TD07 - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
LM 371 (Algèbre 1) Automne 2012
TD n◦7. Actions de groupes
1 Quelques actions classiques
Exercice 1.
a) Déterminer les orbites des groupes GLn(R),SLn(R), et On(R)dans leur action naturelle sur Rn.
b) Dans chacun des cas suivants, vérifier qu’il s’agit bien d’une action, déterminer les stabilisateurs,
les orbites, et écrire l’équation aux classes.
i) Gagit sur lui-même par translation à gauche : g∗x=gx.
ii) Gagit sur lui-même par conjugaison : g∗x=gxg−1.
iii) Soit H≤G.Gagit à gauche sur G/H ={gH :g∈G}par g0∗(gH)=(g0g)H.
iv) Gagit par conjugaison sur l’ensemble des conjugués de H.
Exercice 2.
a) Montrer que le groupe des isométries d’un triangle équilatéral est isomorphe à S3.
b) Déterminer le groupe des isométries d’un carré (vous devez trouver 8éléments).
c) Donner une présentation du groupe du carré.
d) Généralisation : soit Pun polygône régulier à ncôtés. On note Dnet l’on appelle groupe dihédral
son groupe d’isométries. Décrire Dn.
e) Tout dire sur l’ensemble des isométries d’un cube.
2 Théorie des actions
Exercice 3. Soit Gun groupe agissant sur un ensemble X. Montrer qu’il existe alors un morphisme de
groupes φ:G→S(X)où S(X)est l’ensemble de bijections de X. Montrer que, réciproquement, à tout
morphisme de groupes φ:G→S(X)on peut associer une action de Gsur Xpar g·x=φ(g)(x).
Exercice 4. Soit Gun groupe fini agissant sur un ensemble X(fini aussi). Pour g∈G, on note χ(g)le
nombre de points fixes de g.
a) Montrer que le nombre d’orbites est 1
|G|Pg∈Gχ(g). On pourra dénombrer S={(g, x)∈G×X:
g∗x=x}de deux manières différentes.
b) Application. Combien de colliers distincts de huit perles bleues, rouges et vertes peut-on faire ?
(Compter les orbites des coloriages d’un octogone sous l’action du groupe dihédral associé.)
Exercice 5. Soit Gun groupe d’ordre nopérant transitivement sur un ensemble Xde cardinal .
a) Montrer que tous les stabilisateurs d’éléments sont conjugués.
b) Montrer que divise n.
c) Montrer que l’union Sx∈XStabG(x)est de cardinal ≤n−+ 1.
d) Si ≥2montrer qu’il existe au moins −1éléments de Gqui n’ont pas de point fixe.
e) Application : montrer qu’un groupe fini n’est jamais union des conjugués d’un sous-groupe propre.
Montrer que c’est possible si Gest infini.
3 Applications des actions
Exercice 6 (théorème de Cayley).Soit Gun groupe. En faisant agir Gsur lui-même par translation à
gauche, montrer que Gs’injecte dans le groupe symétrique sur son ensemble sous-jacent.
Remarque. Tout groupe fini s’injecte en particulier dans un Sn. Mais vu la complexité des sous-groupes
du groupe symétrique, il faut relativiser la portée pratique de ce théorème.
Exercice 7. On rappelle que les automorphismes d’un groupe Gforment un groupe noté Aut(G).
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a) En faisant agir Gsur lui-même par conjugaison, montrer qu’il existe un morphisme de Gvers
Aut(G). En déduire que G/Z(G)s’injecte dans Aut(G).
b) Généralisation : si A⊆Gest un sous-ensemble non vide, NG(A)/CG(A)s’injecte dans Aut(hAi).
