APPLICATIONS LINÉAIRES

CHAPITRE
11
APPLICATIONS LINÉAIRES
1 Applications linéaires
1.1 Définitions et propriétés
1.1.a
Ensemble L(E, F)
Définition 11.1
Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
Une application f : E → F est dite linéaire si
• ∀u, v ∈ E, f (u + v) = f (u) + f (v) ;
• ∀u ∈ E ∀λ ∈ K, f (λu) = λ f (u).
On note L(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F.
Remarques
• Si E = F, on note L(E) pour L(E, F). Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de
E.
• Si l’on veut montrer qu’une application f : E → F est linéaire, on peut vérifier simultanément les deux
points de la définition en montrant que ∀u, v ∈ E ∀λ ∈ K, f (λu + v) = λ f (u) + f (v).
Exemple 11.1
• Soit E un K-espace vectoriel. L’application IdE : E → E | u 7→ u (identité de E) est un endomorphisme de E : IdE ∈ L(E) = L(E, E).
• Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L’application 0L(E,F) : E → F | u 7→ 0F (application nulle
de E dans F) est linéaire : 0L(E,F) ∈ L(E, F).
• De manière plus générale, si E est un K-espace vectoriel et si λ ∈ K, l’application
λ.IdE : E → E | u 7→ λ.u est une application linéaire, dite homothétie vectorielle (de rapport λ).
• Soit f : R2 → R3 | (x, y) 7→ (2x − y, x + y, 2y). f ∈ L(R2 , R3 ).
Proposition 11.2
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
• On a f (0E ) = 0F .
• Soient k ∈ N∗ , λ1 , . . . , λk ∈ K et u1 , . . . , uk ∈ E. On a
 k

