486 Chapitre 11. Indications et solutions EY 0. Par conséquent, Cov

486
EY
Chapitre 11. Indications et solutions
� 0. Par conséquent, Cov�X, Y � � E�XY � � �EX ��EY � � E�XY � et
Cov�X, Y � �
�
�
R2
1
4
� 41
�
xyh�x, y � dxdy
��1,�1�2
�� �1
�1
� 0 � 14
xy dxdy �
x dx
�� �1
�1
� �� �1
�1
1
4
�
y dy
x sin πx dx
��1,�1�2
�
�2
� 41
xy sin πx sin πy dxdy
�� �1
�1
x sin πx dx
� �� �1
�1
y sin πy dy
�
.
Cette dernière intégrale se calcule en intégrant par parties :
� �1
��1 � �1 1
� x
x sin πx dx � � cos πx
� π cos πx dx � π2 .
π
�
1
�1
�1
On obtient finalement Cov�X, Y �
dantes.
�
1
π2
� 0, et donc X
et Y ne sont pas indépen-
Solution 8.6 Tir à l’arc
On modélise le point d’impact de la flèche par le vecteur aléatoire �X, Y � de
densité :
�
��x2 � y2 � � .
1
exp
f : �x, y � ���
2πσ 2
2σ 2
1)
Grâce aux propriétés de l’exponentielle, cette densité s’écrit aussi :
� 2�
1
�x � �1 exp � �y2 � � g�x�g�y�,
f �x, y � � � exp
2σ 2
2σ 2
σ 2π
σ 2π
où g est la densité de la loi N�0, σ �. On sait alors, cf. proposition 8.43, que les composantes du vecteur aléatoire sont indépendantes et que la loi de X a pour densité g
et celle de Y aussi 17 .
2) Pour trouver la densité du vecteur aléatoire �R, U �, nous allons appliquer la
proposition 8.18 sur la densité d’un vecteur aléatoire image. Pour cela il nous faut
calculer le jacobien de ϕ�1 . Le calcul des dérivées partielles de ϕ�1 est immédiat :
�x � cos u, �y � sin u, �x � �r sin u, �y � r cos u.
�r
�r
�u
�u
Le jacobien s’écrit
�
�
�
Jac�ϕ�1 ��r, u� � �
�
�x
�r
�y
�r
�x
�u
�y
�u
� �
� � cos u
� �
���
�
sin u
�r sin u ��� � r�cos2 u � sin2 u� � r.
r cos u �
17. Il est clair que les constantes de proportionnalité c telle que f X
sont égales à 1 parce que g est déjà une densité de probabilité.
� cg et c
�
telle que fY
�cg
�
11.8. Exercices du chapitre 8
487
La densité du couple �R, U � est donc
fR,U : �r, u� ���
r
exp
2πσ 2
�
�r2 � 1
2σ 2
�0,������π,π �
�r, u�.
On remarque que cette densité est de la forme g1 � g2 , c’est-à-dire fR,U �r, u�
g1 �r�g2 �u�) avec
� 2�
r
�r 1
1
1
g2 �u� �
�u�.
g1 �r� � 2 exp
�0,��� �r �,
2
σ
2σ
2π ��π,π�
�
Il en résulte que les variables aléatoires R et U sont indépendantes et que leur loi a
une densité proportionnelle à g1 pour R et à g2 pour U . En fait comme g2 est déjà
une densité de probabilité (c’est celle de la loi uniforme sur � � π, π �), les constantes
de proportionnalité valent 1. En conclusion, R suit la loi de densité g1 et U suit la loi
uniforme sur � � π, π �.
Indications 8.8 Covariances d’une loi multinomiale
La v.a. X1 � � � � � Xk est constante. Les v.a. Xi et Xi
binomiales.
� Xj
suivent des lois
Solution 8.11 La méthode de Box Muller
Le vecteur aléatoire �U1 , U2 � suit la loi uniforme sur �0, 1�2 , de densité fU1 ,U2
1�0,1�2 . Le changement de variable
�
x � ��2 ln u1 �1�2 cos�2πu2 �
g : �u1 , u2 � �� �x, y � avec
y � ��2 ln u1 �1�2 sin�2πu2 �
�
réalise un C 1 -difféomorphisme de l’ouvert D ��0, 1�2 sur l’ouvert D� � R2 ���0, 0��.
Par la proposition 8.18 sur la densité d’un vecteur aléatoire image, le vecteur aléatoire
�X, Y � � g�U1 , U2 � a une densité fX,Y donnée par
�
��
�
fX,Y �x, y � � fU1 ,U2 g �1 �x, y � �Jac�g �1 ��x, y ��1D �x, y �.
�
Pour tout �x, y � � R2 ���0, 0��, g �1 �x, y � appartient à �0, 1�2 et comme
1
� fU1 ,U2 vaut
�
sur �0, 1�2 , le premier facteur dans la formule ci-dessus s’écrit fU1 ,U2 g �1 �x, y � � 1.
Pour calculer Jac�g �1 ��x, y �, on calcule Jac�g ��u1 , u2 � et on utilise la formule
Jac�g �1 ��x, y � �
1
�
�.
Jac�g � g �1 �x, y �
� �g1 , g2 �, les dérivées partielles de g sont
� g1
� g1
1
1 2
1 2
�u1 � �u1 ��2 ln u1 � cos�2πu2 �, �u2 � �2π��2 ln u1 � sin�2πu2 �,
�g2 � �u 1 ��2 ln u � 1 2 sin�2πu �, �g2 � 2π��2 ln u �1 2 cos�2πu �.
1
2
1
2
1
� u1
� u2
En notant g
�
� �
�
� �
�
