Homomorphismes d`un demi-groupe sur un demi-groupe

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
G ÉRARD L ALLEMENT
Homomorphismes d’un demi-groupe sur un demigroupe complètement 0-simple
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 17, no 2 (1963-1964), exp. no 14,
p. 1-26.
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14-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
nombres)
(Algèbre
année, 1963/64, ~ 14
et Théorie des
16
17e
mar s
1964
HOMOMORPHISMES D’UN DEMI-GROUPE
SUR UN DEMI-GROUPE
O-SIMPLE
Gérard LALLEMENT
par
~*
COMPLÈTEMENT
Introduction.
Les
avec
mal)
théorie des demi-groupes,
la détermination par SU0160KEVI de la structure du noyau (idéal bilatère minid’un demi-groupe fini (voir [2]~ Appendice A~ p. 207). A la suite des travaux
demi-groupes complètement simples
[15]’
de REES
tement
et de CLIFFORD
0-simple
DÉFINITION
(a)
idéal bilatère
D
la définition
en
adoptée
pour
un
demi-groupe complè-
est habituellement la suivante :
A.
C’est
(b)
sont apparus
un
demi-groupe
D
qui est
0-simple
(
D ~0
et
0
est le seul
propre).
possède
V f
~
au
Di
moins
un
idempotent primitif
f~=f,
e , c’est-à-dire tel que
ef=fe=f:~>e==f
ou
f = 0 .
Pour les
demi-groupes complètement-simples, les restrictions concernant le 0
dans la définition précédente disparaissent. Rappelons le théorème de Rees, déterminant la structure (module celle
groupe) d’un demi-groupe complètement 0simple .
0
THÉORÈME
B. -
complètement O-simple, si
isomorphe à un demi-groupe de matrices de Rees régulier, sur
([2],
Théorème
(les
p
e
Un demi-groupe
3.5).
est
et seulement s’il est
un groupe avec
Donc
sont les entrées de la matrice
P
sur
G
de format
A
x 1 ).
0
Outre
son
intérêt
d’un demi-groupe
particulier
question des homomorphismes
demi-groupe complètement [0]-simple, apparaît comme un cas
théorie des
en
sur un
dans l’étude des
représentations,
homomorphismes
la
suivants :r
cp
a) Cas où tp(D) est réunion de groupes :i cp(D) est
demi-groupes complètement simples ( ~ 2~ 9 Théorème 4.6).
de
e st réunion de radicaux de groupes :i
b) Cas où
O-simple
alors
alors il est
complètement 0-simple (~2~ , Théorème
un
Si (D)
2.55).
demi-treillis
est de
plus
qu’un demi-groupe complètement 0-simple vérifie une forme
affaiblie d.e la règle de simplification (§ 2) , j ’ ai été amené à représenter les
homomorphismes envisagés, à l’aide d’intersections d’équivalences principales définies par certaines familles remarquables de complexes ( § ~ et § 4). L’une de ces
par analogie avec le cas des homomorfamilles, qu r on peut qualifier de
phismes d’un demi-groupe sur un groupe, possède des propriétés qui généralisent
celles des sous-demi-groupes normaux de ~5~9 p. 255. Une caractérisation plus commode de cette famille peut être obtenue en considérant le complexe réunion des sousdemi-groupes qui la composent (§ 6). Les § 7 et S 8 sont consacrés à des applications de
générale.
Compte
2. Deux
tenu du fait
systèmes
de définition des
systèmes qui
Les deux
demi-groupes complètement O-simple .
suivent résultent d’un affaiblissement des axiomes classi-
ques de définition des groupes ; à ces propriétés affaiblies des groupes
0 .
une propriété convenable concernant la présence éventuelle du
DEFINITION 2.1. - Un idéal bilatère
I
d’un demi-groupe
D
s’ajoute
est dit premier
si
aDb ~ I => a e I
Signalons qu’il
(a)
(b)
(c)
I
est
y
a
équivalence
entre ?
premier,
idéaux de
V
(a) , (b)
1
D : M.N ~
idéaux principaux de
THEOREME 2.1. - Un demi-groupe est
vérifie les
ou
systèmes équivalents ( I)
=>
M ~
D :i
1
I,
ou
(a) (b) ~
I
complètement 0-simple si
ou
(II) :
=> a
ou
et seulement s’il
Un
est dit inversé s’il vérifie
demi-groupe
s’il vérifie
( II) ,
( II) , 2° ,
faiblement
~o .
Démonstration. - On montrera que ( I) ===> (définition A)
régulier de matrices de Rees vérifie ( II) et enfin que (II)
(I)
(a)
V
D
A. - Pour montrer que
==>
a ~ 0 ;
aeD ,
0-simplifiable
(voir [2],
DaD = D
est
lemme
9
, qu’un demi-groupe
0-simple,
2.2~) .
Soient
( I).
==~>
établit que :i
on
b
D ,
E
b ~o~
système d’éléments neutres pour a , (g , h) un système d’éléments
neutres pour b ~ ( I) z°~ . e, f , g , h sont des idempotents non nulss pour
e . Comme
aa’
e.aa’
e
g ~ 0 et a ~ 0 , d’après ( I) 1° ~
par exemple e~
il existe x E D tel que gxa. ~ 0 . En utilisant à nouveau ( I) 1°, il existe
(e , f)
un
=
=
y E D tel que
AA’ =g et A’A=h . Comme
On
=
il existe donc
a ~x
A’
tel que
gb = b = bh ,
AA’b = gb = b
soit
uav = b
avec
ef
=
ff
et
v = yhA’b .
idempotent primitif, et même que tous les idempotents non
f pour e idempotent.
sont. Soit f ~ 0 tel que f~
f ~ ef = fe
et
e
f :i donc, d’après ( I) ~°’ il existe x unique, tel que fx
D
Montrons que
nuls le
u = gx
a un
=
=
=
=
xf=f .
Or
fxf = ef = f
et
ffx = fx = e j
e=x
(b)
vérifie
Soit
( II) .
D
°
et
1 , A ; P)
En effet soit
x =
il
en
résulte
fx=x , soit
ef=fe=f=e .
un
demi-groupe régulier
(a ; i , À)
et
y =
de matrices de Rees il
(b 9 j , ~)
avec
a
et
b
p03BBk ~ 0
que
P étant
G. La matrice
dans
régulière,
on
peut
k
trouver
E
I
et
A
c
x
tels
pj ~ 0 .
et
premant z = (c ; k , x) avec c quelconque dans G, on a bien xzy -/:. 0 et
le 0 est premier. En prenant maintenant v tel que p , ~ 0 et c =
a~~ p.,
ak
~JL
vl
et en posant t
xt
est
non
un
donc
on
vérifie
(c ; k , v) ,
idempotent
nul,
que
En
p ~~
=
B
est inversé. Enfin si 1
ce
qui démontre
(c)
D
que
est faiblement
(II) -.~ ( I) . ~
Pour la
3x
En
non
posant
nuls
De
ea
=
=
=
af
0
=
.et
sans
2~’ ~1
(i2 = i) .
tel que
vérifie
peine
ay
que
et ya
sont des
idempotents
0
=
ré.su.lte, d’après (II) 3°,
aya
=
a
,
c’est-
a .
