1. Comment reconnaît-on une fonction continue

Continuité et dérivation
L'étude des fonctions est complétée en terminale par la notion de continuité. C'est l'occasion
de découvrir une fonction qui n'est pas continue : la fonction partie entière.
Cette notion de continuité est importante en économie ; elle sert notamment à modéliser les
phénomènes à effet de seuil.
1. Comment reconnaît-on une fonction continue ?
Intuitivement, on peut dire qu'une fonction est continue lorsque l'on peut parcourir sa
représentation graphique sans lever le crayon.
Pratiquement, une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie pour tout réel a
de cet intervalle et si :
Ainsi, la fonction f représentée ci-dessous et définie sur [0 ; 5] n'est pas continue en 3 car
et
(les limites à gauche et à droite de la valeur 3 sont
différentes).
2. Qu'est-ce que la fonction partie entière ?
La fonction partie entière associe à chaque nombre positif sa partie entière, située à gauche de
la virgule. On la note :
.
Plus généralement, si x est encadré par deux entiers relatifs consécutifs n et n + 1, la fonction
partie entière est définie par E(x) = n avec
.
Ainsi :
E(2,5) = 2 ; E(2) = 2 ; E(–2,5) = –3 car
; E(–3) = –3.
Sa représentation graphique est une celle d'une fonction constante par intervalles (ou
fonction en escalier).
On peut remarquer que :
et
Les limites à gauche et à droite de 3 étant différentes, la fonction partie entière n'est pas
continue en 3. Il en est de même pour toutes les valeurs entières.
3. Une fonction continue est-elle toujours dérivable ? Une fonction
dérivable est-elle toujours continue ?
Une fonction f est dérivable en a lorsque l'on peut définir le nombre dérivé :
En considérant la représentation graphique C de f et sa tangente T au point (a ; f(a)), on
observe que lorsque h est proche de 0, f(a) + hf'(a) est une approximation de f(a + h).
D'où :
Donc f est continue en a.
Plus généralement, si une fonction est dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur
cet intervalle.
Attention, la réciproque est fausse. Une fonction continue n'est pas nécessairement
dérivable.
Considérons, par exemple, la fonction g définie sur [0 ; + [ par :
g est continue en 4 car
et
En revanche, la fonction g n'est pas dérivable en 4 car la dérivée à gauche de 4 est
et la
dérivée à droite de 4 est
4. Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ? À quoi sertil ?
Soit une fonction f continue sur un intervalle [a ; b]. Alors il y a pour tout
au
moins un nombre
tel que f(x0) = y. x0 est unique lorsque la fonction f est
strictement monotone.
Graphiquement, le nombre de solutions de l'équation f(x) = c correspond au nombre de
points d'intersection de la courbe représentant f avec la droite d'équation y = c. Si f est
strictement monotone, alors cette équation a une solution unique.
5. Qu'appelle-t-on coût marginal ?
Le coût marginal est le surcoût engendré par la production d'un objet supplémentaire. Ce
surcoût varie en fonction du nombre d'objets préalablement fabriqués.
On définit de la même manière la recette marginale et le bénéfice marginal.
Si le nombre d'objets préalablement fabriqués est suffisamment grand, les économistes
conviennent d'en faire une approximation par le nombre dérivé.
On a alors pour une fonction coût C : C(x + 1) – C(x)
C'(x).
Par exemple, si la fonction coût est donnée par C(x) = 0,02x3 + 0,5x2 + 100, le coût marginal
du 101e objet est donné par C(101) – C(100) = 707.
En utilisant l'approximation donnée par la dérivée C'(x) = 0,06x2 + x, on trouve
C'(100) = 0,06 × 1002 + 100 = 700. Soit une erreur de seulement 1 %.
À retenir
Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est définie pour tout réel a de cet
intervalle et si, au voisinage de a,
Si une fonction est dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur cet intervalle.
Attention, la réciproque est fausse : une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable.
Si une fonction est continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet de connaître les
valeurs exactes ou approchées des solutions éventuelles de l'équation f(x) = c. Ce sont les
abscisses des points d'intersection de la courbe représentant f avec la droite d'équation y = c.
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