Sens et nouveauté de la démonstration - Jean

Sens et nouveaut´ e de la d´ emonstration
Jean-Michel Salanskis,
Professeur de Philosophie des Sciences, Logique et ´ Epist´ emologie ;
Universit´ e Paris X Nanterre, D´ epartement de Philosophie
200, avenue de la R´ epublique 92001 Nanterre cedex
e-mail : [email protected]
March 6, 2005
Conform´ ement ` a l’annonce que j’en ai donn´ e, le but de cette conf´ erence est de
r´ efl´ echir sur ce que la vision contemporaine de la d´ emonstration a d’essentiellement
nouveau par rapport ` a une certaine entente philosophique, qui tiendra ici le rˆ ole de la
r´ ef´ erence traditionnelle. Si, dans mon titre, je parle aussi du sens de la d´ emonstration,
c’est bien entendu, parce que je conjecture que l’´ ev´ enement contemporain touche ` a
la signification mˆ eme du mot d´ emonstration : je fais l’hypoth` ese que les conventions
contemporaines, les nouveaux usages et les nouvelles perspectives pr´ efigurent au moins
une nouvelle interpr´ etation de ce qui depuis les Grecs rec¸oit le nom de d´ emonstration.
La d´ emarche suivie consiste simplement ` a se livrer successivement ` a l’examen de
deux types de sources ou de documents.
D’abord, je me pencherai sur la compr´ ehension philosophique de la d´ emonstration
qu’a pu proposer le courant “ph´ eno-transcendantal”, le seul ` a vrai dire dont je puisse
exciper d’une connaissance suffisante : je d´ esigne ainsi les philosophes de la filia-
tion kantienne et post-kantienne, les allemands de Kant ` a Heidegger essentiellement.
Comme on le verra dans les pages qui viennent, cela ne me gˆ ene pas d’int´ egrer ` a ce
courant les auteurs de l’“id´ ealisme allemand”.
Dans un deuxi` eme temps, je prendrai en consid´ eration la conception de la d´ emon-
stration qui ´ emane de la logique math´ ematique moderne. Elle motive une branche
de la logique contemporaine – la th´ eorie de la d´ emonstration – dont la paternit´ e est
g´ en´ eralement attribu´ ee ` a Hilbert. Apr` es Hilbert, les apports constituants de la branche
sont ceux de Gentzen et Prawitz. Ce renouvellement est donc, ` a vrai dire, d´ ej` a une
affaire ancienne. J’essaierai, en revenant sur lui pour tenter de caract´ eriser la rupture
qu’il a introduite, de tenir compte de d´ eveloppements plus r´ ecents de la th´ eorie de
la d´ emonstration : essentiellement, de la “correspondance de Curry-Howard”, et des
notions directrices qui vont avec.
En tout ´ etat de cause, mon ´ evocation de la r´ eappropriation technique de la no-
tion de d´ emonstration dans l’aire logico-math´ ematique ne sera pas elle-mˆ eme tech-
nique. J’essaierai de la comprendre dans des termes philosophiques g´ en´ eraux, de
la mˆ eme sorte que ceux qui interviendront naturellement dans ma pr´ esentation de la
compr´ ehension ph´ eno-transcendantale.
1

Mon espoir est, au bout de cette ´ etude, de conqu´ erir une vision plus englobante, plus
int´ egratrice, de cela qui est pens´ e depuis fort longtemps d´ esormais sous le mot d´ emon-
stration, en profitant de tout ce qui aura ´ et´ e rencontr´ e et r´ efl´ echi au fur et ` a mesure.
Mais aussi, sans doute, de mieux appr´ ecier l’h´ et´ erog´ en´ eit´ e des ´ el´ ements “nouveaux”
qui auront ´ et´ e interrog´ es.
Je commence donc par revenir, en tˆ achant de viser ` a l’essentiel, sur quelques textes
ou th` emes de Kant, Hegel et Husserl.
1 Compr´ ehension philosophique de r´ ef´ erence
de la d´ emonstration
1.1 D´ emonstration, construction et d´ emarcation (chez Kant)
Kant dit quelques mots de la d´ emonstration dans la Discipline de la raison pure dans
l’usage dogmatique. Il n’est pas permis, si l’on veut comprendre, d’ignorer ce qui
est le contexte de ce passage1: Kant y expose et y argumente la d´ emarcation entre
philosophie et math´ ematiques au nom du crit` ere de la construction de concepts. La
philosophie est la connaissance rationnelle par concepts et la math´ ematique la connais-
sance rationnelle par construction de concepts, comme on le sait. Ce qui est dit de la
d´ emonstration est dit ` a la fin d’une ´ enum´ eration ` a trois termes (d´ efinitions, axiomes,
d´ emonstrations) visant les d´ emarches sp´ ecifiques de la math´ ematique non r´ ecup´ erables
dans l’enceinte de la philosophie. Conform´ ement ` a la vision encadrante de Kant, c’est
`
a chaque fois le crit` ere de la construction de concepts qui ruine la possibilit´ e d’un usage
philosophique de la voie math´ ematique envisag´ ee.