( I) ~° 9
il existe
yaya
un
ea
supposons que
y
=
af
tel que
donc
a~
~0
=
ie.i = ei = i ~ 0
et
0 .
D’après
ce
qui précède
pour
0 . On a
i.ie = ie ~ 0 ~ d’après (II) ~°’
e .
On démontre de même que
a’ a = f . L’unicité de a’
Les
propositions 1°,
dantes ; en effet :
(a)
et
propriété ( I) 2°, d’après
f .
ei = eay = ay = i ,
ie
on
xax ,
ay ~
Pour montrer
a~ 0,
=
et
e
ayay
à-dire
y
O-simplifiable.
~°,
Le
mais
(b)
Un
fj =
posant a’ = fye on vérifie que
évidemment de (II) ~° .
f . En
résulte
2° et ~° dans chacun des
demi-groupe multiplicatif
non ( 1) ~° 9
systèmes (I)
des entiers naturels
et
avec
(II)
sont
aa’
=
e ~
indépen-
0 , vérifie ( I)
1°
demi-groupe cyclique infini ~x ~ , auquel on adjoint 0, vérifie
( I) 1° et 3°, mais ncn ( I) 2°. Remarquons que les demi.-groupes sans zéro, avec un
idempotent au moins, et vérifiant (r) ~°9 sont des demi-groupes à noyau complètement
simple d’un type particulier 9
(c)
Le
( I)
vérifie
(d)
demi-groupe D ,
2° et
Soit
mais
non
D = {e , f}
la table est r
dont
( I) 1°,
avec
eDf = 0 .
car
D
xy = e.
vérifie
(II)
Z°
et 2°,
mais
non
(II) ~° 9
(e) L’exemple
de
(a)
montre que
(f) L’exemple
de
(c)
montre enfin que
Dans la
suite,
nous
(II)
1° et
(II)
3° n’entraîne pas
(II) 2° ~
2° et 3° n’entraîne pas
utiliserons essentiellement le
système
d’axiomes
(II)
(II).
1°..
A pro-
système (I), indiquons seulement qu’il permet d’effectuer une étude élémentaire des demi-groupes complètement 0-simple s, sans faire intervenir explicitement
des conditions minimales ou les équivalences de Green. Dans certaines démonstrations,
pos du
son
utilisation évite le
recours au
demi-groupe
de matrices de Rees associé à
demi-groupe complètement 0-simple. Comme conséquences évidentes
indiquons les corollaires suivants :t
COROLLAIRE 2.1. - Un demi-groupe faiblement simplifiable,
ne t à
droite (ou
à
gauche), e st un
COROLLAIRE 2.2. e st
ce
est
vérifiable
Le tableau suivant
à
quelques
avec un
Un demi-groupe périodique (en particulier
équivalent, ax
sur la table).
=
bx
indique
la
et
système (II),
seul idempotent
groupe.
complètement simple, si et seulement s’il e st faiblement
qui
du
un
xa
=
xb
a =
b , propriété
facilement
simplifiabilité faible, par rapport
règle de simplification (R. So) 1
position de
autres formes affaiblies de la
=f>
demi-groupe fini)
simplifiable ( ou bien y
un
la
14-06
bilatère
R. S.
S, à droite
R. S, à
/
2
a
=
~
(complètement intègre
Simplifiabili té
Ô~
gauche)
à
Réductivité à
(xa = xb ,
gauche
~x
~ a
x
=
ax=
et
bx
l’exposé
= x
droite)
a
=>
=
y,
Reductivité à droite
.
(ax = bx,
~x
~
a = b)
Réductivité faible
ya = yb , ~ x , y
homomorphismes.
3. Familles de c omplexe s définissant des
Dans la suite de
x
~y2
=b)
intègre
xa
(complètement . intègre à droite)
°t’
=::i>
=
B.
a
Séparativité
(xy
~-
faible
nous
utiliserons les
et H
équivalences
de
Green.
=> D1 a = Dl
aSb
a R b =>
b ;
aD1 = bD1 ; H
(voir [2], 2.1.).
=RnE
demi-groupe , ayant une image homomorphe complètement 0-simple D= (p(D)
L’équivalence H de Green, définie sur D , le décompose en H-classes ; certaines
Soit
D
un
d’entre elles sont des sous-groupes : elles sont appelées
les autres, dans lesquelles le produit de 2 éléments est
classes-zéro
"
[14]. Dans D ,
classes-groupes. L’image
d’une famille de
dans
D
des
de
L’objet
ce
considérons
Une telle famille
H-classes-groupes
qui
de
non
demi-groupe quelconque,
un
vides.
(resp.
à
et enfin
Désignons
gauche)
D"
par
définie
appelée
D ,
est la réunion
représentative
représentative".
"famille
l’homomorphisme 03C6
K..
dé-
est entièrement
représentative.
soit
K
une
famille de
complexes
K,
l’équivalence principale [3]
P..
par
sera
brièvement "famille
ou
suit est de montrer que
terminé par la donnée d’une famille
Dans
de
saturée de cet ensemble, dans
inverse
complexes.
système
un
H-classes-groupes " ;
"
0 , seront dites Kreprésentants des ?"
Posons :
(i
~
I)
à droite
.
1
,
,
THÉORÈME 3.1 . - Si
zs£
03C6
demi-groupe complètement.
famille représentative dans D des H-classesD
homomorphisme de
un
sw
D , et si X est une
groupes de D , l’équivalence d’homomorphisme coïncide
O-simple
Avant de démontrer
LEMME 3. 1 . - Si
alors
R c
Q (x
théorème
ce
est
if
une
famille de complexes saturés pour
e
K. ° , b . En définitive:
a
i
3.2. - Soit
k
g# ensemble de
H
complètement
t ) dans H ,
O-simple
D j
P(X)
a
tel que
l’équation
a/ 0,
il existe
l’ implication
K.. ° b , et de même
i
=
b .
représentants
pour
Ii.. Pour
1
i
demi-groupe
R ,
et que
g bx
ax
comme
OE x ,
0
=
congruence
une
).
Ki
a
P(x) .
avec
établirons 2 lemmes :
nous
Démonstration. - Supposons: a A ’v . Si ax e
Donc aoe e K.
