Introduction à la Dynamique des Milieux Continus (Compléments au

Introduction à la Dynamique des Milieux Continus
(Compléments au notes de rhéologie des fluides)
École de Printemps. GDR Matériaux Vitreux
Mars 2003.
Didier Bernardin
Chargé de Recherches CNRS
L.E.M.T.A. UMR 7563. (Nancy)
email: [email protected]
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TABLE DES MATIÈRES
3
Table des matières
1 Cinématique et géométrie.
1.1 Mouvements d’un milieu continu 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Mouvements réguliers. Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Gradient de déformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Cas de l’écoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Gradients de vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Décomposition polaire et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Rotation et déformation locale. Décomposition infinitésimale de Helmholtz. . . . . . . .
1.2.3 Taux de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mouvements rigidifiants. Changement de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Mouvements rigidifiants. Mouvements de solide rigide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Changements de référentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.2 Loi de composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.3 Loi de composition des déformations et des gradients de vitesses . . . . . . . .
1.4 Tenseurs des déformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Tenseurs relatifs de Cauchy et de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.1 Mouvement de solide rigide et mouvement rigidifiant. . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Tenseur des déformations linéarisées. Hypothèses de la déformation infinitésimale et de
la transformation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Coordonnées matérielles. Champ de vecteurs gelé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Transport des formes différentielles. Tenseur de Finger . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Variations relatives des aires infinitésimales. Transport des normales. . . . . . . . . . . .
1.5 Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Mouvements de milieux non miscibles. Interfaces matérielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Mouvement 3D d’un domaine borné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Mouvements de deux milieux continus non miscibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Onde de discontinuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Dérivée particulaire ponctuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Théorèmes de transports. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume dans un mouvement régulier. . . . . . . .
1.9.2 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume dans un mouvement de milieux non miscibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume en présence d’une onde de discontinuité.
1.9.3.1 Approche "physique" Eulérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3.2 Approche Lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.4 Dérivée particulaire d’une intégrale de surface dans un mouvement régulier. . . . . . . .
1.10 Mouvement isovolume. Milieux incompressibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Masse et densité de masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 Densité de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Principe de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.3 Configuration naturelle d’un milieu homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
TABLE DES MATIÈRES
1.11.4 Bilan d’une quantité spécifique dans un mouvement régulier ou dans le mouvement de
deux milieux immiscibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.5 Bilan de masse en présence d’une onde de discontinuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.6 Bilan d’une quantité spécifique en présence d’une surface de discontinuité. . . . . . . . .
1.12 Appendice. Note sur la géométrie de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.1 Propriété intrinsèque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.2 Topologie canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Appendice. Systèmes de coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.1 généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.2 Coordonnées Cylindriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.2.2 Base locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.2.3 Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.2.4 Surfaces de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.3 Coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.3.2 Base locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.3.3 Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.3.4 Surfaces de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Dynamique du milieu continu
2.1 Principe fondamental de la dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Équations de bilan local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.1 La démarche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.2 Les équations locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bilan de puissances virtuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Principe de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Les champs admissibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1 Cas du milieu compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.2 Cas du milieu incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Changement de référentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Les équations de bilan dynamique pour le mouvement φ∗ , connaissant celles du mouvement φ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Les équations de bilan dynamique pour le mouvement φ∗ , d’après la théorie de Cauchy.
2.3.3 Le principe de D’Alembert pour les efforts extérieurs dans le reférentiel mobile. . . . . .
2.3.4 Le principe d’objectivité matérielle énoncé pour les efforts intérieurs. . . . . . . . . . . .
2.3.5 La mécanique du milieu continu basée sur le principe des puissances virtuelles. Théorie
du premier gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Équations de la mécanique dans le repère mobile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Le premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 L’énergie interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Le premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Principe d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 L’équilibre thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Le principe d’objectivité matérielle pour l’entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 La température et le second principe à l’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Travail et chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Note sur le groupe de symétrie à l’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Les fluides à l’équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.7 Note sur le milieu incompressible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.8 Les solides isotropes à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.8.1 Elasticité linéaire finie du solide isotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.8.2 Elasticité infinitésimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.8.3 le problème de la statique des solides élastiques linéaires isotropes. . . . . . . .
2.6 Membranes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Second Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
2.7.1
2.7.2
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A Algèbre linéaire.
A.1 Espaces vectoriels. Vocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Espaces affines. Vocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Formes linéaires et multilinéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Dual algébrique quand K = R ou C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Algèbre linéaire sur un espace réel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.1 Déterminants. Orientations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.1.1 Déterminant et trace d’un endomorphisme. Transformations directes. Matrices.
A.5.1.2 Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.1.3 Groupe linéaire. Groupe unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.2 Produit tensoriel et extérieur de formes linéaires. Bases duales. Adjoint . . . . . . . . .
A.5.2.1 bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.2.2 Adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3 Espaces vectoriels Euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3.1 Produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3.2 Bases duales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3.3 Formes bilinéaires et endomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3.4 Transposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.4 Norme et Produit scalaire sur L(E,E). Produit contracté. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.5 Déplacements et transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.5.1 Transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.5.2 Déplacements affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.5.3 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.6 Fonctions isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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B Surfaces.
B.1 Surfaces abstraites. Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Plongements dans un espace affine. . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 Plongement dans un espace de dimension 3. . . . . . . . .
B.2.2 Plan tangent. Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Différentielles. Courbures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Cas des surfaces abstraites. . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Cas des surfaces plongées. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2.1 Différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2.2 Application: Formes fondamentales. Courbures. .
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C Domaines.
C.1 Partitions de l’unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Ouverts réguliers. Domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.1 Mesure superficielle sur le bord d’un ouvert Lipschitzien. .
C.3.2 Formules de Green pour les fonctions C 1 . . . . . . . . . .
C.3.2.1 Formules usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3.2.2 Divergence d’un champ d’endomorphismes. . . .
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2.8
La température dans les fluides. . . . . . . . . .
Le second principe . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2.1 La dissipation en variable de Lagrange
2.7.3 Principe d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . .
Condition de saut aux interfaces. . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Bilan de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Cas du bilan de quantité de mouvement. . . . . .
2.8.3 Bilan d’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Bilan d’entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Cas d’une interface matérielle. . . . . . . . . . .
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6
TABLE DES MATIÈRES
Conventions. Dans ce qui suit, sauf mention contraire explicite, E désignera partout l’espace affine
Euclidien de dimension 3 sur R dans lequel sont placées à chaque instant les "particules" d’un milieu continu.
On désignera par E un espace vectoriel Euclidien orienté associé (par exemple, l’espace des translations de E),
dans lequel en particulier se trouvent les champs de déplacements, de vitesses, d’accélérations et de forces. Les
espaces E et E, le produit scalaire et l’orientation sont fixés une fois pour toutes.
Les relations de bilans intégraux du paragraphe 1.9, ou du chapitre 2, s’appliquent à des domaines. Nous
appellerons ici partout "domaine", un ouvert borné de E dont la frontière est "assez régulière" et qui est
partout situé d’un même côté de cette frontière. Pour indiquer la régularité de cette frontière on parlera de
domaine lipschitzien, 1-régulier, 2-régulier, etc... A titre d’exemple, l’intérieur d’une sphère est un domaine,
d’ailleurs ∞-régulier, mais pas l’extérieur ni l’extérieur d’un disque ou d’un segment. Des définitions précises
et opérationnelles sont donnés en appendice.
De manière générale, on s’attachera ici à être aussi précis que possible quand aux propriétés topologiques
et différentielles des objets géométriques que l’on va manipuler, quand ces dernières sont importantes dans les
développements. Pour ce qui concerne le calcul différentiel dans les espaces vectoriels normés et ses applications
(théorème des accs finis, théorème des fonctions implicites, équations différentielles, formes différentielles, etc..)
on pourra consulter les livres de H. Cartan[2]. Pour ce qui concerne les propriétés topologiques et le vocabulaire
(ouvert, compact, homéomorphisme, etc..) on pourra consulter le livre de G. Christol et alii[5].
Notation ∇ . De manière générale, dans tout ce qui suit, on notera systématiquement ∇ toutes les
différentielles spatiales sauf pour une fonction scalaire u ou, conformément à l’usage, ∇ u sera le vecteur
de E dualement associé à la différentielle u0 par le produit scalaire.
De manière précise, soit u : O 7−→ F une application définie sur un ouvert O ⊂ E et à valeurs dans un
espace vectoriel ou affine réel de dimension finie n ≥ 1, différentiable en un point x ∈ O. Alors, par définition,
il existe une unique application linéaire u0 (x) : E 7→ F tangente à u en x, où F est soit F (cas vectoriel) soit
son espace de translations (cas affine). C’est à dire:
∀dx ∈ F; x + dx ∈ O :
Si n ≥ 2, on notera:
u(x + dx) = u(x) + u0 (x) · dx + o(||dx||)
∇ u(x) = u0 (x)
(n ≥ 2)
Alors que si n = 1 (cas où F est égal à R, ou plus généralement est une droite affine), ∇ u(x) ∈ E sera le
vecteur défini par:
∇u(x)|v) = u0 (x) · v
∀v ∈ E :
(∇
si n = 1
Contrairement à la différentielle, il n’est pas intrinsèque mais dépend du choix du produit scalaire. Cela ne
pose pas réellement de problème car on peut considérer qu’au choix de l’unité de longueur près le produit
scalaire de l’espace ambiant s’impose à nous à travers le groupe des déplacements qui est partagé par tous les
humains 1 .
Ce sont les conventions généralement adoptées dans les ouvrages français. Attention toutefois à ce que
dans certains ouvrages anglo-saxons, par souci de cohérence, les auteurs notent ∇u (pour le cas d’un champ
de vecteurs u : O 7→ E, par exemple), non pas la différentielle u0 mais sa transposée (ce qui n’est pas très
pertinent, car elle n’est pas intrinsèque), voire la duale de sa différentielle (qui est intrinsèque mais parfaitement
inutile pour le milieu 3D) ....
1
C’est pourquoi on n’éprouve jamais le besoin de préciser le produit scalaire.
7
Chapitre 1
Cinématique et géométrie.
1.1
Mouvements d’un milieu continu 3D
Milieu continu, milieu continu, milieu continu, ... mais au fait qu’est-ce que c’est??? Comme toujours en
physique on est amené à remplacer le "défini" par une "définition" qui, bien sûr, sera réductrice dans la mesure
où elle ne va décrire que les propriétés que l’on se propose d’étudier. En ce qui concerne la cinématique classique
(i.e. non relativiste), ce qu’il est convenu d’appeler "milieu" (continu ou non) est la donnée simultanée d’un
ensemble d’objets - appelés "particules" ou "points matériels", ou etc... - et d’une famille d’injections - appelées
placements - entre cet ensemble d’objets et les points d’un espace affine Euclidien E de dimension 3, lequel
est censé bien représenter l’espace "réel" compte tenu de la connaissance géométrique que l’on en a. Pour ce
qu’il est convenu d’appeler "milieu continu 3D", on demande à l’ensemble d’objets d’être un ouvert de l’espace
et aux placements d’être au moins continus. En conséquence du théorème de Brower ces placements sont des
homéomorphismes 1 et les images sont des ouverts, chacune s’interprétant comme une position géométrique
possible du milieu dans l’espace, d’où le nom de "placements". En cinématique, on s’intéresse à des familles
de placements qui dépendent continûment d’un paramètre réel, le temps. Une telle famille est un mouvement
et par la suite on réservera le nom de "placement" à l’image elle même plutôt qu’à l’homéomorphisme.
Dans ce qui suit, on va s’intéresser à des mouvements réguliers dont on va maintenant préciser la définition.
1.1.1
Mouvements réguliers. Définitions et premières propriétés.
On se donne un ouvert B de E qui, par convention, sera appelé configuration de référence pour le matériau
dont on souhaite décrire les mouvements. Du point de vue cinématique cette configuration de référence est la
donnée même du milieu. On se donne également un intervalle ouvert I de R qui sera la durée du mouvement.
