TD n˚6 : Convergence des suites de variables aléatoires

Probabilités élémentaires – HLMA 311
TD n˚6 : Convergence des suites de variables aléatoires
Exercice 1. (*) Soit X une variable aléatoire de loi B(100, 1/2). Calculer P(X < 55) en utilisant
l’approximation normale.
Exercice 2. (*) Soit X une variable aléatoire de loi P(36). Calculer P(X ≤ 30) en utilisant l’approximation normale.
Exercice 3. (*) Soit X une variable aléatoire de loi B(60, 0.6). Calculer P(X = 40) en utilisant
d’abord la formule exacte et la formule de Stirling, puis en utilisant l’approximation normale.
Exercice 4. (**) Un centre de transfusion sanguine doit relancer une catégorie de donneurs pour
un don exceptionnel. L’établissement a en effet besoin de 340 dons supplémentaires. On considère
que chaque donneur contacté a une probabilité 0.7 de faire ce don. Sachant que la relance est très
onéreuse, le centre de transfusion contancte n personnes, avec n ≥ 340. Soit Yn la variable aléatoire
correspondant au nombre de personnes contactées se déplaçant pour faire ce don exceptionnel.
1. Quelle est la loi de Yn ?
2. On considère ici que n = 500.
a) Par quelle loi continue peut-on approcher la loi de
Y√
n −350
105
?
b) Déterminer la probabilité pour que plus de 20 personnes se soient déplacées inutilement.
c) Avec quelle probabilité manquera-t-il au moins 20 dons ?
3. On s’intéresse au nombre minimal n de personnes à contacter pour limiter à 5% la probabilité
qu’il manque des donneurs. Quelle équation doit vérifier n ? En déduire sa valeur.
Exercice 5. (**) Démontrer, en utilisant le théorème limite central, que
lim exp(−n)
n→+∞
n
X
nk
k=0
1
= .
k!
2
Exercice 6. (*) Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi admettant un moment d’ordre deux. On définit, pour tout n ∈ N∗ , la variable aléatoire Sn :
Pn
j=1 Xj − nE(X1 )
p
Sn =
.
nV(X1 )
Comparer, pour k = 1, 2, 3, les renseignements numériques fournis sur la probabilité P(|Sn | ≥ k) par
le théorème limite central, puis par l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev.
Exercice 7. (**) Soit X une variable aléatoire de moyenne inconnue m et de variance σ 2 . Soit
(Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que X : on dit que (X1 , · · · , Xn )
estPun échantillon de taille n de X. On estime la moyenne m par la variable aléatoire X̄n =
n
1
j=1 Xj .
n
1. Justifier l’approximation, pour α > 0 et n grand :
√ √ n
n
P(|X̄n − m| ≥ α) ≈ 1 − Φ
α −Φ −
α
σ
σ
où Φ(.) est la fonction de répartition de la loi normale standard.
2. Quelle est la taille minimum de l’échantillon pour que, α > 0 et β ∈]0, 1[ étant fixés, on ait :
P(|X̄n − m| ≥ α) ≤ β.
On traitera l’application numérique : σ = 3, α = 0.05σ et β = 0.05. On rappelle que
Φ−1 (0.975) = 1.96.
1
Exercice 8. (**) On veut estimer le pourcentage p de réponses positives à un référendum. Pour
cela, on effectue un sondage sur n personnes et on estime p par la fréquence relative Fn de oui sur
les personnes sondées. On cherche n0 , plus petit entier n tel que la probabilité que Fn ne diffère
de p de plus de α > 0 soit inférieure à β ∈]0, 1[. On traitera l’application numérique : β = 0.05 et
α = 0.01. Par combien est divisée n0 si on choisit maintenant α = 0.05 ?
Exercice 9. (**) Soixante personnes veulent retirer de l’argent au guichet d’une poste. La somme
moyenne demandée par chaque personne est de 50 euros, avec un écart-type de 30 euros. Les sommes
demandées par chaque personne sont indépendantes (et de même loi). Combien d’argent doit avoir
le guichet à sa disposition pour que, avec une probabilité supérieure à 0.95, les 60 personnes retirent
la somme qu’elles souhaitent ?
Exercice 10. (**) Pour un joueur, la probabilité de doubler sa mise à la roulette est de 18
37 et celle
.
On
considère
que
la
mise
d’un
joueur
à
une
partie
est
d’un
euro.
Quel est
de perdre sa mise de 19
37
le nombre minimum n0 de parties qui doivent être jouées quotidiennement pour que le casino ait
une probabilité de 0.5 de gagner 1000 euros par jour ? Quelle est la probabilité d’une perte globale
pour le casino durant ces n0 parties ?
Exercice 11. (**) Chaque jour, dans une certaine ville, 100 personnes ont besoin d’un examen
radioscopique. Pour préserver le libre choix, n centres d’imagerie sont installés dans cette ville. On
admet que les patients choisissent indifféremment l’un ou l’autre centre d’imagerie. Soit N le nombre
de clients journaliers dans un centre d’imagerie choisi au hasard.
1. Quelle est la probabilité qu’un client choisisse le centre d’imagerie considéré ?
P
2. Montrer que N peut s’écrire N = 100
i=1 Xi , où les (Xi )1≤i≤n sont des variables aléatoires indépendantes et distribuées suivant la loi de Bernoulli de même paramètre p que l’on déterminera.
3. Quelle est la loi de N ?
4. On donne que si Z suit la loi normale centrée réduite, alors P(Z ≤ 2) = 0.98. En utilisant le
théorème de la limite centrale, déterminer quelle capacité c(n) chaque centre d’imagerie doit
avoir pour être capable de répondre à la demande avec une probabilité de 98% ? Cas où n = 2,
n = 3, n = 4.
5. Quel est le coût de la concurrence : quelle surcapacité s(n) la concurrence entraîne-t-elle par
rapport à une situation où chaque centre se verrait affecter un même nombre de clients ? Cas
où n = 2, n = 3, n = 4.
Exercice 12. (***) Un automobiliste emprunte tous les jours le même trajet qui comporte un feu
tricolore pour se rendre à son travail. Comme le trajet est peu encombré, lorsque le feu est rouge,
l’automobiliste peut redémarrer dès que le feu passe au vert. Mais pour faire passer le temps, il se
demande quelle est la durée θ pendant laquelle le feu reste rouge. On note (Xi )1≤i≤n ses durées
d’attente successives au feu lorsque celui-ci est rouge et on suppose ces variables indépendantes et
distribuées suivant la loi uniforme U([0, θ]). Pour n ≥ 1, on note Zn = max1≤i≤n Xi .
1. Calculer la fonction de répartition de Zn . En déduire sa densité.
2. Calculer l’espérance et la variance de Zn .
3. Pour estimer le paramètre θ, on utilise l’estimateur Z̃n = aZn , où a est un réel tel que Z̃n soit
un estimateur sans biais de θ, i.e. E(Z̃n ) = θ. Quelle est la valeur de a ? En déduire la variance
de Z̃n .
4. Montrer, en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev, que Z̃n converge en probabilité vers
θ.
P
5. Pour estimer le paramètre θ, on peut aussi utiliser l’estimateur Ỹn = bX̄n , où X̄n = n1 ni=1 Xi
et b est un réel tel que Ỹn soit un estimateur sans biais de θ. Quelle est la valeur de b ? En
déduire la variance de Ỹn .
6. Montrer, en utilisant la loi faible des grands nombres, que Ỹn converge en probabilité vers θ.
7. Quel estimateur de θ vaut-il mieux utiliser ? Z̃n ou Ỹn ?
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