K est saturé pour Ôl , bx e K..
1
1
1
li..
°
réciproque, même démonstration. V 1 e I ,
K.i ° ,
un
tout
ax
a
=
H-classes-groupes d’un
des
non
nul dans
k
ya
il existe
D ,
1)
=
ait
au
moins
solution.
une
Démonstration. - Pour
Soit
tion
le
k
ax =
(resp.
k
ya
a’
et
e , a , f
tels que
représentant de la z-classe de e (resp. f ) 9 l’équa= ~ ) a pour solution x a’ k (resp, y ~E a’ ) .
=
=
Remarques:
(a).
Si
(b).
S’il existe
a
=
0~
d k
E H 9
x ~ y
ax
=
tels que
a
=
n’a pas de solution
k
ax
=
k ,
ya
= ~ 9
bx
ya
=
k ,
=
~~ ) 9
yb = t , alors
(Système II).
b
Démonstration du théorème 3.1. - Soient 03C6 un homomorphisme de D sur D et
X une famille représentative dans D . D’après le lemme ~.19 il suffit de démontrer
( ~ est l’équivalence d’ homomorphisme) . Supposons donc que
ç ~.
que
~
b.
a = 0 : ~ i ~ I ? K. . a
K .. a = / , donc K .. ° b = jlÉ ,
-
Si
-
Si a ~ 0
t
tels que
03C6
respectivement
n
d’après
ya
=
le lemme
= Ø (remarque (a)
K . ’ , b = / , et
3.2,
t . Soient
K
k
ax E
et t :
il existe
L
et
K
les
et
x
et
suivant le lemme
b
=
k
3.2)
et
0 .
tels que
complexes
ya ~ L , en prenant
k , y
ayant pour images
x
ax
et
=
y
et
par
tels que
et
=x
~ T.
et
=
D’après l’hypothèse, bx =K et yb EL,
remarque (b) suivant le lemme 3.2 résulte
=y .
De la
a
d’où
bx
=k
b .
=
(deuil-groupe complètement 0-simple avec
on retrouve le fait que l’équivalence d’homomorphisme
un seul idempotent non
est définie par l’une quelconque de ses classes, autre que la classe du zéro ([5] V,
B). Le résultat énoncé dans le théorème 3.1 a déjà été .obtenu par PRESTON [13] dans
Dans le
le
cas
où D
particulier,
des idempotents
cas
ses
est
un
avec
groupe
où la famille K
non
0
est formée des
sous-demi-groupes images
inver-
D .
nuls de
Le théorème suivant établit les relations existant entre diverses familles
repré-
sentatives.
et K’
THEOREME 3.2. - Si K
H-classes-groupes de
Di
(S .’ a) n’; (8 B a) ;
tents
K=
non
unique.
représentatif
Il existe
a
ments de il;’
et
( ~ I I; 3~
b
dans
si
x=k
x E
et
Le 2° du théorème est
Ce théorème met
précisé
b eD :
S
d’autre
en
par la suite.
part,
D
b,
(K’
.*
a)
n
3
a
e
tels que
D
k . Soit
K’
le
complexe
Si
a
et
de la famille
kô
tels que
V
et
unique ,
V k E K
~~~~ _
et
~classe de
de la
d’image a
Réciproquement
d’où
et
a
nuls de
Démonstration. - Soient K E ~
~’
des
est la famille des sous-demi-groupes images inverses des idempo-
K’ ==ë
2° Si
D
D :
SK’ 6K’
VK
1P
représentatives dans
deux familles
sont
ak ~ K’
et
kb ~
b
K’ ,
sont des élédonc
(~~’ ’ . b) ,
x
spécialisation du 1°.
évidence le rôle "normal" joué
une
par la famille S :
ce
r8le
3cra
simplifiables
4. E uivalences faiblement
Soit ~
une
1
DEFINITION 4.1. - K
C’est le
cas
par
~i
E
1
I~
non
de la
de la famille S .
vides.
,
est régulière.
famille % formée d’um seul complexe symétrique
une famille régulière
est
exemple
caractérisation
~.
complexes
famille de
et
P(K)
si
[3].
r
DEFINITION 4.2. - K
un
pour
couple
i , j
est
au
famille forte si
une
moins, implique
de la famille K
DEFINITION 4.3. - Le résidu à droite
On
si
a
net à droite dans
D ,
on
H =
gauche
la famille est dite
W ==
K.. Si
WK = 03C6 ,
KW
et
est l’ensemble :
c’ e st.-à-dlre si H
e sz
est nette à droite.
dira que la famille K
On définit de même le résidu à
Si
b.
a
une
famille nette à
équirésiduelle, et
nette si
gauche.
W - W’X =
faiblement simplifiable si
ax R bx et ya R yb
entraîne a R b . Les deux théorèmes suivants permettent de
caractériser les congruences faiblement simplifiables. Ils généralisent dans une
certaine mesure les théorèmes de [ 17] , chapitre III, qui caractérisent les équivalences simplifiables. Comme les démonstrations sont très voisines, nous ne donneUne équivalence
R
sur un
D
est dite
que les énencés.
rons
THÉORÈME
4.1. - Si la famille
faiblement simplifiable.
o
non
demi-groupe
K
est forte et nette,
et toutes le s classes sont les
l’équivalence
complexes
P(K)
.‘
est
a) n (K . . b)
vides.
,
,
’
THEOREME 4.2. -
Si
R
est
une congruence
faiblement simplifiable. toute famille
R-classes est forte. Pour toute famille ~
de
de
R-classes qui est
nette ~
faiblement-simplifiables coïncil’aide de familles K , régulières, for-
Ces deux théorèmes montrent que les congruences
dent
avec
définies à
les congruences
tes et nettes.
On
R
peut
se
telles que
proposer d’étendre
D/R
soit
un
ces
résultats à la caractérisation des congruences
demi-groupe faiblement 0-simplifiable.
Pour cela
est
nous
Pour de telles
THÉORÈME
est
W
W-simplifiablesi
est faiblement
{ ax R bx ,
ya RR yb ,
ya
on
classes
établit facilement 2 autres théorèmes1
est forte
équirésiduelle.
équivalence faiblement W-simplifiable,
Si
R-classes
ne
et
4.1~. - Si la famille K
une
contenant
no
R
est
a R b .
aRb.
=:>
équivalences,
THEOREME 4,2’. mille de
et
ax
sontles complexes (Ki
W
R
R-classe . et si :
une
de
qu’une équivalence
dirons
a)
b)
°.
ni
une con ruence
de
résidu W , alors
et toutes les classes distintes
non
vides.
faiblement
W-simplifiable,
toute fa-
contenant pas W est forte. Pour toute famille K
éQ11irésiduelle. de résidu I.J ,
pas
s’ il
en
R-
de
existe,
R - P ~~) .