Ce qu’il est convenu d’appeler mouvement de milieu continu 3D relativement à la configuration de référence
B, sur l’intervalle de temps I, est d’abord une famille à un paramètre réel {φ(t)} {t∈I} de C 1 -difféomorphismes 2
de B.
Ceci signifie en particulier que pour chaque t ∈ I, φ(t) : B 7→ E est une application injective, continûment
différentiable et telle que sa différentielle en tout point soit inversible. Il se trouve que, puisque E est de
dimension finie, ces trois conditions qui sont physiquement "naturelles" sont en fait nécessaires et suffisantes 3
pour que φ(t) soit un difféomorphisme de B sur un ouvert de E.
Si X est un élément de B - appelé par convention particule - on dira que φ(t)(X) est la position à l’instant
t de la particule X.
Pour chaque t ∈ I, on note Ωt l’image de B par φ(t):
Ωt = φ(t)(B)
Ωt est l’ouvert de E constitué des points occupés par le milieu continu à l’instant t. On dira que c’est le
placement du milieu à l’instant t.
Note: Le fait de demander à φ(t) d’être un C 1 -difféomorphisme défini sur un ouvert de E relève donc de la physique et n’est
pas une pure convenance "mathématique". En effet:
1. Que B soit un ouvert assure la "dimensionalité" du milieu continu (3D).
1
Un homéomorphisme, par définition, est une bijection entre deux espaces topologiques qui est continue et d’inverse continue.
3 En vertu
Un C 1 -difféomorphisme est un homéomorphisme entre deux ouverts qui est de classe C 1 , ainsi que son inverse.
du théorème de Brower et du théorème des fonctions implicites.
2
8
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
x
Ωt
+
φ(t)
X
χt (τ )
+
B
φ(τ )
y
+
Ωτ
Fig. 1.1 – Mouvement absolu et relatif.
2. L’injectivité est une condition évidente d’intégrité (on ne perd ni ne gagne de particules).
3. La continuité préserve la connexité et, en particulier, assure que l’on ne recolle pas de parties initialement séparées ou
qu’inversement il n’y a pas de déchirements.
4. La continuité assure en outre la conservation de la dimension. En effet, on sait d’après le théorème de Brower (c.f le
théorème 1.4 et son corollaire) qu’une injection continue d’un ouvert B ⊂ E à valeurs dans E est un homéomorphisme et
que l’image est ouverte. En particulier, on peut donc inverser les rôles de B et de Ω t . La condition d’homéomorphisme est
donc naturelle.
5. Physiquement, on doit en outre assurer la préservation de la masse. La masse d’un milieu tridimensionnel est une mesure
sur la tribu des Boréliens telle que toute partie de volume nul soit de masse nulle et inversement, toute partie de masse
nulle soit de volume nul. Les parties de volume nul doivent donc rester de volume nul et inversement aucune partie de
volume non nul ne doit devenir de volume nul. Cette condition, fondamentale en mécanique, n’est pas assurée par les seuls
homéomorphismes mais elle l’est par les difféomorphismes, et plus précisément par la condition de Jacobien non nul.
Pour définir à un instant t la vitesse, le gradient de vitesse, etc... il faut de plus que la dépendance de φ
en t soit assez régulière. Pour de nombreuses raisons (continuité des trajectoires, écriture des équations de la
dynamique, formulations des puissances virtuelles, cadre d’une théorie du premier gradient, ...) dans ce qui
suit on adoptera alors la définition:
Définition 1.1 (Mouvement régulier de milieu continu 3D) Soit I un intervalle ouvert de R et B
un ouvert de E. On appelle mouvement régulier de milieu continu, relativement à la configuration de référence
B sur l’intervalle de temps I, une application φ de I dans l’ensemble des C 1 -difféomorphismes de B telle que
pour tout 4 O b B on ait:
φ ∈ C 1 [I,C 1 (O,E)]
Dans tout ce qui suit, sauf mention contraire explicite (comme par exemple au paragraphe 1.7), tous les
mouvements seront supposés réguliers et on omettra en général l’adjectif "régulier". Dans le chapitre suivant
on demandera d’ailleurs au mouvement un peu plus de régularité pour pouvoir définir l’accélération en un
sens classique. Notons, même si c’est évident vu la définition, que si φ est un mouvement de milieu continu
relativement à une configuration B sa restriction à un ouvert quelconque B 0 de B est aussi un mouvement de
milieu continu relativement à B 0 sur le même intervalle de temps.
On peut, au lieu d’indexer les particules sur l’ensemble B, les repérer par les positions qu’elles occupent
dans un placement à un instant particulier t ∈ I. Dans ce cas, on indiquera le mouvement, relativement au
placement à l’instant t, Ωt . Plus précisément, si x est la position d’une particule X à l’instant t, la position de
cette même particule à l’instant τ est:
φ(τ )(X) = φ(τ )[φ(t)−1 (x)]
4 La notation O b B, qui m’est personnelle, signifie que O est un ouvert borné vérifiant O ⊂ B, O est donc compact. L’ensemble
C 1 [I,C 1 (O,E)] est donc bien défini et intrinsèque.
1.1. MOUVEMENTS D’UN MILIEU CONTINU 3D
9
Il est évident que pour chaque couple d’instants (t,τ ), φ(τ ) ◦ φ(t)−1 est un C 1 -difféomorphisme de Ωt . D’où la:
Définition 1.2 (Mouvement Relatif ) Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un intervalle de temps I et t ∈ I un instant fixé. On appelle mouvement relatif par rapport à
1
Ωt , associé à φ, l’application χt : I 7−→ Cdif
f (Ωt ) définie par:
∀τ ∈ I :
χt (τ ) = φ(τ ) ◦ φ(t)−1
On notera que χt (t) = Id.
Il est alors facile de voir que χt vérifie les conditions de régularité de la définition 1.1 en remplaçant B par
Ωt . D’où la proposition:
I Proposition 1.1 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un
intervalle de temps I et t ∈ I un instant fixé.
1. Alors, le mouvement relatif χt est un mouvement de milieu continu relativement à la configuration de
référence Ωt sur l’intervalle de temps I.
2. Pour que φ soit un mouvement relatif de milieu continu, il faut et il suffit qu’il existe τ ∈ I tel que
φ(τ ) = Id.
Ainsi, le mouvement relatif est lui même un mouvement de milieu continu. C’est pourquoi au lieu de
qualifier Ωt de placement on dit encore que c’est la configuration à l’instant t: attention que, contrairement à
la configuration de référence, elle dépend du mouvement choisi. Le mouvement relatif a quelques particularités
essentielles.
– La configuration de référence B, du moins pour ce qui concerne les aspects purement cinématiques du
mouvement, ne sert qu’à indexer les particules du milieu et de plus peut très bien ne jamais être occupée
au cours du mouvement. Par contre, pour le mouvement relatif, le placement Ω t , qui est la configuration
de référence de ce mouvement, est maintenant une configuration effectivement occupée par le milieu au
cours de son mouvement. Le mouvement relatif χt est le "mouvement réellement observé" dans l’espace
physique. Ainsi, pour décrire un même mouvement relatif, un observateur a le choix de la configuration
de référence qui n’est pas nécessairement un placement.
– Pour x ∈ Ωt donné, l’application: τ ∈ I 7→ χt (τ,x) est un paramétrage de la trajectoire de la particule
X qui occupe la position x à l’instant t.
– On verra un peu plus loin qu’un mouvement relatif est toujours une transformation directe, c’est à
dire que sa différentielle conserve l’orientation de l’espace. Ainsi, tout mouvement relatif est un mouvement de milieu continu mais inversement tout mouvement de milieu continu n’est pas nécessairement le
mouvement relatif d’un autre mouvement de milieu de continu.
– Quand le placement à t0 est un domaine régulier, la condition χt0 (t0 ) = Id et des hypothèses de continuité
convenables suffisent à elles seules à assurer qu’une famille d’applications est un mouvement relatif de
milieu continu (voir la proposition 1.24).
En rhéologie, pour un mouvement donné on s’intéressera au mouvement relatif à la configuration Ω t sur
laquelle on souhaite décrire les efforts subis par la matière et on s’intéressera aux placements aux instants
antérieurs à t (i.e. τ ≤ t). On choisira alors comme configuration de référence pour décrire l’ensemble des
mouvements absolus du milieu qui nous intéresse une configuration particulière à laquelle on affectera les
propriétés intrinsèques du matériau (homogénéïté, symétries, etc...).
De manière à éviter les confusions, chaque fois que l’on parlera du "mouvement" sans autres précisions il
sera entendu qu’il s’agit du mouvement du milieu relativement à une configuration de référence arbitraire B,
c’est à dire que l’on utilisera les notations "absolues" φ, B, etc.... Inversement, chaque fois que l’on voudra
utiliser une configuration de référence effectivement occupée au cours du mouvement on utilisera l’adjectif
"relatif" et l’on indexera systématiquement les objets qui pourraient être ambigus par l’instant t de référence,
c’est à dire que l’on utilisera les notations χt , Ωt , etc...
1.1.2
Vitesses.
Notons que l’on peut identifier φ à une application Φ de I × B dans E, définie par:
∀t ∈ I,∀X ∈ B :
Φ(t,X) = φ(t)(X)
10
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Le plus souvent, pour simplifier, on notera indifféremment "φ" la fonctionnelle φ elle même aussi bien que la
fonction de deux variables Φ qui lui est canoniquement associée. De même, pour simplifier on notera également
χt l’application de I × Ωt dans E associée à χt et donnée par:
∀τ ∈ I,∀x ∈ Ωt :
χt (τ,x) = [χt (τ )](x)
Il est facile de voir, vu la régularité de φ, que Φ admet des dérivées partielles continues et un théorème classique
permet de conclure que Φ est de classe C 1 (I ×B,E) (de même que χt est de classe C 1 (I ×Ωt ,E)). En particulier,
la dérivée partielle de Φ par rapport à t, qui est un vecteur de E, est donnée par:
∀t ∈ I,∀X ∈ B :
∂Φ
(t,X) = φ0 (t)(X)
∂t
et c’est par définition la vitesse à l’instant t de la particule X.
Définition 1.3 (Champ de vitesse Lagrangien) Soit φ un mouvement de milieu continu relativement
à une configuration B sur un intervalle de temps I et t ∈ I un instant fixé. Pour chaque t ∈ I, l’application
φ0 (t) : B 7−→ E définie sur B est, par définition, le champ de vitesse Lagrangien du mouvement à l’instant t
relativement à B et on note V(t,X) la vitesse à l’instant t de la particule X:
∀t ∈ I,∀X ∈ B :
V(t,X) = φ0 (t)(X) =
∂Φ
(t,X)
∂t
On notera que V est, par hypothèse, continue par rapport à t et X et continûment différentiable par
rapport à X.
Comme φ(t) est bijective, on peut également exprimer la vitesse d’une particule à un instant t en fonction
de la position qu’elle occupe à cet instant, par changement de variable. C’est à dire, en x = φ(t)(X):
V(t,X) = V(t,φ(t)−1 (x)) = φ0 (t)[φ(t)−1 (x)]
On définit ainsi une application qui à chaque point x ∈ Ωt associe la vitesse de la particule qui se trouve en
x à l’instant t. Le champ de vecteur ainsi défini sur Ωt est appelé champ de vitesse Eulérien du mouvement.
D’où la:
Définition 1.4 (Champ de vitesse Eulérien) Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à
une configuration B sur un intervalle de temps I et t ∈ I un instant fixé. Pour chaque t ∈ I, l’application
v(t) définie sur Ωt par v(t) = φ0 (t) ◦ φ(t)−1 est par définition le champ de vitesse Eulérien du mouvement à
l’instant t. Si t ∈ I est un instant et x est un point de Ωt , le vecteur v(t,x) = v(t)(x) est la vitesse à l’instant
t de la particule qui occupe à cet instant la position x dans Ωt , c’est à dire:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt :
∀t ∈ I,∀X ∈ B :
v(t,x) = V(t,φ(t)−1 (x))
V(t,X) = v(t,φ(t)(X))
On notera que si x = φ(t,X), les vecteurs v(t,x) et V(t,X) sont évidemment identiques. Cependant, pour
bien distinguer les champs, on dira souvent que v(t,x) est la vitesse Eulérienne de la particule X et V(t,X)
sa vitesse Lagrangienne. Par définition même de la vitesse, à un instant t le vecteur v(t,x) est pour tout point
x ∈ Ωt tangent à la trajectoire qui passe par x.
Notons que les champs de vitesse Eulériens et Lagrangiens sont définis pour tout mouvement de milieu
continu et donc en particulier pour un mouvement relatif. Mais la vitesse Lagrangienne du mouvement relatif
est donnée, pour une particule, par référence à la position qu’elle occupe à un instant particulier t. Le champ
Eulérien reste bien sûr inchangé. Pour éviter toute confusion, on notera Vt (τ,x) le champ de vitesse Lagrangien
relativement à la configuration Ωt occupée à l’instant t: c’est à dire le champ Lagrangien du mouvement relatif.
On a évidement les relations:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt :
∀(t,τ ) ∈ I,∀x ∈ Ωt :
Vt (t,x) = v(t,x)
Vt (τ,x) = V(τ,φ(t)−1 (x))
(1.1)
Contrairement à la vitesse Lagrangienne, la vitesse Eulèrienne n’est pas définie à chaque instant sur la même
partie de l’espace. Cependant, on peut facilement établir la proposition suivante:
1.1. MOUVEMENTS D’UN MILIEU CONTINU 3D
11
x
χt
φ(t)
y
+
v(t,x)
+
φ(τ )
X
+
Ωτ
Ωt
V(t,X)
B
Fig. 1.2 – Vitesse Eulérienne et Lagrangienne
I Proposition 1.2 Soit φ un mouvement de milieu continu défini sur un intervalle I, au sens de la
définition 1.1. Soit t0 ∈ I et soit O b Ωt0 . Alors, il existe une durée ∆t > 0 tel que O soit contenu dans toutes
les configurations Ωt dès que t est dans l’intervalle J =]t0 − ∆t,t0 + ∆t[. Le champ Eulérien v est alors défini
sur J × O et il est de classe C 0 (J × O,E) et ∇ v est de classe C 0 (J × O,L(E,E)). On peut d’ailleurs choisir J
pour que toutes les particules qui sont dans O à t0 restent dans un ouvert donné U contenant O de Ωt0 pour
tout t ∈ J.
Preuve. Considérons d’abord le cas où O est une boule sphèrique B(x 0 ,r) telle que la boule fermée B(x0 ,4r) soit dans Ωt0 .
L’idée est de montrer que l’on peut choisir ∆t assez petit pour que les particules qui sont dans B(x 0 ,r) n’atteignent pas le bord
de χt0 (t)[B(x0 ,4r)]. Soit T > 0 une durée arbitraire telle que [t0 − T,t0 + T ] ⊂ I et soit V le module maximum de la vitesse des
particules de B(x0 ,4r) sur [t0 − T,t0 + T ]. De même soit M le module maximum du gradient de vitesse Lagrangienne ∇ Vt0 des
particules de B(x0 ,4r) sur [t0 − T,t0 + T ]. On a:
Z t
Vt0 (s,x) ds
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt0 : χt0 (t,x) = x +
t0
D’où l’on déduit, ∀t ∈]t0 − T,t0 + T [,∀x ∈ B(x0 ,4r):
||χt0 (t,x) − χt0 (t,x0 )|| ≥ ||x − x0 ||(1 − |t − t0 |M )
||χt0 (t,x0 ) − x0 || ≤ V |t − t0 |
Or, comme chaque χt0 (t) est un homéomorphisme on sait d’une part que l’image de la boule B(x 0 ,4r) est un ouvert et d’autre
1
part que l’image de son bord est le bord de l’image (voir le théorème 1.5). Ainsi, en prenant ∆t = inf(T, Vr , 2M
), on a pour
|t − t0 | < ∆t les inclusions:
B(x0 ,r) ⊂ B(χt0 (t)(x0 ),2r) ⊂ χt0 (t)[B(x0 ,4r)]
Par suite, la boule B(x0 ,r) est dans toutes les configurations Ωt pour t assez voisin de t0 . Le cas d’un ouvert borné quelconque
de fermeture incluse dans Ωt0 s’en déduit, en recouvrant sa fermeture par un nombre fini de boules bien choisies. Par ailleurs,
la régularité de v découle directement des hypothèses faites sur φ. Pour prouver la fin de la proposition, on peut supposer quitte à le réduire - que U est un ouvert de fermeture compacte incluse dans Ωt0 , contenant O. Soit T > 0 la durée arbitraire
déjà considérée et soit VU le module maximum de la vitesse, sur l’intervalle [t0 − T,t0 + T ], des particules qui sont dans U à
t0 . On désigne par d > 0 la distance entre le bord de U et O, on pose ∆0 t = inf(d/V,∆t) et l’intervalle ]t0 −∆0 t,t0 +∆0 t[ convient.
L’intérêt de la proposition est évident: un champ Eulérien gt (·) doit être considéré comme une famille à
un paramètre, t, d’applications définies pour chaque t sur Ωt mais on pourra toujours considérer cette famille
comme une fonction de deux variables (t,x) définie sur un ouvert contenant le point (t 0 ,x0 ) qui nous intéresse
et on pourra donc lui appliquer les règles usuelles du calcul différentiel, le cas échéant. Plus précisément:
Corollaire 1.1 Soit φ un mouvement de milieu S
continu défini sur un intervalle I, soit O ⊂ B un ouvert
et soit J ⊂ I un intervalle ouvert. Alors, l’ensemble t∈J {t} × φ(t)[O] est ouvert dans R × E.
Exercice 1.1.1 (Extension du corollaire 1.1 à des mouvements moins réguliers) Soit B un ouvert de E, I un intervalle ouvert et {φ(t)}t∈I une famille d’homéomorphismes de B telle que φ ∈ C(I × B,E).
Tout mouvement de milieu continu au sens de la définition 1.1 vérifie ces propriétés. On pose, comme dans le
12
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
cas régulier, Ωt = φ(t)[B] et on note χt0 (t) le mouvement relatif défini sur Ωt0 . Soit t0 ∈ I, soit x0 ∈ Ωt0 et
soit r > 0 tel que la boule fermée B(x0 ,r) soit dans Ωt0 .
Monter qu’il existe une durée ∆t > 0 tel que B(x0 ,r/2) ⊂ χt0 (t)[B(x0 ,r)] pourStout t ∈]t0 − ∆t,t0 + ∆t[. En
déduire que pour tout ouvert O ⊂ B et tout intervalle ouvert J ⊂ I, l’ensemble t∈J {t} × φ(t)[O] est ouvert
dans R × E.
Indication: utiliser le théorème 1.5 et la continuité uniforme.
S
Ainsi, le champ Eulérien v(t,x) est bien défini sur tout l’ouvert t∈I {t} × Ωt . Il est alors immédiat (d’après
le théorème de Cauchy-Lipschitz) de voir que pour chaque x0 ∈ Ωt , l’application:
t ∈ I 7→ χt0 (t,x0 )
est l’unique solution de l’équation différentielle:


dx
= v(t,x)
dt

x(t0 ) = x0
(1.2)
Ainsi, la vitesse Eulèrienne détermine fondamentalement le mouvement relatif du milieu et non le mouvement
par rapport à la configuration de référence.
Inversement, on sait qu’en mécanique des fluides les équations de la dynamique permettent en principe de
déterminer le champ Eulérien v. Il est donc naturel de se poser la question de savoir si la connaissance d’un
champ v permet effectivement de reconstruire un mouvement. En fait, on ne peut assurer qu’une reconstruction
"locale" comme l’indique la proposition suivante.
I Proposition 1.3 Soit I ∈ R un intervalle ouvert et soit Ω un ouvert de E. Soit v un champ défini sur
I × Ω à valeurs dans E, de classe C 0 (I × Ω,E) tel que ∇ v soit de classe C 0 (I × Ω,L(E,E)). Soit t0 ∈ I. Alors:
– Pour chaque x0 ∈ Ω, l’équation différentielle (1.2) possède une unique solution maximale t 7→ χ t0 (t,x0 )
définie sur un intervalle ouvert J(x0 ) ⊂ I contenant t0 et qui dépend de x0 .
– Pour chaque compact K ⊂ Ω, on peut trouver un ouvert U avec K ⊂ U ⊂ Ω et un intervalle J ⊂ I
contenant t0 tels que 1) la solution t ∈ J 7→ χt0 (t,x) soit bien définie pour chaque x ∈ U , et 2) l’application
χt0 ainsi définie est un mouvement relatif de milieu continu (au sens de la définition 1.1) relativement
à la configuration de référence U sur l’intervalle de temps J.
Il s’agit d’un résultat classique sur les équations différentielles dont on trouvera la démonstration dans
les ouvrages de référence. On notera que puisque χt0 (t0 ) = Id, χt0 est bien un mouvement relatif de milieu
continu, la configuration de référence U étant confondue avec le placement à l’instant t 0 . La proposition est
intéressante car elle assure que l’on peut "reconstruire" localement un mouvement relatif de milieu continu au
voisinage de chaque point (et plus généralement de chaque fermé borné) de Ω dès que l’on connaît le champ
de vitesse. La proposition nous indique également que la régularité imposée au mouvement dans la définition
1.1 est "naturelle".
A un instant t donné les "lignes de champ" du champ v(t,·) sur Ωt sont appelées lignes de courant: ce sont
les courbes intégrales du champ de vitesses Eulérien. Elles sont entièrement contenues dans Ω t . La ligne de
courant qui passe par le point x0 ∈ Ωt est donc une courbe dont une équation paramétrique est, par exemple,
l’application α ∈ J 7→ Γt (x0 ,α), unique solution maximale de l’équation différentielle:

 dx = v(t,x)
dα

x(0) = x0
(1.3)
où J est l’intervalle contenant 0 où est définie cette solution maximale. On notera que le paramètre α n’a rien
à voir avec le temps et qu’en général la ligne de courant qui passe par x0 à t est distincte de la trajectoire de
la particule qui occupe la position x0 à t.
Notons également que, comme pour un mouvement régulier v est de classe C 1 par rapport à x, il y a
existence et unicité de la ligne de courant passant par un point donné. Cependant, pour qu’il y ait existence
des lignes de courant il suffit que le champ v(t,·) soit spatialement continu, l’unicité n’étant toutefois plus
assurée.
1.1. MOUVEMENTS D’UN MILIEU CONTINU 3D
1.1.3
13
Gradient de déformation.
Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un intervalle de temps I.
Pour chaque t, φ(t) est par hypothèse une application différentiable de B dans Ω t . Rappelons que, si on note 5
∇φ(t)](X) la différentielle au point X à l’instant t, par définition, on a alors:
[∇
∀(X,X 0 ) ∈ B 2 :
−−→
−−→
∇φ(t)](X) · XX 0 + o(||XX 0 ||)
φ(t)(X 0 ) = φ(t)(X) + [∇
Il est évident, puisque φ(t) est de classe C 1 , que pour chaque t ∈ I, ∇φ(t) est une application continue de B
∇φ(t)](X) est, pour chaque t ∈ I et chaque X ∈ B une
dans L(E,E). Et, comme φ(t) est un difféomorphisme, [∇
application linéaire inversible. On utilisera la notation standard:
∀t ∈ I,∀X ∈ B :
∇φ(t)](X)
F(t,X) = [∇
L’application linéaire F(t,X) est appelée gradient de déformation à l’instant t de la particule X.
Le champ d’applications linéaires ∇ φ(t) : B 7→ L(E,E), ainsi défini sur B est appelé tenseur gradient de
déformation 6 . Le gradient de déformation indique donc, au premier ordre, le mouvement des particules voisines
de X par rapport au mouvement de la particule X.
Pour résumer, on a la:
Définition 1.5 (Gradient de déformation) Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une
configuration B sur un intervalle de temps I. Soit t ∈ I et X ∈ B. La différentielle de φ(t) au point X est appelée
gradient de déformation du mouvement φ au point X à l’instant t. On le note F(t,X). C’est un endomorphisme
inversible de E. De plus, l’application: t ∈ I 7→ ∇ φ(t) est, pour chaque O b B, dans C 1 [I,C(Ō,L(E,E))].
Ce qui vient d’être dit est valable pour tout mouvement et donc en particulier pour le mouvement relatif
à une configuration Ωt . D’où la:
Définition 1.6 (Gradient de déformation relatif ) Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un intervalle de temps I. Soit (t,τ ) ∈ I et soit χ t le mouvement relatif à
la configuration Ωt . La différentielle de χt (τ ) au point x ∈ Ωt est appelée gradient de déformation relatif du
mouvement φ au point x à l’instant τ . On le note Ft (τ,x).
∀t,τ ∈ I,∀x ∈ Ωt :
∇χt (τ )](x)
Ft (τ,x) = [∇
C’est un endomorphisme inversible de E. De plus, l’application: τ ∈ I 7→ ∇ χt (τ ) est, pour chaque ouvert borné
O b Ωt , dans C 1 [I,C(Ō,L(E,E))]
On notera que, puisque χt (t) = Id, on a:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt : Ft (t,x) = Id
Il en résulte que Ft (τ,x) est toujours une transformation directe. En effet, l’application τ 7→ det(F t (τ,x)) est
continue sur I et comme elle n’est jamais nulle, elle garde un signe constant. Ce signe est donc positif puisque
à l’instant t on a: det(Ft (t,x)) = det(Id) = 1.
Vu la définition du mouvement relatif on a évidement une relation entre le gradient de déformation et
le gradient de déformation relatif, que l’on déduit par la règle de Leibnitz sur la dérivée d’une application
composée. D’où la proposition:
I Proposition 1.4 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un
intervalle de temps I. Soit (t,τ ) ∈ I. On a:
∀x ∈ Ωt : Ft (τ,x) = F(τ,X)F−1 (t,X)|X=φ(t)−1 (x)
5 Voir les conventions au début.
6 Le mot "tenseur" dans le contexte de la MMC 3D classique est consacré par l’usage mais
c’est un archaïsme inutile. Ici, ∇ φ(t), en tant que différentielle, est définie de manière intrinsèque sans qu’il soit utile d’introduire
la structure de variété différentielle - au demeurant triviale - de B.
14
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
1.1.4
Cas de l’écoulement stationnaire
On dit qu’un écoulement (i.e. un mouvement de milieu continu) est stationnaire si le champ de vitesse
Eulérien ne dépend pas du temps, ce qui signifie entre autres que Ωt est constant égal à un certain Ω. Désignons
par Γt (x0 ,·) la ligne de courant qui passe par le point x0 ∈ Ω à l’instant t. Comme v ne dépend pas du temps,
la ligne de courant qui passe par x0 à l’instant t est confondue avec la ligne de courant qui passe par x0 à un
instant quelconque t0 . C’est à dire:
∀α :
Γt (x0 ,α) = Γt0 (x0 ,α)
On en déduit, par unicité de la solution de (1.2), que:
∀s,t,t0 :
χt (x0 ,t − s) = Γt (x0 ,s) = Γt0 (x0 ,s) = χt0 (x0 ,t0 − s)
Ce qui est une propriété générale des équations différentielles autonomes. En conséquence, en écoulement
stationnaire:
– La configuration à un instant t est indépendante de t. C’est à dire: ∀t,τ : Ω t = Ωτ . Le mouvement relatif
χt (τ ) est un C 1 difféomorphisme de Ω sur lui même, où Ω est l’ouvert constamment occupé par le milieu.
– Les trajectoires et les lignes de courant sont confondues. C’est à dire que l’application τ ∈ I 7→ χ t (x0 ,τ )
est un paramétrage possible de la ligne de courant qui passe par x0 à t.
– La ligne de courant qui passe par un point x0 ∈ Ω à un instant t ne dépend pas de t.
– On a:
∀x ∈ Ω,∀t,t0 ,s :
χt (x,t − s) = χt0 (x,t0 − s)
(1.4)
– D’après la relation (1.4), en passant aux gradients on a alors:
∀t,t0 ,s,∀x ∈ Ω :
1.1.5
Ft (t − s,x) = Ft0 (t0 − s,x)
(1.5)
Gradients de vitesse.
Vu la régularité de φ et la définition de l’espace C 1 [I,C 1 (Ō,E)], pour chaque ouvert borné O tel que O ⊂ B,
φ est dans C[I,C 1 (Ō,E)] et l’application ∇ φ : t ∈ I 7→ ∇ φ(t) est dans C 1 [I,C(Ō,L(E,E))]. On a alors (ce
n’est pas si évident 7 ):
∇φ]0 (t)(X)
∀t ∈ I,∀X ∈ B : ∇ [φ0 (t)](X) = [∇
0
d’où la:
I Proposition 1.5 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un
intervalle de temps I. On a:
∂F
∀t ∈ I,∀X ∈ B :
(t,X) = ∇ V(t,X)
∂t
Comme le résultat est vrai pour tout mouvement, il l’est en particulier pour le mouvement relatif. Il en
résulte:
I Proposition 1.6 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un
intervalle de temps I. Soit t ∈ I On a:
∀τ ∈ I,∀x ∈ Ωt :
∂Ft
(τ,x) = ∇Vt (τ,x)
∂τ
Pour les fluides, en particulier les fluides purement visqueux, la grandeur cinématique fondamentale sera
le champ des vitesses Eulérien. On notera que, vu la relation (1.1), le champ des vitesses Eulérien à l’instant
t est une application différentiable de Ωt dans E, puisque l’on a tout simplement:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt ;
∇ v(t,x) = ∇ Vt (t,x)
def
7 Ce n’est pas une conséquence du théorème de Schwarz qui ne s’applique ici, vu la régularité d’un mouvement... Indication:
utiliser une représentation intégrale de type Picard de la solution de (1.2) et appliquer les théorèmes de dérivation sous le signe
somme.
1.1. MOUVEMENTS D’UN MILIEU CONTINU 3D
15
La notation standard pour le gradient de vitesse Eulérien est L, c’est à dire:
L(t,x) = ∇ v(t,x) = ∇ Vt (t,x)
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt ;
def
(1.6)
Des propositions 1.4 et 1.6, on déduit immédiatement la:
I Proposition 1.7 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un
intervalle de temps I. On a:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt : L(t,x) =
∂F
∂
(t,X) · F−1 (t,X)|X=φ(t)−1 (x) =
Ft (τ,x)|τ =t
∂t
∂τ
Notons que, par composition des dérivées, on a également:
∀t,τ ∈ I,∀x ∈ Ωt : L(τ,χt (τ,x)) = ∇ Vt (τ,x) · F−1
t (x,τ ) =
∂Ft
(τ,x) · F−1
t (τ,x)
∂τ
(1.7)
Ce qui, pour t = τ , redonne bien sûr l’expression de L(t,x). On en déduit que le gradient relatif de déformation
est l’unique solution de l’équation différentielle linéaire:

