Le bruit dissymétrique du courant électrique

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Lebruitdissymétrique
ducourantélectrique
Julien Gabelli
[e-mail]
Bertrand Reulet
[e-mail]
LaboratoiredePhysiquedesSolides,UMR 8502,CNRS/UniversitéParis-Sud11,Orsay
Lesfluctuationsducourantélectrique,phénomènesgénéralementqualifiésde «bruit»,ne sontpastoujours le
résultatde lanégligencedeceluiquilesobserve. Lebruitélectroniquenaîtde ladansedesélectronsdansles
conducteurs.Leconsidérercomme une cacophonie,c’est oublierquelanaturenefaitquesuivrelapartition
dictée parlamécaniquequantique. Adapternosoreillespour reconnaîtrecettemusique,tel est l’undesenjeux
de laphysiquemésoscopiquemoderne. Endéveloppantlesoutilsadaptéspour mesureretcomprendrecebruit,
on peut remonteraux principesfondamentaux dutransport électronique.
premièrevue,le bruitélectroniqueest unphéno-
mène néfaste,quinefaitquedégraderl’informa-
tion portée parle signal. Ildoitdoncêtretraqué
puiséliminé. Dansle casdesmicro-processeurs,cœur de
nosordinateurs,cebruitpeut êtreresponsable d’erreurs
de calculetpour mieux le combattre,nous avonsapprisà
le caractériseretàremonteràsesorigines.C’est ainsique
lesmicro-processeurs sontrefroidisen partie afin de limi-
terle bruitthermique ,qu’ilssontfabriquésdansdesmaté-
riaux semi-conducteurs de plus en plus purs pour réduire
le bruitdittélégraphique ,dûaux mouvements aléatoires
desimpuretés.Cependant,en yregardantde plus près,le
bruitélectroniquepeut s’avérerutile lorsqu’il est par
exemple àl’origine de laréalisation de thermomètrespri-
maires(cesthermomètresne nécessitentaucune calibra-
tion carlatempératuremesurée découle directement
d’une loi physiquefondamentale) fonctionnantsur plus
de 5décadesde température,oulorsqu’il constitueune
solution de remplacementdesgénérateurs de nombres
pseudo-aléatoiresdansl’élaboration de protocolesde cryp-
tographie. Enréalité,au-delàde cetteutilité,le bruitélec-
troniques’avèreêtreunformidable outil d’investigation
desmécanismesde conduction. C’est danscetespritque
le physicien américain Rolf Landauer,l’undespèresde la
physiquemésoscopique,aaffirmé il yaune trentaine
d’années:«Noiseisthe signal»!Ilexprimaitainsiclaire-
mentqu’une compréhension profonde desfluctuations
de courantélectriqueconstituaitune sourceprécieuse
d’informationssur lesmécanismesde conduction. Les
fluctuationsde courantsonten effetle fruitdesnatures
statistiqueetquantiquedutransport électroniquedansles
conducteurs etleur mesureconstitueuntest poussédela
théorie. Alors quelesmesurestraditionnelless’intéres-
sentaucourantmoyen Iausein d’unéchantillon polarisé
parune tension V(cequipermetde définirlaconduc-
tanceG=I / V),nous allonsnous concentrersur lesproprié-
tésstatistiquesdesfluctuationsducouranti( t )en fonction
dutemps.Une mesuredesfluctuationsest donnée parla
distribution de probabilitéP ( i )ducourantmesurésur un
intervalle de tempsΔ t .P ( i ) di est laprobabilitédemesurer
uncourantde valeur compriseentreieti+di aucours de la
mesureeffectuée pendantΔ t .CherchantàcaractériserP ( i ) ,
nous commençonsparsavaleur moyenne I=〈i( t )〉etsa
varianceΔ I 2=〈δ i 2 〉(oùδ i( t )=i( t )−I)quidonne lalargeur
de ladistribution P(i ) .Cettedernièrequantitéacom-
mencéàêtreétudiée il yaunsiècle environ,etnous rap-
pelleronsquelques-unsdesprincipaux résultats dansle
casdubruitthermique. Une étude plus fine desproprié-
tésde P( i )conduitàs’intéresseraux moments d’ordre
supérieur de ladistribution :〈δin 〉,n≥3.Sicetteétude n’a
débutéquetrèsrécemment(premièremesurede〈δi3 〉en
2003),c’est en partie en vertu duthéorème de lalimite
centrale,quistipule queladistribution de probabilitéd’un
trèsgrand nombred’événements indépendants tend vers
une distribution gaussienne (voirencadré1). Eneffet,
cettedistribution limiteétantsymétriqueautour de sa
moyenne,le momentd’ordretrois〈δi3 〉de ladistribution
P( i )tend vers zéro. Nous allonsmontrerque,en réalité,
〈δi3 〉est non nuletquesamesureest influencée par
l’environnementélectromagnétiquedel’échantillon,
c’est-à-direparle dispositif de mesurelui-même. Nous le
montreronstout d’aborddansle casd’une simple
«résistancechauffante»puisnous nous intéresseronsau
casd’unconducteur àl’échelle mésoscopique,oùla
naturecorpusculairedesélectronsest àl’origine dubruit.