La restriction "s’il
en
dans le théorème
existe" n’a pas lieu
que la famille de toutes les
4.2, puis-
R-classes est nette.
Ici, elle peut se lever de la manière suivante : S’il existe une famille de complexes ne contenant pas W ~ équirésiduelle, de résidu W , alors W est le résidu d’un complexe équirésiduel H
disjoint de W . Réciproquement, si W est le résidu d’un tel complexe H, alors
la famille des R-classes des éléments de H ne ccntient pas W , est équirésiduelle
et a pour résidu W . Or une condition nécessaire et suffisante pour que vJ soit
résidu d’uncomplexe H éauirésiduel. disjoint de Vr , e st ue W soit un idéal
fortement large ([8J, déf , 1.2 du chapitre I) c’est-à-dire tel que
aD ~ W
=>
aE W
et
DaçW
===>
aEW .
effet, on vérifie facilement que si W est fortement large, il
W ; réciproquement, si W est résidu de H : W =
H W avec
En
D -
=
alors
W est aussi résidu de
séquence
des théorèmes 4.1’ et
COROLLAIRE 4.1. - Soit
ce s
W
un
4.2’,
W ,
on a
général
donc il est fortement
n
H=~,
con-
donc :
avec
les congruences
K , régulières, f orte s équirésiduelles
famille K
W
large. Comme
idéal bilatère fortement large de
faiblement W-simplifiables coïncident
de s familles decomplexes
En
K = D -
résidu de
est
D . Les congruen-
définies
de résidu
par
W .
complexes n’est pas nécessairement une famille de
classes modulo P~~) . Mais cela se produit pour certaines familles de sous-demigroupes.
une
de
1
X 9 ’~ ~
k’
E
D x
THEOREME 4.3. - Si §
unitaires, chaque
d’un demi-groupe est dit faiblement unitaire,
K
DEFINITION 4.4. - Un complexe
e st
S.
e st
et
s’
famille forte de sous-demi-groupes
une
P(ë) .
modulo
classe
une
faiblement
S.
Démonstration :
Soient
a.
s
E S.;
.
s ~
(Si . s) ~ (Si .
la famille est forte:
comme
s ~ S.
SES.
b. Soient
et
s
x
étant faiblement unitaire
S.
s2
ss’ , s ’ s ,
°
s’)
tels que
aue
S.1,
x E
donc
s’) ,
(Si . s) ~ (Si .
et s ~
P(S) s’ ,
S. ;
sont dans
x:
sP(ë)
P(S)
donc
sx ~ Si
S ,, ccar
ar
saturé modula P(ë) .
est
S.
eett
xs
x
s
x :
s
modulo
est indivisible
S,
donc
sx E
P(ë) .
2
s
eS..
qu’on pourrait obtenir un théorème analogue portant sur une famille de
complexes qui ne sont plus nécessairement des sous-demi-groupes, mais qui vérifie
une propriété de type "parf ait" ( L 5~ , p. 242). Vu la complication, et compte tenu
du théorème 3.2, je me suis borné aux familles de sous-demi-groupes.
Notons
COROLLAIRE 4.2. -
Si S
est
famille
une
régulière. fortE équirésiduelle
D/P(S)
résidu premier, de sous-demi-groupes faiblement unitaires,
est
un
et de
demi-
groupe complètement
Démonstration ~i Dans
les
images des
S..E ~
sont des
idempotents (Théo-
D/P(~) est inversé,
et enfin il est faiblement. 0-simplifiable (Théorème 4 .1 ’ ) . D/P(§) est donc complètement 0-simple (système (II)).
rème
~.,~),
et
l’image
du résidu est le zéro
qui
(réciproque du précédent). D, telle que D/R soitcomplètement
COROLLAIRE 4.3
groupe
associée à la famille §
quivalence
inverses des idempotents
équirésiduelle
non
nuls de
D/R .
est
Si
R
premier.
est
une
congruence
0-simple, alors
R
coïncide
des sous-demi-groupes
La famille g
est
de résidu premier. Chaque sous-demi-groupe de S
sur un
de
D ,
demi-
avec
l’é-
ima es
régulière, forte,
est faiblement
unitaire.
D’après
deux dernières
correspondance biunivoque entre
demi-groupe D et les familles
de souséquirésiduelles de résidu premier
propositions, il
les images homomorphes complètement 0-simples
régulières
ces
(L1) ,
fortes
(T’~ ) ,
y
a
(L ) 9
(L ) .
demi-groupes faiblement unitaires
5.
d’un demi-groupe.
Décompositions W-matricielles
évidence pour des familles de sous-demi-groupes
ne sont pas d’un usage commode. La vérifiaation des propriétés
pour des familles formées de plus d’un sous-demi-groupe, est en général difficile.
La propriété
par c on tre, porte sur la réunion K des sous-demi-groupes de
Ces
propriétés (L) ,
mises
en
( L ) ~ (L2) , (L~)
(L)9
alors amené
remplacer toutes les propriétés (L) par des propriétés
portant sur K 9 d’autant plus qu’on vérifie immédiatement la réflectivité de K
(V a , b e Ds ab E K => ba E K) . La correspondance entre le complexe K et la
famille § s’effectue grâce à une décomposition du demi-groupe D, que nous met~ . On est
tons maintenant
DEFINITION
en
à
évidence.
0-bande re c tangulaire
5.1. - On appelle
un
B
demi-groupe
avec
0
tel que
1°
V a , b~D~
2°
b e D :
Pour
axax
aba =a
a~0 et b~0
dans
=
dans B
ax .
B
,tel
que
0 .
ou
il existe
B,
bxzyb ~
=
tel que
x
est donc inversé. Si
axzya
ax =
0 ~ donc
complètement 0-simple.
a(axa)a ~ 0 ~ ° d’après 1~~ a2
idempotents
ou
trices de Rees
[ 2y ~~
p.
de carré
sur
le groupe
106, appliqué
trices de Rees
nul,
sur
au cas
GO
près,
avec
est
zéro
où
=
0
b ,
et ya
et
a2 ~ 0 ~
.
