Variables à densité.

Variables à densité.
1 Prérequis :
Théorème : intégrale fonction de la borne supérieure Soit F(x) = Rx
1 f(t)dt:
Si Ra
1 f(t)dt converge alors Fest continue sur ]1; ; a]et Fest dérivable là où fest continue
avec F0(x) = f(x):
Convergence : Comment prouver la convergence ? cas des fonctions positives.
Calcul : Pour primitiver, il faut d’abord savoir dériver.
Fonction continue par morceaux : Comment calcule-t-on l’intégrale ?
2 De la densité à la probabiltié.
Dé…nition de la densité : fest une densité de probabilité si
-fest dé…nie et continue et positive ou nulle, sauf en un nombre …ni de points de R,
- et si R+1
1 .f(t)dt converge et vaut 1
Exercice 1 : Montrer que fdé…nie par f(x) = 0si x < 1
1
x2si x > 1est une densité.
Exercice 2 : Déterminer 2Rpour que fdé…nie par f(x) = 
pxsi 0< x < 1
0sinon soit une densité.
Dé…nition d’une variable à densité : Soit fune densité. Xest une variable aléatoire de densité
fsi la fonction de répartition Fde Xest donnée par : pour tout xréel F(x) = P (Xx) =
Rx
1 f(t)dt
Théorème : calcul de probabilités Si Xa pour densité fet pour fonction de répartition F
alors
- pour tout x2R: P (X=x) = 0
- pour tout x2R: P (Xx) = P (X < x) = F(x) = Rx
1 f(t)dt
- pour tout x2R: P (X > x) = P (Xx) = 1 F(x) = R+1
xf(t)dt
-si abalors P (aXb) = F(b)F(a) = Rb
af(t)dt et P (aXb) = 0 si a > b (idem
pour des inégalités strictes ou mixtes)
Méthode : Comment calculer ces intégrales quand fest données par di¤érentes formules suivant
l’intervalle ?
Exercice 3 : Soit Xayant pour densité celle de l’exercice1, déterminer P (1 X2) ;P (1X2) ;
la fonction de répartition de X:
Exercice 4 : dans les mêmes conditions, calculer, suivant la valeur de x; P (xXx+ 1) ;P (xXx2)
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3 De la probabilité à la densité.
3.1 Si Fest une fonction dé…nie sur R
Théorème : Fest la fonction de répartition d’une variable à densité ()
-Fest continue sur Ret de classe C1sauf en un nombre …ni de points (là où la densité est
continue),
-Fest croissante sur R(comment le prouver ?)
-lim1 F= 0 et lim+1F= 1
Une densité est alors f=F0là où Fest C1:
Exercice 5 : Soit F(x) = etsi t0et F(t) = 1 si t0:
Montrer que Fest la fonction de répartition d’une variable à densité et en déterminer une
densité.
Soit Xune telle variable. Déterminer P (1X < 2) :
Remarque : Si Xest une variable aléatoire discrète, sa fonction de répartition est alors en escalier.
Xpeut-elle alors être à densité ?
3.2 Si Fest la fonction de répartition d’une variable aléatoire
Théorème : si Fest la fonction de répartition d’une variable aléatoire X, alors
Xest à densité () Fest continue sur Ret de classe C1sauf en un nombre …ni de points (là
où la densité est continue).
Une densité de Xest alors f=F0là où Fest de classe C1:
Méthode : Comment montrer qu’une fonction est continue ?
N.B. Que peut-on dire de la fonction de répartition de Xsi Xest à densité ?
Exercice 6 type : Soit fdé…nie par f(t) = etsi t0et 0sinon.
Montrer que fest une densité de probabilité.
Soit Xde densité f: Montrer que P (X0) = 1 et en déduire que Y=pXest dé…nie presque
sûrement.
Déterminer la fonction de répartition Gde Yen fonction de celle Fde X:
En déduire que Yest une variable à densité et en déterminer une densité.
Méthode : Quand une V.A. Yest dé…nie à partir d’une autre Y=f(X);
- On détermine la fonction de répartition Gde Yen fonction de celle Fde X(comment ?)
- La fonction de répartition de Xvéri…e les critères de fonction de répartition de variable à
densité.(qui sont ?)
