Introduction à la Dynamique des Milieux Continus (Compléments au

Introduction à la Dynamique des Milieux Continus
(Compléments au notes de rhéologie des fluides)
École de Printemps. GDR Matériaux Vitreux
Mars 2003.
Didier Bernardin
Chargé de Recherches CNRS
L.E.M.T.A. UMR 7563. (Nancy)
email: db[email protected].fr

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TABLE DES MATIÈRES 3
Table des matières
1 Cinématique et géométrie. 7
1.1 Mouvements d’un milieu continu 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Mouvements réguliers. Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Vitesses.............................................. 9
1.1.3 Gradient de déformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4 Cas de l’écoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Gradients de vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Décomposition polaire et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Définition............................................ 16
1.2.2 Rotation et déformation locale. Décomposition infinitésimale de Helmholtz. . . . . . . . 17
1.2.3 Tauxdecisaillement...................................... 19
1.3 Mouvements rigidifiants. Changement de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Mouvements rigidifiants. Mouvements de solide rigide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Changements de référentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2.1 Définitions....................................... 24
1.3.2.2 Loi de composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2.3 Loi de composition des déformations et des gradients de vitesses . . . . . . . . 25
1.4 Tenseurs des déformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 Tenseurs relatifs de Cauchy et de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1.1 Mouvement de solide rigide et mouvement rigidifiant. . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2 Tenseur des déformations linéarisées. Hypothèses de la déformation infinitésimale et de
la transformation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.3 Coordonnées matérielles. Champ de vecteurs gelé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.4 Transport des formes différentielles. Tenseur de Finger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.5 Variations relatives des aires infinitésimales. Transport des normales. . . . . . . . . . . . 32
1.5 Interfaces ................................................ 34
1.5.1 Généralités............................................ 34
1.6 Mouvements de milieux non miscibles. Interfaces matérielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.1 Mouvement 3D d’un domaine borné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.2 Mouvements de deux milieux continus non miscibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7 Ondedediscontinuité.......................................... 44
1.8 Dérivée particulaire ponctuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9 Théorèmes de transports. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.9.1 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume dans un mouvement régulier. . . . . . . . 51
1.9.2 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume dans un mouvement de milieux non mis-
cibles. .............................................. 52
1.9.3 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume en présence d’une onde de discontinuité. 54
1.9.3.1 Approche "physique" Eulérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.9.3.2 Approche Lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.9.4 Dérivée particulaire d’une intégrale de surface dans un mouvement régulier. . . . . . . . 58
1.10 Mouvement isovolume. Milieux incompressibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.11 Masse et densité de masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.11.1 Densitédemasse........................................ 61
1.11.2 Principe de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.11.3 Configuration naturelle d’un milieu homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4TABLE DES MATIÈRES
1.11.4 Bilan d’une quantité spécifique dans un mouvement régulier ou dans le mouvement de
deux milieux immiscibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.11.5 Bilan de masse en présence d’une onde de discontinuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.11.6 Bilan d’une quantité spécifique en présence d’une surface de discontinuité. . . . . . . . . 63
1.12 Appendice. Note sur la géométrie de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.12.1 Propriété intrinsèque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.12.2 Topologiecanonique....................................... 64
1.13 Appendice. Systèmes de coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.13.1 généralités............................................ 66
1.13.2 Coordonnées Cylindriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.13.2.1 Définition. ...................................... 67
1.13.2.2 Baselocale....................................... 68
1.13.2.3 Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.13.2.4 Surfaces de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.13.3 Coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.13.3.1 Définition. ...................................... 70
1.13.3.2 Baselocale....................................... 71
1.13.3.3 Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.13.3.4 Surfaces de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 Dynamique du milieu continu 75
2.1 Principe fondamental de la dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.1 Équations de bilan local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.1.1 Ladémarche...................................... 76
2.1.1.2 Les équations locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.2 Bilan de puissances virtuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2 PrincipedeD’Alembert ........................................ 79
2.2.1 Les champs admissibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.1.1 Cas du milieu compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.1.2 Cas du milieu incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3 Changement de référentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3.1 Les équations de bilan dynamique pour le mouvement φ∗, connaissant celles du mouve-
ment φ. ............................................. 85
2.3.2 Les équations de bilan dynamique pour le mouvement φ∗, d’après la théorie de Cauchy. 87
2.3.3 Le principe de D’Alembert pour les efforts extérieurs dans le reférentiel mobile. . . . . . 87
2.3.4 Le principe d’objectivité matérielle énoncé pour les efforts intérieurs. . . . . . . . . . . . 88
2.3.5 La mécanique du milieu continu basée sur le principe des puissances virtuelles. Théorie
dupremiergradient....................................... 89
2.3.6 Équations de la mécanique dans le repère mobile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4 Lepremierprincipe........................................... 92
2.4.1 L’énergieinterne......................................... 92
2.4.2 Lepremierprincipe ...................................... 93
2.4.3 Principe d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5 L’équilibre thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.1 Définition............................................ 95
2.5.2 Le principe d’objectivité matérielle pour l’entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5.3 La température et le second principe à l’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5.4 Travailetchaleur. ....................................... 97
2.5.5 Note sur le groupe de symétrie à l’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.5.6 Les fluides à l’équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5.7 Note sur le milieu incompressible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.5.8 Les solides isotropes à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.5.8.1 Elasticité linéaire finie du solide isotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5.8.2 Elasticité infinitésimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5.8.3 le problème de la statique des solides élastiques linéaires isotropes. . . . . . . . 105
2.6 Membranes................................................ 107
2.7 SecondPrincipe............................................. 109

