Chapitre 2 – Processus aléatoires - Etud.insa

Chapitre 2 – Processus aléatoires
• Définition
Un processus aléatoire peut être défini comme une
variable aléatoire dépendant explicitement d’un ou
plusieurs paramètres. Dans notre cas, d’un seul
paramètre : le temps.
• Exemple
- Considérons le processus aléatoire constitué des fonctions
où dépendent du jet d’un dé, donc
du hasard .
Chaque fonction est un signal aléatoire, on dit une réalisation
du processus
cos( )At
,,A

Chapitre 2 – Processus aléatoires
• Plus formellement
• Soit un univers associé à une expérience aléatoire
Un processus aléatoire (stochastique) est défini par
• On peut l’interpréter comme
- Une famille de fonction dépendant de
- Une simple fonction de t lorsque
- Une variable aléatoire lorsque
- Un nombre lorsque
( , ( ), )PP
ou
( , ) ( , )
T
t X t
X
et t
est fixé
est fixét
et sont fixést

Chapitre 2 – Processus aléatoires
• Exemple (suite)
• Lorsque est fixé, on obtient une réalisation qui est une fonction du
temps, prise dans un ensemble de fonctions sinusoïdales.
• Lorsque est fixé on obtient une simple variable aléatoire qui peut
prendre valeurs réelles.
• Lorsque et sont fixés, on obtient un simple réel.
( , ) ( )cos( ( ). ( ))X t A t
t
3
6 216
3
6 216
t

Chapitre 2 – Processus aléatoires
• Si le temps est discret, c’est-à-dire que le hasard
intervient à des instants aléatoires connus a priori, on
parle de processus à temps discret, dénombrable.
• Si le temps est continu, le hasard se manifeste à tout
instant, on dit que le processus est à temps continu,
ensemble continu.
• Si la variable aléatoire prend des valeurs dans un
ensemble discret, le processus est dit à état discret.
• Si la variable aléatoire prend des valeurs dans un
ensemble continu, le processus est dit à état continu.
• On peut avoir toutes les combinaisons possibles, par
exemple : temps continu, état discret…
T
T

Chapitre 2 – Processus aléatoires
• Fonction de répartition d’ordre 1
Si l’on fixe le temps, on obtient une variable aléatoire,
soit qui peut être caractérisée par sa fonction de
répartition dite d’ordre 1
• Densité de probabilité d’ordre 1
La densité de probabilité d’ordre 1 est la dérivée de par
rapport à
1
()Xt
1 1 1 1 1
( , ) Pr ( )F x t X t x
1
F
1
x
1 1 1
1 1 1 1
( , )
( , ) F x t f x t x