Soit on représente les lignes de champ électrique

Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Résumé : Electromagnétisme et ondes.
Résumé : Electromagnétisme et ondes. .............................................................................................. 1
Chapitre 1 : .......................................................................................................................................... 5
La charge électrique ............................................................................................................................ 5
1.
Electromagnétisme.................................................................................................................. 5
2.
La charge électrique. ............................................................................................................... 5
3.
Interaction de charges électriques , loi de Coulomb............................................................... 5
4.
Principe de superposition........................................................................................................ 5
5.
Distribution de charges. .......................................................................................................... 6
Chapitre 2 : .......................................................................................................................................... 7
Champs électrique , loi de Gauss. ....................................................................................................... 7
1.
Champ électrique. ................................................................................................................... 7
2.
Calcul du champs électrique. .................................................................................................. 7
Application : le dipôle électrique. ............................................................................................... 8
Calcul du champs produit par une distribution de charge .......................................................... 8
3.
Lignes de champs électriques.................................................................................................. 9
4.
Flux électrique. ........................................................................................................................ 9
5.
Théorème de Gauss ............................................................................................................... 10
Application du théorème de Gauss. .......................................................................................... 10
1)
Symétrie sphérique ....................................................................................................... 10
2)
Symétrie axiale cylindrique ........................................................................................... 11
3)
Symétrie plane............................................................................................................... 11
Chapitre 3 .......................................................................................................................................... 12
La matière dans un champs électrique ............................................................................................. 12
1.
Charge dans un champ électrique ......................................................................................... 12
2.
Conducteur et équilibre électrostatique ............................................................................... 12
3.
Conducteur et loi de Gauss. .................................................................................................. 12
4.
Dipole dans un champ électrique .......................................................................................... 13
1)
Dipole dans un champ électrique non homogène. ....................................................... 13
2)
Dipole et forces de Van Der Waals ................................................................................ 14
3)
Diélectriques.................................................................................................................. 14
Chapitre 4 : ........................................................................................................................................ 15
Le potentiel électrostatique. ............................................................................................................. 15
1.
1
Définition. .............................................................................................................................. 15
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2. Implication du fait que E soit conservatif .............................................................................. 15
3.
Le gradient de potentiel. ....................................................................................................... 16
4.
Théorème d’Ostrogradski et équation de Laplace. ............................................................... 17
5.
Applications. .......................................................................................................................... 18
1)
Calcul du potentiel d’une charge ponctuelle .................................................................... 18
2)
Potentiel et champ d’un dipole. ........................................................................................ 19
3)
Potentiel d’un disque chargé............................................................................................. 20
Chapitre 5 : ........................................................................................................................................ 21
Energie électrique ............................................................................................................................. 21
1.
Energie d’un système de charges ponctuelles. ..................................................................... 21
2.
Energie d’un système de conducteurs. ................................................................................. 21
Chapitre 6 .......................................................................................................................................... 23
Condensateurs et diélectriques ........................................................................................................ 23
1.
Capacitance ........................................................................................................................... 23
Chapitre 7 .......................................................................................................................................... 25
Courant électrique, loi d’Ohm ........................................................................................................... 25
1.
Courant électrique................................................................................................................. 25
2.
Résistance et loi d’ohm. ........................................................................................................ 25
Chapitre 8 .......................................................................................................................................... 27
Force magnétique et champ magnétique ......................................................................................... 27
1.
La force magnétique. ............................................................................................................. 27
2.
Le champ magnétique. .......................................................................................................... 28
3.
Loi de Biot-Savart .................................................................................................................. 29
Chapitre 9 .......................................................................................................................................... 31
Loi d’Ampère. .................................................................................................................................... 31
1.
Loi d’Ampère ......................................................................................................................... 31
2.
Le solénoïde........................................................................................................................... 32
3.
Mouvement de charges dans des champs électriques et magnétiques ............................... 34
4.
Force sur un conducteur parcouru par un courant. .............................................................. 35
5.
Couple sur une boucle parcourue par un courant ................................................................ 36
Chapitre 10 ........................................................................................................................................ 37
Induction électromagnétique ............................................................................................................ 37
1.
Force électromotrice induite ................................................................................................. 37
2.
Loi de Faraday ....................................................................................................................... 37
3.
Champ électrique induit ........................................................................................................ 38
2
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2ème semestre
4. Inductance ............................................................................................................................. 39
5.
Energie magnétique .............................................................................................................. 40
Chapitre 11 : ...................................................................................................................................... 41
Matériaux magnétiques .................................................................................................................... 41
1.
Moments magnétiques atomiques et nucléaires.................................................................. 41
1°
Moment magnétique dû au mouvement orbital de l’électron ................................. 41
2°
Moment angulaire de spin ........................................................................................ 41
3°
Le noyau de l’atome a aussi un moment magnétique .............................................. 41
2.
Paramagnétisme.................................................................................................................... 42
3.
Ferromagnétisme .................................................................................................................. 42
4.
Diamagnétisme...................................................................................................................... 43
Chapitre 12 : ...................................................................................................................................... 44
Oscillations électromagnétiques ....................................................................................................... 44
1.
Circuit LC ................................................................................................................................ 44
2.
Circuit RLC série ..................................................................................................................... 46
3.
Circuits RC et RL ..................................................................................................................... 46
1)
Circuit RC soumis à une différence de potentiel 𝛆 ............................................................ 46
2)
Circuit RL soumis à une différence de potentiel 𝛆............................................................. 46
Chapitre 13 ........................................................................................................................................ 47
Les équations de Maxwell ................................................................................................................. 47
1.
Le courant de déplacement................................................................................................... 47
2.
Equations de Maxwell. .......................................................................................................... 48
3.
Cavités Résonantes................................................................................................................ 49
4.
Champ électrique d’une charge accélérée. ........................................................................... 50
Chapitre 14 ........................................................................................................................................ 52
Généralités sur les ondes .................................................................................................................. 52
1.
Les ondes et leur déplacement. ............................................................................................ 52
2.
Vitesse des ondes dans un fil. ............................................................................................... 54
3.
Energie d’une onde. .............................................................................................................. 55
4.
Principe de superposition...................................................................................................... 56
5.
Ondes stationnaires............................................................................................................... 57
Chapitre 15 : ...................................................................................................................................... 58
Ondes électromagnétiques ............................................................................................................... 58
1.
Ondes électromagnétiques planes ........................................................................................ 58
2.
Energie et impulsion d’une onde électromagnétiques. ........................................................ 60
3
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Physique générale
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3. Pression de radiation. ............................................................................................................ 60
Chapitre 16 ........................................................................................................................................ 61
Interférences ..................................................................................................................................... 61
1.
Ondes électromagnétiques stationnaires. ............................................................................ 61
2.
Les films minces ..................................................................................................................... 62
3.
Interféromètre de Michelson. ............................................................................................... 62
4.
Interférences par deux fentes ( Young) ................................................................................. 62
5.
Interférence par plusieurs fentes. ......................................................................................... 64
Chapitre 17 :Diffraction ..................................................................................................................... 65
1.
Diffraction par une fente simple ........................................................................................... 65
2.
Diffraction par une ouverture circulaire, critère de Rayleigh. .............................................. 66
Chapitre 18 : ...................................................................................................................................... 67
Aspect moderne de l’optique ............................................................................................................ 67
1.
Le Laser .................................................................................................................................. 67
2.
Holographie ........................................................................................................................... 68
4
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Chapitre 1 : La charge électrique
1. Electromagnétisme.
-
C’est une des forces fondamentales.
Elle est responsable de la structure de la matière, de l’atome aux êtres vivants.
Applications technologiques
Electromagnétisme →compréhension de la nature de la lumière → relativité restreinte.
2. La charge électrique.
-
-
2 types de charges, arbitrairement appelées positives et négatives.
La charge électrique est quantifiée : e est la charge de l’électron.
Remarque :
L’origine de la quantification de la charge est l’inconnue.
La charge de l’électron et du proton sont exactement égales en valeur absolue.
La charge électrique est conservée. ( somme algébrique des charges initiales = somme
algébrique des charges finales).
L’unité de charge est le Coulomb (C) . La charge de l’électron vaut 1.6 10-19 C
3. Interaction de charges électriques , loi de Coulomb.
Des charges de même signe se repoussent, des charges de signe contraire s’attirent. C’est la loi de
Coulomb.
𝐹=𝑘
𝑘 = 9 109 𝑁
𝑞1 𝑞2
1 𝑞1 𝑞2
1𝑟 =
1
2
𝑟
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟
𝑚2
𝐶2
𝑜𝑢 𝜀0 = 8.85 10−12 𝐶²/(𝑁. 𝑚2 )
Remarques :
-
Cette loi est valable de 10-14m jusqu’à de très grandes distances ( 109m).
-
Si la loi était en 𝑟2+𝑛 , la limite actuelle sur n est inférieure à 2 10-16. Le coté « fondamental »
1
de la loi est marqué que pour la gravitation qui doit être englobée dans une formulation plus
générale.
4. Principe de superposition.
Pour obtenir la force sur une charge exercée par deux ou plusieurs charges →on calcule les forces
individuelles et on fait ensuite la somme vectorielle de ces forces : principe de superposition.
Conséquences :
-
La présence d’une troisième charge n’a pas d’influence sur la force exercée entre deux
charges.
Un problème compliqué peut-être subdivisé en une série de problèmes simples.
Remarques :
Le principe de superposition se retrouve dans beaucoup de domaines : gravitation, en
électricité, optique ondulatoire, en méca quantique mais il ne s’applique pas en relativité
générale.
5
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5. Distribution de charges.
Lorsqu’il y a beaucoup de charges et qu’on est à relativement grande distance de celle-ci , il faut
considérer que la charge est uniformément distribuée sur un volume , une surface ou une ligne.
Densité de charge volumique :ρ (C/m³)
Densité de charge de surface : σ (C/m²)
Densité de charge linéaire : λ (C/m)
Une charge est distribuée uniformément avec une densité λ sur un fil très long et très fin. Quelle est
la force exercée sur une charge q près du fil ?
𝑑𝐹 =
1 𝑞 𝑑𝑄
1
𝑞λ dz
. 2 =
∗ 2
4𝜋𝜀0 𝑟
4𝜋𝜀0
𝑟
Les composantes de dFz vont se compenser.
1
𝑑𝐹𝑥 = 4𝜋𝜀 ∗
0
𝑞λ cos θ dz
𝑟2
+∞
et donc 𝐹𝑥 = ∫−∞
1
4𝜋𝜀0
∗
𝑞λ cos θ dz
𝑟2
Or : z=x tgθ
Dz= x sec² θ dθ
R= x secθ
1
Sec θ= cos 𝜃
𝜋
1 𝑞 𝜆 ⁄2
1 𝑞𝜆
𝐹𝑥 =
.
∫
cos 𝜃 𝑑𝜃 =
4𝜋𝜀0 𝑥 −𝜋⁄
2𝜋𝜀0 𝑥
2
6
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Physique générale
Chapitre 2 : Champs électrique , loi de Gauss.
1. Champ électrique.
a) Exemple de champs
-champ de gravitation : en tout point de l’espace
- Champ des vitesses dans un fluide
- Si g et v ne dépendent pas du temps on parlera de champs stationnaire.
b) Remarque :
- Dés que les charges sont en mouvement l’emploi du concept de champ est obligatoire pour
décrire le temps fini que met la perturbation due à la mise en mouvement de la 1ère charge
pour parvenir à la 2ème
- La charge est source de champs électrique au même titre que la masse est source de champs
gravitationnel
- Pour mesurer un champs électrique, on place une charge dans celui-ci et on mesure la force
subie. La force subie est donc la force par unité de charge, sa direction est celle de la force si
la charge est positive.
𝑁
𝐹 = 𝑞 𝐸 ( 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐸 = )
𝐶
2. Calcul du champs électrique.
Si on place une charge q1, à une distance r d’une charge q, la force sur q1, sera
𝐹̅ =
1 𝑞 𝑞1
1
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟
Le champs sur q1 du a q : 𝐸 = 𝐹/𝑞1
𝐸=
1 𝑞
1
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟
Champs électrique résultant d’une distribution de charge , le principe de superposition donne :
𝑛
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 + ⋯ + 𝐸𝑛 = ∑ 𝐸1 = ∑
𝑖=1
𝑖
1 𝑞𝑖
1
4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟𝑖
Où les charges qi sont situées à une distance ri du point où on calcule le champs.
(N.B ne pas confondre charge et champs : la charge crée le champ qui à son tour agit sur une autre
charge mais le champs d’une charge n’agit pas sur le champ d’une autre charge – bien qu’émanation
d’une charge , le champs est lui-même neutre).
7
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Application : le dipôle électrique.
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Le champ électrique n’a qu’une composante selon x :
1
𝑞
𝐸𝑥 = 𝐸𝑥1 + 𝐸𝑥2 = −2 (
sin 𝜃)
4𝜋𝜀0 𝑎² + 𝑦²
Or sin 𝜃 =
𝑎
𝑟
=
𝑎
√𝑎 2 +𝑦 2
D’où :
𝐸=−
1
2𝑞𝑎
1
4𝜋𝜀0 (𝑎² + 𝑦²)3⁄2 𝑥
A grande distance du dipole y>>>a
𝐸=−
1 2𝑞𝑎
1
4𝜋𝜀0 𝑦³ 𝑥
Remarque :
-
Le champs résulte de la séparation entre les charges , le dipole est neutre.
A grande distance, le dipole est caractérisé par son moment dipolaire (=2qa en C*m)
Le moment dipolaire est considérer comme un vecteur, de longueur =2qa, de direction de la
charge – vers la charge +.
Calcul du champs produit par une distribution de charge
Par le principe de superposition à de petits éléments de champs dE produits par des charges dq :
1
𝐸 = ∫ 𝑑𝐸 = ∫ 4𝜋𝜀
0
𝑑𝑞
𝑖
𝑟² 𝑟̅
Dans le cas des distributions homogènes : dq=ρdV (volume), dq=σdA (surface) , dq=λdx (ligne).
On avait calculé Fx à une distance x d’un conducteur rectiligne infini
𝐹𝑥 =
8
1 𝜆𝑞
1 𝜆
→𝐸=
2𝜋𝜀0 𝑥
2𝜋𝜀0 𝑥
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3. Lignes de champs électriques.
Soit on représente les lignes de champ électrique
Ligne telle que la tangente en chaque point représente la direction du vecteur E en ce point.
Le sens de E est donné par la flèche sur la ligne
Problème de la représentation de la grandeur E
La densité de lignes de champ (le nombre de lignes croisant une surface unitaire perpendiculaire à la
direction de la ligne) va représenter la variation de la grandeur de E.
-
On trace nl lignes pour une charge nq
La valeur absolue du nombre de lignes que l’on choisit de représenter est arbitraire.
Les lignes de champs « partent » des charges positives pour arriver aux charges négatives.
Elles ne peuvent se croiser.
Le nombre de lignes de champ croisant une surface fermée est proportionnel à la charge totale
enfermée par la surface.
4. Flux électrique.
On a vu que le nombre de ligne de champs :
-
Était proportionnel à E
Est proportionnel à la surface normale à la direction de la ligne de champ donc à Acosθ (A=
surface , θ= angle entre E et la normale à la surface).
-
Nombre de lignes est proportionnel à EA cos θ. Si on désigne par A un vecteur normal à la
surface et de longueur proportionnel à la grandeur de la surface.
On appellera flux électrique Φ𝐸 = 𝐸. 𝐴
Si la surface est courbe et/ou E varie de point en point on aura toujours pour de petites surfaces Φ =
∮ 𝐸 𝑑𝐴 = 𝑁 ∗
9
𝑚2
𝐶
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5. Théorème de Gauss
Le flux électrique à travers une surface fermée quelconque est proportionnel à la charge totale
incluse dans la surface.
Φ = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 + 𝑞𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢
Calculons le constante de proportionnalité en prenant une sphère de rayon r autour d’une charge q
On a : Φ = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 cos 𝜃 et θ est toujours nul.
Mais : 𝐸 =
1 𝑞
4𝜋𝜀0 𝑟²
Φ=∮
Donc : ∮ 𝐸𝑑𝐴 =
𝑞𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢
𝜀0
1 𝑞
1 𝑞
𝑞
𝑑𝐴 =
∮ 𝑑𝐴 =
4𝜋𝜀0 𝑟²
4𝜋𝜀0 𝑟²
𝜀0
C’est la loi de Gauss.
Remarque :
-
Le facteur 4π a été mis dans la loi de Coulomb
Si on admet la loi de Gauss, la loi de Coulomb s’en dérive directement par le raisonnement
inverse de celui-ci-dessus pour déterminer la normalisation.
Application du théorème de Gauss.
1) Symétrie sphérique
Une distribution de charge a une symétrie sphérique si la distribution de charge ne dépend que de la
distance à un point particulier appelé centre de symétrie.
La surface de Gauss sera une sphère de rayon arbitraire r centrée sur le centre de symétrie.
Comme E est toujours perpendiculaire à la surface, cos 𝜃 = ±1 et donc :
Φ = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 = 𝐸 ∮ 𝑑𝐴 = 4𝜋𝑟²𝐸
Distribution de charge totale Q contenue dans une sphère de rayon R ( r≥R) :
4𝜋𝑟²𝐸 =
𝑄
1 𝑄
→𝐸=
(𝑟 > 𝑅)
𝜀0
4𝜋𝜀0 𝑟²
Le même champ que si on avait eu une charge ponctuelle Q concentrée en r=0.
