exercises

Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2012
TD n◦ 1. Espaces métriques
1
Notions et techniques de base
Remarque. Bien garder à l’esprit qu’« ouvert » et « fermé » sont des concepts relatifs à un espace ambiant
souvent sous-entendu. Dans l’absolu, « être ouvert » n’a pas de sens ; il faudrait dire « être ouvert dans
(X, d) ». En pratique, on se contente souvent de « ouvert dans X », voire même de « ouvert ». Attention !
Exercice 1. Dessiner (sans preuve) l’intérieur, l’adhérence, la frontière des parties suivantes du plan :
b) la droite {y = 0} ;
a) le disque unité fermé ;
c) leur réunion.
Exercice 2. Montrer que les sous-ensembles suivants de R2 sont ouverts (au sens de la topologie usuelle).
Déterminer leur adhérence.
A = {(x, y) : x > 0},
B = {(x, y) : x > 0 et y < 0},
C = {(x, y) : x + 2y > 0 et y 2 > x}
Exercice 3. Montrer que le sous-espace vectoriel de R3 défini par les équations x + y = 0, y + z = 0 est
fermé dans R3 . Montrer que dans Rn , l’ensemble des solutions d’un système linéaire est fermé.
Exercice 4. Montrer que dans R muni de sa topologie usuelle : N est fermé mais pas ouvert, Q n’est ni
ouvert ni fermé. On démontrera chaque point deux fois : une fois par des boules, une fois par des suites.
Exercice 5 (vrai ou faux ?). Si la proposition suggérée est vraie, la démontrer. Si elle est fausse, la
réfuter. Dans un espace métrique. . .
a) toute intersection de boules ouvertes est une boule ouverte.
b) toute intersection de boules ouvertes est un ouvert.
c) toute intersection d’ouverts est un ouvert.
d) toute union finie de boules fermées est un fermé.
e) Tout ouvert est union de boules ouvertes.
f) Toute partie est ouverte ou fermée.
g) Les seuls ouverts fermés sont ∅ et X.
h) Tout singleton est fermé.
i) Toute partie finie est fermée.
Exercice 6. Soient (X, d) un espace métrique, (un ) ∈ X N une suite et ` ∈ X.
a) Traduire chacune des propriétés suivantes en symboles mathématiques :
– pour toute boule ouverte B de centre `, si l’on attend assez longtemps, la suite restera dans B ;
– pour tout ouvert U contenant `, si l’on attend assez longtemps, la suite restera dans U ;
– pour tout voisinage V de `, si l’on attend assez longtemps, la suite restera dans V .
b) Montrer que ces propriétés sont équivalentes. (Si c’est le cas, on dit que la suite converge vers `.)
c) Montrer que si la limite existe, elle est unique.
d) Montrer que si un → `, alors {un : n ∈ N} ∪ {`} est fermé dans X.
Exercice 7. Soient (un ) ∈ X N une suite d’un espace métrique et ` ∈ X.
a) Traduire en symboles mathématiques les propriétés suivantes :
– pour toute boule ouverte B de centre `, la suite finit toujours par revenir dans B ;
– pour toute boule ouverte B de centre `, la suite passe infiniment souvent dans B ;
– il existe une suite extraite (uϕ(n) ) qui converge vers `.
b) Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de (un ) est ∩n∈N {uk : k ≥ n}.
1
2
Plus théorique
Exercice 8. Soit (X, d) un espace métrique. Soient Bo (a, r) = {x ∈ X : d(a, x) < r} la boule ouverte de
centre a et rayon r, et Bf (a, r) = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r} la boule fermée.
a) Montrer que la boule fermée est un fermé de X.
˚
b) Montrer que Bo (a, r) ⊆ Bf (a, r) et Bo (a, r) ⊆ B̧f (a, r).
c) Soit à présent la fonction δ(x, y) : X 2 → R qui vaut 0 si x = y et 1 sinon. Montrer que δ est une
distance (la « distance discrète ») et déterminer les δ-boules ouvertes et fermées de rayon 12 , 1, 2.
d) En déduire qu’en général, Bo (a, r) et Bf (a, r) peuvent ne pas coïncider.
Morale : la « boule fermée » n’est pas toujours l’adhérence de la « boule ouverte ». (Dans le cas des
espaces vectoriels normés étudiés plus tard, on aura toutefois égalité.)
Exercice 9.
a) Déterminer dans R usuel l’intérieur, l’adhérence, et la frontière de [0, 1[, N, Q, et R \ Q.
b) Déterminer dans R2 usuel l’intérieur, l’adhérence, et la frontière de [0, 1[×N, N × Q, Q × (R \ Q).
c) Soient (X, d) un espace métrique et A, B ⊆ X. Démontrer les formules suivantes :
˚
˙
i) A
∩ B = Å ∩ B̊
ii) A ∪ B = A ∪ B
˚
˙
iii) Å ∪ B̊ ⊆ A
∪B
iv) A ∩ B ⊆ A ∩ B
˚
˘
v) A
\ B = Å \ B
vi) ∂∂∂A = ∂∂A
Pour (iii) et (iv), donner un contre-exemple à l’égalité.
Exercice 10. Montrer que A = ∩ε>0 ∪a∈A B(a, ε).
2
Exercice 11. On identifie Mn (R) à Rn muni de la distance d∞ . Pour chacun des ensembles remarquables
suivants, dire (et démontrer) s’il est ouvert ou fermé dans Mn (R).
a) L’ensemble GLn (R) des matrices inversibles ;
b) L’ensemble SLn (R) des matrices de déterminant 1 :
c) L’ensemble On (R) des matrices orthogonales (M est orthogonale si M · M t = In ) ;
d) L’ensemble SOn (R) des matrices orthogonales de déterminant 1 ;
e) L’ensemble des matrices de rang ≥ k.
Exercice 12 (parties denses).
a) Rappeler ce que signifie « A est dense dans X », en termes de fermés, et en termes d’ouverts.
b) Montrer que Q et R \ Q sont denses dans R.
c) Montrer que GLn (R) est dense dans Mn (R).
d) Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn (C).
Exercice 13.
a) Soient (X, d) et (Y, δ) des espaces métriques et f : X → Y une fonction. Montrer que f est continue
ssi pour toute partie A ⊆ X, on a f (A) ⊆ f (A).
b) En déduire que l’image d’une partie dense par une surjection continue est dense.
c) Application. Soit x ∈ R \ πQ. Montrer que {einx : n ∈ Z} est dense dans S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
3
Topologie de R
Exercice 14. Montrer que tout ouvert de R est union dénombrable d’intervalles (indice : « intervalles à
bornes rationnelles »). En déduire que le cardinal de l’ensemble des ouverts de R est celui de R.
Exercice 15 (l’espace de Cantor). Soit F0 = [0, 1] et pour chaque n ∈ N, Fn+1 = 31 Fn ∪ 13 (2 + Fn ). Soit
enfin F∞ = ∩n∈N Fn .
a) Faire un dessin, puis montrer que F∞ est un fermé de R.
b) Montrer que F∞ ne contient aucun ouvert non-vide.
2
c) En déduire F˚∞ , F∞ , ∂F∞ .
d) Plus dur : déterminer le cardinal de F∞ .
Exercice 16 (homéomorphismes).
a) Montrer que ]0, 1[ et R sont homéomorphes, mais que [0, 1] et R ne sont pas homéomorphes.
b) Montrer qu’un carré et un disque (ouverts) du plan sont homéomorphes.
Nous verrons dans la suite du semestre divers moyens de décider si deux espaces sont homéomorphes.
Exercice 17 (difficile). Soit ∅ =
6 A ⊆ R fermé sans point isolé (si a ∈ A et a ∈ U ouvert de R, alors
U ∩ A contient d’autres points que a). Montrer que A est de cardinal continu.
4
Fonctions et continuité
Exercice 18. Trouver une fonction continue et un ouvert O ⊆ X tels que f (O) ⊆ Y ne soit pas ouvert.
Même question avec un fermé.
Exercice 19. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques, et f : X → Y une fonction continue.
a) Soit A ⊆ X un sous-ensemble. Montrer que f|A : (A, d|A ) → (Y, δ) est continue (le démontrer
topologiquement, sans passer par les distances).
b) Application : montrer que SLn (R) est fermé dans GLn (R).
Exercice 20 (distance à un sous-ensemble).
a) Rappelons qu’une fonction f : (X, d) → (X 0 , d0 ) est k-lipschitzienne si ∀(x, y) ∈ X 2 , d0 (f (x), f (y)) ≤
kd(x, y). Montrer qu’une fonction k-lipschitzienne est continue.
b) Soient (X, d) un espace métrique, A ⊆ X un sous-ensemble. On pose dA (x) = inf y∈A d(x, y).
Montrer que cela a toujours un sens. Donner un exemple où la borne inférieure n’est pas atteinte.
c) Montrer que dA est une fonction 1-lipschitzienne (donc continue).
d) Montrer que dA (x) = 0 si et seulement si x ∈ A.
e) Soient F1 , F2 fermés disjoints. Montrer qu’il existe des ouverts disjoints U1 , U2 tels que Fi ⊆ Ui .
dF1
.)
(On pourra considérer dF +d
F
1
2
f) Donner un exemple de fermés disjoints F1 , F2 ⊆ R2 tels que inf{d(x, y) : (x, y) ∈ F1 × F2 } = 0.
Exercice 21. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques, f : X → Y une fonction quelconque. On
note L l’ensemble des points où f est continue.
T S
1
a) Soit Dn,m = {a ∈ X : B(a, m
) ⊆ f −1 (B(f (a), n1 ))}. Montrer que L = n m Dn,m .
T S
1
b) Soit En,m = {a ∈ X : ∀x, y ∈ B(a, m
), d(f (x), f (y)) ≤ n1 }. Montrer que L = n m En,m .
T
c) Soit Un l’union de tous les ouverts U tels que diam(f (U )) ≤ n1 . Montrer que L = n Un .
S
S
d) Montrer que m En,m est un ouvert de X (attention, ne marche pas avec m Dn,m ). Lien avec Un ?
L’ensemble de continuité de f est donc une intersection dénombrable d’ouverts (on dit que c’est un Gδ ).
5
Gros espaces
Exercice 22. Soit C([0, 1], R) l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R. On rappelle que C([0, 1], R)
peut être muni d’une distance en posant : d∞ (f, g) = supx∈[0,1] |f (x) − g(x)|.
a) Montrer que si fn → f au sens de cette métrique, alors pour tout x ∈ [0, 1], fn (x) → f (x) dans R.
b) Montrer que l’ensemble des fonctions continues croissantes est fermé dans C([0, 1], R).
c) Montrer que l’ensemble des fonctions continues strictement croissantes n’est ni ouvert ni fermé.
d) Soit C0 = {f ∈ C([0, 1], R) : f (0) = 0}. Montrer que C0 est une partie fermée.
e) Montrer que tout élément de C0 est limite d’une suite d’éléments de son complémentaire.
f) En déduire que C0 est d’intérieur vide.
g) Montrer de même que l’ensemble C≥0 des fonctions positives est fermé.
h) Déterminer l’intérieur de C≥0 .
3
Remarque. Dans les espaces topologiques on utilise beaucoup de suites ; s’il s’agit d’espaces de suites,
on maniera des suites de suites.
Il est prudent de repasser en notation fonctionnelle pour une suite : x : N → C (les termes de la suite sont
alors les x(n)). Du coup, on peut considérer une suite (xp )p∈N de suites ; pour chaque p ∈ N, (xp )n∈N est
une suite, et pour chaque n, xp (n) est un nombre complexe.
Exercice 23 (partiel 2011). Soit a = (a(n))n∈N une suite de réels. Soit X l’ensemble des suites x =
(x(n))n∈N à valeurs complexes. Pour x = (x(n))n∈N et y = (y(n))n∈N dans X, on pose :
da (x, y) =
∞
X
a(n) ·
n=0
|x(n) − y(n)|
1 + |x(n) − y(n)|
a) Montrer que da est une distance sur X si et seulement si ∀n ≥ 0, a(n) > 0 et
P∞
n=0
a(n) < ∞.
b) Dans toute la suite on suppose que da est une distance sur X. Montrer que X est borné pour da .
c) Soit (xp )p∈N une suite d’éléments de X. Démontrer que si ∀n ∈ N, limp→∞ xp (n) = x(n), alors
limp→∞ da (xp , x) = 0.
d) Réciproquement, démontrer que si limp→∞ da (xp , x) = 0 alors ∀n ∈ N, limp→∞ xp (n) = x(n).
6
Pour aller plus loin. . .
Exercice 24 (espaces ultramétriques, examen 2010). Un espace ultramétrique est un espace métrique
(X, d) où la distance d vérifie l’axiome supplémentaire : d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)). On suppose (X, d)
ultramétrique.
a) Montrer que tout triangle est isocèle.
b) Montrer que toute boule ouverte ou fermée est ouverte et fermée, et que tout point en est le centre.
c) Montrer que si deux boules s’intersectent, l’une est incluse dans l’autre.
Ces espaces sont naturels et utiles lorsqu’on étudie certaines géométries (complètement hors-programme).
Exercice 25.
a) Rappeler la définition d’une topologie sur un ensemble X.
Soient T et Θ deux topologies sur X. On dit que T est plus fine que Θ si Θ ⊆ T , i.e. si tous les
ouverts de Θ sont des ouverts de T .
b) Soit F = {Oi : i ∈ I} une famille de parties de X. Montrer qu’il existe une topologie la moins fine
sur X contenant F (on parle de « topologie engendrée par F »).
c) Application. Soient X un ensemble, (Y, Θ) un espace topologique, et f : X → Y une fonction.
Décrire la topologie la moins fine rendant f continue.
d) Application. Soient
{(Xi , Ti ) : i ∈ I} des espaces topologiques. Montrer qu’il existe une topologie la
Q
moins fine sur i∈I Xi rendant les projections canoniques πi continues. Donner une famille d’ouverts
engendrant cette topologie.
On parle de « topologie produit » ou de « topologie de la convergence simple ».
Exercice 26 (topologie quotient). Soient (X, T ) un espace topologique et ∼ une relation d’équivalence
sur X. On veut munir X/∼ d’une topologie. Le critère naturel est de prendre la topologie la plus fine qui
rende la projection canonique π : X → X/∼ continue.
a) Soit Θ = {V ⊆ X/∼ : π −1 (V ) ∈ T }. Montrer que Θ est la plus fine topologie sur X/∼ rendant π
continue. Par construction, V est un ouvert de X/∼ ssi π −1 (V ) est un ouvert de X.
b) Soit f : X → Y une fonction continue constante sur les classes modulo ∼. Montrer que f induit
une fonction continue X/∼ → Y .
c) Montrer qu’en général, si U est un ouvert de X, π(U ) n’est pas forcément un ouvert de X/∼ .
d) Le saturé de Y ⊆ X est Ŷ = π −1 (π(Y )). Montrer que Ŷ est saturé. Le saturé d’un ouvert est-il
ouvert ? Montrer que les ouverts du quotient sont les projetés des ouverts saturés.
4
Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2013
TD n◦ 2. Complétude
1
Suites de Cauchy, diamètre
Exercice 1.
a) Pour tout n ≥ 1, on pose un = 1 + 12 + · · · + n1 .
Montrer que la suite (un )n≥1 n’est pas de Cauchy (on pourra minorer le terme u2n −un ). Conclusion ?
b) Dans R muni de la distance usuelle d(x, y) = |x − y|, quels sont les intervalles complets ?
Exercice 2. Vrai ou faux ?
a)
b)
c)
d)
Toute suite de Cauchy est bornée.
Toute suite convergente dans Q est de Cauchy.
√
√
√
Puisque n + 1 − n tend vers 0, la suite ( n)n≥0 est de Cauchy pour la distance usuelle dans R.
Si f : X → Y est continue et si (un )n≥0 est de Cauchy dans X alors (f (un ))n≥0 est de Cauchy dans
Y.
Exercice 3. Montrer que toute série réelle absolument convergente est convergente.
Indication : montrer que la suite des sommes partielles est une suite de Cauchy.
Exercice 4. Le diamètre d’une partie A d’un espace métrique (X, d) est
Diam(A) = sup d(x, y).
(x,y)∈A
Montrer qu’une suite (un )n≥0 est de Cauchy si et seulement si la suite (Diam({uk |k ≥ n}))n≥0 tend vers
0.
On pourra penser à ce critère comme une indication dans plusieurs des exercices qui suivent.
Exercice 5. Soient d et δ deux distances équivalentes sur un ensemble X.
a) Montrer qu’une suite est de Cauchy pour l’une si et seulement si elle est de Cauchy pour l’autre.
b) En déduire que (X, d) est complet si et seulement si (X, δ) l’est.
Exercice 6. Sur X = ]0, +∞[, on considère la distance
1
δ(x, y) = −
x
1 .
y
a) Vérifier que δ est bien une distance.
b) Montrer que (X, δ) n’est pas complet (on pourra considérer la suite définie par xn = n).
c) Montrer que la distance δ induit la même topologie que la distance usuelle sur X, que l’on notera
d. La distance δ est-elle équivalente à d ?
d) Soit Y = ]0, 1]. Montrer que (Y, δ) est complet.
e) On dit que la complétude est une propriété métrique et non pas topologique. Pouvez-vous expliquer ?