Nous montreronsenfin lesrésultats d’une mesuredu
troisième momentdanslalimitequantique,àtrèsbasse
températureethautefréquence.
A

Lebruitdissymétriqueducourantélectrique
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CommençonsparlavarianceΔ I 2=〈δi 2 〉 .Sa mesureest
esquissée sur lafigure1a .Àl’équilibre(V=0),lesfluctua-
tionsducourantsontle refletde l’agitation thermiquedes
électronsainsiqueducaractèredésordonné duconduc-
teur,quisetraduitparune plus oumoinsgrande conducti-
vité. Cetterelation de causeàeffetsetraduitparune
correspondancetrèsgénérale entrelesfluctuationsΔ I 2etla
dissipation (reliée àlaconductanceélectriqueG )ducou-
rantausein duconducteur.Dansle casquinous intéresse,
elle est donnée parlaformule de Johnson etNyquist
(1928) :Δ I 2= 4 Gk B TΔ f ,oùk B= 1.38×10 − 23 JK− 1est lacons-
tantedeBoltzman,TlatempératureetΔ flabande pas-
santedel’appareil de mesure(fréquencemaximale des
fluctuationsmesurablesparl’ampèremètre). Notonsque
l’on pourraitégalementmesurerlesfluctuationsde ten-
sion aux bornesduconducteur,voirfigure1b .Cesdeux
façonsd’effectuerlamesuredonnentdesrésultats
équivalents ;de même quelesvaleurs moyennessont
reliéesparV=RI (oùR=1 / Gest larésistance),lesfluctua-
tionssatisfontlarelation Δ V=RΔ I.Nous verronsparla
suitequecerésultatsimple ne s’étend pasaux moments
d’ordressupérieurs.
Bruithors d’équilibre:chauffage
Qu’advient-il de P ( i )lorsqu’une tension est appliquée
aux bornesd’unconducteur ?Commençonsparconsidérer
une simple résistance. Nous savons,d’aprèslesloisde la
thermodynamique,queP ( i )est une distribution gaus-
sienne àl’équilibre,c’est-à-direlorsqu’aucune tension n’est
appliquée aux bornesde larésistance. Hors d’équilibre,le
courantquilaparcourt dissipe de l’énergie pareffetJoule
(correspondantàune puissanceP J=RI2 ),cequiélèvesa
température. L’agitation thermique(etdoncle bruit)aug-
mentant,Δ I 2croîtavecle courantmoyen. Lebruitfaitdans
cecasofficedethermomètre. Cen’est cependantpastout.
Loi de Gauss –Théorème de lalimitecentrale
Encadré 1
Ondéfinitlaloi de probabilitégaussienne (ouloi normale)
de lavariable X ,de moyenne 〈X 〉etde varianceΔ X2par:
Cettedistribution est symétriqueautour de savaleur
moyenne :P(〈X 〉− x )= P(〈X 〉+ x ),etparconséquent
.