k
X
 X

f  λi ui  =
λi f (ui )
i=1
Lycée du Parc – 851
i=1
1
Chapitre 11 – Applications linéaires
Remarque
En particulier, si f ∈ L(E, F), on a f (−u) = − f (u) pour tout u ∈ E.
Exercice 11.2
Montrer que les applications linéaires de R dans R sont exactement les homothéties vectorielles.
Exercice 11.3
Dans chacun des cas suivants, déterminer si f ∈ L(E, F).
1. E = F = R2 , f : R2 → R2 | (x, y) 7→ (x + 1, y + 1).
2. E = F = R2 , f : R2 → R2 | (x, y) 7→ (x + y, xy).
3. E = F = K[X], f : K[X] → K[X] | P(X) 7→ P(X + 1).
4. E = F = Mn (K), f : Mn (K) → Mn (K) | M 7→ t M.
Proposition 11.3
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, f, g ∈ L(E, F) et λ ∈ K.
• On note λ. f l’application λ. f : E → F | u 7→ λ. f (u).
Cette application est linéaire : λ. f ∈ L(E, F).
• On note f + g l’application f + g : E → F | u 7→ f (x) + g(x).
Cette application est linéaire : f + g ∈ L(E, F).
L’ensemble L(E, F), doté de ces opérations, est un K-espace vectoriel. Son vecteur nul est 0L(E,F) , l’application qui à tout vecteur u de E associe 0F .
Proposition 11.4
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.
Si f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G), alors g ◦ f ∈ L(E, G).
Proposition 11.5
Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
• Une application linéaire bijective de E dans F est appelée isomorphisme de E vers F.
• Une application linéaire bijective de E dans E est appelée automorphisme de E.
• Si f ∈ L(E, F) est un isomorphisme, alors f −1 ∈ L(F, E) (et f −1 est donc également un isomorphisme).
Remarque
En combinant avec les règles usuelles sur les bijections, on remarque que si f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G) sont
des isomorphismes, alors g ◦ f est un isomorphisme de E vers G, de réciproque f −1 ◦ g−1 .
Exercice 11.4
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F) un isomorphisme.
Montrer que si λ ∈ K∗ , l’application λ. f est un isomorphisme dont on précisera la réciproque.
Définition 11.6
Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E).
On définit récursivement les puissances de f par :
• f 0 = IdE ;
• ∀n ∈ N, f n+1 = f ◦ f n .
Lycée du Parc – 851
2
Chapitre 11 – Applications linéaires
Proposition 11.7
Soient E un K-espace vectoriel, f, g ∈ L(E) et p, q ∈ N.
• f p+q = f p ◦ f q .
• ( f p )q = f pq .
• Si g ◦ f = f ◦ g, alors (g ◦ f ) p = g p ◦ f p .
p P
p k
p−k
• Si g ◦ f = f ◦ g, alors ( f + g) p =
k f ◦g
k=0
1.1.b
Image d’une application linéaire
Définition 11.8
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
On définit l’image de f par :
Im f = { f (x), x ∈ E}
Remarques
• On a Im f = f (E) = { f (x), x ∈ E} = {y ∈ F, ∃x ∈ E y = f (x)}.
• Im f est une partie de l’ensemble d’arrivée de f (i.e. si f ∈ L(E, F), Im f ⊂ F).
Exercice 11.5
Soit f : R[X] → R[X] | P 7→ 2P − 2P(5).
1. Montrer que f est linéaire.
2. Montrer que ∀P ∈ R[X], P ∈ Im f ⇔ P(5) = 0.
3. En déduire que Im f = {QP, P ∈ R[X]} pour un certain Q à déterminer.
Proposition 11.9
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
• Im f est un sous-espace vectoriel de F.
• f est surjective ssi Im f = F.
1.1.c
Noyau d’une application linéaire
Définition 11.10
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
Le noyau de f , noté Ker f est défini par :
Ker f = {x ∈ E, f (x) = 0F }
Remarques
• Autrement dit, Ker f = f −1 ({0E }). Attention, il ne s’agit pas de l’image de 0F par f −1 (qui n’a aucune raison
d’exister puisque f n’est a priori pas bijective) mais de la partie image réciproque de {0F }.
• Attention aux confusions : Ker f est une partie de E, Im f une partie de F.
Proposition 11.11
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
• Ker f est un sous-espace vectoriel de E.
• f est injective ssi Ker f = {0E }.
Lycée du Parc – 851
3
Chapitre 11 – Applications linéaires
Remarques
• Le premier point permet parfois de prouver facilement qu’un certain ensemble est un s.e.v. à condition de
remarquer qu’il s’agit du noyau d’une application linéaire bien choisie.
• Le deuxième point est extrêmement important : pour prouver qu’une application linéaire est injective, on
vérifiera systématiquement que son noyau est réduit à 0E . Comme toute application linéaire envoie 0E sur
0F , il suffit de prouver que ∀x ∈ E, f (x) = 0F ⇒ x = 0E .
Exercice 11.6
Soit f : R3 → R2 | (x, y, z) 7→ (x + y + z, 2x − y − z).
Montrer que f est linéaire et déterminer Ker f .
Proposition 11.12
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
f est injective ssi l’image de toute famille libre de E par f est une famille libre de F.
Proposition 11.13
Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels, f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G).
On a :
Im(g ◦ f ) ⊂ Im g et Ker f ⊂ Ker(g ◦ f )
Remarques
• On en déduit en particulier que si f ∈ L(E), alors Im f 2 ⊂ Im f et Ker f ⊂ Ker f 2 .
• Puisque Im(g ◦ f ) est un s.e.v. de H et que Ker(g ◦ f ) est un s.e.v. de E, les inclusions permettent d’affirmer
que Im(g ◦ f ) est un s.e.v. de Im f et que Ker f est un s.e.v. de Ker(g ◦ f ).
Exercice 11.7
Soient F, G, H trois K-espaces vectoriels, f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G).
Montrer que Ker(g ◦ f ) = Ker f ssi Ker g ∩ Im f = {0F }.
1.1.d
Image directe et réciproque d’un sous-espace vectoriel
Proposition 11.14
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
• Si G est un sous-espace vectoriel de E, alors f (G) = { f (x), x ∈ G} est un sous-espace vectoriel de F.
