cw - permutations

CW - PERMUTATIONS
Définition 1 On appelle permutation de l’ensemble {1,2,...,n}toute application bijective σ
de {1,2,...,n}sur lui-même. On note Snl’ensemble de ces applications bijectives.
Muni de la composition des applications cet ensemble constitue un groupe (non commutatif si n≥3),
contenant n!éléments. On dira « produit de permutations » au lieu de composée, et on notera σ1σ2la
composée σ1◦σ2.
L’ensemble S1contient uniquement l’identité. Dans ce qui suit on supposera toujours n≥2.
Définition 2 On appelle transposition tout élément de Snéchangeant deux éléments. Une
transposition τéchangeant aet best donc définie par
τ(k) = 
bsi k=a
asi k=b
ksi k /∈ {a, b}
.
Une transposition est une bijection involutive (τ=τ−1).
On notera τa,b la transposition échangeant aet b.
L’ensemble S2est formé de Id et de τ1,2.
A toute transposition on peut associer de manière unique la paire {a, b}des éléments qu’elle échange.
Il y a donc autant de transpositions que de paires, c’est-à-dire n
2=n(n−1)/2. Nous noterons P
l’ensemble des paires.
Théorème 1 Toute permutation de {1,2,...,n}distincte de Id se décompose comme produit
d’au plus n−1transpositions, et les transpositions engendrent le groupe Sn.
Soit σune permutation donnée. Construisons par récurrence une suite τ1,...,τn−1constituée de trans-
positions ou de Id, telle que, si l’on pose σk=τk···τ1σ, on ait, pour 1≤k≤n−1,
σk(1) = 1 , . . . , σk(k) = k .
On construit tout d’abord τ1de la manière suivante :

CW 2
Si σ(1) = 1, on prend τ1= Id ; dans le cas contraire, on prend pour τ1la transposition qui échange
σ(1) et 1. On a dans les deux cas
σ1(1) = τ1σ(1) = 1 .
Supposons maintenant la suite construite jusqu’au rang k. On a donc
σk(1) = 1 , . . . , σk(k) = k .
Si σk(k+ 1) = k+ 1, posons τk+1 = Id. Alors
τk+1σk(1) = 1 , . . . , τk+1σk(k) = k , τk+1σk(k+ 1) = k+ 1 .
Si σk(k+ 1) 6=k+ 1, et si τk+1 est la transposition échangeant σk(k+ 1) et k+ 1, on a alors de nouveau
τk+1σk(1) = 1 , . . . , τk+1σk(k) = k , τk+1σk(k+ 1) = k+ 1 .
On a donc bien trouvé dans les deux cas un élément τk+1.
En particulier, si k=n−1,
σn−1(1) = 1 , . . . , σn−1(n−1) = n−1.
Mais puisque σn−1est bijective, on a nécessairement aussi σn−1(n) = n, et donc σn−1= Id. Alors
τn−1···τ1σ= Id ,
d’où l’on déduit
σ= (τn−1···τ1)−1=τ1···τn−1.
On a donc décomposé σcomme produit de n−1transpositions au plus.
Théorème 2 Si jest un nombre fixé, les n−1transpositions τi,j pour i6=jengendrent Sn.
D’après le théorème précédent, il suffit de voir que ces transpositions engendrent les autres. Le pro-
blème ne se pose que si n≥3.
Soit aet bdistincts de i, on voit facilement que
τa,jτb,j τa,j =τa,b .
En effet a−→ j−→ b−→ b
b−→ b−→ j−→ a
j−→ a−→ a−→ j
Les autres éléments sont invariants dans les trois transpositions.

CW 3
Signature d’une permutation
Si σest une permutation considérons l’ensemble Ddes couples (i, j)tels que 1≤i < j ≤net
σ(i)> σ(j).
Définition 3 La signature de la permutation σ, est le nombre ε(σ)défini par
ε(σ) = (−1)card D.
Pour les éléments de D, le signe de σ(j)−σ(i)est donc négatif, alors que pour les éléments tels que
1≤i < j ≤nqui ne sont pas dans D, il est positif. On peut donc écrire également
ε(σ) = Y
{(i,j)|1≤i<j≤n}
sign(σ(j)−σ(i)) = sign 
Y
{(i,j)|1≤i<j≤n}
(σ(j)−σ(i))
.
Enfin, en remarquant que pour une paire {i, j}, le signe de σ(j)−σ(i)
j−iest le signe de σ(j)−σ(i)si
i < j et celui de σ(i)−σ(j)si j < i, on peut encore écrire
ε(σ) = Y
{i,j}∈P
sign σ(j)−σ(i)
j−i= sign 
Y
{i,j}∈P
σ(j)−σ(i)
j−i
.
On a donc en particulier ε(Id) = 1, et pour une transposition τ, on aura ε(σ) = −1puisque l’on a
a < b et τ(a) = b > a =τ(b)pour un couple et un seul.
Théorème 3 La signature du produit de rtranspositions vaut (−1)r.
Montrons tout d’abord le résultat suivant :
Si σest une permutation et τune transposition
ε(τσ) = −ε(σ).
Posons ϕ=τσ. Si τéchange aet b, soit uet vtels que σ(u) = aet σ(v) = b. Notons également
Pi={p∈P|card(p∩ {u, v}) = i},
et évaluons le rapport ϕ(j)−ϕ(i)
j−ipour toute paire p={i, j}.
1) Si pappartient à P0, alors
ϕ(j)−ϕ(i)
j−i=σ(j)−σ(i) j−i.