L’omniprésencedelaloi gaussienne danslanaturevient
duthéorème de lalimitecentrale,quistipule quesilavariable
Xest lamoyenne d’ungrand nombreNde variablesaléatoires
indépendantesx 1,... ,x N:
,
alors ladistribution de Xsuitune loi gaussienne de moyenne
etde variance
,
etcequellesquesoientlesdistributionsde probabilitédesx n.
Unampèremètredebande passanteΔ fmesurelecourant
moyenné durantuntemps∼Δf–1,quiest en généraltrèslong
parrapport autempsquiséparelepassage de deux électrons
e / I( ∼10 –13spour I=1 µA ). Autrementdit,le nombred’élec-
tronsN=I /(e Δ f)accumulé lors d’une mesureest trèsgrand.
Parconséquent,même siladistribution de probabilitéqui
régitle passage de chaqueélectron est non-gaussienne,celle
ducourantintégrépendantΔ f−1est trèsproche d’une
gaussienne (notreexpériencecorrespond àΔ f∼100 MHzet
N∼10 5). Pour détecterl’écart àlagaussienne,il faudrarépéter
lesmesurespendantplusieurs jours.
PX x
X
xX
X
() exp– – == 
1
2
1
2
2
2
π ΔΔ
〈〈〉〉 〈〉(– )(–)() XX xXPxdx
33
0=∫=
XNx
Nn
n
N
=→∞=
∑
lim1
1
〈〉 〈〉 XNxn
n
N
=
=
∑
1
1
ΔΔ XNxn
n
N
22
1
1
=
=
∑
Figure1–Distribution de Gauss.
Figure2–Représentation desfluctuationsducourantélectrique. Un
appareil de mesuredebande passanteΔ fmesurelacharge quitraversele
conducteur pendantuntemps∼Δ f–1.Oneffectuelastatistiquedecette
mesurepour en déduirelaloi de distribution ducourant.

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Lebruitdissymétriqueducourantélectrique
L’application d’une tension abriséune symétrie (voir
figure1c ):le courantélectriqueachoisiunsens,de sorte
quesesfluctuationsn’ontplus de raison apriorid’être
symétriquesautour de lavaleur moyenne :.
Celasetraduitparl’apparition d’unmomentd’ordre
trois:〈δi 3 〉≠ 0.Parquel mécanisme ?Parrétroaction ther-
mique. Une fluctuation lentedecourantδ i ( t )induitune
variation de lapuissancedissipée pareffetJoule,
δ P J( t )= 2 RI δ i ( t ) ,quisetraduitparune variation de tempé-
rature,oùG Test laconductancethermi-
queentrelesélectronsetleur thermostat.Ilyadoncune
corrélation entreδ i ( t )etδ T ( t ) ,soit〈δiδ T〉≠0.Comme
δ T ( t )est relié à〈δi 2 〉(le bruitest unthermomètre),il en
résultel’apparition d’unmomentd’ordretroisdesfluctua-
tionsducourant,associé aufaitquelesélectronsne sont
pasparfaitementthermalisésetquel’équilibrethermique
n’est atteintqu’aubout d’uncertain tempscaractéristique
de thermalisation. Eneffet,lescorrélationsentrefluctua-
tionsde courantetfluctuationsde températurenevont
avoirlieuquesilatempératureale tempsde suivrele
chauffage,c’est-à-direpour destempsplus longsquele
tempsde thermalisation desélectrons.Autrementdit,seu-
leslesfluctuationslentescontribuentautroisième
moment.Nous voyonsalors sedessinerleslimitesde la
description en terme de densitédeprobabilité:lastatisti-
queest effectuée sur une mesuredurantΔ tetne permet
pasde définirprécisémentlesfluctuationsquiontlieuà
deséchellesde tempsdistinctes.La description purement
statistiquenesuffitdoncplus etil vafalloirs’intéresseràla
dépendanceenfréquencedescorrélationsdesfluctuations
de courant.Nous reviendronssur cepointdansle cadrede
lamécaniquequantique. Malgrélapetitessedel’effet,qui
limitepour le momentson observation expérimentale,et
lessubtilitésliéesàsadépendanceenfréquence,il appa-
raîtclairementquelamajoritédesappareilsélectriques
quinous entourent(four,ampoule,etc.) émettentunbruit
dissymétrique. Nous venonsde prouver,dansle casd’une
résistance,quelaraison pour laquelle le bruitest dissymé-
triqueprovientducouplage thermiqueentrelarésistance
etson environnementetnous verronsparlasuitequece
couplage àl’environnementpeut êtred’origine électroma-
gnétique. Ilexistecependantdessystèmespour lesquelsle
bruitest intrinsèquementdissymétrique. C’est parexem-
ple le casdespetits objets,oùle bruittrouveson origine
danslanaturecorpusculairedesélectrons.Nous nom-
monsle bruitassocié «bruitde grenaille »,quenous
allonsmaintenantaborder.
