Quelques notions de base sur les intégrales généralisées

Chapitre 1
Quelques notions de base sur les
int´egrales g´en´eralis´ees
1.1 D´efinitions
D´efinition 1 : Soit I un intervalle de Ret f:I→Rune fonction. On dira que fest localement
int´egrable sur I si et seulement si f est int´egrable sur tout intervalle de compact de I, c’est `a dire sur
tout intervalle [α, β] tel que [α, β]⊂I.
Remarque : en pratique, les fonctions localement int´egrables sont les fonctions continues ou continues
par morceaux.
D´efinition 2 : Soient aet btels que −∞ < a < b 6+∞. On consid`ere la fonction f: [a, b[→R
localement int´egrable, et on pose : ∀x∈[a, b[, F(x) = Zx
a
f(t)dt. On dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee
(ou impropre) de fconverge sur [a, b[ si la limite lim
x→bF(x) existe et est finie. Dans ce cas on note :
Zb
a
f(t)dt = lim
x→bZx
a
f(t)dt = lim
x→bF(x).
Remarque : si l’int´egrale ne converge pas on dit qu’elle diverge. Elle peut diverger pour deux raisons :
soit la limite limx→bRx
af(t)dt existe mais est infinie (dans ce cas on dit que l’int´egrale Zb
a
f(t)dt est
infinie), soit cette limite n’existe pas (et dans ce cas on dit que l’int´egrale Zb
a
f(t)dt n’existe pas).
Exemples :´
Etude de Z+∞
0
dt
1 + t2(converge), R+∞
1
dt
t(existe mais diverge : R+∞
1
dt
t= +∞), R1
0
dt
1−t
(idem), R1
0
dt
√1−t(converge), R+∞
0cos t dt (diverge : la limite n’existe pas).
Remarque : D´efinition analogue pour f: ]a, b]→Ravec F(x) = Zb
x
f(t)dt (−∞ 6a < b < +∞)
D´efinition 3 : Soient aet btels que −∞ 6a < b 6+∞. On consid`ere la fonction f: ]a, b[→R
localement int´egrable. On dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee de fconverge sur ]a, b[ s’il existe c∈]a, b[ tel
que Zc
a
f(t)dt et Zb
c
f(t)dt convergent. Dans ce cas, c’est vrai pour tout c∈]a, b[ ; on note alors
Zb
a
f(t)dt =Zc
a
f(t)dt +Zb
c
f(t)dt
2

(ind´ependant de c).
Exemple :´
Etude de Z+∞
−∞
dt
1 + t2.
Crit`ere de Cauchy : soit f: [a, b[→Rune fonction localement int´egrable ; on a l’´equivalence entre
les deux assertions :
i) l’int´egrale g´en´eralis´ee Rb
af(x)dx converge,
ii) on a la limite lim
min(X,Y )→bRY
Xf(x)dx = 0, ce qui se traduit rigoureusement par
∀ε > 0∃c∈]a, b[∀X, Y ∈]c, b[
ZY
X
f(x)dx
6ε.
Exercice : formuler le crit`ere analogue pour Rb
af(t)dt avec f: ]a, b]→Rlocalement int´egrable.
Exemple : convergence de R+∞
1
cos t
t2dt.
Application : si −∞ < a < b < +∞et flocalement int´egrable et born´ee sur ]a, b[, alors Rb
af(t)dt
converge.
Exemple : convergence de R1
0sin 1
xdx.
Remarques :
–R+∞
0f(t)dt converge 6⇒ f(t)−→
t→+∞0. (Consid´erer par exemple fvalant 2nsur [n−4−n, n + 4−n]
pour n>1 et nulle en dehors de ces intervalles.)
–f(t)−→
t→+∞06⇒ R+∞
0f(t)dt converge. (Penser `a R+∞ 0
dt
1+t.)
Deux erreurs fr´equentes (et dont il faut absolument se garder) consistent `a affirmer que ces “implica-
tions” sont vraies !
Plus g´en´eralement, il ne faut pas confondre la question de l’existence d’une limite de la fonction f
aux bornes de l’intervalle d’int´egration et celle de la convergence de l’int´egrale de f. L’int´egrale peut
converger mˆeme quand fn’a pas de limite ou a une limite infinie ; si fa une limite finie non nulle en
une borne infinie l’int´egrale diverge toujours, et si fa une limite nulle en une borne infinie l’int´egrale
peut diverger. Le tableau suivant, repr´esentatif des situations en une borne finie, ´etudie l’int´egrale
d’une fonction f: ]0, b]→R(avec b < ∞)
lim f∈Rlim f∈ {±∞} lim fn’existe pas
Rb
0f(x)dx converge toujours ex : 1
√xex : sin 1
x
(crit`ere de Cauchy)
Rb
0f(x)dx diverge jamais ex : 1
xex : fqui vaut 2nsur
1
n−1 2n,1 n+1 2n(n>6) et 0 ailleurs
Le tableau suivant, repr´esentatif des situations en une borne infinie, ´etudie l’int´egrale d’une fonction
f: [a, +∞[→R(avec −∞ < a)
lim f= 0 lim f6= 0 lim fn’existe pas
R+∞
af(x)dx converge ex : f= 0 jamais ex : fvalant 2nsur
[n−4−n, n + 4−n] (n>1) et 0 ailleurs
R+∞
af(x)dx diverge ex : 1
x−a+1 toujours ex : sin(x)
3