 ∂ F (τ,x) = L(τ,χ (τ,x)) · F (τ,x)
t
t
t
∂τ
(1.8)

Ft (t,x) = Id
que l’on obtient également directement en différentiant l’équation différentielle des trajectoires (1.2) par rapport
à la position initiale.
Rappelons la définition de la divergence d’un champ de vecteurs.
Définition 1.7 (Divergence) Soit O un ouvert de E et u : O 7→ E un champ de vecteur différentiable
sur O. On appelle divergence du champ u l’application, notée div(u) qui à chaque point x ∈ O associe la trace
de la différentielle de u en ce point. Soit:
∇u(x)]
div(u)(x) = tr[∇
∀x ∈ O :
L’opérateur "divergence" est un opérateur intrinsèque qui ne dépend que de la structure d’espace affine de
E. On déduit facilement, en corollaire de la proposition précédente, la proposition suivante qui est à la base
du théorème de transport de Reynolds:
I Proposition 1.8 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un
intervalle de temps I. On a:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt :
∂
[det(F(t,X))] = div(v(t,x)) det(F(t,X))
∂t
En particulier, le scalaire div(v(t,x)) représente donc le taux de dilatation volumique du mouvement.
Preuve: Soit B = (e1 ,e2 ,e3 ) une base de E. Par définition, on a (en omettant pour simplifier la dépendance en t,X):
det(F) = detB (F · e1 ,F · e2 ,F · e3 ) et, puisque detB est trilinéaire:
∂
∂
∂
(det(F)) =detB ( F · e1 ,F · e2 ,F · e3 ) + detB (F · e1 , F · e2 ,F · e3 )
∂t
∂t
∂t
∂
+ detB (F · e1 ,F · e2 , F · e3 )
∂t
D’après la relation (A.2), le membre de droite n’est rien d’autre que
detB (F · B)tr(
∂
F · F−1 ) = det(F) tr(L)
∂t
Notons que comme le résultat est vrai pour tout mouvement, il l’est pour le mouvement relatif à la configuration
à l’instant t. D’où le:
Corollaire 1.2 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un intervalle de temps I. Alors:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt :
∂
[det(Ft (τ,x))]|t=τ = div(v(t,x))
∂τ
16
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Dans ce qui suit et pour simplifier, on notera respectivement J(t,X) et Jt (τ,x) les Jacobiens 8 , conformément
à l’usage. C’est à dire:
J(t,X) = det(F(t,X))
def
Jt (τ,x) = det(Ft (τ,x))
def
Comme E est un espace Euclidien, on sait que toute application linéaire de E dans E se décompose de
manière unique en la somme d’un endomorphisme symétrique et d’un endomorphisme antisymétrique. Cette
décomposition dépend uniquement du choix du produit scalaire. Une orientation étant choisie, on sait alors,
d’après la proposition (A.15), qu’un endomorphisme antisymétrique se représente de manière unique par un
produit vectoriel. D’où la:
Définition 1.8 (Rotationnel) Soit O un ouvert de E et u : O 7→ E un champ de vecteur différentiable
sur O. On peut associer à chaque point x de O un unique vecteur, noté rot
rot(u)(x) tel que (en omettant la
dépendance en x, pour simplifier):
∀a ∈ E :
∇u −T ∇ u] · a = rot
[∇
rotu ∧ a
L’application ainsi définie est appelée rotationnel du champ u.
L’opérateur "rotationnel" ne dépend que de la structure d’espace affine de E, du produit scalaire et de
l’orientation. Notons qu’il résulte immédiatement de la définition du rotationnel, que le rotationnel du gradient
d’une fonction scalaire est toujours nul. En effet, la différentielle de ce gradient est une application linéaire
symétrique, comme dérivée seconde, sa partie antisymétrique est donc nulle.
Pour ce qui concerne le champ de vitesses Eulérien, les notations standard pour les parties symétriques et
antisymétriques du gradient de vitesse sont:
1
[L(t,x) +T L(t,x)]
2
1
Ω (t,x) = [L(t,x) −T L(t,x)]
def 2
D(t,x) =
def
(1.9)
Notation. De manière générale, si v est un champ de vecteurs défini sur un ouvert de E, on notera
L[v] son gradient et D[v] et Ω [v] ses parties symétriques et antisymétriques. En élasticité, on rencontrera la
notation e[v] pour la partie symétrique.
De ce qui précède, il résulte que div(v) et rotv sont définis par (en omettant la dépendance en (t,x) pour
simplifier):
div(v) = tr(L[v]) = tr(D[v])
∀u ∈ E : 2 Ω [v] · u = rot
rotv ∧ u
(1.10)
le vecteur ω = 21 rotv est le vecteur tourbillon.
Définition 1.9 (Laplacien) Soit O un ouvert de E et u : O 7→ R un champ scalaire deux fois différentiable
sur O. On appelle Laplacien du champ u l’application, notée ∆u qui à chaque point x ∈ O associe la divergence
du gradient de u en ce point. Soit:
∀x ∈ O :
∇u)(x)
∆u(x) = div(∇
L’opérateur "Laplacien" ne dépend que de la structure d’espace affine de E et du produit scalaire.
1.2
1.2.1
Décomposition polaire et applications.
Définition
D’après le théorème de décomposition polaire A.4, puisque Ft (τ,x) est inversible, on peut le décomposer
en produit d’un endomorphisme orthogonal et d’une dilatation. Plus précisément, on a la:
8 Par définition, une application φ : Ω 7−→ E définie et différentiable sur un ouvert de E étant donnée, le Jacobien de φ en un
point x de Ω est le déterminant de sa différentielle en x.
1.2. DÉCOMPOSITION POLAIRE ET APPLICATIONS.
17
I Proposition 1.9 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un intervalle de temps I. Soit t ∈ I et x ∈ Ωt . Alors, pour chaque τ ∈ I, il existe un unique couple (Qt (τ,x),Ut (τ,x))
d’endomorphismes de E, où Qt (τ,x) est orthogonal et Ut (τ,x) symétrique réel défini positif, tel que:
Ft (τ,x) = Qt (τ,x) · Ut (τ,x)
De plus Qt (τ,x) est pour chaque (t,τ,x) une rotation vectorielle. Le couple (Q t ,Ut ) est appelé décomposition
polaire de Ft . On a:
∀t :
Ft (t,x) = Qt (t,x) = Ut (t,x) = Id
Preuve: La première partie est directement le théorème A.4. La dernière s’en déduit car on sait que F t (t,x) = Id et, par
unicité de la décomposition, on a donc:
Qt (t,x) = Ut (t,x) = Id
La démonstration se résume donc à établir que Qt (τ,x) est une rotation. Il suffit d’établir que son déterminant vaut 1. Cela s’obtient
directement par continuité (d’où l’importance des conditions de régularité). En effet, comme à x ∈ Ω t fixé, l’application: τ ∈ I 7→
Ft (τ,x) est continue par hypothèse, on en déduit que l’application τ 7→ Qt (τ,x) est continue comme composée d’applications
continues. En conséquence, l’application τ 7→ det(Qt (τ,x)) est continue sur I et, comme Qt est orthogonale, cette application
est donc nécessairement constante, égale à 1 ou −1. Comme elle vaut 1 en τ = t elle reste donc constamment égale à 1. D’où le
résultat. D’après la proposition 1.7 et puisque Qt (t,x) = Ut (t,x) = Id, on déduit 9 :
∂
Ft (τ,x)|τ =t
∂τ
∂
∂
=
Qt (τ,x)|τ =t +
Ut (τ,x)|τ =t
∂τ
∂τ
L(t,x) =
∂
Comme transposition et dérivation commutent, l’endomorphisme ∂τ
Ut (τ,x) est toujours symétrique et il est
∂
T
facile de voir que l’endomorphisme ∂τ Qt (τ,x) · Qt (τ,x) est toujours antisymétrique. On a en effet:
0=
Ainsi, pour τ = t,
∂
∂
(Id) =
(Qt (τ,x) ·T Qt (τ,x))
∂τ
∂τ
∂
∂
Qt (τ,x) ·T Qt (τ,x) +T [ Qt (τ,x) ·T Qt (τ,x)]
=
∂τ
∂τ
∂
∂τ Qt (τ,x)|τ =t
est donc antisymétrique. On en déduit:
∂
Ut (τ,x)|τ =t
∂τ
∂
Ω(t,x) =
Qt (τ,x)|τ =t
∂τ
D(t,x) =
(1.11)
Note. On peut également introduire la décomposition polaire de F(t,X):
F(t,x) = Q(t,X) · U(t,X)
mais l’on ne peut plus affirmer que Q(t,X) est une rotation. On pourra, à titre d’exercice, exprimer les divers
tenseurs introduits jusqu’ici en fonction de Q(t,X) et U(t,X).
1.2.2
Rotation et déformation locale. Décomposition infinitésimale de Helmholtz.
Remarquons que comme Ut (τ,x) est symétrique réelle, elle est diagonalisable sur une base orthonormée de
vecteurs propres. De plus ses valeurs propres sont strictement positives. C’est donc une "dilatation" vectorielle.
On peut alors donner une interprétation géométrique simple à la décomposition polaire. En effet, soit X 0 une
particule que l’on repère par sa position x0 à l’instant t. On a, par définition d’une différentielle:
→
−−→
χt (τ,x) = χt (τ,x0 ) + Qt (τ,x0 ) · Ut (τ,x0 ) · −
x−
0 x + o(||x0 x||)
9 L’ensemble des endomorphismes inversibles de E est un ouvert de l’espace vectoriel L(E,E) constitué de tous les endomorphismes
de E: voir par exemple [2]. On laisse ici au lecteur le soin de vérifier que l’application qui à chaque F inversible associe le
couple (Q,U) de sa décomposition polaire est différentiable. Par suite les applications τ 7→ (Qt(τ,x),U t (τ,x)) sont dérivables par
composition, ce qui justifie les formules utilisées ici.
18
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Introduisons alors les mouvements affines Dt et Rt définis sur tout E par:
−−→
τ ∈ I, x ∈ E : D (τ )(x) = x + U (τ,x )x
x
0
t
τ ∈ I, x ∈ E :
t
0
0
→
Rt (τ )(x) = χt (τ,x0 ) + Qt (τ,x0 )−
x−
0x
Dt est une dilatation qui laisse la particule X0 fixe et Rt est un déplacement direct de E, c’est à dire un
mouvement de solide rigide (voir la définition précise plus loin). Ainsi, localement, tout se passe comme si le
mouvement relatif était la superposition d’une dilatation associée à U t et d’un mouvement de solide rigide
associé à Qt . En effet, on a au premier ordre:
χt (τ,x) ≈ Rt (τ ) ◦ Dt (τ )(x)
Notons que cette décomposition est unique, aux translations près. Ainsi, Q t s’interprète donc comme la rotation
locale du milieu, par rapport à la particule X0 , lors du mouvement. On notera que la déformation - i.e. la
variation relative de longueur lors du mouvement - ne provient que de la seule dilatation U t . C’est pourquoi,
d’après (1.11), D(t,x), partie symétrique du gradient de vitesse, est appelé tenseur des taux de déformations.
On peut alors donner une interprétation simple du tourbillon. En effet, la vitesse à l’instant τ d’une
particule, qui occupe la position x dans Ωt , dans le mouvement de solide rigide Rt , seul, est à chaque instant
donnée par:
∂
∂
→
χt (τ,x0 ) +
Qt (τ,x0 )−
x−
0x
∂τ
∂τ
A l’instant t elle est donc donnée par:
v(t,x0 ) +
1
∂
Qt (τ,x0 )|τ =t −
x−0→
x = v(t,x0 ) + Ω (t,x0 ) · −
x−0→
x = v(t,x0 ) + rot
rotv ∧ −
x−0→
x
∂τ
2
Ainsi, le vecteur tourbillon ω = 12 rotv n’est rien d’autre que le vecteur rotation, à l’instant t où l’on considère
le champ des vitesses Eulèriennes, du mouvement local de solide rigide associé au mouvement relatif du milieu.
On peut de la même manière déterminer la vitesse à l’instant τ d’une particule, qui occupe la position x
dans Ωt , dans le seul mouvement de dilatation Dt . A chaque instant, elle est donnée par:
∂
→
