Exercices de D04 Université Rennes 1 Feuille 1 1. ENSEMBLE

Exercices de D04
Université Rennes 1
Feuille 1
1. ENSEMBLE QUOTIENT
Exercice 1.0.1. Soient E, F deux ensembles, fune application de Edans F, et R0une
relation d’équivalence sur F. On définit la relation sur E
xRy⇐⇒ f(x)R0f(y).
a) Montrer que Rest une relation d’équivalence sur E.
b) Montrer que pour toute relation d’équivalence Rsur E, il existe un ensemble Fet une
application f:E→Ftelle que Rpuisse se définir comme ci-dessus avec R0la relation
d’égalité.
Exercice 1.0.2. Soit Rune relation d’équivalence sur E. Montrer que les affirmations
suivantes sont équivalentes :
a) Si x, y ∈E,¯x= ¯y.
b)Si x, y ∈E,x∈¯y
c) Si x, y ∈E,y∈¯x
Exercice 1.0.3. Soit E=R2−(0,0). Soit <la relation sur E:(x, y)<(x0, y0)⇐⇒ il
existe λréel tel que (x, y) = λ(x0, y0).
1) Montrer que <est une relation d’équivalence.
2) Montrer que E/<est en bijection avec les droites vectorielles du plan.
3) Si (x, y)appartient à Eon note par (x, y)sa classe dans E/<.
Montrer que quelque soit ¯αde E/<,¯α6= (1,0), il existe un unique x de Rtel que ¯α=
(x, 1).
4) Soit a, b, c, d quatre réels tels que ad −bc 6= 0.
4-1) : Montrer que si (x, y)appartient à Ealors (ax +by, cx +dy)appartient à E.
4-2) : Montrer qu’il existe un unique application g:E/< −→ E/<définie par g((x, y) =
(ax +by, cx +dy).
4-3) : Montrer que l’application gprécédente est bijective.
Exercice 1.0.4. On considére sur E(respectivement F) deux relations d’équivalence R1
(respectivement R2) . Soit p1:E→E
R1
et p2:F→F
R2
les deux projections canoniques.
Si f:E→Fest une application telle que
∀x, x0∈E xR1x0⇒p2(f(x)) = p2(f(x0))
Montrer qu’il existe une application h:E
R1
→F
R2
telle que p2◦f=h◦p1
Exercice 1.0.5. Sur R2, on considère la relation R:
(x, y)R(x0, y0)⇐⇒ ∃a, b ∈Rtel que ab 6= 0 et x=ax0, y =by0
Montrer que Rest une relation d’équivalence et décrire l’ensemble quotient.
Mêmes questions en remplaçant la condition ab 6= 0 par ab > 0
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2. GROUPE, SOUS-GROUPE, HOMOMORPHISME
Exercice 2.0.6. Les ensembles suivants sont-ils des groupes pour les lois de composition
indiquées ?
a) (Q− {0}, a ∗b=ab/2)
b) (R≥0, a ∗b=|a−b|)
c) ( {A∈Mn(R)/T r(A)∈Z},+)
d) ( {A∈GL(n, (R)/A =tA, },×)
Exercice 2.0.7. Soit Gun ensemble muni d’une loi de composition interne telle que :
a) Pour tout x, y, z de G(xy)z=x(zy).
b) Il existe ede Gtel que ex =xpour tout xde G.
c) Pour tout xde Gil existe yde Gtel que xy =e.
Montrer que Gest un groupe commutatif.
Exercice 2.0.8. Soit Gun groupe fini d’ordre pair. Montrer qu’il existe un élément x 6=e
tel que x=x−1.
Exercice 2.0.9. Soit Gun groupe tel qu’il existe un unique élément x , x 6=e, et x2=e.
Montrer que xappartient au centre de G(c’est à dire que xcommute avec tous les éléments
de G)
Exercice 2.0.10. Soit Gun groupe tel que pour tout xde G x2=e.
Montrer que Gest commutatif.
Exercice 2.0.11. Soit Gun ensemble muni d’une loi de composition interne associative
. On suppose que pour cette loi Gposséde un élément neutre e, et que pour tout x de G
il existe yet y0de Gtels que yx =e=xy0. Montrer que Gest un groupe.
Exercice 2.0.12. Soit Gun ensemble muni d’une loi de composition interne associative.
On suppose que Ga un élément neutre e, et que pour tout xde Gil existe yde Gtelque
yx =e. Montrer que Gest un groupe.
Exercice 2.0.13. Soit Gun groupe et Hun sous-ensemble de Gstable pour la loi de G.
Hest-il un sous -groupe de G? Et si on suppose que H est fini ?
Exercice 2.0.14. Soit Sune partie non vide du groupe G. On pose CG(S) = {g∈G/gx =
xg∀x∈G}.
a) Vérifier que CG(S)est un sous-groupe de G.
b) Si Z(G)est le centre de G, montrer que ∩x∈GCG(x) = Z(G).
Exercice 2.0.15. Soit Gun groupe.
a) Montrer que si pour tout xet yde Gon a (xy)−1=x−1y−1,Gest commutatif.
b) Montrer que si pour tout xet yde Gon a (xy)2=x2y2,Gest commutatif.
c) Montrer que si pour tout xet yde Gon a (xy)3=x3y3et (xy)5=x5y5,Gest
commutatif.
Exercice 2.0.16. a) Montrer que la réunion de deux sous-groupes d’un groupe Gn’est
pas en général un sous-groupe de G. (On pourra penser par exemple à des sous-groupes
de Z)
b) Montrer que la réunion de deux sous-groupes de Gest un sous-groupe si et seulement
si l’un est inclus dans l’autre.
Exercice 2.0.17. Soit G un groupe fini tel que pour tout xde G, différent de e, x26=e.
Quel est la parité de l’ordre de G ?