Bruitde grenaille d’une jonction
tunnel
La jonction tunnel est l’archétype duconducteur
mésoscopiqueprésentantdubruitde grenaille. Elle est
composée de deux contacts métalliquesséparésparune
fine couche d’isolant(quelquesnanomètresd’épaisseur,
voirfigure2 ). La conduction électriqueest assurée parle
passage aléatoiredesélectronsd’uncontactàl’autrepar
effettunnel,effetquantiquelié àlanatureondulatoiredes
électronsàcetteéchelle.
Lecourantrésultantest une suited’impulsionsasso-
ciéesaupassage de chaqueélectron. Àl’image dubruit
quefontlesgouttesde pluie tombantsur unparapluie,
cestrainsd’impulsionssontàl’origine dubruitde gre-
naille électronique. Dansle casde lajonction tunnel,
l’étude statistiquedesfluctuationsducourantseramène
audénombrementdeschargesquitraversentlajonction
durantunintervalle de tempsdonné (voirencadré2 ). Les
passagessuccessifsdesélectronsétantindépendants les
unsdesautres,on peut montrerquelecourantsuitune sta-
tistiquedePoisson dontlavarianceest donnée par:
Δ I 2= 2 qIΔfoùqest lacharge desporteurs ducourantélec-
trique(cecin’est valable quedanslalimiteI>>Gk B T / q ). La
mesuredubruitrévèle parconséquentlacharge q;dansun
conducteur ordinaire,q=eoùe=1.6×10 − 19Cest lacharge
Figure1–(a)Mesuredesfluctuationsde couranti ( t )dansuncircuitalimenté
parungénérateur de tension. La variance
Δ I2est obtenueàpartirde l’histo-
gramme desvaleurs de i ( t )mesuréesaucours dutemps.(b)Mesuredesfluc-
tuationsde tension v ( t )aux bornesd’ungénérateur d’intensité,d’oùsont
extraiteslavariance Δ V2 .(c)Histogramme desfluctuationsde courant/tension.
PiPi(– )() δδ ≠
δδTtGPt
TJ
() ()
–
=1

Lebruitdissymétriqueducourantélectrique
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de l’électron. Onpeut égalementobserverq≠epour des
conducteurs plus complexes:q=2epour une jonction
entreunmétalnormaletunmétalsupraconducteur,q=e / 3
dansle régime d’effetHall fractionnaire,etc.Parailleurs,la
statistiquedePoisson,propreaumécanisme de transport à
travers lajonction tunnel,présenteunmomentd’ordre3
donné par〈δi 3 〉=q 2 IΔ f2 .Remarquonsquecedernier
s’annule àl’équilibreI=0,valeur pour laquelle lasymétrie
desfluctuationsde courantest restaurée. 〈δi 3 〉resteainsi
indépendantde latempératurecontrairementà〈δi 2 〉qui,à
bassesfréquences,n’est plus lié qu’aux fluctuationsther-
miques.Cetteprédiction aétévérifiée expérimentalement,
depuislatempératureordinairejusqu’àdestempératures
inférieuresàundegréKelvin.