1.2 M´ethodes de calcul des int´egrales g´en´eralis´ees
1.2.1 Primitive
La premi`ere m´ethode de calcul d’une int´egrale g´en´eralis´ee consiste `a prendre une primitive lorsque
c’est possible, puis de prendre la limite. On a vu des exemples ci-dessus. En voici un autre :
Exemple :R+∞
c
dx
(x−a)(x−b)(c > a > b). On d´ecompose la fraction 1 (x−a)(x−b)en ´el´ements simples, c’est-
`a-dire qu’on cherche des constantes Aet Btelles que pour tout xon ait 1
(x−a)(x−b)=A
x−a+B x−b. On
peut les deviner, sinon on utilise la m´ethode suivante : multipliant 1
(x−a)(x−b)=A
x−a+B x−bpar x−aon
obtient 1
x−b=A+B(x−a) x−bd’o`u (en prenant x=a)A=1 a−b, et on trouve de mˆeme que B=−1 a−b; donc
1
(x−a)(x−b)=1
a−b1 x−a−1 x−b. D’o`u (en primitivant) RX
c
dx
(x−a)(x−b)=1
a−bln X−a X−b−ln c−a c−b−→
X→+∞
1
a−bln c−b c−a.
1.2.2 Changement de variable
Th´eor`eme 1 : Changement de variable
Soient aet btels que −∞ 6a < b 6+∞et f: ]a, b[→Rune fonction continue. Soit φ: ]α, β[→]a, b[
une bijection de classe C1dont la fonction r´eciproque est aussi de classe C1, alors :
Zb
a
f(t)dt et Zβ
α
f(φ(u))φ′(u)du
ont mˆeme nature, et dans le cas o`u elles convergent, elles sont ´egales.
Exemple :´
Etude de Zb
a
dt
p(t−a)(b−t)(a < b). [Poser t=a+ (b−a)upuis u=v2.]
1.2.3 Int´egration par parties
Th´eor`eme 2 : Int´egration par parties
Soient aet btels que −∞ 6a < b 6+∞et fet gdeux fonctions de ]a, b[→Rde classe C1.
On suppose que lim
x→bf(x)g(x) existe et vaut lb∈Ret que lim
x→af(x)g(x) existe et vaut la∈R, alors
Zb
a
f′(t)g(t)dt et Zb
a
f(t)g′(t)dt ont mˆeme nature, et dans le cas o`u elles convergent, on a :
Zb
a
f′(t)g(t)dt = (lb−la)−Zb
a
f(t)g′(t)dt
Exemple : convergence de R+∞
1
sin t
tdt (en se ramenant `a celle de R+∞
1
cos t
t2dt prouv´ee plus haut).
1.3 Convergence absolue
D´efinition 4 : On dit qu’une int´egrale g´en´eralis´ee Zb
a
f(t)dt est absolument convergente si Zb
a
|f(t)|dt
converge.
Th´eor`eme 3 : Toute int´egrale absolument convergente est convergente.
Preuve : par le crit`ere de Cauchy.
Autre preuve ou exercice (sans le crit`ere de Cauchy) : On suppose par exemple I= [a, b[. On a
l’in´egalit´e : 0 6f(t) + |f(t)|62|f(t)|. On int`egre : la fonction x7→ Rx
a|f(t)|dt a une limite finie en
4