• Si H est un s.e.v. de F, alors f −1 (H) = {x ∈ E, f (x) ∈ H} est un sous-espace vectoriel de E.
Remarque
Plus précisément, f (G) est un sous-espace vectoriel de Im f et f −1 (H) est un sous-espace vectoriel de E qui
contient Ker f .
1.2 Dimension finie
1.2.a
Image d’une base
Proposition 11.15
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
On suppose que E est de dimension finie et l’on considère une famille génératrice (u1 , . . . , un ) de E.
• ( f (u1 ), . . . , f (un )) est une famille génératrice de Im f .
• f est surjective ssi ( f (u1 , . . . , f (un )) est une famille génératrice de F.
Lycée du Parc – 851
4
Chapitre 11 – Applications linéaires
Proposition 11.16
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
Soit (e1 , . . . , en ) une base de E.
• f est injective ssi ( f (e1 ), . . . , f (en )) est libre.
• f est surjective ssi ( f (e1 ), . . . , f (en )) est génératrice (de F).
• f est bijective ssi ( f (e1 ), . . . , f (en )) est une base de F.
Remarque
On en déduit le corollaire utile suivant : f ∈ L(E, F) est un isomorphisme ssi il existe une base de E dont
l’image par f est une base de F ssi toute base de E a pour image par f une base de F.
Proposition 11.17
Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
On suppose que E est de dimension finie n ∈ N∗ et l’on se donne une base (e1 , . . . , en ) de E.
Pour toute famille ( f1 , . . . , fn ) de F, il existe une unique application linéaire ϕ ∈ L(E, F) telle que
∀i ∈ ~1, n, ϕ(ei ) = fi
Remarque
Autrement dit, une application linéaire est totalement définie par son action sur une base : si f et g sont deux
applications linéaires qui agissent de la même manière sur une base B = (e1 , . . . , en ) (i.e. si f (ei ) = g(ei ) pour
1 6 i 6 n), alors f = g.
1.2.b
Théorème du rang
Définition 11.18
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
Si E est de dimension finie, alors Im f est de dimension finie.
On définit alors le rang de f :
rg f = dim(Im f )
Proposition 11.19
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F).
On suppose que E est de dimension finie n ∈ N∗ et l’on se donne une base B = (e1 , . . . , en ) de E.
Le rang de f est égal au rang de la famille ( f (e1 ), . . . , f (en )).
Remarque
Cela reste vrai si l’on suppose simplement que (e1 , . . . , en ) est génératrice.
Théorème 11.20
Théorème du rang
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F).
On a
dim E = rg f + dim(Ker f )
Exercice 11.8
Soit f : R3 → R3 | (x, y, z) 7→ (x − 2y, x, 5y).
Montrer que f est linéaire, déterminer Ker f , en déduire le rang de f puis une base de Im f .
Lycée du Parc – 851
5
Chapitre 11 – Applications linéaires
Proposition 11.21
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F).
On a :
• rg f 6 dim E, avec égalité ssi f est injective ;
• rg f 6 dim F, avec égalité ssi f est surjective.
Proposition 11.22
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F).
•
•
•
•
Si f est injective, alors dim E 6 dim F.
Si f est surjective, alors dim E > dim F.
Si f est bijective, alors dim E = dim F.
Si dim E = dim F, alors f est injective ssi elle est surjective ssi elle est bijective.
Remarques
• On pourra avec profit remarquer la similarité entre ensembles finis – cardinal – applications d’une part et
espaces vectoriels de dimension finie – dimension – applications linéaires d’autre part.
• Les contraposées des trois premiers points sont souvent utiles : par exemple, si f ∈ L(R3 , R2 ), alors f ne
peut pas être injective.
Proposition 11.23
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie.
Si
• f ∈ L(E, F) ;
• dim E = dim F ;
• g ◦ f = IdE .
alors f et g sont des isomorphismes, réciproques l’un de l’autre (i.e. f −1 = g et g−1 = f ).
Remarque
Attention, c’est faux si l’on a pas l’égalité des dimensions (ou si F et G ne sont pas de dimension finie).
Exercice 11.9
1. Montrer que f : R2 → R2 | (x, y) 7→ (2x + y, x + y) est un isomorphisme de R2 .
2. On considère l’application f : R2 → R3 | (x, y) 7→ (x, y, 0).
a. Montrer que f est linéaire.
b. f est-elle bijective ?
c. Déterminer une application g telle que g ◦ f = IdR2 .
1.2.c
Formes linéaires
Définition 11.24
Soit E un K-espace vectoriel.
Une application linéaire f ∈ L(E, K) est appelée forme linéaire sur E.
Exemple 11.10
• Si E est de dimension n ∈ N∗ et que B = (e1 , . . . , en ) est une base de E, chacune des applications
n
P
fi : E → K | u =
λi ei 7→ λi , dites applications coordonnées dans la base B est une forme linéaire
j=1
Lycée du Parc – 851
6
Chapitre 11 – Applications linéaires
non nulle. On a Ker fi = Vect(e1 , . . . , ei−1 , ei+1 , . . . , en ).
• Si a ∈ K, l’application f : K[X] 7→ K | P 7→ P(a) est une forme linéaire non nulle.
On a Ker f = {(X − a)P, P ∈ K[X]}.
Proposition 11.25
Soit E un K-espace linéaire et f ∈ L(E, K) une forme linéaire sur E.
• Le rang de f est 0 ou 1.
• rg f = 1 ssi f est non nulle (i.e. ∃u ∈ E, f (u) , 0).
• rg f = 1 ssi f est surjective.
• Si f est non nulle et que E est de dimension finie n, alors dim Ker f = n − 1.
Remarque
Si E est de dimension n ∈ N∗ , on appelle hyperplan de E un sous-espace vectoriel de E de dimension n − 1.
2 Applications linéaires et matrices
Dans cette partie, on identifiera souvent Kn et l’ensemble Mn,1 (K) des matrices colonnes (à n lignes) à coef3
ficients
  K.
 Par exemple, la base canonique ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) de K correspond à la base canonique
   dans
1 0 0
0 , 1 , 0 de M3,1 (K).
     
