Calcul Différentiel

Table des mati`eres
Introduction. 3
Rappels et compl´ements. 7
0.1 Espace vectoriel norm´e. Espace de Banach. . . . . . . . . . . . 7
0.2 Continuit´e et alg´ebre multilin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Le groupe Iso(E,F) et l’application u7→ u−1.......... 11
1 Applications diff´erentiables. 13
1.1 Diff´erentielle en un point et sur un ouvert U........... 13
1.2 D´eriv´ee directionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 D´eriv´ee d’une fonction compos´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Op´erations sur les d´eriv´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Fonctions `a valeurs dans un produit d’espaces . . . . . . . . . 18
1.6 Fonctions d´efinies sur un ouvert d’un produit d’espaces . . . . 20
1.7 Combinaison des cas pr´ec´edents . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Th´eor`eme des accroissements finis et applications. 24
2.1 Fonctions `a variables r´eelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Fonctions `a variable dans un espace de Banach . . . . . . . . . 26
2.3 Applications............................ 26
2.4 Fonctions strictement diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Diff´eomorphismes de classe C131
3.1 D´efinition et propri´et´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Th´eor`eme d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1

4 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur-Formule de Taylor 36
4.1 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.1 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 FormuledeTaylor......................... 39
4.2.1 Rappel sur l’int´egration des fonctions r´egl´ees : . . . . . 39
4.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Formule de Taylor : Cas particulier . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Formule de Taylor : Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . 41
5 Maxima et Minima Relatifs 44
5.1 Extremalibres. .......................... 44
5.2 Extremali´es. ........................... 47
5.3 Convexit´e et minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Introduction au calcul des variations. . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Equations Diff´erentielles nonlin´eaires 54
6.1 D´efinitions et th´eor`eme de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.1 Premierordre....................... 54
6.1.2 Ordre n.......................... 54
6.2 D´ependance de la valeur initiale dans le cas lipschitzien. . . . 58
6.2.1 D´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2.2 Crit`ere de diff´erentiabilit´e par rapport `a u: ...... 59
6.2.3 Int´egrales premi`eres et ´equations au d´eriv´ees partielles. 60
6.2.4 Existence des int´egrales premi`eres : E=Rn...... 61
6.3 Equations diff´erentielles d´ependant d’un param`etre. . . . . . . 62
6.3.1 Diff´erentiabilit´e par rapport au param`etre. . . . . . . . 62
6.3.2 Equations non homog`enes. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Equations Diff´erentielles lin´eaires 66
7.1 D´efintions et th´eor`eme d’existence. . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2 R´esolvante............................. 68
7.3 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants. . . . 69
7.3.1 D´efinition ......................... 69
7.3.2 R´esolvante......................... 69
7.3.3 Cas o`u Eest de dimension finie : . . . . . . . . . . . . 70
7.3.4 ´ Equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre n`a coefficients
constants ......................... 71
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Introduction.
Nous commen¸cons par des rappels sur la notion de d´eriv´ee dans le cas le
plus simple des fonctions `a variables r´eelles et valeurs r´eelles.
D´efinition 0.0.1. (fonction r´eelle d´erivable)
Soit Iun intervalle ouvert de Ret f:I→Rune fonction r´eelle.
On dit que fest d´erivable en a∈Isi et seulement si le rapport f(x)−f(a)
x−a,
admet une limite lorsque xtend vers a. Cette limite, comme toute limite
de fonction si elle existe est alors unique ; on la note f0(a). Il s’agit ici d’un
nombre r´eel. On dit que f0(a) est la d´eriv´ee de fen a. Si fest d´erivable en
tout point ade I, on en d´eduit une fonction I3a→f0(a)∈R,appel´ee
fonction d´eriv´ee de f.
Remarquons que, dire que fest d´erivable en a, ´equivaut `a dire qu’il existe
un r´eel f0(a), tel que la fonction
I\{a} 3 x7→ 1
x−a[f(x)−f(a)−f0(a)(x−a)] ∈R
tend vers 0 lorsque xtend vers a. Ceci revient encore `a dire qu’il existe un
r´eel f0(a) et une fonction a:I→Rqui tend vers 0 lorsque xtend vers a
tels que :
∀x∈I:f(x)−f(a)−f0(a)(x−a) = (x−a)a(x) (∗)
Interpr´etation g´eom´etrique.
f0(a) est la pente de la tangente au graphe de fau point (a, f(a)).
3

D´efinition 0.0.2. (fonction `a valeurs dans R2)
On dit que l’application f: Ω →R2est d´erivable en asi et seulement si
la fonction Ω\{a} 3 a7→ 1
x−a[f(x)−f(a)] ∈R2admet une limite en a
dans R2(n´ecessairement unique et not´e −→ f0(a)), ou de fa¸con ´equivalente si et
seulement si il existe un vecteur −→ f0(a)∈R2et une application a: Ω →R
de limite nulle en a, tel que :
∀x∈Ω : f(x)−f(a) = −→ f0(a)(x−a) + |x−a|a(x) (∗∗)
Interpr´etation g´eom´etrique.
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Remarque 0.0.3.
1. Dans cette d´efinition, la norme de R2intervient (la notion de limite
d´epend a priori de la norme choisie sur R2), la notion de d´erivabilit´e
et de d´eriv´ee en un point d´epend donc a priori de la norme que l’on
se donne sur R2. Mais dans le cas de R2toutes les normes ´etant
´equivalentes, la d´erivabilit´e et la d´eriv´ee de fen un point sont ind´ependantes
de la norme choisie.
2. La d´efinition de d´erivabilit´e (∗∗) n’a plus de sens d`es que fest d´efinie
sur un espace vectoriel quelconque E, puisque dans ce cas le produit
(x−a).−→ f0n’a plus de sens !
3. Le but de ce cours est de donner une notion pertinente de ”d´eriv´ee”,
pour les applications `a variables dans un espace vectoriel norm´e Ede
dimension >1. Pour cela, on remarquera que l’application
L:K3x7→ x.−→ f0∈Fest lin´eaire, sur ce mod`ele on remplacera donc
dans le cas g´en´erale la d´efinition (∗∗) par : ”il existe une application
lin´eaire La:E→F, et une application pa: Ω →Fqui tend vers 0F
lorsque sa variable tend vers 0E, telles que :
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