Troisième momentdesfluctuations:
effets de l’environnement
électromagnétique
Nous avonsvuquelesmoments d’ordre2desfluctua-
tionsde courantàVfixéetde tension àIfixéétaient
proportionnels:Δ V=RΔ I .Qu’en est-il desmoments
d’ordressupérieurs ?Cettequestion s’avèreessentielle
puisque,expérimentalement,il est souventplus facile
d’imposeruncourantetde mesurerune tension que
l’inverse(aumoinspour unéchantillon pastrop résistif).
Nous allonsvoirquelepassage d’une polarisation en
Modélisation de lajonction tunnel -loi de Poisson
Encadré 2
Onpeut modéliserle courantélectriquequitraverseune
jonction tunnel en considérantquelepassage de chaque
électron àtravers labarrièretunnel est indépendantde celui
desautresetquecepassage s’effectueàchaqueintervalle de
tempsτavecune probabilitéD.Si,danslalimiteD→0,
l’électron aune probabilitédepassage parunitédetemps
γ=D/τconstante,alors ceprocessus est similaireauphéno-
mène de désexcitation radioactivequisuitune loi de
Poisson.
Pour lajonction tunnel,γ=I / epeut êtrevarié en chan-
geantlatension de polarisation. Lesfluctuationsducourant
sontrégiesparlaloi de Poisson (voirfigure1),pour laquelle
tous lesmoments sontproportionnelsaucourantmoyen :
〈δi n〉∝ e n−1I .Enparticulier,ladistribution de probabilitén’est
passymétriqueautour de savaleur moyenne. Cettebrisurede
symétrie vientdufaitquetous lesélectronsvontdansle
même sens:laprobabilitéd’avoiruncourantnégatif est nulle.
Cettesymétrie est brisée dèsquelatension appliquée est suffi-
sante,c’est-à-direpour e V>k BT.
Onpeut retrouvercerésultatsimplementàl’aide de notre
petitmodèle :le passage d’unélectron durantuntempsτcrée
une impulsion de courantde valeur moyenne e /τ.Puisquele
passage de l’électron seproduitavecune probabilitéD ,le cou-
rantmoyen est donné parI=〈i 〉=D e /τ.Demême,la
moyenne ducarréducourantest 〈i 2〉=D (e/τ) 2,etlavariance
Δ I 2=〈i 2〉−〈 i 〉2=( e /τ) ( 1−D )I(lesimpulsionsde courantne
sechevauchentpas). PuisqueD<< 1ontrouveΔ I 2=e I Δ foù
Δ f∼τ
−1.Demême :
Figure1–Distributionsde Poisson (courberouge) pour deux valeurs de la
moyenne 〈 X 〉 .Lescourbesen pointillésreprésententlesdistributionsde
Gauss de même valeur moyenne etmême variance. Onnotequelescour-
besrougessontasymétriquesalors quelescourbesnoirespointilléessont
symétriques.
〈〉 δτiDfI
nn ne==(/)( )–
eΔ1
Figure2–Image obtenueaumicroscope àforceatomiqued’une jonction
tunnel,composée de deux contacts d’aluminiumséparésparune couche iso-
lanted’oxyde d’aluminium. La surfacedelajonction de ∼10µm2assureune
transmission trèsfaible parunitédesurfaceetune résistanceproche de
50Ω(photographie :Lafe Spietz,Yale University).

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Lebruitdissymétriqueducourantélectrique
tension àune polarisation en courantn’est malheureuse-
mentpassanseffet…Pour le comprendre,considéronsle
circuitde lafigure3:une jonction tunnel est polarisée au
travers d’une résistanceR 0 .LecasR 0=0correspond àune
polarisation en tension parfaiteetle casR 0→∞àune pola-
risation en courantparfaite. DèsqueR 0≠0,lesfluctuations
de courantδ i ( t )engendréesparl’échantillon induisentdes
fluctuationsde tension δ v ( t )=−R 0 δ i ( t ) .Puisque,viale
bruitde grenaille,lavariancedubruit〈δi 2 〉dépend de la
tension aux bornesde l’échantillon,il vayavoircorrélation
entreδ ietδ i 2 ,d’oùune contribution à〈δi 3 〉 ...