Exercice 7 (Théorème des fermés emboîtés). Soit (X, d) un espace métrique. On considère la propriété
suivante : toute suite (Fn )n≥0 décroissante de fermés non-vides de X dont le diamètre tend vers 0 a une
intersection non-vide. Montrer que (X, d) est complet si et seulement si cette propriété est vérifiée.
Exercice 8. Soient (X, d), (Y, δ) deux espaces métriques ; on suppose (X, d) complet. Soit f : X → Y
continue.
T Soit (FnT) une suite décroissante de fermés non-vides de X dont le diamètre tend vers 0. Montrer
que f ( n Fn ) = n f (Fn ). Donner un contre-exemple lorsque X n’est pas complet.
Exercice 9. Soit (X, d) un espace métrique. Pour une suite (xn ) d’éléments de X, on s’intéresse à la
propriété :
1
(∗) : ∀n ∈ N d(xn , xn+1 ) < n .
2
a) Montrer qu’une suite satisfaisant (∗) est de Cauchy.
b) Montrer que si (xn ) est de Cauchy, elle a une sous-suite satisfaisant (∗).
c) Montrer que E est complet ssi toute suite ayant (∗) converge.
1
2
Quelques exemples importants d’espaces complets ou non
Exercice 10. Soit `∞ le R-espace vectoriel des suites bornées muni de la distance uniforme, définie de
la façon suivante : pour x = (x(k))k∈N et y = (y(k))k∈N dans `∞ , on pose
d(x, y) = sup |x(k) − y(k)|.
k≥0
Comme dans la feuille précédente, on note les éléments de `∞ comme des fonctions de N dans R, pour
clarifier les notations concernant les suites de suites.
a) Pour tout entier n ≥ 0, on pose
xn =
1
1 1
1, , , . . . , , 0, 0 . . . .
2 3
n
Autrement dit, xn ∈ `∞ est définie par xn (k) = k1 si k ≤ n, et xn (k) = 0 sinon.
Montrer que la suite (xn )n≥0 est convergente, et donner sa limite.
b) Montrer que (`∞ , d) est complet.
c) Soit c0 le sous-espace de `∞ formé des suites qui convergent vers 0. Montrer que c0 est fermé dans
`∞ , puis que c0 est complet.
d) Soit c00 le sous-espace de `∞ formé des suites qui n’ont qu’un nombre fini de termes non nuls. Est-il
complet ?
Exercice 11. On munit X = C([0, 1], R) de la distance
Z
1
|f (t) − g(t)|dt.
d1 (f, g) =
0
a) Montrer que d1 est effectivement une distance sur X.
b) On définit la fonction fn : [0, 1] → R en posant fn (x) = 1 si x ≥
Montrer que (fn )n∈N est une suite de Cauchy dans (X, d1 ).
1
n
et fn (x) = nx si x ∈ 0, n1 .
c) Montrer que (X, d1 ) n’est pas complet.
Exercice 12. On munit l’espace C 1 ([0, 1], [0, 1]) de la distance d∞ (f, g) = supx∈[0,1] |f (x) − g(x)|.
Cet espace est-il complet ?
3
Théorème de prolongement, complété
Exercice 13 (Théorème de plongement). Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques. On suppose
que (Y, δ) est complet, et on considère une partie A ⊂ X dense dans X. Soit f : A → Y une fonction
uniformément continue.
Montrer qu’il existe une unique fonction continue g : X → Y qui prolonge f , et vérifier que g est uniformément continue.
Exercice 14. Le théorème de prolongement demande de la continuité uniforme. Pouvez-vous donner un
exemple de fonction continue, définie sur R∗ , qui n’admet pas de prolongement continu à R ? De même,
donner une fonction continue sur Q qui n’admet pas de prolongement continu à R.
L’exercice suivant est tout à fait hors programme. Si (X, d) et (Y, δ) sont deux espaces métriques, on dit
que f : X → Y est une application isométrique si pour tout (x, x0 ) ∈ X 2 , δ(f (x), f (x0 )) = d(x, x0 ). Si en
plus f est surjective on dira que c’est une isométrie.
Exercice 15 (Complété d’un espace métrique). Soit (X, d) un espace métrique. On note C l’ensemble
des suites de Cauchy dans X.
a)
i) Soient U = (un )n≥0 et V = (vn )n≥0 deux éléments de C. Montrer que la suite (d(un , vn ))n≥0
converge dans R+ . On note δ(U, V ) sa limite.
ii) Montrer que δ est symétrique et vérifie l’inégalité triangulaire (on dit que δ est une pseudodistance sur C).
2
b) On pose, dans C, la relation suivante : U ∼ V si δ(U, V ) = 0. Montrer que ∼ est une relation
d’équivalence.
On note X̂ = C/ ∼ l’ensemble des classes d’équivalence. Montrer que si U ∼ U 0 et V ∼ V 0 alors
δ(U, V ) = δ(U 0 , V 0 ). En déduire que δ définit une distance (qu’on notera encore δ) sur X̂.
c) Exhiber une application isométrique naturelle i : X → X̂, d’image dense. Montrer que X̂ est complet.
d) Soit f : X → Y une application isométrique d’image dense dans un espace Y complet. Montrer que
f s’étend en une isométrie fˆ: X̂ → Y (on pourra utiliser l’exercice 13).
4
Théorème de point fixe de Picard
C
A
B
D
E
L’exercice suivant propose une construction de la courbe “en flocon de neige”, appelée aussi courbe de
Von Koch. Il s’agit d’un exemple de courbe fractale, qui n’admet pas de tangentes.
Exercice 16. On considère le dessin ci-dessus, où A = (0, 0), B = (1/3, 0), D = (2/3, 0), E = (1, 0)
et où BCD est équilatóral. Soit X l’ensemble des courbes du plan qui joignent les points A = (0, 0) et
E = (1, 0) :
X = {γ : [0, 1] → R2 | γ(0) = A, γ(1) = E, γ continue}.
Cet ensemble est muni de la distance uniforme,
d(γ1 , γ2 ) = sup dR2 (γ1 (t), γ2 (t))
t∈[0,1]
où dR2 représente la distance euclidienne sur le plan.
a) Montrer, à l’aide du cours, que (X, d) est complet.
Soit h l’homothétie du plan de centre (0, 0) et de rapport 1/3. On remarque que h envoie le segment
[AE] sur le segment [AB] (voir le dessin) et multiplie les distances par 1/3 : autrement dit, pour
tous points M, N du plan, on a
dR2 (h(M ), h(N )) =
1
dR2 (M, N ).
3
On considère alors quatre transformations du plan, H1 , H2 , H3 , H4 , vérifiant les propriétés suivantes.
– H1 = h,
– H2 envoie le segment [AE] sur le segment [BC],
– H3 envoie le segment [AE] sur le segment [CD],
– H4 envoie le segment [AE] sur le segment [DE],
– H1 , H2 , H3 , H4 multiplient les distances par 1/3.
b) En utilisant la transformation h et des isométries (translations et rotations), construire H2 , H3 et
H4 ayant les propriétés voulues.
On considère maintenant la transformation T : X → X construite de la façon suivante : pour toute
courbe γ ∈ X, la courbe γ 0 = T (γ) est définie par

H1 (γ(4t))
pour t ∈ [0, 41 ]



H2 (γ(4t − 1)) pour t ∈ [ 14 , 12 ]
γ 0 (t) =
.
H3 (γ(4t − 2)) pour t ∈ [ 21 , 34 ]



H4 (γ(4t − 3)) pour t ∈ [ 43 , 1]
3
c) Soit γ0 l’élément de X défini par γ0 (t) = (t, 0). Dessiner γ0 et γ1 = T (γ0 ) (on pourra commencer
par déterminer γ1 (t) pour les valeurs t = 0,1/4, 1/2, 3/4, 1).
d) Montrer que T est une transformation contractante, c’est-à-dire qu’elle vérifie l’hypothèse du théorème de point fixe de Picard, avec k = 1/3.
e) Expliquer pourquoi il existe une unique courbe γ∞ telle que T (γ∞ ) = γ∞ .
f) Dessiner (rapidement) γ2 = T ◦ T (γ0 ), γ3 = T ◦ T ◦ T (γ0 ). Donner une majoration de la distance
d(γ∞ , γ3 ).
Exercice 17. On considère une fonction f : R → R ayant les propriétés suivantes : f est de classe C 1 ,
sa dérivée est strictement comprise entre −1 et 1, et le graphe de f ne rencontre pas la droite d’équation
x = y.
a) Dessiner l’allure du graphe d’une telle fonction.
b) Montrer que f n’a pas de point fixe.
c) Montrer que f est contractante : pour tous réels x 6= y, on a |f (x) − f (y)| < |x − y|.
d) f est-elle k-lipschitzienne pour un réel k ∈]0, 1[ ?
Exercice 18. Soit (X, d) un espace métrique complet et f : X → X une application telle qu’il existe
k ∈ ]0, 1[ et p ≥ 1 tels que f p , la composée p fois de f , soit k-lipschitzienne. Montrer que f admet un
unique point fixe.
5
Pour aller plus loin. . .
Dans les exercices qui suivent, on pourra utiliser le théorème de Baire : dans un espace métrique complet,
une intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
Exercice 19. Traduire le théorème de Baire en termes d’union de fermés. En déduire qu’on ne peut
pas recouvrir le plan, ni même l’espace Rn , par une famille dénombrable de droites.
Exercice 20. Un nombre réel z est appelé nombre de Liouville s’il est irrationnel, et possède la propriété
que pour tout entier n > 0 il existe des entiers p et q tels que q > 1 et
z − p < 1 .
q qn
a) Montrer que le nombre
∞
X
1
10k!
k=1
est un nombre de Liouville.
b) Écrire l’ensemble I = R \ Q des irrationnels comme une intersection dénombrable d’ouverts denses.
c) Montrer que l’ensemble L des nombres de Liouville est une intersection dénombrable d’ouverts
denses.
d) En déduire que tout intervalle contient une infinité de nombres de Liouville.
Exercice 21. Démontrer le théorème de Baire.
Indication. Être dense, c’est rencontrer tout ouvert non vide. Soit (Un ) une suite d’ouverts denses, et V
un ouvert. Il existe une boule fermée B1 incluse dans U1 ∩ V . Il existe une boule fermée B2 incluse dans
U2 ∩ B1 . Et ainsi de suite... Compléter cette preuve à l’aide du théorème des fermés emboîtés (exercice 7).
Exercice 22 (Distance de Hausdorff). Soit (X, d) un espace métrique. On note F l’ensemble des fermés
bornés non vides de X. Pour tout F de F et tout ε > 0 on appelle ε-voisinage de F l’ensemble
[
def
Vε (F ) =
B̊(x, ε).
x∈F
0
Pour F, F ∈ F, on pose
δ(F, F 0 ) = inf{ε > 0 | F ⊂ Vε (F 0 ) et F 0 ⊂ Vε (F )}.
a) Faire un dessin illustrant la définition d’un ε-voisinage.
b) Montrer que δ est une distance sur F.
c) On suppose que (X, d) est complet. Montrer que (F, δ) est complet.
4
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L3 de Mathématiques
Automne 2013
TD n◦ 3. Compacité
1
Exemples d’espaces compacts
Exercice 1. Déterminer si les sous-espaces de R2 suivants sont compacts :
A = {(x, y) ∈ R2 | y > ex , x > 0, x + y 6 2},
B = {(x, y) ∈ R2 | y > ex , x > 0, x + y 6 2}.
Exercice 2. Soient K et L deux parties compactes d’un espace métrique X. Montrer que K ∪ L est une
partie compacte.
2
Exercice 3. Soit Mn (R) l’ensemble des matrices de taille n × n, qu’on identifie à Rn . Montrer que
O(n) = {A ∈ Mn (R) | At A = I} est compact.
Exercice 4. Soit (xn )n∈N une suite convergente, de limite notée x, d’un espace métrique X. Montrer
que A := {x} ∪ {xn , n ∈ N} est une partie compacte de X.
Exercice 5. Soient A et B deux parties de Rn . On note : A + B = {a + b, (a, b) ∈ A × B}.
a) Montrer que si A est ouverte alors A + B est ouverte.
b) Montrer que si A et B sont compactes, alors A + B est compacte.
c) Montrer que si A est compacte et B est fermée, alors A + B est fermée. L’ensemble A + B est-il
nécessairement compact ?
d) L’ensemble A + B est-il nécessairement fermé si A et B sont seulement supposés fermés ?
2
Propriétés des espaces compacts
Exercice 6. Soit (X, d) un espace métrique dont toute boule fermée Bf (x, r) = {y ∈ X, d(x, y) 6 r}
est compacte.
a) Montrer que X est complet.
b) Montrer que les parties compactes de X sont les sous-ensembles fermés bornés.
Exercice 7. On se place dans C([0, 1], R), l’espace des fonctions continues qu’on munit de la métrique
d∞ (f, g) = max |f (x) − g(x)|.
x∈[0,1]
On veut montrer que la boule unité fermée n’est pas compacte. Pour cela on donne deux exemples de
suites sans valeur d’adhérence. Formaliser et comparer à l’exercice précédent.
a) Soit n ∈ N. Dessiner une fonction continue fn : [0, 1] → [0, 1], qui s’annule en dehors de l’intervalle
1
, 21n ] et qui prend la valeur 1 au milieu de l’intervalle. Que vaut d∞ (fn , fm ) ?
[ 2n+1
b) Soit n ∈ N. On définit gn (x) = xn . Pour n fixé, que vaut d∞ (gn , gm ) lorsque m est très grand ?
Exercice 8. Soit X un espace métrique et A un sous-espace compact non vide de X. Montrer qu’il existe
un ensemble dénombrable dense dans A.
Indication : Pour chaque n ∈ N∗ on pourra considérer un recouvrement avec des boules de rayon n1 .
Exercice 9. Soit (E, d) un espace métrique compact et soit (xn ) une suite d’éléments de E admettant
une unique valeur d’adhérence x. Montrer que (xn ) converge vers x.
Exercice 10. Si (X, d) est un espace métrique non vide compact. On note diam(X) = supx,y∈X d(x, y) ∈
[0, +∞].
a) Montrer que diam(X) est fini et il existe x, y ∈ X tels que diam(X) = d(x, y).
b) Montrer que, si (Fn )n∈N est une suite décroissante de fermés non vides de X, alors F :=
est un compact non vide de X et diam(F ) = limn→∞ diam(Fn ).
1
T
n
Fn
c) Si (Fn )n∈N est suite décroissante de fermés d’un espace complet, F :=
non vide ?
T
n
Fn est-il nécessairement
Exercice 11. Montrer que la distance entre deux compacts est atteinte, c’est-à-dire : si K et K 0
sont deux compacts d’un espace métrique, il existe (x, x0 ) ∈ K × K 0 vérifiant d(x, x0 ) = d(K, K 0 ) :=
inf (x,x0 )∈K×K 0 d(x, x0 ).
Exercice 12. Dans un espace métrique (X, d), on considère un fermé non vide F vérifiant F 6= X et un
compact K non vide tel que K ∩ F = ∅.
a) Montrer que d(K, F ) := inf x∈K,y∈F d(x, y) est strictement positif. Ce résultat est-il vrai si K est
seulement supposé fermé ?
b) Pour ε > 0 on note Kε := {x ∈ X, d(x, K) < ε}. On considère Ω un ouvert de X, Ω 6= X, tel que
K ⊂ Ω. Montrer que, pour tout ε > 0, Kε est un ouvert de X et qu’il existe ε > 0 tel que Kε ⊂ Ω.
Exercice 13. On note E l’espace euclidien Rn , n > 1.
a) Soit F un fermé non borné de E et f : F → R une application continue telle que :
f (x) = +∞.
lim
x∈F,kxk→+∞
Montrer qu’il existe x dans F vérifiant f (x) = inf y∈F f (y).
b) En déduire une démonstration du théorème de d’Alembert-Gauss : montrer que tout polynôme
P ∈ C[X] non constant admet une racine dans C.
Indication : Si |P (z0 )| = inf z∈C |P (z)| > 0, construire un nombre complexe z ∈ C (proche de z0 )
tel que |P (z)| < |P (z0 )|.
c) Soit K est un compact de E et soit F est un fermé de E. Montrer qu’il existe x ∈ K, y ∈ F
vérifiant : d(x, y) = d(K, F ). Ce résultat reste-t-il vrai si E est un espace vectoriel normé de
dimension infinie ?
Exercice 14.
a) Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques avec (X, d) compact. Soit f : X → Y
bijective et continue. Montrer que Y est compact et que f est un homéomorphisme. On peut
reformuler cette propriété comme suit : si f est continue et injective, définie sur un espace compact,
alors f est un homéomorphisme sur son image.
b) Soit f : [0, 2π[→ C, f (t) = eit . Montrer que f est continue et injective. Montrer que la réciproque
n’est pas continue. Comparer à la question précedente.