Du centre jusque et sur la surface de la sphère, quelle que soit la distribution de q = même champ.
Pour un champ à l’intérieur (r<R) de la sphère :
𝑞𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢 𝑟³
=
𝑄
𝑅³
4𝜋𝑟²𝐸 =
10
𝑄𝑟³
1 𝑄
→𝐸=
𝑟 (𝑟 < 𝑅)
4𝜋𝜀0 𝑅³
𝜀0 𝑅³
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Coquille sphérique mince :
Champ à l’extérieur : 𝐸 =
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Physique générale
1 𝑄
4𝜋𝜀0 𝑟²
Champ à l’intérieur : Q est nul donc 4𝜋𝑟²𝐸 = 0
Le champs en P créé par le petit nombre de charges sur la surface « a » est exactement
compensé par le plus grand nombre de charges sur la surface « A ».
Pour calculer E en général :
1) Étudier la symétrie pour essayer de construire une surface telle que la grandeur de E et la
direction de E par rapport à la surface soit constant
2) Évaluer Φ en fonction de E
3) Évaluer la charge incluse Q
4) Utiliser la loi de Gauss et extraire E
2) Symétrie axiale cylindrique
La distribution de charge :
-
Se prolonge à l’infini des deux côtés
Ne dépend que de la distance r à l’axe de symétrie on prendra comme surface de Gauss un
cylindre de rayon r et de longueur l, de même axe que la distribution de charge : E est
toujours perpendiculaire à cette surface.
𝐸̅ 𝑑𝐴̅ + 2 ∫ 𝐸̅ 𝑑𝐴̅
Φ = ∫ 𝐸 𝑑𝐴 = 𝐸 ∫ 𝑑𝐴 = ∫
𝑝𝑎𝑟𝑜𝑖𝑠
𝐸 ∮ 𝑑𝐴̅ = 2𝜋𝑟𝑙
Φ = 2𝜋𝑟𝑙𝐸 =
𝐸=
𝑞𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢
𝜀0
𝑞𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢
2𝜋𝑟𝑙𝜀0
Si on a une charge linéaire de densité : λ : qinclu=λl
𝜆
Et 𝐸 = 2𝜋𝑟𝜀
0
3) Symétrie plane.
LA densité de charge ne dépend que de la distance perpendiculaire au plan : E doit être
perpendiculaire au plan.
Φ = ∫ 𝐸 𝑑𝐴 = 2𝐸𝐴
𝐸=
𝑞𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢
2𝜀0 𝐴
Si on a une surface infinie de densité de charge constante σ : qinclu=σA
𝐸=
11
𝜎
2𝜀0
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Chapitre 3 : La matière dans un champs électrique
1. Charge dans un champ électrique
𝐹 = 𝑚𝑎 𝑒𝑡 𝐹 = 𝑞𝐸 → 𝑎 =
𝑞
𝐸
𝑚
2. Conducteur et équilibre électrostatique
Conducteur : les électrons ne pas liés aux atomes individuels mais libres de se mouvoir.
Équilibre électrostatique : soit un conducteur placé dans un champ électrique uniforme E. Les
électrons vont se déplacer vers la gauche sous l’effet de la force électrique qE, on a alors
séparation de charges dans le conducteur , conséquence le résultat est la création d’un champ
électrique de droite à gauche.
Le champ total sera la somme des champs et donc plus petit que le champ initial. Le mouvements
des charges ne s’arrêtera que quand le champ total est nul donc quand E et Er se compenseront.
A l’équilibre électrostatique , le champ dans un conducteur est toujours nul
indépendamment de la forme du conducteur, du champ appliqué, de la nature du
conducteur.
3. Conducteur et loi de Gauss.
À l’équilibre pas de champ dans le conducteur.
Pas de flux à travers la surface de Gauss , donc il ne peut y
avoir de charges contenues dans la surface, s’il y a excès de
charges, elles doivent se trouver à l’extérieur donc sur la
surface du conducteur.
Dans un conducteur il n’y a pas de champ électrique et les charges en excès sont sur sa surface.
Ce comportement est un test de la loi de Gauss , donc de la dépendance en 1/r² de E :
- Placer un conducteur non chargé dans un conducteur creux.
- Charger le conducteur creux
- Détecter tout mouvement de charges vers le conducteur intérieur : s’il n’y en a pas : loi
en 1/r² : OK !
Champ électrique à la surface d’un conducteur chargé.
- pour une petite surface : courbure du conducteur négligée
- pas de flux à travers le tour de la boîte ( cosθ= 0)
- pas de flux à travers la surface sur le conducteur (car E est nul à l’intérieur
du conducteur)
𝜎
𝜀0
-
Φ = 𝐸 𝐴 𝑒𝑡 𝑞𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢 = 𝜎𝐴 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐸 =
-
pour avoir un grand E il faut un grand σ
12
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4. Dipole dans un champ électrique
Le moment dipolaire p est un vecteur de grandeur q.d et orienté de –q vers
+q. Les deux charges étant soumises à des forces de sens contraire ->
couple qui tend à faire tourner le dipole et à l’aligner avec la direction de E.
1
𝜏+ = 𝑟𝑥𝐹+ = 𝑟𝐹+ sin 𝜃 = 2 𝑑𝑞𝐸 sin 𝜃 est le couple associé à la charge +q.
Pour –q : couple identique
Couple total = 𝜏 = 𝑑𝑞𝐸 sin 𝜃
Couple sur un dipole : 𝜏 = 𝑝𝑥𝐸
Travail pour écarter le dipole de la direction du champ :
𝜃
𝜃
𝑊 = − ∫ 𝜏 𝑑𝜃 = − ∫ 𝑝𝐸 sin 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑝𝐸 (cos 𝜃 − cos 𝜃0 )
𝜃0
𝜃0
Si on prend le zéro du potentiel pour θ0=π/2 , le théorème travail-énergie donne U=-pE cos θ
Donc 𝑈 = −𝑝𝐸
Conversion de l’énergie potentielle en énergie cinétique de rotation et vice-versa pour une molécule
isolée, pour une molécule non- isolée : amortissement, l’énergie libérée produisant un
échauffement.
1) Dipole dans un champ électrique non homogène.
- Le dipole CD continue à avoir une tendance à s’aligner avec E
- le Dipole AB est aligné mais le champ étant plus fort en B qu’en A, la force positive sur B est
supérieure à la force négative sur A.
𝐹 = 𝐹+ + 𝐹− = 𝑞 (𝐸 + Δ𝐸) + (−𝑞)𝐸 = 𝑞Δ𝐸
𝑑𝐸
Or 𝑝 = 𝑞Δ𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐹 = 𝑝 𝑑𝑥
Résultat valable seulement pour p et E alignés avec x, en général :
𝐹 = (𝑝. ∇)𝐸
13
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2) Dipole et forces de Van Der Waals
Soient deux dipôles , le champ B du au dipole A est :
𝐸=
𝑝1
1
2𝜋𝜀0 𝑥³ 𝑥
𝑑𝐸
Au niveau de B le champ n’est pas homogène et donc la force subie par B est : 𝐹 = 𝑝2 𝑑𝑥
3𝑝 𝑝2
4 1𝑥
0𝑥
Finalement : 𝐹 = − 2 𝜋𝜀1
Même pour une molécule non dipolaire, des fluctuations peuvent créer un dipole temporaire dont le
champ va créer une séparation de charges et donc un moment dipolaire induit dans les molécules
voisines. La force est proportionnelle à 1/x4 et à p2 , lui-même proportionnel à E de la molécule donc
en 1/x³. Le tout donne une force attractive à très courte portée (1/x7) : Force de Van Der Waals.
3) Diélectriques.
Molécules polaires : qui a un moment dipolaire intrinsèque, de telles molécules vont s’aligner (à
l’agitation thermique près) avec un champ E extérieur.
Molécule non polaire : un champ extérieur peut créer une séparation de charges donc un dipole
(aligné avec E). en général le moment induit est proportionnel à E .
On appelle diélectrique une substance qui a un moment dipolaire intrinsèque ou induit ( ce sont
les isolants).Placés dans un champ électrique, les dipôles vont s’aligner avec celui-ci, les champs
produits par les dipôles s’opposent au champ extérieur et réduisent donc le champ dans le
diélectrique. Cette réduction dépend, de la grandeur du moment dipolaire, du degré d’alignement,
de la température.
𝑬𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒆 =
𝑬𝒂𝒑𝒑𝒍𝒊𝒒𝒖é
𝑲
ou K est une constante diélectrique.
K est une mesure de la qualité de l’isolant, il détermine la vitesse de transmission d’un signal et est
lié à l’indice de réfraction.
14
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Chapitre 4 : Le potentiel électrostatique.
1. Définition.
La différence de potentiel électrique entre deux points A et B sera le travail par unité de charge à
fournir pour se déplacer de A en B.
𝑉𝐵 − 𝑉𝑎 =
𝐵
𝑊𝐴𝐵
= − ∫ 𝐸 𝑑𝐿
𝑞
𝐴
1) Le chemin de A en B, sous l’influence d’un champ électrique peut toujours être décomposé
en chemins élémentaires, soit le long d’une ligne de champ contribuant à l’intégrale et donc
au potentiel, soit perpendiculaire à la ligne de champ et donc de produit scalaire nul : seul A
et B vont compter et non le chemin suivi.
2) La différence de potentiel peut être positive ou négative
3) On doit fournir du travail pour déplacer une charge positive à travers une différence de
potentiel positive.
4) Une charge positive fournit un travail au monde extérieur lorsqu’elle se déplace dans une
différence de potentiel négative.
On parlera abusivement de potentiel d’un point A en désignant en fait la différence de potentiel
entre A et un point de référence arbitraire auquel on donne une valeur nulle de potentiel.
Unités : - différence de potentiel : Joules/ Coulomb ( Volt)
Donc E : V/m
1eV= 1.6 10-19J.
2. Implication du fait que E soit conservatif
E statique est conservatif :
∮ 𝐸 𝑑𝑙 = 0
D’où une ligne de champ ne peut pas former une boucle fermée , sinon cette boucle :
∮ 𝐸 𝑑𝑙 ≠ 0
Les lignes des champ doivent donc avoir des débuts (charges+) et des fins (charges-). La première
équation + la loi de Gauss sont équivalentes à la loi de Coulomb : tout champ tel qu’on ait la relation
et la loi de Gauss est nécessairement le champ d’une distribution statique de charges ponctuelles.
Le champ électrique est nul à l’intérieur d’une cavité fermée et creuse contenue dans un conducteur
homogène.
15
Favaretto Mélodie
Démonstration par l’absurde:
Physique générale
2ème semestre
a) Si le champ est non nul, alors on peut tracer une ligne de champ
b) Elle ne peut commencer ou finir dans la cavité puisque pas de charge.
c) Elle doit donc finir ou commencer sur le bord de la cavité ou pénétrer dans le conducteur,
mais là E=0
𝐵
d) La portion pointillée de la ligne donne donc : ∫𝐴 𝐸 𝑑𝑙 = 0
𝐵
e) Mais ∫𝐴 𝐸 𝑑𝑙 ≠ 0 donc ∮ 𝐸 𝑑𝑙 ≠ 0 contradiction d’où E nul partout.
3. Le gradient de potentiel.
Soit 2 points séparés par un déplacement infinitésimal dl.
𝑑𝑉 = −𝐸 𝑑𝑙 = −𝐸 cos 𝜃 𝑑𝑙
D’où :
𝑑𝑉
𝑑𝑙
= −𝐸 cos 𝜃
Si on prend successivement dl suivant dx, dy, dz :
𝜕𝑉⁄ = −𝐸 , 𝜕𝑉⁄ = −𝐸 , 𝜕𝑉⁄ = −𝐸
𝑥
𝑦
𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Ou en rotation vectorielle :
𝜕𝑉⁄ 𝐼 + 𝜕𝑉⁄ 𝐼 + 𝜕𝑉⁄ 𝐼 = −𝐸 ou ∇𝑉 = −𝐸
𝜕𝑥 𝑥
𝜕𝑦 𝑦
𝜕𝑧 𝑧
On appellera un ensemble de points pour lesquels la fonction potentielle a une valeur fixée et
constante une surface équipotentielle.
Une équipotentielle dV=0 et une des équations implique que les composantes de E sur cette surface
doivent être nulles et donc que E est perpendiculaire à la surface. Si le champ électrique est partout
perpendiculaire à une surface celle-ci est une équipotentielle. Toute surface conductrice à l’équilibre
électrostatique est une équipotentielle.
Avec l’expression de V en tout point on en déduit facilement les composantes du champ électrique
grâce à la relation : ∇𝑉 = −𝐸
Le principe de superposition dans le cas d’une distribution de charges rend le calcul de V facile : le
travail pour amener une charge de l’infini en un point au voisinage de plusieurs charges est
simplement la somme des quantités de travail nécessaire pour amener la charge de l’infini au
voisinage de chaque charge prise individuellement.
16
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
4. Théorème d’Ostrogradski et équation de Laplace.
Φ = ∮ 𝐸 𝑑𝐴
Attention : dA est un vecteur infinitésimal proportionnel à la petite surface A et normale à celle-ci :
Φ = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 = ∮ 𝐸 𝑑𝐴1 + ∮ 𝐸 𝑑𝐴2
1
2
La surface D est comptée dans chaque intégrale mais avec des normales égales et de sens opposé
donc la contribution de D s’annule. Tout le flux sortant de V1 par D, entre dans V2 par cette même
surface et vice-versa ; le flux à travers la surface périphérique restant identique.
Pour définir une quantité caractéristique d’une petite région particulière et à la limite , du voisinage
d’un point on ne peut utiliser : ∮𝑠 𝐸 𝑑𝐴𝑖 car elle n’a pas de limite finie.
𝑖
1
Mais on utilise 𝑉 ∮𝑖 𝐸 𝑑𝐴𝑖
𝑖
Si ce mécanisme de subdivision tend vers une limite finie alors on a une propriété caractéristique de
la fonction vectorielle E au voisinage du point considéré : on l’appellera divergence de E et noté ∇E
1
∮ 𝐸 𝑑𝐴𝑖
𝑉𝑖 →0 𝑉𝑖 𝑖
∇𝐸 ≡ lim
Ceci est le flux sortant du volume Vi , par unité de volume, à la limite des Vi infinitésimaux.
Mécanisme de subdivision :
𝑁
∮ 𝐸𝑖 𝑑𝐴𝑖
Φ = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 = ∑ 𝑉𝑖 [
]
𝑉𝑖
𝑖=1
Au passage à la limite : N→∞ et Vi→0 :
∮ 𝐸 𝑑𝐴 = ∫
𝑑𝑖𝑣 𝐸 𝑑𝑉
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
C’est le théorème d’Ostrogradski : qui établit un lien entre l’intégrale de surface d’une fonction
vectorielle et l’intégrale de la divergence de la fonction sur le volume limité par la surface.
Le théorème de Gauss peut s’écrire sous forme différentielle : ∇E= ρ/ε0 (avec ρ : densité volumique
de charge)
17
Favaretto Mélodie
Physique générale
Le divergence d’une fonction vectorielle en coordonnées cartésiennes :
𝑑𝑖𝑣 𝐹 =
2ème semestre
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝐹𝑥⁄
⁄𝜕𝑦 + 𝜕𝐹𝑧⁄𝜕𝑧
𝜕𝑥 +
On a donc : E= - grad v = -𝜕𝑉⁄𝜕𝑥 𝐼𝑥 − 𝜕𝑉⁄𝜕𝑦 𝐼𝑦 − 𝜕𝑉⁄𝜕𝑧 𝐼𝑧
Div E =
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝐸𝑥⁄
⁄𝜕𝑦 + 𝜕𝐸𝑧⁄𝜕𝑧= ρ/ε0
𝜕𝑥 +
En combinant : div E= -div grad V= -(𝜕²𝑉⁄𝜕𝑥 + 𝜕²𝑉⁄𝜕𝑦 + 𝜕²𝑉⁄𝜕𝑧)
La divergence d’un gradiant est le Laplacien et se note : ∇².
On a alors une relation locale entre la densité de charge en un point quelconque (ρ) et la fonction
potentielle (V) au voisinage immédiat de ce point. ∇²V=-ρ/ε0. Quand ρ=0 ,∇²V=0 et c’est l’équation de
Laplace. ( les solutions sont fonctions harmoniques.)
5. Applications.
1) Calcul du potentiel d’une charge ponctuelle
𝑟2
𝑟2
𝑉2 − 𝑉1 = − ∫ 𝐸 𝑑𝑙 = − ∫
𝑟1
𝑟1
1 𝑞
𝐼 𝑑𝑙
4𝜋𝜀0 𝑟² 𝑟
Or dl= Ir dr (car on est le long d’un rayon).
𝑟2
𝑉2 − 𝑉1 − ∫
𝑟1
-
1 𝑞
𝑞
1 𝑟2
𝑞
1 1
𝐼𝑟 . 𝐼𝑟 𝑑𝑙 = −
(− ) = −
( − )
4𝜋𝜀0 𝑟²
4𝜋𝜀0
𝑟 𝑟1
4𝜋𝜀0 𝑟2 𝑟1
Si r2>r1, V2<V1 si q>0 donc le potentiel diminue en s’éloignant.