0 0 1
2.1 Matrice d’une famille de vecteurs
Définition 11.26
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et B = (e1 , . . . , en ) une base de E.
On considère un entier p et une famille F = (u1 , . . . , u p ) de vecteurs de E. Chacun des vecteurs u j (1 6 j 6 p)
se décompose de manière unique sur la base B :
∀ j ∈ ~1, p ∃!(λ1, j , . . . , λn, j ) ∈ Kn , u j =
n
X
λi, j ei
i=1
La matrice de la famille (u1 , . . . , u p ) dans la base B est la matrice de Mn,p (K) dont les colonnes sont les
coordonnées des vecteurs de F dans la base B. On la note Mat F ou Mat(u1 , . . . , u p ).
B
B
Remarque
En particulier, si x ∈ E et B = (e1 , . . . , en ) est une base de E, alors Mat x est la matrice colonne (ou vecteur
B
colonne) des coordonnées de x dans la base B.
−2
Par exemple, si B = (e1 , e2 , e3 ) et x = −2e1 + e2 , alors Mat x = 1 .
0
B
Exercice 11.11
On se place dans R3 et l’on considère la famille F =
2
−1
1 , 0
.
3
4
On note B la base canonique de R3 .
1. Déterminer Mat F .
B
0
1
−1
2. Soit B0 = 0 , 0 , 2 .
1
0
2
0
a. Justifier que B est une base de R3 .
b. Déterminer Mat
B puis Mat
F.
0
0
B
Lycée du Parc – 851
B
7
Chapitre 11 – Applications linéaires
2.2 Matrice d’une application linéaire
Définition 11.27
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, dim E = p ∈ N∗ et dim F = n ∈ N∗ .
On considère des bases B = (e1 , . . . , e p ) de E et B0 = ( f1 , . . . , fn ) de F ainsi qu’une application linéaire
ϕ ∈ L(E, F).
On appelle matrice de ϕ dans les bases B et B0 , et l’on note Mat
ϕ, la matrice de la famille (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(e p ))
0
B ←B
dans la base ( f1 , . . . , fn ).
On a donc Mat
ϕ ∈ Mn,p (K).
0
B ←B
Remarques
• Autrement dit, la i-ème colonne de la matrice d’une application linéaire ϕ correspond aux coordonnées de
ϕ(ei ) (image par ϕ du i-ème vecteur de la base de départ) dans la base d’arrivée.
• Il y a autant de colonnes que de vecteurs dans la base de départ et autant de lignes que de vecteurs dans la
base d’arrivée.
• Si dim E = dim F (en particulier si E = F), la matrice de ϕ est carrée.
• Si la base d’arrivée et la base de départ sont les mêmes (ce qui n’est possible que si E = F), on notera parfois
Mat ϕ au lieu de Mat ϕ.
B
B←B
Exemple 11.12
Soit B = (e1 , e2 , e3 ) et B0 = (e01 , e02 ) les bases canoniques de R3 et R2 respectivement.
3
2
0
On considère l’application linéaire f ∈ L(R
, R )telle que f (e1 ) = (8, 3), f (e2 ) = (−1, 1) et f (e3 ) = e1 .
0
8
−1
1
La matrice de f dans les bases B et B est 3 1 0 .
L’exemple suivant est à connaître parfaitement :
Exemple 11.13
Si E est de dimension n ∈ N∗ et B est une base de E, alors Mat IdE = In .
B
Exercice 11.14
Soit f : R3 → R3 | (x, y, z) 7→ (x − z, −x − 2y + 3z, −y + z). On vérifie facilement que cette application est
linéaire, et l’on note (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 .
1. Donner Mat f .
B
2. Montrer que B0 = (e1 , f (e1 ), f 2 (e1 )) est une base de R3 .
3. Donner Mat0 f , Mat
f et Mat
f.
0
0
B←B
B ←B
B
Proposition 11.28
Soient E, F, G des K-espaces vectoriels de dimension finie et B, B0 , B00 des bases de E, F et G respectivement.
On considère f, f1 , f2 ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G).
• Si λ ∈ K, alors Mat
(λ f ) = λ Mat
f .
B0 ←B
B0 ←B • Si x ∈ E, alors Mat
f
(x)
=
Mat
f
×
Mat
x
.
B
0
B 0 ←B B
• Mat
( f1 + f2 ) = Mat
f1 + Mat f2 .
B0 ←B
B0 ←B B0 ←B • Mat
(g ◦ f ) = Mat
g × Mat
f .
00
00
0
0
B ←B
B ←B
B ←B
• f est un isomorphisme ssi Mat
f est inversible.
B0 ←B
−1
Dans ce cas, on a Mat0 f −1 = Mat
f
.
0
B←B
Lycée du Parc – 851
B ←B
8
Chapitre 11 – Applications linéaires
• f1 = f2 ssi Mat
f1 = Mat
f2 .
0
0
B ←B
B ←B
Exercice 11.15
Soient Q0 = 4X 2 − 2X − 1, Q1 = 2X 2 − 1 et Q2 = 21 (3X 2 − X − 1).
On pose Ψ : R2 [X] → R2 [X] | P 7→ Q0 P(0) + Q1 P0 (0) + Q2 P00 (0).
1. Montrer que Ψ est linéaire.
2. Déterminer la matrice de Ψ dans la base canonique de R2 [X].
3. Montrer que Ψ2 = Ψ.
Définition 11.29