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Exercice 2.0.18. Soit Dle sous-ensemble de Qdéfini par {a
10n/a ∈Z, n ∈N}.
a) Prouver que Dest un sous-groupe de (Q,+).
b) Si pest un entier premier soit Qp={a
pn/a ∈Z, n ∈N}.
Prouver que Qpest un sous-groupe de (Q,+) et que l’application f:Qp→Qpdéfinie
par f(x) = px. Cette application est-elle un automorphisme du groupe(Qp,+) ?
Exercice 2.0.19. Quel est l’ordre du groupe GL(n, K) si Kest un corps fini à q éléments. ?
On pourra remarquer qu’il s’agit de calculer le nombre de bases du K-espace vectoriel
Kn.
Exercice 2.0.20. Soit Gun groupe et f:G→Gl’application définie par f(x) = x−1.
Montrer que f est un morphisme si et seulement si Gest commutatif.
Exercice 2.0.21. Soit Gun groupe et Aut(G) l’ensemble des automorphismes de G.
a) Montrer que Aut(G) est un groupe pour la loi de composition des applications.
b) Pour tout g de G, on note intgl’application définie par intg(x) = gxg−1.
Montrer que intgest un automorphisme de G, et que l’application g−→ intgest un
homomorphisme de Gdans Aut(G). Déterminer son noyau.
Exercice 2.0.22. Soit Gun groupe et Het Kdeux sous-groupes distingués de G. On
suppose que G=HK et que H∩K={e}. Montrer que Gest isomorphe à H×K.
Exercice 2.0.23. Montrer que l’application f:R−→ R∗définie par f(x) = 10xest un
isomorphisme du groupe (R,+) sur le groupe (R∗,×).
Exercice 2.0.24. Soit f:G−→ G0un morphisme de groupes.
a) Montrer que si H0est un sous-groupe de G0, f−1(H0)est un sous-groupe de Get que
ker(f)⊂f−1(H0).
b) On suppose que f est surjective.
Soit X1={sous-groupe Hde Gcontenant ker(f) }
Soit X2={sous-groupe H0de G0}.
Montrer que f∗:X1−→ X2définie par f∗(H) = f(H)est une bijection. (On pourra
expliciter f−1
∗)
c) En déduire que les sous-groupes de Z
nZsont isomorphes à Z dZoù ddivise n.
Exercice 2.0.25. Soit Gle groupe (Z
11Z)×, groupe des éléments inversibles de Z 11Zpour
la multiplication.
a) L’ensemble {¯ 1,¯ 3,¯ 4}est-il un sous-groupe de G?
b) Existe t-il un sous-groupe propre de Gcontenant {¯ 1,¯ 3,¯ 4}?
Exercice 2.0.26. Montrer qu’à isomorphime prés il n’existe qu’un seul groupe d’ordre p,
si p est premier.
Exercice 2.0.27. Soit met ndeux entiers.
a) Montrer que mZ+nZest un sous-groupe de Z.
b) Montrer que mZ+nZ=dZsi d = pgcd(m, n).
Exercice 2.0.28. Soit G un groupe. Montrer que si f:G−→ Gdéfinie par f(x) = x2
est un morphisme alors Gest commutatif.
Exercice 2.0.29. a) Montrer que K1={1 0
0 1 ,1 0 0−1,−1 0 0 1 ,−1 0 0−1}
est un sous-groupe de GL(2,R).

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b) Montrer que K2={¯ 1,¯ 3,¯ 5,¯ 7}est un sous-groupe du groupe mutiplicatif des éléments
inversibles de Z
8Z− {¯
0}.
c) Montrer que K1et K2sont isomorphes.
Exercice 2.0.30. Donner tous les sous-groupes de D4. Parmi ces sous-groupes lesquels
sont distingués ?
Exercice 2.0.31. Soit Gun groupe. Montrer que les conditions suivantes sont équiva-
lentes :
a) Gest commutatif.
b) l’application g−→ g2est un morphisme.
c) l’application g−→ g−1est un morphisme.