Si r1 et r2 ne sont pas sur un même rayon , puisque le champ est conservatif on choisira un
chemin décomposé en une partir radiale et une partie circulaire qui ne contribue pas car E et
dl sont alors perpendiculaire.
Prenons comme référence un point V1 situé à l’infini :
1
𝑉(𝑟) − 𝑉(∞) = 𝑉(𝑟) = 4𝜋𝜀
0
𝑞
𝑟
potentiel d’une charge ponctuelle.
Maintenant on cherche E en connaissant V :
𝐸𝑟 = −
𝑑𝑉
𝑑
1 𝑞
1 𝑞
=− (
)=
𝑑𝑟
𝑑𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟
4𝜋𝜀0 𝑟²
Par le principe de superposition, si on a pas des charges discrètes mais une distribution dq de
charges :
𝑉=∫
18
𝑑𝑞
1
𝑑𝑞
=
∫
4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟
Favaretto Mélodie
Physique générale
2) Potentiel et champ d’un dipole.
2ème semestre
Par le principe de superposition, le potentiel en P est juste la
somme des potentiels dus à chacune des charges donc
𝑉(𝑃) =
1 𝑄
1 𝑄
𝑄 (𝑟2 − 𝑟1 )
−
=
4𝜋𝜀0 𝑟1 4𝜋𝜀0 𝑟2 4𝜋𝜀0 𝑟1 𝑟2
Faisons l’approximation que r est très grand comparé à l, dans ce cas on a approximativement
𝑟1 𝑟2 ~𝑟² 𝑒𝑡 𝑟1 − 𝑟2 ~𝑙 cos 𝜃
𝑉(𝑃) =
Le champ : 𝑟 = √𝑥² + 𝑦² + 𝑧² et cos 𝜃 =
𝑄𝑙 cos 𝜃
𝑃 cos 𝜃
=
2
4𝜋𝜀0 𝑟
4𝜋𝜀0 𝑟²
𝑧
√𝑥²+𝑦²+𝑧²
Donc en coordonnées cartésiennes :
𝑉(𝑃) =
𝑃
𝑧
4𝜋𝜀0 (𝑥²+𝑦²+𝑧²)3/2
d’où 𝐸𝑥 = −
𝐸𝑦 = −
𝐸𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
=
𝑃
3𝑧𝑥
4𝜋𝜀0 (𝑥²+𝑦²+𝑧²)5/2
𝜕𝑉
𝑃
3𝑧𝑦
=
𝜕𝑦 4𝜋𝜀0 (𝑥² + 𝑦² + 𝑧²)5/2
𝜕𝑉
𝑃
1
3𝑧²
=
−
(
)
3/2
(𝑥²
(𝑥²
𝜕𝑧 4𝜋𝜀0
+ 𝑦² + 𝑧²)
+ 𝑦² + 𝑧²)5/2
𝑃
Sur y : x=0 et z=0 d’où Ex=0 ; Ey=0 et Ez= -4𝜋𝜀
0
1
𝑦³
CQFD
19
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
3) Potentiel d’un disque chargé.
Un disque de rayon a possède une charge Q répartie uniformément sur sa surface. Que vaut le
champ électrique sur l’axe ?
𝑑𝑉 =
𝑎
1
𝑑𝑞
1
𝑑𝑞
→𝑉=
∫
4𝜋𝜀0 √𝑥² + 𝑟²
4𝜋𝜀0 0 √𝑥² + 𝑟²
Or : Q=σπa² et dq=σ2πr dr=(Q/ra²) 2πr dr=(2Q/a²)r dr
D’où 𝑉 =
𝑟=𝑎 𝑟 𝑑𝑟
𝑄
∫
2𝜋𝜀0 𝑎² 𝑟=0 √𝑥²+𝑟²
Posons z= x²+r² , alors :
𝑟 𝑑𝑟 =
𝑉=
(𝑑𝑟²) 𝑑 (𝑟 2 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑧
=
=
2
2
2
𝑧=𝑥²+𝑎²
𝑄
𝑑𝑧
𝑄
∫
𝑧 −1/2
=
(√𝑥² + 𝑎² − 𝑥)
2
2𝜋𝜀0 𝑎² 𝑧=𝑥²
2𝜋𝜀0 𝑎²
Remarque :
𝑎²
1 𝑎²
x>>>a : √𝑥² + 𝑎² = 𝑥 √1 + ~𝑥 (1 +
) 𝑒𝑡 𝑉 =
𝑥²
2 𝑥²
𝑄
4𝜋𝜀0 𝑥
Par symétrie Ey=Ez=0
𝐸𝑥 = −
𝑄
X<<<a = 𝐸𝑥 ≈ 2𝜋𝜀
20
0 𝑎²
𝜎
= 2𝜀
0
𝜕𝑉
𝑄 √𝑥² + 𝑎² − 𝑥
=
𝜕𝑥 2𝜋𝜀0 𝑎² √𝑥² + 𝑎²
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Chapitre 5 : Energie électrique
L’énergie potentielle est stockée dans le champ électrique et concentrée dans les régions de l’espace
ou le champ E est fort.
1. Energie d’un système de charges ponctuelles.
L’énergie potentielle d’une charge q1 située à une distance r d’une charge q2 sera
𝑈(𝑟) = 𝑞1 𝑉2 (𝑟) =
1 𝑞1 𝑞2
4𝜋𝜀0 𝑟
Permet d’amener q1 à une distance r de q2 et vice-versa : c’est l’énergie potentielle mutuelle de la
paire q1-q2
S’il y a plus de deux charges :
𝑈=
1 𝑞1 𝑞2
1 𝑞1 𝑞3
1 𝑞2 𝑞3
+
+
4𝜋𝜀0 𝑟1 2 4𝜋𝜀0 𝑟1 3 4𝜋𝜀0 𝑟2 3
1 1 𝑞2
1 𝑞3
1 1 𝑞1
1 𝑞3
= (
+
) 𝑞1 + (
+
)𝑞
2 4𝜋𝜀0 𝑟1 2 4𝜋𝜀0 𝑟1 3
2 4𝜋𝜀0 𝑟1 2 4𝜋𝜀0 𝑟2 3 2
1 1 𝑞1
1 𝑞2
+ (
+
)𝑞
2 4𝜋𝜀0 𝑟1 3 4𝜋𝜀0 𝑟2 3 3
1
1
1
= 𝑉𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 (1)𝑞1 + 𝑉𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 (2)𝑞2 + 𝑉𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 (3)𝑞3
2
2
2
Où Vautre(i) est le potentiel produit en i par les autres charges que la i.
Finalement :
1
1
1
1
𝑈 = 𝑉𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 (1)𝑞1 + 𝑉𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 (2)𝑞2 + + ⋯ + 𝑉𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 (𝑛)𝑞𝑛
2
2
2
2
C’est le travail à fournir pour amener les charges à leur position finale à partir d’une configuration
initiale où elles sont toutes très éloignées les unes des autres : c’est l’énergie électrique totale.
2. Energie d’un système de conducteurs.
Supposons des conducteurs de forme arbitraire, de charge totale Q1,Q2…..Qn et à des potentiels
V1,V2,…Vn Le potentiel sur dQ1 est le potentiel dû à toutes les autres charges. L’énergie électrique
associée à l’élément de charge dQ1 sera ½ (dQ1)V1 et l’énergie électrique de tout le conducteur 1 sera
de ½ Q1V1. Le même argument s’appliquant aux autres conducteurs :
1
1
1
𝑈 = 𝑄1 𝑉1 + 𝑄2 𝑉2 + ⋯ + 𝑄𝑛 𝑉𝑛
2
2
2
21
Favaretto Mélodie
Application :
2ème semestre
Physique générale
Deux grandes plaques métalliques de surface A et séparées par une distance d. Des charges +Q et –Q
sont respectivement placées sur ces plaques. Quelle est l’énergie électrique ?
𝜎
Le champ entre les plaques est +/- celui de plaques infinies : 𝐸 = 𝜀 = 𝑄/𝜀0 𝐴
0
LA différence de potentiel entre les plaques est :
𝑉2 − 𝑉1 = −𝐸𝑑 = −𝑄𝑑/𝜀0 𝐴
1
1
1
1
1 𝑄2 𝑑
𝑈 = 𝑄1 𝑉1 + 𝑄2 𝑉2 = 𝑄𝑉1 − 𝑄𝑉2 =
2
2
2
2
2 𝜀0 𝐴
Peut aussi écrit comme :
1
𝑄
1
𝑈 = 𝜀0 (
) ² 𝐴𝑑 = 𝜀0 𝐸²
2
𝜀0 𝐴
2
Application :
1
1 𝑞
𝑈𝑒𝑥𝑡 = 𝜀0 ∫ (
) ² 𝑑𝑣 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑣 = 4𝜋𝑟²𝑑𝑟
2
4𝜋𝜀0 𝑟²
𝑞²
∞1
𝑑𝑟
𝑟²
Donc 𝑈𝑒𝑥𝑡 = 8𝜋𝜀 ∫𝑅
0
𝑞²
1
1
= 8𝜋𝜀 (− 𝑟) 𝑅 ∞ = 8𝜋𝜀
0
0
𝑞²
𝑅
Calcul de l’énergie à l’intérieur du noyau
𝑅
1
1 𝑞𝑟 2
𝑈𝑖𝑛𝑡 = 𝜀0 ∫ (
) 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟
2
4𝜋𝜀0 𝑅 3
0
=
22
𝑞² 1 𝑅 4
1 𝑞²
∫ 𝑟 𝑑𝑟 =
6
8𝜋𝜀0 𝑅 0
8𝜋𝜀0 5𝑅
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
Chapitre 6 : Condensateurs et diélectriques
On appelle condensateur ou capacité tout appareil destiné à stocker des charges électriques.
1. Capacitance
Soit une sphère conductrice métallique, de rayon R. elle peut servir à stocker des charges. Si on place
une charge Q sur la sphère , le potentiel =
𝑉=
1 𝑄
4𝜋𝜀0 𝑅
Il existe une relation de proportionnalité entre la charge Q et le potentiel v et cette relation Ets vraie
pour tout conducteur de forme arbitraire.
𝑄 = 𝐶𝑉
𝑜ù 𝐶 = 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟
Pour la sphère
𝐶=
𝑄
=
𝑉
𝑄
= 4𝜋𝜀0 𝑅
1 𝑄
4𝜋𝜀0 𝑅
Unité : Farad (F) = 1 Coulomb/ seconde. ( on utilise plus souvent le μF et pF)
1F=1C/V=1C²/N.m
Ε0=8.85 10-12C²/Nm²=8.85 10-12F/m
La forme fréquente d’un condensateur est deux plaques métalliques séparées par un isolant et
portant des charges opposées ±Q. LA capacitance est alors la différence de potentiel entre les deux
conducteurs. Q= C∆V
Calculons C pour un tel dispositif :
𝐸=
𝜎
𝑄
𝑄𝑑
=
𝑒𝑡 ∆𝑉 = 𝐸𝑑 =
𝜀0 𝐴𝜀0
𝜀0 𝐴
𝑑′ 𝑜𝑢𝐶 =
𝑄
𝜀0 𝐴
=
∆𝑉
𝑑
Energie stockée dans un condensateur :
1
𝑑
De 𝑢 = 2 𝜀0 𝐸² on obtient 𝑈 = 2𝜀
0𝐴
𝑄²
𝑄² = 2𝐶 ou comme
1
𝑄 = 𝐶𝑉 → 𝑈 = 𝐶𝑉²
2
Il vaut mieux de petites capacitances à grand voltage que l’inverse pour stocker l’énergie.
23
Favaretto Mélodie
Combinaisons de condensateurs.
Physique générale
2ème semestre
En série : 1⁄𝐶 = 1⁄𝐶 + 1⁄𝐶 + ⋯ + 1⁄𝐶
1
2
𝑛
En parallèle : 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑛
Diélectriques.
On a vu comment des molécules qui ont un moment dipolaire s’alignent dans un champ électrique et
créent un champ qui s’apposent au champ extérieur →constante diélectrique k avec E résultant =
1
𝐸
𝜅 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒
et κ≥1
Un métal peut être considéré comme un diélectrique avec κ~∞ car alors Erésultant=0
La relation est aussi valable entre potentiels : ∆V=1/κ ∆V0
Ou ∆ V0 est la différence de potentiel en l’absence de diélectrique. C=κ C0 Le diélectrique augmente
la capacité
24
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Chapitre 7 : Courant électrique, loi d’Ohm
1. Courant électrique
Si on dépose des charges électriques opposées aux extrémités d’un conducteur →champ
électrique→ migration des charges vers les extrémités →neutralisation →disparition du champ→
équilibre électrostatique.
La plupart des lignes de champ ont leur origine aux bornes de la batterie ou du générateur, elles vont
être concentrées dans le conducteur et suivre celui-ci en étant distribuées de façon uniforme sur la
surface du conducteur.
Si le conducteur a une longueur l et que la batterie maintient une différence de potentiel ∆V à ses
extrémités , le champ électrique dans le fil sera
𝐸 = ∆𝑉/𝑙
Le champ cause un flux de charge ou courant électrique qui est :
𝐼=
𝑑𝑞
1𝐶
( 𝑒𝑛 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 → 1𝐴 = )
𝑑𝑡
𝑠
Si un flux de charges dq passe en un point donné du conducteur en un temps dt. Dans un conducteur
métallique, le flux de charge est dû aux électrons libres, dans un électrolyte ce seront les ions positifs
ou négatifs , dans un plasma ce seront des ions ou des électrons.
Densité du courant : j= I/A (A=section du conducteur)
𝑑𝐼
Si le courant varie de point à point : 𝑗 =
𝑜𝑢 𝐼 = ∫ 𝑗̅ 𝑑𝐴̅
𝑑𝐴
(au cas où les porteurs de charges ne se déplacent pas nécessairement perpendiculairement à la
surface, on inclus la direction des porteurs en considérant le vecteur j)
2. Résistance et loi d’ohm.
Si l’électron était libre → mouvement rectiligne uniformément accéléré sous l’effet de E. En réalité, à
cause du faible libre parcours moyen l’effet de « friction » compense exactement l’effet
d’accélération dû à E et il en résulte une vitesse de dérive de l’ensemble relativement lente et
constante. A chaque collision, l’énergie cinétique des électrons (fournie par E) se dissipe au profit du
réseau d’ions, qui acquière une énergie cinétique aléatoire, donc de la chaleur.
La vitesse de dérive moyenne est proportionnelle à e donc
vd÷E . Mais aussi I÷vd donc I÷E mais aussi à la section du conducteur donc :
𝐼 ÷ 𝐴𝐸 =
𝐴
∆𝑉. (𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐴)
𝑙
Si nous appelons l/ρ le coefficient de proportionnalité
1 𝐴
𝐼 = ( ) ( )∆𝑉
𝜌 𝑙
Ou 𝐼 = ∆𝑉/𝑅 loi d’Ohm
Et 𝑅 = 𝜌 𝑙/𝐴 loi de Pouillet
Où ρ est la résistivité du conducteur et R la résistance.
25
Favaretto Mélodie
Remarques :
2ème semestre
Physique générale
1) La loi d’ohm est valable pour toute sorte de formes de conducteurs et aussi lorsque la
conduction n’est pas seulement due à des électrons libres.
2) Comme I/A=j et ∆V/ρ=E , la loi d’Ohm peut aussi s’écrire j= (1/ρ) E donc la densité de courant
est proportionnelle au champ
3) Soit τ le temps moyen entre deux collisions ( propriété du métal indépendante de E. Si al
vitesse de dérive est vd , l’électron a une quantité de mouvement mevd.
Perte de la quantité de mouvement par unité de temps :
∆𝑝
𝑚𝑒 𝑣𝑑
( ) 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑢 =
∆𝑡
𝜏
Gain de quantité de mouvement, via le champ électrique :
∆𝑝
( ) 𝑔𝑎𝑔𝑛é = −𝑒 𝐸
∆𝑡
Pour un système stationnaire (gain=perte)→
𝑒𝐸𝜏
𝑣𝑑 = −
( 𝑑′ 𝑜ù 𝑗 ÷ 𝐸)
𝑚𝑒
Soit un conducteur de section A et longueur l et soit n le nombre d’électrons libres par unité
de volume.
La charge totale sera ∆𝑞 = −𝑒∆𝑛 𝐴𝑙
Prenons ∆t=1/|𝑣𝑑 | , le temps nécessaire pour que tous les électrons arrivent à une extrémité
→
|∆𝑞| 𝑒𝑛𝐴𝑙 𝑒²𝑛𝜏
𝑒²𝑛𝜏 𝐴
𝐼=
=
=
𝐴𝐸 = (
) ∆𝑉
𝑙
∆𝑡
𝑚𝑒
𝑚𝑒 𝑙
|𝑣𝑑 |
1
𝑚
𝑒
D’où 𝐼 = ∆𝑉/𝑅 (loi d’Ohm) avec 𝑅 = 𝜌 𝐴 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑢𝑖𝑙𝑙𝑒𝑡 et 𝜌 = 𝑒²𝑛𝜏
Lorsque la température augmente, l’agitation thermique augmente et donc τ diminue avec
pour résultat d’accroitre ρ
𝜌 = 𝜌0 [1 + 𝛼(𝑇 − 𝑇0 )]
4) Loi d’addition des résistances
En série : 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛
1
En parallèle : 𝑅 = 1⁄𝑅 + 1⁄𝑅 + ⋯ + 1⁄𝑅
1
2
𝑛
5) La loi d’ohm n’est pas une loi fondamentale, c’est une loi approximative sur les propriétés
électriques d’un corps conducteur.
