ∂xk Théorème 1.5.3. Soient E et F deux espaces vectoriels normés de dimension respectivement n et m, U un ouvert de E, a ∈ U et f : U → F une application différentiable en a. Si on fixe deux bases EE et EF respectivement de E et F , la matrice associée à Df (a) : E → F dans ces bases est notée Jac(f )(a). On l’appelle la matrice jacobienne de f en a. Ces coefficients sont donnés par : ∂f1 ∂f1 ∂x1 (a) . . . ∂xn (a) .. .. .. . Jac(f )(a) = . . . ∂fm ∂fm (a) . . . (a) ∂x1 ∂xm où fj est la j eme composante de f dans EE . Le théorème 1.3.1 donne immédiatement (dim(G)=p) : ∂g1 ∂g1 ∂f1 ∂f1 ∂y1 (f (a)) . . . ∂ym (f (a)) ∂x1 (a) . . . ∂xn (a) .. .. .. .. ... ... . Jac(g◦f )(a) = . . . . ∂gp ∂fm ∂gp ∂fm (f (a)) . . . (f (a)) (a) . . . (a) ∂y1 ∂ym ∂x1 ∂xm 1.6 . Fonctions définies sur un ouvert d’un produit d’espaces Soient E = E1 × ... × En , où Ei sont des e.v.n, i = 1, ..., n et U un ouvert de E. Soit f : U → F une application continue. Pour chaque a = (a1 , ..., an ) ∈ E, on considère l’injection γi : Ei → F définie par γi (xi ) = (ai , ..., ai−1 , xi , ai+1 , ..., an ) L’application composée f ◦ γi est appelée ieme application partielle au point a. Si f est différentiable au point a, alors pour tout i avec 1 ≤ i ≤ n, f ◦ γi est 20 ∂f ∂f (a) sa dérivée ( (a) ∈ L(Ei , F )) ∂xi ∂xi qu’on appelle ieme dérivée partielle de f en a. On a d’autre part : différentiable au point ai et on note f 0 (a)(h1 , ..., hn ) = n X ∂f (a).hi ∂x i i=1 En effet γi (xi ) = (0, ..., 0, xi , 0, ..., 0) + (a1 , a2 , ..., 0, ...an ) 0 donc γi (xi ) = ri où ri (xi ) = (0, ..., 0, xi , 0, ..., 0) et (f ◦ γi )0 (ai ) = f 0 (a) ◦ ri ⇒ n X ∂f (a) ◦ pi = f 0 (a) avec pi (x) = xi . ∂x i i=1 Proposition 1.6.1. Si f est différentiable dans U alors ∂f f est de classe C 1 ⇔ : U → L(Ei , F ) sont continues. ∂xi Démonstration. (⇒) Soit L : L(E, F ) → L(Ei , F ) ϕ 7→ ϕ ◦ ri alors L est linéaire et continue et on a : ∂f (a) = f 0 (a) ◦ ri = (L ◦ f )0 (a). ∂xi (⇐) Soit r : L(Ei , F ) → L(E, F ) ϕ 7→ ϕ ◦ pi alors r est linéaire et continue et on a : n n X X ∂f ∂f f (a) = (a) ◦ pi = r◦ (a) ∂x ∂x i i i=1 i=1 0 Remarque 1.6.2. Si E = Rn , la ieme dérivée partielle de f au point a n’est autre que la dérivée directionnelle de f dans la direction ei ∂f f (a + tei ) − f (a) (a) = lim t→0 ∂xi t Il en est de même si E est de dimension finie de base E = (e1 , ..., en ). 21 Exemple 1.6.3. • Calculons la deuxième dérivée partielle de f : R3 → R, définie par f (x, y, z) = sin(xy) − z/y 2 , relativement à la base canonique de R3 , au point (1, 1, 1). Pour cela on fixe les premières et troixième coordonnées de (x, y, z) dans la base canonique et on libère la deuxième. On obtient la deuxième fonction partielle de f en (1, 1, 1) : R 3 y 7→ f (1, y, 1) = ∂f (1, 1, 1) est la dérivée de cette fonction en y = 1, soit sin(y) − 1/y 2 . ∂x2 ∂f (1, 1, 1) = cos(1) + 2 ∂x2 • Soit E l’espace vectoriel des polynômes d’une seule variable et de degré ≤ 2. Cet espace est de dimension 3. Soit la base E = (~e1 = 1, ~e2 = X, ~e3 = X 2 ) de E. On considère l’application f : E → R, définie par E 3 P (X) = α0 +α1 X +α2 X 2 7→ sin(α2 )+cos(α1 )+cos(α0 )α03 ∈ R. Calculons la troixième dérivée partielle de f dans la base E au point Q = 1 + X 2 . La troixième application partielle de f en Q est : R 3 x 7→ f (Q+x.X 2 ) = f (1+(1+x)X 2 ) = ∂f (Q) = 4 cos(1) sin(1 + x) + cos(1)(1 + x)3 . Sa dérivée en x = 0 est donc ∂~e3 1.7 Combinaison des cas précédents Si f : U → F1 × ... × Fn avec U ⊂ E1 × ... × En pi : E → Ei q i : Fi → F x 7→ xi yi 7→ (0, 0, .., yi , 0, .., 0) On a alors, si on suppose que f est dérivable en a ∈ U : 0 f (a) = n X k X qi ◦ j=1 i=1 où ∂fi (a) ◦ pj ∂xj ∂fi (a) ∈ L(Ej , Fi ). ∂xj Exercise 1.7.1. Montrer que l’application f :U ⊂E→F u → u−1 est différentiable, où E = L(X, Y ), F = L(Y, X) et U = Iso(X, Y ). 22 Supposons que f est différentiable, et considèrons l’application φ : E × F → L(X, Y ) (u, v) → v ◦ u φ est bilinéaire et continue et on a φ(u, f (u)) = idX , donc φ0 (u, v)(h1 , h2 ) = φ(u, h2 ) + φ(h1 , v) φ(u, f 0 (u)).(h, f 0 (u).h) = 0 φ(u, f 0 (u).h) + φ(h, f (u)) = 0 (f 0 (u).h) ◦ u = −f (u) ◦ h f 0 (u).h = −u−1 ◦ h ◦ u−1 Montrons maintenant que f est différentiable. Soit u ∈ U . On a (u + h)−1 − u−1 = [(u + h)−1 ◦ u − IX ]u−1 = (u + h)−1 (u − u − h)u−1 = −(u + h)−1 ◦ h ◦ u−1 d’où kf (u + h) − f (u) + u−1 ◦ h ◦ u−1 k = k − (u + h)−1 ◦ h ◦ u−1 + u−1 ◦ h ◦ u−1 k = k[u−1 − (u + h)−1 ] ◦ h ◦ u−1 k ≤ k[u−1 − (u + h)−1 ]kkhkku−1 k comme u → u−1 est continue kf (u + h) − f (u) + u−1 ◦ h ◦ u−1 k = o(khk). Donc f est différentiable et f 0 (u).h = −u−1 ◦ h ◦ u−1 23 Chapitre 2 Théorème des accroissements finis et applications. 2.1 Fonctions à variables réelles. Théorème 2.1.1. Soient a, b ∈ R, a < b, et f : [a, b] → F , g : [a, b] → R deux applications continues sur [a, b] et différentiables sur ]a, b[ telles que : kf 0 (x)k ≤ g 0 (x), a < x < b. Alors on a : kf (b) − f (a)k ≤ g(b) − g(a). Démonstration. Soit ε > 0 et U = {x ∈ [a, b]/kf (x) − f (a)k > g(x) − g(a) + ε(x − a) + ε}. Montrons que U est vide. (Ensuite prendre x = b et ε → 0) – U est un ouvert, en effet U = {x ∈ [a, b]/ϕ(x) > 0} avec ϕ(x) = kf (x)− f (a)k − g(x) + g(a) − ε(x − a) − ε} et ϕ est continue. U = ϕ−1 (]0, +∞[). – Supposons que U 6= ∅. Soit c = inf U , alors • c > a (car ϕ(a) = −ε > 0 et ϕ est continue.) • c 6∈ U (car U est un ouvert) • c < b (car sinon U = {b} fermé) Donc a < c < b et ainsi on a : kf 0 (c)k ≤ g 0 (c). (1) 24 Il découle de la dérivabilité de f et de g l’existence d’un intervalle [c, c + η] (η > 0) dans lequel on a : kf 0 (c)k ≥ k g 0 (c) ≤ k ε f (x) − f (c) k− x−c 2 (2) g(x) − g(c) ε k+ x−c 2 (3) (1), (2) et (3) entraı̂ne kf (x) − f (c)k ≤ g(x) − g(c) + ε(x − c). et comme c 6∈ U on a : kf (c) − f (a)k ≤ g(c) − g(a) + ε(c − a) + ε. Ce qui donne finalement pour tout x ∈ [c, c + η], kf (x) − f (a)k ≤ g(x) − g(a) + ε(x − a) + ε. c-à-d [c, c + η] ⊂ U c ce qui contredit le fait que c est la borne inf de U . Remarque 2.1.2. Le théorème précédent reste valable si on remplace la différentiablité de f et g par la différentiabilité à droite. Définition 2.1.3. On dit que f : [a, b] → F est dérivable à droite en x ∈ [a, b[ si et seulement si : f (x + h) − f (x) fd0 (x) = lim+ h→0 h existe. Corollaire 2.1.4. Soit f : [a, b] → F continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que : kf 0 (x)k ≤ k (k > 0 constante) Alors on a : kf (b) − f (a)k ≤ k(b − a), et plus généralement on a : kf (x1 ) − f (x2 )k ≤ k|x1 − x2 |, 25 ∀x1 , x2 ∈ [a, b] 2.2 Fonctions à variable dans un espace de Banach Soit U un ouvert d’un espace de Banach E, F un espace de Banach et f : U → F continue. Proposition 2.2.1. Si f est différentiable dans U et si pour tout a et b de U , [a, b] = {x ∈ U/∃t ∈ [0, 1] : x = (1 − t)a + tb} ⊆ U , alors on a : kf (b) − f (a)k ≤ kb − ak sup kf 0 ((1 − t)a + tb)k 0≤t≤1 Démonstration. Soit h(t) = f ((1 − t)a + tb). Alors h est différentiable et on a : h0 (t) = f 0 ((1 − t)a + tb).(b − a), d’où kh0 (t)k ≤ sup kf 0 ((1 − t)a + tb)k.kb − ak 0≤t≤1 appliquer ensuite le corollaire. Théorème 2.2.2. Soit U un ouvert convexe de E (e.v.n) et f : U → F une application différentiable. Supposons que kf 0 (x)k ≤ k pour tout x de U . Alors, kf (x1 ) − f (x2 )k ≤ k|x1 − x2 |, ∀x1 , x2 ∈ U 2.3 Applications Théorème 2.3.1. Soit U un ouvert convexe de E (e.v.n) et soit fn : U → F où F est de Banach. Supposons que i) Il existe a ∈ U tel que (fn (a))n converge dans F . 0 ii) La suite fn : U → L(E, F ) converge uniformément dans U vers g : U → L(E, F ) Alors pour tout x de U , (fn (x))n converge vers f (x) ∈ F . f est différentiable et sa dérivée f 0 (x) = g(x) Démonstration. D’après le théorème précédent on a : 0 0 kfp (x) − fp (a) − (fq (x) − fq (a))k ≤ kx − ak sup kfp (y) − fq (y)k y∈U 26 (4) ii) ⇒ le second membre tend vers 0 lorsque p et q tend vers +∞ pourvu que kx − ak reste borné. Dans ce cas la suite (fn (x) − fn (a))n est de Cauchy donc convergente, or on sait que (fn (a)) converge donc la suite (fn (x)) converge vers f (x), uniformément sur tout borné de U (car kfp (x) − f (x)k ≤ kfp (x) − fp (a) − (f (x) − f (a))k + k(fp (a) − f (a))k) f est donc continue au voisinage de chacun de ces points donc continue. Reste à montrer la différentiabilité de f et que f 0 = g. On a kf (x) − f (x0 ) − g(x0 ).