Université Pierre & Marie Curie LM 371 (Algèbre 1) Licence de Mathématiques L3 Automne 2012 TD n◦ 7. Actions de groupes 1 Quelques actions classiques Exercice 1. a) Déterminer les orbites des groupes GLn (R), SLn (R), et On (R) dans leur action naturelle sur Rn . b) Dans chacun des cas suivants, vérifier qu’il s’agit bien d’une action, déterminer les stabilisateurs, les orbites, et écrire l’équation aux classes. i) G agit sur lui-même par translation à gauche : g ∗ x = gx. ii) G agit sur lui-même par conjugaison : g ∗ x = gxg −1 . iii) Soit H ≤ G. G agit à gauche sur G/H = {gH : g ∈ G} par g 0 ∗ (gH) = (g 0 g)H. iv) G agit par conjugaison sur l’ensemble des conjugués de H. Exercice 2. a) Montrer que le groupe des isométries d’un triangle équilatéral est isomorphe à S3 . b) Déterminer le groupe des isométries d’un carré (vous devez trouver 8 éléments). c) Donner une présentation du groupe du carré. d) Généralisation : soit P un polygône régulier à n côtés. On note Dn et l’on appelle groupe dihédral son groupe d’isométries. Décrire Dn . e) Tout dire sur l’ensemble des isométries d’un cube. 2 Théorie des actions Exercice 3. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. Montrer qu’il existe alors un morphisme de groupes φ : G → S(X) où S(X) est l’ensemble de bijections de X. Montrer que, réciproquement, à tout morphisme de groupes φ : G → S(X) on peut associer une action de G sur X par g · x = φ(g)(x). Exercice 4. Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble X (fini aussi). Pour g ∈ G, on note χ(g) le nombre de points fixes de g. P 1 a) Montrer que le nombre d’orbites est |G| g∈G χ(g). On pourra dénombrer S = {(g, x) ∈ G × X : g ∗ x = x} de deux manières différentes. b) Application. Combien de colliers distincts de huit perles bleues, rouges et vertes peut-on faire ? (Compter les orbites des coloriages d’un octogone sous l’action du groupe dihédral associé.) Exercice 5. Soit G un groupe d’ordre n opérant transitivement sur un ensemble X de cardinal `. a) Montrer que tous les stabilisateurs d’éléments sont conjugués. b) Montrer que ` divise n. S c) Montrer que l’union x∈X StabG (x) est de cardinal ≤ n − ` + 1. d) Si ` ≥ 2 montrer qu’il existe au moins ` − 1 éléments de G qui n’ont pas de point fixe. e) Application : montrer qu’un groupe fini n’est jamais union des conjugués d’un sous-groupe propre. Montrer que c’est possible si G est infini. 3 Applications des actions Exercice 6 (théorème de Cayley). Soit G un groupe. En faisant agir G sur lui-même par translation à gauche, montrer que G s’injecte dans le groupe symétrique sur son ensemble sous-jacent. Remarque. Tout groupe fini s’injecte en particulier dans un Sn . Mais vu la complexité des sous-groupes du groupe symétrique, il faut relativiser la portée pratique de ce théorème. Exercice 7. On rappelle que les automorphismes d’un groupe G forment un groupe noté Aut(G). 1 a) En faisant agir G sur lui-même par conjugaison, montrer qu’il existe un morphisme de G vers Aut(G). En déduire que G/Z(G) s’injecte dans Aut(G). b) Généralisation : si A ⊆ G est un sous-ensemble non vide, NG (A)/CG (A) s’injecte dans Aut(hAi). Exercice 8 (un peu d’arithmétique). Soient k < n deux entiers. n! a) Montrer que Cnk = k!(n−k)! en faisant agir Sn sur l’ensemble des parties à k élements de {1, . . . , n}. b) On suppose à présent k premier à n. i) Montrer que l’on fait agir Z/nZ sur l’ensemble des parties à k éléments de {0, . . . , n − 1} en posant m ∗ {a1 , . . . , ak } = {a1 + m, . . . , ak + m}. ii) Montrer que chaque stabilisateur est trivial. iii) En déduire que n divise Cnk . Exercice 9 (lemme de Cauchy). Soient G un groupe fini et p un facteur premier de |G|. On va montrer que G a (au moins) un élément d’ordre p. a) Montrer que l’on fait agir Z/pZ sur l’ensemble S = {(x0 , . . . , xp−1 ) ∈ Gp : x0 · · · · · xp−1 = 1} en posant m ∗ (x0 , . . . , xp−1 ) = (x0+m , . . . , xp−1+m ), les indices étant pris modulo p. b) Écrire l’équation aux classes et conclure. Exercice 10. Soit p un nombre premier. Un p-groupe est un groupe d’ordre une puissance de p. a) Soit G un p-groupe opérant sur un ensemble fini X. Soit X G l’ensemble des points fixes sous G : X G = {x ∈ X : ∀g ∈ G, gx = x}. Montrer que |X| ≡ |X G | mod p. b) En déduire que le centre d’un p-groupe n’est pas réduit à {e}. Exercice 11. a) Soit G un groupe ayant un sous-groupe d’indice n. Montrer que G a un sous-groupe distingué d’indice divisant n! (introduire un morphisme G → Sn ). b) Soit p le plus petit diviseur premier de |G|. Montrer que si H < G est d’indice p, alors H / G. Les deux dernières questions font suite à (a) et hors du programme. c) Montrer que (a) ne marche pas quand on remplace « distingué » par « caractéristique ». d) (Dur.) Montrer que si un groupe G infini finiment engendré possède un sous-groupe distingué d’indice fini, il possède un sous-groupe caractéristique d’indice fini. 4 Pour aller plus loin. . . Exercice 12 (transitivité d’ordre supérieur). Soit G un groupe fini opérant sur un ensemble fini X. a) Soit X [k] l’ensemble des k-uplets d’éléments distincts de X : X [k] = {(x1 , . . . , xk ) ∈ X k : ∀i 6= j, xi 6= xk }. Montrer que G agit naturellement sur X [k] . b) On dit que G agit k-transitivement sur X si G agit transitivement sur X [k] . Quel est le degré de transitivité de Sn sur X = {1, . . . , n} ? Quel est celui de An ? Quel est le degré du groupe du carré sur les sommets du carré ? c) Montrer que si G est k-transitif, alors |G| = n(n − 1) . . . (n − k + 1)| Stab(x1 , . . . , xk )|. d) On note χ(g) le nombre de points fixes de g dans son action sur X (voir Ex. 4). Montrer que G est k-transitif ssi 1 X χ(g)(χ(g) − 1) . . . (χ(g) − k + 1) = 1 |G| g∈G e) On suppose G transitif sur X. Montrer que G est 2-transitif ssi 1 |G| P g χ2 (g) = 2. Exercice 13 (actions équivalentes). Soit G un groupe agissant sur deux ensembles X et Y . Les actions sont dites équivalentes s’il existe une bijection f : X → Y telle que ∀(g, x) ∈ G × X, f (g · x) = g · f (x) (on dit que la fonction f est covariante). a) Montrer que si G est transitif sur X et que H = Stab(x) pour un x ∈ X quelconque, alors l’action de G sur X est équivalente à celle de G sur G/H. b) Montrer que l’action de G sur lui-même par translation à gauche est équivalente à son action par translation à droite. c) On note Γ : G → SG le morphisme associé à l’action gauche : Γ(g)(x) = gx, et ∆ celui associé à l’action droite : ∆(g)(x) = xg. Montrer que CSG (im Γ) = im ∆. 2