26
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
Chapitre 8 : Force magnétique et champ magnétique
1. La force magnétique.
La force électrique exercée par une charge ponctuelle q’ sur une charge q est donnée par la loi de
1
Coulomb : 𝐹 = 4𝜋𝜀
0
𝑞𝑞′
1
𝑟² 𝑟
R est la distance séparant les charges.
Si les charges sont en mouvement apparaît une force supplémentaire : la force magnétique.
Soit q et q’ de vitesse instantanée v et v’, la force exercée par la
charge q’ sur la charge q est donnée par :
𝐹=
𝜇0 𝑞𝑞′
𝑣 × (𝑣 ′ × 1𝑟 )
4𝜋 𝑟²
𝜇0 est la constante de perméabilité = 4𝜋10−7
𝑁𝑠²
𝑐²
= 1.26 10−6
𝑁𝑠²
𝑐²
Si v et v’ sont dans le plan Ozy alors (v’× 1r) est perpendiculaire à ce plan et v×(v’×1r) est dans le plan
Ozy perpendiculaire à v.
Remarques :
1) Soient les forces électriques et magnétiques pour 2 charges ayant des vitesses instantanées
parallèles :
𝐹𝑚𝑎𝑔 =
𝜇0 𝑞𝑞′ ′
𝑣𝑣 (𝑎𝑡𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 , 𝑞 ′ 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑡𝑡𝑖𝑟é𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑞)
4𝜋 𝑟²
𝐹𝑒𝑙𝑒𝑐 =
1 𝑞𝑞′
4𝜋𝜀0 𝑟²
(𝑟é𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑣𝑒)
D’où :
𝐹𝑚𝑎𝑔
𝑠2
𝑣 𝑣′
= 𝜇0 𝜀0 𝑣𝑣 ′ = (1.12 10−17 2 ) 𝑣𝑣 ′ =
𝐹𝑒𝑙
𝑚
𝑐𝑐
Or 1.12 10-17 s²/m² = 1/c²
Le rapport ne sera grand que lorsque v et v’ sont grands par rapport à c→Fmag apparaît quand la
mécanique de Newton doit être remplacée par la mécanique relativiste.
2) Soit une charge q se déplaçant à une vitesse v à coté d’un conducteur parcouru par un
courant. LE conducteur étant neutre → Fel=0 mais il comporte des charges en mouvement →
Fmag≠0. De même dans le cas de deux conducteurs parallèles → force magnétique attractive
entre les deux fils.
3) Si on calcule la force magnétique exercée par q sur q’ et celle exercée par q’ sur q , elles ne
sont pas les mêmes , donc pour les forces magnétiques la 3ème loi de Newton ne s’applique
pas et de plus il ne peut y avoir conservation de l’impulsion ! Une analyse plus subtile montre
que la quantité de mouvement totale de la particule et du champ est conservée !
27
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
2. Le champ magnétique.
La force magnétique est communiquée d’une charge à l’autre via le champ magnétique. On déduit el
champ magnétique par 𝐹 = 𝑞𝑣 × 𝐵 (1)
Pour v parallèle ( ou anti parallèle) à B la force sera nulle. Dans le cas ou v et B sont perpendiculaires,
la grandeur du champ magnétique F/(qv) est donc la force par unité de charge et de vitesse.
Unité de b : 1tessla →1T=1N/(Cm/s) aussi appelé (Weber/m²)
Pour de faibles champs on utilise souvent le gauss= 10-4T.
Il résulte de l’expression de la force magnétique et de (1) que le champ magnétique crée par une
charge q’ en mouvement avec une vitesse v’ sera :
𝐵=
𝜇0 𝑞 ′ ′
(𝑣 × 1𝑟 )
4𝜋 𝑟 2
Pour représenter B on utilisera les lignes de champ magnétique telles que leur tangente donne la
direction de B et dont le nombre par unité de surface est proportionnel à l’intensité du champ.
Le sens de B est donné par la règle du tire-bonchon. Les lignes de champ forment des boucles
fermées.
Le flux magnétique à travers une surface fermée est nul :
∮ 𝐵 𝑑𝐴 = 0
C’est la loi de Gauss pour un champ magnétique.
Pour une distribution de charge q1,q2,q3 ,…,qn le champ magnétique sera B=B1+B2+…+Bn
C’est de nouveau le principe de superposition qui va nous permettre de calculer le champ
magnétique associé à un courant.
28
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
3. Loi de Biot-Savart
Soit un courant associé à un flux de charges (positives), la charge en mouvement dq’ dans l’élément
de fil dl produit le champ dB
𝑑𝐵 =
𝜇0 𝑑𝑞 ′ ′
𝜇0 𝑑𝑞′ ′
(𝑣 × 1𝑟 ) → 𝑑𝐵 =
𝑣 sin 𝜃
2
4𝜋 𝑟
4𝜋 𝑟²
𝑑𝑡 =
𝑑𝑙
𝜇0 𝐼 𝑑𝑙 sin 𝜃
𝑒𝑡 𝑑𝐵 =
𝑣′
4𝜋
𝑟²
D’où la loi de Biot-Savart
𝑑𝐵 =
𝜇0 𝐼 𝑑𝑙 × 𝐼𝑟
4𝜋
𝑟²
Applications :
1) Calcul du champ magnétique produit par un fil long et fin parcouru par un courant constant.
Les lignes de champ sont des cercles concentriques au fil
𝜇0 𝐼 𝑑𝑥 sin 𝜃
4𝜋
𝑟²
𝑑𝐵 =
+∞
→𝐵=∫
−∞
𝜇0 𝐼 sin 𝜃
𝑑𝑥
4𝜋 𝑟²
Exprimons dx et r en fonction de θ
𝑥 = 𝑦 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝜋 − 𝜃) = −𝑦 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃 → 𝑑𝑥
= 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ² 𝑑𝜃 𝑒𝑡 𝑟 = 𝑦/ sin 𝜃
𝜋 𝜇0 𝐼
sin 𝜃
4𝜋 𝑦
D’où → 𝐵 = ∫0
𝜇 𝐼
D’où 𝐵 = 2𝜋0 𝑦
Les lignes de champ sont concentriques et de densité ÷1/y
29
𝑑𝜃 =
𝜇0 𝐼
[− cos 𝜃]𝜋0
4𝜋 𝑦
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
2) Calcul du champ magnétique sur l’axe du conducteur circulaire de rayon R traversé par un
courant I
𝜇0 𝐼 𝑑𝑙
4𝜋 𝑧² + 𝑅²
dB est perpendiculaire au segment joignant dl à P. Lorsque dl parcourt le cercle la
composante horizontale de B (dBx et dBy) s’annule par symétrie. Seule la composante dBz
apporte une contribution
𝜇0 𝐼 𝑑𝑙
𝑑𝐵𝑧 = 𝑑𝐵 cos(90° − 𝛼) = 𝑑𝐵 sin 𝛼 =
sin 𝛼
4𝜋 𝑧² + 𝑅²
𝑑𝐵 =
Or
𝑅
𝑑′ 𝑜𝑢
√𝑧² + 𝑅²
𝜇0 𝐼𝜋𝑅² 𝜇0 𝜇
𝐵=
=
2𝜋 𝑧³
2𝜋 𝑧³
Avec μ= (courant) ×(surface de la spire)
μ est le moment dipolaire magnétique de la spire.
sin 𝛼 =
Exemple :
1) Beaucoup de particules élémentaires chargées ont un moment dipolaire magnétique qui
trouve son origine dans le spin. Suite a à cette rotation la particule se comporte comme
une série de spires parcourues par un courant →moment dipolaire magnétique. A ce
champ magnétique vient s’ajouter le champ électrique associé à la charge et si la
particule est en mouvement un champ magnétique supplémentaire associé à v.
2) La terre possède également un moment dipolaire magnétique lié à la rotation de
courants dans le noyau de fer liquide. Le champ de la terre, éloigné de celle-ci est
caractéristique d’un dipole magnétique.
30
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
Chapitre 9 : Loi d’Ampère.
1. Loi d’Ampère
Elle nous permet de calculer le champ magnétique d’une distribution de courants ayant une certaine
symétrie. On a vu que le champ magnétique associé à un fil long et rectiligne traversé par un courant
𝜇
𝐼
constant I0 était donné par 𝐵 = (2𝜋0 ) ( 𝑟0 ) à une distance r du fil et que les lignes de champ
magnétique étaient des cercles concentriques autour du conducteur.
Que vaut ∮ 𝐵 𝑑𝑙 autour d’un contour fermé quelconque entourant le conducteur ?
Puisque B est dans la direction tangentielle aux arcs circulaires,
seulement ceux-ci vont contribuer. Les segments radiaux,
perpendiculaires à B n’interviennent pas.
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = ∮ 𝐵 𝑟 𝑑𝜃 = ∮
𝜇0 𝐼0
𝜇0
𝑟 𝑑𝜃 =
𝐼 ∮ 𝑑𝜃
2𝜋 𝑟
2𝜋 0
D’où ∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 𝑙𝑜𝑖 𝑑′𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒
L’intégrale de B sur tout chemin fermé est égale à μ0 fois le courant intercepté par la surface limitée
par le chemin fermé. Le entre le signe du courant et le sens de parcours est la règle du tire bouchon.
Application :
Le champ magnétique produit par un fil rectiligne long mais de section R parcouru par un courant I0
uniformément réparti sur la section.
a) A l’intérieur du fil.
B à une distance r de l’axe du fil, les lignes de champs étant des cercles :
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 2𝜋𝑟𝐵
Le courant I à travers une section de rayon r est relié au courant I0 à travers la section R par
𝐼 = 𝐼0
𝜋𝑟²
𝜋𝑅²
𝑟²
La loi d’ampère donne 2𝜋𝑟𝐵 = 𝜇0 𝐼 = 𝜇0 𝐼0 (𝑅²) d’où
𝐵=
𝜇0 𝐼0 𝑟
(𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐵 = 0 𝑎𝑢 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑟 = 𝑅)
2𝜋 𝑅²
b) A l’extérieur du fil
𝜇0 𝐼0
2𝜋 𝑟
Vu que le calcul repose su la symétrie cylindrique et pas sur l’épaisseur du fil , le champ est le
même que le fil soit mince ou pas.
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 2𝜋𝑟𝐵 = 𝜇0 𝐼0 𝑑′ 𝑜ù 𝐵 =
31
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
2. Le solénoïde.
On va considérer ici le solénoïde idéal :
-
Très (infiniment) long
Spires très serrées → distribution de courant uniforme sur la surface.
Le système possède les symétries suivantes :
-
Translation le long de l’axe du solénoïde
Rotation autour de l’axe
Les lignes de champ ne peuvent donc être que :
a) Des cercles concentriques →non car pas de composante du courant le long de l’axe
b) Des lignes radiales partant de l’axe → non car les lignes de champ devraient partir de l’axe
c) Des lignes parallèles à l’axe →seule bonne possibilité.
Le solénoïde étant très long les lignes de champ magnétique à l’intérieur du solénoïde doivent être
très dispersées donc B≈0 à l’extérieur du solénoïde.
Loi d’Ampère :
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝐵𝑙 = 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡é × 𝜇0
Le courant intercepté est NI0 d’où
𝑁
𝐵𝑙 = 𝜇0 𝐼0 → 𝐵 = 𝜇0 𝐼0 ( ) = 𝜇0 𝐼0 𝑛
𝑙
Où n est le nombre de spires par unités de longueur. Le champ magnétique est constant en grandeur
et en direction dans le solénoïde.
Calcul du champ d’un toroïde( solénoïde qui est recourbé en forme d’anneau de sorte que ses
extrémités soient condondues) :
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 2𝜋𝑟 𝐵 = 𝜇0 𝑁 𝐼0
→𝐵=
32
𝜇0 𝑁𝐼0
2𝜋 𝑟
2ème semestre
Favaretto Mélodie
Physique générale
Forme différentielle du théorème d’Ampère.
Comme le théorème d’Ampère s’applique à un contour quelconque on va l’appliquer à un contour
infinitésimal PGRS situé dans le plan xy. On a
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = ∫
+∫
𝑃𝑄
𝑃𝑄𝑅𝑆
+∫
𝑄𝑅
+∫
𝑅𝑆
𝑆𝑃
∫ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝐵 𝐼𝑦 𝑑𝑦 = 𝐵𝑦 𝑑𝑦
𝑄𝑅
∫ 𝐵′ 𝑑𝑙 = −𝐵′𝑦 𝑑𝑦
𝑆𝑃
Donc
∫
+∫
𝑄𝑅
= (𝐵𝑦 − 𝐵′ 𝑦 )𝑑𝑦
𝑆𝑃
𝐵𝑦 − 𝐵′𝑦 = 𝑑𝐵𝑦 =
𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑥
De même
∫
𝑃𝑄
+∫
𝑅𝑆
=−
𝜕𝐵𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝜕𝑦
D’où
∮
𝑃𝑄𝑅𝑆
𝐵 𝑑𝑙 = (
𝜕𝐵𝑦 𝜕𝐵𝑥
−
) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Si dI est le courant traversant PQRS , on peut le relier à la densité de courant j par dI=j dS=jz dx dy
Et finalement
De même
𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑥
−
−
𝜕𝐵𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐵𝑥
𝜕𝑦
= 𝜇0 𝑗𝑥
= 𝜇0 𝑗𝑦
→ 𝑟𝑜𝑡 𝐵 = 𝜇0 𝑗
33
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
On a établi une relation locale entre B et j en un même point de l’espace. La donnée de j permet de
calculer B et vice-versa. S’il n’y a pas de courant électrique rot B=0.
Comme on a vu que ∮ 𝐸 𝑑𝑙 = 0 la relation locale correspondante sera : rot E= 0
Remarque :
-
On a vu le théorème d’Ostrogradski qui permet de transformé une intégrale de surface en
une intégrale de volume
∫ 𝐸 𝑑𝐴 = ∫ 𝑑𝑖𝑣 𝐸 𝑑𝑉
𝑠
-
𝑣
On vient d’utiliser ici une autre relation (théorème de Stockes) qui lie une intégrale de
contour à une intégrale de surface.
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = ∫𝑠 𝑟𝑜𝑡 𝐵 𝑑𝐴
3. Mouvement de charges dans des champs électriques et magnétiques
La force exercée sur une particule par un champ magnétique est F= qv×B
F est toujours à angle droit par rapport à la vitesse → modifie l’orientation de v mais pas sa
grandeur :
𝑑
𝑑
𝑑𝑣
𝐹
𝑣² = 𝑣. 𝑣 = 2𝑣
= 2𝑣 = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑚
Mouvement dans un champ magnétique uniforme : F perpendiculaire à v et à B → accélération
constante orientée vers 0→ mouvement circulaire uniforme.
𝑎=
𝐹 𝑞𝑣𝐵 𝑣²
𝑚𝑣
𝑝
=
= →𝑟=
=
𝑚
𝑚
𝑟
𝑞𝐵 𝑞𝐵
La vitesse angulaire du mouvement est :
𝜔=
𝑣 𝑞𝐵
=
𝑟
𝑚
Et donc la fréquence cyclotronique :
𝜈=
𝜔
𝑞𝐵
=
2𝜋 2𝜋𝑚
Cette fréquence ne dépend pas de la vitesse de la particule toutefois les particules de plus faible
vitesse se meuvent sur un cercle de plus petit rayon.
V perpendiculaire à B et v parallèle à B donne un mouvement de translation, non affecté par B, de
direction B→ mouvement sur une hélice d’axe parallèle à B et de rayon r=mv⊥/qB
34
Favaretto Mélodie
Force de Lorentz.
Physique générale
2ème semestre
F=qE+qv×B
Soit deux champs uniformes E et B perpendiculaires et une particule positive allant
de gauche à droite : si E=-v×B la force totale sera nulle, donc pour v=E/B la particule
ne subira pas de force .