(x − x0 )k ≤ kf (x) − f (x0 ) − (fn (x) − fn (x0 ))k + 0 0 kfn (x) − fn (x0 ) − fn (x0 ).(x − x0 )k + kfn (x0 ).(x − x0 ) − g(x0 ).(x − x0 )k Soit ε > 0. Il découle de la relation (4) en remplaçant a par x0 que : ∃n0 tel que p > 0 et n > n0 ⇒ kfp (x) − fp (x0 ) − (fn (x) − fn (x0 ))k ≤ εkx − x0 k d’où en passant à la limite lorsque p → +∞ kf (x) − f (x0 ) − (fn (x) − fn (x0 ))k ≤ εkx − x0 k D’autre part pour n ≥ n0 on a : 0 0 kfn (x0 ).(x − x0 ) − g(x0 ).(x − x0 )k ≤ kfn (x0 ) − g(x0 )k.k(x − x0 )k ≤ εkx − x0 k et on sait que 0 kfn (x) − fn (x0 ) − fn (x0 ).(x − x0 )k = o(kx − x0 k) En fixant n ≥ n0 on obtient donc kf (x) − f (x0 ) − g(x0 ).(x − x0 )k = o(kx − x0 k). Théorème 2.3.2. Soit U un ouvert de E = E1 × ... × En et f : U → F une application continue. Pour que f soit de classe C 1 il faut et il suffit que les dérivées partielles ∂f : U → L(Ei , F ) existent et soient continues. ∂xi Démonstration. Nous avons déjà démontré que la condition était nécessaire ∂f (prop.1.6.1). Supposons donc que pour tout a ∈ U , (a) existent et que ∂xi 27 ∂f : U → L(Ei , F ) soient continues. Pour montrer que f est de classe C 1 il ∂xi suffira de démontrer que f est différentiable (prop.1.6.1). Soit a ∈ U , montrons que f 0 (a) existe, i.e que kf (x1 , ..., xn ) − f (a1 , ..., an ) − or on a : n P kf (x1 , ..., xn )−f (a1 , ..., an )− i=1 n X ∂f (a).(xi − ai )k = o(kx − ak) ∂x i i=1 ∂f (a).(xi −ai )k ∂xi ≤ kf (x1 , ..., xn )−f (a1 , x2 , ..., xn )− ∂f (a).(x1 ∂x1 − a1 )k +kf (a1 , x2 , ..., xn ) − f (a1 , a2 , x3 , ..., xn ) − ∂f (a).(xn − an )k . . . +kf (a1 , ..., an−1 , xn ) − f (a1 , ..., an ) − ∂x n Soit l’application f : E1 → F définie par : g(ξ1 ) = f (ξ1 , x2 , ..., xn ) − ∂f (a).(x2 ∂x2 − a2 )k ∂f (a).(ξ1 − a1 ) ∂x1 Etant donné ε > 0 on veut montrer que : kg(x1 ) − g(a1 )k ≤ εkx1 − a1 k g est différentiable et on a : g 0 (ξ1 ) = ∂f ∂f (ξ1 , x2 , ..., xn ) − (a) ∂x1 ∂x1 Si ξ1 = (1 − t)a1 + tx1 , 0 ≤ t ≤ 1. Alors la continuité de ∂f au point a ∂x1 ∂f ∂f (x) − (a)k < ε ∂x1 ∂x1 ainsi, kξ1 − a1 k ≤ kx1 − a1 k ≤ kx − ak ≤ η ⇒ kg 0 (ξ1 )k ≤ ε En appliquant le théorème des accroissement finis (Prop.2.2.1) on obtient : implique ∃η > 0/kx − ak < η d’où k kg(x1 ) − g(x2 )k ≤ sup kg 0 ((1 − t)x1 + tx2 )k.kx2 − x1 k ≤ ε.kx2 − x1 k 0≤t≤1 On montre d’une manière analogue que : kf (a1 , x2 , ..., xn ) − f (a1 , a2 , x3 , ..., xn ) − kf (a1 , ..., an−1 , xn ) − f (a1 , ..., an ) − ∂f (a).(x2 − a2 )k = o(kx2 − a2 k) ∂x2 ∂f (a).(xn − an )k = o(kxn − an k) ∂xn et on obtient le résultat cherché. 28 Remarque 2.3.3. Une fonction peut être différentiable en un point sans que les dérivées partielles soient continues en ce point ! Exemple 2.3.4. ( f (x, y) = (x2 + y 2 ) sin( √ 1 ), x2 +y 2 0, si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0) ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0 ∂x ∂y et si (x, y) 6= (0, 0) On a ∂f x 1 1 ) − (p ) cos( p ) (x, y) = 2x sin( p 2 2 2 2 2 ∂x x +y x +y x + y2 ∂f 1 y 1 (x, y) = 2y sin( p ) − (p ) cos( p ) ∂y x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 ∂f ∂f Les fonctions et ne sont pas continues au points (0, 0) car si x > 0 ∂x ∂y on a : ∂f ∂f 1 1 1 (x, x) = (x, x) = 2x sin( √ ) − √ cos( √ ) ∂x ∂y x 2 2 x 2 n’a pas de limite au point 0. Mais f est différentiable au point (0, 0) car on a : 1 |f (x, y) − f (0, 0)| p 2 = (x + y 2 )| sin( p )| ≤ k(x, y)k. k(x, y)k x2 + y 2 2.4 Fonctions strictement différentiables Définition 2.4.1. f : U → F est strictement différentiable au point a ∈ U si on a f (x)−f (y) = f 0 (a)(x−y)+kx−ykψ(x, y) avec kψ(x, y)k → 0 lorsque x → a et y → a Théorème 2.4.2. Si f : U → F est différentiable et si f 0 est continue au point a ∈ U , alors f est strictement différentiable en a. 29 Démonstration. Considérer g(x) = f (x) − f (a) − f 0 (a).(x − a). On a g 0 (x) = f 0 (x) − f 0 (a) donc lim kg 0 (x)k = 0. x→a Soit ε > 0, ∃r > 0 tel que kx − ak ≤ r ⇒ kg 0 (x)k ≤ ε. Appliquer le théorème des accroissements finis. 30 Chapitre 3 Difféomorphismes de classe C 1 3.1 Définition et propriété. Définition 3.1.1. Soit E et F deux espaces de Banach, U une ouvert de E et V un ouvert de F . On dit que f : U → V est un difféomorphisme de classe C 1 si f est bijective, de classe C 1 et si f −1 : V → U est de classe C 1 . Exemple 3.1.2. La fonction tan :] − π2 , π2 [→ R est un difféomorphisme Contre exemple 3.1.3. La fonction x → x3 n’est pas un difféomorphisme de R sur R bien qu’elle soit bijective et continûment différentiable. Sa réciproque n’est pas différentiable en 0. Proposition 3.1.4. Si f : U → V est un difféomorphisme, sa différentielle en tout point de U est un isomorphise de E sur F , f −1 est différentiable en tout point y de V est on a : (f −1 )0 (y) = [f 0 (f −1 (y))]−1 Démonstration. Notons g = f −1 . On a par définition g ◦ f = idU et f ◦g = idV , d’où en appliquant la régle de dérivation des fonctions composées (théorème 1.3.1) on obtient g 0 (f (x)) ◦ f 0 (x) = idE et f 0 (g(y)) ◦ g 0 (y) = idF , pour tout x ∈ U et y = f (x). D’où le résultat. Corollaire 3.1.5. S’il existe un difféomorphisme d’un ouvert de E sur un ouvert de F , alors E et F sont isomorphes. En particulier si l’un est de dimension finie, l’autre l’est aussi et sa dimension est la même. 31 3.2 Théorème d’inversion locale Avant d’énoncer le théorème d’inversion locale nous allons démontrer les deux propositions : Proposition 3.2.1. Soit f : B(a, r) → E (B(a, r) boule ouverte de centre a et de rayon r dans E), une application continue telle que : ϕ(x) = x − f (x) soit contractante (k−lipschitzienne avec k < 1) et soit b = f (a). Alors il existe un ouvert U contenant a et contenu dans B(a, r), tel que f soit un homéomorphisme de V sur la boule B(b, (1 − k)r). De plus f −1 est 1 −lipschitzienne. 1−k Démonstration. Montrons d’abord que B(b, (1 − k)r) ⊂ f (B(a, r)). Pour cela étant donné y ∈ B(b, (1 − k)r) on définit x0 = a, x1 = y + ϕ(x0 ), .. ., x = y + ϕ(x ), n+1 n Pour que cette suite soit bien définie on doit montrer que xn ∈ B(a, r) pour tout n. Par reccurence sur n montrons que : kxn − ak ≤ 1 − kn ky − bk 1−k (1) • pour n = 1, kxn − ak = ky + ϕ(a) − ak = ky − bk. • Supposons (1) vrai pour n On a kxn+1 − xn k = kϕ(xn ) − ϕ(xn−1 ) ≤ kkxn − xn−1 k d’où kxn+1 − xn k ≤ k n kx1 − ak ≤ k n ky − bk (2) Ainsi kxn+1 − xn k ≤ kxn − ak + kxn+1 − xn k 1 − kn ≤ ky − bk + k n ky − bk 1−k 1 − k n+1 ≤ ky − bk 1−k (xn ) est donc une suite de Cauchy qui converge vers x ∈ B(a, r) car par 1 passage à la limite on obtient kx − ak ≤ 1−k ky − bk < r. Nous allons donc démontrer que pour tout y de B(b, (1 − k)r), il existe un x 32 de B(a, r) tel que y = f (x). Montrons que cet x est unique. Supposons qu’il existe x0 de B(a, r) tel que y = f (x0 ). On a alors 0 = f (x) − f (x0 ) = (x − x0 ) − (ϕ(x) − ϕ(x0 )), donc kf (x) − f (x0 )k ≥ k(x − x0 )k − kϕ(x) − ϕ(x0 )k ≥ (1 − k)kx − x0 k (3) On peut maintenant définir l’application g qui à chaque y de B(b, (1 − k)r) fait correspondre l’unique x de B(a, r) tel que y = f (x). 