Exercice 15. Soit X un espace métrique compact. On munit l’ensemble X N := {f : N → X} de la
distance suivante
X
δ(u, v) =
2−k min(1, d(u(k), v(k))).
k∈N
a) Vérifier que δ est effectivement une distance.
b) Soit (un )n∈N une suite d’éléments de X N et soit u ∈ X N . Montrer que
lim δ(un , u) = 0 si et seulement si ∀k ∈ N, lim d(un (k), u(k)) = 0.
n→∞
n→∞
c) Montrer que (X N , δ) est compact.
d) Montrer que U est un ouvert de (X N , δ) si et seulement si pour tout x dans U , il existe une partie
finie J ⊂ N et un réel strictement positif α vérifiant :
∀y ∈ X N , ∀j ∈ J,
d(y(j), x(j)) < α ⇒ y ∈ U.
Exercice 16 (Partiels 2010, 2012). Soit K un ensemble convexe et compact non vide d’un espace vectoriel
normé. Soit f : K → K une application vérifiant :
∀x, y ∈ K
kf (x) − f (y)k 6 kx − yk .
Soit a dans K. Pour tout entier k de N∗ on considère l’application fk définie par :
1
1
f (x).
fk (x) = f (a) + 1 −
k
k
2
a) Montrer que, pour tout k dans N∗ , fk envoie K dans K et admet un unique point fixe.
On note xk ce point fixe.
b) Supposons un instant que la suite (xk )k∈N∗ converge vers x. Montrer que f (x) = x.
c) En déduire que, dans le cas général, f admet un point fixe.
d) L’application f admet-elle un unique point fixe ? (Donner une démonstration ou un contre-exemple.)
Remarque. Le théorème du point fixe de Schauder peut s’énoncer : Dans un espace de Banach toute
application continue d’un convexe compact non vide dans lui-même admet un point fixe.
Exercice 17. Soit (E, d) un espace métrique complet non vide et f : E → E une application vérifiant :
∀x, y ∈ E, x 6= y,
d(f (x), f (y)) < d(x, y).
a) La fonction f admet-elle nécessairement un point fixe ? (Considérer E = [1, ∞[ et f (x) = x + x1 .).
Dans la suite on suppose de plus que E est compact.
b) Montrer que f admet un unique point fixe a.
Indication : On pourra étudier la fonction x 7→ d(f (x), x).
c) Soit x0 ∈ E et soit xn+1 := f (xn ), pour n ∈ N. Montrer que (xn ) converge vers a quand n tend
vers ∞.
Exercice 18. Soit (E, d) un espace métrique compact et f : E → E une application vérifiant :
∀x, y ∈ E
d(f (x), f (y)) > d(x, y).
a) Montrer que f est une isométrie, c’est-à-dire :
∀x, y ∈ E
d(f (x), f (y)) = d(x, y).
On pourra procéder comme suit :
i) Fixer x et x0 distincts tels que d(f (x), f (x0 )) > d(x, x0 ) ; montrer qu’il existe une extraction ϕ
telle que (f ϕ(n) (x)) et (f ϕ(n) (x0 )) convergent.
0
0
ii) Poser ε = d(f (x),f (x2))−d(x,x ) . Montrer qu’il existe n0 ∈ N tel que d(f ϕ(n0 +1) (x), f ϕ(n0 ) (x)) <
et de même pour x0 .
ε
3
iii) Soit n1 = ϕ(n0 +1)−ϕ(n0 ) > 1. Montrer que d(x, f n1 (x)) < ε, puis conclure à une contradiction
en majorant d(f (x), f (x0 )).
b) Montrer que f est bijective. Pour la surjectivité on pourra procéder comme suit :
i) Soit x0 ∈ E. On pose α = inf z∈Z d(x0 , z). Soit (xn )n∈N la suite définie par récurrence par
xn+1 = f (xn ). Montrer que d(x0 , xn ) > α pour tout n > 1, puis que d(xn , xm ) > α pour tout
n 6= m.
ii) Montrer que α = 0 et en déduire que x0 ∈ Z.
Ainsi, un étirement d’un compact est une isométrie bijective. C’est évidemment faux si l’espace
n’est pas compact !
c) Soit g : E → E une application bijective vérifiant :
∀x, y ∈ E
d(g(x), g(y)) 6 d(x, y).
Montrer que g est une isométrie.
3
Pour aller plus loin. . .
Exercice 19. Un espace métrique (X, d) est compact si et seulement s’il est précompact (c’est-à-dire :
∀ε > 0, X peut être recouvert par un nombre fini de boules de rayon ε) et complet.
Exercice 20. Soit (X, d) un espace métrique compact et soit Y l’ensemble des fermés non vides de X.
Considérons δ : Y 2 → R définie par :
δ(F1 , F2 ) = max sup d(x, F2 ), sup d(x, F1 ) .
x∈F1
x∈F2
3
a) Montrer que pour tout x ∈ X et A, B ∈ Y , d(x, A) 6 d(x, B) + δ(A, B). En déduire que δ est un
distance.
b) Soit ε > 0 et x1 , . . . , xn ∈ X tels que X est l’union des boules ouvertes de centre xi et de rayon
ε. Pour I ⊂ {1, . . . , n}, on note FI = {xi }i∈I ∈ Y . Montrer que Y est recouvert par les boules de
centre FI et de rayon ε quand I parcourt toutes les parties de {1, . . . , n}.
S T
c) Soit (Fn )n∈N une suite de Cauchy de (Y, δ). Montrer que Fn converge vers n k>n Fk . En déduire
que Y est compact.
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L3 de Mathématiques
Automne 2013
TD n◦ 4. Connexité
Exercice 1. Les parties suivantes de R2 sont-elles connexes par arcs ? connexes ?
{(x, y) ∈ R2 , |x| ≤ 1, |y| ≤ 1},
{(x, y) ∈ R2 ||x| > 1 et |y| > 1},
R2 \{0},
{(x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 = 1},
{(x, y) ∈ R2 |x = 1 ou x = −1 ou y = 1 ou y = −1}
Exercice 2. Soient X et Y deux espaces métriques. Un homéomorphisme X → Y est une bijection
continue d’inverse continue (s’il existe un tel homéomorphisme, on dit que X et Y sont homéomorphes).
a) Montrer que les parties suivantes de R2 sont homéomorphes
{(x, y) ∈ R2 /x > 0 et y > 0}
et {(x, y) ∈ R2 /x < 0 et y > 0}.
{(x, y) ∈ R2 /y = e−x }
et {(x, y) ∈ R2 /x = cos y}.
b) Montrer que R, R2 , [0, 1[, [0, 1] et S1 := {z ∈ C, |z| = 1} sont deux à deux non homéomorphes.
c) Classer les lettres de l’alphabet (en majuscule) par classe d’homéomorphisme.
Exercice 3. Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe.
Exercice 4. Soit S1 = {z ∈ C||z| = 1}. Soit f : S1 → R continue. Montrer qu’il existe z ∈ S tel que
f (z) = f (−z). Indication : On pourra étudier le signe de la fonction z 7→ f (z) − f (−z).
Exercice 5. Soit I un intervalle de R et f : I → R une application continue. Montrer que f est injective
si et seulement si elle est strictement monotone.
Exercice 6. Quelles sont les composantes connexes par arcs de Q ? Quelles sont les composantes connexes
par arcs de {0, 1} ? de {0, 1}N ?
Indication : On pourra montrer que pour tout i ∈ N, l’application Pi qui a une suite (xn )n∈N associe xi
est continue.
Exercice 7. a) Soient A et B deux parties fermées d’un espace métrique X. On suppose que A ∪ B
et A ∩ B sont connexes par arcs, montrer que A et B sont connexes par arcs.
b) Soient A et B deux partie connexes d’un espace métrique X. On suppose que A ∩ B n’est pas vide.
Montrer que A ∪ B̄ est connexe. La conclusion reste-t-elle vraie si on suppose seulement Ā ∪ B̄
non-vide ?
Exercice 8. Soit X et Y deux espaces métriques non vides.
a) Montrer que X × Y est connexe par arcs si et seulement si X et Y sont connexes par arcs.
Indication : On pourra commencer par montrer que {x} × Y est connexe par arcs pour tout x ∈ X.
b) Montrer que les composantes connexes de X × Y sont de la forme A × B où A et B sont des
composantes connexes par arcs de X et de Y .
Exercice 9. Soit X := {(x, sin( x1 ))}x∈]0,∞[ ∪ {(0, y)}y∈[−1,1] ⊂ R2 .
a) Montrer que X est connexe.
b) Montrer que X n’est pas connexe par arcs.
Indication : On suppose qu’il existe γ : [0, 1] → X continue, γ(t) = (x(t), y(t)), tq γ(0) = ( π1 , 0) et
γ(1) = (0, 0). On note t0 = sup{t > 0 tq x(t) > 0}. On montre que x(t0 ) = 0 et que ∀z ∈ [−1, 1], il
existe rn → t0 tq 0 < x(rn ) → x(t0 ) et y(rn ) = z. Ceci permet de contredire la continuité de y.
Exercice 10. On se place dans Mn (K), où K = R ou C, l’ensemble des matrices de taille n × n.
a) Montrer que GLn (R) := {M ∈ Mn (R)| det(M ) 6= 0} est un ouvert non connexe de Mn (R).
b) Montrer que GLn (C) := {M ∈ Mn (C)| det(M ) 6= 0} est un ouvert connexe par arcs de Mn (C).
Indication : on pourra commencer par montrer que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures
sans zéro sur la diagonale est connexe, puis utiliser la triangularisation.
c) Montrer que SLn (R) := {M ∈ GLn (R)| det(M ) = 1} est un fermé connexe par arcs de Mn (R).
d) Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisable de Mn (R) est connexe par arcs.
1
Exercice 11. Soit X un espace métrique.
a) Soit F un fermé non-vide et non connexe de X. Montrer qu’il existe deux fermés non-vides et
disjoints L1 et L2 tel que F = L1 ∪ L2 .
b) On suppose de
T plus que X est compact. Soit (Fn )n∈N une suite décroissante de fermés connexes.
Montrer que n∈N Fn est connexe.
Exercice 12. Montrer qu’un espace métrique (X, d) est connexe si et seulement si toute fonction continue
X → {0, 1}, où {0, 1} est muni de la distance discrète (δ(x, y) = 1 si x 6= y, 0 sinon) est constante. En
déduire qu’une réunion quelconque de connexes ayant un point commun est connexe.
Exercice 13. Considérons les peignes de R2 :

P1 = (R × {1}) ∪ 

[
{x} × [0, 1] ,
x∈Q

P1 = (R × {−1}) ∪ 
[
{x +
√

2} × [−1, 0] .
x∈Q
Montrer que P1 ∪ P2 est connexe, mais n’est pas connexe par arcs.
Pour aller plus loin. . .
Exercice 14. Soit X un espace métrique connexe. Montrer que pour tout x, y ∈ X et tout ε > 0, il
existe une -chaîne joignant x et y (i.e. il existe n ∈ N, x0 , . . . , xn ∈ X tels que x0 = x, xn = y et
∀ i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, d(xi , xi+1 ) < ε).
Montrer qu’un espace métrique X compact bien enchaîné (i.e. ∀ x, y ∈ X et ∀ ε > 0 il existe une ε-chaîne
joignant x et y) est connexe.
Exercice 15. Soient An = {( n1 , y, 0), 0 ≤Sy ≤ 2n + 1}, Bn = {(0, y, 0), 2n − 1 ≤ y ≤ 2n + 1} et
Cn = {(x, 2n, x( n1 − x), 0 ≤ x ≤ n1 } et X = n∈N (An ∪ Bn ∪ Cn ) ⊂ R3 . Montrer que X est connexe mais
n’est pas connexe par arc.
Exercice 16. Soit X un espace métrique compact et connexe. Montrer que l’ensemble des fermés non
vides de X, muni comme dans l’exercice 13 de la feuille 4 de la distance
δ(F1 , F2 ) = max( sup d(x, F1 ), sup d(x, F2 )),
x∈F2
x∈F1
est connexe.
Exercice 17. Si (X, d) est un espace métrique, on munit l’espace ΩX := {f ∈ C([0, 1], X)|f (0) = f (1)}
de la distance uniforme
d(f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)|.
x∈[0,1]
a) Montrer que si f : X → Y est une application continue, l’application Ωf : ΩX → ΩY qui à g
associe f ◦ g est continue (on pourra commencer par montrer que si K est un compact de X, pour
tout > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ K et x0 in X, d(x, x0 ) ≤ η =⇒ d(f (x), f (x0 )) ≤ ).
b) Montrer que ΩRn est connexe.
c) On considère X0 = C\0. Montrer que X0 est localement connexe.
d) Si n ∈ Z, on définit fn ∈ ΩX0 par fn (x) = e2iπnx . Montrer que pour toute composante connexe
de X0 , il existe un unique n ∈ Z tel que fn ∈ X0 (on pourra montrer que l’application {f ∈
C([0, 1], C)|f (1) − f (0) ∈ Z} → ΩX0 qui à f associe e2iπf est surjective).
e) En déduire que C et C\{0} ne sont pas homéomorphes.
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L3 de Mathématiques
Automne 2013
TD n◦ 5. Espaces vectoriels normés,
applications linéaires continues
1
Généralités sur les espaces normés
Exercice 1 (Vrai ou faux ?). Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, et suivant le cas, en
donner une preuve ou trouver un contre-exemple.
a) L’application N : (x, y) 7→ |2x + 7y| est une norme sur R2 ;
b) L’application N : P 7→ |P (0)| + |P (1)| + |P (2)| + |P (3)| est une norme sur l’espace R3 [X] des
polynômes à coefficients réels de degré ≤ 3 ;
c) Dans un espace vectoriel normé E, pour tout v ∈ E, l’application x 7→ x + v est continue.
Exercice 2. Soit E un espace vectoriel normé, et a ∈ E. Démontrer que, pour tout r > 0, l’adhérence
de la boule ouverte Bo (a, r) est la boule fermée Bf (a, r).
Exercice 3. Soit E un espace vectoriel normé, F ⊂ E un sous-espace vectoriel.
a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
b) Montrer que si F n’est pas d’intérieur vide, alors F est dense dans E.
Exercice 4. Soit E un espace vectoriel normé, F ⊂ E un sous-espace de dimension finie. Montrer que F
est fermé dans E.
Exercice 5 (Identité du parallélogramme). Soit (E, ||.||E ) un espace vectoriel normé. On dit que la norme
||.|| vérifie l’identité du parallélogramme si
∀x, y ∈ E, ||x − y||2 + ||x + y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2 .
a) On suppose que ∀x, y ∈ E, ||x − y||2 + ||x + y||2 ≤ 2 ||x||2 + |y||2 . Montrer que ||.|| vérifie l’identité
du parallélogramme.
b) Montrer que si la norme ||.|| dérive d’un produit scalaire sur E, elle vérifie l’identité du parallélogramme.
c) (plus difficile) Montrer que réciproquement, si ||.|| vérifie l’identité du parallélogramme, elle dérive
d’un produit scalaire.
Exercice 6. Soit E un espace vectoriel, d une métrique sur E. Montrer qu’il existe une norme ||.|| sur E
telle que d est la métrique associée à ||.|| si et seulement d est telle que :
– ∀x, y, z ∈ E, d(x + z, y + z) = d(x, y),
– ∀λ ∈ R, x, y ∈ E, d(λx, λy) = |λ|d(x, y).
Exercice 7. On définit une application sur Mn (C) par :
∀A ∈ Mn (C), N(A) = n
max
i,j=1,...,n
|ai,j |.
Démontrer que N est une norme sur Mn (R), puis qu’il s’agit d’une norme sous-multiplicative, c.-à-d.
∀A, B ∈ Mn (C), N(AB) ≤ N(A)N(B).
Exercice 8 (Exponentielle matricielle). On admet qu’il existe des normes sous-multiplicatives sur Mn (C)
(voir l’exercice précédent).
P
1
a) Soit M ∈ Mn (C). Démontrer que la série k≥0 k!
Mk est convergente. On note exp(M) sa limite.
b) Démontrer que, pour toute M ∈ Mn (C), exp(M ) s’écrit comme un polynôme en M . En particulier,
M et exp(M ) commutent.
c) Démontrer que :
i) Pour toute M ∈ Mn (C), t exp(M ) = exp(t M ) ;
ii) Pour toute M ∈ Mn (C), exp(M ) est inversible, d’inverse exp(−M ) ;
iii) Pour M, N ∈ Mn (C), s’il existe P ∈ GLn (C) telle que M = P N P −1 , alors exp(M ) =
P exp(N )P −1 ;
iv) Pour M, N ∈ Mn (C), si M N = N M , on a exp(M + N ) = exp(M )exp(N ).
d) Comment définirait-on le « cosinus » d’une matrice M ∈ Mn (C) ?
1
2
Autour des applications linéaires continues
Exercice 9. Soit (E, ||.||E ) et (F, ||.||F ) deux espaces vectoriels normés, ` : E → F une application linéaire.
a) Si ` est continue, montrer que
||`|| = sup ||`(x)||F = sup ||`(x)||F = sup ||`(x)||F =
||x||E ≤1
||x||E =1
||x||E <1
||`(x)||F
.
x∈E\{0} ||x||E
sup
b) Montrer que ` est continue si et seulement s’il existe un réel M tel que pour tout x dans E, on ait
||`(x)||F ≤ M||x||E ; et que dans ce cas, ||`|| = inf {M ≥ 0 : ∀x ∈ E, ||`(x)||F ≤ M||x||E }.