=
B
yb ~ 0 ,
un
il existe
est faiblement
il existe
x
Tous les éléments de
isomorphe à
et
axa = a
.z
0-simplifia-
tel que
B
sont donc
demi-groupe régulier
de
ma-
~e 9 0~ . D’après le corollaire 3.-!-2~ de
{e , 0 ~’ deux demi-groupes réguliers de ma-
isomorphes si et seulement si leurs matrices se
permutation des lignes entre elles ou des colonnes entre
considérerons que B est caractérisé à un isomorphisme
sont
sent l’une de l’autre par
elles. Dans la suite
B
et
a
a
=
donc
bx ~
Si
ble : il est donc
a2 xa2 =
axb -/; 0 6
=>
nous
matrice médiane
P. On
vérifie,
peine, que toute image homomorphe propre d’une 0-bande rectangulaire de matrice P, est une 0-bande rectangulaire de matrice F déduite de P par identification de lignes identiques entre
elles, ou de colonnes identiques entre elles. Une 0-bande rectangulaire, dont la
matrice est à lignes et à colonnes toutes distinctes entre elles, est dite irréductibleo Ses seuls homomorphismes sont les isomorphismes et l’homomorphisme trivial
(voir [ 9~’, Chap. VII, § 4.25).
Si
par
un
sa
demi-groupe
D
quelconque
a
pour
sans
image homomorphe
une
0-bande rectangulaire
B , l’équivalence d’homomorphisme E définit sur D une décomposition en classes.
L’une d’elles, correspondant au 0 de B , est un idéal bilatère premier W .
W
DEFINITION 5.2. - Soit
~ ~
une
classe
module ~
aba ~ W
V a ,
2°
est
soit
D . Toute
idéal bilatère premier d’un demi-groupe
telle que
Jtt
congruence
un
(modulo Y’L)
=>
est dite,
appelée congruence W-matricielle. et la décomposition correspondante
W-matricielle.
de telles congruences.
Le théorème suivant donne des conditions d’existence
THEOREME 5.1. - Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un demi-groupe ad-
mette une décomposition W-matricielle est
vérifie la condi-
M
l’idéal premier
que
tion :
(C)
abc eW
ab ~ W
===>
Démonstration ~t On vérifie que dans
ralement dans
un
0-bande
une
demi-groupe complètement
bc eW .
ou
rectangulaire (et même plus géné-
0-simple),
abc
=
0
=~>
ab
=
0
ou
d’où la condition nécessaire. Pour démontrer que la condition est suffisante,
sidérons la relation ~
- ~~
est
b
une
et si
-
W est
- ~
est
acxac
E
donc
W ,
alors
acxa
D :
?H b
a
E
W
E
==>
bcxb E W
une
classe
une
congruence
modulo m ,
ac
et bcxbc
~, bc
E
W ;
par
ac
exemple : si
E W
ce qui est
démontre de même :
on
car
axaba eW
implications réciproques
con-
..
W-matricielle : supposons que
===>
=
si et seulement si
régularité à droite
W ; sinon d’après ~C’ ~ ,
acxa
jf~ .~ d’où :
==:>
abaxaba ~ W
Les
sur
congruence $ pour montrer la
contradictoire ;
bcxbc E W
suivante
bc
ont lieu
===>
aussi,
axa
W :i
(propriété (c)).
eW
donc
aba ~
aba
Remarques :i
1° m
il
a
laire
W
=
PH
=
comme
=
HP ,
où
résidu.
H =
H
x
e
D :
°
est aussi saturé
l’équivalence principale
W} .
modulo
Ce
complexe
Dans la
H
est
réflectif ;
0-bande rectangu-
définie par l’ensemble des idempotents
0
non
l’égalité :
nuls est
°
W-matricielle. Si
congruence
groupe de Brandt et
5.3. - Une
1° R
est
régulière à gauche ;
2°
W
est
une
3~
V x , y
On définit
toujours
sera
DEFINITION
demi-
W
symétriquement
W
R
si1
W-zéro à gauche
est dite
*
modulo R ;
D,
vient du fait que si
(C ) .
idéal premier vérifiant la condition
un
équivalence
classe
E
un
ci-dessous).
théorème 5 .2 ,
PW ~ jP (voir
=
W
suite ,
est aussi
réciproquement.
2° On vérifie que
Dans la
[5], D/PH
D
est fort dans
H
est la moins fine
irréductible,
est
d onc
*
=>
(mod
~. x
xy
= i~ ~ (R
(la terminologie
à droite
équivalence L , W-séro
une
est
est telle que
un
demi-groupe zéro à
gauche [2]).
THEOREME
à
valence
toutecongruence
droite, est une congruence
W-matricielle peut s’ écrire
avec
unicité ,
D émonstration ~i La
proque , soit m
a Rb
une
a
et
b
Pour montrer
Si
a
or
axb R
et
axb ~,’
as
b
l’unicité,
sont dans
b
a
et
et
b
par
et
n E = ~ .
supposons
que R
b ,
donc
l’équivalence R
n E = ~~,’
n
ou
bien
et
module
Supposons
x
tel que
axb ~,’
b ,
se
dé-
que a (R b .
axb i- ~d !
et
comme
et
~’ ,
on
obtient ?
=
?’ ~ Même démons-
E’ .
al ’ a2 ’ ... , a n E D
indique que les ensembles
a,
b
de Green. E
~’ ~
axb m b . Ceci entraîne
L’équivalence principale à gauche W P est la moins
si et seulement sis
gauche. Posons a = b (mod
-
et
a
~,’ b .
pour E
signei
0-bande rectangu-
une
a’ b . Sinon il existe
échangeant ?
bien 3
est
étant les classes de
dans
alors
axb E
a
tration
a
analogue
D/~
de la manière suivante :
D
dans
équivalents
finit d’vne manière
W-matricielle.
congruence
si et seulement si
on a :
ou
intersection de
est d’u.ne vérification facile. Pour la réci-
première partie
laire. On définit R
-
comme
équivalences du type précédent.
deux
On
W-zéro à gauche. et
W-matricielle. et réciproguement,
5.2. - L’ intersection d’ une équivalence
avec
se
aD -
coupent) ;
fine
D -
W1l
équivalence
W-zéro à
...1 an D - wl bD - W
(le
~
~
THEOREME 5.3. -
Sur un demi-groupe quelconque, l’équivalence : WP ~ W03A3 = W03A6 .
à gauche.
équivalence W-zéro
la plus fine
-
ou
bien
a
et
b
-
ou
bien
a
et
b ~W;
xb ~ W ,
est
..~
xaD
régulière
ab ~ W :
Si
si
ce
W ,
e
xa
D -
V
a
x
xb
xa
e
W xbD
et
W,
V
- W . Donc
x
D ,
e
xa
W ,
xb , et
(W03A6)
classe
une
coïncide
avec
donc
module
c
est donc la
traité dans
[12].
complètement
applications envisagées
D
est
cela résulte du fait
a .
R .
plus
W-matricielle.
fine congruence
Il est à remarquer
W-matricielles
et
(W03A6)
dans
ce
cas,
l’équivalence réversible généralisée [4].
