Variables à densité.

Variables à densité.
1
Prérequis :
Rx
Théorème : intégrale fonction de la borne supérieure Soit F (x) = 1 f (t) dt:
Ra
Si 1 f (t) dt converge alors F est continue sur ] 1; ; a] et F est dérivable là où f est continue
avec F 0 (x) = f (x) :
Convergence : Comment prouver la convergence ? cas des fonctions positives.
Calcul : Pour primitiver, il faut d’abord savoir dériver.
Fonction continue par morceaux : Comment calcule-t-on l’intégrale ?
2
De la densité à la probabiltié.
Dé…nition de la densité : f est une densité de probabilité si
- f estRdé…nie et continue et positive ou nulle, sauf en un nombre …ni de points de R,
+1
- et si 1 .f (t) dt converge et vaut 1
Exercice 1 : Montrer que f dé…nie par f (x) =
Exercice 2 : Déterminer
0
1
x2
si x < 1
est une densité.
si x > 1
2 R pour que f dé…nie par f (x) =
p
x
0
si 0 < x < 1
soit une densité.
sinon
Dé…nition d’une variable à densité : Soit f une densité. X est une variable aléatoire de densité
fR si la fonction de répartition F de X est donnée par : pour tout x réel F (x) = P (X x) =
x
f (t) dt
1
Théorème : calcul de probabilités Si X a pour densité f et pour fonction de répartition F
alors
- pour tout x 2 R : P (X = x) = 0
Rx
- pour tout x 2 R : P (X x) = P (X < x) = F (x) = 1 f (t) dt
R +1
- pour tout x 2 R : P (X > x) = P (X x) = 1 F (x) = x f (t) dt
Rb
- si a b alors P (a X b) = F (b) F (a) = a f (t) dt et P (a X b) = 0 si a > b (idem
pour des inégalités strictes ou mixtes)
Méthode : Comment calculer ces intégrales quand f est données par di¤érentes formules suivant
l’intervalle ?
Exercice 3 : Soit X ayant pour densité celle de l’exercice1, déterminer P (1
la fonction de répartition de X:
X
2) ; P ( 1
Exercice 4 : dans les mêmes conditions, calculer, suivant la valeur de x; P (x
X
x + 1) ; P (x
Cours Variables á densité
X
2) ;
X
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x2 )
3
3.1
De la probabilité à la densité.
Si F est une fonction dé…nie sur R
Théorème : F est la fonction de répartition d’une variable à densité ()
- F est continue sur R et de classe C 1 sauf en un nombre …ni de points (là où la densité est
continue),
- F est croissante sur R (comment le prouver ?)
- lim 1 F = 0 et lim+1 F = 1
Une densité est alors f = F 0 là où F est C 1 :
Exercice 5 : Soit F (x) = et si t 0 et F (t) = 1 si t 0:
Montrer que F est la fonction de répartition d’une variable à densité et en déterminer une
densité.
Soit X une telle variable. Déterminer P ( 1 X < 2) :
Remarque : Si X est une variable aléatoire discrète, sa fonction de répartition est alors en escalier.
X peut-elle alors être à densité ?
3.2
Si F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire
Théorème : si F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire X , alors
X est à densité () F est continue sur R et de classe C 1 sauf en un nombre …ni de points (là
où la densité est continue).
Une densité de X est alors f = F 0 là où F est de classe C 1 :
Méthode : Comment montrer qu’une fonction est continue ?
N.B. Que peut-on dire de la fonction de répartition de X si X est à densité ?
Exercice 6 type : Soit f dé…nie par f (t) = e t si t 0 et 0 sinon.
Montrer que f est une densité de probabilité.
p
Soit X de densité f: Montrer que P (X 0) = 1 et en déduire que Y = X est dé…nie presque
sûrement.
Déterminer la fonction de répartition G de Y en fonction de celle F de X:
En déduire que Y est une variable à densité et en déterminer une densité.
Méthode : Quand une V.A. Y est dé…nie à partir d’une autre Y = f (X) ;
- On détermine la fonction de répartition G de Y en fonction de celle F de X (comment ?)
- La fonction de répartition de X véri…e les critères de fonction de répartition de variable à
densité.(qui sont ?)
- On en déduit que les 2 critères des variable à densité (qui sont ?) sont véri…és.
- On en déduit alors que Y est à densité et qu’une densité est G0 là où G est de classe C 1 :
N.B. On reste formel aussi longtemps que possible. On n’a généralement pas besoin de calculer la
fonction de répartition de X.
N.B. Quand on calcule P (a
Cours Variables á densité
X
b) ; il faut d’abord véri…er l’ordre des bornes.
