I MOYENNES MOBILES 1° Série chronologique Définition Une série

I MOYENNES MOBILES
1° Série chronologique
Définition
Une série chronologique porte sur des observations réalisées dans le temps, usuellement à intervalles égaux.
EXEMPLE : On a relevé les précipitations, en mm/m
2
, dans le Var, pendant les douze mois de l'année 1996 :
Mois 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pluie 79 73 66 12 75 2 16 1 46 63 42 1
Afin de dégager une tendance générale, on élimine les fluctuations les plus grandes en lissant la série.
2° Moyenne mobile d'ordre 3
Définition
Soit une série chronologique prenant les valeurs x
1
, x
2
, ..., x
N
aux dates d
1
, d
2
, d
N
.
Lisser la série par les moyennes mobiles d'ordre 3 revient à remplacer la série (x
1
, x
2
,..., x
N
) par la série (y
2
, y
3
,.., y
N–1
)
avec y
i
= x
i–1
+ x
i
+ x
i+1
3 pour 0 ≤ i ≤ N – 1.
Remarque : La série lissée comporte deux valeurs en moins.
Date d
1
d
2
… d
N–1
d
N
Série initiale x
1
x
2
x
N–1
x
N
Série lissée y
2
= x
1
+ x
2
+ x
3
3 y
N–1
Un exemple
On considère la série chronologique suivante donnant les températures moyennes mensuelles en un lieu donné. Les
mois de janvier à décembre sont notés de 1 à 12.
date 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
température t. 5 3 6 10 5 18 25 24 20 14 10 8
Considérons la nouvelle série définie ainsi :
T
2
= t
l
+ t
2
+ t
3
3 T
3
= t
2
+ t
3
+ t
4
3 T
4
= t
3
+ t
4
+ t
5
3 …. T
11
= t
10
+ t
11
+ t
12
3
Ainsi, T
2
est la moyenne des nombres t
1
, t
2
, t
3
; T
3
est la moyenne des nombres t
2
, t
3
, t
4
, etc.
Cette nouvelle série ainsi définie est appelée série des moyennes mobiles d'ordre 3.
Remarque : Cette série contient 10 valeurs, T
2
, T
3
, ..., T
11
, et non pas 12 comme la série initiale.
On peut représenter les deux séries dans un même tableau.
rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
série initiale ti 5 3 6 10 15 18 25 24 20 14 10 8
série des moyennes
mobiles Ti d'ordre 3
14
3 19 3 31 3 43 3 58 3 67 3 23 58 3 44 3 32 2
Représentation graphique
Sur le diagramme ci-dessous sont représentées deux séries :
• la série initiale, en vert contenant 12 valeurs ;
• la série des moyennes mobiles, en rouge, contenant 10 valeurs.
Pour chacune des séries, les points sont reliés par une ligne polygonale.

3° Moyennes mobiles d'ordre k
À partir de la série chronologique précédente (paragraphe 4.1), on définit de même s la série des moyennes mobiles
d'ordre 5 :
T
3
= t
l
+ t
2
+ t
3
+ t
4
+ t
5
2 T
4
= t
2
+ t
3
+ t
4
+ t
5
+ t
6
5
Cette nouvelle série ne contient que 8 valeurs.
Plus généralement, on définit de manière analogue la série des moyennes mobile d'ordre 5.

II DIAGRAMMES EN BOITE
1° Quartiles
a) Définition
Soit une série statistique dont les valeurs sont rangées par ordre croissant.
x
1
≤ x
2
≤ … ≤ x
n
Les quartiles partagent cette série en quatre parties qui ont toutes sensiblement le même effectif.
Le premier quartile Q
1
d’une série statistique est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25% des valeurs de
celle-ci lui soit inférieures ou égales.
Le troisième quartile Q
3
d’une série statistique est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75% des valeurs
de celle-ci lui soit inférieures ou égales.
b) Méthode pratique
Si N est l'effectif total de la série.
Le premier quartile Q
1
de la série est la valeur x
i
dont l'indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à N
4 .
Le troisième quartile Q
3
est la valeur x
i
dont l'indice i est le plus petit entier supérieur ou égal à 3 N
4
c) Exemple 1
x
l
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
1 3 4 6 9 10 12 15
N = 8 : N
4 = 2 donc Q
1
= x
2
= 3.
3 N
4 = 6 donc Q
3
= x
6
= 10
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
1 2 4 5 9 9 10 15 18
N = 9 : N
4 = 2,25 donc Q
1
= x
3
= 4.
3 N
4 = 6,75 donc Q
3
= x
7
= 10.
d) Avec des effectifs cumulés
x
i
10,5 11,3 14,2 15,1 25,2 34,5 39,2
n
i
11 34 12 25 37 28 11
11 45 57 82 119 147 158
158
4 = 39,5 et 11 < 39,5 ≤ 45 donc Q
1
est la valeur de rang 40 c'est à dire 11,3
158
2 = 79 et 57 < 79 ≤ 82 donc Me est la valeur de rang 79 c'est à dire 15,1
3 × 158
4 = 118,5 et 82 < 118,5 ≤ 119 donc Q
3
est la valeur de rang 119 c'est à dire 25,2.
2° Ecart interquartile
L'intervalle [Q
1
; Q
3
] est appelé intervalle interquartile.
Le réel Q
3
– Q
1
est appelé écart interquartile.
Généralement, on a :