Exercice 10 (Exercice de rédaction). Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et ` : E → F. On
suppose que l’image par ` de toute suite (xn )n∈N ∈ EN convergeant vers 0 est bornée. Montrer que ` est
continue. On raisonnera par contrapposée en supposant que pour tout n ∈ N, il existe un xn ∈ E \ {0} tel
que |`(xn )| ≥ n||xn ||. À partir de (xn )n∈N , on construira une suite (yn )N ∈ EN convergeant vers 0 telle
que |`(yn )| n’est pas bornée.
Exercice 11. Soit E un espace vectoriel normé, L(E) l’ensemble des applications linéaires continues sur
E, à valeurs dans E.
a) Montrer que, pour tous T, U ∈ L(E), on a ||U ◦ T ||L(E) ≤ ||U ||L(E) ||T ||L(E) , c.-à-d. la norme
d’opérateur est sous-multiplicative.
b) En déduire que, si U ∈ L(E) est fixé, les deux applications
L(E) 3 T 7→ U ◦ T ∈ L(E)
;
L(E) 3 T 7→ T ◦ U ∈ L(E)
sont des applications linéaires continues.
c) Existe-t-il nécessairement sur L(E) des normes multiplicatives, c.-à-d. telles que ||U ◦ T ||L(E) =
||U ||L(E) ||T ||L(E) , pour tous T, U ∈ L(E) ?
Exercice 12 (Quelques normes matricielles). On munit l’espace vectoriel Rn des normes ||.||1 , ||.||2 et
||.||∞ , respectivement définies par :
v
u n
n
X
uX
|xi |2 , ||x||∞ = max |xi ].
|xi |, ||x||2 = t
∀x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , ||x||1 =
i=1,...,n
i=1
i=1
Soit Mn (R) l’espace des matrices carrées d’ordre n (que l’on voit comme l’espace des applications linéaires
(continues) sur Rn ), et Sn (R) le sous-espaces des matrices symétriques d’ordre n.
a) Déterminer les normes |||.|||1 et |||.|||∞ sur Mn (R), subordonnées respectivement aux normes ||.||1
et ||.||∞ sur Rn .
b) Démontrer que la norme subordonnée |||.|||2 sur Sn (R) n’est autre que le rayon spectral, i.e.
∀A ∈ Sn (R), |||A|||2 = ρ(A) =
max
|λ|,
λ∈Spec(A)
où le spectre d’une matrice A — Spec(A) — désigne l’ensemble de ses valeurs propres.
3
Pour aller plus loin, vers la dimension infinie
Exercice 13 (Hyperplans dans un espace vectoriel normé). Soit E un evn sur K, avec K = R ou C. On
rappelle qu’un hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E.
a) Soit ϕ une forme linéaire non continue sur E. Construire une suite (yn )n∈N d’ éléments de E qui
converge vers 0, avec pour tout n ∈ N, ϕ(yn ) = 1.
b) Montrer qu’un hyperplan H = Ker(ϕ) de E est soit fermé dans E, auquel cas l’application ϕ est
continue, soit dense dans E, auquel cas ϕ n’est pas continue.
Exercice 14. Soit R[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, sur lequel on définit l’application :
n
X
∀P =
ak Xk ∈ R[X], ||P ||∞ = sup |ak |.
k=0,...,n
k=0
2
a) Vérifier que ||.||∞ est une norme sur R[X].
b) Soit T : R[X] 3 P 7→ XP ∈ R[X]. Montrer que T est une application linéaire continue et calculer sa
norme.
Exercice 15. Sur l’espace R[X], on définit les applications :
∀P =
n
X
ak Xk , ||P ||1 =
k=0
n
X
|ak | ; ||P ||∞ = max |ak | ; ||P ||∗ = sup |P (t)|.
k=0,...,n
k=0
t∈[0,1]
Montrer que ce sont des normes sur R[X], et qu’elles sont deux à deux non équivalentes. On pourra à cet
effet considérer les polynômes Pn (t) = (t − 1)n , et Qn (t) = 1 + t + ... + tn .
3.1
Applications linéaires continues dans les espaces de suites et de fonctions
Exercice 16. Soit X = C ([0, 1], R) l’espace vectoriel des applications continues sur [0, 1] à valeurs réelles.
On définit
Z
1
∀f ∈ X, ||f ||1 =
|f (x)| dx ; ||f ||∞ = sup |f (x)|.
x∈[0,1]
0
a) Montrer que ||.||1 et ||.||∞ définissent deux normes sur X.
b) Étudier la continuité de chacune des applications suivantes, et lorsqu’ elles sont continues, calculer
leur norme d’opérateur :
i)
(X, ||.||1 ) −→
R
T1 :
f
7−→ f (0)
ii)
T2 :
(X, ||.||∞ ) −→
f
7−→
R
f (0)
iii)
T3 :
(X, ||.||1 ) −→
f
7−→
(X, ||.||∞ )
f
iv)
(X, ||.||1 ) −→
T4 :
1)
(X,
Z ||.||
x
x 7→
f (t) dt
7−→
f
0
v)
(X, ||.||1 ) −→
T5 :
Z
f
R
1
2
Z
1
f (t) dt −
7−→
0
f (t) dt
1
2
Exercice 17. Soit X = C ([0, 1], R), sur lequel on définit l’application :
s
Z 1
∀f ∈ X, ||f ||2 =
f 2 (t) dt.
0
a) Montrer que ||.||2 définit une norme sur X. On pensera à utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
b) Soit g ∈ X. On définit une application T : X → X par ∀f ∈ X, T(f ) = gf . Montrer que T est
linéaire, continue, et calculer sa norme.
Exercice 18. Soit `∞ l’espace vectoriel des suites bornées à valeurs dans R, muni de la norme
||x||l∞ = sup |x(k)|.
k∈N
∞
∞
a) Soit T : ` → ` l’application définie par : ∀k ∈ N, (T(x)) (k) = x(k + 1). Montrer que T est une
application linéaire continue sur `∞ et calculer sa norme.
P∞
b) Soit (a(k))k∈N une suite de réels telle que k=0 |a(k)| < ∞. Montrer que l’application U : `∞ → R
définie par
∞
X
∀x ∈ `∞ , U(x) =
a(k)x(k)
k=0
est une application linéaire continue et calculer sa norme.
3
3.2
Espaces de Banach
Exercice 19. Soit X = C 1 ([−1, 1], R) l’espace des fonctions continument dérivables sur [−1, 1] à valeurs
réelles.
a) Démontrer que l’application définie par : ∀f ∈ X, ||f ||∞ = supx∈[−1,1] |f (x)| est une norme sur X.
b) Montrer que la suite (fn ) ∈ XN , définie par
0
si −1 ≤ x < 0
fn (x) =
x − n1 sin(nx) si 0 ≤ x ≤ 1
est une suite de Cauchy de X. En déduire que X, muni de la norme ||.||∞ n’est pas complet.
c) On définit
sup |f 0 (x)|.
sup |f (x)| +
N(f ) =
x∈[−1,1]
x∈[−1,1]
Montrer que X, muni de la norme N est complet. On considèrera une suite de Cauchy de E, et on se
ramenera au cas de deux suites de Cauchy de C 0 ([−1, 1], R), qui est complet. On utilisera
R x enfin le
fait que, pour toute fonction f ∈ C 0 ([−1, 1], R), f ∈ E et f 0 = g si et seulement si f (x) = −1 g(t) dt.
∞
P
p
p
Exercice 20 (Inégalités de Hölder et de Minkoswki). Si p ∈ N, on note ` = (xn )n≥0 ,
|xn | < ∞ ,
n=0
l’espace vectoriel des suites p-sommables.
a) Démontrer l’inégalité de Young : si p, q sont deux entiers naturels tels que
ab ≤
1
p
+
1
q
= 1, et a, b ∈ R+ ,
ap
bq
+ .
p
q
On pourra utiliser la convexité de l’application x 7→ ex .
b) Démontrer l’inégalité de Hölder : si p, q sont deux entiers naturels tels que
et (yn )N ∈ `q ,
! p1
! q1
∞
∞
∞
X
X
X
p
q
|xn yn | ≤
|xn |
|yn |
.
n=0
n=0
1
p
+
1
q
= 1, (xn )N ∈ `p
n=0
c) Démontrer l’inégalité de Minkowski : si p, q sont deux entiers naturels tels que p1 + 1q = 1, (xn )n∈N , (yn )N ∈ `p ,
∞
X
n=0
p
|xn + yn | ≤
∞
X
n=0
! p1
|xn |
p
+
∞
X
! p1
p
|yn |
.
n=0
On pourra se ramener à l’inégalité de Hölder avec des exposants p, q, et des suites judicieusement
choisis.
1
P∞
En déduire que l’écriture ||(xn )||`p = ( n=0 |xn |p ) p définit une norme sur `p .
Exercice 21 (Théorème de Volterra). (difficile) Soit X = C ([0, 1], R), g ∈ X, et K : [0, 1] × [0, 1] → R
une fonction continue par morceaux et bornée telle que :
∀s, t ∈ [0, 1], s > t K(s, t) = 0.
Démontrer que, quel que soit λ ∈ R, l’équation intégrale de Volterra
Z 1
∀t ∈ [0, 1], f (t) + λ
K(s, t)f (s) ds = g(t),
0
admet une unique solution f ∈ X. On pourra considérer l’espace
R 1X muni de la norme uniforme, qui est
complet, et l’application Tg : X → X, définie par Tg (f ) = f − λ 0 K(s, .)f (s) ds − g, montrer qu’il existe
une puissance n ∈ N telle que Tng est contractante, et utiliser un corollaire du théorème de Picard.
4
Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2013
TD n◦6. Différentiabilité
Exercice 1. a) Chacune des formules suivantes définit une fonction f sur R2 \ {(0, 0)}, que l’on
prolonge en posant f (0, 0) = 0. Pour chacune des fonctions obtenues, répondre aux questions
suivantes : Est-elle continue en (0, 0) ? L’application admet-elle des dérivées partielles en (0, 0) ?
Des dérivées directionnelles ? Est-elle différentiable en (0, 0) ? Est-elle de classe C 1 au voisinage de
(0, 0) ?
xy
xy 2
x3 y
xy 3
(i) 2
(ii)
(iii)
(iv)
.
x + y2
x2 + y 2
x4 + y 2
x4 + y 2
Aides : on pourra utiliser que x4 + y 2 ≥ 2x2 |y| et, pour (iii), on pourra étudier la dérivée de f ◦ λ,
où λ(t) = (t, t2 sin(1/t)) si t 6= 0 et λ(0) = (0, 0).
b) On note r et θ les coordonnées polaires sur le plan (ce sont des fonctions de x et y). Soit f définie
par
 r
si θ ∈]0, π[
 θ
−r
si θ ∈] − π, 0[
f (x, y) =
 θ+π
0
si θ = 0 ou π.
Montrer que f admet des dérivées directionnelles en (0, 0) selon tout vecteur. Montrer cependant
que f n’est pas continue en (0, 0).
c) Soit f : E → F une application entre deux espaces vectoriels normés, E de dimension finie, et x0
un point de E. Quels liens logiques y a-t-il entre les propriétés suivantes ?
(i) f est différentiable en x0 ,
(ii) f admet en x0 des dérivées directionnelles suivant tout vecteur (non nul),
(iii) f admet des dérivées partielles en x0 ,
(iv) f est continue en x0 ,
(v) f est de classe C 1 sur un voisinage de x0 .
Exercice 2. Soit f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (ex cos y, ex sin y).
a) Prouver que f est de classe C 1 sur R2 et que Df (x, y) est bijective en tout point (x, y) de R2 .
b) L’application f est-elle injective ?
Exercice 3.
a) Soit f : R → R une fonction dérivable. Ecrire la formule de Taylor à l’ordre 1 en un point x0 . En
déduire l’expression de la différentielle Df (x0 ) à l’aide de f ′ (x0 ).
b) Rappeler la formule donnant la différentielle de (g ◦ f ) à l’aide des différentielles de f et g. Ecrire
la formule pour f, g deux fonctions dérivables de R dans R, et retrouver ainsi la formule donnant
la dérivée de g ◦ f à l’aide de celles de f et de g.
Exercice 4. Soit f : Rm → Rm différentiable telle que f (0) = 0. Si Df0 ne possède aucun valeur propre
égal à 1, alors il existe un voisinage U de 0 dans Rm tel que f (x) 6= x pour chaque x ∈ U \ {0}.
Exercice 5. Soit f : U → Rm différentiable sur un ouvert U ⊂ Rn et φ : Rm → R de classe C 1 telle
que φ(f (x)) = 0 pour chaque x ∈ U . Montrer que si a ∈ U est tel que grad. φ(b) 6= 0, où b = f (a), alors
det Df (a) = 0.
Exercice 6.
a) Soit p : (0, 2π) × R>0 → R2 la fonction « coordonnées polaires »
(θ, r) 7→ (r cos θ, r sin θ).
Montrer que p définit un difféomorphisme entre (0, 2π) × R>0 et un ouvert U de R2 .
b) Justifier l’énoncé suivant trouvé dans une livre de physique : « On écrit la fonction z = f (x, y) en
coordonnées polaires et on trouve
∂f
∂f
∂z
=
cos θ +
sin θ
∂r
∂x
∂y
et
1
1 ∂z
∂f
∂f
=−
sin θ +
cos θ. »
r ∂θ
∂x
∂y
Exercice 7. Soit GLn (R) l’ensemble des matrices n×n qui sont inversibles et soit f : GLn (R) → GLn (R)
la fonction X 7→ X −1 . On veut montrer que f est différentiable et calculer sa dérivée.
2
a) Rappeler que GLn (R) est ouvert dans Rn .
b) Montrer
si X est une matrice n × n telle que kXk < 1, alors I − X est inversible et son inverse
P que
k
est ∞
X
.
0
c) Écrire
−1
(A + V )−1 = (I + V A−1 ) · A
= A−1 · (I + V A−1 )−1 ,
et, à l’aide de la question précédente, trouver une candidate pour Df (A).
d) Montrer que f est différentiable.
Exercice 8.
a) Soit f : R2 → R3 définie par f (x, y) = (sin(x + y), 2xy 3 , yex ).
∂f
(i) Calculer les dérivées partielles ∂f
∂x , ∂y en un point (x0 , y0 ) et écrire la matrice jacobienne.
(ii) Rappeler le lien entre dérivées partielles et différentielle et donner la valeur de Df (x0 , y0 )(~h)
pour un vecteur ~h = (hx , hy ) quelconque.
(iii) Ecrire l’approximation de f (x0 + ~h) fournie par la différentielle et donner la version matricielle.
b) Mêmes questions pour la fonction définie par g(a, b, c) = (2a + ab2 c3 , aeb ).
c) Comment obtient-on la matrice de l’application linéaires D(f ◦ g)(a, b, c) à partir de celles de Df
et Dg ?
Exercice 9. Montrer que la boule ouverte unitaire de Rn est difféomorphe à Rn .
Exercice 10. Montrer que le système suivant admet une unique solution.
x = 21 cos(x + y)
y = 12 sin(x − y)
Aide : on pourra penser à utiliser l’inégalité des accroissements finis puis le théorème de point fixe de
Picard.
Exercice 11. Soit X = C 0 ([0, 1], R) l’espace des fonctions continues de [0, 1] dans R, muni de la norme
de la convergence uniforme. Montrer que l’application
f 7→
Z
1
f 3 (t)dt
0
de X dans R est différentiable, et calculer sa différentielle.
Exercice 12. a) Soit φ : Rm × Rn → R une application bilinéaire. Montrer que φ est différentiable
partout et que
Dφ(a, b) · (v, w) = φ(v, b) + φ(a, w).
Rémarquer que la preuve donnée se généralise facilement au cas de fonctions multilinéaires. (On
pourra démontrer et utiliser que |φ(u, v)| ≤ C · |u| · |v|.)
b) Soit δ : Rn × · · · × Rn → R le déterminant. Utiliser la question précédente pour calculer
{z
}
|
n
Dδ(A1 , . . . , An ) · (V1 , . . . , Vn ) et
∂δ
(A).
∂xij
c) Utiliser la question précédente pour montrer que si α : R → GLn (R) est une fonction différentiable
telle que det α(t) = 1, alors Tr α′ (t0 ) = 0, où α(t0 ) = I.
p
Exercice 13. a) Montrer que l’application α : x 7→ hx, xi, de RN dans R, est différentiable en tout
x0 non nul, et donner sa différentielle.
b) Montrer que α n’est pas différentiable en 0.
2
c) Soit γ : R → RN une application de classe C 1 . Donner une formule pour la dérivée de la fonction
qui associe à t la distance de 0 à γ(t). Interpréter géométriquement l’annulation de cette dérivée.
Exercice 14. Un ensemble K ⊂ Rn a mesure nulle si pour chaque ǫ > 0, il existe un recouvrement
dénombreable de K par de cubes Ci = [ai , bi ] × · · · × [ai , bi ] tels que Σi (bi − ai )n < ǫ. Soient U ⊂ Rn un
ouvert, f : U → Rn de classe C 1 , et K ⊂ U un compact avec mesure nulle. Montrer f (K) a également
mesure nulle. On pourra procéder comme suit.
a) Montrer pour chaque a ∈ K, il existe une boule ouverte Ba centrée en a, un ka ≥ 0 tels que
kf (x) − f (y)k∞ ≤ ka kx − yk∞ pour tout x, y ∈ Ba . (Ici kxk∞ = max |xi |.)
b) Montrer que f (K ∩ Ba ) a mesure nulle.
c) Montrer que f (K) peut être couvert par une réunion finie d’ensembles de mesure nulle et conclure.
