Les courbes d`indif - prof

Collège de Genève
3EC.OS – Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
A. L’analyse de la courbe d’indifférence
Même si elle est justifiée, l’analyse de la demande du
consommateur présentée ci-dessus n’en contient pas moins
certaines failles. En traitant la décision d’achat du
consommateur comme une action isolée, nous négligeons le
fait que ce choix est imposé par le revenu limité du
consommateur. Notre analyse ne rend pas compte
explicitement des choix douloureux à faire dans toute
décision d’achat, c’est-à-dire que le consommateur doit se
priver de certains biens pour s’en procurer d’autres. Les
économistes ont mis au point deux instruments
géométriques, la courbe d’indifférence et la droite de budget.
B. La courbe d’indifférence
Les préférences d’un individu et l’équilibre peuvent être représentés au moyen de courbes
d’indifférences. Une courbe d’indifférence indique les différentes combinaisons de biens X et Y qui
apportent une satisfaction (ou utilité) égale au consommateur.
Exemple : Un consommateur C, qui ne consomme que 2 biens, à savoir un bien X et un bien Y a
comme fonction d’utilité U(x,y) = x * y. On suppose d’une part que le prix de X et de 2F et le prix de
Y est de 1F et que d’autre part le revenu de C est de 40F et qu’il est intégralement dépensé.
Courbe I = 100
Qx
Qy
0
1
100.0
2
50.0
3
33.3
4
25.0
5
20.0
6
16.7
7
14.3
8
12.5
9
11.1
10
10.0
11
9.1
12
8.3
13
7.7
14
7.1
15
6.7
16
6.3
17
5.9
18
5.6
19
5.3
20
5.0
Courbe II = 200
Qx
Qy
0
1
200.0
2
100.0
3
66.7
4
50.0
5
40.0
6
33.3
7
28.6
8
25.0
9
22.2
10
20.0
11
18.2
12
16.7
13
15.4
14
14.3
15
13.3
16
12.5
17
11.8
18
11.1
19
10.5
20
10.0
Figure 1 : Tableau de courbes d'indifférences
Courbe III = 300
Qx
Qy
0
1
300.0
2
150.0
3
100.0
4
75.0
5
60.0
6
50.0
7
42.9
8
37.5
9
33.3
10
30.0
11
27.3
12
25.0
13
23.1
14
21.4
15
20.0
16
18.8
17
17.6
18
16.7
19
15.8
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Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
I
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II
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III
45
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Quantités Y
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13 14
15
Quantités X
Figure 2 : Représentation graphique de la Figure 1
Les courbes d’indifférences ont trois caractéristiques fondamentales :

Elles ont une pente négative

Elles sont convexes par rapport à l’origine

Elles ne peuvent pas se couper
16 17
18 19
20
Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
Page 3
C. Le taux marginal de substitution
Le taux marginal de substitution de X à Y (TMSxy) indique la quantité de Y à laquelle un
consommateur est disposé à renoncer afin d’obtenir une unité additionnelle de X (tout en restant sur
la même courbe d’indifférence). Le TMS nous renseigne donc sur la préférence d’un bien à un
autre.