Application :
a) Le sélecteur de vitesse de particules : si on veut extraire les particules de vitesse v on utilise
des champs croises E et B tels que v=E/B
b) L’effet Hall
Si on place une bande conductrice de courant dans un champ magnétique perpendiculaire à
la bande, lorsque celle-ci est parcourue par un courant, les électrons subissent une force
magnétique qui fait que les électrons s’accumulent sur un des bords de la bande créant une
différence de potentiel et donc de champ E
A l’équilibre les forces électriques et magnétiques vont se compenser
𝐼𝐵𝑙
∆𝑉 = ∫ 𝐸 𝑑𝑙 = 𝑣𝐵𝑙 = 𝑒𝑛𝐴
𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒, 𝐴 = 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟
Moyen de mesure de B en mesurant ∆V
Si B est connu, c’est aussi un moyen de mesurer n
4. Force sur un conducteur parcouru par un courant.
Si un fil parcouru par un courant est placé dans un champ magnétique, les charges en mouvement
vont subir une force :
𝑑𝑞 = 𝐼
𝑑𝑙
𝑣
Et 𝑑𝐹 = 𝑑𝑞𝑣𝐵 sin 𝜃 = 𝐼𝑑𝑙 𝐵 sin 𝜃 → 𝑑𝐹 = 𝐼 𝑑𝑙 × 𝐵
Si deux conducteurs sont parcourus par un courant, chacun crée
un champ B qui exerce une force sur l’autre s’ils sont parcourus
par un courant de même sens
𝐵′ =
𝜇0 𝐼′
2𝜋 𝑟
La force sur un segment dl du fil parcouru par le courant I sera
𝑑𝐹 = 𝐼𝐵′ 𝑑𝑙 =
𝜇0 𝐼𝐼′
𝑑𝑙
2𝑝 𝑟
Et la force par unité de longueur
𝑑𝐹 𝜇0 𝐼𝐼′
=
𝑑𝑙 2𝜋 𝑟
35
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
5. Couple sur une boucle parcourue par un courant
La force sur le coté a, puisque B est constant, est donnée par F=IaB le couple dû à cette force est
𝑏
𝑏
𝜏 = 𝐹 ( ) sin 𝜃 + 𝐹 ( ) sin 𝜃
2
2
= 𝐼 𝑎 𝑏 𝐵 sin 𝜃
= 𝜇 𝐵 sin 𝜃
Avec le moment dipolaire magnétique 𝜇 = 𝐼 𝑎 𝑏 (𝑁 𝑠𝑖 𝑝𝑙𝑢𝑠𝑖𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒𝑠)
D’où 𝜏 = 𝜇 × 𝐵
→ le couple tend à faire tourner la spire pour amener μ parallèle à B
On peut aussi écrire l’énergie potentielle de la spire telle que le changement de cette énergie
potentielle soit le travail à executer contre la spire pour modifier son orientation d’où :
𝑈 = −𝜇𝐵
36
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Chapitre 10 : Induction électromagnétique
Le champ électrique peut être produit non seulement par une charge mais aussi par un champ
magnétique dont les lignes de champ se déplacent. Ce champ électrique est non conservatif.
L’intégrale de contour de ce champ électrique induit est appelé force électromotrice induite.
1. Force électromotrice induite
Si le barreau AB est déplacé à une vitesse v dans le champ magnétique
uniforme B, les électrons libre vont subir une force Fe orientée de B vers
A. Le déplacement du barreau est donc source d’une force électromotrice
et le travail effectué sur une charge positive unitaire sera
𝜀 = 𝑣𝐵𝑙 ou l est la longueur du barreau
Le champ magnétique B joue un rôle d’intermédiaire permettant la conversion d’énergie mécanique
en énergie électrique.
La force électromotrice est égale au nombre de lignes de flux coupées par unité de temps.
Attention il s’agit d’une tension électromotrice pas d’une force ( force = problème historique)
2. Loi de Faraday
La force électromotrice induite le long d’un chemin mobile ou fixe dans un champ magnétique
constant ou variable est égale au nombre de lignes de flux coupées par le chemin par unité de temps.
Introduction de flux magnétique :
Φ𝐵 = ∮ 𝐵 𝑑𝑆
Unité : Weber (1Wb)=1 T.m²
La force électromotrice induite le long d’un chemin fermé dans un champ magnétique est égale au
taux de changement de flux magnétique dans la surface définie par el chemin fermé
𝜀=−
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
Application :
Un long solénoïde a une section de rayon R. Il est connecté à une source de courant alternatif de
sorte que le champ dans le solénoïde est donné par B=B0 sin ωt (B0 et ω constants). Calculer la force
électromotrice induite sur un chemin circulaire de rayon r à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde
a) À l’intérieur du solénoïde B est uniforme, un chemin de rayon r intercepte donc un flux
– 𝜋𝑟²𝐵
𝜀=−
𝑑Φ𝐵
𝑑𝐵
= 𝜋𝑟²
= 𝜋𝑟²𝜔𝐵0 cos 𝜔𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
b) À l’extérieur du solénoïde B=0 donc le flux intercepté est simplement – 𝜋𝑟²𝐵 = −𝜋𝑅²𝐵 et
donc
𝜀 = 𝜋𝑅²𝜔𝐵0 cos 𝜔𝑡
37
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
3. Champ électrique induit
Un barreau se déplaçant à une vitesse v dans un champ magnétique. Les charges libres n’ont pas de
vitesse et n’y a donc pas de force magnétique. Il faut donc expliquer la migration par une force
électrique → nouveau champ e dans le système de référence en mouvement qui suggère que le
conducteur électriquement neutre dans le référentiel immobile ne l’est plus dabs le référentiel en
mouvement.
Soit la nouvelle force électrique dans le référentiel en mouvement doit être égale à « l’ancienne »
force magnétique dans le référentiel au repos.
𝐸 ′ = 𝑣𝐵
𝜀 = 𝑣𝐵𝑙
𝜀 = 𝐸 ′ 𝑙 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸 ′ = 𝑣𝐵 𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑖𝑙 𝑑𝑜𝑖𝑡 ê𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑚ê𝑚𝑒
La relation 𝜀 = 𝐸′𝑙 doit être généralisée si E’ dépend de la position
𝜀 = ∫ 𝐸 ′ 𝑑𝑙
E’ est appelé champ électrique induit. Il est non conservatif.
Dans le référentiel en mouvement les bords du solénoïde
acquièrent une charge électrique et E’ apparaît.
∮ 𝐸 ′ 𝑑𝑙 est non nul puisque E’ contribue sur un seul coté du
rectangle → non conservatif. Un champ électrique induit va
exister dans le référentiel de tout chemin fermé ou non en
mouvement dans un champ magnétique ou dans le référentiel de
tout chemin dans un champ magnétique variable dans le temps
∮ 𝐸 ′ 𝑑𝑙 = taux auquel les lignes de champ magnétique sont coupée ou pour un chemin fermé :
∮ 𝐸 ′ 𝑑𝑙 = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
Le champ E’ associé au segment dl doit être défini dans le référentiel où dl est au repos instantané.
Application :
Le champ électrique induit dans le cas du solénoïde a été évalué à l’intérieur et à l’extérieur du
solénoïde.
𝜀 = ∮ 𝐸 𝑑𝑙
E’ est noté E car il n’y a pas de référentiel en mouvement c’est B qui change dans le temps
→ ∮ 𝐸 𝑑𝑙 = 2𝜋𝑟𝐸 = 𝜋𝑟²𝜔𝐵0 cos 𝜔𝑡
1
Et 𝐸 = 2 𝑟𝜔𝐵0 cos 𝜔𝑡 à l’intérieur du solénoïde.A l’extérieur 2𝜋𝑟𝐸 = 𝜋𝑅²𝜔 B0 cos 𝜔𝑡 → 𝐸 =
1 𝑅2
( ) 𝜔𝐵0 cos 𝜔𝑡
2 𝑟
. Les lignes de champ électrique induit seront des cercles concentriques
d’espacement croissant avec r jusque r=R et décroissant ensuite en 1/r
38
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
4. Inductance
Un courant variant dans le temps dans un conducteur pourra induire une force électromotrice et
donc un courant dans un conducteur placé dans le champ créé par le premier conducteur.
Dans le second conducteur :
𝜀2 = −
𝑑Φ𝐵1
𝑑𝑡
Mais Φ𝐵1 = 𝐿21 𝐼1
D’où 𝜀1 = −𝐿21
𝑑𝐼1
𝑑𝑡
La constante de proportionnalité L21 est appelée inductance mutuelleet depend de la dimension des
spires, de leur nombre, de la distance entre les conducteurs…
𝜀1 = −𝐿12
𝑑𝐼2
𝑑𝑡
𝐿12 = 𝐿21
L’inductance mutuelle est liée à la géométrie relative des bobines.
Unité : Henry (H) , 1Henry=1H= 1 V s/A
La constant de perméabilité 𝜇0 = 1.26 10−6 𝐻/𝑚
Un conducteur possède une self inductance : parcouru ppar un courant variant dans le temps il crée
une force contre- électromotrice qui tend à s’opposer au changement de courant dans le
conducteur.
Le flux produit sera donné par
Φ𝐵 = 𝐿𝐼
Et la force contre- électromotrice induite
𝜀 = −𝐿
39
𝑑𝐼
𝑑𝑡
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
5. Energie magnétique
La force contre électromotrice est donnée par
𝜀 = −𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
Et l’inducteur effectue un travail sur le courant au taux
𝐼𝜀 = −𝐿𝐼
𝑑𝐼
𝑑𝑡
Dans un temps dt l’énergie stockée dans l’inducteur est donc
𝑑𝑈 = −𝐼𝜀 𝑑𝑡 = 𝐿𝐼 𝑑𝐼
Et donc si I est le courant final
1
1
𝑈 = ∫ 𝐿 𝐼 ′ 𝑑𝐼 ′ ⟹ 𝑈 = 𝐿 𝐼²
2
0
Pour un solénoïde on aura nl spires produisant chacune un flux 𝜋𝑅²𝐵. Mais 𝐵 = 𝜇0 𝑛 𝐼
Φ𝐵 = 𝜋𝑅²𝑛²𝑙 𝜇0 𝐼 𝑒𝑡 𝐿 =
Φ𝐵
= 𝜇0 𝑛²𝜋𝑅²𝑙
𝐼
D’où
1
1
𝑈 = 𝜇0 𝑛²𝜋𝑅²𝑙 𝐼² =
𝐵²𝜋𝑅²𝑙
2
2𝜇0
1
Mais 𝜋𝑅²𝑙= volume du solénoïde et donc la densité d’énergie magnétique sera u sera 𝑢 = 2𝜇 𝐵²
0
40
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Chapitre 11 : Matériaux magnétiques
1. Moments magnétiques atomiques et nucléaires
1° Moment magnétique dû au mouvement orbital de l’électron
Soit une orbite de rayon r et v la vitesse de l’électron le courant moyen le long de l’orbite :
𝐼=
𝑒
𝑒𝑣
=
2𝜋𝑟 2𝜋𝑟
𝑣
𝑒𝑣
Moment magnétique 𝜇 = 𝐼 . (𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒) = (2𝜋𝑟) 𝜋𝑟² =
𝑒𝑣𝑟
2
Et en fonction du moment angulaire 𝐿 = 𝑚𝑒 𝑣𝑟
𝜇=
𝑒
𝐿 (1)
2𝑚𝑒
Remarques :
-
Le calcul reste valable pour toute orbite périodique
La méca quantique donne le même résultat
Pour un atome de n électrons →relation entre le moment magnétique total et le moment
angulaire orbital total
En mécanique quantique L n’est pas une variable continue mais varie par pas entier de la
constante de Planck
ℏ = 1.06 𝐽. 𝑠²
( qui a des unité de moment angulaire →L=0,ℏ,2ℏ,3ℏ,…
2° Moment angulaire de spin
Mouvement de rotation sur lui-même qui combiné avec sa charge va donner lieu à un moment
magnétique de spin. L’électron ayant un spin de ½ ℏ → la mécanique quantique donne
𝑒
𝜇𝑠𝑝𝑖𝑛 = (
) ℏ = 9.27 10−24 𝐴. 𝑚²
2𝑚𝑒
C’est le magnéton de Bohr.
𝑒
On ne peut pas faire : L= ½ ℏ dans la formule 𝜇 = 2𝑚 𝐿 sinon on trouve une valeur de moitié de
𝑒
𝜇𝑠𝑝𝑖𝑛 . 𝜇𝑠𝑝𝑖𝑛 a même direction mais sens opposé au moment angulaire de spin.
On devra donc combiner les moments orbitaux et les moments de spin pour trouver le moment
magnétique total de chaque atome .
3° Le noyau de l’atome a aussi un moment magnétique
Provenant de moments de rotation orbital des nucléons et de leur moment intrinsèque de spin.
𝜇𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜𝑛 = 1.41 10−26 𝐴. 𝑚² ce qui est petit comparé à l’électron généralement négligé.
41
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
2. Paramagnétisme
Le moment magnétique de l’atome fait que celui-ci peut être assimilé à un dipôle. Le comportement
magnétique de ces dipôles sont orientés aléatoirement. Placés dans un champ magnétique extérieur,
ils vont s’aligner dans celui-ci → magnétisation de la matière→ création d’un champ qui augmente le
champ initial.
Dans un matériau paramagnétique les atomes ou ions ont un moment dipolaire magnétique
permanent. Ces dipôles sont orientés aléatoirement. Placés dans un champ magnétique extérieur, ils
vont s’aligner dans celui-ci →magnétisation de la matière→ création d’un champ qui augmente le
champ initial.
L’alignement des dipoles magnétiques renforce le champ extérieur alors que celui des dipoles
électriques diminuait le champ électrique extérieur.
𝐵 = 𝜅𝑚 𝐵𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑒
Où 𝜅𝑚 > 1 est la constante de perméabilité magnétique relative.
Pour une matière paramagnétique il faut donc corriger la loi d’Ampère
3. Ferromagnétisme
L’accroissement du champ B dans un matériaux paramagnétique est très faible. L’accroissement de
B est considérable pour des matériaux ferromagnétiques et ces matériaux restent magnétisés même
lorsque le champ externe est supprimé →aimants permanents.Des forces d’origine quantique
couplent les spins des électrons d’atomes voisins dans des positions parallèles.
Seuls 5 éléments chimique ont cette propriété ( fer,cobalt, nickel, dysprosium, gadolinium).
A l’échelle microscopique le fer est un aimant permanent, toutefois ces spins ne sont alignés que
dans des domaines macroscopiques finis.
Variation de B avec Bextérieur : lorsque
le champ extérieur est enlevé les
domaines conservent un
alignement relatif partiel →
hysteresis. La valeur maximum de B
après magnétisation est fonction de la température T et disparaît complètement au-delà d’une
certaine température
42
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
4. Diamagnétisme
Dans les matériaux diamagnétiques, la magnétisation provient du moment dipolaire induit.
Supposons une substance placée dans un électro-aimant. Pendant la mise en service de celui-ci , B
croît avec le temps et donc il y a un champ électrique induit qui va également agir sur les électrons
de la substance.
LE champ électrique induit accélère l’électron, augmentant L et donc μ qui s’oppose à la croissance
de B et donc le diminue (loi de Faraday- Lenz)
Cet effet est sensible que dans des substances qui ne sont ni paramagnétiques, ni ferromagnétiques
(donc sans dipoles permanents)
Soit un électron sur un orbite de rayon r et placé dans un champ B. L’électron subit une force
électrique –eE de la part de l’atome et une force magnétique –ev. B provenant du champ B extérieur.
Ces deux forces ont même direction et composent l’accélération centripète
𝑒𝐸 + 𝑒𝑣𝐵 =
𝑚𝑒 𝑣 2
𝑟
Et en terme de pulsation lorsqu’il n’y a pas de champ B
Donc
𝑒𝐸 = 𝑚𝑒 𝜔02 𝑟
D’où
𝑒𝜔𝐵 = 𝑚𝑒 (𝜔² − 𝜔02 )
43
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
Chapitre 12 : Oscillations électromagnétiques
1. Circuit LC
Soit un circuit sans ristance. A l’instant t=0, le condensateur à sa charge
maximum qm. Son énergie est donc
𝑈𝐸 =
²
1 𝑞𝑚
2 𝐶
Le E dénotant une énergie d’origine électrique. A t=0, aucun courant ne circule dans le circuit et donc
1
l’énergie, d’origine magnétique, stockée dans la self 𝑈𝐵 = 2 (𝐿 𝑖 2 ) est nulle. Lorsque le condensateur
se décharge un courant i= dq/dt apparaît.
LA conservation de l’énergie totale 𝑈 = 𝑈𝐵 + 𝑈𝐸 du circuit :
1
1 𝑞2
𝑈 = 𝑈𝐵 + 𝑈𝐸 = 𝐿 𝑖² +
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2
2𝐶
Donc
𝑑𝑈
𝑑𝑡
𝑑
1
1 𝑞²
𝑑𝑖
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑑𝑡 =
𝑞 𝑑𝑞
= 0 = 𝑑𝑡 (2 𝐿𝑖² + 2 𝐶 ) = 𝐿𝑖 (𝑑𝑡) + 𝑐 ( 𝑑𝑡 )
Mais i et q sont liés par 𝑖 =
𝑑²𝑞
𝑑𝑖
𝑑²𝑞
𝑑𝑡²
1
D’où : 𝐿 𝑑𝑡² + 𝐶 𝑞 = 0
On note la similitude de forme avec
𝑚
𝑑²𝑥
+ 𝑘𝑥 = 0
𝑑𝑡²
Donc
électricité
q
i
C
L
Mécanique
X
V
1/k
M
𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) → 𝑞 = 𝑞𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
Calculons
𝑑𝑞
= 𝑖 = −𝜔𝑞𝑚 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑑𝑡
𝑑²𝑞
= −𝜔² 𝑞𝑚 cos (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑑𝑡²
44
Favaretto Mélodie
Donc dans l’équation du circuit
2ème semestre
Physique générale
𝜔=
1
√𝐿𝐶
𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑′ 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑒
1
Quand l’énergie totale est équitablement répartie entre L et C, alors 𝑈𝐸 = 𝑈𝐵 = 2 𝑈𝐸 𝑚𝑎𝑥
D’où
𝑞²
𝐶
2
1 𝑞𝑚
𝐶
=2
→𝑞=
1
𝑞
√2 𝑚
L’énergie électrique à l’instant t sera
𝑈𝐸 =
2
1 𝑞 2 𝑞𝑚
=
cos
2𝐶
2𝐶
2 (𝜔𝑡
+ 𝜑)
1
1
2
𝑈𝐵 = 𝐿 𝑖² = 𝐿 𝜔²𝑞𝑚
sin ² (𝜔𝑡 + 𝜑)
2
2
Mais
𝜔=
1
√𝐿𝐶
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑈𝐵 =
2
𝑞𝑚
sin
2𝐶
2 (𝜔𝑡
+ 𝜑)
On remarque
mécanique
électricité
𝟏
𝑼𝒄𝒊𝒏 = 𝒎 𝒗²
𝟐
𝟏
𝑼𝒑𝒐𝒕 = 𝒌𝒙²
𝟐
𝒌
𝝎 = √( )
𝒎
45
1
𝑈𝐵 = 𝐿𝑖²
2
1 1
𝑈𝐸 = ( ) 𝑞²
2 𝐶
1
𝜔=
√(𝐿𝐶)
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
2. Circuit RLC série
U n’est plus constant car il y une perte dans la résistance.