6.Aplicationdesdécompsitons
m’,
ab
W-zéro à gauche :
équivalence
une
=
Dans
Si
réciproquement.
B a , et
=
Les
(W03A6) b :
(W03A6) xb ;
c
congruence B(W)
W
cas
~ a été
= W03A3
cas,
classe. Si
à gauche.
La
Le
dans
comme
-WJ...jxa
D
W B
Enfin soit R
W
e W ;
-WJxa.
W
admet
Démonstration :
est
sont
aux
homomorphismes
d ’un demi-
0-simple.
possibles grâce à la remarque suivante
complètement O-simple, l’équivalence H
s
de Green est ré-
l’image homomorphe maximale O-bande rectangulaire
que dans un tel demi-groupe :
de
D ;
~
~
~
l’équivalence 0 ~ du § 5 coïncide avec l’équivalence de Green, et
coïncide avec l’équivalence H. Donc si un demi-groupe D ,
quelconque, a une image
homomorphe D = c~;T) complètement 0-simple, il admet me décomposition W-natricielle
pour un certain idéal W
(caractérisé par le théorème 5.1).
Donc
On
peut décrire grossièrement
semble s d
Un
compl.exe
I
e st
la structure de
D
en
disant
qu’il
existe des
tels que
un
sous-demi-groupe
ou
bien
C2i03BB
c
W o De
plus,
en-
théorème 5.3 indique même que, pour un idéal donné W , dans un demi-groupe D,
il existe un ou des demi-groupes complètement 0-simples images homomorphes dont la
Le
matrice est de format maximum
Dans le théorème
suivant, figure
demi-groupes vérifiant
K
et
D~~ (~t~~ ~ .
de
une
les conditions
caractérisation d’une famille §
(L)
du
§
4
portant
W-matricielle liée à
décomposition
sur une
(format
THEOREME 6.1. - Une famille S
si et seulement si leur réunion
sur
le
de
sous-
complexe réunion
K .
de sous-demi-groupes vérifie les conditions
L
vérifie les 3 conditions suivantes ~i
K
(~-) K est réflectif de résidu premier vérifiant (C) ;
(2) Il existe une équivalence R , W-zéro à gauche telle que. pour tout R 9
R ~ W , classe de R : K n R est un sous-demi-groupe unitaire à droite.
W-zéro à droite telle que , pour tout L ,
(3) Il existe une
L ~ W , classe de : K n L est un.sous-demi-groupe unitaire à gauche.
D émonstration :
(a)
(L)
Une famille de
sous-demi-groupes vérifiant
de D sur un demi-groupe complètement 0-simple
l’ensemble des idempotents non nuls, E de D .
définit
D .
K
E
est
est
réflectif,
décomposition de D en H-classes de Green se remonte
décomposition W-matricielle m = (R n E (théorème 5.2).
La
Soit
R
une
images
x
et
R-classe distincte de
y
l’équivalence
Si
et
et
R
n
x
K
et
R
( L~
aussi.
pour définir
D
une
leurs
D équivalents
modulo
et xy E R n K .
équivalents
par
l’équivalence
R
résulte ’~
en
de Greens
x E
R
n
K
est unitaire à droite.
Soit
K
un
complexe vérifiant
celasse distincte de
une
D’après (2)
et
W ~
(~~~
et
R
n
toutes les
sous-demi-groupes
est
K
donc
et
Il
sont
xy
est distincte de
des
en
et
(b) Réciproquement :
Soit
xeRnK
et sont des éléments de
E
de Green. Donc
xy E R n K
comme
sont dans
W . Si
homomorphisme cp
saturé, et a pour image
un
L
est
W
et
une
x E
n
(L~.
~..classes par
un
ensemble
1,
les
~3,~
de l’énoncé.
£-classe de
n
rencontrent
évident).
On indexe les
R . La
~classe
m-classes, qui
faiblement unitaires
K
( ~ ~ , (~~
Il reste à
E) qui
K,
le
L,
x ~
rencontre
coupent
K .
suivant
vérifier L
E-classes par
un
ensemble
A.
R
Les
£
n
1
LX
sont notés
Ci03BB
n
K
=
i /B,
Si03BB
i
bien
ou
Ci03BB
J-
K
n
=
J6 .
On pose
(Si~) .
*
Li>
Soit
(K
K
é
axe
a
P*>
est
résulte que
en
b . Si
cax G
réflectif),
,
Il
et
G iX
. ,
~
CbX
En intervertissant
é
et même
Si03BB .
On
a
é
plus précisément
x G
G
a
axe
Donc bxc
e
e
donc
b ~
et
a
c
On démontrerait de même que
de la famille § .
régularité
d’où la
~L ~ Supposons qu’il existe x ,
et
bx
az
S~ .’
Ro 1 $
b . Démonstrations
à
bxaze
donc
est unitaire à
K n L
a =
quotients
K n
sont dans
xa ~ K ~ L . Or
les
i , j , ~, , ~,
tels que
ax
et
bx
gauche. La famille S
K 9
gauche
xazbe K n L
on a
-
s
analogues
pour l’inclusion
inverse,
et pour
est d onc forte.
complexe K vérifiant (l) (W~ =
une matrice, extraite de la matrice de
un
Le théorème suivant donne
une
W)
(2)
et
(~~ .
plus précise
du
complexe
liée à
caractérisation
un
peu
K
par
qu’il permet de remplacer (R et E qui interviennent dans
6.1, respectivement par W03A6 et 03A6W (Théorème 5.3).
THEOREME 6.2. - Pour
y
un
a équivalence entre
(2’)
Toute classe de
complexe K, réflectif ¢
les conditions (2) et (3)
W03A6 ,
distincte, de
com-
.
en ce sens
il
Si ,
et
D’après ce théorème, les homomorphismes d’un demi-groupe sur un demi-groupe
plètement 0-simple correspondent biunivoquement aux couples formés par :
-
e
Si
et
ya
y ,
le théorème
résidu premier vérifiant
du théorème 6.1 et
de
K
coupe
K
(C) ,
suivant un sous-demi-groupe
unitaire à droite.
(3’)
Toute classe
unitaire à gauche.
distincte de
W ,
coupe
K
suivant
un
sous-demi-groupe
(2’)
équivalence
Démonstration :
?’
est
R’
à ~ . Soit
x
E
(2)
Pour établir que
(2) .