1 −lipschitzienne. De (3) on définit que g est 1−k −1 Soit V = f (B(b, (1 − k)r)) (ouvert car f est continue), alors g : B(b, (1 − k)r) → V est bijective et continue. Proposition 3.2.2. Soient E et F des espaces de Banach et U un ouvert de E, et f : U → F , une application continue. Supposons que f est strictement différentiable en a ∈ U et que f 0 (a) ∈ Isom(E, F ). Alors il existe un voisinage ouvert V 0 de a et un voisinage W 0 de b = f (a) tel que f soit un homéomorphisme de V 0 sur W 0 . de plus l’inverse est est strictement différentiable au point b. Démonstration. On Considère g = [f 0 (a)]−1 ◦ f : U → E. On a g 0 (x) = [f 0 (a)]−1 f 0 (x) et on a g 0 (a) = 1E . Donc, ∀k > 0, ∃r > 0 tel que ∀x, y ∈ B(a, r) kg(x) − g(y) − (x − y)k ≤ kkx − yk On choisit 0 < k < 1 et on applique la proposition précédente. Théorème 3.2.3. (Le théorème d’iversion locale) Soit f : U → F de classe C 1 . Supposons qu’en a ∈ U on ait : f 0 (a) ∈ Isom(E, F ) Alors il existe un voisinage ouvert V de a et un voisinage ouvert W de f (a) = b tels que f soit un difféomorphisme de V sur W . Démonstration. Soit V 0 le voisinage de a donné par la proposition 3.2.2. On a • ∀x ∈ V 0 f 0 (x) existe. • ∃V ⊂ V 0 f 0 (x) ∈ Isom(E, F ) ∀x ∈ V . Posons W = f (V ) ouvert dans W 0 (car f est homéomorphisme de V 0 sur W 0 ). De plus f : V → W est un homéomorphisme. D’où le résultat en appliquant la proposition 3.2.1. 33 Corollaire 3.2.4. Soit f : U → V un homéomorphisme de classe C 1 . Pour que f soit un difféomorphisme de classe C 1 , il faut et il suffit que f 0 (x) soit un isomorphisme de E sur F , pour tout x ∈ U Démonstration. ⇒ Découle de la proposition 3.1.2. ⇐ Supposons que f 0 (x) ∈ Iso((E, F ), pour tout x. Il suffit de montrer que f −1 est de classe C 1 . Le théorème d’inversion locale montre que f est un application ouverte. En effet soit W un ouvert inclus dans U . Soit y = f (x) ∈ f (W ), il existe un ouvert Vy de y et un ouvert Ux de x tels que Vy = f (Ux ). Donc f −1 : Vy → Ux est continue. L’application V → L(F, E) y → f 0 (f −1 (y))−1 est continue, comme composée d’applications continues. Donc f −1 est de classe C 1 . En dimension finie, on peut énoncer : Corollaire 3.2.5. Soit U un ouvert de Rn et f : U → Rn injective de classe C 1 . Alors f est un difféomorphisme de classe C 1 si et seulement si le déterminant de sa matrice jacobienne ne s’annule pas sur U . 3.3 Théorème des fonctions implicites Théorème 3.3.1. Soient E, F , G trois espaces de Banach et U un ouvert de E × F , et (a, b) ∈ f : U → G de classe C 1 . Soit (a, b) ∈ U , tel que f (a, b) = 0 et ∂f ∂y Isom(F, G). Alors il existe un voisinage V de (a, b) inclus dans U , un voisinage W de a et une application g : W → F de classe C 1 tels que : (x, y) ∈ V et f (x, y) = 0 ⇔ x ∈ W et y = g(x) Démonstration. On Considère l’application f1 : U → E × G. 0 Où f1 (x, y) = (x, f (x, y)), f1 est de classe C 1 , f1 (a, b)(h, k) = (h, ∂f (a, b).h + ∂x 0 ∂f (a, b).k), et f1 (a, b) ∈ Isom(E × F, E × G). ∂y On peut donc appliquer le théorème d’inversion locale à f1 : ∃V ⊂ U voisinage 34 de (a, b) et W1 voisinage de f1 (a, b) = (a, 0) tel que f1 soit un difféomorphisme de V sur W1 . f1−1 (x, z) = (x, G(x, z)) (x, z) ∈ W1 on a alors : (x, y) ∈ V et f (x, y) = z ⇔ (x, y) ∈ W1 , G(x, z) = y Prendre z = 0 et poser G(x, 0) = g(x). 35 Chapitre 4 Dérivées d’ordre supérieur-Formule de Taylor 4.1 Dérivées d’ordre supérieur Définition 4.1.1. f est deux fois différentiable en a ∈ U ⊂ E si f 0 est 00 différentiable en a. On note sa dérivée f ∈ L(E, L(E, F )). Remarque 4.1.2. On a L(E, L(E, F )) ' L(E × E, F ) v ←→ w w(x, y) = v(x).y Théorème 4.1.3. Si f : U ⊂ E → F est deux fois différentiable en a ∈ 00 U ,alors f (a) est une application bilinéaire et symétrique i.e 00 00 (f (a).h).k = (f (a).k).h Démonstration. On considère la fonction gu (v) = f (a + v + u) − f (a + u) − f (a + v) + f (a), on a gu (v) = gv (u). 00 Montrons que kgu (v) − (f (a).v).uk = o(kuk + kvk)2 On a A B z }| { z }| { 00 0 0 00 0 0 kgu (v)−(f (a).v).uk ≤ kgu (v) − f (a + v).u + f (a).uk + kf (a + v).u − f (a).u − (f (a).v).uk 36 F (u) F (0) z }| { z }| { A = k f (a + v + u) − f (a + u) − f 0 (a + v).u + f 0 (a).u − [f (a + v) − f (a)] k ≤ kuk sup kF 0 (tu)k 0≤t≤1 or F 0 (tu) = f 0 (a + v + tu) − f 0 (a + tu) − f 0 (a + v).u + f 0 (a) mais on a : 00 kf 0 (a + v + tu) − f 0 (a) − f (a).(v + tu)k = o(kv + tuk) 00 kf 0 (a + tu) − f 0 (a) − f (a).tuk = o(ktuk) 00 kf 0 (a + v) − f 0 (a) − f (a).vk = o(kvk) d’où kF 0 (tu)k = o(kv + tuk) + o(ktuk) + o(kvk) = o(kvk + kuk) Donc A ≤ kuko(kvk + kuk) D’autre part 00 A = kf 0 (a + v) − f 0 (a) − (f (a).v)k.kuk ≤ kuko(kvk + kuk) D’autre part B ≤ kf 0 (a + v) − f 0 (a) − (f 00 (a).v)k.kvk ≤ kuko(kvk + kuk) Finalement 00 kgu (v) − (f (a).v).uk ≤ kuko(kvk + kuk) = o(kvk + kuk)2 En échangeant u et v on obtient 00 kgv (u) − (f (a).u).vk = o(kuk + kvk)2 d’où 00 00 k(f (a).v).u − (f (a).v).uk = o(kuk + kvk)2 ∀ε > 0, ∃η > 0 tel que si kuk + kvk ≤ η alors 00 00 k(f (a).v).u − (f (a).v).uk ≤ ε(kuk + kvk)2 ∀u, v on peut trouver λ 6= 0 tel que kλuk + kλvk < η on a alors 00 00 |λ|2 k(f (a).v).u − (f (a).v).uk ≤ ε|λ|2 (kuk + kvk)2 ⇒ 00 00 k(f (a).v).u − (f (a).v).uk = 0 37 ∀u, v Cas où E = E1 × ... × En et f : U ⊂ E → F deux fois différentiables 00 f (a).(k1 , ..., kn ) = n X ∂f 0 i=1 ∂xi (a).ki ∈ L(E, F ) n X ∂ ∂f 0 ∂f 0 ( (a).ki ).(h1 , ..., hn ) = ( ( (a).ki )hj ∂xi ∂x ∂x i j j=1 On note ∂ 2f ∂ ∂f (a) = ( )(a) ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj on a alors 00 f (a).(k1 , ..., kn ).(h1 , ..., hn ) = X ∂ 2f ( (a).ki )hj ∂x ∂x i j i,j Théorème 4.1.4. Si E = Rn et f : U ⊂ E → F est deux fois dérivables alors ∂ 2f ∂ 2f (a) = (a) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Démonstration. Soit {ei } la base canonique. Appliquer le théorème 4.1.3. 4.1.1 Dérivées successives Ln (E, F ) = {ϕ : E n → F multilinéaire et continue} Par réccurence on définit ”f est n−fois différentiable en a”. Supposons que cette notion est définie jusqu’à l’ordre (n − 1). On dit que f est n−fois différentiable en a s’il existe un voisinage V de a telle que f soit (n − 1)−fois différentiable en tout point de V et l’application x 7→ f (n−1) (x) de V dans Ln−1 (E, F ) est différentiable au point a. 0 On note f (n) (a) = (f (n−1) ) (a) ∈ Ln (E, F ). • f est de classe C n dans U si f est n−fois différentiable en tout point de U et si f (n) : U → Ln (E, F ) est continue. • f est de classe C ∞ si elle est de classe C n , ∀n. 38 Théorème 4.1.5. Si f est n fois différentiable en a alors f (n) (a) ∈ Ln (E, F ) est une application multilinéaire symétrique i.e. si (h1 , ..., hn ) ∈ E n et σ est une permutation quelconque sur {1, ..., n}, on a f (n) (a)(h1 , ..., hn ) = f (n) (a)(hσ(1) , ..., hσ(n) ) Démonstration. Raisonner par récurrence. Exemple 4.1.6. ? La composée de deux applications de classe C n et de classe C n . ? ϕ : Isom(E, F ) → L(E, F ) u → u−1 est de classe C ∞ ? Soit f : V → W , V ⊂ E, W ⊂ F est un C 1 −difféomorphisme. Si f est de classe C n alors f −1 est aussi de classe C n . 4.2 4.2.1 Formule de Taylor Rappel sur l’intégration des fonctions réglées : Intégration des fonctions en escalier Définition 4.2.1. Soit f : [a, b] → E (Banach) est une fonction en escalier s’il existe une subdivision x0 = a < x1 < ... < xn = b de [a, b] telle que f|]xi ,xi+1 [ soit constante i = 1, .., n n−1 P I(f ) = (xi+1 − xi )ci Intégrale de f . i=1 Intégration des fonctions réglées Définition 4.2.2. f : [a, b] → E est est une fonction réglée si elle est limite uniforme d’une fonction en escalier f = lim fn n→+∞ I(f ) = lim Rb n→+∞ a fn (t)dt = lim I(fn ) n→+∞ I(fn ) est de Cauchy implique qu’elle converge. 39 Remarque 4.2.3. f : [a, b] → E continue (⇒ réglée) Rt Soit F (t) = f (s)ds, alors F est dérivable sur ]a, b[ et F 0 (t) = f (t), pour a tout t de ]a, b[. Propriétées de I 1. I est linéaire. 2. kI(f )k ≤ (b − a)kf k0 où kf0 k = sup |f (t)| t∈[a,b] 4.3 Formules de Taylor 4.3.1 Formule de Taylor : Cas particulier Soient E, F, et G des espaces de Banach ϕ : E × F → G une application bilinéaire et continue. u : I → E et v : I → F des applications définies sur un ouvert I Lemme 4.3.1. L’application ξ:I→G n P t→ (−1)p ϕ(up (t), v n−p (t)) p=0 a pour dérivée la fonction ξ 0 : t → ϕ(u(t), v (n+1) (t)) + (−1)n ϕ(u(n+1) (t), v(t)) Proposition 4.3.2. Si v est une fonction (n + 1) fois différentiable d’une variable réelle t on a : (1 − t)n (n) 1 d [v(t) + (1 − t)v 0 (t) + ... + v (t)] = (1 − t)n v (n+1) (t) dt n! n! Démonstration. Considérer ϕ : R × F → G. (λ, z) → λ.z u(t) = 1 (1 − t)n n! u(n+1) (t) = 0 Appliquer le lemme. 