486 Chapitre 11. Indications et solutions EY 0. Par conséquent, Cov

486 Chapitre 11. Indications et solutions
EY0. Par conséquent, CovX, Y EXY EXEYEXY et
CovX, Y
R2
xyhx, y dxdy
1
41,12
xy dxdy1
41,12
xy sin πx sin πy dxdy
1
4
1
1
xdx
1
1
ydy1
4
1
1
xsin πx dx
1
1
ysin πy dy
01
4
1
1
xsin πx dx
2
.
Cette dernière intégrale se calcule en intégrant par parties :
1
1
xsin πx dxx
πcos πx
1
1
1
1
1
πcos πx dx2 π.
On obtient finalement CovX, Y 1
π20, et donc Xet Yne sont pas indépen-
dantes.
Solution 8.6 Tir à l’arc
On modélise le point d’impact de la flèche par le vecteur aléatoire X, Y de
densité :
f:x, y 1
2πσ2exp x2y2 2σ2.
1) Grâce aux propriétés de l’exponentielle, cette densité s’écrit aussi :
fx, y 1
σ2πexp x2
2σ2
1
σ2πexp y2
2σ2gxgy,
où gest la densité de la loi N0, σ. On sait alors, cf. proposition 8.43, que les com-
posantes du vecteur aléatoire sont indépendantes et que la loi de Xa pour densité g
et celle de Yaussi 17.
2) Pour trouver la densité du vecteur aléatoire R, U , nous allons appliquer la
proposition 8.18 sur la densité d’un vecteur aléatoire image. Pour cela il nous faut
calculer le jacobien de ϕ1. Le calcul des dérivées partielles de ϕ1est immédiat :
x
rcos u, y rsin u, x ursin u, y urcos u.
Le jacobien s’écrit
Jacϕ1r, u
x
r
x
u
y
r
y
u
cos u r sin u
sin u r cos urcos 2usin 2u r.
17. Il est clair que les constantes de proportionnalité ctelle que fXcg et ctelle que fYc g
sont égales à 1 parce que gest déjà une densité de probabilité.

11.8. Exercices du chapitre 8 487
La densité du couple R, U est donc
fR,U :r, u r
2πσ2exp r2 2σ210,π,π r, u.
On remarque que cette densité est de la forme g1g2, c’est-à-dire fR,U r, u
g1rg 2u) avec
g1rr
σ2exp r2 2σ210,r, g 2u1 2π1π,π u.
Il en résulte que les variables aléatoires Ret Usont indépendantes et que leur loi a
une densité proportionnelle à g1pour Ret à g2pour U. En fait comme g2est déjà
une densité de probabilité (c’est celle de la loi uniforme sur π, π), les constantes
de proportionnalité valent 1. En conclusion, Rsuit la loi de densité g1et Usuit la loi
uniforme sur π, π.
Indications 8.8 Covariances d’une loi multinomiale
La v.a. X1Xkest constante. Les v.a. Xiet XiXjsuivent des lois
binomiales.
Solution 8.11 La méthode de Box Muller
Le vecteur aléatoire U1, U2suit la loi uniforme sur 0,12, de densité fU1,U2
10,12. Le changement de variable
g:u1, u2x, y avec x2 ln u1
12 cos2πu 2
y2 ln u1
12 sin2πu 2
réalise un C1-difféomorphisme de l’ouvert D0,12sur l’ouvert DR20,0.
Par la proposition 8.18 sur la densité d’un vecteur aléatoire image, le vecteur aléatoire
X, Y gU 1, U2a une densité fX,Y donnée par
fX,Y x, y f U1,U2g1x, y Jacg1x, y 1Dx, y.
Pour tout x, y R20,0, g1x, y appartient à 0,12et comme fU1,U2vaut 1
sur 0,12, le premier facteur dans la formule ci-dessus s’écrit fU1,U2g1x, y 1.
Pour calculer Jacg1x, y, on calcule Jacgu 1, u2et on utilise la formule
Jacg1x, y 1
Jacg g1x, y .
En notant g g 1, g2, les dérivées partielles de gsont
g1
u1
u1
12 ln u1
12 cos2πu 2,g1
u2
2π2 ln u1
12 sin2πu 2,
g2
u1
u1
12 ln u1
12 sin2πu 2,g2
u2
2π2 ln u1
12 cos2πu 2.