La d´ efinition au sens math´ ematique est impossible en philosophie parce que toute
la valeur d´ eontologique de la d´ efinition math´ ematique r´ esulte de ce qu’elle institue le
concept. La d´ efinition est d´ ej` a construction, non pas au sens pr´ ecis de la construction
de concept chez Kant, mais au sens de la prescription d’un contenu conceptuel par le
vouloir rationnel de la math´ ematique. La philosophie en revanche ´ elabore des con-
cepts donn´ es, elle les analyse et tente de d´ eterminer la somme de traits en lesquels se
r´ esoudrait le concept tel qu’il est commun´ ement compris, analyse toujours douteuse et
rectifiable selon Kant, qui ressemble fort ` a ce qu’on appelle une interpr´ etation2.
L’axiome au sens math´ ematique est l’affirmation d’une ´ evidence comme primitive
de la pens´ ee (math´ ematique). Elle est en surface un jugement, une synth` ese de con-
cepts : seulement l’unification de cette synth` ese est autosuffisante, ne renvoie pas ` a un
troisi` eme terme qui ´ eclairerait l’union des synth´ etis´ es. Cela n’est possible que parce
que les concepts “montrent” leur liaison dans l’intuition o` u ils sont construits : or il en
va seulement ainsi dans le champ math´ ematique, pr´ ecis´ ement. Donc, Kant consid` ere
l’axiome comme la reprise judicative d’une ´ evidence acquise dans la construction de
concepts.
La d´ emonstration est ´ egalement d´ ecrite par Kant comme une d´ emarche propre ` a
la math´ ematique. Soyons attentifs ` a l’argumentation qu’il donne, puisque c’est de
1. Kant, E., Critique de la raison pure, trad. Tremesaygues-Pacaud, Paris, PUF, 1971, p. 493-507 ;
Pl´ eiade, vol. I, 1294-1316 ; A708-738, B736-766.
2. Cf. `
a ce sujet Salanskis (1997).
2

notre objet en personne qu’il s’agit cette fois. La d´ emonstration est implicitement
d´ efinie comme une “ preuve apodictique, en tant qu’elle est intuitive3” . Une preuve
philosophique peut atteindre l’apodicticit´ e, mais pas l’intuitivit´ e :
“ Mais la certitude intuitive (anschauende), c’est-` a-dire l’´ evidence,
ne peut jamais r´ esulter de concepts a priori (dans la connaissance dis-
cursive), quelque apodictiquement certain que puisse ˆ etre, par ailleurs, le
jugement ”4.
Donc, Kant choisit de concevoir la d´ emonstration comme cela mˆ eme qui administre
la certitude en l’attestant sur l’objet, ce qui ne se peut que si l’objet n’est pas affect´ e du
d´ efaut d’empiricit´ e en quelque sorte, c’est-` a-dire s’il a la qualit´ e de g´ en´ ericit´ eque lui
conf` ere le fait d’ˆ etre une construction de concept :
“ Aussi donnerais-je plus volontiers aux preuves philosophiques le
nom de preuves acroamatiques (discursives), parce qu’elles ne peuvent
ˆ
etre faites que par de simples mots (par l’objet en pens´ ee), plutˆ ot que
celui de d´ emonstrations, puisque ces derni` eres, comme d´ ej` a l’expression
l’indique, p´ en` etrent dans l’intuition de l’objet 5”.
La d´ emonstration, donc, est une notion math´ ematique plutˆ ot qu’une notion logico-
linguistique, la math´ ematique ´ etant d´ efinie dans sa distinction d’avec la logique comme
doctrine de l’intuition pure, et trouvant dans la construction de concepts le mode m´ etho-
dologique qui correspond ` a cette distinctivit´ e.