Soient n, p ∈ N∗ et A ∈ Mn,p (K). On appelle application linéaire canoniquement associé à A l’unique
application linéaire de K p dans Kn dont la matrice dans les bases canoniques de K p et Kn est A.
Remarques
• Le cas le plus fréquent est celui où n = p. On parle alors de l’endomorphisme de Kn canoniquement associé
à la matrice carrée A.
• Par abus de notation, on écrit parfois Ker A et Im A pour désigner le noyau et l’image de l’application linéaire
canoniquement associé à une matrice A.
• En identifiant Kn et Mn,1 (K) (ce qui revient à noter les vecteurs de Kn en colonnes), l’application linéaire
canoniquement associée à A est fA : M p,1 (K) → Mn,1 (K) | X 7→ AX.
Exemple 11.16
!
1 −2 0
Soit A =
. L’application linéaire canoniquement associée à A est l’unique f ∈ L(K3 , K2 ) telle
3 1 4
que f (1, 0, 0) = (1, 3), f (0, 1, 0) = (−2,1) et
0, 1) = (0, 4). Si l’on veut calculer f (3, 1, −2), on peut
f (0,
3
1
−2
0
1
effectuer le produit matriciel 3 1 4 × 1 = 2 et en conclure que f (3, 1, −2) = (1, 2).
−2
Définition 11.30
Soit E un K-espace vectoriel et P =
d
P
k=0
ck X k ∈ K[X].
• Si f ∈ L(E), on définit P( f ) (le polynôme P appliqué à l’endomorphisme f ) par :
P( f ) =
d
X
ck f k
k=0
• Si n ∈ N∗ et A ∈ Mn (K), on définit P(A) par :
P(A) =
d
X
ck Ak
k=0
Remarque
La notation est transparente, mais il faut faire attention à deux choses
• si f ∈ L(E), les puissances de f correspondent à des compositions et f 0 est égal à IdE (et pas à 1 !) ;
• si A ∈ Mn (K), A0 = In (et pas 1).
Exemple 11.17
Si P = X 2 − X + 2 et f ∈ L(E), alors P( f ) = f 2 − f + 2IdE = f ◦ f − f + 2IdE .
Lycée du Parc – 851
9
Chapitre 11 – Applications linéaires
Proposition 11.31
Soient E un K-espace
vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ , B une base de E, f ∈ L(E) et P ∈ K[X].
On a P Mat f = Mat (P( f )).
B
B
2.3 Rang d’une matrice
Définition 11.32
Soient n, p ∈ N∗ et A ∈ Mn,p (K).
Le rang de la matrice A, noté rg A, est le rang de la famille formée par ses vecteurs colonnes.
Autrement dit, si A = (C1 |C2 | . . . |C p ), alors rg A = rg(C1 , . . . , C p ) les Ci étant considérés comme des vecteurs
de Kn .
Proposition 11.33
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et B une base de E. Si (u1 , . . . , u p ) est une famille de vecteurs de E, alors rg(u1 , . . . , u p ) = rg Mat(u1 , . . . , u p ) .
B
Proposition 11.34
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, B une base de E et B0 une base de
F et f ∈ L(E, F).
On a rg f = rg Mat
f .
0
B ←B
Remarque
En particulier, le rang d’une matrice est égal au rang de l’application linéaire qui lui est canoniquement associée.
Proposition 11.35
Soient n, p ∈ N∗ , A ∈ Mn,p (K).
1. rg A 6 p
2. rg A 6 n
3. A est inversible ssi n = p = rg A.
4. Si B ∈ Mn (K) est inversible, alors rg BA = rg A.
5. Si B ∈ M p (K) est inversible, alors rg AB = rg A.
Remarque
On ne change donc pas le rang d’une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur ses lignes (ou ses
colonnes).
Proposition 11.36
Le rang d’une matrice échelonnée est égal à son nombre de pivots (et donc à son nombre de lignes non
nulles).
Lycée du Parc – 851
10
Chapitre 11 – Applications linéaires
Remarques
• En pratique, on peut donc calculer le rang d’une matrice en l’échelonnant grâce au pivot de Gauss puis en
comptant le nombre de lignes non nulles de la matrice obtenue.
• On peut ainsi ramener le plus souvent la détermination du rang d’une famille ou d’une application linéaire à
du calcul matriciel.
Proposition 11.37
Soit A ∈ Mn,p (K).
On a rg t A = rg A.
2.4 Systèmes
Définition 11.38
On appelle rang d’un système linéaire le rang de la matrice associée au système.
Proposition 11.39
Soit (S ) un système linéaire homogène et A la matrice associée à ce système.
Résoudre (S ) revient à résoudre l’équation AX = 0 : l’ensemble des solutions de (S ) est donc le noyau de
l’application linéaire canoniquement associée à A.
Remarque
Si l’on note fA l’application linéaire canoniquement associée à A, la dimension de l’ensemble des solutions est