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4
4.1
Espérance
Dé…nitions
Dé…nition : Pour une variable X de densité f , X a une espérance si
R +1
On a alors E (X) = 1 .tf (t) dt
(la convergence simple équivaut ici à l’absolue convergence)
R +1
1
.tf (t) dt converge.
Exercice 7 : Soit > 1 et f dé…nie par f (x) = x 1 si x 1 et 0 sinon. Montrer que f est une
densité.
Soit X de densité f: Pour quelle valeurs de ; X a-t-elle une espérance ?
R +1
Théorème : moment d’ordre 2 X 2 a une espérance si et seulement si 1 .t2 f (t) dt converge.
R +1
On a alors E (X 2 ) = 1 .t2 f (t) dt (appelé moment d’ordre 2)
Exercice 8 : Soit f dé…nie par f (t) = 21 e 2t si t 0 et f (t) = 0 sinon.
Montrer que f est une densité. Soit X de densité f:
Montrer que X et X 2 ont une espérance et calculer les.
En déduire la variance de X:
Théorème : Variance X a une variance si et seulement si X et X 2 ont une espérance.
On a alors V (X) = E [X E (X)]2 = E (X 2 ) E (X)2
4.2
Opérations
Théorème de transfert : Pour une variable X de densité f , et g une fonction continue sauf en un
nombre …nis de points.
R +1
Y = g (X) : a une espérance si
.g (t) f (t) dt est absolument convergente. On a alors
1
R +1
E (g (X)) = 1 .g (t) f (t) dt
Linéarité : Si X a une espérance et a et b réels alors alors E (aX + b) = aE (x) + b
Si X a une variance alors V (aX + b) = a2 V (X)
Exercice 8 : Pour le démontrer dans le cas où a < 0 et que la densité de X:est continue sur R:
comment déterminer la densité g de Y ? R
+1
Par un changement de variable, montrer 1 t g (t) dt converge et vaut aE (x) + b
Linéarité : Si X et Y à densité ont une espérance alors E (X + Y ) = E (X)+E (Y ) (indémontrable)
Linéarité : Si X et Y à densité ont une variance et sont indépendantes alors
V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
Centrée réduite : X est centrée si E (X) = 0; elle est réduite si V (X) = 1:
Soit X ayant une espérance et une variance non nulle alors
X E (X)
est centrée-réduite.
X = p
V (X)
Cours Variables á densité
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5
5.1
Lois usuelles
Loi uniforme
Modèle : toutes les valeurs de l’intervalle réel [a; b] sont équiprobables.
Traduction : la densité est constante f (t) = k sur tout l’intervalle et f (t) = 0 nulle en dehors.
Comment déterminer k ?
Dé…nition : Pour a < b : X suit une loi uniforme sur [a; b] notée U[a;b] si sa densité est
1
si t 2 [a; b]
b a
f (t) =
0 sinon.
Simulation : randomize; (une seule fois au début) ...
x:=random(b-a)+a;
Théorème : Si X ,! U[a;b] alors X a une espérance et E (X) =
(Hors programme : V (X) =
(b a)2
12
a+b
:
2
)
Exercice 9 : Soit Xn de loi uniforme sur X ( ) = ni = i 2 [[0; n 1]]
Déterminer la loi de X et sa fonction de répartition Fn sur X ( ) :
Soit x 2 [0; 1[ :
En notant [] la partie entière, encadrer nx entre deux entiers successifs et en déduire un encadrement de x entre deux éléments de Xn ( )
En déduire la valeur de Fn (x) puis sa limite quand n tend vers +1:
On dit que Xn converge en loi vers une loi uniforme sur [0; 1]
5.2
Loi exponentielle
Durée de vie : Soit X la durée de vie d’un appareil.
Comment traduire avec X
- il tombe en panne à l’instant t ?
- il est en panne à l’instant t:
- il fonctionne à l’instant t ?
Modèle : On dit que la durée de vie est sans mémoire si le fait d’avoir déjà fonctionné un certain
temps n’in‡ue pas sur le temps de (bon) fonctionnement ultérieur
Formalisation : X est sans mémoire si pour tout t et h
Dé…nition : Soit
e
f (t) =
0
t
0: : PX>t (X > t + h) = P (X > h)
> 0: X suit une loi exponentielle de paramètre
si t 0
si t < 0
notée " ( ) si sa densité est
A remarquer : Si X ,! " ( ) alors pour tout x 0 : P (X > x) = exp (
P (X x) = 1 e x (comment calculer cette probabilité ?)
x) et
Théorème : Si X ,! " ( ) alors X a une espérance et une variance et E (X) = 1= et V (X) = 1=
R +1
Exercice 10 : Soit In = 0 tn e t dt:
Montrer que pour tout n 2 N : tn e t=2 ! 0 et en déduire que In converge.