3° Diagramme en boîte
On place sur un axe :
• le minimum, le maximum, le premier quartile, le troisième quartile et la médiane
• On construit alors une boîte rectangulaire de largeur arbitraire dont les extrémités sont Q
1
et Q
3
.
•
Un trait dans la boîte représente la médiane.
Le diagramme en boîte d'une série statistique en est alors la représentation suivante :
Exemple: Pour la série 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 9; 9 ; 10 ; 15 ; 18, on a : M
e
= 9, Q
1
= 4 et Q
3
= 10.
Remarque : On peut aussi construire cette boîte verticalement.
Remarque : les « moustaches » s’arrêtent parfois aux déciles D
1
et D
9
.
Définitions : Le premier décile D
1
d’une série statistique est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 10%
des valeurs de celle-ci lui soit inférieures ou égales.
Le neuvième décile D
9
d’une série statistique est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 90% des valeurs de
celle-ci lui soit inférieures ou égales.
Ce diagramme, appelé aussi boîte à moustaches ou boite à pattes a été inventé par John W. Tukey (1915-2000).
Exemple
x
i
10,5 11,3 14,2 15,1 25,2 34,5 39,2
n
i
11 34 12 25 37 28 11
11 45 57 82 119 147 158
158
4 = 39,5 donc Q
1
est la valeur de rang 40 c'est à dire 11,3
158
2 = 79. Donc Me est la valeur de rang 79 c'est à dire 15,1
3 × 158
4 = 118,5 Donc Q
3
est la valeur de rang 119 c'est à dire 25,2.
Q
1
Me Q
3
min
Max

III MOYENNE, VARIANCE ET ECART-TYPE
1° La moyenne
a) Définition : La moyenne d’une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par
l’effectif total. On la note
−
x .
On a :
−
x = n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ … + n
p
x
p
n
1
+ n
2
+ … + n
p
= n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ … + n
p
x
p
N avec N = n
1
+ n
2
+ … + n
p
(effectif total).
On note
−
x =
∑
i=1
p
n
i
x
i
∑
i=1
p
n
i
Avec les fréquences : x = f
1
x
1
+ f
2
x
2
+ … + f
p
x
p
=
∑
i=1
p
f
i
x
i
.
Dans le cas d’un caractère continu dont les valeurs sont regroupées en classe, on calcule la moyenne en choisissant
comme valeurs du caractère les centres des classes.
b) Propriétés :
• Si une série est partagée en deux séries d’effectifs N et P, et de moyennes
−
x et
−
y alors la moyenne de la série totale
est
−
z = N
−
x + P
−
y
N + P
• Linéarité :
- Si on multiplie chaque valeur de la série par un réel a (a
≠
0), alors la moyenne est multipliée par a.
- Si on ajoute à chaque valeur de la série le réel b, alors la moyenne augmente de b.
2° Dispersion des valeurs autour de la moyenne
a) Variance
Sans effectif
Soit la série statistique (x
1
, x
2
, ..., x
n
) de moyenne
−
x
La variance V de la série est la moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur et la moyenne.
V = (x
1
–
−
x)
2
+ (x
2
–
−
x)
2
+ … + (x
N
–
−
x)
2
N
Valeur x
1
x
2
…. x
p
Total Avec effectifs
La variance de cette série est le réel V tel que : effectif n
1
n
2
….. n
p
N
V = n
1
(x
1
–
−
x)
2
+ n
2
(x
2
–
−
x)
2
+ … + n
p
(x
p
–
−
x)
2
N =
∑
i = 1
p
n
i
(x
i
–
−
x)
2
N
Valeur x
1
x
2
…. x
p
Total Avec fréquences
La variance de cette série est le réel V tel que : effectif f
1
f
2
….. f
p
1
V = f
1
(x
1
–
−
x)
2
+ f
2
(x
2
–
−
x)
2
+ … + f
p
(xp –
−
x)
2
=
∑
i = 1
p
f
i
(x
i
–
−
x)
2
Autre formule
V =
∑
i = 1
p
n
i
x
i2
N –
−
x
2
La variance est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.