40 Corollaire 4.3.3. Supposons que U ⊃ [0, 1] et que v (n+1) continue, Alors : (1)n (n) 1 00 v (0)] = [v(1) − v(0) − v 0 (0) − v (0) − ... − 2 n! Z1 (1 − t)n (n+1) v (t)dt n! 0 Corollaire 4.3.4. Supposons que kv (n+1) (t)k ≤ M pour tout t de [0, 1], Alors on a : (1)n (n) M 1 00 v (0)k ≤ kv(1) − v(0) − v 0 (0) − v (0) − ... − 2 n! (n + 1)! Démonstration. Soient g(t) = −M (1 − t)n+1 (n + 1)! f (t) = v(t) + (1 − t)v 0 (t) + ... + (1 − t)n (n) v (t) n! (1 − t)n (n+1) kv (t)k n! (1 − t)n ≤ M = g 0 (t) n! kf 0 (t)k ≤ Le théorème des accroissement finis implique que kf (1) − f (0)k ≤ g(1) − g(0) 4.3.2 Formule de Taylor : Cas général U ouvert de E et f : U → F Si a ∈ U alors [a, a + h] ⊂ U pour khk suffisamment petit. Théorème 4.3.5. (Formule de Taylor avec reste intégrale) Soit f : U → F de classe C n+1 . Si [a, a + h] ⊂ U , alors on a : 1 1 00 f (a + h) = f (a) + f 0 (a).h + f (a).(h, h) + ... + f (n) (a).(h)n 2 n! Z1 n (1 − t) (n+1) + f (a + th).(h)n+1 dt n! 0 41 Démonstration. Considérer v(t) = f (a + h). Par récurrence → v (n) (h) = f (n) (a + th).(h)n Appliquer le corollaire 4.3.3 Théorème 4.3.6. (Formule de Taylor avec reste de Lagrange) Soit f : U → F (n + 1) fois différentiable. Supposons que kf (n+1) (x)k ≤ M ∀x ∈ U. Si [a, a + h] ⊂ U , alors kf (a + h) − f (a) − f 0 (a).h − ... − 1 (n) khkn+1 f (a).(h)n k ≤ M n! (n + 1)! Démonstration. Appliquer le corollaire 4.3.4 Théorème 4.3.7. Soit f : U → F (n − 1) fois différentiable. Supposons que f est n− fois différentiable en a ∈ U . On a alors, kf (a + h) − f (a) − f 0 (a).h − ... − 1 (n) f (a).(h)n k = o(khkn ) n! Démonstration. Par récurrence. Pour n = 1, la définition de la dérivée. Supposons que la relation est vraie pour n − 1. Posons ϕ(h) = f (a + h) − f (a) − f 0 (a).h − ... − alors ϕ0 (h) = f 0 (a + h) − f 0 (a) − ... − 1 (n) f (a).(h)n n! 1 f (n) (a).(h)n−1 (n − 1)! On sait que kϕ0 (h)k = o(khkn−1 ), donc ∀ε > 0, ∃η > 0 tel que khk ≤ η ⇒ kϕ0 (h)k ≤ εkhkn−1 . Le théorème des accroissement finis ⇒ kϕ(h) − ϕ(0)k ≤ εkhkn pour khk ≤ η Comme ϕ(0) = 0, on obtient le résultat. 42 Remarque 4.3.8. g : h → (h, ..., h) ξ : (h1 , ..., hn ) → f (n) (a).(h1 , ..., hn ) où g est linéaire et ξ est multilinéaire et symétrique (ξ ◦ g)(h) = f (n) (a).(h)n (ξ ◦ g)0 (h).k = ξ 0 (g(h))[g 0 (h).k] = ξ 0 (g(h))(k, ..., k) = nf (n) (a).(h, ..., h, k) | {z } (n − 1) fois 43 Chapitre 5 Maxima et Minima Relatifs Dans ce chapitre on considère exclusivement des fonctions à valeurs réelles, et on s’intéresse à leurs exrema, c’est-à-dire à leurs minima et maxima. On parlera en fait seulement de minima pour simplifier :les maxima d’une fonction f peuvent en effet être vu comme les minima de −f . 5.1 Extrema libres. Définition 5.1.1. Si f est une fonction définie sur une partie D d’un espace de Banach E et à valeurs réelles, un point a ∈ D est un mininum local de f s’il existe un voisinage Va de a ouvert dans D, tel que f (x) ≥ f (a) pour tout x ∈ Va . On dira que a est un minimum global de f si f (x) ≥ f (a) pour tout x ∈ D. un minimum est dit strict si l’inégalité est stricte, c’est-à-dire f (x) > f (a), pour tout x 6= a. L’objectif ici est de dégager des conditions nécessaires et/ou suffisantes pour avoir un minimum local selon le degré de différentiabilité de f . Commençons par rappeler ce que l’on sait dans le cas E = R. Proposition 5.1.2. Soit g une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R et à valeurs dans R, dérivable en a ∈ I. Si a est un minimum local de 44 g alors g 0 (a) = 0. Si de plus g est deux fois dérivable en a, alors g 00 (a) ≥ 0. Inversement si b ∈ I est tel que g 0 (b) = 0 et g 00 (b) > 0 alors b est un minimum local de g. Démonstration. Par définition de la dérivabilité, g(t) − g(a) − (t − a)g 0 (a) = ε(t)(t − a) avec lim ε(t) = 0. Si g 0 (a) 6= 0, supposons par exemple g 0 (a) > 0, alors : il t→a existe η > 0 tel que si |t − a| ≤ η, alors |ε(t)| ≤ 21 g 0 (a), d’où 1 g(t) − g(a) = (g 0 (a) + ε(t))(t − a) ≤ g 0 (a)(t − a) < 0 2 pour a − η ≤ t < a. Donc a ne peut pas être un minimum local. Si g est deux fois dérivable, supposons que a est un minimum local de g. Alors g 0 (a) = 0 d’après ce qui précède. Supposons g 00 (a) < 0. Comme, d’après la formule de Taylor-Young 1 g(t) − g(a) − (t − a)2 g 00 (a) = ε(t)(t − a)2 2 avec lim ε(t) = 0, il existe η > 0 tel que |t − a| ≤ η, |ε(t)| ≤ − 41 g 00 (a), d’où t→a 1 1 g(t) − g(a) = ( g 00 (a) + ε(t))(t − a)2 ≤ g 00 (a)(t − a)2 < 0 2 4 pour |t − a| ≤ η, t 6= a. Donc a ne peut pas être un minimum local. Enfin, si g 0 (b) = 0 et g 00 (b) > 0 alors 1 g(t) − g(b) − (t − b)2 g 00 (b) = ε(t)(t − b)2 2 avec lim ε(t) = 0, il existe η > 0 tel que |t − b| ≤ η, |ε(t)| ≤ 41 g 00 (b), d’où t→b 1 1 g(t) − g(b) = ( g 00 (b) − ε(t))(t − b)2 ≥ g 00 (b)(t − b)2 > 0 2 4 pour |t − b| ≤ η. Remarque 5.1.3. Attention, les conditions g 0 (a) = 0 et g 00 (a) ≥ 0 ne sont évidemment pas suffisantes (ex : g(t) = t3 en t = 0) et la condition g 00 (b) > 0 n’est pas nécessaire (ex : g(t) = t4 en t = 0) ! 45 Les conditions de la proposition 5.1.2 s’étendent aux fonctions définies sur un ouvert d’espace de Banach. Théorème 5.1.4. Soit f une fonction définie sur un ouvert U d’un espace de Banach E et à valeurs réelles, différentiable en a ∈ U . Si a est un minimum local de f alors Df (a) = 0. Si de plus f est deux fois différentiable en a, alors D2 f (a)(h, h) ≥ 0 pour tout h ∈ E. Inversement si b ∈ U est tel que Df (b) = 0 et il existe C > 0 avec D2 f (b)(h, h) ≥ Ckhk2 pour tout h ∈ E alors b est un minimum locale de f . Démonstration. Les conditions nécessaires sont immédiates de la proposition 5.1.2. En effet, si a est un minimum local de f alors, quel que soit h ∈ E, 0 est un minimum local de la fonction d’une variable réelle g : t 7→ g(t) := f (a + th). Or g 0 (0) = Df (a)(h) et g 00 (0) = D2 f (a)(h, h). Pour les conditions suffisantes, on applique la formule de Taylor-Young à f . On a en effet 1 f (b + h) − f (b) − D2 f (b)(h, h) = ε(h)khk2 2 avec lim ε(h) = 0, il existe η > 0 tel que khk ≤ η, |ε(h)| ≤ C4 , d’où h→b f (b + h) − f (b) ≥ C khk2 ≥ 0 4 pour khk ≤ η. Remarque 5.1.5. En dimension finie, l’existence de C > 0 tel que D2 f (b)(h, h) ≥ Ckhk2 pour tout vecteur h ∈ E équivaut à D2 f (b)(h, h) ≥ 0 quel que soit h 6= 0E . Il suffit en effet de remarquer que la fonction continue h 7→ D2 f (b)(h, h) atteint son minimum sur la sphère unité (qui est compacte si E est de dimmension finie). Par bilinéarité de D2 f (b) on en déduit l’inégalité voulue avec C := min D2 f (b)(h, h). De plus, pour avoir D2 f (b)(h, h) > 0 quel que soit khk=1 h 6= 0E , il faut et il suffit que la matrice hessienne de f en b, c’est-à-dire 2f la matrice symétrique réelle de coéfficients ∂x∂i ∂x (b) ait des valeurs propres j toutes strictement positives. on sait en effet que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable sur R : une démonstration de cette propriété utilise précisément la notion d’extremum lié... 46 5.2 Extrema liés. Définition 5.2.1. Si f et g1 , ..., gp sont des fonctions définies sur un ouvert U d’un espace de Banach E et à valeurs réelles, un point a ∈ U tel que g1 (a) = 0, ..., gp (a) = 0 est un minimum local de f sous les contraintes g1 , ..., gp s’il existe un voisinage ouvert Va de a tel que f (x) ≥ f (a), pour tout x ∈ Va tel que g1 (x) = 0, ..., gp (x) = 0 On va obtenir ici une condition nécessaire pour qu’un point soit un minimum local sous contraites lorsque les fonctions f et g1 , ..., gp sont continûment différentiables. On dira que les contraintes g1 , ..., gp sont indépendantes au point a ∈ U si la famille de formes linéaires continue {(Dg1 (a)), ..., (Dgp (a))} est libre. Théorème 5.2.2. Soient f et g1 , ..., gp des fonctions de classe C 1 sur un ouvert U d’espace de Banach E et à valeurs réelles. Soit a ∈ U tel que g1 (a) = 0, ..., gp (a) = 0 et les contraintes g1 , ..., gp sont indépendantes au point a. Si a est un minimum local de f sous les contraintes g1 , ..., gp alors il existe des réels λ1 , ..., λp tel que Df (a) = λ1 (Dg1 (a)) + ... + λp (Dgp (a)) Dans cette énoncé les nombres λ1 , ..., λp sont appelés des multiplicateurs de Lagrange. Démonstration. Grâce au théorème des fonctions implicites, on va se ramener au cas d’un minimum libre. on peut supposer sans perte de généralité a = 0. (Il suffit de considérer la fonction x 7→ f (x − a) au lieu de f .) Notons pour simplifier ψi := (Dgi (0)) pour tout i ∈ {1, ..., p}. Soit G = (V ect(ψ1 , ..., ψp ))⊥ = {h ∈ E; ψi (h) = 0, i ∈ {1, ..., p}}. Puisque la famille (ψ1 , ..., ψp ) est libre, il existe une famille de p vecteurs (h1 , ..., hp ) ∈ E indépendantes tels que ψi (hj ) = δij (symbole de Kronecker, valant 1 si i = j et 0 sinon). Alors le sous espace F = V ect(h1 , ..., hp ) est tel que G ⊕ F = E, c’est-à-dire que pour tout x ∈ E il existe un unique couple (z, y) ∈ G × F tel que x := z + y. On a donc un isomorphisme J :G×F →E (z, y) 7→ x = z + y. 47 (La continuité de la réciproque découle de la formule explicite : y = p P ψi (x)hj ). i=1 Considérons alors la fonction G × F → Rp (z, y) 7→ (g1 (z + y), ..., gp (z + y)). C’est une fonction de classe C 1 (comme fonction composée de fonctions de classe C 1 ) et sa différentielle partielle par rapport à y au point (0, 0) est un isomorphisme de F sur Rp , par hypothèse sur les fonctions gi : en effet, dans la base (h1 , ..., hn ) de F et la base canonique de Rp , sa matrice jacobienne est la matrice de coefficient ψi (hj ) = δij , c’est-à-dire la matrice identité ! Donc le théorème des fonctions implicites montre qu’il existe un voisinage V0 de 0 dans U (image par J d’un voisinage de (0, 0) dans G × F ), et une application ϕ définie sur un voisinage W0 de 0 dans G tels que g1 (x) = 0, ..., gp (x) = 0; x ∈ V0 ⇔ x = z + ϕ(z) Par conséquent, 0 est un minimum local de f sous les contraintes g1 , ..., gp si et seulement si 0 est un minimum local de la fonction g : z 7→ g(z) := f (z + ϕ(z)). Une condition nécessaire est donc Dg(0) = 0, c’est-à-dire Df (0)(k + Dϕ(0)(k)) = 0 pour tout k ∈ G. Or par construction de ϕ on a précisément Dϕ(0)(k) = 0 pour tout k ∈ G. En effet, comme ϕ est à valeurs dans l’espace vectoriel F = V ect(h1 , ..., hp ), il suffit de montrer que ψi (Dϕ(0)(k)) = 0 quel que soit i ∈ {1, ..., p} : ceci se déduit par différentiation de la fonction z 7→ gi (z + ϕ(z)), qui est identiquement nulle, en utilisant le fait que (Dgi )(0)(k) = ψi (k) = 0 pour tout k ∈ G (par définition de G !). On a donc montré que Df (0)(k) = 0 pour k ∈ G. Autrement dit, en notant pour simplifier ψ = Df (0), on a (V ect(ψ1 , ..., ψp ))⊥ ⊂ (V ect(ψ))⊥ On en déduit, grâce au lemme algébrique classique rappelé ci-après : V ect(ψ) ⊂ V ect(ψ1 , ..., ψp ), c’est-à-dire que ψ est effectivement une combinaison linéaire des ψi . 48 Lemme 5.2.3. Soient ψ, ψ1 , ..., ψp , des formes linéaires sur un espace vectoriel E. Si p \ Kerψi ⊂ Kerψ, i=1 alors ψ est une combinaison linéaire des ψi . La démonstration est laissée en exercice. Jusqu’à présent, nous avons considéré des problèmes d’extremum essentiellement sur des ouverts : les conditions nécessaires d’extremum local (dans la proposition 5.1.2 et les théorème 5.1.4 et 5.2.2) sont fausses lorsque U n’est pas un ouvert. Nous allons maintenant considèrer des problèmes d’extremum sur des sous ensemble convexes de E (la convexité étant une propriété géométrique et non topologique). 5.3 Convexité et minima. Définition 5.3.1. Un sous ensemble C d’un R−espace vectoriel E est dit convexe si pour tous x, y ∈ C, pour tout θ ∈ [0, 1], θx + (1 − θ)y ∈ C. Une fonction f définie sur un convexe C et à valeurs dans R est dit convexe si pour tous x, y ∈ C, pour tout θ ∈ [0, 1], f (θx + (1 − θ)y ∈ C) ≤ θf (x) + (1 − θ)f (y). Elle est dite strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte lorsque x 6= y et θ ∈]0, 1[. Théorème 5.3.2. Soit f : U → R une fonction différentiable sur un ouvert U d’un R−espace de Banach E et soit C un sous ensemble convexe de U . Alors f|C est convexe si et seulement si, pour tout x, y ∈ C, f (y) ≥ f (x) + Df (x)(y − x). Elle est strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte pour x 6= y. En supposant en outre que f est deux fois différentiable, f|C est convexe si et seulement si, pour tout x, y ∈ C, D2 f (x)(y − x, y − x) ≥ 0. Elle est strictement convexe si l’inégalité ci-dessus est stricte pour x 6= y. 49 Démonstration. Supposons f convexe. Soient x, y ∈ C et θ ∈]0, 1[. On a f (x + θ(y − x)) − f (x) ≤ f (y) − f (x), θ d’où Df (x)(y − x) ≤ f (y) − f (x), en faisant tendre θ vers 0. Si f est strictement convexe, on a une inégalité stricte pour x 6= y et θ ∈]0, 1[, mais elle devient large dans le passage à la limite. Pour démontrer qu’effectivement Df (x)(y − x) < f (y) − f (x), on observe que pour tout ω > 0, x + θ(y − x) = ω ω−θ x + (x + ω(y − x)), ω ω d’où, pour 0 < θ < ω < 1, f (x + θ(y − x)) − f (x) f (x + ω(y − x)) − f (x) < < f (y) − f (x). θ ω On obtient l’inégalité stricte souhaitée en gardant ω fixé et en faisant tendre θ vers 0. réxiproquement, si on a f (y) ≥ f (x) + Df (x)(y − x), quels que soient x et y ∈ C, on obtient l’inégalité de convexité en prenant la combinaison convexe des inégalités f (x) ≥ f (x + θ(y − x)) − θDf (x + θ(y − x))(y − x), f (y) ≥ f (x + θ(y − x)) + (1 − θ)Df (x + θ(y − x))(y − x). Pour la caractérisation de la convexité en terme de différentielles secondes, on peut considérer, à x fixé, la fonction g : y 7→ f (y) − Df (x)(y). La différence avec f étant une fonction affine, g est convexe si et seulement si f l’est, et D2 f (x) = D2 g(x). Or, si f est convexe, la première partie montre que x est un minimum (globale) de g|C . En appliquant à θ ∈ [0, 1] 7→ g(x + θ(y − x)), 50 la formule de Taylor-Young exactement comme la démonstration de la proposition 5.1.2, on en déduit que nécessairement D2 f (x)(y − x, y − x) ≥ 0. Inversement, supposons que l’on ait cette inégalité quels que soient x et y dans C. Alors d’après le théorème des accroissements finis appliquée entre 0 et 1 à la fonction [0, 1] → R θ 7→ f (x + θ(y − x)) − (1 − θ)Df (x + θ(y − x))(y − x), il existe θ ∈]0, 1[, tel que 2 f (y) − f (x) − Df (x)(y − x) = (1 − θ)Dx+θ(y−x)) f (y − x, y − x) 1 2 Dx+θ(y−x)) f (y − (x + θ(y − x)), y − (x + θ(y − x))) ≥ 0. 1−θ Donc f est convexe d’après la première partie. = Théorème 5.3.3. Soit f : U → R une fonction différentiable sur un ouvert U d’un R−espace Banach E et soit C un sous convexe de U . i si f|C est convexe et admet un minimum local dans C, c’est un minimum global ; ii si f|C est strictement convexe alors elle admet au plus un minimum, et c’est un minimum strict ; iii si f est différentiable, une condition nécessaire pour qu’un point a ∈ C soit un minimum de f|C est Df (a)(y − a) ≥ 0, pour tout y ∈ C. Si de plus f|C est convexe, cette condition est également suffisante. Démonstration. i supposons f|C convexe et admettant un minimum local en a ∈ C, et soit x ∈ C. Pour tout θ ∈]0, 1[, f (a + θ(x − a)) − f (a) ≤ θ(f (x) − f (a)), et le membre à gauche est positif ou nul pour θ > 0 assez petit. Par conséquent f (a) ≥ 0. 51 ii si f|C est strictement convexe, on obtient comme ci-dessus l’inégalité stricte f (x) − f (a) > 0 pour x 6= a. Un minimum stricte est toujours unique. iii supposons f différentiable et admettant un minimum en a ∈ C. Soit x ∈ C : il existe une fonction ε : θ 7→ ε(θ) tendant vers 0 en 0, telle que f (a + θ(x − a)) − f (a) = θDf (a)(x − a) + θε(θ). Si on avait Df (a)(x − a) < 0, on aurait f (a + θ(x − a)) < f (a) pour θ > 0 assez petit. Inversement, si f|C convexe et si on a l’inégalité Df (a)(x − a) ≥ 0, pour y ∈ C, alors d’après la première partie du théorème 5.3.2, a est un minimum de f . Un exemple important de problème de minimisation sur un ensemble convexe est fourni par ce que l’on appelle des contraintes-inégalités g1 (a) ≤ 0, ..., gp (a) ≤ 0, où les fonctions gj sont convexes. Un exemple important de fonction convexe à minimiser est celui des fonction quadratiques, c’est à dire de la forme x 7→ f (x) = φ(x, x) + l(x), où φ est une forme bilinéaire continue positive et l est une forme linéaire continue. 