- On en déduit que les 2 critères des variable à densité (qui sont ?) sont véri…és.
- On en déduit alors que Yest à densité et qu’une densité est G0là où Gest de classe C1:
N.B. On reste formel aussi longtemps que possible. On n’a généralement pas besoin de calculer la
fonction de répartition de X.
N.B. Quand on calcule P (aXb);il faut d’abord véri…er l’ordre des bornes.
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4 Espérance
4.1 Dé…nitions
Dé…nition : Pour une variable Xde densité f,Xa une espérance si R+1
1 .tf (t)dt converge.
On a alors E(X) = R+1
1 .tf (t)dt
(la convergence simple équivaut ici à l’absolue convergence)
Exercice 7 : Soit  > 1et fdé…nie par f(x) = 1
xsi x1et 0sinon. Montrer que fest une
densité.
Soit Xde densité f: Pour quelle valeurs de ; X a-t-elle une espérance ?
Théorème : moment d’ordre 2 X2a une espérance si et seulement si R+1
1 .t2f(t)dt converge.
On a alors E(X2) = R+1
1 .t2f(t)dt (appelé moment d’ordre 2)
Exercice 8 : Soit fdé…nie par f(t) = 1
2e2tsi t0et f(t) = 0 sinon.
Montrer que fest une densité. Soit Xde densité f:
Montrer que Xet X2ont une espérance et calculer les.
En déduire la variance de X:
Théorème : Variance Xa une variance si et seulement si Xet X2ont une espérance.
On a alors V(X) = E[XE(X)]2=E(X2)E(X)2
4.2 Opérations
Théorème de transfert : Pour une variable Xde densité f, et gune fonction continue sauf en un
nombre …nis de points.
Y=g(X):a une espérance si R+1
1 .g(t)f(t)dt est absolument convergente. On a alors
E(g(X)) = R+1
1 .g(t)f(t)dt
Linéarité : Si Xa une espérance et aet bréels alors alors E(aX +b) = aE (x) + b
Si Xa une variance alors V(aX +b) = a2V(X)
Exercice 8 : Pour le démontrer dans le cas où a < 0et que la densité de X:est continue sur R:
comment déterminer la densité gde Y?
Par un changement de variable, montrer R+1
1 tg(t)dt converge et vaut aE (x) + b
Linéarité : Si Xet Yà densité ont une espérance alors E(X+Y) = E(X)+E(Y)(indémontrable)
Linéarité : Si Xet Yà densité ont une variance et sont indépendantes alors
V(X+Y) = V(X) + V(Y)
Centrée réduite : Xest centrée si E(X) = 0;elle est réduite si V(X) = 1:
Soit Xayant une espérance et une variance non nulle alors
X=XE(X)
pV(X)est centrée-réduite.
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5 Lois usuelles
5.1 Loi uniforme
Modèle : toutes les valeurs de l’intervalle réel [a; b]sont équiprobables.
Traduction : la densité est constante f(t) = ksur tout l’intervalle et f(t) = 0 nulle en dehors.
Comment déterminer k?
Dé…nition : Pour a < b :Xsuit une loi uniforme sur [a; b]notée U[a;b]si sa densité est
f(t) = 1
basi t2[a; b]
0sinon.
Simulation : randomize; (une seule fois au début) ... x:=random(b-a)+a;
Théorème : Si X ,! U[a;b]alors Xa une espérance et E(X) = a+b
2:
(Hors programme : V(X) = (ba)2
12 )
Exercice 9 : Soit Xnde loi uniforme sur X() = i
n= i 2[[0; n 1]]
Déterminer la loi de Xet sa fonction de répartition Fnsur X() :
Soit x2[0;1[ :
En notant [] la partie entière, encadrer nx entre deux entiers successifs et en déduire un en-
cadrement de xentre deux éléments de Xn()
En déduire la valeur de Fn(x)puis sa limite quand ntend vers +1:
On dit que Xnconverge en loi vers une loi uniforme sur [0;1]
5.2 Loi exponentielle
Durée de vie : Soit Xla durée de vie d’un appareil.
Comment traduire avec X
- il tombe en panne à l’instant t?