Kant voit bien qu’une objection peut ˆ etre faite en s’appuyant sur les aspects alg´ e-
briques de la math´ ematique, spontan´ ement proches d’une discursivit´ e conventionnelle
(proximit´ e que va souligner ` a l’envi le point de vue moderne). Il revendique pour les
d´ emonstrations litt´ erales-alg´ ebriques aussi, n´ eanmoins, l’intuitivit´ e de la construction
de concepts :
“ La m´ ethode alg´ ebrique elle-mˆ eme avec ses ´ equations d’o` u elle tire
par r´ eduction la v´ erit´ e en mˆ eme temps que la preuve, si elle n’est pas
sans doute une construction g´ eom´ etrique, est cependant une construction
caract´ eristique o` u, ` a l’aide de signes, on repr´ esente les concepts dans
l’intuition, surtout ceux du rapport des quantit´ es et o` u, sans mˆ eme envi-
sager le cˆ ot´ e heuristique, tous les raisonnements sont garantis contre l’erreur
par cela seul que chacun d’eux est mis devant les yeux ”6.
Ce texte capital est ´ etonnamment moderne, d’une part en ce qu’il r´ efute par avance
la th` ese illusoire de la non-intuitivit´ e des math´ ematiques formelles-symboliques, d’autre
part en ce qu’il esquisse le probl` eme tout ` a fait actuel du rapport entre preuve et calcul.
Il nous est donc confirm´ e, dans l’approche mˆ eme de l’apparent contre-exemple, que
Kant voit dans l’attestation objective rendue possible par la construction de concept le
3.Ibid., 505 ; Pl´
eiade, vol. I, 1313 ; A734, B762.
4.Ibid., 505 ; Pl´
eiade, vol. I, 1313 ; A734, B762.
5.Ibid., 505 ; Pl´
eiade, vol. I, 1313 ; A735, B763.
6.Ibid., 505 ; Pl´
eiade, vol. I, 1313 ; A734, B762.
3

propre de la d´ emonstration. La d´ emonstration est monstration, et donc elle est tout
autre chose que la preuve logique, qui serait plutˆ ot le lot de la philosophie.
Faisons deux remarques sur ce dispositif kantien :
1) il laisse dans l’ombre la “temporalit´ e” de la d´ emonstration ;
2) il est une sorte d’op´ erateur m´ eta-philosophique rendant compte de toute la d´ emar-
che de la Critique de la raison pure (critique de la m´ etaphysique dogmatique et sp´ ecificit´ e
de l’argument transcendantal).
Pour ce qui est du premier point, il r´ esulte de l’insistance sur l’´ evidence et la
g´ en´ ericit´ e : ce qui fait la d´ emonstration math´ ematique une d´ emonstration est qu’elle
emploie des singuliers qui sont des concepts construits et donc qu’elle procure une
´
evidence sp´ ecifique aux pr´ edications qui s’imposent en elle (au cours d’elle). Mais la
s´ equentialit´ e des assertions et le mode de connexion et d’engendrement qui lui corres-
pond ne sont pas en cause : cette s´ equentialit´ e, pour autant qu’on puisse la d´ efinir ou
qu’il soit int´ eressant de le faire, appartient tout aussi bien aux preuves acroamatiques
de la philosophie. Il y a donc chez Kant, de fac¸on coh´ erente avec sa d´ emarcation
de la logique et des math´ ematiques, s´ eparation compl` ete entre la math´ ematicit´ e des
d´ emonstrations et le type de temporalit´ e discursive qui, selon notre concept moderne,
les caract´ erise.
Pour ce qui est du second point, il suffira de se souvenir de l’argument anti-m´ eta-
physique kantien : selon lui, les m´ etaphysiques qui ont pr´ ec´ ed´ e son criticisme avaient le
tort de croire progresser dans la connaissance aux moyens de preuves acroamatiques,
d’imaginer qu’elles ajoutaient des d´ eterminations ` a un concept au moyen d’un juge-
ment synth´ etique via de telles preuves. Mais, pour qui connaˆ ıt la d´ emonstration math´ e-
matique dans ce qui lui est essentiel, et qui en fait le type de toute acte synth´ etique au
sens kantien, il est clair que les preuves acroamatiques ne sont que des reformulations,
des jugements analytiques, et donc ne permettent pas de capter la moindre nouveaut´ e
d´ eterminative. Il semblerait donc que Kant ait par avance rang´ e notre notion de preuve
formelle dans le cul-de-sac de l’analyticit´ e, et d´ ecr´ et´ e sa non-convenance aux math´ e-
matiques. Mais nous devons tout de mˆ eme nous m´ efier de ce jugement, parce que, d’un
autre cˆ ot´ e, nous avons vu que Kant anticipe le “travail dans le symbolique” comme cas
de la construction de concept. Restons donc prudents sur ce sujet, il y a quelque proba-
bilit´ e que nos d´ emonstrations formelles ne soient apr` es tout pas la mˆ eme chose que ses
preuves acroamatiques.
Abordons maintenant un second enseignement sur la d´ emonstration, celui de Hegel.
Il est d’autant plus pertinent d’y venir maintenant que son ´ elaboration de la question
est largement r´ eactive vis-` a-vis de celle de Kant.
1.2 Le th´ eor` eme dans la Science de la logique (chez Hegel)
Hegel aborde les figures ou tropes sp´ ecifiques de la math´ ematique – la d´ efinition, la di-
vision et le th´ eor` eme – dans le chapitre Le connaˆ ıtre synth´ etique de la section L’id´ ee du
vrai du troisi` eme livre de la Science de la logique7. On est donc tout au bout du chem-
inement qui conduit, ` a travers les trois livres de ce trait´ e monumental, ` a l’id´ ee absolue.
7. Hegel, G.-W.-F., Science de la logique, La logique subjective ou doctrine du concept, trad. P.-J.
Labarri` ere et G. Jarckyk, Paris, Aubier Montaigne, 1981, p. 315-358.
4

Autant dire que les math´ ematiques rec¸oivent, dans l’´ elaboration dialectique du th` eme
logique, un statut comparable ` a celui de la religion ou de l’art dans la Ph´ enom´ enologie
de l’esprit : elles sont prises comme des accomplissement unilat´ eraux proches de la
totalit´ e, de l’Erinnerung.
Ajoutons ` a cela que la motivation de la rubrique Le connaˆ ıtre synth´ etique s’accorde
aux th` eses kantiennes que nous venons de rappeler : il s’agit bien, sous ce nom,
d’´ evoquer les aspects de la math´ ematique qui ´ echappent ` a quelque chose comme une
r´ eduction logicienne. La rubrique s’oppose ` a celle titr´ ee Le connaˆ ıtre analytique, qui
la pr´ ec` ede, et qui correspond ` a une figure de l’id´ ee connaissante plus enferm´ ee dans
la non-v´ erit´ e de la finit´ e, plus du cˆ ot´ e de l“entendement” kantien et moins du cˆ ot´ e du
“bon” concept h´ eg´ elien.
Mais la divergence apparaˆ ıt aussitˆ ot dans ce que Hegel consid` ere comme l’exemple
type du connaˆ ıtre analytique, ` a savoir les jugements arithm´ etiques finitaires (du type
7+5=12), pour les nommer comme nous le ferions aujourd’hui : ces jugements, pour
Kant, ´ etaient les exemples princeps de jugements math´ ematiques synth´ etiques.
Essayons ce comprendre ce qui motive ce “revirement” philosophique d’un auteur
`
a l’autre.
1.2.1 Le connaˆ ıtre analytique : anticipation h´ eg´ elienne de la figure du construc-
tivisme
Tout d’abord, attestons le fait de ce revirement par une citation d´ epourvue d’ambigu¨ ıt´ e :
“ On sait que l’arithm´ etique et les sciences plus universelles de la
grandeur discr` ete se trouvent nomm´ ees par excellence science analytique
et analyse8”.
Pour Hegel, le “connaˆ ıtre analytique” prend les nombres entiers comme ext´ eriorit´ e
juxtapos´ ee-indiff´ erente, se posant comme ´ etrang` ere ` a la d´ etermination conceptuelle,
qui ne pourrait donc lui revenir que du dehors et pas au titre d’un “passage” se jouant
en elle : (le mat´ eriau arithm´ etique est)
“ (...) quelque chose de d´ ej` a fait de fac¸on tout abstraite et ind´ etermin´ ee,
en quoi toute caract´ eristique de relation est supprim´ ee, ` a quoi toute d´ etermination
et liaison est quelque chose d’ext´ erieur9”.
Hegel rapporte d’ailleurs cette conception du nombre entier ` a sa gen` ese it´ erative,
`
a ce que j’appelle pour mon compte sa participation ` a l’objectivit´ e constructive10.
Les nombres entiers, en effet, sont vus par lui11 comme r´ esultant d’un “augmenter”
ext´ erieur du Un jusqu’au nombre num´ er´ e, augmenter qui en reste essentiellement ` a
l’atomicit´ e du Un (ne la transgresse pas : c’est bien la discr´ etion qui est en cause).
8.Ibid., 324.
9.Ibid., 324.
10. Cf. Salanskis (1995, 1999).
11. Cf. Hegel, G.-W.-F., Science de la logique, L’ ˆ
Etre, trad. P.-J. Labarri` ere et G. Jarckyk, Paris, Aubier
Montaigne, 1972, 161-201, sp´ ecialement 189-201.
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