LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

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LESDÉTERMINANTSDEMATRICES
Sommaire
Utilité...............................................................................................................................................1
1‐ Rappel‐Définitionetcomposantesd'unematrice.................................................................1
2‐ Ledéterminantd'unematrice.................................................................................................2
3‐ Calculdudéterminantpourunematrice......................................................................2
4‐ Exercice....................................................................................................................................3
5‐ Définitiond'unmineur............................................................................................................3
6‐ Définitiond'uncofacteur.........................................................................................................4
7‐ Expansionparcofacteurs‐méthodedecalculdesdéterminants..........................................4
8‐ Calculdudéterminantpourunematrice......................................................................5
9‐ Méthodealternativepourcalculerlesdéterminants.............................................................6
10‐ Exercice................................................................................................................................7
11‐ Déterminantsdematricescarréesdedimensions4x4etplus...........................................8
Utilité
Ledéterminantseraunoutilessentielpouridentifierlespointsmaximumetminimum
oulespointsdeselled'unefonctiondeplusieursvariables.
1‐ Rappel‐Définitionetcomposantesd'unematrice
Unematriceestuntableaurectangulairedelaforme
  ⋯
  ⋯
⋮⋮⋱⋮
  ⋯
Unematriceestditededimensionlorsquecelle‐cipossèderangéeset
colonnes.Cettefaçondedécrirelatailled'unematriceestnécessaireafind'évitertoute

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confusionentredeuxmatricescontenantlemêmenombred'entrées.Parexemple,une
matricededimension34possède3rangéeset4colonnes.Celle‐ciseraitdistincte
d'unematrice43quia4rangéeset3colonnes,quoiqu'ellecompteégalement
12entrées.Unematriceestditecarréelorsqu'ellealemêmenombrederangéesetde
colonnes.
Onappelleélémentslesentréesdelamatrice,,quisontidentifiésparleurposition.
L'élémentseraitl'entréesituéàla3erangéeet2ecolonnedelamatrice.À
nouveau,cettenotationestessentielleafindedistinguerlesélémentsdelamatrice
entreeux.L'élément,distinctde,estsituéàla2erangéeet3ecolonnedela
matrice.
2‐ Ledéterminantd'unematrice
Àtoutematricecarréecorrespondunevaleurappeléeledéterminantde,quel'on
dénotepar  ouencore ||
Nouséviteronsladéfinitionformelledudéterminant(quiimpliquedesnotionsde
permutations)maisallonsplutôtnousconcentrersurlecalculcelui‐ci.
3‐ Calculdudéterminantpourunematrice
Considéronslamatricededimension22:
Ledéterminantdelamatriceestdéfinieparlarelation
det 
 –
Lerésultatestdoncobtenueneffectuantleproduitdesélémentsopposéseten
calculantladifférenceentrecesdeuxproduits…unerecetteenquelquesortequ'ilvous
faudraretenir!

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Exemple
Soitlamatrice
21
32
LedéterminantdeAestainsi
det21
32
4‐ Exercice
Calculezledéterminantdesmatrices22suivantes:
.13
52
.21
42
.41
3 2.43
12
Solutions:a)‐17b)0c)5d)11
Avantdenepouvoirévaluerledéterminantd'unematrice33(outouteautrematrice
dedimensionsupérieure),ilnousfautd'abordvoirquelquesconceptsquis'y
rattachent…
5‐ Définitiond'unmineur
214
523
873
Lemineurestledéterminantdelamatriceobtenueenéliminantla1èrerangéeet
la2ecolonnede,c'est‐à‐dire
53
83
5.33.815249
Lemineurestledéterminantdelamatriceobtenueenéliminantla2erangéeetla
2ecolonnede,c'est‐à‐dire
24
83
2.34.863226

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6‐ Définitiond'uncofacteur
Lecofacteur,,d'unematriceestdéfiniparlarelation
1
Vousconstaterezquelecofacteuretlemineuronttoujourslamêmevaleurnumérique,
àl'exceptionparfoisdeleursigne.
Considéronsànouveaulamatrice
214
523
873
Nousavonsdéjàmontréquelemineur9.Ainsi,lecofacteurcorrespondant,
,est 11.99
Ils'avèrequelemineur,,etlecofacteur,,sontdesignesdifférents.
Lemineur26.Soncofacteurcorrespondant,,est
C1M1.2626
Cettefois,lemineur,M,etlecofacteur,C,sontidentiques.
Évaluerledéterminantd'unematrice33seramaintenantpossible.Nous
procéderonsenréduisantcelui‐cienunesériededéterminants22,pourlesquelsle
calculestnettementplusfacile.Ceprocessusestappeléuneexpansionparcofacteurs.
7‐ Expansionparcofacteurs‐méthodedecalculdes
déterminants
Soitunematricecarréeetsescofacteurs.Ledéterminantestobtenuensuivant
uneexpansionparcofacteurscommesuit:
 Choisirunerangéeouunecolonnede(sipossible,ilestplusrapidedechoisirla
rangéeoulacolonnedecontenantleplusgrandnombredezéros)…
 Multiplierchacundesélémentsdelarangée(oucolonne)choisieparson
cofacteur,,correspondant…
 Fairelasommedecesrésultats.

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8‐ Calculdudéterminantpourunematrice
Pourunematrice33,celavoudraitdirequ'enchoisissantdefaireuneexpansionle
longdelapremièrerangée,ledéterminantserait
Sil'onavaitchoisidefaireuneexpansionlelongdeladeuxièmecolonne,alorsil
faudraitcalculer 
Quoiquelechoixderangéeoudecolonnepuissedifférer,lerésultatdudéterminant
seralemêmequelquesoitcechoix.Vérifionsparunexemple.
Exemple
Quelestledéterminantdelamatrice?
213
102
202
Solution
Suivonsleprocessusproposéplushaut(expansionparcofacteurs):
 Choisirunerangéeouunecolonnede…Pourl'instant,choisissonslapremière
rangée.
 Multiplierchacundesélémentsdecetterangéeparleurscofacteurs
correspondants…Lesélémentsdelapremièrerangéesonta112,a12
1,eta133quel'onmultipleaveclescofacteurscorrespondants,c'est‐à‐dire
C,CetCquisont
1102
02
10.22.00
1112
22
112226
C1M110
20
110200
Finalement,ils'agitdefairelecalcul