Qx
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Courbe I = 100
Qy
TMS(xy)
100.0
50.0
33.3
25.0
20.0
16.7
14.3
12.5
11.1
10.0
9.1
8.3
7.7
7.1
6.7
6.3
5.9
5.6
5.3
5.0
50.0
16.7
8.3
5.0
3.3
2.4
1.8
1.4
1.1
0.9
0.8
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.3
Courbe II = 200
Qx
Qy
TMS(xy)
0
1
200.0
2
100.0
100.0
3
66.7
33.3
4
50.0
16.7
5
40.0
10.0
6
33.3
6.7
7
28.6
4.8
8
25.0
3.6
9
22.2
2.8
10
20.0
2.2
11
18.2
1.8
12
16.7
1.5
13
15.4
1.3
14
14.3
1.1
15
13.3
1.0
16
12.5
0.8
17
11.8
0.7
18
11.1
0.7
19
10.5
0.6
20
10.0
0.5
Figure 3 : Taux marginal de substitution
Qx
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Courbe III = 300
Qy
TMS(xy)
300.0
150.0
100.0
75.0
60.0
50.0
42.9
37.5
33.3
30.0
27.3
25.0
23.1
21.4
20.0
18.8
17.6
16.7
15.8
15.0
150.0
50.0
25.0
15.0
10.0
7.1
5.4
4.2
3.3
2.7
2.3
1.9
1.6
1.4
1.3
1.1
1.0
0.9
0.8
Quelques exemples de préférences :
50
45
40
Quantités Y
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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Quantités X
Figure 4 : Ce consommateur préfère le bien X à Y
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Quantités Y
35
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Quantités X
Figure 5 : Ce consommateur préfère le bien Y à X
D. La contrainte de budget
La contrainte de budget indique toutes les différentes combinaisons de deux biens qu’un
consommateur peut acheter, compte tenu de son revenu et du prix des deux biens. Ici, le revenu est
égal à 10F.
50.0
45.0
40.0
Quantités Y
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Quantités X
Figure 6 : La droite de budget
12
13
14
15
16
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Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
Page 5
E. Le panier optimal
Un consommateur atteint son panier optimal quand, compte tenu de la contrainte imposée par son
revenu et le prix des biens, il tire de ses dépenses une utilité (ou satisfaction) totale maximale. En
d’autres termes, un consommateur est en équilibre, étant donné sa contrainte de budget, il atteint la
courbe d’indifférence la plus élevée possible.
I
50.0
II
III
45.0
40.0
35.0
Quantités Y
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Quantités X
Figure 7 : Le panier optimal
Observations :
12
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15
16
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Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
F.
Page 6
Trouver le panier optimal algébriquement
Droite de budget :
2x + 1y = 40
1y = 40 – 2x
y = -2x + 40 (la pente est donc de –2)
Courbe d’indifférence U = 100 : x * y = 100
y = 100 / x
Cela signifie que quelles que soient les valeurs de x et y, x*y = 100
Courbe d’indifférence U = 200 : x * y = 200
y = 200 / x
Cela signifie que quelles que soient les valeurs de x et y, x*y = 200
Courbe d’indifférence U = 300 : x * y = 300
y = 300 / x
Cela signifie que quelles que soient les valeurs de x et y, x*y = 300
En regardant la figure 7, le panier optimal est obtenu lorsque la droite de budget est égale à un point de la
courbe d’utilité la plus élevée possible, à savoir la courbe d’utilité II. Cela signifie donc que :
La tangente de la courbe d’utilité à ce point = la pente de la droite de budget
Economiquement, cette égalité indique que le consommateur consommera un ensemble de biens x et
y tel que le coût de la renonciation du bien y  ne dépasse pas le coût d’acquisition de la dernière
unité de x désirée . Au point optimum  et  sont égaux.
La tangente la courbe d’utilité est donnée par le TMS(x,y) = -Umx/Umy
Comme –Umx/Umy exprime la dérivée de U(x,y) = x * y on obtient ceci :
Umx(x,y) = y (on dérive x * y)
Umy(x,y) = x (on dérive x * y)
ce qui nous donne TMS(x,y) = -y/x
Comme la pente de la droite de budget = -2 on peut dès lors écrire notre 1ère équation :
(a) –y/x = -2
La 2ème équation sera notre droite de budget, à savoir :
(b) y = -2x + 40
Résolution pas substitution :
(a) –y/x = -2  y = 2x, que l’on substitue dans (b)
(b) 2x = -2x + 40  4x = 40  x = 10, que l’on substitue ensuite dans (a)
(a) y = 2 * 10 = 20
Donc, x = 10 et y = 20, ce qui donne bien une utilité totale de x*y = 20*10 = 200 (cqfd)
Preuve : Budget = 10 * 2F + 20 * 1F = 40F
Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
Page 7
G. Trouver le panier optimal à l’aide de l’ordinateur
Des outils bureautiques simples tels que la feuille de calcul peuvent nous aider à s’affranchir des
difficultés de la résolution mathématique.