𝑑𝑈 = 𝑑𝑞 𝑉 = 𝑖 𝑑𝑡 𝑉 →
𝑑𝑈
= 𝑖 𝑉 = 𝑖²𝑅
𝑑𝑡
On a donc
𝑑𝑈
1
1 𝑞2
𝑑𝑖 𝑞 𝑑𝑞
= −𝑖² 𝑅 𝑒𝑡 𝑈 = 𝐿 𝑖² +
→𝐿𝑖
+
= −𝑖² 𝑅
𝑑𝑡
2
2𝐶
𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡
Et l’équation devient :
𝑑²𝑞
𝑑𝑞
1
𝐿 𝑑𝑡² + 𝑅 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑞 = 0 si le circuit est alimenté par une tension sinusoïdale on mettra ici 𝜀 =
𝜀0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑑²𝑥
𝑑𝑥
Cette relation est identique à 𝑚
+ 𝑏 + 𝑘𝑥 = 0
𝑑𝑡²
𝑑𝑡
Les solutions seront donc par analogie avec la mécanique :
𝑞 = 𝑞𝑚 𝑒
−𝑅⁄ 𝑡
2𝐿 cos 𝜔 ′ 𝑡
1
𝑅
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜔′ = √ − ( ) ²
𝐿𝐶
2𝐿
3. Circuits RC et RL
1) Circuit RC soumis à une différence de potentiel 𝛆
𝑑𝑞 1
𝑅
+ 𝑞=𝜀
𝑑𝑡 𝐶
𝑡
D’où 𝑞 = 𝐶𝜀 (1 − 𝑒 − ⁄𝑅𝐶 )
Et 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝜀
𝑡
= 𝑅 𝑒 − ⁄𝑅𝐶
Donc à t= 0
t→∞
i=ε/R
i=0
RC= τC est la constante de temps capacitive qui définit la décroissance exponentielle du courant.
2) Circuit RL soumis à une différence de potentiel 𝛆
On doit résoudre
𝐿
𝑑²𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑖
+𝑅
= 𝜀 𝑜𝑢 𝐿 + 𝑅𝑖 = 𝜀
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡²
Qui a pour solution
𝑖=
𝑅
𝜀
(1 − 𝜀 −𝑡 𝐿 )
𝑅
Donc à t=0 i=0
t=∞ i=ε/R
La constante de temps inductive 𝑍𝐿 = 𝐿/𝑅 détermine la croissance exponentielle du courant jusque
sa valeur maximum ε/R.
46
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
Chapitre 13 : Les équations de Maxwell
Un champ magnétique ΦB qui varie dans le temps va produire un champ électrique induit E’ tel que :
∮ 𝐸 ′ 𝑑𝑙 = −
𝑑Φ𝐵
𝑑𝑡
Un champ électrique variable va induire un champ magnétique. L’induction mutuelle des champs
électrique et magnétique va donner lieu, dans le vide, à une oscillation électromagnétique autoentretenue : une onde électromagnétique.
1. Le courant de déplacement
La loi d’Ampère peut dans certains cas être mise en défaut et doit être complétée. Cette loi relie
l’intégrale de B sur un contour fermé au courant intercepté par une surface arbitraire qui englobe ce
chemin
La plaque du condensateur doit forcément se charger et donc il y a champ et flux électrique entre les
deux armatures :
Si nous voulons corriger la loi d’Ampère il faudra faire intervenir le champ électrique Φ.
Montrons que ∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 doit être remplacée dans ce cas par ∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝜀0
En effet Φ =
𝑄
𝜀0
La quantité 𝜀0
𝑒𝑡
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝑑Φ
𝑑𝑡
=
1 𝑑𝑄
𝜀0 𝑑𝑡
=
1
𝐼
𝜀0
donc 𝜇0 𝜀0
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝑑Φ
𝑑𝑡
= 𝜇0 𝐼 on retrouve le résultat attendu
est appelée courant de déplacement 𝐼𝑑 = 𝜀0
𝑑Φ
𝑑𝑡
Ce n’est pas un vrai courant mais il a l’effet d’un courant , on aura donc la loi d’Ampère-Maxwell
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝜇0 (𝐼 + 𝐼𝑑 )
47
Favaretto Mélodie
Remarque :
2ème semestre
Physique générale
Cette loi fait songer à la loi de Faraday qui relie l’intégrale de contour d’un champ électrique à la
variation de flux magnétique → symétrie entre « électrique » et « magnétique » la variation dans le
temps du flux dans le temps donne lieu à un champ
Application
Soit un condensateur à plaques circulaires parallèles de rayon R auquel on applique une tension
sinusoïdale → entre les plaques on aura un champ électrique 𝐸 = 𝐸0 sin 𝜔𝑡
Calcul du champ magnétique dans et en dehors du condensateur
a) À l’intérieur ( r<R)
E est uniforme donc on considère une circonférence de rayon r qui sera traversée par un flux
𝜋𝑟²𝐸 = 𝜋𝑟²𝐸0 sin 𝜔𝑡 et donc
𝑑𝐸
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝜀0 𝜋𝑟 2
𝑑𝑡
𝜇0 𝜀0 𝑑𝐸 𝜇0 𝜀0
→𝐵=
𝑟
=
𝑟 𝜔 cos 𝜔𝑡
2
𝑑𝑡
2
b) À l’extérieur (r>R)
Comme E est nul à l’extérieur des plaques le flux sera toujours 𝜋𝑟²𝐸 (𝑠𝑖 𝑟 ≤ 𝑅) et nul si r>R
donc le flux est 𝜋𝑅²𝐸.
𝜇0 𝜀0 𝑅²
𝐵=
𝜔𝐸0 cos 𝜔𝑡
2 𝑟
Soit le même champ que celui produit par un condensateur rectiligne (décroissance en 1/r)
→ c’est comme s’il y avait un conducteur rectiligne à la place de la capacité.
2. Equations de Maxwell.
∮ 𝐸 𝑑𝑠 =
∮ 𝐵 𝑑𝑠 = 0
𝑄
𝜀0
𝑑𝑖𝑣 𝐸 =
𝑑𝑖𝑣 𝐵 = 0
∮ 𝐸 𝑑𝑙 = −
∮ 𝐵 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝜌
𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑡é
𝜀0
𝐿𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑠𝑚𝑒
𝑑Φ𝐵
𝜕𝐵
𝑟𝑜𝑡𝐸 = −
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝑟𝑜𝑡𝐵 = 𝜇0 𝑗 + 𝜇0 𝑒0
𝐿𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦
𝜕𝐸
𝐿𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒
𝜕𝑡
𝐹 = 𝑞𝐸 + 𝑞𝑣 × 𝐵
Remarques :
1) En présence de matériaux diélectriques ou magnétiques il faut modifier ces équations en
insérant la constante diélectrique et la perméabilité relative.
2) Ces équations constituent une description complète des interactions entre charges, courants
, champs électriques et magnétiques. Si la distribution de charges et courant est connue→
détermine les champs et l’évolution dans le temps des champs
3) Bien que dérivées empiriquement pour des charges au repos ou en mouvement uniforme →
reste valable pour des charges accélérées et aussi en l’absence de charges.
48
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
3. Cavités Résonantes
Un champ électrique sinusoïdal appliqué à un condensateur à plaques parallèles va induire un champ
magnétique et donc fournir au condensateur une inductance : on a un circuit LC série alimenté par
un courant alternatif.
On a vu que si on a entre les plaques du condensateur un champ électrique E(1)=E0sinωt uniforme et
parallèle à l’axe du condensateur , il apparaît un champ magnétique.
𝐵(1) =
𝜇0 𝜀0
𝑟𝜔𝐸0 cos 𝜔𝑡
2
Celui-ci induit un champ électrique E(2) qui s’ajoute à E(1) tel que : ∫ 𝐸(2) 𝑑𝑙 = −
𝑑Φ𝐵(1)
𝑑𝑡
Si on prend E(2)=0 le long de l’axe du condensateur ( autorisé car
on considère ici un ∆E par rapport à une valeur de référence
arbitraire)
Calculons Φ𝐵(1) à travers la petite surface noire c’est B(1) l dr’ et
donc au total ce sera l’intégrale
𝑟
𝑟
𝜇0 𝜀0 ′
Φ𝐵(1) = ∫ 𝐵(1) 𝑙 𝑑𝑟′ = ∫ (
𝑟 𝜔𝑒0 cos 𝜔𝑡) 𝑙 𝑑𝑟′
2
0
0
𝑟
𝜇0 𝜀0
𝜇0 𝜀0
=
𝑙𝜔𝐸0 cos 𝜔𝑡 ∫ 𝑟 ′ 𝑑𝑟′ =
𝑙𝑟²𝜔𝐸0 cos 𝜔𝑡
2
4
0
𝑑Φ𝐵(1)
𝑑𝑡
=−
𝐸(2) = −
𝜇0 𝜀0
𝑙𝑟²𝜔²𝐸0 sin 𝜔𝑡
4
𝜇0 𝜀0
𝑟²𝜔² 𝐸0 sin 𝜔𝑡
4
𝐸 = 𝐸(1) + 𝐸(2) = (1 −
𝜇0 𝜀0
𝜔²𝑟²) 𝐸0 sin 𝜔𝑡
4
Mais 𝐸(2) → 𝐵(2) → 𝐸(3) → ⋯ 𝑒𝑡 𝑎𝑖𝑛𝑠𝑖 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 Les termes entre parenthèses sont donc les
premiers d’un développement en série. E=0 pour r=R tel que
1−
𝜇0 𝜀0
2 1
𝜔²𝑅² = 0 𝑜𝑢 𝑅 =
4
√𝜇0 𝜀0 𝜔
Le calcul complet de toute la série donne :
𝑅=
2.405 1
√𝜇0 𝜀0 𝜔
Si maintenant on « ferme » le cylindre de rayon R par une parois latérale on aura des oscillations
auto-entretenues démarrées par une tension alternative de pulsation ω extérieure.
Applications : génération de micro-ondes donc d’ondes radios de haute fréquence ou de radar.
49
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
4. Champ électrique d’une charge accélérée.
On regarde ici les champs associés à un mouvement accéléré →apparitions de champs électriques et
magnétiques supplémentaires → champs de radiation
Soit le cas :
t<0 : la charge au repos
0≤t≤τ : la charge à une accélération a
τ≤t : la charge a une vitesse constante v=aτ
P position de la charge au repos
P’ position de la charge en t=τ
Q position actuelle de la charge
La perturbation associée à l’accélération est confinée entre les deux sphères. A l’intérieur de cette
coquille d’épaisseur cτ, les lignes de champ électrique doivent joindre les lignes de champ de la
charge en mouvement rectiligne avec celle de la charge au repos via une ligne de champ qui a
forcément une composante tangentielle par rapport à la sphère.
Le rapport des composantes radiales et tangentielles de E sera donné par
𝐸𝑡
𝐸𝑟
=
𝑣𝑡 sin 𝜃
𝑐𝜏
=
𝑎𝑡 sin 𝜃
𝑐
a=v/τ ( on fait l’hypothèse que t>>τ et donc les deux cercles sont ± concentriques)
Le champ radial est le nombre de lignes de champ par unité de surface de la sphère et est donc
donné par la relation de Coulomb
𝐸𝑟 =
1
Et donc la composante tangentielle → 𝐸𝑡 = 4𝜋𝜀
50
0
1 𝑞
4𝜋𝜀0 𝑟²
𝑞 𝑎𝑡 sin 𝜃
𝑟²
𝑐
avec
Favaretto Mélodie
Mais pour t>>τ , cτ<<ct= r et
Physique générale
𝐸𝑡 =
-
2ème semestre
1 𝑞𝑎 sin 𝜃
𝑐ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
4𝜋𝜀0 𝑐²𝑟
Ce champ tangentiel est appelé champ de radiation
Il est proportionnel à a
Il varie en 1/r ( et non en 1/r² comme Er)
Ce type de champ de radiation subsiste à plus grande distance que le champ de Coulomb. Puisque le
champ met un temps fini à se propager, Et à l’instant t va dépendre de l’accélération à un instant
antérieur t-(r/c) donc
𝐸𝑡 (𝑟, 𝑡) =
1 𝑞𝑎 sin 𝜃
𝑟
𝑎(𝑟 − )
4𝜋𝜀0 𝑐²𝑟
𝑐
La relation s’applique à une charge d’accélération même non uniforme et durant un temps
quelconque. Si la charge oscille avec un mouvement harmonique de pulsation ω : 𝑎 = 𝑎0 sin 𝜔𝑡
𝐸𝑡 (𝑟, 𝑡) =
1 𝑞 sin 𝜃
𝑟
𝑎0 sin 𝜔 (𝑡 − )
4𝜋𝜀0 𝑐²𝑟
𝑐
Onde harmonique sphérique de pulsation ω dont l’amplitude diminue en 1/r →onde radio émise par
une antenne ou onde lumineuse émise par un atome.
Application :
1) Rayonnement synchrotron produit par un électron circulant dans un accélérateur de
particules.
2) Lors d’une collision électron-atome , l’électron est brusquement décéléré produisant un
rayonnement de freinage→ production de rayon X dans un tube à rayons X
51
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Chapitre 14 : Généralités sur les ondes
1. Les ondes et leur déplacement.
Comment transmettre une perturbation d’un extrémité à l’autre ?
-
En écartant transversalement une masse de la position d’équilibre et en la relâchant→ onde
transversale
On a à la fois de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle →l’onde transporte de
l’énergie
Après passage de la perturbation, tout revient à son état initial → la perturbation ne
transporte pas de matière
Déplacement d’une perturbation parcourant un milieu avec une vitesse v. On va supposer que la
forme de la perturbation ne varie pas dans le temps.
Soit y=f(x) la forme de la perturbation à l’instant t=0. A l’instant t ultérieur, la perturbation sera en
x=vt mais garde la même forme dons y= f(x-vt) de sorte que pour x=vt, y=f(0).
𝑦 = 𝐹(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) dont la fonction d’une variable y=f(z) est transformée en une fonction de
deux variables F(x,t) par la substitution z= x-vt
Quelle est l’équation différentielle qui satisfait à F(x,t) :
𝜕𝐹 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑓 𝜕𝑧
𝑑𝑓
=
=
= −𝑣
(1)
𝜕𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝑑𝑧 𝜕𝑡
𝑑𝑧
𝜕𝐹 𝑑𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑓
=
=
(2)
𝜕𝑥 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑧
En éliminant df/dz des deux relations :
𝜕𝐹
𝜕𝐹
(3)( 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑑é𝑝𝑙𝑎ç𝑎𝑛𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒)
= −𝑣
𝜕𝑡
𝜕𝑥
La même opération pour une onde allant vers la gauche :
𝑦 = 𝐺(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑣𝑡)
→
𝜕𝐺
𝜕𝐺
=𝑣
(4)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
Pour avoir une même équation pour les deux mouvements , il faut dériver encore une fois les
équations (3) et (4) par rapport au temps :
𝜕²𝐹
𝜕²𝑓
𝜕²𝐹
𝜕²𝑓
= −𝑣²
𝑒𝑡
= −𝑣
𝜕𝑡²
𝜕𝑧²
𝜕𝑡²
𝜕𝑧²
52
Favaretto Mélodie
𝜕²𝑓
Et en éliminant 𝜕𝑧² :
2ème semestre
Physique générale
𝜕²𝐹
𝜕𝑡²
𝜕²𝐹
= −𝑣² 𝜕𝑥²
Cette relation est aussi vérifiée par G(x,t). C’est l’équation d’onde à une dimension :
𝜕²𝐹
𝜕²𝐹
= 𝑣²
(5)
𝜕𝑡²
𝜕𝑥²
Elle est aussi vérifiée par une superposition d’onde allant vers la gauche et la droit donc par
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑣𝑡)
Nous allons nous intéresser à une forme particulière d’ondes, appelées ondes harmoniques et donc
la forme générale est
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐵 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
(6)
Où A,B et k, ω sont des constantes positives.