donc égal à la dimension du noyau de A. Cette dimension est également égale au nombre d’inconnues secondaires
dans le système échelonnée. Le rang de A (et de fA ) est lui égal au nombre d’inconnues principales.
Proposition 11.40
On s’intéresse à un système AX = B, où A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mn,1 (K).
On identifie Kn et Mn,1 (K) et l’on note fA l’application linéaire canoniquement associée à A. On a donc
fA : X 7→ AX.
• Si B ∈ Im fA (ce qui est toujours le cas si fA est surjective), le système est compatible et l’on a :
– une unique solution si fA est injective.
– une infinité de solutions, dépendant d’un nombre de paramètres égal à la dimension de Ker fA , si fA
n’est pas injective.
• Si B < Im fA , le système est incompatible (aucune solution).
Lycée du Parc – 851
11
Chapitre 11 – Applications linéaires
Travaux dirigés
Exercice 11.18
Pour chacune des applications suivantes, montrer qu’elle est linéaire puis déterminer son noyau et son
image (on donnera une base du noyau et une base de l’image). Préciser si elle est injective, surjective,
bijective.
1. f : R3 → R3 | (x, y, z) 7→ (x − 2y, x, 5y)
2. f : R3 → R3 | (x, y, z) 7→ (2x + 3y − z, −2x − 3y + z, 4x + 6y − 2z)
3. f : R3 → R2 | (x, y, z) 7→ (2x − y, x + y)
4. D : Kn [X] → Kn [X] | P 7→ P0
5. D : K[X] → K[X] | P 7→ P0
Exercice 11.19
On définit l’application
1
1
f : R → R | (x, y) 7→ − x + 3y, − x + 2y
2
2
2
!
2
1. Montrer que f ∈ L(R2 ).
2. Déterminer deux vecteurs non nuls v1 et v2 de R2 tels que :
f (v1 ) =
1
v1 et f (v2 ) = v2 .
2
3. Montrer que (v1 , v2 ) est une base de R2 .
4. En déduire une base de Im f , puis le noyau de f .
5. Calculer, pour tout n ∈ N, f n (v1 ) et f n (v2 ).
6. On note (e1 , e2 ) la base canonique de R2 .
a. Exprimer e1 puis e2 en fonction de v1 et v2 .
b. En déduire, pour tout n ∈ N∗ , f n (e1 ) et f n (e2 ) en fonction de e1 et e2 , puis f n (u), pour tout
u ∈ R2 .
7. Soit (xn )n∈N et (yn )n∈N les deux suites définies par x0 = y0 = 1 et :
1
1
∀n ∈ N, xn+1 = − xn + 3yn et yn+1 = − xn + 2yn .
2
2
a. On pose, pour tout n ∈ N, un = (xn , yn ). Montrer que, pour tout n ∈ N, un = f n (u0 ).
b. En déduire, pour tout n ∈ N, l’expression de un puis celles de xn et yn en fonction de n.
Exercice 11.20
On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie n et un endomorphisme f de E.
1. Montrer que ∀p ∈ N, Ker f p ⊂ Ker f p+1 et Im f p+1 ⊂ Im f p .
On dit que la suite des noyaux itérés est croissante (au sens de l’inclusion).
2. Montrer qu’il existe un entier p0 ∈ N tel que Ker f p0 = Ker f p0 +1 .
3. Montrer que si q > p0 , alors Ker f q = Ker f p0 et Im f q = Im f p0 .
Une suite comme celle des Ker f p qui est constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire.
4. Déterminer Ker f p0 ∩ Im f p0 .
Exercice 11.21
Lycée du Parc – 851
12
Chapitre 11 – Applications linéaires
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n > 1.
Un endomorphisme f de E est dit nilpotent s’il existe r ∈ N tel que f r = 0L(E) .
Soit f un endomorphisme nilpotent de E.
1. Montrer que f n’est pas une bijection.
2. On note r0 le plus petit entier tel que f r0 = 0L(E) .
a. Montrer qu’il existe x0 ∈ E tel que f r0 −1 (x0 ) , 0E .
b. Montrer que x0 , f (x0 ), . . . , f r0 −1 (x0 ) est une famille libre.
c. En déduire que r0 6 n.
Exercice 11.22
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n > 1 et u ∈ L(E).
On suppose qu’il existe un vecteur x0 ∈ E tel que u(x0 ), u2 (x0 ), . . . , un (x0 ) soit une base de E.
1. Montrer que u est un automorphisme.
2. En déduire que x0 , u(x0 ), . . . , un−1 (x0 ) est une base de E.
3. Montrer alors qu’il existe a0 , a1 , . . . , an−1 tels que
un =
n−1
X
ak uk
k=0
Exercice 11.23
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et B = (e1 , . . . , en ) une base de E.
i
P
Pour i ∈ ~1, n, on pose fi =
ek et l’on note F = ( f1 , . . . , fn ).
k=1
1. Montrer que F est une base de E.
2. Déterminer Mat F et Mat B.
B
F
Exercice 11.24
1. Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice dans la base canonique


