De la réduction des endomorphismes.

- De la réduction des endomorphismes -
Une aventure mathématiques conçue et réalisée par Jérôme ONILLON (e-mail : [e-mail])
(c) La taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com) Novembre 1994/Juillet 2001. Tous droits réservés.
Ce cours a été rédigé en novembre 1994 alors que je préparais l'agrégation de mathématiques et mis à jour en juin et juillet
2001. Dans le cas où il comporterait des erreurs, merci de me les signaler.
Il est exclusivement mis en ligne par le site "la taverne de l'Irlandais" (http://www.tanopah.com).
Ce cours est du niveau Math Spé / début de Licence.
Au sommaire :
Des généralités.
Polynôme d'endomorphisme. Polynômes minimal d'un endomorphisme.
Valeur et vecteur propres. Sous-espace propre.
Des théorèmes de décomposition des noyaux d'Hilbert/Dirac et de Cayley-Hamilton.
2.1 Théorème de décomposition des noyaux.
2.2 Théorème de décomposition des noyaux généralisé.
Polynôme caractéristique d'un endomorphisme.
2.3 Théorème de Cayley-Hamilton.
2.4 Théorème de Hilbert-Dirac.
Des endomorphismes diagonalisables et de leur diagonalisation.
3.1 Endomorphisme diagonalisable.
3.2 Caractérisation de diagonalisation avec le polynôme minimal.
3.3 Caractérisation de diagonalisation avec le polynôme caractéristique.
3.4 Endomorphisme à spectre simple.
Des endomorphismes trigonalisables et de leur trigonalisation.
Sous-espace caractéristique ou spectral.
4.1 Endomorphisme trigonalisable.
4.2 Caractérisation de trigonalisation avec le polynôme minimal.
4.3 Endomorphisme nilpotent.
4.4 Trigonalisation des endomorphismes nilpotents.
4.5 Caractérisation de trigonalisation avec le polynôme caractéristique.
4.6 Décomposition de Fitting.

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1° ) Des généralités.
Dans tout ce qui suit K désignera un corps quelconque et E un espace vectoriel sur K de dimension
quelconque et donc non nécessairement finie. On parlera à ce sujet de K-ev.
Rappelons qu'un endomorphisme de K-ev est une application K-linéaire d'un K-ev sur lui-même !
On notera L(E) la K-algèbre des endomorphismes sur E.
De plus si A est un sous-ensemble de E et u∈L(E), alors :
• Dire que A est stable par u signifie que u(A)⊂A.
• Dire que A est invariant par u signifie que u(A)=A.
Proposition 1.1 : Si u et v sont deux endomorphismes de E et qu'ils commutent (c'est-à-dire uov = vou)
alors Ker(u) et Im(u) sont stables par v.
En effet si x∈Ker(u) alors u(x) = 0 d'où u(v(x)) = v(u(x)) = 0 d'où v(x)∈Ker(u).
De plus si x∈Im(u) alors ∃ y∈E tel que u(y) = x. C e qui donne que v(x) = v(u(y)) = u(v(y)).
Donc v(x)∈Im(u).
Polynômes d'endomorphismes.
Soit P∈K[X] un polynôme à coefficients dans K. On appelle n le degré de P. On conviendra que :
∑
=
=
n
0
i
i
i
X
.
a
P
.
Pour tout endormphisme u sur E et pout tout entier naturel k, la puissance k-ième de l'endormorphisme
est l'endormorphisme défini par :
$
$
$
fois
k
u
....
u
u
u
k
=
La puissance 0 de l'endomorphisme u est l'application identique sur E notée IdE.
Ayant définie la puissance entière d'un endomorphisme, il est possible de parler d'image de celui-ci par
un polynôme P.
P(u) est l'endomorphisme de E défini par :
∑
=
=
n
0
i
i
i
u
.
a
)
u
(
P
.
Notons K[u] l'ensemble des polynômes d'endomorphismes obtenus à substituant à l'indéterminée X
l'endomorphisme u.
K[u] est une sous-K-algèbre unitaire et commutative (pour la composition) de l'algèbre (L(E), +, o, . ).
Dire que P∈K[X] est un polynôme annulateur de u signifie que P(u) = 0 (C'est-à-dire l'application
nulle).
L'ensemble des polynômes annulateurs de u forment un idéal de K[X].
Comme K est un corps, K[X] est alors un anneau principal. Tout idéal de celui-ciest donc monogène. Il
existe un P∈K[X] engendrant cet idéal.
Ce P est unique à la multiplication par un élément de K près.
Pour fixer les idées, on prend P unitaire. Ce dernier est alors appelé (s'il est non nul) polynôme minimal
de u. On notera mu ce polynôme.