5.4 Introduction au calcul des variations. Considérons l’espace E = C 1 ([0, 1]; Rn ) muni de la norme définie par kuk := max(kuk∞ , ku0 k∞ ), kuk∞ := max ku(t)kRn . t∈[0,1] Soient a, b ∈ Rn . Considérons l’ensemble C := {u ∈ E; u(0) = a, u(1) = b}, 52 (évidemment convexe) et une fonction de la forme Z1 A : u ∈ E 7→ L(u(t), u0 (t))dt, 0 où L ∈ C 1 (Rn × Rn ; R). On montre sans peine que A est différentiable sur E. D’après le théorème 5.3.3, si f admet un minimum u sur C, alors Df (u)(h) ≥ 0, pour tout h ∈ C − u, c’est-à-dire pour tout h ∈ E tel que h(0) = h(1) = 0. Par suite, l’inégalité est en fait une égalité : une condition nécessaire pour que u soit un minimum de f sur C est par conséquent Z1 X n 0 i=1 ∂L (u(t), u0 (t))hi (t)dt + ∂qi Z1 X n 0 i=1 ∂L 0 (u(t), u0 (t))hi (t)dt = 0, ∂pi quel que soit h ∈ E tel que h(0) = h(1) = 0. (On a noté qi et pi les composantes des arguments de L.) En intégrant par parties le deuxième morceau, on peut réécrire l’égalité ci-dessus sous la forme Z1 X n ∂L d ∂L ( (u(t), u0 (t)) + ( (u(t), u0 (t))))hi (t)dt = 0. ∂q dt ∂p i i i=1 0 Pour qu’elle soit satisfaite quelle que soit la fonction h, il faut et il suffit, d’après ce que l’on appelle parfois le lemme fondamental du calcul intégral, que ∂L d ∂L ∀t ∈ [0, 1], (u(t), u0 (t)) + ( (u(t), u0 (t))) = 0, ∂qi dt ∂pi c’est-à-dire que u soit solution de l’équation différentielle ∂L d ∂L ( (u(t), u0 (t)) = (u(t), u0 (t)). dt ∂pi ∂qi C’est l’équation d’Euler-Lagrange associée à la fonction L. Si L est convexe, alors A aussi (par linéarité de l’intégrale), et par conséquent si u ∈ C est solution de l’équation d’Euler-Lagrange, c’est un minimum de A. Lorsque L n’est pas convexe, l’équation d’Euler-Lagrange est loin d’être suffisante pour minimiser A. 53 Chapitre 6 Equations Différentielles nonlinéaires 6.1 Définitions et théorème de Cauchy. 6.1.1 Premier ordre Soient E un espace vectoriel, U un ouvert de R × E et f : U → E une application continue. On appelle équation différentielle du 1er ordre toute expression de la forme x0 (t) = f (t, x(t)) (1) Une fonction x : I → E, où I est un intervalle, est une solution de cette équation différentielle si • x est de classe C 1 . • (t, x(t)) ∈ U pour tout t. • x vérifie ((1)). Si E = E1 × ... × En et f (t, x) = (f1 (t, x1 , x2 , ..., xn ), ..., fn (t, x1 , x2 , ..., xn )), on obtient un système différentiel 0 xi (t) = fi (t, x1 (t), ..., xn (t)), i = 1, ..., n. 6.1.2 Ordre n On appelle équation différentielle d’ordre n toute expression de la forme y (n) (t) = g(t, y(t), y 0 (t), ..., y (n−1) (t)), i = 1, ..., n. 54 (2) où U ⊂ R × E n et g : U → E L’équation (2) se ramène au cas du 1er ordre en posant x = (y, y 0 , ..., y n−1 ) et f (t, x) = (x1 , ..., xn−1 , g(t, x)) x01 (t) = x2 x0 (t) = x3 2 .. . x0 (t) = f (t, x (t), ..., x (t)) n 1 n Définition 6.1.1. Soit U ⊂ R × E et f : U → E. f est localement lipschitzienne si pour tout (t0 , x0 ) ∈ U , il existe un voisinage V0 de (t0 , x0 ) tel que la restriction de f à ce voisinage soit k-lipschitzienne, i.e kf (t, x)f (t, y)k ≤ kkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ V0 . Théorème 6.1.2. (Cauchy) Si f : U → E est continue et localement lipschitzienne et si (t0 , x0 ) ∈ U alors il existe r > 0 tel que l’équation x0 (t) = f (t, x(t)) ait une solution x : [t0 − r, t0 + r] → E. Lemme 6.1.3. soient F un espace de Banach, y0 ∈ F , β > 0 et V = B(y0 , β) (la boule de centre y0 et de rayon β). Soit v : V → F k-lipschitzienne. Alors si kv(y0 ) − y0 k < β(1 − k), il existe un point y unique tel que y = v(y). Démonstration. Posons g(y) = v(y + y0 ) − y0 . Définissons la suite z0 = 0 zn = g(zn−1 ) kzp − zp−1 k ≤ k p−1 kz1 k 1 kzp k ≤ kzp − zp−1 k + ... + kz1 − z0 k ≤ 1−k < β. La suite (zp ) est de Cauchy donc convergente vers x ∈ V , alors y = z + y0 , est un point fixe de v. Démonstration. (du théorème de Cauchy.) Soit (t0 , x0 ) ∈ U , on a f : U → E est continue donc • ∀ε > 0, ∃W ∈ V (t0 , x0 ) tel que f (W ) ⊂ B(f (t0 , x0 ), ε). • Soit a > 0 et b > 0 tel que [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b) ⊂ W 55 ∃k > 0 tel que f|[t0 −a,t0 +a]×B(x0 ,b) est k-lipschitzienne. • Soit r < a, Fr = C([t0 − r, t0 + r], E) un espace de Banach et Vr = B(ϕ0 , b) ⊂ Fr avec ϕ0 (t) = x0 pour tout t. Rt • Soit v(y)(t) = f (s, y(s))ds + x0 où y ∈ Vr , t0 alors v : Vr → Fr est continue et kr-lipschitzienne, en effet on a : Zt kv(y)(t) − v(z)(t)k ≤ k ky(s) − z(s)kds t0 ≤ k|t − t0 |ky − zk ≤ krky − zk • Soit M= kf (t, x)k sup (t,x)∈[t0 −a,t0 +a]×B(x0 ,b) kv(ϕ0 ) − ϕ0 k = sup k(v(ϕ0 ) − ϕ0 )(t)k t∈]t0 −r,t0 +r[ Zt ≤ sup t∈]t0 −r,t0 +r[ k f (s, x0 )dsk t0 ≤ Mr Pour appliquer le lemme précédent il faut que kr < 1 et M r < b(1 − kr). Théorème 6.1.4. (d’unicité) Soit f : U → E localement lipschitzienne. Soit I un intervallle de R. Si x1 et x2 : I → E sont deux solutions de l’équation différentielle x0 (t) = f (t, x(t)) égales pour une valeur t0 ∈ I, alors elles sont égales dans I tout entier. Démonstration. Soit ϕ1 , ϕ2 deux solutions de x0 (t) = f (t, x(t)), égales pour une valeur t0 ∈ I. Soit J = {t ∈ I/ϕ1 (t) = ϕ2 (t)}. • J 6= ∅ car t0 ∈ I. • J est fermé car ϕ1 − ϕ2 est continue. • J est ouvert : Soit t1 ∈ J et x1 = ϕ1 (t) (t1 , x1 ) ∈ U ⇒ ∃V1 = [t1 −a, t1 +a]×B(x1 , b) tel que f|V1 est k-lipschitzienne. 56 Soit 0 < r ≤ a tel que |t − t0 | ≤ r ⇒ ϕ1 (t) et ϕ2 (t) ∈ B(x1 , b) alors si |t − t0 | ≤ r, (t, ϕ1 (t)) ∈ V et (t, ϕ2 (t)) ∈ V . Posons ϕ(t) = ϕ1 (t) − ϕ2 (t) alors kϕ0 (t)k = kf (t, ϕ1 (t)) − f (t, ϕ2 (t))k ≤ kkϕ1 (t) − ϕ2 (t)k = kkϕ(t)k lemme de majoration implique kϕ(t)k ≤ kϕ(t1 )k exp(k|t − t1 |). Or ϕ(t1 ) = 0, donc ϕ(t) = 0, ∀t ∈ [t1 − r, t1 + r], d’où [t1 − r, t1 + r] ⊂ J. • I est connexe donc J = I. Lemme 6.1.5. (de majoration) Soit ϕ : I ⊂ R → E E e.v.n. Supposons que ϕ admet une dérivée à droite et que 0 kϕd k ≤ kkϕ(t)k + α, ∀t ∈ I, k t α constantes. Alors pour tout t, t0 ∈ I on a : α kϕ(t)k ≤ kϕ(t0 )k exp(k|t − t0 |) + (exp(k|t − t0 |) − 1) k Démonstration. Voir T.D. Théorème 6.1.6. (existence d’une solution maximale) Si f : U → E localement lipschitzienne. Soit I un intervallle de R et si (t0 , x0 ) ∈ U , alors il existe un plus grand intervalle J tel que t0 ∈ J dans lequel existe une solution ψ : J → E de 0 x (t) = f (t, x(t) (1) x(t0 ) = x0 Démonstration. Soit (t1 , x1 ) ∈ U . Soit E = {(I, ϕ)/I intervalle de R contenant t0 , ϕ solution de (1) tel que ϕ(t0 ) = x0 } •E= 6 ∅ (théorème de Cauchy) • Si (I1 , ϕ1 ) et (I2 , ϕ2 ) ∈ E alors ϕ1|I1 ∩I2 = ϕ2|I1 ∩I2 (théorème d’unicité) S Posons : soit ϕ : Iϕ → E une solution tel que ϕ(t0 ) = x0 . J = Iϕ un (Iϕ ,ϕ)∈E intervalle. Soit ψ : J → E la fonction telle que : ∀(Iϕ , ϕ) ∈ E, ψ|Iϕ = ϕ alors ψ est évidemment solution et ψ(t0 ) = x0 . Si ϕ : [t0 , t1 [→ E est solution et si lim ϕ(t) existe (= x1 ) avec (t1 , x1 ) ∈ U , t→t1 alors ϕ se prolonge à un intervalle [t0 , t2 ] avec t2 > t1 . En effet, si (t1 , x1 ) ∈ U , alors il existe une solution u tel que u(t1 ) = x1 dans ]t1 − r, t1 + r[.Et si t2 ∈]t1 , t1 + r[, soit ψ tel que ψ|[t0 ,t1 [ = ϕ, ψ|[t1 ,t2 [ = u|[t1 ,t2 [ 57 6.2 Dépendance de la valeur initiale dans le cas lipschitzien. On considère l’équation (1) x0 (t) = f (t, x) où f : U → E continue et localement lipschitzienne en x. Soit ϕ(t, u) une solution de (1) qui prend la valeur u pour t = t0 . Supposons que ϕ : I × Ω → E est définie. En appliquant le lemme fondamental on obtient kϕ(t, u) − ϕ(t, v)k ≤ ku − vkek|t−t0 | ≤ Kku − vk où K = sup ek|t−t0 | . I D’où la proposition Proposition 6.2.1. Si ϕ(t, u) est une solution de (1) qui prend la valeur u pour t = t0 , alors u → ϕ(t, u) est lipschitzienne, et par conséquent (t, u) → ϕ(t, u) est une fonction continue sur I × Ω. On a besoin du lemme suivant : Lemme 6.2.2. ψ : I × Ω → E a) Si • t → ψ(t, u) est continue pour tout u de A. • u → ψ(t, u) est uniformément continue par rapport à t ∈ I, alors ψ est continue sur I × Ω. b) Si ψ est continue sur I × Ω., et I compact alors u → ψ(t, u) est uniformément continue par rapport à t ∈ I. En effet, ici u → ϕ(t, u) est uniformément continue par rapport à t. 6.2.1 Dérivabilité Théorème 6.2.3. (régularité) Soit l’équation x0 (t) = f (t, x(t)) (1) où f : U ⊂ IxE → E de classe C k , (k ≥ 1). Alors, si x(t) est une solution de (1), x est de classe C k . 