Probabilités

ISBN 978-2-311-40014-4
WWW.VUIBERT.FR
Probabilités et introduction à la statistique
Cours & exercices corrigés
9 782311 400144
LICENCE 3, ÉCOLES D’INGÉNIEURS CAPES & AGRÉGATION MATHÉMATIQUES
Valérie Girardin & Nikolaos Limnios
Probabilités
et introduction à la statistique
Probabilités
LICENCE 3
ÉCOLES D’INGÉNIEURS
CAPES & AGRÉGATION
MATHÉMATIQUES
Valérie Girardin
Nikolaos Limnios
•
Cours complet
•
Exercices d’application corrigés
•
Problèmes de synthèse
et introduction à la statistique
Rédigé principalement à l’attention des étudiants en 3eannée de Licence de
mathématiques et en écoles d’ingénieurs, cet ouvrage présente l’ensemble
du programme de probabilités avec un cours complet, de nombreux
exercices corrigés ainsi que des problèmes de synthèse.
D’une lecture aisée, ce manuel aborde, de manière rigoureuse, les
fondements théoriques des probabilités et de leurs applications. Son
contenu servira également de base de révision aux concours du CAPES (dans
le cadre du Master MEEF) et de l’Agrégation de mathématiques.
Agrégée de mathématiques, Valérie Girardin est maître de conférences à l’Université de Caen Basse-
Normandie, Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, et habilitée à diriger les recherches.
Nikolaos Limnios est professeur à l’Université de Technologie de Compiègne (UTC), Laboratoire de
Mathématiques Appliquées.
Sommaire
Notations
1. Événements et probabilités
2. Variables aléatoires
3. Vecteurs aléatoires
4. Suites aléatoires
5. Statistique
Problèmes à résoudre
À la fin de chaque chapitre, on trouvera
des exercices suivis de leurs corrigés
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Table des matières
Avant-propos V
Notations VII
1 Événements et probabilités 1
1.1 Espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espaces mesurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espaces de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Indépendance de familles finies . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Variables aléatoires 27
2.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Outils analytiques en probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Fiabilité et fonction de survie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Vecteurs aléatoires 83
3.1 Relations entre variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Caractéristiques des vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Fonctions de vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 Suites aléatoires 131
4.1 Suites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Convergence de suites aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 Méthodes de simulation stochastique . . . . . . . . . . . . . . 156
4.5 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

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IV Table des matières
5 Statistique 169
5.1 Statistique non paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2 Statistique paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3 Modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4 Exercices et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Problèmes à résoudre 211
Bibliographie 219
Index 221
Table des figures 227

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CHAPITRE 3
Vecteurs aléatoires
Nous avons considéré dans le chapitre précédent des variables aléatoires
réelles, c’est-à-dire des applications mesurables à valeurs dans R. Nous pré-
sentons dans ce chapitre l’étude simultanée de plusieurs variables aléatoires
réelles, c’est-à-dire celle des vecteurs aléatoires réels.
Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité. Toute fonction borélienne
X= (X1,...,Xd)′: (Ω,F,P)−→ (Rd,B(Rd))
ω−→ (X1(ω),...,Xd(ω))′
est appelée d-vecteur aléatoire réel si d > 1. Les variables aléatoires réelles
correspondent au cas d= 1.
Il est facile de voir que Xest un vecteur aléatoire si et seulement si toutes
les applications coordonnées, Xj,pour j= 1,...,d, sont des variables aléa-
toires. Étudier Xrevient à étudier simultanément les dphénomènes ou va-
riables (X1,...,Xd) liés à une même expérience aléatoire. Lorsqu’il n’y a pas
d’ambiguïté, nous noterons indifféremment (X1,...,Xd) ou (X1,...,Xd)′.
Exemple 3.1 Mesure simultanée de caractéristiques physiques comme le
poids, la taille, etc., au sein d’une population. ⊳
Les vecteurs aléatoires réels ont beaucoup de propriétés similaires à celles
des variables aléatoires réelles. Nous leur étendons les notions vues dans le
chapitre 2. Nous y ajoutons celles liées aux relations des variables entre elles
comme la covariance, l’indépendance, l’entropie, les statistiques d’ordre. . .
Nous insistons sur le calcul effectif de la loi de fonctions de plusieurs variables
aléatoires et sur le cas des vecteurs gaussiens.
3.1 Relations entre variables aléatoires
Nous commençons par des relations entre variables aléatoires, nécessaires à
l’étude des vecteurs et intéressantes en elles-mêmes dans les applications.