1 Échantillonnage : Loi des moyennes

Statistiques Inférentielles - Feuille 2
1 Échantillonnage : Loi des moyennes
Exercice 1
Une usine produit des disques en grande série. On appelle Xla variable aléatoire qui à chaque
disque, pris au hasard, associe son diamètre. On suppose que Xsuit la loi normale de moyenne
µ= 50 et d’écart-type σ= 0,5. On prélève au hasard des échantillons de 36 disques. On note Yla
variable aléatoire qui pour chaque échantillon associe la moyenne des diamètres des 36 disques.
1. Quelle est la loi suivie par Y?
2. Déterminez apour que p(µ−a6Y6µ+a)=0,9.
Réponse : a= 0,1371 - Même question avec µ= 40 et σ= 0,6, Réponse : a= 0,1645
Correction :
1. D’après la loi des moyennes, Ysuit approximativement la loi Nµ;σ
√36 ≈ N(50; 0,083).
2. On pose t=Y−50
0,083 .tsuit la loi normale centrée réduite. On aura alors :
p(µ−a6Y6µ+a) = p(50 −a6Y650 + a)
=p50 −a−50
0,083 6Y−50 0,083 650 + a−50 0,083 
=p−a
0,083 6t6a 0,083
= 2Π a
0,083
Il faut donc 2Π a
0,083 = 0,9. On sait que cela sera vrai si a 0,083 = 1,645 (c’est une des valeurs
qu’il est bon de connaître par cœur, sinon on écrit Πa
0,083 =0,9+1 2= 0,95 et le formulaire
donne le résultat)
On en déduit donc : a
0,083 = 1,645 donc a= 1,645 ×0,083 = 0,1371.
Exercice 2
Un traceur produit des cartouches ayant une forme de rectangle dont la longueur doit être de
10cm. Pour tester le réglage du traceur, on prélève 100 feuilles. Soit Xla variable aléatoire qui pour
chaque feuille associe la longueur du cartouche. On suppose que Xsuit la loi normale de moyenne
m= 10 et d’écart-type σ= 0,03. On note X100 la variable qui à chaque échantillon associe la
moyenne des longueurs.
1. Quelle est la loi suivie par X100 ?
2. Déterminez le réel positif htel que pm−h6X100 6m+h= 0,95.
Réponse : h= 0,0059 - Même question avec m= 20 et σ= 0,1, Réponse : h= 0,0196
Correction :
1. D’après la loi des moyennes, X100 suit la loi Nm;σ
√100 =N(10; 0,003). (ce n’est pas
approximatif car Xsuit une loin normale)
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2. On pose t=X100−10
0,003 .tsuit la loi normale centrée réduite. On aura alors :
p(m−h6X100 6m+h) = p(10 −h6X100 610 + h)
=p10 −h−10
0,003 6X100 −10 0,003 610 + h−10 0,003 
=p−h
0,003 6t6h 0,003
= 2Π h
0,003
Il faut donc 2Π h
0,003 = 0,95. On sait que cela sera vrai si h 0,003 = 1,96 (c’est une des valeurs
qu’il est bon de connaître par cœur, sinon on écrit Πh
0,003 =0,95+1 2= 0,975 et le formulaire
donne le résultat)
On en déduit donc : h
0,003 = 1,96 donc h= 1,96 ×0,003 ≈0,0059.
Exercice 3
Une machine fabrique un très grand nombre de pièces, de longueur moyenne m= 4,2mm et
d’écart-type σ= 0,2. On prélève des échantillons de taille navec n>30. Soit Xla variable qui à
chaque échantillon de npièces associe la moyenne de longueurs.
1. Quelle est la loi suivie par X? Précisez les paramètres de cette loi.
2. Trouvez la taille nde l’échantillon pour que p4,17 < X < 4,23= 0,95.
3. Trouvez la taille nde l’échantillon pour que p4,17 < X < 4,23= 0,99.
Réponses : n= 171 puis n= 296
Correction :
1. D’après la loi des moyennes, Xsuit approximativement la loi normale de moyenne met d’écart-
type σ
√n:N4,2; 0,2 √n.