1 4
2 


A = 0 −3 −2 .


0 4
3
On pose u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, −1, 1) et u3 = (0, −1, 2). Montrer que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base
de R3 et donner la matrice de f dans cette base.
2. Soit g l’endomorphisme de R3 de matrice dans la base canonique


 3 −3 −2


2  .
B = −2 1


3 −2 −2
On pose u1 = (1, 0, 1), u2 = (−1, −2, 1) et u3 = (8, −2, 7). Montrer que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base
de R3 et donner la matrice de g dans cette base.
Exercice 11.25


−1 2 −2


Soit f l’endomorphisme de R de matrice dans la base canonique M =  2 −1 −2.


−2 −2 −1
1. Montrer que f est un isomorphisme et donner la matrice dans la base canonique de f −1 .
3
Lycée du Parc – 851
1
3
13
Chapitre 11 – Applications linéaires
2. Montrer que l’ensemble D des vecteurs u ∈ R3 tels que f (u) = u est un s.e.v. de R3 et en donner
une base.
3. Montrer que l’ensemble P des vecteurs u ∈ R3 tels que f (u) = −u est un s.e.v. de R3 et en donner
une équation cartésienne puis une base.
4. On pose C = {(x, y, z) ∈ R3 ; y + z = 0}. Montrer que f (C) = C.
Exercice 11.26
Soient n ∈ N∗ et f : Rn [X] → Rn [X] | P(X) 7→ P(X + 1).
1. Montrer que f est un automorphisme.
2. Déterminer la matrice de f dans la base canonique de Rn [X].
3. En déduire sans calcul l’inverse de

1
0

A = 0
0

0
Lycée du Parc – 851
1
1
0
0
0
1
2
1
0
0
1
3
3
1
0

1

4

6

4
1
14
Chapitre 11 – Applications linéaires
Études
Exercice 11.27
Partie 1 – Généralités
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B une base de E et f ∈ L(E). On note A la matrice
de f dans la base B.
Pour λ ∈ K, on définit
Eλ = {u ∈ E, f (u) = λu}
Si Eλ , {0E }, on dit que λ est une valeur propre de f , on appelle Eλ le sous-espace propre associé à λ et
les éléments de Eλ les vecteurs propres de f associés à la valeur λ.
Soit λ ∈ K.
1. Montrer que Eλ est un sous-espace vectoriel de E.
2. Montrer que Eλ = Ker( f − λIdE ).
3. Montrer que λ est valeur propre de f si et seulement si A − λIn n’est pas inversible.
4. Soient λ et µ deux valeurs propres distinctes de f et u et v deux vecteurs propres non nuls associés
respectivement à λ et µ. Montrer que la famille (u, v) est libre et que Eλ ∩ Eµ = {0E }.
5.
a. Soit P ∈ K[X] tel que P( f ) = 0L(E) . Montrer que si λ est valeur propre, alors P(λ) = 0.
b. Un endomorphisme f est dit nilpotent s’il existe r ∈ N∗ tel que f r = 0L(E) . Montrer que si f
est nilpotent, alors sa seule valeur propre possible est 0.
Partie 2 – Détermination des valeurs propres
Dans la suite du problème, on se place dans E = R3 , dont on note B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique
et l’on considère l’endomorphisme f de R3 canoniquement associée à la matrice


 2 0 −3


A = −2 1 6 


0 0 −1
1. Déterminer le rang de f , une base de Im f et la dimension de Ker f .
2. f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
3. En effectuant un pivot de Gauss sur la matrice A − λI3 , montrer qu’elle a même rang que


4
λ(λ − 1)
0 

0 (λ − 1)(λ − 2)
12 


0
0
λ+1
En déduire les valeurs propres de f ainsi que les dimensions des sous-espaces propres correspondants.
4. Donner une base de E1 , de E2 et de E−1 .
Partie 3 – Diagonalisation
On définit les vecteurs e01 = (1, −2, 1), e02 = (0, 1, 0) et e03 = (1, −2, 0). On note B0 la famille (e01 , e02 , e03 ).
1. Montrer que B0 est une base de R3 .
2. Déterminer la matrice D = Mat
f.
0
B
3.
a. Déterminer la matrice P = Mat B ← B0 IdE . Attention, les bases de départ et d’arrivée ne
sont pas les mêmes : P n’est pas égal à I3 .
Lycée du Parc – 851
15
Chapitre 11 – Applications linéaires
b. Justifier sans calcul que P est inversible et que D = P−1 AP.


