Enoncé et correction

algorithmique
[ Algorithme et suite \
Énoncé
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N .
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N .
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N − 1
Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin pour
Sortie
Afficher U
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Partie B
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n,
u n+1 = 3u n − 2n + 3.
1. Calculer u 1 et u 2 .
2.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n > n.
b. En déduire la limite de la suite (u n ).
3. Démontrer que la suite (u n ) est croissante.
4. Soit la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n − n + 1.
a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 3n + n − 1.
5. Soit p un entier naturel non nul.
a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n 0 tel que, pour tout n > n 0 , u n > 10p ?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier n 0 .
b. Justifier que n 0 6 3p.
c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n 0 pour la valeur p = 3.
d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur
du plus petit entier n 0 tel que, pour tout n > n 0 , on ait u n > 10p .
Polynésie juin 2012
Suites
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Août 2012
algorithmique
Correction
Partie A
En faisant fonctionner, l’algorithme à la main, on obtient successivement :
U0 = 0
Premier passage dans la boucle : k = 0
U1 = 3 ×U0 − 2 × k + 3 = 3 × 0 − 2 × 0 + 3 = 3
Deuxième passage dans la boucle : k = 1
U2 = 3 ×U1 − 2 × k + 3 = 3 × 3 − 2 × 1 + 3 = 10
Troisième passage dans la boucle : k = 2
U3 = 3 ×U2 − 2 × k + 3 = 3 × 10 − 2 × 2 + 3 = 29
Donc en sortie, U contient la valeur 29. L’algorithme affiche donc 29
On peut aussi le programmer sa calculatrice. Sur une TI82, TI83 ou TI84 cela donne :
PROMPT N
0→U
FOR(K,0,N-1)
3*U-2K+3→U
END
DISP U
Il suffit de lancer le programme, de donner la valeur 3 à N. il affiche alors 29. Si on veut les differentes valeurs
de U, il suffit d’ajouter «DISP U » dans la boucle.
Partie B
1. u 1 et u 2 ont été calculés dans la partie A
u1 = 3
2.
et
u 2 = 10
a. Soit n un entier naturel quelconque, on considère la propriété u n > n,
montrons par récurrence que cette propriété est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation
u 0 = 0 on a donc u 0 > 0
La propriété est vraie au rang le plus bas
Hérédité
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel n et sous cette hypothèse
montrons que qu’elle est aussi vraie pour l’entier naturel n + 1 :
un > n
3u n > 3n
3u n − 2n + 3 > n + 3
u n+1 > n + 1
d’après l’hypothèse de récurrence
car n + 3 > n + 1
La propriété est vraie pour l’entier naturel n + 1.
Conclusion
La propriété est vraie pour n = 0, elle est héréditaire donc d’après le principe de récurrence elle
est vraie pour tout entier naturel n.
b. On a, pour tout entier naturel n, u n > n. Or la limite de n est +∞ donc d’après le théorème de
comparaison, la limite de la suite (u n ) est la limite de la suite (u n ).
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3. Pour tout entier naturel n, on a :
u n+1 − u n = 2u n − 2n + 3
Or u n > n donc 2u n − 2n > 0
La différence u n+1 − u n est donc positive, par conséquent la suite (u n ) est croissante.
4.
a. Pour tout entier naturel n, on a :
v n+1 = u n+1 − (n + 1) + 1
= 3u n − 2n + 3 − n − 1 + 1
= 3u n − 3n + 3
= 3(u n − n + 1)
= 3v n
La suite (v n ) est donc une suite géométrique de raison 3 et de premier terme v 0 = u 0 − 0 + 1 = 1 .
b. Pour tout entier naturel n, on a :
v n = v 0 × q n = 3n
d’autre part, v n = u n − n + 1 donc u n = v n + n − 1 et par conséquent u n = 3n + n − 1.
5. Soit p un entier naturel non nul.
a. Dire que la limite de u n est +∞ signifie que quel que soit le réel A, aussi grand soit-il, tous les u n
seront supérieurs à A à partir d’un certain rang n 0 .
On peut donc affirmer qu’il existe au moins un entier n 0 tel que, pour tout n > n 0 , u n > 10p
b. On a
u 2p = 33p + 3p − 1 or pour p > 0 on a aussi 3p − 1 > 0 donc u 2p > 33p
3p
mais 3 = 27p > 10p donc u 2p > 10p
et comme n 0 est le plus petit entier n tel que u n > 10p on peut en déduire que n 0 6 3p.
c. En utilisant la table de la calculatrice, après avoir entré la fonction « Y 1 = 3bX +X −1 » on obtient :
X
6
7
Y1
734
2193
On remarque que u n dépasse 103 à partir de n = 7, l’entier n 0 vaut donc 7.
d. Algorithme
Saisir un nombre entier naturel non nul p.
U prend la valeur 0
n prend la valeur 0
Tant que U < 10p faire
n prend la valeur n + 1
U prend la valeur 3n + n − 1
Fin tant_que
Afficher n
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