=>
(2’ ) ,
on
montrera que si
1-zéro à gauche, telle que ~’ ~ ~ ~ les classes de ~t ,
vérifient les mêmes propriétés que les classes de ? relativement
une
autres que
pour
==>
il existe
R’ ,
~’
classe de
une
un
tel que
y
W.
distincte de
E
xy
K ~
et
n’est pas vide :
R’ est W-zéro à gau-
R’ n.K
comme
che :
Si
x
et
y E R’
donc
xy E R n K:
aussi
un
Si
n, K,
y eR n K
et
x
xy f. W ,
pour
qui entraîne
ce
une
certaine classe
x , soit
x~T
E
xy
R’
R
n
de
K
(R;
qui
est
sous-demi-groupe.
xy eR’ n K
et
y E hl
n: K ,
comme
précédemment :i
donc xeR’nK
x e R
est unitaire à droite.
qui
La démonstration
est consistant à
les
complexes
D’après
ce
utilise,
gauche, et
minimaux pour
théorème,
K
la
fait,
en
R u W
ces
est
propriété
suivante de
R
(ou R’ ) s
idéal à droite. Les classes de
un
W~
R
sont
propriétés.
apparaît
comme
la réunion d’une famille §
de sous-demi-
qui sont les traces sur K des classes de a(W) . Si D/~ désigne le
demi-groupe complètement-O-simple homomorphe à D, défini par £ , D/S est donc
l’image homomorphe maximale complètement 0-simple définie à l’aide du complexe K.
groupes,
La détermination des congruences
sur
D/~
achève la résolution du
détermination de toutes les images homomorphes de
7.
Congruences
sur
les
définies à l’aide de
de la
K .
demi-groupe s complètement O-simples.
Le treillis des congruences
sur un
GLUSKIN [6] et [9] (chap. VII,
par
D
problème
p.
demi-groupe complètement* 0-simple
388-389),
MUNN
[2],
PRESTON
[13]
a
et
été étudié
[14].
Je
la détermination des
complexes K et des décompositions 0-matricielles liées à ~ , en application de ce qui précède. Comme dans
[14J, nous considérerons un demi-groupe complètement 0-simple D donné sous la forme
d’un demi-groupe régulier de matrices de
1 ~ A , P) ; les ~-classes
me
bornerai dans
ce
de Green autres que
Pour tout
G ,
de la
paragraphe à
0
seront notées
complexe K de D ,
manière suivante :
on
définit des complexes
Ki03BB
du groupe
avec
0,
1 ~ A , P) est dit normal s’il
vérifie les propriétés (l). 2 (3~ du théorème 6.1 ou (l). 2’ (3~ du théoet E vérifient
rème 6.2). Une décomposition 0-matricielle de D ~ (R n E ~
DÉFINITION
(2)
de
est dite liée à K .
(3)
et
K
7.1. - Un complexe
THEOREME 7.1. - Un complexe
d’un demi-groupe complètement O-simple est normal
K
si et seulement si :
(a)
(b)
K
ne
contient
~ i el ,
pas
0
et
p
=0
0
=>
p03BBi ~
V
N
N
où
est
un
sous-groupe
G.
normal de
Démonstration :1
1~ Soit
ble ,
ce
i , X) eK . Soit
Ii
est réflectif:i
(a j 1 ,
03BB) (p-1pi ;
1 , p)
du
~
=
0
e
le ré-
théorème
6.1 ,
tel que
pi~0.
K ,
ce
qui
est
impossi-
donc
Pour
soit
complexe normal. D’après la condition (1)
0 , et K est disjoint de son résidu.
=0 , supposons que
p .
Comme
un
est
K
sidu de
Si
K
l’implication réciproque ’
(x , j , À)
E
K
(d’après
supposons que
ce
qui précède
pe~
0 .
K n L.
n’est pas vide :
pe~0)
qui démontre (a) .
Supposons
que
p~i. ~
0
et
p.~
4 ~ montrons que
p ~1
. K.
1 ~
~
p , K..
~J J J.l
On pose
alors
A2014
d’après
N
N
PÀ;
i , X)
xy ;
est un sous-groupe
K
Son résidu est
0
(x; i , 03BB)
pour
n
Ri
une
est donc
E
((II)
et
de Green distincte de
K
donc
réflectif,
de
complexe
un
1 , 7~~ ( b 9 j 9 ~.~
-Si
K ,
un
G 9 si
sous-groupe de
xy
~
N
et
en
x
~ N
et
particulier
propriétés d’unitarité :
les
2° Soit
e
est
un
Bâclasse de
vérifiant
D
K,
2° et
G.
donc normal de
(a)
et
~b~ .
K
est
réflectif 9
si
donc
p .
(a)).
(y ; i , )
sont dans
K n R. , 6ù
R. , est une
R-classe
0,
sous-demi-groupe unitaire a droite. On démontre de même que
Green
L~ ~ ~ n L~ est un sous-demi-groupe unitaire à gauche.
décompositions C-matricielles liées à un complexe normal
demi-groupe complètement O-simple, on introduit les notions suivantes :g
Pour déterminer les
d’un
DÉFINITIONS
G
de la forme
p" p.. p""..
p.
Un extrait
partition p de I est dite liée
vérifie la propriété suivante :
Une
On définit de la même manière
,
les éléments de
sera noté brièvement
au sous-groupe
partition
une
~. D ~
n
de
N
normal
de
si elle
G
A.
,
THEOREME 7.2. - Soient
simple
K
un
I A, P
D =
complexe normal d’un demi-groupe complètement 0N
et
normal de
le
cié. Toute décomposition O-matricielle liée à
et
P
7.2. - On appelle "extraits" de la matrice
K
une
partition
A
de
n
liées à
N
et
K
définit
une
G
qui lui est
patition p de
asso-
I
réciproquement.
Démonstration :
1° Soit 31
décomposition
une
morphe de D/~ . Or
placement de
p.~
après
la définition
Pour
et
p..
,
la matrice de
0
2°
p .
et
p ,
Réciproquement,
tion de A
liée à
par
D/~
induit
par
I
est
partir
G .
image homoD
par
rem-
les remarques faites
telle que
p
X)
~p
~~
~
~
°
s
~~ ~ lll) .
et
Il
une
de celle de
D’après
partition
une
i , ~~
le couple
K :
en
sont dans la même
est de même de :
nuls. Donc :
partition de I liée à N, et n une partiOn d.éfinit, sur D , la relation suivante (R par :1
soient
N .
sur
(p;
définie
non nuls,
non
s’obtient à
e, élément neutre de
~.~,
classe de la congruence
pour
0-matricielle liée à
p
une
élémentaires,
Par des calculs
gauche,
vérifie que ? est
on
et que les classes de R
autres que
0
équivalence 0-zéro
une
K
coupent
à
suivant des sous-demi-
groupes unitaires à droite.
définie par
De même la relation E
0 E ’0
des
a
propriétés symétriques
cielle liée à
8.