2. On pose t=X−4,2
0,2
√n
=X−4,2
0,2√n.tsuit une loi normale centrée réduite.
p4,17 < X < 4,23=p4,17 −4,2
0,2√n < X−4,2 0,2√n < 4,23 −4,2 0,2√n
=p−0,15√n < t < 0,15√n
= 2Π 0,15√n−1
Or on souhaite que cette probabilité soit égale à 0,95. On se souvient 2Π(t)−1=0,95 pour
t= 1,96 et donc ici 0,15√n= 1,96 ce qui donne : n=1,96
0,15 2≈170,7. Il faut donc n= 171.
3. Pour que 2Π(t)−1=0,99 il faut t= 2,58, donc 0,15√n= 1,96 ce qui donne : n=2,58
0,15 2≈
295,8. Il faut donc n= 296.
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2 Échantillonnage : Loi des fréquences
Exercice 4
Une entreprise produit une grande série de pièces pour le bâtiment. Pour analyser la qualité de la
production, on prélève au hasard un échantillon de n= 64 pièces. On suppose que le pourcentage de
pièces défectueuses dans la production est de 4%. Soit Fla variable aléatoire qui à tout échantillon
de npièces associe la fréquence de pièces défectueuses dans cet échantillon.
1. quelle est, approximativement, la loi suivie par F? Précisez-en les paramètres.
2. Quel est la probabilité que sur un échantillon donné, la fréquence de pièce défectueuses soit
comprise entre 3% et 5% ?
3. Déterminez le réel atel que p(0,04 −a6F60,04 + a)=0,95.
4. Quelle valeur doit-on donner à npour que p(0,03 6F60,05) = 0,99 ?
Réponses : 96,3% ;a= 0,0094 = 0,94% ;n= 99
Exercice 5
Dans une population, on constate qu’il y a 28% de fumeurs. On prend un échantillon de 400
personnes.
1. Quel est la probabilité d’avoir dans cet échantillon un pourcentage de fumeurs compris entre
26% et 30% de fumeurs ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir dans cet échantillon un pourcentage de fumeurs inférieur à
22% ?
3 Estimation par intervalle de confiance
Exercice 6
Une entreprise fabrique des tiges métalliques. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en
millimètres. On prélève au hasard un échantillon de 50 tiges dans la production d’une journée. Soit
Dla variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 tige, associe le diamètre moyen de ces tiges.
On suppose que Dsuit la loi Nµ;σ
√50 , avec sigma = 0,19 et µinconnu. Sur l’échantillon, on a
observé µe= 9,99.
1. Á partir de ces informations, donnez une estimation ponctuelle de la moyenne µdes diamètres
des tiges produites dans une journée.
2. Déterminez un intervalle de confiance de la moyenne µà95%.
3. On considère l’affirmation : « µappartient obligatoirement à l’intervalle de la question précé-
dente ». Cette affirmation est-elle vraie ?
Exercice 7
On a contrôlé le dosage d’un produit dans un mélange à la sortie d’une chaîne de conditionnement.
On a prélevé un échantillon de 100 lots de 5kg dans la production d’une journée. On a obtenu
les résultats suivants, où Pireprésente la masse de produit exprimée en grammes, et nil’effectif
correspondant.
Pi142 144 146 148 150 152 154 156 158 160
ni1 5 6 21 32 22 7 4 1 1
1. Calculez la moyenne et l’écart-type de des masses de produit dans l’échantillon.
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2. Á partir des résultats obtenus pour cet échantillon, donnez une estimation ponctuelle de la
moyenne met de l’écart-type σde masse de produit dans la production de la journée.
3. Soit Pla variable aléatoire qui a tout échantillon de 50 lots associe la moyenne de la masse de
produit dans cet échantillon. Quel loi suit approximativement la variable P?
4. Donnez un intervalle de confiance de la moyenne mavec le coefficient de confiance de 5%.
5. même question avec un coefficient de confiance de 90% ; de 99%.
Correction :
1. Avec la calculette, on trouve la moyenne et l’écart-type de l’échantillon : xe= 150,1et σe≈
3,05, avec un effectif total n= 100.
2. Une estimation ponctuelle de la moyenne de la population est m=xe= 150,1. Une estimation
ponctuelle de l’écart-type de la population est σ=qn
n−1σe≈3,07.