- il est en panne à l’instant t:
- il fonctionne à l’instant t?
Modèle : On dit que la durée de vie est sans mémoire si le fait d’avoir déjà fonctionné un certain
temps n’in‡ue pas sur le temps de (bon) fonctionnement ultérieur
Formalisation : Xest sans mémoire si pour tout tet h0:: PX>t (X > t +h) = P (X > h)
Dé…nition : Soit  > 0: X suit une loi exponentielle de paramètre notée "()si sa densité est
f(t) = et si t0
0si t < 0
A remarquer : Si X ,!"()alors pour tout x0 : P (X > x) = exp (x)et
P (Xx) = 1 ex (comment calculer cette probabilité ?)
Théorème : Si X ,!"()alors Xa une espérance et une variance et E(X) = 1= et V(X) = 1=2
Exercice 10 : Soit In=R+1
0tnetdt:
Montrer que pour tout n2N:tnet=2!0et en déduire que Inconverge.
Exprimer In+1 en fonction de Inet en déduire la valeur de Inen fonction de n:
Retrouver alors l’espérance puis la variance d’une loi exponentielle.
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Simulation : On montre que si X ,! U[0;1] alors Y=1
ln (X),!"()(comment le faire ?)
writeln(’paramètre ?’);readln(alpha);
randomize; (une seule fois au début) ...
x:=random;y:=-ln(x)/alpha;
Théorème (Modèle) : Soit Xvariable à densité; alors
Xsuit une loi exponentielle () Xest sans mémoire et P (X0) = 1
Exercice 11 : Démontrer la partie directe.
Réciproque : On montre que P (X > h +t) = P (X > h) P (X > t):
On considère g(t) = P (X > t):Pourquoi gest-elle continue sur R? Quel est son sens de
variation ? Que vaut g(t+h)?
1) g(1) >0 :
Que vaut g(1) si X ,!"()? Pour poser =ln [g(1)] ;on montre d’abord que g(1) 6= 0 :
On montre d’abord (par récurrence) que g(nx) = g(x)ndonc avec x=1
n:g(1) = g1 nn
Et par l’absurde : si g(1) = 0 alors g1
n= 0 !0quand n!+1:et par continuité
g1
n!g(0) = 1:
Soit alors =ln (g(1)) :
2) gp
qavec pet qentiers.
Quelle devrait être alors la fonction '(t) = g(t) exp (t)sur R+?
a) pour les sommes : on a '(+h) = '(x)'(h)pour tout xet h0:
b) Pour les produits par un entier p: par récurrence, 8p2N:'(px) = '(x)p
c) Pour les quotients par un entier q: avec x=y
qon a '(y) = 'y qqet 'y q='(y)1=q
d) Pour les rationnels p
qon a alors 'p q='(1)p=q = 1
3) Pour les réels
On approche les réels x0par des rationnels un:
[nx]nx < [nx]+1donc un=[nx]
nx<un+1 net jxunj<1 n
'est continue sur R. Et comme un!xalors 1 = '(un)!'(x)donc '(x)=1pour tout
x0
4) On revient à la fonction de répartition et à la densité :
a) Pour tout x0 : g(x) = ex donc F(x) = P (Xx) = 1 ex pour x0et comme la
fonction de répartition est croissante, elle est nulle sur R:
b) Fest dérivable sur Rdonc une densité est F0(x) = 0 si x < 0et F0(x) = ex si x0
c) Où l’on reconnaît une loi exponentielle de paramètre :
5.3 Loi normale (de Laplace-Gauss)
5.3.1 Loi normale centrée réduite
Modèle, théorème de la limite centrée (admis) : Quelque soit la loi L(discrète ou de densité)
ayant une espérance et une variance ;
si les variables aléatoires Xisont de même loi Let sont indépendantes alors la somme
Sn=Pn
i=1 Xiou la moyenne Mn=1
nPn
i=1 Xicentrée réduite S
n(qui vaut ?) converge en loi
vers une loi normale centrée réduite (i.e. sa fonction de répartition tend vers )
Exercice 12 : Montrer que S
n=M n
Exercice 13 : Montrer que pour tout t1 : tt2et en déduire que R+1
1et2dt converge.
En déduire que R1
1et2dt converge également
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