Réciproque du théorème de Pythagore

Pythagore est le nom d'un savant qui
vivait il y a plus de 2000 ans en Grèce.
Il donné son nom à une propriété qui
permet de calculer des longueurs
dans un triangle rectangle.
Hypoténuse d'un triangle
Dans un triangle rectangle, le plus
grand côté s'appelle l'hypoténuse.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de
la longueur de l'hypoténuse est égal à
la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés.
Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand
côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux
autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

A quoi sert le théorème de Pythagore ?
A démontrer que des droites sont perpendiculaires
A démontrer qu'un triangle est rectangle
A calculer des longueurs dans un triangle équilateral
A calculer des longueurs dans un triangle rectangle
Démonstration
Pour un triangle rectangle donné, il est possible de l’inscrire en quatre
exemplaires dans les coins d’un carré dont le côté a pour longueur la
somme des longueurs des cathètes. Les quatre hypoténuses forment
alors un carré, par égalité de longueur et sachant que chacun de ses
angles est supplémentaire des deux angles aigus du triangle.
Avec les notations usuelles, l’aire totale du grand carré vaut donc
et l’aire du carré intérieur vaut . La différence est
constituée par quatre triangle d’aire chacun.
La relation algébrique s’écrit alors ,
c’est-à-dire , ce qui revient à
.

Exercice
Dans un triangle ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm.
Combien mesure BC ?
Exercice
Un petit oiseau posé au sol veut aller manger une cerise en haut d'un
arbre dont le pied est situé 15 mètres de lui. L'arbre mesure 8 mètres de
haut. Quelle distance l'oiseau doit-il parcourir?
Exercice
Un avion vole au-dessus de Paris, il doit atterrir dans un
aéroport situé à 19 km de la ville. Pour descendre il parcourt
20 km. A quelle altitude volait-il au-dessus de Paris?
Exercice
ABCD est un rectangle tel que AB = 4cm et BC = 3cm.
M est un point de [AB] tel que AM = 1cm
N est un point de [BC] tel que BN = 1 cm
a) Démontrez que (MD) et (MN) sont perpendiculaires.
b) La droite perpendiculaire à (DN) et passant par M coupe [DN]
en H. Calculez MH.