Utiliser ce résultat pour montrer si N > n, alors l’image d’une fonction de classe C 1 de Rn en RN ne
peut pas contenir une boule ouverte.
Exercice 15. Soit n un entier ≥ 1, on note k.k2 la norme euclidienne standard sur l’espace vectoriel
Rn . On considère l’espace vectoriel E des applications de [0, 1] dans Rn qui sont de classe C 1 . On munit
E des deux normes définies de la façon suivante :
N0 (γ) = Sup{kγ(t)k | t ∈ [0, 1]}
et
N1 (γ) = N0 (γ) + N0 (γ ′ ).
Etant donnée γ ∈ E, on définit la longueur de γ par la formule
Z 1
Long(γ) =
kγ ′ (t)k2 dt.
0
a) On munit ici E de la norme N1 . Soit γ0 ∈ E un vecteur non nul. Montrer que l’application de E
dans R, γ 7→ Long(γ) est différentiable en γ0 et calculer sa différentielle.
b) On munit maintenant E de la norme N0 . On veut montrer qu’avec cette norme, l’application
γ 7→ Long(γ) n’est même pas continue. Soit γ0 : t 7→ (t, 0, . . . , 0).
i) Soit ε > 0 et M un entier. Calculer la longueur de la courbe
γε,M : t 7→ γ0 (t) + ε(cos(M t), sin(M t)).
Dessiner cette courbe pour ε très petit et M très grand.
ii) Conclure en choisissant des valeurs de ε et de M .
Exercice 16. Difficile, mais très joli ! On souhaite démontrer le théorème de Liapounov.
Soit f : Rn → Rn , une application de classe C 1 . On suppose que f (0) = 0 et on note A = Df (0). Le but
de l’exercice est de comparer le comportement des solutions du système différentiel non linéraire :
′
y = f (y)
y(0) = x.
à celui du système linéarisé au voisinage du point d’équilibre 0 :
z ′ = Az
z(0) = x.
On suppose que toutes les valeurs propres de A sont à partie réelle strictement négative. On note (.) le
produit scalaire usuel sur Rn et ||.||, la norme euclidienne correspondante.
a) Soient λ1 , ..., λk , les valeurs propres distinctes de A. On suppose que A est diagonalisable. Montrer
que pour tout t ∈ R et pour tout x ∈ Rn :
||etA x|| .
k
X
j=1
etRe(λj ) ||x||.
Dans le cas général (A n’est plus supposée diagonalisable), on peut montrer (en utilisant la décomposition de Cn en sous-espaces caractéristiques de A) qu’il existe un polynôme P tel que, pour tout
t ∈ R et pour tout x ∈ Rn ,
k
X
etRe(λj ) ||x||
||etA x|| 6 P (|t|)
j=1
3
b) En déduire le comportement de z(t) lorque t → +∞. On dit que l’origine est un point d’équilibre
attractif.
c) Montrer que l’inégrale donnée ci-dessous définie une forme bilinéaire symétrique sur Rn , et que la
forme quadratique associée q(x) = b(x, x) (appelée fonction de Liapounov) est définie positive.
b(x, y) =
Z
+∞
(etA x.etA y)dt.
0
d) Vérifier l’égalité :
grad q(x).Ax = 2b(x, Ax) = −||x||2
Dans la suite, on admet l’existence d’une solution y(t) du problème initial, définie pour tout t > 0.
On note r(y) = f (y) − Ay.
e) Vérifier l’égalité
q ′ (y) = −||y||2 + 2b(y, r(y))
et montrer qu’il existe α > 0 et β > 0 tels que l’inégalité q(y) 6 α entraîne
−||y||2 + 2b(y, r(y)) 6 −βq(y).
Aide : on pourra remarquer que la forme quadratique q définit une norme. On écrira la différentiabilité de f en 0.
f) En déduire que l’inégalité q(x) < α entraîne q(y(t)) 6 α pour tout t > 0, puis en déduire (par un
argument de type Gronwall) l’inégalité suivante :
q(y(t)) 6 e−βt q(x).
Moralité de l’histoire : On obtient au final que la solution du système non linéraire tend exponentiellement vite vers 0. Ainsi, sous l’hypothèse de valeurs propres à partie réelle strictement négative
pour A = Df (0), la propriété “l’origine est un point d’équilibre attractif” se transmet du système
linéaire z ′ = Az au système non linéaire y ′ = f (y).
4
Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2013
TD n◦ 7. Différentielle seconde et extrema libres
1
Différentielle seconde et formule de Taylor
Exercice 1. Soient E1 , E2 et F des espaces vectoriels normés et B : E1 × E2 → F une application
bilinéaire continue. Montrer que B est de classe C 2 et déterminer la différentielle D2 B.
Exercice 2. Soient E, F, G des espaces de Banach et f : E → F , g : F → G deux applications C 2 .
Montrer qu’en tout point x ∈ E :
D2 (g ◦ f )(x)(h, k) = D2 g(f (x))(Df (x)(h), Df (x)(k)) + Dg(f (x))(D2 f (x))(h, k).
Exercice 3. Soit E un espace vectoriel normé et u : E → Rn une application linéaire continue. On
fixe a ∈ Rn et on définit f : E → R par f (x) = ||u(x) − a||22 , ∀x ∈ E, où la norme || · ||2 est la norme
euclidienne sur Rn . Montrer que f est deux fois différentiable et calculer Df (x) et D2 f (x) pour tout
x ∈ E.
Exercice 4. Soient E et F deux espaces de Banach et f : E → F une application de classe C 2 .
a) Soit h ∈ E et ϕh (x) = Df (x)(h). Justifier que
D2 f (a)(k, h) = Dϕh (a)(k) pour tout k ∈ E.
b) Supposons que, pour tous t ∈ R et x ∈ E, f (tx) = t2 f (x). Montrer que D2 f (0)(x, x) = 2f (x) pour
tout x ∈ E.
c) Soit a, h, k ∈ E et soit ψ : R2 → F définie par ψ(t, s) = f (a + th + sk). Calculer
∂2ψ
∂t∂s (0, 0).
Exercice 5. Ecrire la formule de Taylor-Young
a) à l’ordre deux pour une fonction de trois variables ;
b) à l’ordre trois pour une fonction de deux variables ;
c) à l’ordre treize en (0, 0) pour f (x, y) = y 5 + x3 y − x2 + y.
Exercice 6. Soit E un espace vectoriel normé et f : E → R une fonction de classe C 2 sur E telle que
∀x ∈ E, f (x) > 0.
On suppose qu’il existe M > 0 tel que
∀x ∈ E, kD2 f (x)k ≤ M .
a) Montrer que si h ∈ E et λ ∈ R, on a :
2
∀x ∈ E, 0 < f (x) + λDf (x) · h + λ2 M khk2 .
Indication : appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à f entre x et x + λh.
p
b) En déduire que kDf (x)k ≤ 2M f (x).
2
Points extrémaux
Exercice 7. Soit f une fonction d’un espace normé E dans R et soit x0 ∈ E.
a) Démontrer que si f est différentiable en x0 et possède en x0 un extremum local, alors la différentielle
Df (x0 ) est nulle.
b) Démontrer que si f admet une différentielle seconde en x0 et admet en x0 un minimum local, alors
Df (x0 ) = 0 et D2 f (x0 ) est une forme bilinéaire positive, c’est-à-dire qu’elle vérifie
D2 f (x0 )(h, h) ≥ 0,
∀h ∈ E.
c) Que peut-on dire avec les mêmes hypothèses sur f si x0 est un maximum local ?
d) Que peut-on dire sur D2 f (x0 ) si x0 est un extremum local strict ?
1
Exercice 8. Soit E un espace normé de dimension finie et soit f une fonction de E dans R deux fois
différentiable en x0 ∈ E. On suppose que Df (x0 ) = 0 et que D2 f (x0 ) est définie positive, c’est-à-dire
qu’elle vérifie
D2 f (x0 )(h, h) > 0,
∀h ∈ E r {0}.
Démontrer que x0 est un minimum local strict. Que peut-on dire si D2 f (x0 ) est définie négative ?
Exercice 9. Existence de points critiques par compacité. Soit E un espace normé de dimension
finie, soit B sa boule unité ouverte.
a) Soit f une fonction continue de B dans R, constante sur la sphère unité S de E. On suppose que
f est différentiable dans B. Démontrer que l’équation
Df (x) = 0
admet une solution dans B. Ce résultat généralise le théorème de Rolle au cas où l’espace de départ
est un espace vectoriel normé de dimension finie.
b) Soit f une fonction continue de B dans R et on suppose qu’il existe une forme linéaire α et un réel
a tels que pour tout x ∈ S, f (x) = a + α(x). On suppose que f est différentiable dans B. Démontrer
que, pour tous x ∈ E,
Df (x) = α.
Ce résultat généralise l’égalité des accroissements finis au cas où l’espace de départ est un espace
vectoriel normé de dimension finie, expliquer pourquoi.
c) Peut-on généraliser le théorème de Rolle au cas où l’espace d’arrivée est de dimension plus grande
que 1 ?
Exercice 10. On note par < ·, · > le produit scalaire sur Rn et par || · || la norme euclidienne. Etant
donné a ∈ Rn , a 6= 0, on considère la fonction f : Rn → R définie, pour tout x ∈ Rn , par :
2
f (x) =< a, x > e−||x|| .
a)
b)
c)
d)
Démontrer que f est différentiable sur Rn et calculer ∇f (x), le gradient de f , en tout point x ∈ Rn .
Déterminer les points critiques de f , c’est-à-dire les points en lequels le gradient s’annule.
Démontrer que f est deux fois différentiable sur Rn et calculer D2 f (x).
Déterminer la nature des points critiques de f .
Exercice 11. On se place dans le plan R2 muni de la norme euclidienne notée || · ||.
a) Soit A ∈ R2 donné. Trouver l’ouvert U ⊂ R2 sur lequel la fonction g : R2 → R, g(M ) = ||AM ||,
est différentiable et donner l’expression de sa différentielle et de son vecteur gradient en un point
M ∈ U.
Soient A et B deux points donnés. On pose f (M ) = ||AM || + ||BM ||.
b) Montrer que f présente un minimum absolu sur R2 . Trouver en quel(s) point(s) il est atteint.
c) Trouver les extrema de f dans un triangle équilatéral fermé ABC.
Exercice 12. On considère la fonction f de R2 dans R définie par
f (x, y) = x4 − x2 + y 2 .
a) Tracer l’allure du graphe de f .
b) Montrer que f est de classe C ∞ sur R2 et calculer ses matrices jacobiennes et hessiennes en tout
point.
c) Déterminer les points a de R2 tels que Df (a) = 0 et étudier leur nature (minimum, maximum,
autre...).
d) Tracer les courbes de niveau de f , c’est-à-dire les ensembles Nc = f −1 ({c}) pour c ∈ R. Préciser le
rapport entre ces courbes et le graphe de f et positionner les points a. Discuter.
e) Mêmes questions avec la fonction g : R2 → R définie par
g(x, y) = cos x + y 2 .
f) Mêmes questions avec l’application h : R2 → R définie par
h(x, y) = x2 + y 3 .
2
3
Pour aller plus loin...
Exercice 13. Identité de Jacobi. Soient v, w ∈ C 2 (Ω, E), où Ω est un ouvert d’un espace de Banach
E.
a) Montrer que l’application
x 7→ Dw(x)(v(x)) − Dv(x)(w(x))
est de classe C 1 sur Ω. Dans la suite on la note [v, w] (c’est le crochet de Lie de v et w).
b) Si u ∈ C 2 (Ω, E), on définit φ(u, v, w) par
φ(u, v, w) = D2 u(x)(w(x), v(x)) − Dv(x)(Du(x)w(x)) − Dw(x)(Du(x)v(x)).
Montrer que ceci définit φ comme une application tri-linéaire sur l’espace C 2 (Ω, E), symétrique en
(v, w).
c) Exprimer [[u, v], w] à l’aide de φ(u, v, w) et φ(v, u, w) et en déduire l’identité de Jacobi :
[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0.
4
Convexité
Exercice 14. On dit qu’une fonction f d’un ouvert convexe U de Rn dans R est convexe si pour tout
couple (x, y) ∈ U 2
f (1 − t)x + ty ≤ (1 − t)f (x) + tf (y),
∀t ∈ [0, 1],
et qu’elle est strictement convexe lorsque pour tout couple (x, y) ∈ U 2 avec x 6= y,
f (1 − t)x + ty < (1 − t)f (x) + tf (y),
∀t ∈ ]0, 1[.
a) On suppose f différentiable sur U . Montrer qu’elle est convexe si et seulement si
f (y) − f (x) ≥ Df (x)(y − x),
∀(x, y) ∈ U 2 ,
et qu’elle est strictement convexe si et seulement si
f (y) − f (x) > Df (x)(y − x),
∀(x, y) ∈ U 2 , x 6= y.
b) Lorsque n = 1, que peut-on dire de U ? Montrer que si f dérivable sur U , f est convexe si et
seulement si f 0 est croissante et que f est strictement convexe si et seulement si f 0 est strictement
croissante.
c) On suppose de nouveau n quelconque. Soit f une fonction convexe de U dans R. Montrer que si
a et b sont des minima locaux de f , alors f (a) = f (b). En déduire qu’un minimum local de f est
aussi un minimum global. Que peut-on dire de l’ensemble sur lequel f atteint sa valeur minimale ?
d) Donner des exemples de fonctions convexes qui ne sont pas inférieurement bornées et des exemples
de fonctions convexes inférieurement bornées qui n’atteignent pas leur valeur minimale.
e) On suppose que f est différentiable dans U et que Df est nulle en un point a ∈ U . Montrer que f
admet en a un minimum global sur U .
f) Montrer que si f est deux fois différentiable sur U , f est convexe si et seulement si, pour tout a ∈ U ,
D2 f (a) est une forme bilinéaire positive, et que f est strictement convexe si pour tout a, D2 f (a)
est définie positive.
Exercice 15. Soit f une fonction de Rn dans R. On dit que f est coercive lorsque pour tout A ∈ R+ , il
existe B ∈ R+ tel que si kxk ≥ B, alors f (x) ≥ A (vérifier que cette définition ne dépend pas du choix
de la norme).
a) Démontrer que si f est une fonction continue et coercive de Rn dans R, f admet un minimum
global.
b) On considère une fonction f : Rn → R de classe C 2 , dont la différentielle seconde en tout point est
définie positive, et telle que pour toute forme linéaire α sur Rn , f − α soit coercive (condition de
superlinéarité). Donner des exemples de telles fonctions. Démontrer que l’application différentielle
Df : Rn → (Rn )∗ est surjective.
c) Démontrer que Df est injective.
d) Démontrer que Df est un difféomorphisme de Rn sur (Rn )∗ .
3
5
Lemme de Morse et applications
Exercice 16. Soit f une fonction de classe C 3 de R2 dans R. On suppose que f (0, 0) = 0 et Df (0, 0) = 0.
a) Démontrer que pour (x, y) ∈ R2 ,
f (x, y) = α(x, y)x2 + 2β(x, y)xy + γ(x, y)y 2 ,
avec
Z
α(x, y) =
1
(1−t)
0
∂2f
(tx, ty) dt,
∂x2
Z
β(x, y) =
1
(1−t)
0
∂2f
(tx, ty) dt,
∂x∂y
Z
γ(x, y) =
1
(1−t)
0
∂2f
(tx, ty) dt.
∂y 2
b) Déterminer α(0, 0), β(0, 0), γ(0, 0).
c) Démontrer que les fonctions α, β, γ ainsi définies sont de classe C 1 sur R2 .
d) On suppose que D2 f (0, 0) est définie positive. Montrer qu’il existe une boule B(0, ρ), avec ρ > 0,
sur laquelle les fonctions α et αγ − β 2 sont strictement positives. Vérifier que dans cette boule
β(x, y) 2 α(x, y)γ(x, y) − β(x, y)2 2
f (x, y) = α(x, y) x +
y +
y .
α(x, y)
α(x, y)
e) Pour (x, y) ∈ B(0, ρ), on pose
u(x, y) =
p
s
β(x, y) α(x, y) x +
y ,
α(x, y)
v(x, y) =
α(x, y)γ(x, y) − β(x, y)2
y
α(x, y)
Démontrer que u et v sont de classe C 1 sur B(0, ρ).
f) Démontrer que les hypothèses du théorème d’inversion locale sont vérifiées en (0, 0) pour l’application Φ : B(0, ρ) → R2 définie par
Φ(x, y) = u(x, y), v(x, y) .
En déduire l’existence de voisinages ouverts O et O de (0, 0) tels que Φ soit un C 1 difféomorphisme
de O sur O.