Exercice 8 (un peu d’arithmétique).Soient k < n deux entiers.
a) Montrer que Ck
n=n!
k!(n−k)! en faisant agir Snsur l’ensemble des parties à kélements de {1, . . . , n}.
b) On suppose à présent kpremier à n.
i) Montrer que l’on fait agir Z/nZsur l’ensemble des parties à kéléments de {0, . . . , n −1}en
posant m∗ {a1, . . . , ak}={a1+m, . . . , ak+m}.
ii) Montrer que chaque stabilisateur est trivial.
iii) En déduire que ndivise Ck
n.
Exercice 9 (lemme de Cauchy).Soient Gun groupe fini et pun facteur premier de |G|. On va montrer
que Ga (au moins) un élément d’ordre p.
a) Montrer que l’on fait agir Z/pZsur l’ensemble S={(x0, . . . , xp−1)∈Gp:x0· · · · · xp−1= 1}en
posant m∗(x0, . . . , xp−1)=(x0+m, . . . , xp−1+m), les indices étant pris modulo p.
b) Écrire l’équation aux classes et conclure.
Exercice 10. Soit pun nombre premier. Un p-groupe est un groupe d’ordre une puissance de p.
a) Soit Gun p-groupe opérant sur un ensemble fini X. Soit XGl’ensemble des points fixes sous G:
XG={x∈X:∀g∈G, gx =x}. Montrer que |X| ≡ |XG|mod p.
b) En déduire que le centre d’un p-groupe n’est pas réduit à {e}.
Exercice 11.
a) Soit Gun groupe ayant un sous-groupe d’indice n. Montrer que Ga un sous-groupe distingué
d’indice divisant n!(introduire un morphisme G→Sn).
b) Soit ple plus petit diviseur premier de |G|. Montrer que si H < G est d’indice p, alors H  G.
Les deux dernières questions font suite à (a) et hors du programme.
c) Montrer que (a) ne marche pas quand on remplace « distingué » par « caractéristique ».
d) (Dur.) Montrer que si un groupe Ginfini finiment engendré possède un sous-groupe distingué
d’indice fini, il possède un sous-groupe caractéristique d’indice fini.
4 Pour aller plus loin. . .
Exercice 12 (transitivité d’ordre supérieur).Soit Gun groupe fini opérant sur un ensemble fini X.
a) Soit X[k]l’ensemble des k-uplets d’éléments distincts de X:X[k]={(x1, . . . , xk)∈Xk:∀i6=
j, xi6=xk}. Montrer que Gagit naturellement sur X[k].
b) On dit que Gagit k-transitivement sur Xsi Gagit transitivement sur X[k].
Quel est le degré de transitivité de Snsur X={1, . . . , n}? Quel est celui de An? Quel est le degré
du groupe du carré sur les sommets du carré ?
c) Montrer que si Gest k-transitif, alors |G|=n(n−1) . . . (n−k+ 1)|Stab(x1, . . . , xk)|.
d) On note χ(g)le nombre de points fixes de gdans son action sur X(voir Ex. 4).
Montrer que Gest k-transitif ssi
1
|G|X
g∈G
χ(g)(χ(g)−1) . . . (χ(g)−k+ 1) = 1
e) On suppose Gtransitif sur X. Montrer que Gest 2-transitif ssi 1
|G|Pgχ2(g)=2.
Exercice 13 (actions équivalentes).Soit Gun groupe agissant sur deux ensembles Xet Y. Les actions
sont dites équivalentes s’il existe une bijection f:X→Ytelle que ∀(g, x)∈G×X,f(g·x) = g·f(x)
(on dit que la fonction fest covariante).
a) Montrer que si Gest transitif sur Xet que H= Stab(x)pour un x∈Xquelconque, alors l’action
de Gsur Xest équivalente à celle de Gsur G/H.
b) Montrer que l’action de Gsur lui-même par translation à gauche est équivalente à son action par
translation à droite.
c) On note Γ : G→SGle morphisme associé à l’action gauche : Γ(g)(x) = gx, et ∆celui associé à
l’action droite : ∆(g)(x) = xg. Montrer que CSG(im Γ) = im ∆.
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