Démonstration. Soit Xune base de G0. Comme pest sujectif, il existe une
application j:X→Gtelle que p◦j=idX. D’après le théorème 1.5, il existe
un morphisme de groupes s:G0→Gtel que p◦s=idG0. On déduit de la
proposition 1.3 que s(G0)est facteur direct dans G.
Remarque. Le morphisme sest injectif car p◦s=idG0et ça implique que
G0et s(G0)⊆Gsont isomorphe. De ce fait on peut dire que G0est isomorphe
à un facteur direct du Gsous les hypothèses du corollaire 1.6.
On a G=Ker(p)⊕s(G0)sous les hypothèses ci-dessus (cf proposition 1.3 et
corollaire 1.7).
Dans ce cas on apelle sune section de p.
Définition 1.8. On dit qu’un groupe est de type fini s’il est engendré par
une partie finie.
Définition 1.9. On appelle le cardinal d’une base d’un groupe abélien libre
Gle rang de G.
Définition 1.10. Soit Gun groupe abélien. Gest dit de torsion si tout
g∈Gest d’ordre fini. Il est dit sans torsion si tout g∈G, différent de
l’élément neutre, est d’ordre infini.
Proposition 1.11. Soit Gun groupe abélien. Les éléments de Gd’ordre fini
de Gforment un sous-groupe,
On note T(G)l’ensemble des éléments d’ordre fini de Get on l’appelle le
sous-groupe de torsion de G.
Démonstration. Il y a trois cas :
Si Gest un groupe sans torsion alors T(G) = 0, si Gest un groupe de
torsion alors T(G) = G; dans ces ceux cas le résultat est trivial.
On suppose que Gsoit un groupe tel que T(G)soit distinct de Get de {0}.
Soient xet ydeux éléments de T(G); on note p(resp. q) l’ordre de x(resp.
y). On a pq(x−y) = 0, donc (x−y)∈T(G)et T(G)est un sous-groupe de
G. soit xun élément du groupe G/T (G). S’il existe p∈N∗tel que px = 0,
on a px ∈T(G)et x= 0, d’où G/T (G)est un groupe sans torsion.
Définition 1.12. Soient Gun groupe abélien et pun nombre premier. La
composante p-primaire G(p)de Gest l’ensemble des éléments de Gdont
l’ordre est une puissance de p.
Proposition 1.13. Soient Gun groupe abélien et pun nombre premier. La
composante p-primaire G(p)est un sous-groupe de G.
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