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En dimension finie ce polynôme existe toujours et il est toujours non nul.
En effet si ce n'était pas le cas, il existerait un x∈E tel qur ∀ P∈K[X]\{0} P(u). (x)≠0E.
Autrement dit pour tout entier k la famille
(
)
{
}
k
..
0
i
i
(x)
u
∈
constituerait une famille libre à k-éléments.
Ce qui dans un K-ev de dimension finie ferait légèrement désordre. . .
De plus si u admet un polynôme minimal (sous-entendu non nul) alors on appelle spectre de
l'endomorphisme u encore noté Sp(u) l'ensemble des valeurs propres de u.
Il est clair que si u et v ∈L(E) commutent alors ∀ P et Q ∈ K[X], P(u) et Q(u) commutent. Tout cela se
passant dans L(E).
Valeurs, vecteurs et sous-espaces propres.
Soit u∈L(E). On dit alors que :
• Dire que x∈E\{0E} est un vecteur propre de u signifie qu'il existe λ∈K tel que u(x) =λ.x.
On dit alors que λ est la valeur propre associée à x.
• Si λ est une valeur propre pour u alors l'ensemble {x∈E tel qur u(x) = λ. x} qui est aussi
Ker(u -λ. IdE). C'est le sous-espace propre associé à la valeur propre λ.
Dans la suite, on notera Eλ le sous-espace propre associé à la valeur propre λ.
Comme on le verra plus tard, toute valeur propre de u annule le polynôme caractéristique de u.
Par ce qui a été dit précédemment si u et v ∈L(E) commutent alors tout sous-espace propre de u est
stable par v (et vis et versa).

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2° ) Théorèmes de décomposition des noyaux d'Hilbert/Dirac et de Cayley-Hamilton.
Dans ce paragraphe, nous allons énoncer et prouver les théorèmes essentiels sur lesquels s'appuient tout
ce qui suivra.
Théorème 2.1 de décomposition des noyaux.
Soit Q et R ∈ K[X] deux polynômes premiers entre eux. On appelle P leur produit.
Si u∈L(E) alors Ker P(u) = Ker Q(u) ⊕ Ker R(u).
La preuve : Nous avons deux choses à prouver : d'abord une somme directe puis une égalité
d'ensembles.
Pour commencer on va montrer que cette somme est directe.
Si x ∈ Ker Q(u) ∩ Ker R(u) alors Q(u).(x) = R(u).(x) = 0.
Comme K[X] est un anneau principal et que Pgcd(Q, R) = 1K, en application du théorème de Bezout il
existe deux polynômes U et V ∈ K[X] tel que U.Q + V.R = 1K.
Il vient donc que : U(u)oQ(u)+V(u)oR(u) = IdE.
Et plus particulièrement pour notre x, il vient que :
x = U(u)oQ(u).(x) + V(u)oR(u).(x)
Or Q(u).(x) = R(u).(x) = 0.
Par suite il vient donc que x = 0.
D'où Ker Q(u) ∩ Ker R(u) = {0}.
Autrement dit la somme de Ker Q(u) et de Ker R(u) est directe.
C'est-à-dire ce qu'on voulait !
Montrons à présent l'égalité des deux s-ev de E. Comme dirait le sage: "Montrer une égalité, c'est
montrer une double inclusion !"
(⊂) : Soit x ∈ Ker P(u). Par ce qui précède, on peut écrire que :
x = Q(u).(U(u). (x)) + R(u).(V(u). (x)).
On appelle
1
x
le premier terme de cette somme et
2
x
le second.
On peut écrire que : R(u).(
1
x
) = P(u)oU(u).(x) = U(u)oP(u).(x) = 0
donc
1
x
∈Ker R(u).
De même : Q(u).(
2
x
) = P(u)oV(u).(x) = V(u)oP(u).(x) = 0 d'où
2
x
∈ Ker Q(u).
Et cela car tout commute ! (Voir fin du premier paragraphe).
Ainsi
2
1
x
xx
+
=
fait-il partie nécessairement de Ker Q(u) ⊕ Ker R(u).
(⊃) : Si x ∈ Ker Q(u) alors P(u).(x) = R(u).(Q(u).(x)) = 0.
Ainsi Ker Q(u) est-il inclus Ker P(u). Il en va de même pour Ker R(u).
Combinant ces deux choses, il vient que :
Ker Q(u) ⊕ Ker R(u) ⊂ Ker P(u).
La double inclusion nous donne l'égalité et par là-même le théorème !
On peut facilement généraliser le théorème de décomposition des noyaux à un produit quelconque de
polynômes premiers entre eux. Ainsi :