3. D’après la loi des moyennes, Psuit approximativement la loi Nm;σ
√50 ≈ N(150,1; 0,43).
4. Un intervalle de confiance de mavec un coefficient de confiance de 95% est :
I=150,1−t3,07
√50 ; 150,1 + t3,07 √50 
avec 2Π(t)−1=0,95, soit t= 1,96, donc :
I= [149,25; 150,95]
5. On refait le calcul avec t= 1,645 puis t= 2,58 et on obtient :
I90% = [149,39; 150,81]
I99% = [148,98; 151,22]
Exercice 8
La proportion Pde ménages de la ville Vqui possède au moins un téléviseur est inconnue.
1. On note Fla variable aléatoire qui, à tout échantillon de 400 ménages de la ville V, associe
le pourcentage de ménages de cet échantillon ayant au moins un téléviseur. Pour un de ces
échantillons, Fvaut 80%.
(a) En utilisant cet échantillon, donnez une estimation ponctuelle de p.
(b) Quelle loi suit approximativement la variable F?
(c) Donnez alors la probabilité que dans un échantillon Fsoit inférieur à 78%.
(d) Donnez la probabilité que dans un échantillon, Fsoit compris entre 78 et 82%.
(e) Donnez une estimation de ppar intervalle de confiance avec le risque 5%.
2. On note Fnla variable aléatoire qui pour un échantillon de nménages associe la proportion
de ménages de cet échantillon ayant au moins un téléviseur. On approxime la loi de Fnpar la
loi normale de moyenne pet d’écart-type qp(1−p)
n. Quelle doit être la taille minimale n0pour
estimer pà±2% près par intervalle de confiance, avec le risque 1% ?
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Tiré du BTS 2012 : Intervalle de confiance
Un producteur fourni des bottes de paille pour l’isolation. On considère les bottes produites le
22 juillet 2011. On prélève au hasard un échantillon de 50 bottes de paille dans cette production.
La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise.
On constate que 37 bottes de pailles de cet échantillon sont conformes aux normes d’isolation.
1. Donnez une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue pdes bottes de paille de cette
production qui sont conformes aux normes d’isolation.
2. Soit Fla variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 bottes ainsi prélevé dans cette pro-
duction, associe la fréquence des bottes de cet échantillon qui sont conformes aux normes
d’isolation. On suppose que Fsuit la loi normale de moyenne inconnue pet d’écart type
qp(1−p)
50 .
(a) Déterminez un intervalle de confiance de la fréquence pau niveau de confiance de 95%.
(b) On considère l’affirmation suivante : « la fréquence pest obligatoirement dans l’intervalle
de confiance obtenu à la question 2 a) »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Tiré du BTS 2011
On considère une grande quantité de plaques devant être livrées à une chaîne de montage de
véhicules électriques. On considère un échantillon de 100 plaques prélevées au hasard dans cette
livraison. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec
remise. On constate que 94 plaques sont sans défaut.
1. Donnez une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue pdes plaques de cette livraison
qui sont sans défaut.
2. Soit Fla variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 plaques prélevées au hasard et avec
remise dans cette livraison, associe la fréquence des plaques de cet échantillon qui sont sans
défaut.
On suppose que Fsuit la loi normale de moyenne pet d’écart type qp(1−p)
100 ,où pest la fréquence
inconnue des plaques de la livraison qui sont sans défaut.
Déterminez un intervalle de confiance de la fréquence pavec le coefficient de confiance 95%.
Tiré du BTS 2008
Une entreprise fabrique en grande série des pièces de bois. Ces pièces sont prévues pour s’encastrer
les unes dans les autres. Elle ont une cote xet une cote y.
A. Loi normale
Une pièce de type est conforme lorsque sa cote x, exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle
[9,5 ; 10,5] et lorsque sa cote yappartient à l’intervalle [10,5 ; 11,5].
1. On note Xla variable aléatoire qui, à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la
production d’une journée, associe sa cote x. On suppose que la variable aléatoire Xsuit la loi
normale de moyenne 10 et d’écart type 0,21. Calculez p(9,56X610,5).
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