Ut (τ,x0 )−
x−
0x
∂τ
A l’instant t elle vaut donc, d’après (1.11):
→
D(t,x0 ) · −
x−
0x
Introduisons alors la fonction scalaire φ0 définie sur Ωt par:
φ0 (t,x) =
1
→
(D(t,x0 ) · −
x−0→
x|−
x−
0 x)
2
Comme D est symétrique, on a évidement:
→
∇ φ0 (t,x) = D(t,x0 ) · −
x−
0x
Ainsi, la vitesse du mouvement local de dilatation pure, dérive du potentiel φ 0 .
En revenant au mouvement réel, on en déduit que la vitesse Eulérienne à l’instant t en un point x "infiniment
proche" du point x0 est donnée au premier ordre par:
→
v(t,x) ≈ v(t,x0 ) + ω ∧ −
x−
0 x + ∇ φ0 (t,x)
Ainsi, la vitesse d’un point x considéré comme appartenant à un "domaine infinitésimal" du milieu continu est
ω ∧−
la somme de la vitesse v(t,x0 )+ω
x−0→
x caractéristique d’un mouvement de solide indéformable de ce "domaine
infinitésimal" et de la vitesse ∇ φ0 qui en caractérise la déformation pure. Cette décomposition "locale" de la
vitesse Eulérienne en un champ rigidifiant et un champ qui dérive d’un potentiel est appelée décomposition
infinitésimale de Helmholtz. C’est donc la conséquence, sur le champ de vitesse, de la décomposition polaire
du gradient de déformation.
Posons: v∗ (t,x) = v(t,x0 ) + ω ∧ −
x−0→
x. On a donc la décomposition locale:
v(t,x) ≈ v∗ (t,x) + ∇ φ0 (t,x)
(1.12)
où il est évident que v∗ est un champ à divergence nulle dont le rotationnel en x0 vaut le rotationnel de v. On
notera cependant qu’il ne s’agit que d’une approximation locale du champ de vitesse et on aura soin de ne pas
confondre cette décomposition avec la décomposition globale de Hodge.
1.3. MOUVEMENTS RIGIDIFIANTS. CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL
1.2.3
19
Taux de cisaillement
On sait que l’application: (A,B) 7→ A : B = Tr(T A · B) est un produit scalaire sur L(E,E). Dans l’espace
Euclidien L(E,E) ainsi défini, on sait également que les endomorphismes symétriques et antisymétriques sont
orthogonaux. Si on note, comme d’habitude, ||.|| la longueur associée à ce produit scalaire, on déduit de la
relation de Pythagore:
Ω(x,t)||2
||L(x,t)||2 = ||D(x,t)||2 + ||Ω
Ω||2 = −T r(Ω
Ω2 ) =
Un calcul simple donne: : ||Ω
||L||2 =
1
||rot(v)||2 . D’où:
2
1
[2D : D + ||rot(v)||2 ]
2
Le nombre 2D : D, au facteur 2 près, mesure le carré de la longueur du taux de déformation. On définit alors
le taux de cisaillement de l’écoulement comme étant le nombre positif γ̇ tel que:
γ̇ 2 = 2D : D
Ainsi, γ̇ est nul si et seulement si D(t,x) l’est et il mesure donc l’intensité du taux de déformation. On a donc:
||L||2 =
1 2
[γ̇ + ||rot(v)||2 ]
2
En résumé, γ̇ indique donc l’écart local du mouvement à un mouvement de solide rigide (voir le paragraphe
suivant).
Le nombre γ̇ est appelé taux de cisaillement, et non pas taux de déformation, par analogie avec l’écoulement
de cisaillement simple (encore appelé glissement simple en mécanique du solide déformable). En effet, dans un
écoulement de cisaillement simple le champ de vitesse Eulérien est de la forme:
v(t,x) = χx2 e1
où (x1 ,x2 ,x3 ) sont les coordonnées du point x dans un repère cartésien orthonormé (O,e 1 ,e2 ,e3 ). C’est par
exemple le champ de vitesse de l’écoulement de Couette plan d’un fluide Newtonien. Le nombre χ (qui peut
d’ailleurs être négatif) est le taux de cisaillement algébrique de cet écoulement: son interprétation géométrique
est évidente. Un calcul immédiat pour cet écoulement donne 2D : D = χ2 . Notons, toutefois, que dans cet
écoulement |χ|/2 mesure également la vitesse angulaire du mouvement de solide rigide local 10 , puisque l’on a:
rot(v) = −χe3 .
1.3
1.3.1
Mouvements rigidifiants. Changement de référentiel
Mouvements rigidifiants. Mouvements de solide rigide.
Définition 1.10 (Mouvement rigidifiant) On dit qu’un mouvement de milieu continu, φ, relativement
à une configuration de référence B, sur l’intervalle de temps I est rigidifiant si pour chaque t, φ(t) conserve
les distances. C’est à dire:
−−−−−−−−−−−→
−−→
∀(M,N ) ∈ B,∀t ∈ I : ||φ(t)(M )φ(t)(N )|| = ||M N ||
D’après le théorème A.3, il en résulte qu’à chaque instant t, φ(t) est la restriction à B d’un déplacement
de l’espace E et, compte tenu de la régularité imposée à un mouvement de milieu continu, on déduit la
proposition 11 :
I Proposition 1.10 Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un
intervalle de temps I. Alors, φ est un mouvement rigidifiant si et seulement si il existe une application Φ :
I 7→ D(E), telle que: Φ ∈ C 1 (I,A(E)) et telle que pour chaque t ∈ I, φ(t) soit la restriction de Φ(t) à B.
10
C’est ce mouvement de rotation locale de la "particule fluide" qui explique l’apparition de contraintes normales à la direction
de l’écoulement dans un écoulement de cisaillement simple d’un fluide viscoélastique quand le temps caractéristique de la rotation
locale est du même ordre que le temps de relaxation vers l’équilibre thermodynamique local au sein de la particule, c’est à dire à
"assez forts" taux de cisaillement. 11 D(E) est l’ensemble des déplacements de E et A(E) est l’ensemble des applications affines.
20
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Soit O un point arbitraire de E. Un mouvement rigidifiant sur un ouvert B est donc de la forme:
−−→
∀t ∈ I; ∀X ∈ B : φ(t,X) = a(t) + Q(t) · OX
où Q(t) est, pour chaque t, un endomorphisme orthogonal et où a(t) est une application de C 1 (I,E) qui à
chaque instant détermine l’image par Φ(t) du point O. Le mouvement relatif est donc de la forme:
−→
χt (τ,x) = bt (τ ) + Q(τ ) ·T Q(t) · Ox
où bt (τ ) = Φ(τ ) ◦ Φ−1 (t)[O]. Pour un tel mouvement, on a donc:
F(t,X) = Q(t)
Ft (τ,x) = Q(τ ) ·T Q(t)
Il résulte de l’unicité de la décomposition polaire (c.f. proposition 1.9) que:
∀x ∈ Ωt :
Ft (τ,x) = Qt (τ,x) = Q(τ ) ·T Q(t)
Ainsi, χt est pour chaque τ un déplacement direct (plus exactement c’est la restriction à Ω t d’un déplacement
direct) puisque l’on sait que Qt (τ,x) est toujours une rotation vectorielle.
Les déplacements directs de l’espace physique sont ceux qui n’induisent aucune déformation et ils correspondent donc aux mouvements des solides indéformables. On adopte donc la définition suivante.
Définition 1.11 (Mouvement de solide rigide) On dit qu’un mouvement de milieu continu, φ, relativement à une configuration de référence B, sur l’intervalle de temps I est un mouvement de solide rigide si
pour chaque t, le mouvement relatif χt est la restriction à Ωt d’un déplacement direct.
En conséquence tout mouvement rigidifiant est un mouvement de solide rigide, d’où son nom. Notons
cependant qu’un mouvement peut être un mouvement de solide rigide sans être rigidifiant; exemple: le repos.
Notons également, ce qui est trivial, que le mouvement relatif d’un mouvement rigidifiant, considéré comme
un mouvement de milieu continu relativement à la configuration Ωt , est un mouvement de solide rigide au sens
de la définition précédente et qui est également rigidifiant.
Soit alors φ un mouvement de solide rigide. Déterminons son champ de vitesse Eulérien à un instant t.
∂
χt (τ,x)|τ =t et on sait que χt (τ,·) est la restriction à Ωt d’un déplacement
On sait que v(t,x) = Vt (t,x) =
∂τ
direct. Par définition, χt (τ,x) est donc de la forme:
−→
χt (τ,x) = χt (τ,O) + Qt (τ ) · Ox
où O est un point quelconque de Ωt et où, pour chaque τ , Qt (τ ) est une rotation qui vérifie de plus: Qt (t) = Id
puisque χt est un mouvement relatif. D’où l’on déduit:
v(t,x) = v(t,O) +
−→
∂
dQ(τ )
Qt (τ )|τ =t · Ox = v(t,O) +
·
∂τ
dt
T
−→
Q(t) · Ox
∂
Qt (τ )|τ =t est nécessairement un endomorphisme antisymétrique. Par
On a vu au paragraphe précédent que ∂τ
suite il existe un unique vecteur ω (t) tel que:
−→
v(t,x) = v(t,O) + ω (t) ∧ Ox
et, vu la régularité d’un mouvement de milieu continu, l’application t ∈ I 7→ ω (t) est dans C(I,E). Finalement,
comme O est arbitraire, le champ de vitesse Eulérien vérifie:
∀t ∈ I; ∀x,y ∈ Ω2t :
→
v(t,y) − v(t,x) = ω (t) ∧ −
xy
(1.13)
Réciproquement, il est alors facile (voir la preuve de la proposition 1.12) de montrer que tout champ de vitesse
Eulérien qui vérifie à chaque instant la relation (1.13) est le champ de vitesse d’un mouvement de solide rigide.
D’où, la définition:
I Proposition 1.11 (Champ rigidifiant) Soit v un champ de vecteurs défini sur un ouvert O de E. On
dit que v est rigidifiant si et seulement si il existe un vecteur ω de E tel que:
→
∀x,y ∈ O 2 :
v(y) − v(x) = ω ∧ −
xy
Le vecteur ω ainsi défini est alors unique et est appelé vecteur instantané de rotation-glissement ou plus
simplement vecteur rotation.
1.3. MOUVEMENTS RIGIDIFIANTS. CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL
21
et la proposition:
I Proposition 1.12 (Mouvement de solide rigide: 1) Soit φ un mouvement de milieu continu. Alors,
φ est un mouvement de solide rigide si et seulement si son champ de vitesse Eulérien est à chaque instant un
champ rigidifiant.
Preuve de la proposition 1.12. Si φ est un mouvement de solide rigide, on a déjà vu que son champ de vitesse Eulérien
est à chaque instant un champ rigidifiant. Examinons la réciproque. Soit donc φ un mouvement de milieu continu dont le champ
de vitesse Eulérien est à chaque instant un champ rigidifiant. On a donc:
∀t ∈ I; ∀x,y ∈ Ω2t :
→
v(t,y) − v(t,x) = ω (t) ∧ −
xy
où ω (t) est le vecteur rotation. Soit alors t0 un instant, x0 un point de Ωt0 et x un point quelconque de Ωt0 . L’application
t ∈ I 7→ χt0 (t,x) est solution de l’équation différentielle:
dy
= v(t,y)
dt
y(t0 ) = x
C’est à dire, vu l’expression du champ des vitesses:
−−−−−−−→
dχt0 (t,x0 )
dy
=
+ ω (t) ∧ χt0 (t,x0 )y
dt
dt
y(t0 ) = x
(1.14)
D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz, la solution de cette équation est unique. Désignons alors par Ω (t) l’application linéaire
antisymétrique définie par:
∀u ∈ E2 :
Ω (t) · u = ω (t) ∧ u
et considérons l’équation différentielle:

 dS(t) = Ω (t) · S(t)
dt

S(t0 ) = Id
C’est une équation différentielle linéaire et il y a donc existence et unicité de la solution S. Par suite, l’unique solution de (1.14)
est:
−−→
χt0 (t,x) = χt0 (t,x0 ) + S(t) · x
0x
On aura donc terminé la démonstration si on montre qu’à chaque instant t, S(t) est une rotation. Pour cela, il suffit d’observer
que S(t) est orthogonale. En effet, par transposition, T S est solution de:

T

 d S(t) = −T S(t) · Ω (t)
dt

 T S(t ) = Id
0
D’où l’on déduit:
dT S(t) · S(t)
dT S(t)
dS(t)
=
· S(t) +T S(t) ·
=0
dt
dt
dt
T
T
Par conséquent, S(t) · S(t) est constant. Or, en t = t0 , on a S(t0 ) · S(t0 ) = Id, et donc S(t) est constamment orthogonale.
Enfin, l’application t 7→ det(S(t)) est continue comme composée de fonctions continues et est à valeurs dans {−1,1}, puisque S(τ )
est constamment orthogonale. Comme elle vaut 1 en t = t0 , elle vaut constamment 1 et finalement S(t) est une rotation pour tout
t. La proposition suivante qui caractérise également les mouvements de solides rigides est moins évidente.
Contrairement à la précédente, elle suppose la connexité.
I Proposition 1.13 (Mouvement de solide rigide: 2) Soit φ un mouvement de milieu continu défini
sur un ouvert connexe. Les propositions suivantes sont équivalentes.
1. φ est un mouvement de solide rigide.
2. A chaque instant t et pour chaque x ∈ Ωt le tenseur gradient de vitesse Eulérienne L(t,x) = ∇v(t,x) est
antisymétrique.
On en déduit qu’un mouvement défini sur une configuration connexe est un mouvement de solide rigide
si et seulement si le taux de cisaillement en tout point est constamment nul. On retrouve l’interprétation du
taux de cisaillement comme une mesure de l’écart à un mouvement de solide rigide. On peut donner de cette
proposition une démonstration très simple si on se place dans le cadre de la théorie des distributions (voir la
proposition 1.16). La démonstration qui suit n’utilise pas les distributions.
Preuve de la proposition 1.13. Que 1) implique 2) est immédiat d’après la proposition 1.12, puisque le gradient d’un
champ rigidifiant est antisymétrique. Que 2) entraîne 1) l’est moins: la difficulté est d’établir que si 2) a lieu, alors nécessairement
L(t,x) ne dépend pas de x: c’est à dire que le vecteur rotation "local" est le même sur tout l’ensemble de définition. Soit alors
B = (e1 ,e2 ,e3 ) une base orthonormée directe de l’espace. On se place à un instant t et on désigne par v i les composantes de v
sur B. C’est à dire:
∀x ∈ Ωt
v(t,x) = v1 (t,x)e1 + v2 (t,x)e2 + v3 (t,x)e3
22
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Comme ∇ v est antisymétrique, il existe trois champs scalaires définis sur Ωt , ω1 ,ω2 ,ω3 tels que la matrice de ∇ v sur la base B
soit de la forme:


0
−ω3 (t,x)
ω2 (t,x)
∇v(t,x)] =  ω3 (t,x)
0
−ω1 (t,x)
[∇
−ω2 (t,x)
ω1 (t,x)
0
De sorte que l’on a:
∀u ∈ E :
∇v · u = ω ∧ u
où :
ω (t,x) = ω1 (t,x)e1 + ω2 (t,x)e2 + ω3 (t,x)e3
Soit O un point de Ωt et soit (x1 ,x2 ,x3 ) les coordonnées cartésiennes dans le repère (O,B). Par définition de ∇ v on a les relations:
 ∂v
∂v1
2

=−
= ω3



∂x1
∂x2




∂v3
∂v1



=−
= ω2

∂x3
∂x1
(1.15)
 ∂v3
∂v2


=
−
=
ω
1


∂x3
 ∂x2





 ∂v1 = ∂v2 = ∂v3 = 0
∂x1
∂x2
∂x3
où, en omettant la dépendance en t, les vi et les ωi peuvent etre considérées comme des fonctions de (x1 ,x2 ,x3 ). Comme Ωt est
un ouvert, on peut choisir r > 0 assez petit pour que la boule ouverte B1 (O,r) = {x(x1 ,x2 ,x3 ) ∈ E; supi (xi ) < r} =] − r,r[3 soit
contenue dans Ωt . On va résoudre l’équation (1.15) sur cette boule.
∂v1
Comme ∂x
= 0, v1 en tant que fonction de 3 variables définie sur le cube ouvert (x1 ,x2 ,x3 ) ∈] − r,r[3 ne dépend donc pas de
1
∂v1
x1 , par suite la fonction ω3 = − ∂x
ne dépend donc pas de x1 . Le même raisonnement appliqué à v2 montre que cette fonction ω3
2
ne dépend pas non plus de x2 . Finalement ω3 ne dépend que de x3 . Par permutation, on en déduit que pour chaque i ∈ {1,2,3},
∂v1
ωi ne dépend que de xi . On peut alors intégrer l’équation ∂x
= −ω3 sur ] − r,r[3 et on en déduit qu’il existe une fonction F
2
définie sur ] − r,r[ telle que:
∀(x1 ,x2 ,x3 ) ∈] − r,r[3 :
v1 (x1 ,x2 ,x3 ) = −ω3 (x3 )x2 + F (x3 )
de la même manière, on intègre
∂v1
∂x3
= ω2 et on déduit qu’il existe une fonction G définie sur ] − r,r[ telle que:
∀(x1 ,x2 ,x3 ) ∈] − r,r[3 :
v1 (x1 ,x2 ,x3 ) = ω2 (x2 )x3 + G(x2 )
Pour x2 = 0, il vient: F (x3 ) = v1 (x1 ,0,x3 ) = ω2 (0)x3 + G(0).
Pour x3 = 0, il vient: G(x2 ) = v1 (x1 ,x2 ,0) = −ω3 (0)x2 + F (0). D’où:
v1 (x1 ,x2 ,x3 ) = ω2 (x2 )x3 − ω3 (0)x2 + F (0) = −ω3 (x3 )x2 + ω2 (0)x3 + G(0)
(1.16)
Par différence, il vient:
∀(x2 ,x3 ) ∈] − r,r[2 :
[ω2 (x2 ) − ω2 (0)]x3 = [ω3 (x3 ) − ω3 (0)]x2 + F (0) − G(0)
En se plaçant en x2 = 0, on en déduit que F (0) − G(0) = 0 et il reste:
∀(x2 ,x3 ) ∈] − r,r[2 :
On doit donc avoir pour tout (x2 ,x3 ) ∈] −
r,r[2
[ω2 (x2 ) − ω2 (0)]x3 = [ω3 (x3 ) − ω3 (0)]x2
tels que x2 6= 0 et x3 6= 0:
[ω3 (x3 ) − ω3 (0)]
[ω2 (x2 ) − ω2 (0)]
=
x2
x3
ce qui ne peut avoir lieu que si et seulement si il existe une constante k telle que
∀(x2 ,x3 ) ∈] − r,r[2 :
[ω2 (x2 ) − ω2 (0)] = kx2
[ω3 (x3 ) − ω3 (0)] = kx3
en revenant aux expressions (1.16) de v1 , il vient:
v1 (x1 ,x2 ,x3 ) = ω2 (0)x3 − ω3 (0)x2 + kx2 x3 + F (0) = −ω3 (0)x2 + ω2 (0)x3 − kx2 x3 + G(0)
où l’on sait de plus que F (0) = G(0). En identifiant, on en déduit que k = 0 et que finalement v 1 est de la forme:
∀(x1 ,x2 ,x3 ) ∈] − r,r[3 :
v1 (x1 ,x2 ,x3 ) = ω2 (0)x3 − ω3 (0)x2 + v10
où v10 est la valeur commune de F (0) et G(0), c’est à dire la valeur de v1 en O et ωi (0) est la valeur de ωi en O. Par permutation
circulaire, on obtient des expressions analogues pour v2 et v3 et on déduit qu’il existe deux constantes v20 = v2 (t,O) et v30 = v3 (t,O)
telles que:
∀(x1 ,x2 ,x3 ) ∈] − r,r[3 :
v2 (x1 ,x2 ,x3 ) = ω3 (0)x1 − ω1 (0)x3 + v20
v3 (x1 ,x2 ,x3 ) = ω1 (0)x2 − ω2 (0)x1 + v30
Finalement, la vitesse de tout point x ∈ B1 (O,r) est donc donnée par:
∀x ∈ B1 (O,r) :
−→
v(t,x) = v(t,O) + ω 0 ∧ Ox
où ω 0 est le vecteur:
ω 0 = ω1 (t,O)e1 + ω2 (t,O)e2 + ω3 (t,O)e3
En différentiant, on en déduit que ∇ v(t,x) est constant sur B1 (O,r), donné par sa matrice:


0
−ω3 (t,O)
ω2 (t,O)
∇v(t,x)] =  ω3 (t,O)
0
−ω1 (t,O)
∀x ∈ B1 (O,r) :
[∇
−ω2 (t,O)
ω1 (t,O)
0
1.3. MOUVEMENTS RIGIDIFIANTS. CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL
23
En conséquence, comme O est arbitraire, l’application: x ∈ Ωt 7→ ∇ v(t,x) est localement constante sur l’ouvert connexe Ωt et elle
est donc constante sur Ωt . Par suite, en intégrant, le champ v(t,x) est donc donné partout sur Ωt par:
∀O ∈ Ωt ,∀x ∈ Ωt :
−→
v(t,x) = v(t,O) + ω 0 ∧ Ox
Il est donc rigidifiant. Comme il l’est à chaque instant, le mouvement est donc un mouvement de solide rigide. Notons que si le l’ouvert de définition n’est pas connexe, la proposition précédente s’applique à chaque
composante connexe. Cependant, deux composantes connexes distinctes auront en général des mouvements de
solide rigide différents.
A noter que l’on a établi la proposition suivante:
I Proposition 1.14 Soit v : Ω 7−→ E un champ différentiable défini sur un ouvert connexe de E. Alors,
v est rigidifiant si et seulement si son gradient est antisymétrique, c’est à dire: D[v] = 0 sur Ω.
En fait la proposition est vraie pour un champ v localement intégrable dont le gradient distributionnel est
antisymétrique. On va donc donner ici un petit complément sur le cas distributionnel 12 .
Unicité de la primitive d’une distribution à une constante près et champ de gradient distributionnel antisymétrique. Pour ce qui suit F est un espace vectoriel réel de dimension finie et Ω une
partie d’un espace affine E de dimension finie. Le résultat suivant est important, il généralise aux distributions
un résultat similaire sur les fonctions différentiables:
I Proposition 1.15 Soit Ω un ouvert connexe et T ∈ D 0 (Ω,F) une distribution. Alors T est constante si
et seulement si T 0 est nulle.
On en déduit que la primitive d’une distribution sur un ouvert connexe, si elle existe, est unique à une
constante près.
Preuve. La démonstration se ramène évidement au cas où F = R, puisqu’il suffit de raisonner sur la différentielle de chaque
"distribution coordonnée". Dans le cas où Ω =]a,b[, on peut trouver une fonction u à support compact dans ]a,b[, de valeur
R
moyenne égale à 1. Par suite, toute fonction de classe C ∞ à support compact dans ]a,b[ est de la forme: φ = φ1 + ( R φ)u où φ1
R
est de valeur moyenne nulle. Il en résulte qu’il existe ψ ∈ D(]a,b[) telle que φ1 = ψ 0 . Par suite: < T,φ >= ( R φ) < T,u > et le
résultat est établi. Par un développement analogue en dimension finie quelconque, on prouve le résultat pour la restriction de T
aux fonctions à support dans un hypercube ouvert arbitraire. La connexité par arcs impose que la constante ne dépend pas du
cube et on achève la démonstration avec le théorème de partition de l’unité.
Corollaire 1.3 Soit Ω un ouvert connexe et T ∈ D 0 (Ω,R) une distribution et m ≥ 1 un entier. Soit
(x1 , · · · ,xn ) les coordonnées sur E dans un repère cartésien (O,B). Alors si toutes les dérivées partielles ∂ α T
pour chaque multi-indice |α| = m sont nulles, T est un polynôme de degré inférieur ou égal à (m − 1) en
(x1 , · · · ,xn ).
Ce qui est immédiat par récurrence. On en déduit:
I Proposition 1.16 Soit Ω ⊂ E un ouvert connexe d’un espace affine Euclidien E de dimension 3 sur
R. Soit v : Ω 7−→ E un champ de vecteur localement intégrable. Alors, v est rigidifiant si et seulement si sa
différentielle distributionelle est antisymétrique.
12
Rappelons que si Ω est un ouvert de E et F un espace vectoriel réel de dimension finie, on note D(Ω,F) l’ensemble des
applications Ω 7−→ F de classe C ∞ à support compact dans Ω, c’est à dire nulles en dehors d’un compact de Ω. On peut munir
cet ensemble d’une structure d’espace vectoriel topologique localement convexe (mais non métrisable) pour laquelle une suite (f n )
est convergente si, et seulement si, 1) toutes les fonctions fn ont leur support dans un même compact et 2) la suite (fn ), ainsi
que toutes ses suites dérivées, converge uniformément. On appelle alors distribution sur D(Ω,F) une application linéaire continue
D(Ω,F) 7→ R, quand D(Ω,F) est muni de cette topologie. On note D 0 (Ω,F) l’espace vectoriel des distributions. La théorie des
distributions a été formalisée au milieu du XX siècle par le mathématicien français L. Schwarz et on pourra consulter [15], par
exemple, pour une présentation exhaustive de ses principaux résultats. La théorie des distributions est particulièrement utile et
féconde, quoique non nécessaire, pour l’analyse des équations aux dérivées partielles: en effet, dans cette théorie, toute fonction
localement intégrable admet une différentielle distributionnelle qui s’identifie à sa différentielle usuelle si elle est différentiable.
24
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Preuve. Le gradient distributionel de v est antisymétrique et vérifie donc les relations (1.15) où les ω i sont des distributions
scalaires. En dérivant, par Schwarz, on vérifie que toutes les dérivées partielles secondes des v i sont nulles sauf
∂ 2 v3
∂x1 ∂x2
∂ 2 v1
∂x2 ∂x3
=
∂ 2 v2
∂x1 ∂x3
=
qui est inconnue. Par suite, les dérivées troisièmes sont toutes nulles et chaque v i est donc un polynôme de degré inférieur
ou égal à 2. Le terme de degré 2 de v1 est Cx2 x3 et celui de degré 2 de v2 est Cx1 x3 et, vu les relations sur les dérivées premières
C est nul. Par suite les ωi sont des constantes et le champ v est donc rigidifiant.
1.3.2
Changements de référentiels
1.3.2.1
Définitions.
Physiquement, en cinématique classique (i.e. non relativiste), puisque les mouvements de solide rigide sont
les seuls "supportables" par les humains, composer un mouvement rigidifiant agissant sur tout l’espace avec
un mouvement donné revient donc à faire un changement d’observateur. Si de plus, on change l’origine des
temps - ce qui ne change rien à la mesure des durées et qui revient simplement à changer de "chronomètre" on dit que l’on a changé de référentiel. D’où la définition:
Définition 1.12 (Changement de référentiel) On appelle changement de référentiel, un couple (T,Ψ),
où T ∈ R est un instant et Ψ un mouvement rigidifiant relativement à E défini sur tout R. On dit qu’un
changement de référentiel est Galiléen si Ψ est une translation de vitesse constante.
A noter que Ψ est un mouvement particulier de milieu continu défini sur I = R et sur B = E et à valeurs
dans l’ensemble D(E) des déplacements de E qui est tel que Ψ ∈ C 1 (R,A(E)) où A(E) est l’ensemble des
applications affines définies sur E.
On notera également que si (T,Ψ) est un changement de référentiel, (−T,Ψ −1 ) en est également un, appelé
naturellement inverse du précédent.
On adopte la définition, naturelle:
Définition 1.13 (Changer de référentiel) Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une
configuration B sur un intervalle de temps I et (T,Ψ) un changement de référentiel. L’application φ ∗ , définie
sur I − T et à valeurs dans l’ensemble des C 1 −difféomorphismes de B, et donnée par:
∀t∗ ∈ I − T :
φ∗ (t∗ ) = Ψ(t∗ ) ◦ φ(t∗ + T )
est un mouvement de milieu continu relativement à B sur l’intervalle de temps I − T . Par définition c’est le
mouvement déduit de φ par le changement de référentiel (T,Ψ).
On notera qu’il s’agit tout simplement du mouvement du milieu vu par un observateur mobile dans le
mouvement Ψ−1 (pour s’en convaincre il suffit de raisonner dans le cas où le milieu est immobile: φ = Id,
l’observateur mobile voit alors "l’univers" dans le mouvement inverse du sien) ayant un chronomètre dont
l’origine des temps est T . Dans cette interprétation φ∗ est le mouvement relatif par rapport à l’observateur.
1.3.2.2
Loi de composition des vitesses
Déterminons le champ de vitesses Eulérien du mouvement φ en fonction de celui de φ ∗ . Soit O un point de
E. On sait qu’il existe a(·) et Q(·), orthogonal, tels que:
∀t∗ ,∀X ∈ E :
−−→
Ψ(t∗ ,X) = a(t∗ ) + Q(t∗ ) · OX
Soit X ∈ B une particule. Soit x∗ = φ∗ (t∗ )(X) sa position à l’instant t∗ à l’issu du mouvement φ∗ et v∗ (t∗ ,x∗ )
sa vitesse Eulérienne. Soit x = φ(t)(X) la position qu’elle occupe à l’instant t = t ∗ + T à l’issu du mouvement
φ et soit v(t,x) la vitesse Eulérienne correspondante. On a:
−−−−−−−−−−−→
−→
x∗ = a(t∗ ) + Q(t∗ ) · Oφ(t∗ + T )(X) = a(t∗ ) + Q(t∗ ) · Ox
D’où:
v∗ (t∗ ,x∗ ) =
et donc:
v(t,x) = −T Q(t∗ ) ·
da(t∗ ) dQ(t∗ ) −→
+
· Ox + Q(t∗ ) · v(t,x)
dt∗
dt∗
dQ(t∗ ) −→
da(t∗ ) T
∗
−
Q(t
)
·
· Ox + Q(t∗ ) · v∗ (t∗ ,x∗ )
dt∗
dt∗
1.3. MOUVEMENTS RIGIDIFIANTS. CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL
L’endomorphisme −T Q(t∗ ) ·
dQ(t∗ )
dt∗
T
25
est antisymétrique, puisque:
Q(t∗ ) ·
dId
dQ(t∗ ) dT Q(t∗ )
+
· Q(t∗ ) = ∗ = 0
dt∗
dt∗
dt
et il existe donc un unique vecteur Ω e (t∗ ) tel que:
∀u :
−T Q(t∗ ) ·
dQ(t∗ )
· u = Ω e (t∗ ) ∧ u
dt∗
Introduisons alors le champ ve (t∗ ,x) défini sur tout l’espace E par:
∀x ∈ E :
ve (t∗ ,x) = −T Q(t∗ ) ·
−→
da(t∗ )
+ Ω e (t∗ ) ∧ Ox
∗
dt
Par définition ve est le champ rigidifiant d’entraînement du mouvement de solide rigide Ψ −1 . On notera que:
−T Q(t∗ ) ·
On a donc:
(
da(t∗ )
= ve (t∗ ,O)
dt∗
v(t,x) = ve (t∗ ,x) +T Q(t∗ ) · v∗ (t∗ ,x∗ )
−→
= ve (t∗ ,O) + Ω e (t∗ ) ∧ Ox +T Q(t∗ ) · v∗ (t∗ ,x∗ )
(1.17)
C’est à dire que la vitesse v(t,x) de la particule X est la somme de sa vitesse d’entraînement et de sa vitesse
relative. On notera que la vitesse relative n’est pas v ∗ mais T Q(t∗ ) · v∗ . A titre d’exercice on cherchera à
représenter le résultat par un schéma.
Comme les mouvements φ et φ∗ se déduisent l’un de l’autre par des changements de référentiels inverses,
on a bien sûr une formule analogue à la précédente pour exprimer la vitesse v ∗ en fonction de v:
(
v∗ (t∗ ,x∗ ) = ve∗ (t∗ ,x∗ ) + Q(t∗ ) · v(t,x)
(1.18)
ve∗ (t∗ ,x∗ ) = −Q(t∗ ) · ve (t∗ ,x)
où le champ ve∗ est le champ rigidifiant d’entraînement du mouvement de solide rigide Ψ.
1.3.2.3
Loi de composition des déformations et des gradients de vitesses
Le gradient de déformation du mouvement φ∗ est:
F∗ (t∗ ,X) = Q(t∗ ) · F(t,X)
De cette expression on déduit alors la loi de transformation de tous les tenseurs cinématiques. Ainsi, le gradient
de déformation relative est par définition:
F∗t∗ (τ ∗ ,x∗ ) = F∗ (τ ∗ ,X) · F∗ −1 (t∗ ,X)|X=[φ∗ (t∗ )]−1 (x∗ )
def
et, en posant: t = t∗ + T , τ = τ ∗ + T , il vient:
F∗t∗ (τ ∗ ,x∗ ) = Q(τ ∗ ) · Ft (τ,x) ·T Q(t∗ )
(1.19)
On détermine alors facilement la décomposition polaire de F∗t∗ . On a en effet:
F∗t∗ (τ ∗ ,x∗ ) = Q(τ ∗ ) · Qt (τ,x) · Ut (τ,x) ·T Q(t∗ )
et, puisque Q(t∗ ) est orthogonal, la relation précédente s’écrit aussi:
F∗t∗ (τ ∗ ,x∗ ) = [Q(τ ∗ ) · Qt (τ,x) ·T Q(t∗ )] · [Q(t∗ ) · Ut (τ,x) ·T Q(t∗ )]
De l’unicité de la décomposition polaire, il vient donc:
( ∗ ∗ ∗
Qt∗ (τ ,x ) = Q(τ ∗ ) · Qt (τ,x) ·T Q(t∗ )
U∗t∗ (τ ∗ ,x∗ ) = Q(t∗ ) · Ut (τ,x) ·T Q(t∗ )
(1.20)
26
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
D’où l’on déduit facilement D∗ et Ω ∗ d’après les relations (1.11). Il vient donc:
 ∗ ∗ ∗
∗
T
∗
 D (t ,x ) = Q(t ) · D(t,x) · Q(t )
∗
 Ω ∗ (t∗ ,x∗ ) = dQ(t ) ·T Q(t∗ ) + Q(t∗ ) · Ω (t,x) ·T Q(t∗ )
∗
dt
(1.21)
ω (t,x) − Ω e (t∗ )]
ω ∗ (t∗ ,x∗ ) = det(Q(t∗ ))Q(t∗ ) · [ω
(1.22)
On en déduit, ce qui était physiquement évident, que le taux de cisaillement n’est pas modifié aux points
homologues. Le vecteur tourbillon est bien sûr modifié. Si on note comme ci-dessus Ω e le vecteur rotation du
mouvement d’entraînement Ψ−1 , on détermine facilement le tourbillon ω ∗ du mouvement φ∗ en fonction du
tourbillon ω du mouvement φ à partir de l’expression de Ω ∗ . Il vient (le faire à titre d’exercice):
ce à quoi on pouvait s’attendre, tant du fait de la loi de composition des vitesses que puisque l’on sait que le
vecteur tourbillon est le vecteur rotation du mouvement de solide local associé au mouvement. Notons alors
que, par addition, on déduit la loi de transformation du gradient de vitesse:
L∗ (t∗ ,x∗ ) =
dQ(t∗ ) T
· Q(t∗ ) + Q(t∗ ) · L(t,x) ·T Q(t∗ )
dt∗
(1.23)
Note. En mécanique classique, on considère qu’il existe un observateur particulier disposant d’un chronomètre, également particulier, qui peut en principe observer tout mouvement réel d’un matériau "continu" et
le décrire comme un "mouvement de milieu continu" tel que nous l’avons défini. Cet observateur et ce chronomètre particulier sont appelés: "référentiel absolu" et le mouvement correspondant est donc le mouvement
"absolu" du matériau. On considère alors que tout autre observateur observant ce même matériau au cours du
temps, mesuré par son propre chronomètre, observe un mouvement de milieu continu déduit du précédent par
un changement de référentiel. Si par des arguments d’ordre physique on peut se convaincre que ce changement
de référentiel entre le mouvement absolu et le mouvement effectivement décrit est Galliléen, on dira simplement
qu’il s’agit du mouvement du matériau vu dans un référentiel Galliléen.
On énonce en général les lois fondamentales de la dynamique dans un référentiel absolu.
Cependant, comme il n’y a aucune raison que tous les observateurs (i.e. les êtres humains et pourquoi pas
les autres...) soient fixes les uns par rapport aux autres, ils ne voient en général pas le mouvement du matériau
dans un référentiel absolu. Dans ces conditions, il doit donc exister des règles permettant, connaissant les
lois du mouvement dans un référentiel absolu de les énoncer pour un observateur quelconque. En mécanique
du solide rigide connexe (i.e. sans liaisons), ces règles sont extrêmement simples puisqu’elles se résument à
écrire que la puissance virtuelles des efforts intérieurs est nulle pour tous les observateurs. Il en résulte que les
équations du mouvement dans un référentiel quelconque se déduisent des équations dans le référentiel absolu
en ajoutant aux forces extérieures, les forces d’inertie du mouvement relatif. Dans le cas du milieu continu
déformable on généralise naturellement la règle précédente en demandant à ce que la puissance virtuelle des
efforts intérieurs, qui n’est plus nécessairement nulle au cours d’un "mouvement", ne soit pas modifiée par
changement de référentiel. C’est le principe dit d’objectivité matérielle que l’on examinera au chapitre suivant.
Il en résulte en particulier que les équations de la mécanique sont alors invariantes par changement de référentiel
Galiléen.
1.4
Tenseurs des déformations.