Exprimer In+1 en fonction de In et en déduire la valeur de In en fonction de n:
Retrouver alors l’espérance puis la variance d’une loi exponentielle.
Cours Variables á densité
2
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1
Simulation : On montre que si X ,! U[0;1] alors Y =
writeln(’paramètre ?’);readln(alpha);
randomize; (une seule fois au début) ...
x:=random;y:=-ln(x)/alpha;
ln (X) ,! " ( ) (comment le faire ?)
Théorème (Modèle) : Soit X variable à densité; alors
X suit une loi exponentielle () X est sans mémoire et P (X
0) = 1
Exercice 11 : Démontrer la partie directe.
Réciproque : On montre que P (X > h + t) = P (X > h) P (X > t) :
On considère g (t) = P (X > t) : Pourquoi g est-elle continue sur R ? Quel est son sens de
variation ? Que vaut g (t + h) ?
1) g (1) > 0 :
Que vaut g (1) si X ,! " ( ) ? Pour poser = ln [g (1)] ; on montre d’abord que g (1) 6= 0 :
n
On montre d’abord (par récurrence) que g (n x) = g (x)n donc avec x = n1 : g (1) = g n1
Et par l’absurde : si g (1) = 0 alors g n1 = 0 ! 0 quand n ! +1: et par continuité
g n1 ! g (0) = 1:
Soit alors = ln (g (1)) :
2) g pq avec p et q entiers.
Quelle devrait être alors la fonction ' (t) = g (t) exp ( t) sur R+ ?
a) pour les sommes : on a ' (+h) = ' (x) ' (h) pour tout x et h 0:
b) Pour les produits par un entier p : par récurrence, 8p 2 N : ' (px) = ' (x)p
c) Pour les quotients par un entier q : avec x =
y
q
y
q
on a ' (y) = '
q
et '
y
q
= ' (y)1=q
d) Pour les rationnels pq on a alors ' pq = ' (1)p=q = 1
3) Pour les réels
On approche les réels x 0 par des rationnels un :
x < un + n1 et jx un j < n1
[nx] nx < [nx] + 1 donc un = [nx]
n
' est continue sur R. Et comme un ! x alors 1 = ' (un ) ! ' (x) donc ' (x) = 1 pour tout
x 0
4) On revient à la fonction de répartition et à la densité :
a) Pour tout x 0 : g (x) = e x donc F (x) = P (X x) = 1 e x pour x 0 et comme la
fonction de répartition est croissante, elle est nulle sur R :
b) F est dérivable sur R donc une densité est F 0 (x) = 0 si x < 0 et F 0 (x) = e x si x 0
c) Où l’on reconnaît une loi exponentielle de paramètre :
5.3
5.3.1
Loi normale (de Laplace-Gauss)
Loi normale centrée réduite
Modèle, théorème de la limite centrée (admis) : Quelque soit la loi L (discrète ou de densité)
ayant une espérance et une variance ;
si les variables
aléatoires Xi sont de même
Pn loi L et sont indépendantes alors la somme
Pn
1
Sn = i=1 Xi ou la moyenne Mn = n i=1 Xi centrée réduite Sn (qui vaut ?) converge en loi
vers une loi normale centrée réduite (i.e. sa fonction de répartition tend vers )
Exercice 12 : Montrer que Sn = Mn
Exercice 13 : Montrer que pour tout t 1 : t t2 et en déduire que
R 1 2
En déduire que 1 e t dt converge également
Cours Variables á densité
R +1
1
e
t2 dt
converge.
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Théorème (admis) :
R +1
1
e
t2
dt =
p
:
Dé…nition : X suit une loi normale centrée réduite N (0; 1) si sa densité est ' (t) = p12 e
Densité paire et in‡exion en 1 et en 1:
Sa fonction de répartition est usuellement notée
p
R +1 2
Exercice 14 : Montrer que 1 e t =2 dt = 2 :
Rx 2
R0
R0
2
Exercice 15 : Montrer que 0 e t =2 dt = x e t =2 dt et en déduire que 1 ' (t) dt = 21 :
t2 =2
:
Théorème : fonction de répartition La fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite véri…e :
- (0) = 21
- ( x) = 1
(x) (symétrie de la courbe représentative par rapport au point de coordonnés
0; 12
Exercice 16 : Soit X ,! N (0; 1) : Calculer grâce à la table de la loi, P (X
P (X
2) ; P ( 2 X 1)
1) ; P (X
Théorème : Si X ,! N (0; 1) alors X est centrée et réduite. (traduction ?)
R +1
2
Preuve : te t =2 = o (e t ) (le prouver) donc 0 t' (t) dt converge (on peut aussi primitiver te
R0
R +1
Et par imparité 1 t' (t) dt =
t' (t) dt (comment le prouver ?)