(a9 i , ~)
et
(b ~ j , ~i) ==~ ~ ~ ~
E
de celles de
R . (R.
n
E
est
une
congruence O-matri-
K .
Cas particuliers. Application à certains demi-groupe s
A. - Le tableau ci-dessous
à noyau.
s’adaptent les résultats généraux, lorsque D est un demi-groupe complètement 0-simple d’un type particulier. A la 2e colonne, D G x B , ou. G est un groupe et B une bande rectangulaire (demi-groupe
complètement- 0-simple dont tous les extraits de matrice sont égaux à e ). A la
3e colonne, D est un groupe à droite (right-group) [2], c’est-à-dire u.n demigroupe inversé simplifiable à gauche. Dans la dernière colonne, D est un demigroupe de Brandt, c’est-à-dire un demi-groupe complètement 0-simple "O-simplifiable"
([2], 3.3). Dans les lignes de K et m ne figurent que les propriétés particuindique
comment
=
lières.
-~
complètement
r
"
simple
p
x.
sous-
K
net
’F "à
- groupe
-~ _
droite
sous-
demi-groupe
toute
congruence
ma
e
matricielle
triclell
congruence
matricielle
à K
liée
free a
PW
RM
toute
congruence
’
normal
W
[5]
congruence
WK-matricielle
Une
droite la
(2 classes))
roJ.. e
moins
cas
où
D
P
une seule
congruence
WK -matricielle
WK-matricielle
-
___________________
Pour le
saturé
module
pseudo-
KP PK = KP
PK = KP
RM
’20142014201420142014201420142014-.20142014201420142014- ’
de Brandt
demi-groupe
net
unitaire
zéro àa
zero
0
avec
sous-
demi-groupe
net
unitaire
m
demi-groupe
groupe
"
est
un
demi-groupe
de
Brandt,
voir aussi
[11]
__________________________
et
[13].
utiliserons, à titre d’exemple, les homomorphismes étudiés dans le cas où
IEFEBVRE
D est un demi-groupe à noyau complètement -simple [7]. Dans sa thèse [8]°, P.
une généralia montré que les demi-groupes à noyau complètement simple fournissent
sation des homogroupes de Thierrin [17]. Dans les uns le noyau est la réunion des
complexes nets minimaux d’un côté, dans les autres, c’est l’ensemble des zéroïdes
ou éléments nets d’un côté. Pour un homogroupe
H 9 l’application x -~ ex , où e
est l’élément neutre du noyau groupe G de H 9 définit un homomorphisme de H
G qui laisse fixe les éléments de G . Le problème qui se pose est alors le
sur
suivant : Dans quels cas y a-t-il un homomorphisme d’un demi-groupe D à noyau
complètement simple Z sur son noyau, et même plus précisément un homomorphisme
B. - Nous
e
laissant fixe les éléments de
Z ?
Le théorème suivant
répond
THEOREME. - Pour
demi-groupe
un
à la
question :i
à noyau
D
complètement simple Z , il y a équi-
valence entres
(a) Il existeun homomorphisme (p
(b) V e , f idempotents de Z ~
(1)
(2)
ef
=
e
=c=> V
x E
D ~t
xe
ef
=
f
===> V
x E
D :i
ex
et
et
~p (D) -
tel pue
et ~(z) = z ~ d
Z
le s sous-groupes maximaux de
Démonstration
(a)
===>
(p(x)
Green)
de
E
(b). E
x
Si par
D 9
tp(x)e
Z é
sont dans le même sous-groupe maximal
fx
sont dans le même sous-groupe maximal .
soit
k
xej’À’ E G, ,
priété symétrique.
que
homogroupes sont
Z .
xe =
et
ef
exemple
=
e :é
(~(xe) ~
(p(x)f
et
xf
=
=
sont dans le même sous-groupe maximal
démonstration,
on
désignera
e.. désignera l’élément neutre de Gix .
(b) => (a) . - Remarque préliminaire :
effet,
ces
(
~°~classe
Z .
du noyau
Dans la suite de la
En
Z .
i
V
Comme
E
xf
est alors bande rectangulaire d’homogroupes et les noyaux de
D
z
E
9
GjÀ. xejÀ’
donc
Si
par
(1)
GiÀ’ d’après le
G. , . On démontre
E
G1~
est
les sous-groupes de
vérifiée
et si k et k’
Z.
e
système ~~~. De ~~~ p il résulte
aussi que (2) entraine une pro-
Z9
Posons alors
K
=~x9
E D ,
potent de Z .
x
la réflectivité de
D’après
De la remarque
implique
Si deux
l’expression
xe
de R
=
ex
=
il résulte que
ef = f
f
et
e
=
fy
=
ef
=
f
et
et
Z
de
yf
et
bae.
G.
e
P
gauche maximale
et
xy E R n K
abei03BB
ab
=
un
idem-
=
et
Gju .
P
Ceci
ba , d’où
e
Enfin si
tel que
effet,
en
soit
xkz
tel que
zeZ
ei03BB
est net ~
K
complexe
Z :1
5 .3) .
R ,
avec encore
n
théorème
étant dans
et
K
il existe
au
f
e
K ,
la congruence zéro à
idempotents
Z . Le
de
Il existe alors
E
préliminaire,
e. J r" bae. J r" ==e. J r"
Soient ?
ses.
ab
ex = xe = e ~ .
idempotent tel que
e
idempotents
(keZ) .
xk eZ
est réflectif : si
K
E Z,
e
est l’ensemble des
K n Z
pour
E D ~ ~
x
Si
f
sont dans
x
et
y
pour des
fe
=
E
ef
R ~
R
n
l’vme de
R
et
D
sur
=
et
f
fe
ses
=
e
clas-
(voir
K :
idempotents
et
e
f .
On montre alors que
e .
alors
fe=e .
Ces relations entraînent que
xf
=
f . Il
en
résulte que
fx
g
=
idempotent
de
R n K , et on vérifie que xg = gx = g , donc que x E R n K. R n K est donc un
sous-demi-groupe unitaire. Une démonstration symétrique vaut pour les classes de E ~
n E définissent donc un homocongruence zéro à gauche maximale sur D. K et
morphisme de D sur Z. D’après la forme de K cet homomorphisme laisse fixe les
éléments de
Au
cours
que la
K .
de la deuxième
décomposition
partie
de la
démonstration,
matricielle maximale m
de
D
on a
induit
mis
sur
évidence le fait
en
Z
la
décomposition
W-classes de Green.
en
un
groupe
idéals
comme
momorphisme précédent
tenant
Chaque
D
est
sous-demi-groupe qui contient
bande rectangulaire d’homogroupes et l’hoest l’élément unitif de l’homogroupe con-
classe de M
est donc
une
où
x - ex
e
est
un
x .
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