Il faut d’abord montrer que cette forme est bien une solution acceptable de l’équation d’onde (5)
𝜕²𝑦
= −𝑘² 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝑘² 𝐵 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) = −𝑘²𝑦
𝜕𝑥²
𝜕²𝑦
= −𝜔² 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) − 𝜔² 𝐵 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) = −𝜔²𝑦
𝜕𝑡²
𝜕²𝑦
D’où 𝜕𝑡² =
𝜔² 𝜕²𝑦
𝑘² 𝜕𝑥²
On a donc bien une onde qui se propage à la vitesse v=ω/k. On montre que la relation
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐵 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) (6)
Où les sinus sont remplacés par des cosinus est aussi solution de l’équation d’onde. On remarque
aussi que dans 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐵 sin(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) (6) y(x,t) est le même lorsque
l’argument du sinus change de 2π donc
a) Pour t fixé
Sin (kx-ωt) est périodique en x avec une période 2π/k=λ
K est le nombre d’onde (m-1)
ν est appelé longueur d’onde ( m)
b) Pour x fixé
Sin(kx-ωt) est périodique en t avec une période T=2π/ω
ω est appelé pulsation ou fréquence angulaire ( s-1)
T est la période (s)
1
𝜔
=
𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 (𝑠 −1 )
𝑇 2𝜋
𝜔
𝜈𝜆 = = 𝑣 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑘
𝜈=
53
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
2. Vitesse des ondes dans un fil.
Soit F la tension du fil et μ la densité du fil (kg/m)
On suppose que l’amplitude de la perturbation est petite par rapport au fil donc l’onde n’introduit
qu’une toute petite perturbation dans le fil et la tension de celui-ci reste constante.
On se place dans un système de référence « attaché » à la perturbation donc en mouvement de
vitesse v avec celle-ci.
Sur le petit segment ∆l, la perturbation, de forme quelconque, peut
être approchée par un arc de cercle, de rayon R et sous tendant un
angle θ. LA force résultante qui tend à ramener le fil à sa position
d’équilibre est ~F∆θ donc 𝜇∆𝑙
𝑣²
𝑅
= 𝐹∆𝜃 et donc 𝜇∆𝑙 = 𝑚 mais
𝑅∆𝜃 = ∆𝑙 → 𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 𝜇𝑣² = 𝐹 et
𝐹
𝑣=√
𝜇
𝐹
v ne dépend que de F et μ et donc pas de forme de la perturbation. Grâce à 𝑣 = √𝜇 la vitesse de
propagation dépend de la force de rapport F et de l’inertie du milieu μ. Il est à noter que le fait que v
ne dépend pas de la forme de la perturbation est un cas assez particulier. En général, les différentes
parties de la perturbation se déplacent à des vitesses différentes : déformation.
Milieu dispersif : milieu qui donne lieu à un tel comportement. La vitesse du point de déformation
maximum est appelée vitesse de groupe et, sauf pour les ondes harmoniques, est différente de la
vitesse de phase.
54
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
3. Energie d’une onde.
Une onde transverse dans un fil possède :
-
Une énergie cinétique car les particules sont en mouvement
Une énergie potentielle car il faut exercer un travail pour étirer le fil
Soit un intervalle dx, la masse du fil dans cet intervalle est μ dx et la vitesse d’un élément du fil est
dy/dt
Energie potentielle : le fil est
initialement de longueur dx et prend
après extension une longueur
√𝑑𝑥² + 𝑑𝑦² et donc le changement de
longueur est
𝑑𝑦
𝛿𝑙 = √𝑑𝑥² + 𝑑𝑦² − 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 (√1 + ( ) ² − 1)
𝑑𝑥
Si dy/dx est petit on peut utiliser l’approximation
√1 + 𝜀² = 1 + 1 𝜀² donc 𝛿𝑙 = 1 (𝑑𝑦) ² 𝑑𝑥
2
2 𝑑𝑥
Mais l’énergie potentielle est le travail à effectuer contre la tension F pour étendre le fil d’une
longueur 𝛿𝑙 donc
1 𝑑𝑦
𝑑𝑈 = 𝐹𝛿𝑙 = 𝐹 ( ) ²𝑑𝑥
2 𝑑𝑥
Et l’énergie totale est :
1 𝜕𝑦
1 𝜕𝑦
𝑑𝐸 = 𝑑𝐸𝑐𝑖𝑛 + 𝑑𝑈 = 𝜇 ( ) ² 𝑑𝑥 + 𝐹 ( ) ² 𝑑𝑥
2 𝜕𝑡
2 𝜕𝑥
𝑑𝐸
1
𝜕𝑦
1
𝜕𝑦
D’où 𝑑𝑥 = 2 𝜇 ( 𝜕𝑡 ) ² + 2 𝐹 (𝜕𝑥 ) ²
dE/dx →densité d’énergie totale de l’onde
Application aux ondes harmoniques :
Si 𝑦 = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑡
𝑒𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 ∶
𝑑𝐸 1
= (𝜇𝜔2 + 𝐹𝑘 2 )𝐴² sin ² (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 𝜇𝜔² 𝐴² sin ² (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑑𝑥 2
𝐹𝑘² = 𝐹
𝜔2
= 𝜇𝜔²
𝑣2
La densité d’énergie est nulle lorsque l’argument du sinus est nul donc aux crêtes de l’onde.
55
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
La puissance transportée par l’onde sera la quantité d’énergie passant par un point donné par unité
de temps :
𝑃=
𝑑𝐸
𝑑𝐸 𝑑𝑥
𝑑𝐸
= ( )( ) = 𝑣
= 𝑣 𝜇𝜔²𝐴² sin ² (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑑𝑡
𝑑𝑥
Le fait que P soit proportionnel à v, à ω² et à A² est vrai pour tous les types d’ondes.
4. Principe de superposition.
Lorsque plusieurs ondes arrivent en un même point , la déformation résultante instantanée est
simplement la somme des déformations individuelles instantanées : chaque onde se propage comme
si les autres n’étaient pas présentes : les ondes n’interagissent pas entre elles. Mais pour des ondes
de forte intensité le principe de superposition ne s’applique plus.
Exemple pour deux ondes harmoniques de même amplitude et se propageant dans la même
direction :
𝑦1 = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑦2 = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿)
𝛿: 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒
1
1
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 2 𝐴 cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿) cos 𝛿
2
2
1
1
En utilisant cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos 2 (𝛼 + 𝛽) cos 2 (𝛼 − 𝛽)
L’onde résultante à la même fréquence mais une amplitude donnée par 2A cos ½ δ. Si δ=0,
l’amplitude est de 2A et donc les deux ondes s’additionnent, si δ=π l’amplitude totale est nulle
(interférence destructive). Si les amplitudes A ne sont pas les mêmes, une interférence destructive
réduira l’amplitude totale sans l’annuler complètement. Etudions maintenant la somme de donx
ondes de fréquences légèrement différentes :
𝑦1 = 𝐴 cos(𝑘1 𝑥 − 𝜔1 𝑡)
𝑦2 = 𝐴 cos(𝑘2 𝑥 − 𝜔2 𝑡)
1
1
1
1
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 2𝐴 cos [ (𝑘1 + 𝑘2 )𝑥 − (𝜔1 + 𝜔2 )𝑡] cos [ (𝑘1 − 𝑘2 )𝑥 − (𝜔1 − 𝜔2 )𝑡]
2
2
2
2
Pour t=0
1
𝑦 = 2𝐴 cos [ (∆𝑘)𝑥] cos(< 𝑘 > 𝑥)
2
Avec ∆𝑘 = 𝑘1 − 𝑘2 𝑒𝑡 < 𝑘 > =
1
2
(𝑘1 + 𝑘2 )
On a donc
-
Une onde harmonique de vecteur d’onde moyen
Dont l’amplitude varie lentement en fonction de x si k1~k2 et donc ∆k est petit
L’amplitude de l’onde est modulée, maximum pour x=0 et minimum pour x=π/∆k lorsque les deux
ondes interfèrent destructivement.
56
Physique générale
2ème semestre
Phénomène de battement : lorsque t change la
configuration ci-dessus se déplace vers la droite avec al
vitesse de l’onde.En un point donné, l’onde subit une
pulsation dans le temps appelée battement. Dont la
Favaretto Mélodie
fréquence est :
𝝂𝒃𝒂𝒕𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 =
1
∆𝑘 𝑣𝑘1 𝑣𝑘2
=𝑣
=
−
= 𝑣1 − 𝑣2
∆𝑡
2𝜋
2𝜋
2𝜋
Une onde périodique peut être décomposée en une somme d’ondes harmoniques (sinus et cosinus)
grâce au théorème de fourier.
4𝐴
2𝜋𝑥
4𝐴
6𝜋𝑥
4𝐴
10𝜋𝑥
𝑦 = ( ) sin (
) + ( ) sin (
) + ( ) sin (
)+⋯
𝜋
𝐿
3𝜋
𝐿
5𝜋
𝐿
∞
(4𝑛 + 2)𝑥𝜋
1
= 4𝐴 ∑
sin
2𝑛 + 1
𝐿
𝑛=0
Où L est la longueur d’onde de l’onde carrée d’amplitude A
5. Ondes stationnaires
Soit la superposition de deux ondes de même amplitude et même fréquence mais se propageant en
sens opposé.
𝑦1 = 𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑦2 = 𝐴 cos(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
→ 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 2𝐴 cos 𝑘𝑥 cos 𝜔𝑡
C’est une onde stationnaire, quelque soit le temps les maxima restent à la même position. L’onde est
affectée d’une pulsation dans le temps de fréquence ω. Les positions d’amplitude maximum (ventre)
sont telles que x=0,λ/2,λ,3λ/2… et les positions d’amplitude minimum (nœuds) sont telles que
x=1/4λ,3/4λ,5/4λ…si le fil est fixé en x=0, alors il y aura des nœuds en x=0,λ/2,λ,3λ/2 et des ventres
en x=1/4λ,3/4λ,5/4λ
Pour un fil de longueur L fixé aux extrémités :
𝑛𝜋
𝑛𝜋
𝑦 = 𝐴 sin [( ) 𝑥] cos [( ) 𝑣𝑡] 𝑛 = 1,2,3, …
𝐿
𝐿
Les modes de vibrations possibles sont appelés modes normaux celui à n=1 est le mode fondamental.
Celui à n=2 le 1er harmonique etc. Les longueurs d’ondes de ces modes 𝜆1 = 2𝑙, 𝜆2 = 𝐿, 𝜆3 = 2𝐿/3 et
les fréquences correspondantes 𝜈𝑛 =
57
𝑛𝑣
2𝐿
𝑛 = 1,2, …
Favaretto Mélodie
2ème semestre
Physique générale
Chapitre 15 : Ondes électromagnétiques
1. Ondes électromagnétiques planes
Les solutions particulières des équations de Maxwell formées d’un champ électrique et d’un champ
magnétique perpendiculaires.
Pour cela on prend E orienté suivant l’axe y et B orienté suivant l’axe z.
Dans ce cas 𝐸𝑥 = 0 𝐸𝑦 = 𝐸 𝐸𝑧 = 0
𝐵𝑥 = 0 𝐵𝑦 = 0
𝐵𝑧 = 𝐵
Les équations de Maxwell donne dans le vide
𝑡ℎé𝑜𝑟è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 é𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 →
𝜕𝐸
= 0 (1)𝑑𝑖𝑣 𝐸 = 0
𝜕𝑦
𝑡ℎé𝑜𝑟è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 →
𝜕𝐵
= 0 (2)𝑑𝑖𝑣 𝐵 = 0
𝜕𝑧
théorème de Faraday ∂E/∂z=0 (3) rot E=(-∂B)/∂t
𝜕𝐸
𝜕𝐵
=−
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝑡ℎé𝑜𝑟è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙
−
𝜕𝐵
=0
𝜕𝑦
𝜕𝐵
𝜕𝐸
= 𝜀0 𝜇0
𝜕𝑥
𝜕𝑡
(4)
(5) 𝑟𝑜𝑡 𝐵 = 𝜀0 𝜇0
𝜕𝐸
𝜕𝑡
(6)
De (1) et (3) -> E ne dépend pas de y et z → seulement de x et t
De (2) et (5) → B ne dépend pas de y et z →seulement x et t
→E et B ont à chaque instant la même valeur dans un plan perpendiculaire à x qui est la direction de
propagation.
Pour trouver la dépendance des champs en x et t on va utiliser la relation (4) et (6) :
Dérivons (4) par rapport à x :
𝜕²𝐸
𝜕²𝐵
=−
𝜕𝑥𝜕𝑡
𝜕𝑥²
(7)
Dérivons (6) par rapport à t :
−
𝜕²𝐵
1 𝜕²𝐵
=
𝜕𝑡² 𝜀0 𝜇0 𝜕𝑥²
Donc B est aussi une onde [𝐵 = 𝐵(𝑥 − 𝑐𝑡)] se déplaçant à la vitesse c. On sait que l’équation d’onde
admet pour solution les ondes planes sinusoïdales.
58
Favaretto Mélodie
Par exemple :
Physique générale
2ème semestre
𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐸0 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜔 = 𝑘𝑐
𝐵𝑧 (𝑥, 𝑡) = 𝐵0 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (9)
Mais E0 et B0 ne peuvent être indépendantes car il faut obéir aux équation (4) et (6) donc
𝜕𝐸
= 𝑘𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑥
𝜕𝐵
= −𝑘𝑐 𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡
On aura entre valeurs instantanées les mêmes relations qu’entre les amplitudes :
E=cB et B= 1/c E
Par définition, la direction de E est appelée direction de polarisation
de l’onde. Les ondes électromagnétiques associées aux deux
solutions vues jusqu’ici sont dites polarisées linéairement parce que
e est toujours contenu dans un plan.
La lumière solaire ou d’une lampe est dite non polarisée car constituée d’un grand nombre d’ondes
planes dont les positions relatives de polarisation sont aléatoires →la moyenne est nulle.
On peut modifier cela via un filtre polarisant constitué de longues chaines de molécules orientées de
façon parallèle : la direction parallèle à celle des molécules laisse passer le champ électrique, la
direction perpendiculaire l’arrête.
Il existe d’autres solutions à l’équation d’onde en particulier :
𝐸𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐸0 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡))
𝐵𝑦 (𝑥, 𝑡) = ±𝐵0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝐸𝑧 = ±𝐸0 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝐵𝑧 = 𝐵0 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
On remarque que :
𝐸 = √𝐸𝑦2 + 𝐸𝑧2 = 𝐸0 𝑒𝑡
𝐵 = √𝐵𝑦2 + 𝐵𝑧2 = 𝐵0
Donc les champs ont une amplitude constante mais E et B, tout en restant perpendiculaires, tournent
autour de la direction de propagation : polarisation circulaire gauche ou droite suivant le signe choisi.
Les ondes électromagnétiques planes sont transversales, les champs E et B sont perpendiculaires
entre eux et à la direction de propagation.
La loi de Malus
Si la direction préférentielle d’un polariseur fait un angle θ avec la direction d’un champ électrique e
d’amplitude E0, la composante du champ parallèle à la direction préférentielle sera E’=E0 cos θ et
comme l’intensité transmise est proportionnelle au carré de l’amplitude : intensité transmise = cos²θ
×intensité incidente. C’est la loi de Malus de polarisation.
59
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2ème semestre
Physique générale
2. Energie et impulsion d’une onde électromagnétiques.
1
Densité d’énergie associée à un champ électrique : 𝐸𝐸 = 2 𝜀0 𝐸²
1
1
Densité d’énergie associée à un champ magnétique 𝐸𝐵 = 𝜇0 𝑐²𝐸² = 𝜀0 𝐸² = 𝐸𝐸
2
2
La densité totale d’énergie vaudra donc 𝐸𝑡𝑜𝑡 = 𝜀0 𝐸²
L’intensité de l’onde, énergie par unité de temps à travers une surface unité sera : 𝐼 = 𝐸𝑡𝑜𝑡 𝑐 = 𝑐𝜀0 𝐸²
Et l’intensité moyenne : 𝐼𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 = 𝑐𝜀0 (𝐸²)𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛
Qui pour une onde sinusoïdale donne
1
(𝐸²)𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 = 𝐸²0 [sin ²(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)] 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 = 𝐸02
2
1
2
D’où 𝐼𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 = 2 𝑐𝜀0 𝐸0
Produit vectoriel E×B pour une onde électromagnétique plane, c’est un vecteur perpendiculaire au
front d’onde et parallèle à la direction de propagation.
1
|𝐸 × 𝐵| = 𝐸𝐵 = ( ) 𝐸²
𝑐
Le vecteur c²ε0 E×B ou 1/μ0 E×B est appelé vecteur de Poynting et son module est l’intensité
instantanée I de l’onde.
𝑑𝐸
∮ 𝑃 𝑑𝑆 =
𝑑𝑡
1
Avec 𝑃 = 𝜇 E×B vecteur de Poynting est l’énergie qui traverse la surface s par unité de temps.De
0
p=mv et Etot=mc² on tire :
𝐸 𝐸𝑡𝑜𝑡
=
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑣 = 𝑐
𝑐
𝑐²
Donc la quantité de mouvement par unité de volume associée à l’onde électromagnétique est
𝐸𝑡𝑜𝑡
𝐸
𝑝=
= 𝜀0 = 𝜀0 (𝐸 × 𝐵)
𝑐
𝑐
On peut aussi montrer qu’une onde électromagnétique possède un moment cinétique
𝐿 = 𝑟 × 𝑝 = 𝜀0 𝑟. (𝐸 × 𝐵)
Par conséquent une particule qui émet ou absorbe une onde électromagnétique modifie son énergie
et sa quantité de mouvement mais aussi son moment cinétique.
P vecteur de Poynting
p impulsion
Pn pression
𝑝=𝑣
3. Pression de radiation.
Soit une radiation tombant sur une surface A et normale à celle-ci.
La pression sur la surface sera
𝑃𝑛 =
𝐹𝑛
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑝𝑐𝐴
= 𝑝.