0
R +1
donc 1 t' (t) dt = 0 et
1) ;
t2 =2
)
Conclusion : X a une espérance E (X) = 0.
RM
2
2
On intègre par parties 0 p12 t2 e t =2 dt avec u (t) = te t =2 (le t étant nécessaire comme dérivée
du
contenu) et onR trouve que
R +1
R0 2
R +1 2
+1
2
t
'
(t)
dt
=
'
(t)
dt
et
par
parité
t
'
(t)
dt
=
t ' (t) dt:
0
0
0
R +1 1
2
2
Donc X a une espérance et E (X ) = 1 ' (t) dt = 1
Conclusion : X a une variance V (X) = 1
Simulation : On peut utiliser la limite centrée.
Pn
1
Si Xi ,! U[0;1] on a E (Xi ) = 12 et V (Xi ) = 12
on a Sn =
i=1 Xi
qui converge en loi vers N (0; 1)
La valeurs de n pour avoir une bonne précision est discutable.
Ici, avec n = 10 :
randomize; (une seule fois au début) n:=10;...
S:=0;
for i:=1 to n do S:=S+random;
X:=(S-n/2)/sqrt(n/12);
5.3.2
n
2
pn
= 12
centrée réduite
Loi normale
Dé…ntion : v = 2 0 et m 2 R:
X suit une loi normale de paramètres v et m notée N (m; v) si X = X m suit une loi normale
centrée réduite.
h
i
1
t m 2
p
La densité de X est alors f (t) = 2 exp
=2 .
La courbe représentative de la densité a un maximum en m et des points d’in‡exion en m
Théorème : X ,! N (m; v) alors X a une espérance et une variance et E (X) = m et V (X) = v
Cours Variables á densité
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6
Interprétation.
Pour les lois de min (ou inf) et max (ou sup) on procède par :
(min > t) = ( tous > t) qui se formalise par ?
t) = ( tous 6 t) qui se formalise par ?
(max
Pour une durées de fonctionnement X
il faut interpréter : (ECRICOME 2001)
X
t signi…e que la machine fonctionne (encore) à l’instant t:
X < t signi…e qu’elle est en panne à l’instant t:
Le nombre de machine en panne à un instant donné suivra souvent une loi binomiale (revoir
les conditions , l’espérance et la variance)
Pour la partie entière
comme elle ne prend que des valeurs entières, elle n’est pas à densité.
On n’étudie plus la fonction de répartition mais directement la loi.
On a [X] X < [X] + 1 et ou encore ([X] = n) = (n X < n + 1)
7
7.1
Approximation
Bienaymé & Tchebichev
Théorème : si X (à densité) a une espérance m et une v variance alors P (jX
mj
")
v
"2
Preuve : on part de V (X) = E (X E (X))2 que l’on calcule par le théorème de transfert :
R +1
V (X) = 1 (t m)2 f (t) dt que l’on découpe suivant que jt mj " ou pas (résolution ?)
V (X) =
Z
Z
Là où(t
m)2
m "
(t
1
m "
(t
2
m) f (t) dt +
m)2 f (t) dt +
Z
m+"
(t
m) f (t) dt +
+1
(t
m)2 f (t) dt
m)2 f (t) dt
(t
m+"
1
"2 on a :
Z m "
(t
2
m) f (t) dt
1
Z
m "
2
" f (t) dt = "
1
et on reconnaît
dernière intégrale P (X m
R +1dans cette
2
et de même m+" (t m) f (t) dt "2 P (X m + ")
Et en remettant tout bout à bout
V (X)
Cours Variables á densité
Z
m+"
m "
+1
Z
2
"2 [P (X
"2 P (jX
2
Z
m "
f (t) dt
1
")
m + ") + P (X
mj ")
m
")])
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Utilisation : Ce théorème resservira dans l’estimation par intervalle de con…ance sous la forme
v
P (jX mj ")
"2
7.2
Valeur approchée
Loi normale : Si les Xi sont indépendantes et de même loi ayant une espérance et une variance
alors
une valeur approchée de la fonction de répartition de la somme (ou de la moyenne) centrée
réduite est donnée par :
Cas particulier : Une loi binomiale B (n; p) est somme de lois de Bernouilli B (p) indépendantes.
Donc une valeur approchée de B (n; p) est donnée par N (np; npq) avec q = 1 p
Loi de Poisson : Une valeur approchée de B (n; p) est donnée par P (np)
Loi binomiale : Une valeur approchée de H (N; n; p) est donnée par B (n; p)
Morale : H (N; n; p) ' B (n; p) ' N (np; npq)
Cours Variables á densité
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