CW 4
2) Si p={u, j}appartient à P1, alors
ϕ(j)−ϕ(i)
j−i=σ(j)−σ(v) j−u.
3) Si p={v, j}appartient à P1, alors
ϕ(j)−ϕ(i)
j−i=σ(j)−σ(u) j−v.
4) Si p={u, v}appartient à P2, alors
ϕ(j)−ϕ(i)
j−i=σ(u)−σ(v) v−u.
En séparant les différents cas dans l’expression de ε(ϕ), ce nombre peut s’écrire,
ε(ϕ) = sign 
Y
{i,j}∈P0
ϕ(j)−ϕ(i)
j−i
Y
{u,j}∈P1
ϕ(j)−ϕ(u)
j−u
Y
{v,j}∈P1
ϕ(j)−ϕ(v)
j−v
ϕ(v)−ϕ(u)
v−u
,
ou encore
ε(ϕ) = sign 
Y
{i,j}∈P0
σ(j)−σ(i)
j−i
Y
{u,j}∈P1
σ(j)−σ(v)
j−u
Y
{v,j}∈P1
σ(j)−σ(u)
j−v
σ(u)−σ(v)
v−u
,
Mais en regroupant les deux produits centraux
ε(ϕ) = sign 
Y
{i,j}∈P0
σ(j)−σ(i)
j−i
Y
j /∈{u,v}
σ(j)−σ(v)
j−u
σ(j)−σ(u)
j−v
σ(u)−σ(v)
v−u
,
et ceci peut encore s’écrire
ε(ϕ) = sign 
Y
{i,j}∈P0
σ(j)−σ(i)
j−i
Y
j /∈{u,v}
σ(j)−σ(u)
j−u
Y
j /∈{u,v}
σ(j)−σ(v)
j−v
σ(u)−σ(v)
v−u
.
On remarque alors que par rapport à la signature de σ, seul le dernier facteur a changé de signe. Ce
qui donne le résultat voulu.
Le théorème s’en déduit alors immédiatement par récurrence.
Théorème 4 L’application εest un morphisme du groupe Snsur le groupe {−1,1}muni du
produit usuel.

CW 5
Soit σ1et σ2deux permutations. La permutation σis’écrit comme un produit de ritranspositions.
Donc
ε(σ1) = (−1)r1et ε(σ2) = (−1)r2.
Mais alors σ1σ2est un produit de r1+r2transpositions, donc
ε(σ1σ2) = (−1)r1+r2= (−1)r1(−1)r2=ε(σ1)ε(σ2),
et εest un morphisme de groupe.
Corollaire 1 L’ensemble des permutations dont la signature vaut 1 est un sous-groupe de Sn.
De telles permutations sont dites positives et constituent l’ensemble S+
n; les autres sont dites
négatives et constituent l’ensemble S−
n. De plus, quel que soit τdans S− n, l’application qui à σ
associe τσ est une bijection de S+
nsur S− n, et donc
card(S+
n) = card(S− n) = n!
2.
La propriété annoncée est vraie pour tout morphisme εd’un groupe Gdans {−1,1}. L’ensemble ε−1(1)
est l’image réciproque du sous-groupe {1}de {−1,1}. C’est donc un sous-groupe de G. D’autre part
si ε−1(1) 6=G, et si τn’est pas dans ε−1(1), on pose Φ(σ) = τ σ. Alors,
ε(τσ) = ε(τ)ε(σ) = −ε(σ),
donc Φest une application de G+dans G−.
Si τ′est donnée dans S−
n. L’équation Φ(σ) = τ′équivaut à τσ =τ′et a pour solution unique σ=τ−1τ′.
Mais
ε(τ−1τ′) = ε(τ)−1ε(τ′) = (−1)(−1) = 1 ,
donc la solution est dans G+. Il en résulte que Φest bijective.
Orbite
Théorème 5 Soit σune permutation. La relation définie dans {1, . . . , n}par iRσjsi et seulement
si, il existe r∈Ztel que j=σr(i), est une relation d’équivalence.
Elle est bien réflexive, puisque i=σ0(i).
Si l’on a j=σr(i)on a aussi i=σ−r(j)et la relation est symétrique.