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ISITCOM Hammam Sousse 1 DNI
Structures alg`ebriques
Exercice 1 Soient les quatre fonctions de R∗dans R∗
f1(x) = x f2(x) = 1
xf3(x) = −x f4(x) = −1 x
Montre que G={f1, f2, f3, f4}est un groupe pour la loi ◦.
Exercice 2 Les ensembles suivants, pour les lois consid´er´ees, sont-ils des groupes ?
1. ] −1,1[ muni de la loi d´efinie par x?y=x+y
1+xy ;
2. {z∈C:|z|= 2}pour la multiplication usuelle ;
3. R+pour la multiplication usuelle ;
4. {x∈R7→ ax +b:a∈R\ {0}, b ∈R}pour la loi de composition des applications.
Exercice 3 Soit l’ensemble
J= x x
x x ∈ M2(R) : x∈R\ {0}.
Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, Jest un groupe ab´elien.
Exercice 4 Pour la multiplication usuelles des matrices carr´ees, les ensembles suivants sont-ils
des groupes :
GL2(R)∩ M2(Z),{M∈ M2(Z) : det M= 1}?
Exercice 5 1. L’ensemble R\ {−1}muni de la loi ?d´efinie par ∀a, b ∈R, a ? b =a+b+ab
est-il un groupe ?
2. L’ensemble E={−1,1, i, −i} ⊆ Cmuni de la loi usuelle de multiplication dans Cest-il
un groupe ?
3. L’ensemble E={(a0
0 0 ) : a∈R\ {0}} muni de la loi de multiplication usuelle des matrices
de M2(R) est-il un groupe ?
4. L’ensemble S2(R) des matrices sym´etriques r´eelles d’ordre 2 muni de la loi de multiplica-
tion usuelle des matrices de M2(R) est-il un groupe ?
Exercice 6 Montrer que si Het Ksont des sous-groupes de Galors H∩Kest un sous-groupe
de G. Est-ce vrai pour H∪K?
Exercice 7 Si Gest un groupe, on appelle centre de Get on note Z(G) l’ensemble
{x∈G/∀y∈G, xy =yx}
.
1. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
2. Montrer que Gest commutatif ssi Z(G) = G.
1

3. Calculer Z(σ3).
Exercice 8 Soit Hun groupe ab´elien. Un ´el´ement x∈Hest dit d’ordre fini lorsque il existe
n∈Ntel que la somme x+... +x(n-fois) soit ´egale `a 0. Montrer que l’ensemble des ´el´ements
d’ordre fini de Hest un sous-groupe ab´elien de H.
Exercice 9 Soit Gun groupe, eson ´el´ement neutre. Un ´el´ement gde Gest dit d’ordre n∈N
si gn=eet gk6=epour tout entier k < n.gest dit d’ordre fini si il est d’ordre npour un n
quelconque.
1. Montrer que Gl2(R) contient des ´el´ements d’ordre 2 et des ´el´ements qui ne sont pas d’ordre
fini.
2. Soit ϕun homomorphisme de G`a valeurs dans Het gun ´el´ement de Gd’ordre n. Montrer
que :
-ϕ(g) est d’ordre fini inf´erieur ou ´egal `a n.
- Si ϕest injectif, l’ordre de ϕ(g) est ´egal `a n.
3. Montrer que si Gn’a qu’un nombre fini d’´el´ements, tous ses ´el´ements ont un ordre fini.
Exercice 10 Soit f:R→C∗l’application qui `a tout x∈Rassocie eix ∈C∗. Montrer que f
est un homomorphisme de groupes. Calculer son noyau et son image. fest-elle injective ?
Exercice 11 Soit (G, .) un groupe. On appelle conjugaison par a∈G, l’application fade G
dans Gd´efinie par fa(x) = a.x.a−1.
1. Montrer que faest un automorphisme de G.
2. Soit Γ = {fa:a∈G}. Montrer que (Γ,◦) est un groupe.
3. Soit Φ : G→Γ, a 7→ fa. V´erifier que Φ est un morphisme. Est-il injectif ? (indication :
pr´eciser ce morphisme lorsque Gest ab´elien).
Exercice 12 Soit (A, +,×) un anneau.
