THEORIE ELEMENTAIRE DES PROBABILITES

Variables aléatoires et distributions théoriques de probabilité
VARIABLES ALEATOIRES ET
DISTRIBUTIONS THEORIQUES DE PROBABILITE
Définitions
• Une variable aléatoire X est une variable associée à une expérience ou à un groupe
d'expériences aléatoires et servant à caractériser le résultat de cette expérience (ou de ce
groupe d'expériences).
• Une variable aléatoire discrète ou discontinue prend des valeurs entières appartenant à
un intervalle.
• Une variable aléatoire continue prend n'importe quelle valeur réelle appartenant à un
intervalle.
Rappel de statistique descritive
Objectif : décrire un échantillon càd un sous ensemble de la population
Soit un échantillon d’effectif N : E={x1,….xN} classé par ordre croissant
Fréquence d’une valeur particulière xi : ni={x∈E/x=xi} nbre d’observation = à xi
Fréquence relative de xi : n’i=ni/N proportion de l’échantillon = xi
Fréquence relative cumulée de X=xi n’’i= proportion de l’échantillon ≤ xi
∑
=
i
jin 1'
Distributions discontinues à 1 dimension
Soit une variable aléatoire discrète K pouvant prendre des valeurs entières k
comprises entre 0 et l'infini. Ces valeurs k constituent un système complet d'événements
(mutuellement exclusifs et dont l'un d'entre eux doit obligatoirement se réaliser).
Pour chaque valeur de k que peut prendre la variable aléatoire K, correspond une
probabilité P(k) = P(K=k) = Pk qui correspond à la fréquence relative quand le nombre
d'épreuve tend vers l'infini.
Donc :
1

Variables aléatoires et distributions théoriques de probabilité
1)k(P0
≤
≤ et ∑
∞
=
=
0k
1)k(P
• L'ensemble des valeurs de k et de P(k) qui y sont associées constituent la distribution de
probabilité théorique. On peut la représenter sur un diagramme en bâtons dans le cas d'une
variable aléatoire discrète.
• La relation existant entre les k et les P(k) est appelée loi de probabilité, tandis que la
distribution cumulée des probabilités donne naissance à la fonction de distribution ou
fonction de répartition :
F(k) = P(K ≤ k)
et
P(k) = F(k) – F(k-1)
Distributions continues à 1 dimension
Soit une variable aléatoire continue X pouvant prendre des valeurs réelles x comprises entre
plus ou moins l'infini :
+∞<<−∞ x
On a toujours un système complet d'événements si le nombre d'épreuve tend vers l'infini.
La notion de distribution de probabilité n'a plus de sens pour une variable continue puisque
la probabilité d'avoir exactement un résultat donné est généralement nulle bien que cet
événement ne soit pas impossible.
• On parle alors de la densité de probabilité ou de fonction de densité de probabilité:
f(x)
dx
dF
x
)x(F)xx(F
lim)x(f 0x
=
Δ
−
Δ
+
=→Δ
• Le produit f(x)dx est appelé élément de probabilité.
)dxxXx(Pdx)x(f
+
≤
<
=
• La fonction de répartition garde son sens : F(x) = P(X ≤ x)
On a donc
∫
∞−
=
x
dx)x(f)x(F
2