TABLE DES MATIÈRES 5
2.7.1 La température dans les fluides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.7.2 Lesecondprincipe ....................................... 109
2.7.2.1 La dissipation en variable de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.7.3 Principe d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.8 Condition de saut aux interfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.8.1 Bilandemasse ......................................... 112
2.8.2 Cas du bilan de quantité de mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.8.3 Biland’énergie.......................................... 114
2.8.4 Biland’entropie. ........................................ 114
2.8.5 Cas d’une interface matérielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A Algèbre linéaire. 117
A.1 Espaces vectoriels. Vocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2 Espaces affines. Vocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.3 Formes linéaires et multilinéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.4 Dual algébrique quand K=Rou C. ................................. 123
A.5 Algèbre linéaire sur un espace réel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.5.1 Déterminants. Orientations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.5.1.1 Déterminant et trace d’un endomorphisme. Transformations directes. Matrices. 124
A.5.1.2 Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.5.1.3 Groupe linéaire. Groupe unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.5.2 Produit tensoriel et extérieur de formes linéaires. Bases duales. Adjoint . . . . . . . . . 127
A.5.2.1 basesduales ..................................... 128
A.5.2.2 Adjoint ........................................ 128
A.5.3 Espaces vectoriels Euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.5.3.1 Produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.5.3.2 Basesduales...................................... 129
A.5.3.3 Formes bilinéaires et endomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.5.3.4 Transposition. .................................... 130
A.5.4 Norme et Produit scalaire sur L(E,E). Produit contracté. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.5.5 Déplacements et transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.5.5.1 Transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.5.5.2 Déplacements affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.5.5.3 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.5.6 Fonctions isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B Surfaces. 141
B.1 Surfaces abstraites. Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.2 Plongements dans un espace affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.2.1 Plongement dans un espace de dimension 3.......................... 144
B.2.2 Plan tangent. Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.3 Différentielles. Courbures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.3.1 Cas des surfaces abstraites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.3.2 Cas des surfaces plongées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.3.2.1 Différentielle...................................... 146
B.3.2.2 Application: Formes fondamentales. Courbures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C Domaines. 151
C.1 Partitionsdel’unité. .......................................... 151
C.2 Ouverts réguliers. Domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C.3 Intégration ............................................... 156
C.3.1 Mesure superficielle sur le bord d’un ouvert Lipschitzien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C.3.2 Formules de Green pour les fonctions C1. .......................... 157
C.3.2.1 Formules usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.3.2.2 Divergence d’un champ d’endomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158