Groupes abéliens de type fini

2016-2017 M401
Université Lille 1 Algèbre
Groupes abéliens de type fini
Exercice 1 (Invariants à partir des diviseurs élémentaires).
Soit Gun groupe fini. On appelle diviseur élémentaire toute puissance pα
d’un nombre premier intervenant dans la décomposition d’un invariant dde
Gen produit de facteurs premiers. Trouver les invariants et la décomposition
canonique du groupe abélien fini dont les diviseurs élémentaires sont : 2,2,
33,3,3,52,5,11.
Exercice 2 (Décomposition canonique).
Trouver les diviseurs élémentaires, les invariants et la décomposition cano-
nique du groupe :
G=Z
20Z⊕Z 6Z⊕Z 15Z
Exercice 3 (Endomorphismes de Znde déterminant non nul).
Soit φ:Zn→Znun endomorphisme et d=|det φ|. On suppose d6= 0.
1. Montrer que φest un monomorphisme.
2. Montrer que Zn/im φest un groupe fini de cardinal d.
3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que φsoit un
isomorphisme.
Exercice 4 (Endomorphismes surjectifs des groupes abéliens de type fini).
Soit φ:G→Gun endomorphisme surjectif d’un groupe abélien de type fini
G. Montrer que φest un isomorphisme. (On pourra commencer par examiner
l’image du sous-groupe de torsion T(G)).
Exercice 5 (Exposant et ordre).
Soit Gun groupe abélien fini. On rappelle que son exposant est le ppcm des
ordres des éléments de G. Montrer que si l’exposant de Gest égal à l’ordre
de G, alors Gest cyclique.
Exercice 6 (Groupes abéliens de type fini et facteurs directs).
On dit qu’un sous-groupe H < G d’un groupe abélien est facteur direct s’il
existe un supplémentaire Kde Hdans G, c’est-à-dire un sous-groupe K < G
tel que H⊕K=G. Soit Gun groupe abélien de type fini.
1. Montrer que le sous-groupe de torsion T(G)est facteur direct de G.
2. Montrer que Gest libre si et seulement s’il vérifie la propriété sui-
vante : pour tout épimorphisme φ:HG, le noyau Kde φest
facteur direct de H.
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Exercice 7 (Théorème des restes chinois).Soient aet bdeux entiers, dleur
plus grand diviseur commun, mleur plus petit multiple commun. Montrer
que
Z
aZ⊕Z bZ'Z dZ⊕Z mZ
(voir aussi exercice 18).
Exercice 8 (Réciproque du théorème de Lagrange pour les groupes abéliens
finis).Soit Gun groupe abélien fini d’ordre n. Pour tout p, on note G(p)
l’ensemble des éléments de Gd’ordre une puissance de p.
1. Soit n=pα1
1· · · pαk
kla décomposition de pen produit de facteurs
premiers. Montrer que G=⊕16i6kG(pi).
2. En déduire que, pour tout diviseur dde n, il existe au moins un sous-
groupe Hde Gqui est d’ordre d.
Exercice 9 (Groupes abéliens donnés par générateurs et relations).Trouver
les diviseurs élémentaires, les invariants et la décomposition canonique des
groupes abéliens suivants :
1. G1, engendré par xet ytels que 10x= 9y= 0,
2. G2, engendré par x,yet ztels que 15x= 6y= 4z= 0,
3. G3, engendré par x,yet ztels que :
2x−y−3z= 0
3x−2y−3z= 0
4. G4, engendré par x,yet ztels que :
2x−y−3z= 0
3x−2y−3z= 0
7x+ 4y+ 10z= 0
Exercice 10 (Base adaptée).Soit Fle groupe abélien libre de base (x1, x2, x3).
Soit Hle sous-groupe de Fengendré par y1= 3x1+x2+x3,y2=x1+3x2+x3,
y3=x1+x2+ 3x3. Déterminer une base (x0
1, x0 2, x0 3)de Ftelle qu’il existe
une base de Hde la forme (d1x0
1, d2x0 2, d3x0
3), où d1,d2,d3sont des entiers
positifs vérifiant di|di+1 (16i62).