58 Proposition 6.2.4. Soit f une fonction continue et localement lipschitzienne en x et (t0 , x0 ) ∈ U . Soit ϕ : I → E, I compact. Alors si u est assez voisin de x0 , la solution de ϕ(t, u) passant par (t0 , u) ∈ U existe dans le même intervalle. Démonstration. Exercice : Montrer que 1. ∃V ⊂ U , avec V ouvert contenant {(t, ϕ(t, x0 )), t ∈ I} et ∃M et k tel que • kf (t, x)k ≤ M , ∀(t, x) ∈ V . • f est lipschitzienne en x dans V . (utiliser la compacité de I) 2. ∃r > 0 tel que {(t, x), t ∈ I, kx − ϕ(t, x0 )k ≤ r} ⊂ V 3. Soit a > 0 tel que [t0 − a, t0 + a] ⊂ I. Montrer que si on choisit u de façon que ku − x0 k ≤ e−ka la solution ϕ(t, u) = u existe dans tout l’intervalle I et vérifie kϕ(t, u) − ϕ(t, x0 )k ≤ r, ∀t ∈ I (utiliser le lemme fondamental). 6.2.2 Critère de différentiabilité par rapport à u : 0 Théorème 6.2.5. Supposons que fx (t, x) existe et soit continue sur U . Soit ϕ : I × B(x0 , r) → E solution de (1). Alors ϕ est de classe C 1 . ∂ϕ (t, u) est dérivable par rapport à t et on a : De plus ∂u ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ = = f (t, ϕ(t, u)) ∂t ∂u ∂u ∂t ∂u Remarque 6.2.6. ∂ ∂ ∂ f (t, ϕ(t, u)) = f (t, ϕ(t, u)) ◦ ϕ(t, u) ∂u ∂x ∂u ∂ ∂ϕ = (t, u) ∂t ∂u dy ∂ϕ (t, u) vérifie l’équation différentielle (2) : = A(t, u) ◦ y(t) avec ∂u dt ∂ A(t, y) = f (t, ϕ(t, u)). ∂x D’où 59 ∂ϕ (t, u) est la résolvante R(t, t0 ) de l’équation (2), or R(t, t0 ) ∈ Isom(E, E) ∂u donc ∂ϕ (t, u) ∈ Isom(E, E) ∂u Remarque 6.2.7. Si on applique le théorème d’inversion locale à (t, u) → (t, ϕ(t, u)), pour (t, u) voisin de (t1 , x0 ) ∈ I × B(x0 , r), on aura x = ϕ(t, u) ⇔ u = ψ(t, x), ψ de classe C 1 . t voisin de t1 et u voisin de x0 (x voisin de ϕ(t1 , x0 )). 6.2.3 Intégrales premières et équations au dérivées partielles. On considère l’équation (1) x0 = f (x), f étant de classe C 1 . Définition 6.2.8. ψ(x) de classe C 1 dans U s’appelle une intégrale première de l’équation (1) si ψ(ϕ(t)) est constante pour chaque ϕ solution de (1). (ψ est constante sur chaque trajectoire contenue dans U .) Proposition 6.2.9. ψ intégrale première de (1) ⇔ ψ 0 (x).f (x) = 0, ∀x ∈ U Démonstration. ⇐ (ψ ◦ ϕ)0 (t) = ψ 0 (ϕ(t)).ϕ0 (t) = ψ 0 (ϕ(t)).f (ϕ(t)) = 0, ∀t ∈ I ⇒ Si ψ est une intégrale première alors ψ 0 (ϕ(t)).f (ϕ(t)) = 0, ∀t, ∀ϕ solution de (1). Soit x0 ∈ U , ∃ϕ tel que ϕ(t0 ) = x0 d’où ψ 0 (t0 ).f (x0 ) = 0 ∀x0 ∈ U Cas E = Rn : dxi (2) = fi (x1 , ..., xn ), fi : U → R de classe C 1 . dt 60 ψ est une intégrale première du système (2) si : n X ∂ψ .fi (x1 , ..., xn ) = 0, ∀x ∈ U, (3) ∂xi i=1 équation aux dérivées partielles du premier ordre, linéaire et homogène. (ψ est la fonction inconnue !). Le système (2) s’appelle le système caractéristique associé à l’équation (3). 6.2.4 Existence des intégrales premières : E = Rn Soit ϕ une solution de (1) passant par (t0 , x0 ). • Si f (x0 ) = 0 alors ϕ(t) = x0 , ∀t est la solution. • Si f (x0 ) 6= 0, x0 = (a1 , ..., an ), ∃V voisinage de x0 tel que f (x0 ) 6= 0, ∀x ∈ V , le système (2) est alors équivalent au système (si par exemple fn (x) 6= 0) dxi fi (x) (3) = , 1 ≤ i ≤ n. ∂xn fn (x) indépendant de t. La solution de (4) qui prend pour xn = an une valeur (u1 , ..., un−1 ) voisine de (a1 , ..., an−1 ) est (5) xi = ϕi (xn ; u1 , ..., un−1 ), 1 ≤ i ≤ n. 1 (ϕi de classe C ) et on sait que (voir Remarque 6.4.6) det( ∂ϕi ) 6= 0, 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ i ≤ n − 1. ∂uj pour (u1 , ..., un−1 , xn ) voisin de (a1 , ..., an−1 , an ), donc par le théorème des fonction implicites le système (5) est équivaut à ui = ψi (x1 , ..., xn−1 , xn ) (donc ψi est constante sur les courbes de (4), 1 ≤ i ≤ n.) De plus ∂ψi 6= 0, 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ i ≤ n − 1. ∂uj est inversible, est son inverse ∂ϕi ∂uj 61 6.3 Equations différentielles dépendant d’un paramètre. (1) x0 (t) = f (t, x, λ), f : I × B(x0 , r) × A → E, avec A espace topologique, on suppose que • kf (t, x, λ)k ≤ M , sur I × B(x0 , r) × A. • kf (t, x1 , λ) − f (t, x2 , λ)k ≤ kkx1 − x2 k, t ∈ I, x1 , x2 ∈ B(x0 , r), λ ∈ A. On sait que pour chaque λ fixé (1) admet une solution unique définie sur J = I ∩ [t0 − Mr , t0 + Mr ] telle que ϕ(t0 ) = x0 . Théorème 6.3.1. ϕ(t, λ) est une fonction continue de (t, λ) ∈ I × A. Démonstration. On sait que t → ϕ(t, λ) est continue. Montrons que λ → ϕ(t, λ) est uniformément continue par rapport à t ∈ J. Soit λ0 ∈ A donné, on a ∂ϕ (t, λ0 ) − f (t, ϕ(t, λ0 ), λ) = 0, ∂t comme (t, λ) 7→ f (t, ϕ(t, λ0 ), λ) est continue d’après le lemme 6.4.2 f (t, ϕ(t, λ0 ), λ) 7−→ f (t, ϕ(t, λ0 ), λ0 ) uniformément lorsque λ → λ0 . Donc pour tout ε > 0, il existe un voisinage V de λ0 tel que kf (t, ϕ(t, λ0 ), λ) − f (t, ϕ(t, λ0 ), λ0 )k ≤ ε, ∀λ ∈ V, ∂ϕ (t, λ0 ) = f (t, ϕ(t, λ0 ), λ0 ), on montre qu’alors en utilisant le lemme avec ∂t fondamental ∀λ ∈ V, kϕ(t, λ) − ϕ(t, λ0 )k ≤ ε ek|t−t0 |−1 k ≤ Kε, K indépendant de t. Donc ϕ(t, λ) tend vers ϕ(t, λ0 ) uniformément par rapport à t. 6.3.1 Différentiabilité par rapport au paramètre. Théorème 6.3.2. Supposons que continues de (t, x, λ) ∈ U . ∂f ∂f (t, x, λ) et (t, x, λ) existent et sont ∂x ∂λ 62 Soit (t0 , x0 , λ0 ) ∈ U et soit I un interalle compact (t0 ∈ I) tel que l’équation ∂x = f (t, x, λ0 ) a une solution définie sur I passant par (t0 , x0 ). ∂t Alors pour u assez voisin de x0 et λ assez voisin de λ0 , l’équation (3) possède dans I une solution x = ϕ(t, u, λ) telle que ϕ(t0 , u, λ) = u et ϕ(t, u, λ) est une fonction de classe C 1 . ∂ϕ ∂ϕ De plus (t, x, λ) et (t, x, λ) sont dérivables par rapport à t et on a ∂u ∂λ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ = et = ∂t ∂u ∂u ∂t ∂t ∂λ ∂λ ∂t Soit ψ une intégrale première du système (2) alors ψ(ϕ1 (xn , u1 , ..., un−1 ), ..., ϕn−1 (xn , u1 , ..., un−1 ), xn ) ne dépend pas de xn , soit φ(u1 , ..., un−1 ), d’où ψ(x1 , ..., xn ) = φ(ψ1 (x), ..., ψn−1 (x)) Théorème 6.3.3. Supposons que les fonctions fi sont de classe C 1 au voisinage a1 , ..., an et non toutes nulles, alors le système (2) possède au voisinage de a1 , ..., an un système de (n − 1) intégrales premières ψ1 , ..., ψn−1 dont les dérivées, sont linéairement indépendantes en tout point de ce voisinage et tout intégrale première ψ est de la forme φ(ψ1 (x), ..., ψn−1 (x)) (où φ est une fonction de classe C 1 ) Corollaire 6.3.4. Étant donné l’équation aux dérivées partielles n X fi (x1 , ..., xn ) i=1 ∂ψ =0 ∂xi tel que fi sont de classe C 1 au voisinage de (a1 , ..., an ) et non tous nuls au point (a1 , ..., an ). Alors cette équation possède (n − 1) solutions (ψ1 , ..., ψn−1 ) dont les dérivées sont linéairements indépendantes et toute solution ψ est de la forme ψ = φ(ψ1 , ..., ψn−1 ) 63 6.3.2 Equations non homogènes. n X ∂z fi (x1 , x2 ..., xn , z) = fi (x1 , x2 , ..., xn , z) ∂x i i=1 fi et f de classe C 1 . On suppose que fi et f ne s’annulent pas toutes au voisinage du point (a1 , ..., an , b) et on se ramène au cas homogène, on cherche au voisinage de ∂ψ 6= 0 au (a1 , ..., an , b) une fonction de classe C 1 , ψi (x1 , x2 ..., xn , z) tel que ∂z point (a1 , ..., an , b) et tel que :∃Γ définie sur un voisinage de (a1 , ..., an ) tel que (7) ψi (x1 , x2 ..., xn , z) = 0 ⇔ z = Γ(x1 , x2 ..., xn ), et Γ satisfasse (6). Alors ψ vérifie l’équation homogène : n X i=1 fi ∂ψ ∂ψ + fi (x1 , x2 ..., xn , z) = 0, ∂xi ∂xi car en différentiant (7) on a : ∂ψ ∂ψ ∂z + = 0. ∂xi ∂z ∂xi Méthode pratique pour résoudre (6) : Le système caractéristique : dx2 dxn dz dx1 = = .... = = , f1 f2 fn f on cherche n intégrale premières ψ1 (x1 , ..., xn , z) .. . ψ (x , ..., x , z), 1 1 n dont les dérivées sont linéairement indépendantes. La solution générale est de la forme φ(ψ1 , ..., ψn ) = 0, où φ est une fonction de classe C 1 arbitraire. 