−1
et si (u, v) ∈ O
g) Démontrer que si Ψ = Φ|O
f ◦ Ψ(u, v) = u2 + v 2 .
h) Montrer que les courbes de niveau de f au voisinage de (0, 0) sont les images de cercles par un
difféomorphisme. Interpréter l’exercice 4 de ce point de vue.
i) On suppose maintenant que D2 f (0, 0) est non dégénérée et de signature +− (c’est-à-dire que la
matrice hessienne possède une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement
négative). En modifiant le raisonnement précédent, montrer l’existence voisinages ouverts O et O
de (0, 0) et d’un difféomorphisme Ψ de O sur O tels que si (u, v) ∈ O
f ◦ Ψ(u, v) = u2 − v 2 .
j) Montrer que les courbes de niveau de f au voisinage de (0, 0) sont les “images d’arcs d’hyperboles”
par un difféomorphisme.
4
Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2013
TD n◦ 8. L’inversion locale et les fonctions implicites
1
Difféomorphismes
Exercice 1. Difféomorphisme ou non ?
a) R → R, x 7→ ex .
b) R → S1 , t 7→ eit .
c) R → R, x 7→ x3 .
d) Un isomorphisme linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie.
e) Un isomorphisme linéaire entre espaces de Banach.
Exercice 2. Coordonnées polaires (dessins conseillés).
Soit l’application
R × R −→ R2
Φ:
(r, θ) 7−→ (r cos θ, r sin θ).
a) Φ est-elle un difféomorphisme ?
b) Calculer la différentielle DΦ(r, θ) pour tous r et θ, et montrer qu’elle est inversible dès que r 6= 0.
c) Pour tout α ∈ R, Ωα désigne l’ouvert R∗+ × ] − π + α, π + α[ de R2 . Montrer que Φ|Ωα : Ωα → Φ(Ωα )
est un difféomorphisme de classe C ∞ . On dit alors que Φ|Ωα est un difféomorphisme sur son image.
d) Expliquer alors pourquoi l’expression difféomorphisme local rend particulièrement bien compte des
propriétés de Φ.
Exercice 3. Soit E un espace de Banach. L(E) est muni de la norme subordonnée à celle de E et
L(E) × L(E) de la norme définie par
∀ u, v ∈ L(E) k(u, v)k = max(kuk, kvk).
a) Montrer que L(E) × L(E) → L(E), (u, v) 7→ u ◦ v est une application bilinéaire continue.
b) Montrer qu’elle est différentiable et calculer sa différentielle. En déduire qu’elle est de classe C ∞ .
c) Montrer que la boule ouverte B(IdE , 1) dans L(E) est en fait incluse dans GL(E).
Indication : (1 − x)(1 + x + x2 + · · · ) = 1 si |x| < 1.
d) En déduire que GL(E) est ouvert dans L(E).
e) Montrer que l’application Inv : GL(E) → GL(E), g 7→ g −1 est différentiable et calculer sa différentielle. Indication : Inv(g) ◦ g = IdE .
f) En déduire que Inv est un difféomorphisme de classe C ∞ .
2
Inversion locale
Exercice 4. Soient E un espace de Banach, U un voisinage ouvert de 0 dans E et Ψ : U → L(E) une
application de classe C k telle que Ψ(0) = IdE .
a) Montrer qu’il existe un voisinage ouvert V de 0 contenu dans U , dont l’image Ψ(V ) soit contenue
dans GL(E).
b) Montrer que l’application x 7→ Ψ(x) · x est un difféomorphisme au voisinage de 0.
Exercice 5. Difféomorphisme local ou global.
Soit f : Ω → F un application de classe C 1 , où E et F sont des espaces de Banach, et Ω un ouvert de E.
Pour tout x ∈ Ω, la différentielle Df (x) est supposée inversible.
a) Montrer que l’image f (Ω) est ouverte dans F et que f est un difféomorphisme local, autrement dit,
que tout point x de Ω admet un voisinage ouvert U tel que f : U → f (U ) soit un difféomorphisme.
b) Si, de plus, f est injective, montrer que f est un difféomorphisme sur son image. Ainsi, un difféomorphisme local injectif est un difféomorphisme global.
1
c) Dans les deux derniers cas, si f est de classe C k , montrer alors que f est un difféomorphisme
respectivement local ou global de classe C k .
Exercice 6. Soit f : Rn → Rn une application de classe C 1 . On suppose que f est injective et qu’il existe
δ > 0 tel que, pour tous x et h de Rn ,
kDf (x) · hk ≥ δkhk.
a) Montrer que, pour tout x, la différentielle Df (x) est inversible et que k(Df (x))−1 k ≤ 1δ .
b) Montrer que f est ouverte (c’est-à-dire, pour tout ouvert V de Rn , f (V ) est ouvert dans Rn ).
c) Conclure que f est un difféomorphisme global de Rn .
Exercice 7. Soit F : Mn (R) → Mn (R) qui à X associe X 2 .
a) Montrer que F est de classe C 1 et calculer DF (X) pour tout X de Mn (R).
b) Montrer qu’il existe une fonction différentiable G, définie dans un voisinage V de la matrice identité
In telle que G(X)2 = X, pour tout X ∈ V .
−1 0
0 1
c) On suppose que n = 2. Soit X =
. Calculer DF (X) · J où J =
. Que peut-on en
0 1
0 0
déduire ?
Exercice 8. Soient (E, k · k) un espace vectoriel normé de dimension finie et f : E → E une application
de classe C 1 . On pose φ = f − Id.
a) On suppose que kDφ(x)k < 1 pour tout x ∈ E. Montrer que f est un C 1 -difféomorphisme de E sur
son image.
b) Soit g : E → E de classe C 1 . Montrer que g est k-lipschitzienne si, et seulement si, kDg(x)k ≤ k
pour tout x ∈ E.
c) On suppose que φ est k-lipschitzienne avec k < 1. Montrer que f est un C 1 -difféomorphisme de E
dans lui-même.
Indication : appliquer le théorème du point fixe à une fonction convenablement choisie.
d) Soit g : R → R de classe C 1 , telle que |g 0 (t)| ≤ k < 1 pour tout t ∈ R. Montrer que les applications
f (x, y) = (x + g(y), y + g(x))
et h(x, y) = (y + g(x), x + g(y))
définissent des C 1 -difféomorphismes de R2 sur lui-même.
Exercice 9. Prérequis d’analyse complexe.
Le plan R2 est identifié à C de sorte (1, i) en est la base canonique.
a) Pour tous α, β ∈ C, vérifier que l’application z 7→ αz + βz est une application R-linéaire et écrire
sa matrice représentative dans la base (1, i).
b) Inversement, montrer que toute application R-linéaire ` : C → C est de la forme précédente, et
exprimer α et β en fonction des coefficients de la matrice représentative de `.
c) Calculer le déterminant de ` en fonction de α et β. A quelle condition, sur α et β, ` est-elle inversible ?
Exercice 10. Une preuve du théorème de d’Alembert.
Soit P un polynôme à coefficients complexes que l’on voit comme une application P : C → C dite
polynomiale.
a) Un point singulier de P est un élément z de C vérifiant P 0 (z) = 0 ; Z désigne l’ensemble des points
singuliers de P . Dorénavant, P est supposé non constant. Montrer que Z est fini et que P : C\Z → C
est un difféomorphisme local.
b) Une valeur singulière de P est l’image par P d’un point singulier de P ; W désigne l’ensemble des
valeurs singulières de P . Montrer que W est fini et que l’application appelée degré
C \ W −→
N
d:
w
7−→ card(P −1 (w))
est localement constante, i.e. toute valeur non singulière w admet un voisinage ouvert U , sur lequel
d est constante.
c) En déduire que l’application degré est constante et non nulle.
Indication : C \ W est connexe (par arcs) et, pour tout entier n, d−1 ({n}) est ouvert.
2
d) Conclure. Indication : distinguer les cas où 0 est une valeur singulière ou non.
Exercice 11. Théorème d’invariance du domaine de Brouwer : « si f est un homéomorphisme d’un
ouvert U de Rn sur un ouvert V de Rp alors n = p. »
La démonstration de cet énoncé d’apparence anodine fut l’une des motivations initiales de la Topologie
algébrique. Cette discipline étudie les invariants, de nature algébrique, associés aux espaces topologiques.
Par exemple, d’après ce théorème, si un espace métrique est homéomorphe à un ouvert de Rn , alors la
dimension n est un invariant algébrique.
Démontrer ce théorème lorsque
a) f est une application linéaire Rn → Rp ,
b) f est un difféomporphisme.
3
Fonctions implicites
Exercice 12. Montrer que le système d’équation

 x +y +z +t =0
x2 + y 2 + z 2 + t = 2
 3
x + y 3 + z 3 + t2 = 0
a une unique solution (x, y, z) = f (t) proche de (0, −1, 1), pour t assez petit. Déterminer la dérivée de f
en 0.
Exercice 13. Montrer que l’ensemble
Γ = {(x, y) ∈ R2 | x3 + y 3 − 3xy − 1 = 0}
est, au voisinage de (0, 1), le graphe d’une fonction ψ de classe C 2 telle que ψ(0) = 1. Donner le développement limité de ψ à l’ordre 2 en 0.
Exercice 14. Pour tout (a, b, c) ∈ R3 , on pose P (X) = X 3 + aX 2 + bX + c.
a) Etant donné (a0 , b0 , c0 , X0 ) ∈ R4 tel que P0 (X0 ) = 0, où P0 (X) = X 3 + a0 X 2 + b0 X + c0 , trouver
une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un voisinage ouvert U de (a0 , b0 , c0 ) et une
application X : U → R de classe C 1 , tels que
X(a0 , b0 , c0 ) = X0
et P (X(a, b, c)) = 0 ∀(a, b, c) ∈ U.
b) Soit Ω = {(a, b, c) ∈ R3 | P (X) a trois racines réelles distinctes}
i) Montrer que Ω est un ouvert de R3 .
ii) Montrer que Θ : Ω → R3 , (a, b, c) 7→ (x, y, z) où x < y < z sont les racines (distinctes) de P
est un C 1 -difféomorphisme de Ω sur un ouvert de R3 .
4
Pour aller plus loin...
Exercice 15. Soient f ∈ C 1 (Rn , Rn ) définie au voisinage de 0 et a > 0. On pose Ea = C 0 ([−a, a]; Rn )
muni de la norme de la convergence uniforme notée k · ka .
a) On définit F : Ea → Ea par
Z
F (x)(t) = x(t) −
t
f (x(u)) du
0
au voisinage de 0. Montrer que F est de classe C 1 . On pourrra introduire Lx (h)(t) donné par
t
Z
Df (x(u)) · h(u) du
Lx (h)(t) =
0
et majorer
kF (x + h) − F (x) − h + Lx (u)ka .
3
b) En déduire que, pour x0 ∈ Rn et a assez petits, le problème de Cauchy
(
ẋ = f (t, x)
x(0) = x0
possède une solution et une seule sur [−a, a] qui est de classe C 1 . On pourra introduire


x0 si |t| ≤ α
yx0 (t) = x0 − (t − α)f (0) si α < t ≤ a


x0 − (t + α)f (0) si − a ≤ t < −α,
pour α et x0 assez petits.
Exercice 16. Soit f une application de classe C 1 d’un ouvert U de Rm dans Rm prolongeable par
continuité à la frontière ∂U de U , sur laquelle on suppose qu’elle ne s’annule pas. On suppose que 0 est
une valeur régulière de f , c’est-à-dire que Df (x) est inversible en tout x tel que f (x) = 0.
a) Montrer que f −1 (0) est une partie finie de U .
b) Montrer qu’il existe un voisinage de 0 constitué de valeurs régulières de f .
c) Montrer que le degré topologique de f en y,
X
signe(det Df (x))
f (x)=y
est constant au voisinage de 0.
5
Sous-variétés de Rn
Les espaces Rn et Rp × Rn−p sont identifiés de manière usuelle, où les entiers n et p vérifient 0 ≤ p ≤ n.
Exercice 17. Prérequis de calcul matriciel.
a) Soit A une matrice de Mp,n (R) de rang p, i.e. une application linéaire A : Rn → Rp surjective.
Montrer qu’il existe P ∈ GLn (R) telle que BP soit la projection canonique
Rn
−→
(x1 , . . . , xn ) 7−→
Rp
.
(x1 , . . . , xp )
b) Soit B une matrice de Mn,p (R) de rang p, i.e. une application linéaire A : Rp → Rn injective.
Montrer qu’il existe Q ∈ GLn (R) telle que QB soit l’inclusion canonique
Rp
−→
(x1 , . . . , xp ) 7−→
Rn
.
(x1 , . . . , xp , 0 . . . , 0)
Exercice 18. Une partie M de Rn est une sous-variété de Rn de dimension p si elle vérifie l’une des
propriétés équivalentes suivantes.
a) Définition locale par redressement :
Pour tout point x ∈ M , il existe un voisinage ouvert U de x dans Rn , un voisinage ouvert V de 0
dans Rn et un difféomorphisme f : U → V tels que f (U ∩ M ) = V ∩ (Rp × {0}).
b) Définition locale par fonction implicite :
Pour tout point x ∈ M , il existe un voisinage ouvert U de x dans Rn et une application f : U → Rn−p
de classe C 1 tels que Df (x) : Rn → Rn−p soit surjective et que U ∩ M = f −1 (0).
c) Définition locale par graphe :
Pour tout point x ∈ M , il existe un voisinage ouvert U de x dans Rn , un automorphisme linéaire
A : Rn → Rn , un ouvert V de Rp et une application g : V → Rn−p de classe C 1 tels que A(U ∩ M )
soit le graphe de de la fonction g.
d) Définition locale par paramétrage :
Pour tout point x ∈ M , il existe un voisinage ouvert U de x dans Rn , un voisinage ouvert V de
0 dans Rp et une application f : V → Rn de classe C 1 tels que f (0) = x, Df (0) : Rp → Rn soit
injective, et f soit un difféomorphisme de V sur U ∩ M .
Montrer que ces propriétés sont bien équivalentes.
Indication : démontrer les implications dans l’ordre et s’inspirer de l’exercice précédent pour b)⇒c) et
d)⇒a).
4
Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2013
TD n◦ 9. Hypersurfaces et extrema liés
1
Hypersurfaces
Exercice 1. Soient G : Rn → R une fonction C ∞ et c ∈ R. Donner une condition suffisante pour que
l’ensemble G−1 (c) soit une hypersurface de Rn .
Exercice 2. Montrer que la sphère S = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : x21 + x22 + · · · + x2n = a2 }, avec a > 0, est
une hypersurface de Rn . Expliciter son plan tangent en tout point (x1 , · · · , xn ) ∈ S.
Exercice 3. On considére le cône C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2 }
a) Montrer que C privé de l’origine est une hypersurface, calculer son plan vectoriel tangent.
b) Montrer que C n’est pas une hypersurface. (Aide : montrer que l’ensemble des vecteurs « tangents »
en 0 n’est pas inclus dans un hyperplan vectoriel).
Exercice 4. Montrer que l’ensemble de R3
S := {(x, y, z) ∈ R3 : xy + xz + 2x + 2y − z = 0}
est une hypersurface de R3 au voisinage de 0. Donner l’équation du plan tangent à cette hypersurface.
Exercice 5. Soit C le cylindre défini par C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = x}. Montrer que C est une
hypersurface et calculer son espace tangent en un point.
2
Extrema liés
Exercice 6. Soient α, β et γ trois nombres réels. Déterminer le maximum et le minimum sur la sphère
euclidienne S de R3 de la fonction f (x, y, z) = αx + βy + γz.
Exercice 7.
a) Etablir l’inégalité
αn
1
xα
1 · · · xn ≤ α1 x1 + · · · + αn xn ,
Pn
pour tous xi ≥ 0, et tous αi > 0 tels que i=1 αi = 1. Quand a-t-on égalité ? On
Pnpourra rechercher
le maximum du membre de gauche, fonction des xi , sur l’ensemble défini par i αi xi = 1.
b) En déduire comment obtenir un parallélépipède rectangle d’aire minimum et de volume donné.
Exercice 8. Soit A une matrice symétrique réelle de taille n × n. On munit Rn de la norme euclidienne.
Montrer que le réel
λ = sup (x|Ax)
kxk=1
est une valeur propre de A. On utilisera la méthode des multiplicateurs de Lagrange.
Exercice 9. Soit α positif. Déterminer le maximum et le minimun de la fonction f : (x, y, z) 7→ xyz sur
l’ensemble
Γ = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = α et x2 + y 2 + z 2 = 1}.
Exercice 10. Soit P = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + 2y 2 + z 2 = 5 et x2 + y 2 − 2z = 0}, φ la fonction de R3
dans R2 définie par φ(x, y, z) = (x2 + 2y 2 + z 2 − 5, x2 + y 2 − 2z), et f la fonction R3 dans R définie par
f (x, y, z) = y + z.
a) Montrer que P est une partie compacte non vide de R3 .
b) Montrer qu’en tout point m de P , le rang de la différentielle de φ est 2.
c) Trouver tous les points d’extrema de f et préciser leur nature.
Exercice 11. Soit f : R3 → R la fonction définie par f (x, y, z) = x + 2y + z. Montrer que f atteint son
maximum et son minimum sur S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + 3z 2 = 3}. Déterminer ce minimum et ce
maximum.
1
Exercice 12. Déterminer les extrema locaux de u(x, y, z) = sin(x) sin(y) sin(z) quand x + y + z =
x, y, z > 0.