Exercice 11 (Groupe des automorphismes d’un groupe abélien de type fini).
Soit Gun groupe abélien fini. Démontrer que le groupe Aut Gest fini si et
seulement si il existe au plus un facteur isomorphe à Zdans la décomposition
canonique de G.
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Exercice 12 (Cardinal de la m-torsion).
Pour un groupe abélien G, et un entier m∈N∗, on note G[m]la m-torsion de
G, c’est à dire l’ensemble des éléments xde Gvérifiant, en notation additive,
mx = 0. Montrer que si deux groupes abéliens finis Get G0vérifient que pour
tout m∈N∗, les groupes G[m]et G0[m]ont même nombre d’éléments, alors
Get G0sont isomorphes.
Exercice 13 (Nombres de sous-groupes d’ordre p2).Soit pun nombre pre-
mier. Un groupe abélien Ga pour invariants p3,p2. Combien contient-il de
sous-groupes d’ordre p2?
Exercice 14. Soit pun nombre premier. Combien il y a-t-il de types d’iso-
morphismes de groupes abéliens d’ordre pn?
Exercice 15 (Générateurs d’un p-groupe fini abélien).Montrer qu’un p-
groupe fini abélien est engendré par ses éléments d’ordre maximal.
Exercice 16 (Calcul des facteurs invariants).Soit Gun groupe abélien libre
de rang net Hun sous-groupe de Gde rang q. On note a1, a2,· · · , aqles
facteurs invariants de Hdans G, ordonnés tels que ai|ai+1. On fixe kun
entier 16k6q.
1. Montrer que pour toute application k-linéaire alternée fdéfinie sur
Gà valeurs dans Zet quels que soient x1,· · · , xkéléments de H, le
produit a1· · · akdivise f(x1,· · · , xk).
2. Montrer que l’on peut de plus choisir fet x1,· · · , xktels que a1· · · ak=
f(x1,· · · , xk).
3. En déduire que a1· · · akest le pgcd des éléments de la forme f(x1,· · · , xk),
où fvarie parmi les formes k-linéaires alternées sur Gà valeurs dans
Z, et (x1,· · · , xk)varie dans Hk.
4. Soit (y1,· · · , yn)une base quelconque de Get (x1,· · · , xq)un système
de générateurs de H. On note Ala matrice dont les colonnes sont les
xiexprimés dans la base (y1,· · · , yn). Montrer que a1· · · akest le
pgcd des mineurs d’ordre kde la matrice A.
5. Comparer à l’exercice 10.
Exercice 17 (Calcul des facteurs invariants, forme normale de Smith).Soit
A∈ Mn,p(Z).
1. Montrer qu’il existe une matrice B∈ Mn,p(Z)diagonale, dont les
coefficients diagonaux sont positifs ou nuls et vérifient di|di+1, et des
matrices L∈GLn(Z)et R∈GLp(Z)telles que B=LAR. Montrer
que Best unique.
2. Montrer que le pgcd des mineurs d’ordre kde la matrice Ane varie
pas si on multiplie Aà gauche ou à droite par une matrice inversible
sur Z. Conclure.
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Exercice 18 (Théorème des restes chinois explicite).Soient aet bdeux
entiers non tous les deux nuls, dleur plus grand diviseur commun, d=
ua +vb, avec uet ventiers. On définit les entiers a1et b1par a=a1det
b=b1d, et on pose m=a1b=ab1,mest un ppcm de aet b.
1. Vérifier que
u v
−b1a1 a0 0b 1−vb1 1ua1=d0 0m
et que les matrices u v
−b1a1et 1−vb1 1ua1sont inversibles sur
Z.
2. En déduire un isomorphisme explicite entre Z
aZ⊕Z bZet Z dZ⊕Z mZ(voir
exercice 7).
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