b, est croissante (car |f|positive), donc major´ee par sa limite, donc x7→ Rx
a(f(t) + |f(t)|)dt est une
fonction major´ee et croissante sur [a, b[ (par positivit´e de f+|f|), donc elle admet une limite finie.
Alors par diff´erence, x7→ Rx
af(t)dt a une limite finie en b.
N.B. Attention la r´eciproque du th´eor`eme ci-dessus est fausse : toute int´egrale conver-
gente n’est pas absolument convergente :
D´efinition 5 : On dit qu’une int´egrale g´en´eralis´ee Zb
a
f(t)dt est semi-convergente si elle est convergente
mais pas absolument convergente.
Exercice : Montrer que l’int´egrale R+∞
1
sin t
tdt est semi-convergente. (On pourra montrer la divergence
de R+∞
1|sin t|
tdt en minorant |sin t|par sin2t= (1 −cos(2t))/2.)
1.4 Crit`eres de convergence pour les int´egrales de fonctions posi-
tives
Les crit`eres qui suivent sont commodes pour d´eterminer si une int´egrale g´en´eralis´ee d’une fonction
positive converge. En les appliquant `a Rb
a|f(t)|dt on peut voir si une int´egrale g´en´eralis´ee d’une fonction
non positive converge absolument.
1.4.1 Th´eor`eme de convergence
Th´eor`eme 4 : Soient aet btels que −∞ < a < b 6+∞et f: [a, b[→R+localement int´egrable. On
pose ∀x∈[a, b[, F(x) = Zx
a
f(t)dt. Alors l’int´egrale Zb
a
f(t)dt est convergente si et seulement si Fest
major´ee sur [a, b[.
Si l’int´egrale Zb
a
f(t)dt est divergente, c’est-`a-dire si F(x)→+∞quand x→+∞, on note
Rb
af(t)dt = +∞.
Noter que pour une fonction localement int´egrable positive, l’int´egrale g´en´eralis´ee Rb
af(t)dt existe
toujours (quitte `a ˆetre infinie, donc divergente) ; tandis que pour une fonction dont le signe varie (par
exemple f(t) = sin t), l’int´egrale Rb
af(t)dt peut ne pas exister du tout.
1.4.2 Crit`eres de comparaison
Th´eor`eme 5 : Soient aet btels que −∞ 6a < b 6+∞et f, g : ]a, b[→R+localement int´egrables
telles que ∀t∈]a, b[ on ait
06f(t)6g(t).
On a alors :
06Zb
a
f(t)dt 6Zb
a
g(t)dt.
En particulier :
1. Si Zb
a
g(t)dt est convergente, alors Zb
a
f(t)dt est convergente.
2. Si Zb
a
f(t)dt est divergente, alors Zb
a
g(t)dt est divergente.
Exemples : on retrouve la convergence (absolue) de R+∞
1
cos t
t2dt et de R1
0sin 1
xdx (d´ej`a vue comme
application directe du crit`ere de Cauchy) : car R+∞
1|cos t
t2|dt 6R+∞
1|1
t2|dt = [−1
t]+∞
1= 1 <+∞et
R1
0|sin 1
x|dx 6|R1
0dx|= 1 <+∞.
5

1.4.3 Utilisation des ´equivalents
Rappel : on dit que deux fonctions f,gsont ´equivalentes en un point t0∈R∪ {−∞,+∞}, et on
note f(t)∼g(t) quand t→t0(ou f∼
t0
g), si f(t)/g(t)→1 quand t→t0. (Exemples : sin t∼tquand
t→0, t
1+t2∼1
tquand t→ ±∞.)
Th´eor`eme 6 : Soient aet btels que −∞ < a < b 6+∞et fet gd´efinies de [a, b[→R+localement
int´egrables telles que f(t)∼g(t) quand t→balors Zb
a
f(t)dt et Zb
a
g(t)dt ont mˆeme nature.
1.4.4 Exemples de base
Th´eor`eme 7 : Int´egrale de Riemann
1. Z1
0
dt
tαconverge si et seulement si α < 1. (Preuve en exercice.)
2. Z+∞
1
dt
tαconverge si et seulement si α > 1. (Preuve en exercice.)
Application : Crit`ere de Riemann en 0. Soit fune fonction positive et localement int´egrable sur ]0,1] ;
on suppose que f(t)∼
0
1
tα: alors R1
0f(t)dt converge ssi α < 1.
Exemple (exercice) : nature de l’int´egrale R1
0
ln(1+5t2)+t7
√sin t(tan t)2dt.
Crit`ere de Riemann en +∞. Soit fune fonction positive et localement int´egrable sur [1,+∞[ ; on
suppose que f(t)∼
+∞
1
tα: alors R+∞
1f(t)dt converge ssi α > 1.
Exemple : nature de l’int´egrale R+∞
1
15t5+5t4+12t3+217t2+54t+8877
21t7+876t5+258t+34532 dt.
Th´eor`eme 8 : Int´egrales de Bertrand
Soient aun r´eel strictement sup´erieur `a 1 et αet βdeux r´eels quelconques. Alors Z+∞
a
dt
tα(ln t)β
converge si et seulement si α > 1 et βquelconque, ou bien α= 1 et β > 1.
Soient a∈]0,1[ et αet βdeux r´eels quelconques. Alors Za
0
dt
tα|ln t|βconverge si et seulement si α < 1
et βquelconque, ou bien α= 1 et β > 1.
Crit`ere de Bertrand en +∞. Soit fune fonction positive et localement int´egrable sur [A, +∞[, A∈R;
on suppose que f(t)∼
+∞
1
tα(ln t)β: alors R+∞
Af(t)dt converge ssi α > 1 et βquelconque, ou bien α= 1
et β > 1.
Crit`ere de Bertrand en 0. Soit fune fonction positive et localement int´egrable sur ]0, A], A > 0 ; on
suppose que f(t)∼
0
1
tα|ln t|β: alors RA
0f(t)dt converge ssi α < 1 et βquelconque, ou bien α= 1 et
β > 1.
1.5 Int´egrales `a param`etre
On admet :
Th´eor`eme de continuit´e : Soient I,Jdes intervalles de R. Soit f:I×J→C, (x, t)7→ f(x, t), une
fonction telle que
1. Pour tout x∈I,t7→ f(x, t) est localement int´egrable sur J.
2. Pour tout t∈J,x7→ f(x, t) est continue sur I.
3. Il existe une fonction g:J→R+localement int´egrable, telle que |f(x, t)|6g(t) pour tous
x∈I,t∈J, et telle que RJg(t)dt converge.
6