Sous Microsoft Excel1 :
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
E
F
Résolution avec le solveur
x
0
y
0
Utilité
0
Budget
0
Remarques
x : quantité du bien x à trouver
y : quantité du bien y à trouver
Utilité : x * y = B4*A4
Budget : 2x + 1y = 2*A4+B4
Figure 8 : Excel - Construction du modèle
Le solveur est un outil qui permet de trouver une solution. En effet, il suffit de le paramétrer ainsi :
Figure 9 : Excel - Paramètres du solveur
Et les résultats obtenus :
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
E
F
Résolution avec le solveur
x
10
y
20
Utilité
200
Budget
40
Remarques
x : quantité du bien x à trouver
y : quantité du bien y à trouver
Utilité : x * y = B4*A4
Budget : 2x + 1y = 2*A4+B4
Figure 10 : Excel - Résultats obtenus
1
Curieusement, le solveur d’Open Office Calc 3.2.1 ne fonctionne pas à l’heure où ces lignes sont écrites…
Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
Page 8
Exercice n°1
Un consommateur a pour fonction d’utilité U(x,y) = x2 * y. Le prix du bien x est de 1F et le prix du
bien y est de 3F. Le revenu du consommateur est de 180F.
a.
Tracer la droite de budget.
b.
Trouver le panier optimal de ce consommateur compte tenu de son budget.
60.0
50.0
Quantités y
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0
0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Quantités x
c.
Supposons que le prix du bien x augmente d’1F. Quelle sera la nouvelle droite de budget ?
d.
Trouver le panier optimal de ce consommateur face à cette nouvelle situation.
60.0
50.0
Quantités y
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0
0
10
20
30
40
50
60
Quantités x
70
80
90
100
110
Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
Page 9
Exercice n°2
Voici un graphique qui montre 2 courbes d’utilités d’une famille pendant un mois. Cette famille
dispose de 2 biens, à savoir le revenu (noté y) et les aliments (noté x). L’utilité est donnée par
l’équation suivante :
U(x,y) = x * (y – 1500)
7 000 F
6 000 F
Revenu (y)
5 000 F
4 000 F
3 000 F
II
I
2 000 F
1 000 F
0F
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Quantité aliments (x)
L’équation de la droite de budget pour cette famille est la suivante : y = -10x + 5000
a.
Tracer en rouge la droite de budget sur le graphique ci-dessus.
b.
En analysant l’équation de la droite de budget, quel est le revenu mensuel de cette famille
?
c.
Graphiquement, quel est le point d’équilibre de cette famille ?
Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
Page 10
d.
Trouver algébriquement le point d’équilibre.
e.
Combien cette famille dépense-t-elle pour la nourriture par mois, compte tenu de son
revenu ?
Etant considéré comme un ménage à bas revenu, l’Etat souhaite aider cette famille à atteindre la
courbe d’indifférence II. Deux possibilités lui sont offertes : la première consiste à subventionner
cette famille en lui permettant d’acheter les produits alimentaires à moitié prix de ceux du marché.
f.
Tracer en vert la nouvelle droite de budget sur votre graphique.
g.
Graphiquement, combien cette subvention va-t-elle coûter à l’Etat ?
Le choix du consommateur par les courbes d’indifférences
Page 11
La deuxième possibilité consiste à augmenter le budget de cette famille de 1 425 F par mois en
versant, par exemple, des allocations.
h.
Tracer en bleu la nouvelle droite de budget issue de cette deuxième possibilité sur votre
graphique.
i.
Parmi ces deux possibilités et sans prendre en considération le coût, laquelle
choisisseriez-vous si, au nom de l’Etat, vous deviez prendre une décision d’aider cette
famille ? Justifier votre réponse.