On appelle centre de Al’ensemble C={x∈A/∀y∈A, xy =yx}.
Montrer que Cest un sous-anneau de A.
Exercice 13 Soit Z[i] = {a+ib, (a, b)∈Z2}.
1. Montrer que Z[i] est un anneau commutatif pour les lois usuelles de C.
2. D´eterminer les inversibles de Z[i].
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Structures alg`ebriques
Correction 2 1. Oui.
2. Non. Le seul ´el´ement qui peut ˆetre l’´el´ement neutre est 1 qui n’appartient pas `a l’ensemble.
3. Non. 0 n’a pas d’inverse.
4. Oui.
Correction 4 Le premier ensemble n’est pas un groupe car, par exemple, la matrice 2 0
0 2
ne peut avoir pour inverse que 1
20
01
2qui n’appartient pas `a l’ensemble.
Notons G={M∈ M2(Z) : det M= 1}et montrons que Gest un sous-groupe de Gl(2,R).
– la matrice identit´e appartient `a G.
– si A, B ∈Galors AB ∈ M2(Z) et det AB = det A×det B= 1 ×1 = 1, et donc AB ∈G.
– Si A=a b
c d(a, b, c, d ∈Z) alors 1
det Ad−b
−c a =d−b −c a appartient `a Get est
l’inverse de A.
Correction 8 Notons Gl’ensemble des ´el´ements d’ordre fini de H. Montrons que Gest un
sous-groupe de H.
–G⊂Het 0 ∈G.
– Si x∈Galors (−x)+(−x) + · · · + (−x) = −(x+x+· · · +x) = 0. Donc −x∈G.
– Si x, y ∈Galors (x+y) + · · · + (x+y) = (x+· · · +x) + (y+· · · +y) = 0 + 0 = 0. Donc
x+y∈G.
Nous venons de montrer que Gest un sous-groupe de H. De plus comme Hest commutatif
alors Gl’est aussi !
Correction 9 1. La matrice 0 1
1 0est d’ordre 2. La matrice 1 0 0 2n’est pas d’ordre
fini puisque, pour tout n∈N:1 0
0 2n
=1 0
0 2n6=1 0 0 1.
2. Notons eGet eHles ´el´ements neutres respectifs de Get de H. Soit gun ´el´ement de G
d’ordre n.
- Alors ϕ(g)n=ϕ(gn) = ϕ(eG) = eH. Donc ϕ(g) est d’ordre inf´erieur ou ´egal `a n, ordre
de g.
- Supposons ϕinjectif et ϕ(g) d’ordre strictement inf´erieur `a n, c’est `a dire qu’il existe
p<ntel que : ϕ(g)p=eH. Alors ϕ(gp) = eHdonc, puisque ϕest injectif et ϕ(eG) = eH,
on a aussi : gp=eG, ce qui est impossible puisque l’ordre de gest n.
3. Raisonnons par l’absurde : Soit Gun groupe fini. Supposons qu’il existe dans Gun ´el´ement
gn’´etant pas d’ordre fini. Comme Gest un groupe, on peut consid´erer X={gkk∈N}.
Or, pour i6=j:gi6=gj. En effet, supposons i<j. Si gi=gjalors gj−i=eGet gest
d’ordre inf´erieur ou ´egal `a j−i, donc fini, ce qui est impossible. Xest donc un ensemble
infini. Gcontient un ensemble infini donc est infini, ce qui est absurde, donc gne peut
ˆetre que d’ordre fini.
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Correction 10
f: (R,+) −→ (C∗,×)
x7→ eix
V´erifions que fest un morphisme de groupe. Soit x, y ∈R, alors
f(x+y) = ei(x+y)=eixeiy =f(x)×f(y),
et
f(x−1) = ei(−x)=1
eix =f(x)−1.
Donc fest un morphisme de groupe.
Montrons que fn’est pas injective en prouvant que le noyau n’est pas r´eduit `a 0 :
Ker f={x∈Rtels que f(x)=1}=x∈Rtels que eix = 1={x= 0 + 2kπ, k ∈Z}.
Enfin
Im f=y∈C∗, y =eix
est l’ensemble des complexes de module 1, c’est-`a-dire le cercle de centre 0 et de rayon 1.
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