64 Exemple 6.3.5. x ∂z ∂z +y = z. ∂x ∂y Le système caractéristique dx dy dz = = . x y z y z Si par exemple a 6= 0, on a les deux intégrales première et . x x La solution générales est de la forme φ( dy dy , )=0 x x 65 Chapitre 7 Equations Différentielles linéaires 7.1 Défintions et théorème d’existence. Définition 7.1.1. Une équation différentielle linéaire est une équation de la forme (1) x0 (t) = A(t).x(t) + B(t), t ∈ I ⊂ R, avec A : I → L(E, E) et B : I → E continues. Théorème 7.1.2. (d’existence globale) Pour tout (t0 , x0 ) ∈ I × E, il existe une solution unique ϕ : I → E telle que ϕ(t0 ) = x0 Démonstration. f (t, x) = A(t)x + B(t). Soit K ⊂ I un intervalle compact, alors f|K×E est lipschitzienne. En effet kf (t, x) − f (t, y)k ≤ kA(t)kkx − yk ≤ sup kA(t)kkx − yk K ≤ kkx − yk Soit (J, ψ) la solution maximale de (1) tel que ψ(t0 ) = x0 . Montrons que J = I. Si J = [t1 , t2 ] 6= I. Supposons t2 6= +∞, soit a = sup kA(t)k et [t0 ,t2 ] 66 b = sup kB(t)k, alors [t0 ,t2 ] kψ 0 (t)k ≤ kA(t)kkψ(t)k + kB(t)k ≤ akψ(t)k + b, d’où (lemme de majoration) b kψ(t)k ≤ kψ(t0 )k exp(a|t − t0 |) + (exp(a|t − t0 |) − 1), a comme exp(a|t − t0 |) est borné sur [t0 , t2 ] il en est de même de kψ(t)k. Alors kψ 0 (t)k ≤ M sur [t0 , t2 ]. Le théorème des accroissements finis implique que kψ(s) − ψ(t)k ≤ M |s − t| ∀s, t ∈]t0 , t2 [ ≤ M (|s − t2 | + |t2 − t|) ψ vérifie alors le critère de Cauchy au point t2 donc lim− ψ(s) existe dans E, t→t2 d’après le critère de prolongement il existe [t1 , t3 ] ! [t1 , t2 ] et ψe solution de (1) dans [t1 , t3 ], ce qui est en contradiction avec le fait que (J, ψ) est solution maximale. Remarque 7.1.3. ϕ est définie sur I tout entier ! Définition 7.1.4. L’équation homogène associée à (1) est : x0 (t) = A(t).x(t) Remarque 7.1.5. Si ϕ(t, x0 ) est solution de (2) tel que ϕ(t0 ) = x0 et ψ(t) solution de (1) tel que ϕ(t0 ) = 0. Alors ϕ(t, x0 ) + ψ(t) est la solution de (1) qui passe par (t0 , x0 ). Remarque 7.1.6. L’ensemble des solutions de (2) est un e.v. E. Si E est de dimension fini n alors dimE = n. (pour t ∈ I, ϕ → ϕ(t) est un isomorphisme.) Critère de Cauchy : Soit f : I → E avec E espace de Banach. Si ∀ε > 0, ∃η > 0 tel que |s − a| < η et |t − a| < r ⇒ kf (s) − f (t)k < ε, alors lim f (t) existe. t→a Remarque 7.1.7. Si ϕ(t, x0 ) est la solution de (2) qui prend la valeur x0 pour t = t0 , et ϕ(t, x1 ) solution de (2) qui prend la valeur x1 pour t = t0 , alors ϕ(t, x0 )+ϕ(t, x1 ) est la solution de (1) qui prend la valeur x0 +x1 pour t = t0 , donc ϕ(t, x0 ) + ϕ(t, x1 ) = ϕ(t, x0 + x1 ), de même on a ϕ(t, λx0 ) = λϕ(t, x0 ), λ ∈ R. Donc ϕ(t, x0 ) dépend linéairement de la valeur initiale x0 . 67 (2) 7.2 Résolvante On associe à l’équation homogène (2) l’équation dR = A(t) ◦ R(t) (3) dt où l’inconnue est R : I → L(E, E). • (3) est une équation différentielle linéaire et homogène, en effet l’application R → A(t) ◦ R est linéaire et continue. On peut donc appliquer à (3) le théorème d’existence et d’unicité. Soit R(t, t0 ) la solution de (3) telle que R(t0 , t0 ) = 1E . On l’appelle résolvante associée à l’équation homogène (2). Théorème 7.2.1. La solution de l’équation homogène x0 (t) = A(t).x(t), qui passe par (t0 , x0 ) s’écrit : x(t) = R(t, t0 ).x0 Théorème 7.2.2. Si t0 , t1 ∈ I alors R(t, t0 ) = R(t, t1 ) ◦ R(t1 , t0 ) Corollaire 7.2.3. R(t, t0 ) ∈ Iso(E, E) et [R(t, t0 )]−1 = R(t0 , t). Démonstration. S(t) = R(t, t1 ) ◦ R(t1 , t0 ). d dS = R(t, t1 ) ◦ R(t1 , t0 ) dt dt = A(t) ◦ R(t, t1 ) ◦ R(t1 , t0 ) = A(t) ◦ S(t) et on a S(t1 ) = R(t1 , t0 ), donc S est la solution de (3) qui prend la valeur R(t1 , t0 ) pour t = t1 . Or R(t, t0 ) est aussi une solution de (3) qui prend la valeur R(t1 , t0 ) pour t = t1 , d’où le résultat. dx Corollaire 7.2.4. La solution de l’équation homogène = A(t).x + B(t), dt qui passe par (t0 , x0 ) est Zt x(t) = R(t, t0 ).x0 + R(t, s).B(s)ds t0 68 Démonstration. On cherche une solution de la forme x(t) = R(t, t0 ).y(t) x0 (t) = R0 (t, t0 ).y(t) + R(t, t0 ).y 0 (t) = A(t) ◦ R(t, t0 ).y(t) + R(t, t0 ).y 0 (t) x0 (t) = A(t).x(t) + B(t) ⇔ A(t) ◦ R(t, t0 ).y(t) + R(t, t0 ).y 0 (t) = A(t) ◦ R(t, t0 ).y(t) + B(t) ⇒ R(t, t0 ).y 0 (t) = B(t) ⇒ y 0 (t) = [R(t, t0 )]−1 .B(t) = R(t0 , t).B(t), d’autre part y(t0 ) = R(t0 , t0 ).x0 . Zt Donc y(t) = x0 + R(t0 , s).B(s)ds, t0 Zt d’où x(t) = R(t, t0 ).x0 + R(t, s).B(s)ds. t0 7.3 7.3.1 Equations différentielles linéaires à coefficients constants. Définition Définition 7.3.1. Si la matrice A(t) est constante, on dit que l’équation linéaire x0 (t) = A.x(t), est à coefficients constants. On peut prendre I = R. 7.3.2 Résolvante dR = A ◦ R telle que R(0) = 1E ; Notons R(t) la solution de dt alors X tn R(t) = exp(tA) = An . n! n≥0 69 (on a kAn k ≤ kAkn donc X An n≥0 n! est normalement convergente.) En effet R0 (t) = X n≥1 tn−1 An (n − 1)! X tn An+1 n! n≥0 X tn = A( An ) n! n≥0 = = A◦R La solution de x0 (t) = A.x(t) qui passe par (t0 , x0 ) est x(t) = (exp(t − t0 )A).x0 Exercise 7.3.2. Montrer que exp(A1 + A2 ) = exp(A1 ) ◦ exp(A2 ), si A1 ◦ A2 = A2 ◦ A1 . 7.3.3 Cas où E est de dimension finie : Si E est un espace vectoriel complexe de dimension n et A ∈ LC (E, E), considérons l’équation caractéristique de A : det(A − λ1E ) = 0. Pour chaque racine λi de cette équation d’ordre de multiplicité ki , on note Ei = {x ∈ E/(A − λ1E )ki x = 0} sous espace propre de λi , alors E = ⊕Ei et dimEi = ki . Si x ∈ Ei , on a Ax ∈ Ei , en considérant Ai = A|Ei ∈ L(Ei , Ei ). ( ( xi ∈ E i , x ∈ E, ⇔ (b) i = 1, ..., n (a) dxi dx = A.x = Ai .xi dt dt Les solutions de (b) sont xi = exp(tAi ).xi (0) avec xi (0) = ui , et on a exp(tAi ) = eλi .t exp(t(Ai − λi .1Ei )) tki −1 = eλi .t (1Ei + t(Ai − λi .1Ei ) + ... + (Ai − λi .1Ei )ki −1 (k − 1)! {z i } | Pi (t) 70 car (Ai − λi 1Ei )ki = 0, degPi (t) ≤ ki − 1. ⇒ xi (t) = eλi .t (Pi (t).ui ). Lorsque ui décrit Ei , Qi (t) = Pi (t).ui décrit l’ensemble des polynômes de degrè ≤ ki − 1 à valeurs dans Ei (c’est un e.v. de dim ki ). Proposition 7.3.3. Les solutions de l’équation différentielle x0 (t) = A.x(t) est de la forme X x(t) = eλi .t Qi (t) i où Qi (t) est un polynôme de degrè ≤ ki − 1, λi valeur propre de A d’ordre ki . Cas particulier : Si A est diagonalisable, alors l’équation caractéristique n P admet n racines distinctes et on a x(t) = eλi .t ci , avec ci ∈ Ei . i=1 7.3.4 Équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients constants Soit Ai ∈ L(E, E), i = 1, ..., n − 1, on considère l’équation d’ordre n. (1) On pose 0 0 .. . dx dn−1 x dn x = A0 .x + A1 + ... + An−1 n−1 dt dt dt 1E 0 . . . 0 1E . . . ... 0 0 .. . A= 0 ... ... 0 1E A0 A1 A2 . . . An−1 x0 = x x1 = x0 .. . x (n−1) n−1 = x , alors (1) devient X 0 = AX, A ∈ L(E n , E n ) Si E = C n−1 X (∗) x(n) = ai x(i) i=0 71 , X= x0 x1 .. . xn−1 , 0 0 .. . 1 0 0 1 ... ... ... 0 0 .. . A= 0 ... ... 0 1 a0 a1 a2 . . . an−1 A ∈ L(Cn , Cn ), , l’équation caractéristique det(A − λI) = 0 ⇔ n λ − n−1 X ai λi = 0, i=0 car ∃u 6= 0 (A − λI)u = 0, u1 = λu0 u2 = λu1 .. ., ⇒ un−1 = λun−2 n−1 P P n−1 ai ui = ai λi u0 = λun−1 = λn u0 , i=0 i=0 Soit λk une racine du polynôme caractéristique, alors x(t) = eλk t est solution de (∗). Proposition 7.3.4. La solution générale de l’équation différentielle (∗) est de la forme X x(t) = eλi .t qi (t) i où qi (t) est un polynôme de degré ≤ ki − 1, ki est l’ordre de multiplicité de λi . 72 Bibliographie [1] Calcul Différentiel, A.Avez, Masson. [2] Calcul différentiel, B.ELMABSOUT. Exercice Masson. [3] Analyse, Jean MAWHIN DE Boeckand Larcier (Calcul différentiel et intégral concepts technique. [4] Calcul Différentiel, G.CHRISTOL, Ellipses. [5] Calcul Différentiel, H.CARTAN, Dunod. [6] Exercices de Calcul différentiel, F.RIDEAU, Hermann. [7] Cours de Calcul Différentiel, H.CARTAN et J.Kouneicher, Broché. [8] Calcul différentiel et Equations Différentielles cours et exercices corrigés, Syline Benzoni gavage, Dunod. 73