Cephénomène correspond àune rétroaction de l’envi-
ronnementélectromagnétique(modéliséparR 0 ),similaire
àlarétroaction thermiqueabordée dansle casde larésis-
tancedechauffage. Expérimentalement,lesfluctuations
de courantmisesen jeudanslesconducteurs étudiéssont
extrêmementpetitesetnécessitentd’êtreamplifiées.La
résistanceR 0est alors l’impédanced’entrée de l’amplifica-
teur,quivaut généralement50Ohmsdanslescircuits
haute-fréquence. Àcecis’ajoutentlesfluctuationsthermi-
quesde R 0quimodulentle bruitémisparlajonction con-
tribuantaussiautroisième moment.Cestermesliésaux
rétroactionsélectromagnétiqueetthermiquevontdonc
contribuerà«noyer»letroisième momentintrinsèque
quel’on cherche àisolerdansle soucidemieux compren-
drelesmécanismesdutransport,iciassociésàunproces-
sus poissonnien. Lerésultatde lamesuredépend donc
crucialementdudispositif expérimental. Comme pour le
couplage thermiqueàl’environnement,larétroaction élec-
tromagnétiquen’est pasinstantanée :le faitqueR 0
dépende de lafréquenceinduitune dépendanceenfré-
quencede〈δi 3 〉 ,quenous allonsmaintenantétudier.
Mesuresàfréquencenon nulle
L’existencedetempscaractéristiquesducouplage du
système àl’environnement,de tempsde relaxation dusys-
tème lui-même,ouencoredetempsde réponsedusys-
tème de mesure,nous imposedetenircomptedu
caractèretemporel desfluctuationsou,cequenous allons
privilégierici,ducaractèrefréquentiel. Nous avonsvuque
lavariancemesurée parle dispositif de lafigure1aest pro-
portionnelle àlabande passanteΔ fde l’appareil de
mesure. Elle correspond àlapuissanceémisepar
l’ensemble descomposantesspectralesdusignaldontles
fréquencessontcomprisesentre0etΔ f.Cependant,
comme unphotographe utiliseraitdesfiltrescoloréspour
sélectionnerune couleur particulièreémiseparunobjet
multicolore,on peut prendreencompteladépendanceen
fréquencedelavariance,en restreignantl’intervalle de
fréquenceàl’aide d’unfiltredelargeur Δ fcentréautour
d’une fréquencechoisie f.Onpeut alors définirladensité
spectrale de bruitàlafréquencefparS 2 (f)=ΔI (f)2 /Δf.
S2 (f)est proportionnelle àlapuissanceélectriquepor-
tée parle signaldansune tranche de fréquencesde
1Hertz autour de f.Sa mesureest obtenuegrâceàun
détecteur de puissance(une diode quimesurelecarrédu
courant)précédé d’unfiltrepasse-bande àlafréquencef
(voirfigure4a ).
Ilapparaîtnaturel,auvudumontage expérimental
considéré,de décomposerlesfluctuationstemporelles
ducourantdansl’espacedesfréquences:
.Lefiltrepassebande ne laisse
alors passerquelescomposantesspectralesdanslesinterval-
lesde fréquences[–f–Δ f/ 2,–f+Δ f/ 2]et[f–Δ f /2,f+Δ f /2].
Onpeut ré-écrire.Cettedescription
fréquencielle permetde définirde manièreidentiquele
corrélateur d’ordre3ducourant(pendantdutroisième
momentde ladistribution descourants)par:
Figure3–Effetde l’environnementélectromagnétique(schématiséparla
résistanceR 0 )lors de lamesuredesmoments d’ordressupérieurs desfluc-
tuationsde tension δ v ( t ). Lesfluctuationsde courantδ i (t )duesaubruitde
grenaille sontmodéliséesparune sourcedecouranten parallèle de lajonc-
tion tunnel.
Figure4–Dispositif radiofréquenceutilisépour lamesure(a)dudeuxième
momentS 2 (f)àfréquencef ,(b)dutroisième momentS 3 (f ,0)aux fré-
quencesfet0.
ιπ
@
–() () ∞
+∞
∫′′′
fffexp itd 2
Sıı
2() () (– )fff=〈 〉
δδ
@@