Variables aléatoires et distributions théoriques de probabilité
et
1dx)x(f =
∫
+∞
∞−
Distributions discontinues à 2 dimensions
Tout couple (K, M) de variables aléatoires simples constitue une variable aléatoire à deux
dimensions. Si K et M sont discontinues alors le couple (K, M) sera une variable aléatoire
discontinue.
A chaque couple de valeurs (K=k, M=m) d'une variable aléatoire discontinue à deux
dimensions correspond une probabilité : P(k, m) = P(K=k et M=m)
L'ensemble des valeurs admissibles (k,m) et des probabilités correspondantes P(k,m)
forment une distribution théorique discontinue à deux dimensions. La fonction de
répartition correspondante est définie par : F(k, m) = P(K ≤ k, M ≤m).=
∑∑
==
k
0i
m
0j
)j,i(P
On a toujours les propriétés : 1)j,i(P
0i0j
=
∑∑
∞
=
∞
=
et 0 ≤ F(k, m) ≤ 1
En sommant par rapport à une des deux variables seulement, on obtient des distributions
marginales ou probabilités marginales à une variable aléatoire :
∑
∞
=
=
0j
1)j,k(P)k(P et ∑
∞
=
=
0i
2)m,i(P)m(P
Distributions continues à 2 dimensions
Si (X, Y) est une variable aléatoire continue, la probabilité P(x, y) = P(X=x, Y=y) est
généralement nulle pour toutes valeurs de x et de y. On part donc de la fonction de
répartition théorique à deux variables aléatoires X et Y :
F(x, y) = P(X ≤ x et Y ≤ y)
On définit la fonction de densité de probabilité théorique f(x, y) :
f(x, y) = yx
)y,x(F
2
∂∂
∂
3

Variables aléatoires et distributions théoriques de probabilité
D'où
∫∫
∞−∞−
=
xy
dxdy)y,x(f)y,x(F et 1),(F
=
+
∞
+
∞
L'élément de probabilité vaut
f(x, y) = P(x < X ≤ x+dx et y < Y ≤ y+dy)
Les densités de probabilité des distributions marginales à une variable aléatoire :
∫
+∞
∞−
=dy)y,x(f)x(f 1 et ∫
+
∞
∞−
=dx)y,x(f)y(f 2
Indépendance stochastique des variables aléatoires
On dira que deux variables aléatoires discontinues sont stochastiquement indépendantes
lorsque pour tout couple de valeurs (k, m) :
P(k, m) =
)m(P )k(P 21
De même, deux variables aléatoires continues sont stochastiquement indépendantes lorsque
pour tout couple de valeurs (x, y) :
f(x, y) =
(y)f )x(f 21
Transformation de variables aléatoires
Toute fonction d'une ou plusieurs variables aléatoires est elle-même une variable
aléatoire.
Soit X une variable aléatoire continue de densité de probabilité f(x) et de fonction de
répartition F(x) = P(X ≤ x), à laquelle on applique une transformation quelconque : Y = Y(X)
Alors si Y(X) est une transformation monotone non décroissante la densité de probabilité de
Y s'écrit :
)x(f
dy
dx
)y(g =
La fonction de répartition peut s'écrire :
G[y(x)] = F(x)
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Variables aléatoires et distributions théoriques de probabilité
si la transformation est monotone décroissante, on a : )x(f
dy
dx
)y(g =
Si la transformation n'est pas monotone, il faut procéder à une étude détaillée.
Définition d'une anamorphose : C'est un changement de variable qui permet de transformer
une variable aléatoire X qui suit une loi de probabilité caractérisée par F(x) en une autre
variable aléatoire Y qui suit une distribution de loi de probabilité caractérisée par une
fonction de répartition G(y).
Exemples:
Y = X²
Y = a X + b
Somme de deux variables aléatoires
• Cas des variables discrètes
Soit la variable aléatoire K = L + M
En raison des règles de multiplicativité et d'additivité, la probabilité P(k) est la somme des
produits des probabilités et étendue à tous les couples (l, m).
)l(P1)m(P2
∑
+=
⋅=
mlk
21 )m(P)l(P)k(P
k varie sur le domaine de sommation.
[
[
Si l et m sont définis sur l'intervalle
∞
;0 alors
∑∑
∞
=
∞
=
⋅−=−⋅=
0m
21
0l
21 )m(P)mk(P)lk(P)l(P)k(P
Si l et m sont bornés alors
Le domaine de sommation est défini par 4 inégalités : si 21 lll
≤
≤
et 21 mmm
≤
≤
alors on a en plus ou
12 mklmk −≤≤− 12 lkmlk
−
≤
≤
−
On a donc
∑
−
=
−⋅= 1
1
mk
ll
21 )lk(P)l(P)k(P pour 1211 mlkml
+
≤
≤
+
5