π
2
et
Exercice 13. Soit q une forme quadratique définie positive sur Rn .
a) Montrer que la quadrique Q d’équation q(x) = 1 est une hypersuface de Rn .
b) Déterminer l’hyperplan tangent à Q en x ∈ Q quelconque.
c) Étudier les extrema de la norme euclidienne k · k sur Q.
3
Un problème de synthèse
Exercice 14.
2
a) On assimile Mn (R) à Rn . Montrer que (A|B) = Tr(At B) définit un produit scalaire sur Mn (R).
Tout du long nous fixons la norme qui en dérive.
b) Montrer que l’application det : Mn (R) → R est C ∞ , et calculer sa différentielle en Id, puis en tout
point (en A, interviendra la comatrice A).
c) Montrer que GLn (R) est un groupe, ouvert dans Mn (R). GLn (R) est-il compact ? connexe ? connexe
par arcs ?
d) Soit SLn (R) = {M ∈ Mn (R) : det M = 1}. Montrer que SLn (R) est un sous-groupe fermé de
GLn (R). SLn (R) est-il compact ? connexe ? connexe par arcs ?
e) Montrer que SLn (R) est une hypersurface de Rn et déterminer le plan tangent en Id.
f) Montrer que k · k atteint sur SLn (R) un minimum global. Atteint-elle un maximum global ?
g) Minimiser k · k sur SLn (R) (on pensera bien sûr aux multiplicateurs de Lagrange).
2
Théorème de l'arbre et de l'écorce
Les deux résultats que nous nous proposons de montrer sont des conséquences de la
proposition suivante.
Soit (E, d) un espace métrique et soit A une partie connexe de E . Si
B est une partie de E vériant A ⊂ B ⊂ A alors B est connexe.
Proposition 1.
Démonstration. On utilise la caractérisation de l'exercice 13 feuille no 4. Soit f : B →
({0, 1}, δ) une application continue. Comme A est connexe alors la restriction de f à A
est constante ; on peut par exemple supposer que f = 0 sur A. Soit x dans B . Comme
B est inclus dans A il existe une suite (xn ) d'éléments de A qui converge vers x. Pour
tout n dans N on a f (xn ) = 0 et par continuité de f en x : f (x) = limn→+∞ f (xn ) = 0.
Ainsi f est nulle sur B et B est connexe.
En particulier si A est connexe alors A est connexe.
Exercice 10 feuille no 4.
X = A ∪ B.
On pose A = {(x, sin x1 ), x > 0}, B = {0} × [−1, 1],
a) Montrer que X est connexe.
b) Montrer que A et B sont les deux composantes connexes par arcs de X .
Correction.
a) L'ensemble A est connexe (et même connexe par arcs) donc A est connexe par la
proposition ci-dessus (avec B = A). Il sut donc de montrer que X = A.
(⊃) Soit (x, y) ∈ A, on veut montrer que (x, y) est dans X = A ∪ B . Par dénition
il existe une suite (xn ) avec xn > 0 telle que (xn , sin x1n ) converge vers (x, y). On a
x > 0. Si x > 0 alors sin x1n converge vers y = sin x1 , d'où (x, y) ∈ A ⊂ X . Sinon
x = 0 et sin x1n ∈ [−1, 1] donc y ∈ [−1, 1] d'où (x, y) ∈ B ⊂ X .
(⊂) Soit (x, y) ∈ X . Il s'agit de montrer qu'il existe une suite (xn , yn ) de A convergeant (x, y). Si (x, y) = (x, sin x1 ) est dans A alors la suite constante égale à (x, sin x1 )
convient. Si (x, y) = (0, y) est dans B alors il existe un réel z vériant sin z = y . Pour
1
n assez grand, n > n0 , xn = z+2πn
est strictement positif. De plus (xn ) tend vers 0
1
et yn = sin xn = sin z = y donc (xn , yn )n>n0 convient.
b) Les parties A et B sont clairement connexes par arcs. Tout revient donc à montrer
qu'il n'existe pas chemin continu entre un point de A et un point de B . Pour ce faire
on suppose qu'il existe f = (f1 , f2 ) : [0, 1] → X vériant f1 (0) = 0, f1 (1) = x > 0
et f2 (0) = y ∈ [−1, 1], f2 (1) = sin x1 avec f1 : [0, 1] → [0, +∞[ et f2 : [0, 1] → [−1, 1]
vériant f2 (t) = sin f11(t) si f1 (t) > 0 et f2 (t) ∈ [−1, 1] si f1 (t) = 0. De plus on
suppose que f1 est continue et on veut montrer que f2 n'est pas continue.
L'ensemble E = f1−1 ({0}) contient 0 et est inclus dans [0, 1] donc t0 = sup E existe
et est 6 1. Comme f1 (1) > 0 et que f1 est continue on a t0 < 1.
Soit α > 0 vériant t0 + α 6 1. Posons T = [t0 , t0 + α], A = f1 (T ), B = f2 (T ).
Par dénition de t0 : f1 (t0 + α) = ε > 0, et par continuité de f1 : f1 (t0 ) = 0. Par
le théorème des valeurs intermédiaires A contient [0, ε]. Montrons que B = [−1, 1].
Par dénition de f2 on a l'inclusion ⊂. Réciproquement soit y dans [−1, 1]. Il existe
1
un réel z vériant sin z = y . Pour n assez grand, n > n1 , zn = z+2nπ
est dans l'intervalle ]0, ε] ⊂ f1 (T ) donc il existe tn1 dans T vériant f1 (tn1 ) = zn1 > 0 et donc
f2 (tn1 ) = sin f1 (t1n ) = sin z = y , on en déduit que y est dans A.
1
Ainsi pour tout α vériant 0 < α 6 1 − t0 il existe t dans [t0 , t0 + α] (en fait il existe
une innité de tels nombres réels t) vériant |f2 (t) − f2 (t0 )| > 2 ; ceci implique que
f2 n'est pas continue en t0 .
La proposition énoncée au début permet d'établir une preuve élégante du théorème
de Darboux.
(Gaston Darboux, 1875). Soit I =]a, b[ un intervalle ouvert non vide de
R et soit f : I → R continue sur I et dérivable sur I . Alors f 0 vérie la propriété des
valeurs intermédiares (c'est-à-dire : f 0 (I) est un intervalle).
Théorème 1
Démonstration. On introduit Γ =
n
f (x)−f (y)
, x, y
x−y
o
∈ I, x < y . Par dénition de la déri-
vée f 0 (I) ⊂ Γ (toute dérivée est limite de pentes) et par le théorème des accroissements
nis Γ ⊂ f 0 (I) (toute pente est une dérivée) ; donc Γ ⊂ f 0 (I) ⊂ Γ. De plus Γ est
connexe car Γ = F (T ) avec T = {(x, y) ∈ I 2 : x < y} connexe (et même convexe)
(y)
et F (x, y) = f (x)−f
continue sur T . Finalement par la proposition initiale f 0 (I) est
x−y
connexe, c'est donc un intervalle.
Si f est de classe C 1 ce théorème est une conséquence du théorème
des valeurs intermédiaires pour f 0 .
On sait qu'il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue (qui
vérient donc les hypothèses du théorème de Darboux sans être de classe C 1 ).
Le TVI n'est donc pas une propriété caractéristique des fonctions continues (ce qui
été communément admis au 19esiècle).
La réciproque du théorème de Darboux est fausse. Le TVI n'est donc pas une propriété caractéristique des fonctions dérivées.
Une autre preuve de ce théorème consiste à montrer pour y dans f 0 (I) la dérivée
de l'application g(x) = f (x) − yx s'annule en un point de I .
Remarque 2.
Correction du devoir maison
On rappelle qu'une application linéaire l entre deux espaces vectoriels normés E, F
est continue ssi :
∃M > 0, ∀x ∈ E − {0}
1
kl(x)kF 6 M kxkE .
Exercice 10
Par caractéristation de la continuité :
∀M > 0, ∃x ∈ E − {0},
Ainsi kAk1 6 M .
Pour l'inégalité contraire on choisit j0 tel que ni=1 |aij0 | = M et on dénit x par P
xj0 = 1 et xj = 0 pour j 6= j0 de sorte que kxk1 = 1. Alors
n
kAxk1 =
i=1 |aij0 | = M kxk1 . On en déduit : kAk1 > M et, nalement,
kAk1 = M .
P
ii) On pose M = max16i6n nj=1 |aij |. Soit x = (xj ) ∈ Rn . Pour tout i dans
{1, · · · , n}, on a :
P
kl(x)kF > M kxkE .
X
X
n
n
X
n
|aij | kxk∞ 6 M kxk∞ .
|aij | |xj | 6
aij xj 6
|(Ax)i | = j=1
j=1
j=1
En prenant M = n pour n dans N on en déduit qu'il existe une suite (xn ) de E − {0}
vériant :
kl(xn )kF > n kxn kE .
Ainsi : kAxk∞ 6 M kxk∞ , et : kAk∞ 6 M .
On pose, pour n dans N :
∗
P
1
1
yn = √
xn .
n kxn kE
Alors :
√
1
1
1
kl(xn )kF > n.
kyn kE = √ et kl(yn )kF = √
n
n kxn kE
Ainsi (yn ) est une suite convergeant vers 0 dont l'image par l n'est pas bornée
Remarque. La réciproque est vraie. Si l est continue sur E alors l est continue en 0
et donc l'image d'une suite convergeant vers 0 est une suite convergeant vers l(0) = 0,
en particulier elle est bornée.
2
Pour l'inégalité contraire on choisit i0 tel que nj=1 |ai0 j | = M et on dénit
x par xj = 1 si ai0 j > 0 et xj = −1 siPai0 j < 0 de sorte
P que kxk∞ = 1
et ai0 j xj = |ai0 j | > 0. Alors (Ax)i0 = nj=1 ai0 j xj = nj=1 |ai0 j | et donc
kAxk∞ > |(Ax)i0 | = M kxk∞ . On en déduit : kAk∞ > M et, nalement,
kAk∞ = M .
b) On traite le cas d'une matrice A quelconque. On note h | i le produit scalaire canonique sur Rn . Pour tout x ∈ Rn : kAxk22 = hAx | Axi = ht AAx | xi donc
Exercice 12
Pour x = (xj ) ∈ Rn et A ∈ Mn (R), la i-ième coordonnée du vecteur Ax est :
(Ax)i =
n
X
2
kAk2 = supx∈Rn −{0}
On note λ1 , . . . , λn les valeurs propres de t AA ; ces valeurs propres sont positives
˙ n > 0. La matrice t AA
car t AA est une matrice positive. On suppose : λ1 > >λ
est symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonormée
(e1 , . . . , en )
P
avec t AAei = λi ei , pour tout i dans {1, · · · , n}. Soit x = ni=1 xi ei ∈ Rn . On a
t
AAei = λi ei . Par bilinéarité du produit scalaire :
ht AAx | xi =
aij xj .
j=1
a)
=
i) On pose M = max16j6n ni=1 |aij |. Soit x = (xj ) ∈ Rn . Par l'inégalité triangulaire et le théorème de Fubini on a :
P
kAxk1
=
6
n
n X
X
X
n
|(Ax)i | =
aij xj i=1
i=1 j=1
n X
n
X
i=1 j=1
|aij | |xj | =
ht AAx|xi
.
kxk22
n X
n
X
j=1 i=1
|aij | |xj | 6 M
X
X
hxi λi ei | xj ej i =
16i,j6n
n
X
n
X
i=1
i=1
λi xi xj hei | ej i
16i,j6n
λi x2i 6 λ1
2
x2i = λ1 kxk2 .
Il y a égalité dans l'égalité précédente pour x = e1 . On en déduit :
2
kAk2 = λ1 = ρ(t AA).
n
X
j=1
A par t A dans le raisonnement précédent on obtient
p En remplaçant
p
t
t
kAk2 = ρ( AA) = ρ(A A) = kt Ak2 . Enn si A est symétrique alors ρ(t AA) =
ρ(A2 ) = ρ(A)2 (les valeurs propres de A2 sont les carrés des valeurs propres de A).
Remarque.
|xj | = M kxk1 .
3
En passant à la limite quand N tend vers +∞ (et par continuité de x 7→ |x|) on en
déduit :
Exercice 13
a) Par caractéristation de la continuité :
∀M > 0, ∃x ∈ E − {0},
|U (x)| 6 kxkl∞
|l(x)| > M kxkE .
Ainsi U est continue et kU kl∞ →R 6
|l(xn )| > n kxn kE .
La suite (yn ) répond à la question car :
1
1
kxn kE 6 .
|ϕ(xn )|
n
k=0
k=0
où (yn ) est la suite dénie à la question précédente 1 . La suite (xn ) est une suite
d'éléments de Ker ϕ qui converge vers x car :
ϕ(xn ) = ϕ(x) − ϕ(x)ϕ(yn ) = 0 et kxn − xkE = |ϕ(x)| kyn kE 6
|ϕ(x)|
.
n
Ainsi le sous-espace vectoriel H = Ker ϕ est fermé ou dense. En fait il est soit fermé,
soit dense car si H est fermé et dense alors H = H = E , donc ϕ est nulle, ce qui est
exclu par hypothèse. On en déduit donc que H est fermé ssi ϕ est continue et que H
est dense ssi ϕ n'est pas continue.
Exercice 18
a) L'application T est linéaire. Comme N∗ ⊂ N, on a kT (x)kl∞ 6 kxkl∞ , ainsi T est
continue et kT kl∞ →l∞ 6 1. Pour la suite constante égale à 1 on a : T (1) = 1 et donc
kT kl∞ →l∞ > 1. Ainsi la norme de T est 1.
b) L'application U est linéaire. Pour x dans l∞ et N dans N, par l'inégalité triangulaire,
on a :
N
N
N
+∞
X
X
X
X
a(k)x(k) 6
|a(k)| |x(k)| 6 kxkl∞
|a(k)| 6 kxkl∞
|a(k)| .
k=0
1. Cette formule est à rapprochée de celle du projeté sur un sous-espace vectoriel ; si
x
est dans
kU kl∞ →R =
k=0
Ker ϕ
∞
X
|a(k)| .
k=0
5
On en déduit que Ker ϕ est dense dans E .
k=0
k=0
D'où :
xn = x − ϕ(x)yn ,
k=0
|a(k)|.
En passant
P∞ à la limite quand N tend
P∞ vers +∞ on obtient : |U (x)| =
kxkl∞ k=0 |a(k)|, et donc kU kl∞ →R > k=0 |a(k)|.
Supposons ϕ non continue. Soit x un élément de E . On pose, pour n dans N :
k=0
k=0
N
N
N
N
X
X
X
X
|a(k)| .
a(k)x(k) =
a(k)x(k) =
|a(k)| = kxkl∞
b) Si ϕ est continue alors Ker ϕ = ϕ−1 ({0}) est un fermé de E .
4
P+∞
Pour l'inégalité réciproque on considère la suite dénie par : x(k) = 1 si a(k) > 0,
x(k) = −1 si a(k) < 0 ; de sorte que x(k)a(k) = |a(k)| > 0 pour tout k dans N et
kxkl∞ = 1. Alors pour tout entier N dans N :
1
yn =
xn .
ϕ(xn )
ϕ(yn ) = 1 et kyn kE =
|a(k)| .
k=0
En prenant M = n pour n dans N on en déduit qu'il existe une suite (xn ) de E − {0}
vériant :
On pose, pour n dans N :
+∞
X
La distance entre un fermé et un compact n'est pas
forcément atteinte
On a vu à l'exercice 12 feuille de TD no 3 que dans un espace vectoriel de dimension
nie la distance entre un fermé et un compact est atteinte. On veut trouver un contreexemple à cette propriété en dimension innie. Pour cela on considère E = C([0, 1], R)
muni de la norme kf k = kf k∞ + kf k1 , le fermé F = {f ∈ E | f (x) = 0} et le compact
K = {1} où 1 est la fonction constante égale à 1. Alors d(K, F ) = 1 mais pour tout
f ∈ F , d(K, f ) > 1.
L'ensemble F est un fermé de E puisque l'application f ∈ E 7→ f (0) ∈ R est li∗
néaire continue. La distance d(F, K) est inférieure
N on
1 à 1. En eet pour n dans
1
dénit fn la fonction valant nx si x est dans 0, n et 1 si x est dans n , 1 . Alors
R 1/n
1
kfn − 1k = 1 + 0 (1 − nx) dx = 1 + 2n
. D'où le résultat en faisant tendre n vers +∞.
Pour tout f ∈ F , d(1, f ) > 1. En eet si f (0) = 0 avec
R αf continue sur [0, 1]
R ,αil existe
α > 0 tel que |f | 6 12 sur [0, α]. Alors kf − 1k > 1 + 0 |1 − f | dx > 1 + 0 12 dx =
1 + α2 > 1.
alors la suite
(xn )
est constante égale à
x
Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2013
Devoir n◦ 1.
Question de cours
a) Montrer qu’une suite de Cauchy admettant une valeur d’adhérence converge.
b) Montrer qu’un espace métrique compact est complet.
Exercice 1.
a) Montrer que :
∀x, y ∈ R,
|sin x − sin y| 6 |x − y| .
b) On munit R2 de la distance donnée par la formule
d1 ((x, y), (x0 , y 0 )) = |x − x0 | + |y − y 0 | .