=
= 𝑝𝑐 = 𝐸𝑡𝑜𝑡 = 𝜀0 𝐸²
𝐴
𝐴
𝐴
Si la surface absorbe complètement le rayonnement. LA pression de radiation est donc simplement
l’énergie totale de l’onde. Si le milieu est parfaitement réfléchissant, la variation de quantité de
mouvement est 2p donc 𝑃𝑛 = 2 𝐸𝑡𝑜𝑡 .Si la radiation vient dans toutes les idrections par rapport à la
surface →facteur 1/3
60
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Physique générale
2ème semestre
Chapitre 16 : Interférences
1. Ondes électromagnétiques stationnaires.
Une onde plane, harmonique et polarisée dans la direction y est
totalement réfléchie sur un miroir plan orienté perpendiculairement à sa
direction.
Les champs électriques des ondes incidentes et réfléchies sont
𝜔𝑥
)
𝑐
← 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝜔 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑒𝑎𝑛𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒
𝐸𝑖𝑛 = 𝐸0 cos (𝜔𝑡 −
𝐸𝑟𝑒𝑓 = −𝐸0 cos (𝜔𝑡 +
𝜔𝑥
) ← 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝜔 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑒𝑎𝑛𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒
𝑐
𝐸𝑡𝑜𝑡 = 𝐸𝑖𝑛 + 𝐸𝑟𝑒𝑓 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑡
Dans la région x<0 on aura
𝐸𝑡𝑜𝑡 = 𝐸𝑖𝑛 + 𝐸𝑟𝑒𝑓 = 𝐸0 [cos (𝜔𝑡 −
𝜔𝑥
𝜔𝑥
) − cos (𝜔𝑡 +
)]
𝑐
𝑐
= 2𝐸0 sin 𝜔𝑡 sin
𝜔𝑥
𝑐
C’est une onde stationnaire fixée dans l’espace. L’amplitude 2 E0sin ωx/c de l’onde est maximum en
→
𝜔𝑥
𝑐
𝜋 3𝜋 5𝜋
, …
2 2
= 2,
et donc si λ est la longueur d’onde (λ=2πc/ω) ;
1 3 5
𝑥 = 𝜆, 𝜆, 𝜆 … . 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2𝐸0 𝑒𝑡 − 2𝐸0
4 4 4
En les points x=0,1/2 𝜆, 𝜆,3/2 𝜆… noeud
L’interférence destructive des ondes incidentes et réfléchies génère tout le temps une onde
d’amplitude nulle.
Le champ magnétique associé au champ électrique est orienté suivant z et vaut :
𝐸0
𝜔𝑥
𝐵𝑖𝑛 = cos (𝜔𝑡 −
)
𝑐
𝑐
𝐵𝑟𝑒𝑓 =
𝐸0
𝜔𝑥
cos (𝜔𝑡 +
)
𝑐
𝑐
Bref est toujours orienté suivant z positif.
𝐵𝑡𝑜𝑡 = 𝐵𝑖𝑛 + 𝐵𝑟𝑒𝑓 = 2 (
𝐸0
𝜔𝑥
) cos 𝜔𝑡 cos ( )
𝑐
𝑐
On a une onde stationnaire mais :
1
3
5
𝑥 = 4 𝜆, 4 𝜆, 4 𝜆 nœud
x=0,1/2 𝜆, 𝜆,3/2 𝜆 maxima
-
Les maxima de B sont déplacés de ¼ λ par rapport à ceux de E
Il y a une différence de phase en temps de π/2
61
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
2. Les films minces
Ces phénomènes d’interférence en lumière visible deviennent spectaculaire dans le cas de film
mince :
Ondes réfléchies se déplaçant dans la même direction et pouvant
interférer constructivement ou destructivement
- 2 ondes les plus intenses après réflexion
- Si le rayon est ~ vertical la différence de chemin parcouru par (a) et
(b) est ~2d et donc si 2d est un multiple de λ les 2 ondes vont s’ajouter crête
à crête →interférence constructive
2d = λ,2λ,3λ,… interférence constructive
2d=1/2 λ,3/2λ,5/2λ… interférence desctructive
(λ est ici la longueur d’onde dans le film, si son indice de réfraction est n, ce sera nλ dans l’air)
Remarque :
Dans notre dérivation on a en fait un changement de phase à chaque réflexion et donc la phase
relative des ondes réfléchies ne change pas ? C’est ce qui se passe quand le rayon va d’un milieu
moins réfringent à un milieu plus réfringent. Dans le cas d’un film suspendu dans l’air (bulle) l’onde
réfléchie à la surface inférieure ne subit pas de changement de phase. Le déphasage relatif est alors
de 180° ce qui est équivalent à une différence de chemin de λ/2 →les conditions d’interférences
constructives et destructives sont inversées.
3. Interféromètre de Michelson.
Comparer deux longueurs avec précision en exploitant le phénomène d’interférences
La mesure consiste à comparer les distance
MM1 et MM2 (donc le mouvement de M1) en
comptant les franges d’interférences→
mesure en terme de la longueur d’onde de la
lumière
Si MM2 différent d’une distance d, la lumière
effectue une distance plus longue de 2d sur
un des chemins et on aura des interférences constructives pour
2𝑑 = 0, 𝜆, 2𝜆
1 3
𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 2𝑑 = 𝜆, 𝜆..
2 2
Passage d’un minimum vers maximum chaque fois que M1bouge de 1/4λ
4. Interférences par deux fentes ( Young)
62
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Pour que les franges d’interférences soient fixes dans l’espace il faut que les sources lumineuses qui
interfèrent soient cohérentes donc aient même fréquence et même phase (ex : le laser)On peut le
faire via un dispositif de source lumière monochromatique placée à bonen distance d’une plaque
perces de deux fentes minces. La plaque peut alors être considérée comme illuminée par une onde
plane et les fentes servent alors de sources ponctuelles cohérentes. Les ondes s’éloignent
radialement de chaque fente et on s’attend à ce que en certains points de l’espace, suite à la
différence de chemin parcouru, ces ondes interfèrent constructivement et destructivement.
Interférence constructive : si la différence de chemin
QP et Q’P diffère d’un nombre entier de longueur
d’onde.
D sinθ=0,λ,2λ maximum d’intensité
D sin θ=1/2 λ,3/2λ,5/2λ minimum de l’intensité
Le champ électrique des deux ondes sphériques issues de Q et Q’ :
𝐸1 =
𝐴
𝜔𝑟1
cos (𝜔𝑡 −
)
𝑟1
𝑐
𝐸2 =
𝐴
𝜔𝑟2
cos (𝜔𝑡 −
)
𝑟2
𝑐
Où A dépend de l’intensité de la source lumineuse. A l’approximation des grandes distances pour P
on a
𝑑
𝑟1 = 𝑟0 − sin 𝜃
2
𝑑
𝑟2 = 𝑟0 + sin 𝜃
2
D’où
𝐴
𝜔𝑟0
𝜔𝑑
𝐸1 = ( ) cos (𝜔𝑡 − (
) + ( ) sin 𝜃)
𝑟0
𝑐
2𝑐
𝐴
𝜔𝑟0
𝜔𝑑
𝐸2 = ( ) cos [𝜔𝑡 − (
) − ( ) sin 𝜃]
𝑟0
𝑐
2𝑐
La superposition des deux champs donne :
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 =
𝐴
𝜔𝑟0
𝜔𝑑
𝜔𝑟0
𝜔𝑑
cos (𝜔𝑡 − (
) + ( ) sin 𝜃) + cos (𝜔𝑡 − (
) + ( ) sin 𝜃)
𝑟0
𝑐
2𝑐
𝑐
2𝑐
=2
𝐴
𝜔𝑟0
𝜔𝑑
cos (𝜔𝑡 − (
) + ( ) sin 𝜃)
𝑟0
𝑐
2𝑐
L’intensité observée est proportionnelle à E². Comme on s’intéresse à la dépendance en θ et non
celle en t on va remplacer cos ² (ϖt-ϖr0/c) par sa valeur moyenne dans le temps
1
𝜔𝑑
1
𝜋𝑑
[𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡é ] ÷ 2 cos 2 ( sin 𝜃) = 2 cos 2 ( sin 𝜃)
2𝑐
𝜆
𝑟0
𝑟0
Variation avec θ pour un écran à une distance fixe r0 des fentes.
63
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Physique générale
2ème semestre
5. Interférence par plusieurs fentes.
Supposons 3 fentes équidistantes.Si les ondes issues de fentes adjacentes interfèrent
constructivement alors les ondes des 3 fentes interfèrent constructivement. La condition pour une
intensité maximum est donc la même que pour deux fentes.
Par contre on a pas la même règle pour les interférences destructives. Il faut que les phases diffèrent
de 120° en passant d’une onde à la suivante : la somme des deux ondes est alors annulée par la 3ème.
Minimum en d sin θ=λ/3 mais aussi tous les chemins décalés de 1/3 de période pour d sinθ
Entre chaque maxima tel que d sin θ=nλ(n=0,1,2..) on aura donc 2 minima séparés par un maxima
moins prononcé appelé maxima secondaire.
Si on étend ce raisonnement à N fentes :
Dsinθ=nλ n=0,1,2 maxima
Dsinθ=mλ/N m=1,2,3 avec m= N,2N… exclu minimas
Les maximas secondaires sont approximativement à mi-chemin des minima.
Pour obtenir une excellente séparation des couleur il faut un très grand nombre de fentes !
La distance entre un maxima principal et le minimum le plus proche est
𝜆
∆𝜃 = (1/𝑁) ( ) 𝑜ù 𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃~𝜃
𝑑
Pour un changement ∆λ en longueur d’onde, le déplacement du maximum est ∆𝜃 = 𝑛
∆𝜆
𝑑
Si ces deux valeurs de ∆θ sont égales, el changement ∆λ va dévier le maxima jusqu’à la place de
l’ancien minima et donc le nouveau et l’ancien maxima pourront être séparés.
1 𝜆
∆𝜆 ′
𝜆
( )( ) = 𝑛
𝑑 𝑜ù
= 𝑁𝑛
𝑁 𝑑
𝑑
∆𝜆
64
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Chapitre 17 : Diffraction
1. Diffraction par une fente simple
Soit une onde plane frappant une fente. Pour calculer la distribution de lumière au-delà de la fente
on utilise le principe d’Huygens-Fresnel :
On considère que chaque point de la fente atteint par le
front d’onde pet être considérée comme la source
d’une onde sphérique ; l’onde totale dans la région audelà de la fente est la superposition de toutes ces
ondes.
En fait l’onde au-delà de la plaque est le résultat de
l’onde incidente plus les ondes émises par les électrons
libres de la plaque, accélérés par le champ électrique incident.
-
-
-
On se place en un point P suffisamment loin pour que les rayons puissent être considérés
comme parallèles
Considérons les rayons 1 et 3 séparés par une distance a/2, pour avoir interférence
destructive il faut que la différence de chemin soit λ/2 donc a/2 sinθ=λ/2 ou asinθ=λ donne
une condition pour avoir un minimum. Les rayons 3 et 5 auront la même propriété.
Pour les rayons 1 et 2 séparés par une distance a/4. Pour avoir un interférence destructive
entre ceux-ci, il faudra a/4 sinθ=λ/2 ou a sin θ=2λ. On aura la même propriété pour les
paires : 2-3,3-4 ,4-5.
La condition pour avoir des minima : a sinθ=λ,2λ,3λ…
La condition pour avoir des maxima : on peut en attendre un au milieu (θ=0) et
approximativement entre les minimas.
Exemple :
Calcul de la distribution d’intensité d’un émetteur TV de λ=0.8m
Onde sphérique issue de dy
𝑑𝐸 =
𝐴
𝜔𝑟
cos (𝜔𝑡 − ) 𝑑𝑦
𝑟
𝑐
Si P est suffisamment loin : r=r0-y sin θ et au dénominateur
l’approximation r~r0 :
𝑑𝐸 =
𝐴
𝜔𝑟0 𝜔𝑦
cos (𝜔𝑡 −
+
sin 𝜃) 𝑑𝑦
𝑟0
𝑐
𝑐
Et en intégrant sur y allant de –a/2 à +a/2
𝐸=
𝐴
1
𝜔𝑟0 𝜔𝑎
𝜔𝑟0 𝜔𝑎
+
sin 𝜃) − sin (𝜔𝑡 −
−
sin 𝜃)]
[sin (𝜔𝑡 −
𝜔
𝑟0 ( ⁄𝑐) sin 𝜃
𝑐
2𝑐
𝑐
2𝑐
=
65
2𝐴
𝜔𝑟0
𝜔𝑎
cos (𝜔𝑡 −
) sin ( sin 𝜃)
𝜔
𝑐
2𝑐
𝑟0 ( 𝑐 ) sin 𝜃
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Pour avoir l’intensité il faut calculer E². La moyenne dans le temps de cos ² [𝜔𝑡 −
𝜔𝑟0
)]
𝑐
(
1
2
𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑡 𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 ∶
𝜋𝑎
1 𝑠𝑖𝑛² [ 𝜆 sin 𝜃]
[𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡é] ÷
𝑟²0
sin ²𝜃
2. Diffraction par une ouverture circulaire, critère de Rayleigh.
Il faut également calculer l’intégrale sur tous els points de l’ouverture, source d’ondes sphériques. Le
calcul donne une distribution d’intensité qui est qualitativement la même. La position du premier
minima est donné par :
sin 𝜃 = 1.22
-
-
𝜆
𝑎
Symétrie axiale
Le phénomène de diffraction par une ouverture circulaire est présent dans beaucoup
d’appareils d’optique.
Deux sources sont séparables si le maximum central d’une source est au moins séparés de
l’autre source par une distance égale au premier minimum de l’autre source.
Comme sinθ~∆θ , on a le critère de Rayleigh
∆θ=1.22 λ/a
66
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
Chapitre 18 : Aspect moderne de l’optique
1. Le Laser
Émission de lumière : passage d’un atome d’un état excité à un état d’énergie inférieure avec
émission d’un photon
Stade 1 : pompage optique : un flash de
lumière amène les électrons vers des niveaux
excités élevés.Les électrons retombent
spontanément vers des orbites métastables.
Stade2 : sous l’effet d’une stimulation
adéquate, un photon de bonne longueur
d’onde, l’électron retombe vers le niveau
fondamental avec émission d’un photon qui servira de stimulation à d’autres atomes etc : la phase, la
direction et la polarisation de ces émissions sont les mêmes.
Remarques :
1) Il y a interférence constructive des ondes émises, l’amplitude totale sera proportionnelle au
nombre d’atomes, donc l’intensité totale au carré de celui-ci → l’émission cohérente est
beaucoup plus puissante que l’émission incohérente.
2) Pour profiter de l’effet avalanche que constitue l’émission par stimulation on faire en sorte
que la lumière traverse un grand nombre de fois le milieu considéré qui constitue une cavité
résonnante
Le gain obtenue à chaque
traversée du milieu étant seulement de 1% les pertes doivent être bien inférieures à cela.
3) Le rendement total d’un laser est faible :
10W d’énergie électrique -> 0.1W d’énergie lumineuse dans la cavité résonante -> 0.001W
de puissance optique extraite. LA taille du faisceau (~1mm) : faisceau de 0.001W correspond
à 1000W/m² soit pratiquement l’intensité du soleil. La focalisation via une lentille produisant
un faisceau de 10μm conduit à des intensités de 107W/m².Mode pulsé : une impulsion de 1012
s répétée 1000 fois/sec permet à un laser de 1W de fournir 109W par impulsion
4) Différents types de laser :
- Laser à rubis
- Laser helium-néon
- Laser à dioxyde de carbone
- Laser à semi-conducteur
67
Favaretto Mélodie
Physique générale
2ème semestre
2. Holographie
Reproduction photographique : enregistrement point par point du carré de l’amplitude du champ
électromagnétique
L’information sur la phase ets complètement perdue. Si l’amplitude et la phase résultante de
l’interférence entre une source lumineuse et un objet pouvaient être enregistrés, l’illumination de
l’enregistrement conduirait à un objet impossible à distinguer de l’original.
L’hologramme est produit par l’interférence entre les
fronts d’ondes complexes de l’objet et les fronts
d’ondes planes du faisceau de référence
Reproduction de l’hologramme :
Principe de la création d’un hologramme :
Supposons que le cube de l’illustration soit
remplacé par un miroir plan : les ondes après réflexion sur le miroir sont des ondes planes. Celles-ci
vont interférer avec le faisceau de référence et former sur la plaque photographique des zones
claires et sombres caractéristiques des franges d’interférences.
La relation entre la distance entre deux interférences
constructives et la longueur d’onde sera dsinα=λ
L’hologramme obtenu va ressembler à un réseau avec une
distance d’entre fentes
L’interférence constructives de ces fentes va
conduire à des faisceaux diffractés
d’intensité maximum.
L’angle θ au 1er ordre sera tel que d sin θ=λ
L’angle d’émergence du faisceau diffracté au 1er ordre coïncide avec l’angle d’incidence du faisceau
original → l’hologramme reconstruit les fronts d’onde : l’onde lumineuse reconstruite a les mêmes
caractéristiques que l’objet photographié →ce dernier apparaît comme devant les yeux.
Propriétés vraies pour les fronts d’onde compliqué émis par un objet quelconque. Chaque morceau
de l’hologramme contient assez d’information pour donner lieu à une reconstruction complète.
68