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Corollaire 2.2 (théorème des noyaux généralisé).
Si
∏
=
=
k
1
i
i
P
P
avec les Pi premiers entre eux deux à deux alors Ker P(u) =
k
1i
=
⊕
Ker Pi.
Polynôme caractéristique et théorème de Cayley-Hamilton.
Dans tout ce qui suit E sera de dimension finie que l'on notera n.
Soit
(
)
{
}
n
..
1
i
i
e
∈
une base de E.
Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme u est noté χu et définit par :
(
)
{
}
(
)
[
]
n
..
1
i
i
E
u
e
,
u
Mat
Id
.
X
det
∈
−
=
χ
Le polynôme caractéristique de u ne dépend pas de la base choisie pour y exprimer sa matrice.
En effet si
(
)
{
}
n
..
1
i
i
f
∈
est une autre base de E et que l'on note P la matrice de passage de
(
)
{
}
n
..
1
i
i
e
∈
à
celle-ci alors comme dans toute base la matrice d'IdE est la matrice identité, on a que :
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
)
(e
u,
Mat
-
Id
X.
det
)
(e
u,
Mat
-
Id
X.
det
.
det(P)
.
det(P)
P
.
)
(e
u,
Mat
-
Id
X.
.
P
det
)
(f
u,
Mat
-
Id
X.
det
i
n
i
n
1
-
i
n
1
-
i
E
=
=
=
χu est un polynôme unitaire de degré n. De plus s'il est entièrement scindé, c'est-à-dire s'il a ses n
racines comptées avec leur ordre de multiplicité dans K que l'on note λ1, . . . , λn alors on a que
Tr(u) =
∑
=
λ
n
1i
i
où Tr est la trace de u (en fait de la matrice de u dans une certaine base).
On notera là encore la trace d'un endomorphisme ne dépend pas de la base choisie pour l'y exprimer.
Ceci car vu que pour toutes matrices A et B, Tr(A. B) = Tr(B. A.).
Quoiqu'il en soit, s'il est entièrement scindé et en conservant les mêmes notations, on a que :
χu =
)
X(
n
1
i
i
∏
=
λ
−
=
i
n
n
n
1
i
1
i
i
n
X
).
,...,
(
s
.
)
1
(
X
−
=
λ
λ
−
+
∑
où les sj sont les polynômes symétriques élémentaires de K[X1, . . . , Xn].
En particulier le terme constant de χu est-il égal à (-1)n. det(u).
De plus si λ est une valeur propre de u alors
(
)
[
]
)
(e
u,
Mat
-
Id
.
det
i
n
λ
= 0.
Ceci car Eλ n'est alors pas réduit à {0}.
Autrement dit λ est racine de χu le polynôme caractéristique de u.
Réciproquement si λ ∈ K est une racine de ce polynôme caractéristique χu alors
[
]
0
u
-
Id
.
det
n
=
λ
.
Donc l'endomorphisme λ.IdE - u n'est pas injectif. Ce qui implique que λ est une valeur propre de u.
En résumé, nous avons l'équivalence :
λ valeur propre de u ⇔ λ est une racine de χu.