Montrer que l’application
Φ : (x, y) 7→
1
2
1 + sin(x + y), π + sin(x − y)
4
3
est k-lipschitzienne pour un certain k < 1.
c) En déduire que le système suivant admet une unique solution (x0 , y0 ) ∈ R2 :
x = 1 + 1/4 sin(x + y)
.
y = π + 2/3 sin(x − y)
Exercice 2. On s’intéresse à l’ensemble B des fonctions bornées de [0, 1] dans R :
B = {f : [0, 1] → R | ∃ M ∈ R+ , ∀ x ∈ [0, 1], |f (x)| 6 M },
muni de la distance
d∞ (f, g) = sup |f (x) − g(x)| .
x∈[0,1]
a) Vérifier que d∞ est une distance.
b) On note C l’ensemble des fonctions continues de [0, 1] dans R. Montrer que C est un fermé de
(B, d∞ ).
c) On considère maintenant
D = {f ∈ B | ∃ c > 0, ∀ x ∈ [0, 1], f (x) > c}.
Montrer que D est un ouvert de (B, d∞ ).
d) L’ensemble
E = {f ∈ B | ∀ x ∈ [0, 1], f (x) > 0}.
est-il un ouvert de B ? Un fermé de B ?
e) Montrer que (B, d∞ ) est complet.
1
Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2013
Devoir n◦ 2.
Question de cours. Soit (E, k k) un espace vectoriel normé complet. On considère l’espace vectoriel
L(E) des endomorphismes continus de E, muni de la norme définie par :
kukL(E) = sup{ku(x)k | x ∈ E, kxk 6 1}.
Montrer que les éléments u de L(E) tels que ku − IdE kL(E) < 1 sont des isomorphismes.
Exercice 1. On considère un espace vectoriel normé E sur R, muni d’un produit scalaire h ,
la norme k k issue du produit scalaire. Soient k un nombre réel et x0 un élément de E.
i et de
On considère l’application f : E\{x0 } → E définie par :
f (x) = x0 + k
x − x0
kx − x0 k
2.
a) Montrer que f est C 1 et calculer sa différentielle.
b) Démontrer que pour tout x dans E\{x0 }, il existe un réel positif λx vérifiant :
∀(v, w) ∈ E 2 ,
hDf (x)v, Df (x)wi = λx hv, wi.
Exercice 2. On se place sur la boule unité B = {x ∈ Rn | kxk < 1} de l’espace euclidien Rn , bordée par
2
la sphére unité S = {x ∈ Rn | kxk = 1}. On note, pour tout x dans Rn : N (x) = kxk .
Pour une fonction f deux fois différentiable sur un ouvert de Rn , on définit laplacien de f par :
∆f =
n
X
∂2f
i=1
∂x2i
.
Soit u : B → R une fonction deux fois différentiable sur B et continue sur B.
a) Montrer que N est deux fois différentiable sur Rn et calculer ∆N .
b) Montrer qu’il existe x0 ∈ B vérifiant : u(x0 ) = sup u(x).
x∈B
c) On suppose : ∆u > 0 sur B. Montrer que pour tout x dans B : u(x) < max u(y).
y∈S
d) On suppose : ∆u > 0 sur B. En considérant les fonctions uε = u + εN pour ε > 0, montrer que
pour tout x dans B : u(x) 6 max u(y).
y∈S
1
LM360
Université Paris 6
2013-2014
Topologie et calcul différentiel (LM360) :
examen partiel
22 octobre 2013 (durée : 2h)
avec corrigé (et barême indicatif)
Question de cours. (5pts) Énoncer en détail, et démontrer, le théorème disant que l’image
d’un espace connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.
Voir le cours.
Exercice 1.— (3pts) Soit (X, d) un espace métrique, et A une partie de X. On définit l’ensemble
B = {x ∈ X | ∃a ∈ A, d(x, a) < 1}.
Montrer que B est un ouvert de X.
Soit x un point de B, il s’agit de trouver une boule centrée en x et incluse dans B. Par
définition de B, il existe a ∈ A tel que d(x, a) < 1. Soit ε = 1−d(x, a). Par inégalité triangulaire,
la boule B(x, ε) est incluse dans B(a, 1). Or cette boule est incluse dans B, ce qui conclut.
Autre rédaction : on peut réécrire B comme l’union des boules ouvertes centrées en un
point quelconque de A et de rayon 1 ; comme toute boule ouverte est un ouvert, B est une union
d’ouverts, c’est donc un ouvert.
Exercice 2.— (3,5pts) Dans un espace métrique, on considère les propriétés suivantes :
1. (xn )n∈N est une suite de Cauchy ;
2. (xn )n∈N est une suite convergente ;
3. (xn2 )n∈N est une suite convergente ;
4. (xn2 )n∈N est une suite bornée.
Dire si chacune des implications suivantes est VRAIE ou FAUSSE (ici on ne demande pas
de justification) :
(1) ⇒ (2);
(2) ⇒ (1);
(2) ⇒ (3);
(3) ⇒ (2);
(3) ⇒ (4);
(4) ⇒ (3);
((1) et (3)) ⇒ (2).
La suite (xn2 )n∈N est une suite extraite de la suite (xn )n∈N . On peut alors répondre en utilisant les propriétés suivantes du cours : toute suite convergente est de Cauchy ; toute suite
extraite d’une suite convergente est convergente ; toute suite convergente est bornée ; toute suite
de Cauchy ayant une suite extraite convergente est convergente.
Exercice 3.— (7pts) Soient (X, d) un espace métrique, et A, B deux parties de X. On suppose
que
∀ε > 0 ∃a ∈ A ∃b ∈ B d(a, b) < ε.
1. Montrer qu’il existe une suite (an )n∈N dans A et une suite (bn )n∈N dans B telles que la suite
(d(an , bn ))n∈N tend vers 0.
Pour chaque entier n > 0, on applique l’hypothèse avec ε = 1/n, et on note an et bn les
points obtenus, qui appartiennent respectivement à A et B. On a d(an , bn ) < 1/n qui tend vers
0, comme demandé.
2. On suppose de plus A compact.
a. Montrer qu’il existe un point a de A tel que
∀ε > 0 ∃b ∈ B
d(a, b) < ε.
Par compacité de A, il existe une suite extraite (aφ(k) )k∈N qui est convergente, notons a sa
limite, et vérifions que a satisfait la propriété voulue. Soit ε > 0. La suite (d(aφ(k) , bφ(k) ))k∈N
est extraite d’une suite qui converge vers 0, elle converge donc aussi vers 0. En appliquant la
définition des suites convergentes aux suites (aφ(k) )k∈N et (d(aφ(k) , bφ(k) ))k∈N , on obtient deux
nombres K1 et K2 tels que
ε
∀k ≥ K1 , d(aφ(k) , a) <
2
ε
∀k ≥ K2 , d(aφ(k) , bφ(k) ) < .
2
Pour k = max(K1 , K2 ) on a
d(a, bφ(k) ) ≤ d(a, aφ(k) + d(aφ(k) , bφ(k) ) <
ε ε
+ = ε,
2 2
le nombre b = bφ(k) est dans B et à distance < ε de a, ce qui conclut.
b. A-t-on nécessairement A ∩ B 6= ∅ ?
La réponse est non, comme le montre le contre-exemple suivant : dans X = R, on prend
A = [0, 1] et B =]1, 2].
Exercice 4.— (7pts) Soit X un espace métrique compact, et (fn )n∈N une suite de fonctions
continues de X dans R. On suppose qu’il existe une fonction continue f telle que, pour tout x,
la suite (fn (x))n∈N est croissante et converge vers f (x).
1. Soit ε > 0. Pour tout entier n, on pose
On = {x ∈ X | fn (x) > f (x) − ε}.
a. Montrer que On est un ouvert.
En écrivant
On = {x ∈ X | fn (x) − f (x) > −ε}
on voit que On est l’image réciproque de ] − ε, +∞] par l’application fn − f : X → R. Or
] − ε, +∞] est un ouvert de R et lapplication fn − f est continue, donc On est un ouvert.
b. Montrer que pour tout x il existe n(x) tel que x ∈ On(x) .
Soit x ∈ X. La suite (fn (x))n∈N est converge vers f (x) ; ε étant donné, il existe donc un
nombre n(x) tel que, pour tout n ≥ n(x), fn (x) ∈]f (x) − ε, f (x) + ε[. En particulier fn(x) >
f (x) − ε, ce qui montre que x ∈ On(x) , comme voulu.
2. En déduire que la suite (fn )n∈N converge uniformément vers f .
Soit ε > 0. Il s’agit de trouver un entier N tel que, pour tout n ≥ N et tout x ∈ X,
(∗)fn (x) ∈]f (x) − ε, f (x) + ε[.
D’après la question 1.a, les ensemble On(x) sont des ouverts de X, et d’après la question 1.b ils
recouvrent X. Le théorème de Borel-Lebesgue nous dit qu’on peut extraire de ce recouvrement
un sous-recouvrement fini
On(x1 ) , . . . , On(xk ) .
Notons ni = n(xi ), et posons N = max(n1 , . . . , nk ). Soit n ≥ N et x ∈ X. Puisque les On(xi )
recouvrent X, il existe i tel que x ∈ On(xi ) , et cette appartenance signifie que fni (x) > f (x) − ε.
Or n ≥ N ≥ ni et la suite (fn (x))n∈N est croissante, donc fn (x) ≥ fni (x) et fn (x) > f (x) − ε.
D’autre part tous les termes d’une suite croissante sont inférieurs à sa limite, donc fn (x) ≤ f (x)
et on a bien la propriété (∗) voulue.
Exercice 5.— (partiel 2013) Soient (X, d) un espace métrique, et A, B deux parties de X. On
suppose que
∀ε > 0 ∃a ∈ A ∃b ∈ B d(a, b) < ε.
Montrer qu’il existe une suite (an )n∈N dans A et une suite (bn )n∈N dans B telles que la suite
(d(an , bn ))n∈N tend vers 0.
Beaucoup d’étudiants ont donné la réponse suivante :
Soient (an )n∈N une suite de points de A convergeant vers a, et (bn )n∈N une suite de points
de B convergeant vers b : on a
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 d(an , a) < ε,
∀ε > 0 ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1 d(bn , b) < ε.
On pose N = max{n0 , n1 }. Pour tout n ≥ N , on a
d(an , bn ) ≤ d(an , a) + d(a, b) + d(b, bn ) ≤ 3ε.
Donc
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N d(an , bn ) < ε,
ce qui signifie que la suite d(an , bn )n∈N tend vers 0.
Cette réponse a immédiatement l’air louche : si on peut vraiment prendre n’importe quelle
suite (an ) tendant vers a, pourquoi ne pas prendre la suite constante égale à a ? Et pareil pour la
suite (bn ) ? Et finalement, si la première suite tend vers a et la seconde vers b, la seule possibilité
pour que la distance entre an et bn tende vers 0 n’est-elle pas qu’on ait a = b ? Mais comment
pourrait-on conclure que a = b si on sait seulement que d(a, b) < ε ? ? Examinons maintenant
dans le détail les arguments de cette réponse, en essayant de combler au mieux les lacunes de la
rédaction. Dès la première ligne, on nous parle d’un point a et d’un point b sans préciser d’où ils
viennent ; cependant, on se doute qu’il s’agit des points a et b fournis par l’hypothèse. Si on lit
bien l’hypothèse, ces points dépendent de la donnée d’un nombre ε. Il faut donc probablement
comprendre ceci :
Soit ε > 0, et a ∈ A et b ∈ B deux points donnés par l’hypothèse, vérifiant d(a, b) < ε.
Soient (an )n∈N une suite de points de A convergeant vers a, et (bn )n∈N une suite de points de B
convergeant vers b... Jusque là tout va bien : la réponse n’était pas correctement rédigée, mais
on peut lui donner un sens en ajoutant la phrase en gras (à vrai dire, c’est même la seule façon
de préciser ce qui est écrit). La suite s’interprète alors probablement ainsi :
En appliquant la définition de la limite pour les suites (an ) et (bn ) au nombre ε, on obtient
deux nombres n0 et n1 tels que ∀n ≥ n0 d(an , a) < ε et ∀n ≥ n0 d(bn , b) < ε. On pose
N = max{n0 , n1 }. Pour tout n ≥ N , on a
d(an , bn ) ≤ d(an , a) + d(a, b) + d(b, bn ) ≤ 3ε.
Arrêtons-nous pour résumer la situation, en faisant bien attention à l’ordre dans lequel les
différents objets mathématiques ont été introduits : étant donné un ε > 0, nous avons
construit deux suites (an ) et (bn ) pour lesquelles il existe un nombre N tel que pour
tout n ≥ N , d(an , bn ) ≤ 3ε.C’est maintenant que les choses se gâtent. On voudrait conclure
que la suite (d(an , bn )) tend vers 0, mais pour cela il faudrait que nos deux suites aient été
construites avant le choix du nombre ε. Dans la définition de la limite, on considère une suite ;
étant donnée cette suite, à chaque fois qu’on choisit un ε > 0 on doit pouvoir trouver un rang
N etc.. Ici la situation est inversée : on a d’abord choisi un nombre ε > 0, puis une suite. Pour
pouvoir conclure, le nombre ε étant fixé depuis le début, il faudrait considérer un autre nombre
quelconque ε0 > 0 et trouver alors un N tel que etc..
Mais après tout, peut-être est-ce de cette façon qu’il fallait comprendre la réponse ; puisque
le premier ε n’y était pas explicité, peut-être fallait-il comprendre le second ε comme un autre
nombre ε0 . Essayons :
Soit ε0 > 0. En appliquant la définition de la limite pour les suites (an ) et (bn ) au nombre
ε0 , on obtient deux nombres n0 et n1 tels que ∀n ≥ n0 d(an , a) < ε0 et ∀n ≥ n0 d(bn , b) < ε0 .
On pose N = max{n0 , n1 }. Pour tout n ≥ N , on a
d(an , bn ) ≤ d(an , a) + d(a, b) + d(b, bn ) ≤ 2ε0 + ε.
Ce n’est pas encore ce qu’on voudrait. On peut bien sûr éliminer le facteur 2 et obtenir
l’inégalité d(an , bn ) ≤ ε0 + ε, mais on ne pourra jamais se débarrasser du ε : pour choisir a et
b on a été obligé de fixer ce nombre ε, et on pourra jamais faire mieux que de montrer que la
distance de an à bn tend vers le nombre d(a, b), qui est strictement plus petit que ε, mais dont
rien ne permet de dire qu’il est nul.
Cette réponse est donc irrécupérable : même un lecteur plein de bonne volonté ne pourra
pas y voir un raisonnement correct.
Le problème dans cet argument vient de la “dépendance cachée” entre les différents objets
introduits : ici, les suites dépendant du choix antérieur d’un nombre ε. Ce problème est à l’origine
de nombreuses erreurs. Comment faire pour les éviter ?
1. Introduire explicitement tous les objets utilisés (ici, les points a et b, et plus loin l’entier N ,
ne sont pas correctement introduits dans la solution proposée initialement par l’étudiant ;
une introduction explicite est donnée par la phrase en caractères gras que nous avons
ajoutée). Rappelons que dans une phrase avec des quantificateurs, comme
∀ε > 0 ∃a ∈ A
∃b ∈ B
d(a, b) < ε
aucun objet n’est introduit. Les variables de cette phrases sont muettes. Si on veut
utiliser cette phrase pour introduire de nouveaux objets, il faut :
(a) dire à quel nombre ε on va l’appliquer : ça peut être un nombre ε introduit avant
dans le raisonnement (comme ε = 1/n dans la solution plus bas), ou bien un nombre
ε quelconque, qu’on introduit pour l’occasion en écrivant “Soit ε > 0” ;
(b) dire comment on note les objets obtenus : on utilise parfois les mêmes notations,
parfois non (comme an , bn dans la solution plus bas).
2. Lorsque tous les objets ont été introduits explicitement, on peut alors faire attention à
l’ordre dans lequels les objets sont introduits ; cet ordre entraı̂ne une dépendance entre les
objets. On peut même expliciter cette dépendance en écrivant par exemple
Soit ε > 0, et aε ∈ A et bε ∈ B deux points donnés par l’hypothèse... Et, plus loin, Soient
(an,ε,a )n∈N ....
Malheureusement, comme on le voit, les notations deviennent vite très lourdes, ce qui
explique pourquoi, en pratique, on n’explicite pas toutes les dépendances dans les notations.
Il faut donc faire des bilans où l’ordre des choix apparait explicitement : dans la tentative
de solution plus haut on a introduit, dans l’ordre, ε, a, b, an , bn , N ; a priori chacun de ces
objets dépend du choix des précédents.
Solution de l’exercice Soit n > 0 un entier, on applique l’hypothèse au nombre ε = 1/n.
On obtient ainsi un élément an de A et un élément bn de b tels que d(an , bn ) < 1/n. On a
alors construit une suite (an )n∈N dans A et une suite (bn )n∈N dans B telles que, pour tout n,
d(an , bn ) < 1/n. On en déduit que la suite (d(an , bn ))n∈N tend vers 0.
Ce principe consistant à construire une suite à partir d’une propriété en “∀ε > 0 ∃...” est
très souvent utilisé ; dans le cours, il a notamment servi dans la preuve de la caractérisation
séquentielle des fermés.