n
(−1) 0 0 
1 0  × P−1 .
c. En déduire que pour n ∈ N, on a An = P ×  0


0
0 2n
Exercice 11.28
Soient n ∈ N∗ et a1 , . . . , an des réels distincts. On considère l’application
ψ : Rn−1 [X] → Rn | P 7→ (P(a1 ), . . . , P(an ))
On note (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn .
1. Montrer que ψ est linéaire.
2. Calculer ψ(X i ) pour 0 6 i 6 n − 1.
3. Déterminer Ker ψ (on pourra s’intéresser au nombre de racines d’un polynôme de Ker ψ).
4. En déduire que ψ est un isomorphisme. On note ψ−1 sa réciproque.
5. Soient y1 , . . . , yn ∈ R. Montrer qu’il existe un unique polynôme P de Rn−1 [X] tel que
∀i ∈ ~1, n, P(ai ) = yi .
6. Pour i ∈ ~1, n, on pose Pi = ψ−1 (ei ).
a. Justifier que (P1 , . . . , Pn ) est une base de Rn−1 [X].
b. Pour i ∈ ~0, n − 1, déterminer les coordonnées de X i dans la base (P1 , . . . , Pn ). On pourra
utiliser la question 2.
c. Déterminer Pi pour 1 6 i 6 n.
Lycée du Parc – 851
16
Chapitre 11 – Applications linéaires
Exercices supplémentaires
Exercice 11.29
Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). On suppose que f 2 − 3 f + 2IdE = 0L(E) .
1. Montrer que f est un isomorphisme et exprimer f −1 en fonction de f et IdE .
2. Montrer qu’il existe deux suites (αn ) et (βn ) telles que
∀n ∈ N, f n = αn f + βn IdE
3. Exprimer f n en fonction de f , IdE et n ∈ N.
Exercice 11.30
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et f ∈ L(E) tel que
∀x ∈ E, ∃r ∈ N, f r (x) = 0E
Montrer que
∃q ∈ N, ∀x ∈ E, f q (x) = 0E
Question supplémentaire (difficile) : trouver un contre-exemple si E n’est plus supposé de dimension finie.
On pourra prendre E = R[X].
Exercice 11.31
Soit f ∈ L(R4 ) telle que f ◦ f = 0L(R4 ) . Montrer que rg f 6 2.
Exercice 11.32
Soient M ∈ Mn (R) et
ϕ M : Mn (R)
A
→
7
→
Mn (R)
AM
1. Montrer que ϕ M est linéaire.
2. Montrer que ϕ M est un isomorphisme ssi M est inversible.
3. On prend n = 2 et M = 20 13 . Déterminer la matrice de ϕ M dans la base canonique de M2 (R).
Exercice 11.33
Soit n > 1, on considère l’application
∆ : Rn [X] → Rn [X]
P
7→ P0
1. Montrer que ∆ est linéaire.
2. Déterminer Ker ∆ puis Im ∆ (on en donnera une base).
3. Déterminer une base B de Rn [X] telle que

0

0


Mat ∆ =  ...

B
 ..
 .
0
Lycée du Parc – 851
1
..
.
0
...
...
..
.
1
.. ..
.
.
..
.
... ...
0

0


0

.. 
. 


1
0
17
Chapitre 11 – Applications linéaires
Exercice 11.34
Soit ϕ ∈ L(R2 ) tel que ϕ2 = IdR2 .
Montrer qu’il existe une base B de R2 telle que
0
Mat ϕ =
1
B
−1
0
!
Exercice 11.35
Dans chacun des cas suivants, déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme de R3 canoniquement
associé à la matrice donnée.

2

1. A = 4

6
3
0
−3

−1

1 

3

−2

2. B =  3

6
0
1
−3

4 

−1

3

3

3. C = 4

5
1
0
3

−2

2 

−8
Exercice 11.36


1 1 1 a
1 1 a 1
. Déterminer le noyau et
Soient a ∈ R et fa l’endomorphisme canoniquement associé à 
1 a 1 1
a 1 1 1
l’image de fa .
Exercice 11.37
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie, f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G).
1. En appliquant le théorème du rang à la restriction g| Im f de g à Im f , montrer que
dim(Ker g ◦ f ) 6 dim(Ker f ) + dim(Ker g).
2. En déduire que
rg f + rg g − dim F 6 rg g ◦ f 6 min(rg f, rg g)
Lycée du Parc – 851
18