Soit φ un mouvement de milieu continu relativement à une configuration B sur un intervalle de temps I.
1.4.1
Tenseurs relatifs de Cauchy et de Lagrange
Soit Γt un arc de classe C 1 par morceaux tracé sur Ωt . Cherchons comment varie la longueur de cet arc
quand on le suit dans son mouvement. Pour cela, donnons nous un paramétrage de Γ t , par exemple:
α ∈ [0,1] 7−→ γ(α)
Posons: t(α) =
dγ
dα .
On sait alors que la longueur lt de Γt est:
lt =
Z
1
0
||t(α)|| dα
1.4. TENSEURS DES DÉFORMATIONS.
27
A un instant τ l’arc Γt se trouve "transporté" par le mouvement relatif χt (τ,·) en l’arc Γτ ∈ Ωτ , dont un
paramétrage est l’application
α ∈ [0,1] 7−→ χt (τ,γ(α))
Son vecteur tangent en α est donc le vecteur:
T(α) =
d
χt (τ,γ(α)) = Ft (τ,γ(α)) · t(α)
dα
La longueur de Γτ est donc:
lτ =
Or on a:
Z
1
0
||T(α)|| dα
1
1
||T(α)|| = (T(α)|T(α)) 2 = (Ft (τ,γ(α)) · t(α)|Ft (τ,γ(α)) · t(α)) 2
def
1
= (t(α)|T Ft (τ,γ(α)) · Ft (τ,γ(α)) · t(α)) 2
Tout se passe donc comme si, à l’instant τ , on munissait chaque point x de Ω t du produit scalaire associé à
l’endomorphisme T Ft (τ,x) · Ft (τ,x) (ce dernier endomorphisme est évidement symétrique et il est défini positif
puisque Ft est inversible). En effet, notons:
Ct (τ,x) =T Ft (τ,x) · Ft (τ,x)
(1.24)
et identifions, sans changer de notations, l’endomorphsme Ct (τ,x) et la forme bilinéaire symétrique définie
positive qui lui est univoquement associée (voir les rappels de géométrie): C t (τ,x) : (u,v) 7→ (u|Ct (τ,x) · v).
On a alors:
Z
1
∀τ ∈ I :
lτ =
1
[Ct (τ,γ(α))(t(α),t(α))] 2 dα
0
Notons que pour τ = t, on a Ct (t,x) = Id qui correspond au produit scalaire (·|·) de référence. La formule
précédente est donc bien valable à tout instant. Le champ de produits scalaires 13 :
x ∈ Ωt 7−→ Ct (τ,x)
est appelé tenseur relatif des déformations de Cauchy. Son interprétation géométrique est donc élémentaire :
c’est le champ de produits scalaires qu’il faut mettre à chaque instant τ sur la configuration Ω t pour déterminer
la longueur d’une courbe matérielle au cours de son mouvement. La forme bilinéaire:
Γ t (τ,x) =
1
[Ct (τ,x) − Id]
2
qui est simplement, au facteur 1/2 près, la différence du tenseur métrique C t (τ,x) au produit scalaire ambiant,
est appelée tenseur des déformations relatif de Lagrange.
La même démarche en remplaçant le mouvement relatif par le mouvement φ et la configuration Ω t par la
configuration de référence B conduit à introduire le tenseur des déformations absolu de Cauchy :
C(t,X) =T F(t,x) · F(t,x)
(1.25)
et le tenseur des déformations absolu de Lagrange:
Γ (t,X) =
1
[C(t,X)) − Id]
2
dont les interprétation sont analogues à celle des tenseurs relatifs. Il sont surtout importants pour les solides,
comme on le verra en examinant l’énergie interne au chapitre suivant.
Notons que l’on a:
(1.26)
Ct (τ,x) = U2t (τ,x)
13
Un champ continu de produits scalaires sur un ouvert de E est également appelé tenseur métrique.
28
1.4.1.1
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Mouvement de solide rigide et mouvement rigidifiant.
Comme le tenseur relatif des déformations de Cauchy ne dépend que de la partie symétrique du gradient
de déformation, on en déduit:
I Proposition 1.17 (Mouvement de solide rigide: 3) Soit φ un mouvement de milieu continu défini
sur un ouvert connexe et t un instant. Les propositions suivantes sont équivalentes.
1. φ est un mouvement de solide rigide.
2. A chaque instant τ et pour chaque x ∈ Ωt , le tenseur des déformations de Lagrange Γ t (τ,x) est nul.
Ainsi, si le tenseur des déformations relatives de Lagrange n’est pas identiquement nul c’est que le milieu
subit des déformations au cours du mouvement, d’où son nom.
Preuve de la proposition 1.17. Que 1) implique 2) est immédiat puisque dans un mouvement de solide rigide le gradient
relatif de déformation est une rotation. Réciproquement, si pour tout τ,x Γ t (τ,x) = 0, alors U2t (τ,x) = Id et donc Ut (τ,x) = Id.
Par suite, Ft (τ,x) est une rotation pour tout τ et x. Par composition, Fτ (τ 0 ,y) est donc également une rotation pour tout τ , τ 0 et
y ∈ Ωτ . En conséquence, d’après la relation (1.11), le gradient de vitesse Eulérienne L(τ,y) est antisymétrique pour tout instant
τ et tout y ∈ Ωτ . D’après la proposition 1.13, le mouvement est donc un mouvement de solide rigide. Si la configuration de référence n’est pas connexe, la proposition précédente s’applique à chaque composante
connexe qui est donc alors en mouvement de solide rigide.
En fait, on a un résultat un peu plus général utile en mécanique du solide.
I Proposition 1.18 (Mouvement rigidifiant.) Soit φ une application différentiable définie sur un ouvert connexe Ω. Les propositions suivantes sont équivalentes.
1. φ est la restriction à Ω d’un déplacement.
2. Le tenseur T F(X) · F(X) − Id est identiquement nul sur Ω.
Que 1) implique 2) est immédiat. On va donner une démonstration purement géométrique de la réciproque
dans le cas où φ est de classe C 1 , ce qui est le cas qui nous intéresse vu la régularité que l’on a demandée à un
mouvement. Dans le cas général, le lecteur intéressé pourra chercher une démonstration analytique.
Preuve de la proposition 1.18. On suppose que φ est C 1 et vérifie 2.
Si T F(X)·F(X) = Id alors F(X) est orthogonale pour tout X, et est donc inversible de sorte que φ est un C 1 difféomorphisme
local. Ainsi, pour tout point X0 ∈ Ω on peut trouver un ouvert U ⊂ Ω le contenant tel que la restriction de φ à U soit un C 1
difféomorphisme de U sur son image. Par ailleurs, quitte à restreindre U , on peut supposer que φ(U ) est convexe (une boule
sphérique par exemple). Soit B une boule sphérique de centre X0 contenue dans U . Vu l’interprétation du tenseur de Cauchy
comme tenseur métrique, l’image d’une courbe de classe C 1 de B est une courbe de classe C 1 de φ(B) de même longueur et,
réciproquement, l’image réciproque d’une courbe de classe C 1 de φ(U ) est une courbe de classe C 1 de U de même longueur.
Comme le plus court chemin d’un point à un autre est la ligne droite on en déduit:
∀M,N ∈ B 2 :
d(φ(M ),φ(N )) = d(M,N )
En conséquence, la restriction de φ à B conserve les distances. On en déduit que φ coïncide sur B avec un unique déplacement
de l’espace. Ainsi, à tout point X0 on peut associer un déplacement DX0 qui coïncide avec φ sur un voisinage de X0 . Cette
application: X0 7→ DX0 est localement constante puisque si deux déplacements coïncident sur un ouvert, ils coïncident en 4 points
non coplanaires et donc ils coïncident partout. Finalement, puisque Ω est connexe, cette application localement constante sur Ω
est constante et il existe donc un déplacement qui coïncide partout avec φ sur Ω. En corollaire, on en déduit que si la configuration de référence est connexe et que le tenseur des déformations
absolues de Lagrange est constamment nul, alors le mouvement est rigidifiant. Ce résultat est plus fort que
le précédent: non seulement le mouvement relatif est un mouvement de solide rigide mais encore, il n’y a
pas de déformation par rapport à la configuration de référence. En particulier, un solide élastique au repos
est évidement en mouvement de solide rigide, mais il n’est pas nécessairement en mouvement rigidifiant par
rapport à sa configuration de référence qui est en général géométriquement semblable à une configuration
d’équilibre thermodynamique naturelle, il le sera si et seulement si le tenseur absolu de Lagrange est nul.
1.4.2
Tenseur des déformations linéarisées. Hypothèses de la déformation infinitésimale et de la transformation infinitésimale
Supposons que l’on étudie une famille de mouvements qui dépend régulièrement d’un paramètre réel de
telle sorte que pour = 0 le mouvement soit le repos (i.e. φ(t) est constant). Ce paramètre pourra par exemple
être un paramètre de chargement en mécanique du solide déformable ou encore un taux de cisaillement en
mécanique des fluides, etc... L’hypothèse de la transformation infinitésimale consiste à se placer au voisinage
1.4. TENSEURS DES DÉFORMATIONS.
29
de = 0 et à considérer une approximation d’ordre 1 en du gradient de déformation relatif. Sous cette
hypothèse, le gradient de déformation relatif est de la forme:
(1)
Ft (τ,x,) = Id + Ft (τ,x) + o()
uniformément en t, τ et x sur des ensembles bornés ad hoc. On aura en particulier:
Ct (τ,x,) = Id + O()
(1.27)
et:
(1)
(1)
[F (τ,x) +T Ft (τ,x)] + o()
2 t
−−−−−−−→
Introduisons alors le vecteur : ξ t (τ,x,) = χt (τ,x,)−x = xχt (τ,x,) qui indique, pour un donné, le déplacement
d’une particule entre les configurations Ωt () et Ωτ (). On a alors:
Γ t (τ,x,) =
(1)
∇ξ t (τ,x,) = Ft (τ,x,) − Id = Ft (τ,x) + o()
D’où:
1
∇ξ t (τ,x,) +T ∇ξ t (τ,x,)] + o()
[∇
(1.28)
2
Autrement dit, à l’ordre principal en , le tenseur des déformations de Lagrange est égal à la partie symétrique
du gradient de déplacement. Ce qui justifie le coefficient 1/2 en facteur dans le tenseur de Lagrange.
Pour un mouvement quelconque, la forme bilinéaire symétrique
Γ t (τ,x,) =
t (τ,x) =
1
∇ξ t (τ,x) +T ∇ξ t (τ,x)]
[∇
2
(1.29)
est alors appelée tenseur des déformations linéarisées.
L’hypothèse de la déformation infinitésimale consiste à considérer que la déformation du milieu entre les
deux instants t et τ est "infiniment petite" de sorte que le tenseur des déformations linéarisées t soit une
bonne approximation du tenseur de Lagrange dans tout le milieu. C’est une hypothèse habituelle en élasticité
linéarisée. L’hypothèse de la transformation infinitésimale implique celle de déformation infinitésimale.
Notons que l’hypothèse de la déformation infinitésimale est vérifiée aux temps courts quel que soit le
mouvement si le taux de cisaillement est borné dans l’écoulement. En effet, on a :
Γ t (τ,x) = (τ − t)D(t,x) + o(τ − t)
(1.30)
et le résultat par les accroissements finis.
1.4.3
Coordonnées matérielles. Champ de vecteurs gelé.
Rappelons qu’un système de coordonnées sur un ouvert U de E est un C 1 -difféomorphisme d’un ouvert de
R sur U . L’image réciproque d’un point x de U par ce difféomorphisme est donc un triplet de réels, appelé
coordonnées du point x. Ainsi, des coordonnées cartésiennes forment un système de coordonnées sur U = E.
Soit alors Ξ un système de coordonnées sur un ouvert U de E et soit (ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 ) les coordonnées d’un point
x. La différentielle de Ξ au point (ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 ) est une application linéaire inversible par hypothèse. Ainsi l’image
de la base canonique de R3 par cette différentielle est une base de E. Notons (g1 ,g2 ,g3 ) cette base. On a donc:
3
∀i ∈ {1,2,3} :
gi =
Pour simplifier on note en général:
gi =
∂M
∂ξ i
∂Ξ 1 2 3
(ξ ,ξ ,ξ )
∂ξ i
(1.31)
étant entendu que le point "M " est mis pour: M = Ξ(ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 ). Elle est appelée base locale au point x de
coordonnées (ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 ). On dit qu’un système de coordonnées est orthogonal si la base locale en tout point est
orthogonale.
Donnons nous alors un système de coordonnées 14 Ξ sur la configuration de référence B. Comme φ(t) est
un C 1 difféomorphisme de B sur Ωt , l’application φ(t) ◦ Ξ est un système de coordonnées sur Ωt . On l’appelle
14
Par souci de simplification on ne considère que le cas d’un système de coordonnées globales, mais la démarche s’étend facilement
à un système de coordonnées locales.
30
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
système de coordonnées matérielles sur Ωt associé à Ξ (ou plus simplement système de coordonnées matérielles
si il n’y a pas d’ambiguïté sur Ξ). Son interprétation est particulièrement simple: un point de Ω t est repéré par
les coordonnées, sur B, de la particule qui l’occupe. En particulier, si on suit une particule dans son mouvement,
ses coordonnées ne changent pas au cours du temps: d’où le nom de "coordonnées matérielles".
Soit alors X un point de B de coordonnées (ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 ) et soit (g1 ,g2 ,g3 ) la base locale en ce point. Le point
x = φ(t)(X) de Ωt a alors pour coordonnées matérielles dans Ωt le même triplet (ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 ). Notons alors
(G1 (t,x),G2 (t,x),G3 (t,x)) la base de coordonnées locales en ce point x. Par composition des dérivations on a:
Gi (t,x) = F(t,X) · gi (X)
(1.32)
Gi (τ,χt (τ,x)) = Ft (τ,x) · Gi (t,x)
(1.33)
Entre deux instants t et τ on a donc:
Ainsi, la base locale à un instant quelconque τ en un point de la configuration Ω τ de coordonnées matérielles
(ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 ) est la transportée, par le gradient de déformation relatif, de la base locale au point de la configuration
Ωt ayant les mêmes coordonnées. La base locale d’un système de coordonnées matérielles est donc "gelée" dans
la matière. De manière générale, on adopte la définition suivante:
Définition 1.14 (Champ de vecteurs gelé dans la matière) Soit φ un mouvement de milieu continu
relativement à une configuration B sur un intervalle de temps I. Supposons qu’à chaque instant t ∈ I et à
chaque point x ∈ Ωt on associe un vecteur h(t,x). On dit alors que le champ h ainsi défini est gelé dans la
matière si:
∀(t,τ ) ∈ I 2 ,∀x ∈ Ωt : h(τ,χt (τ,x)) = Ft (τ,x) · h(t,x)
(1.34)
Notons, ce qui justifie la définition, que le champ h est gelé dans la matière si et seulement si, pour tout t
et tout x, les composantes du vecteur h(t,x) sur une base locale de coordonnées matérielles de Ω t en x sont
indépendantes du temps.
Il est d’ailleurs facile de voir que les lignes de champ d’un champ gelé sont des lignes matérielles. En effet,
supposons pour simplifier que le champ h est assez régulier pour posséder des lignes de champ, il suffit par
exemple qu’il soit continu 15 sur une configuration particulière Ωt pour un certain t. Considérons une ligne de
ce champ passant par un point x0 ∈ Ωt à l’instant t et paramétrée par un scalaire α. C’est une solution 16 de
l’équation différentielle:
dx
= h(t,x); x(0) = x0
(1.35)
dα
Alors, la transportée par le mouvement relatif à l’instant τ de cette ligne de champ n’est rien d’autre qu’une
ligne du champ h(τ,x) passant par le point χt (τ,x0 ) . En effet, cette dernière est solution de:
dx
= h(τ,x); x(0) = χt (τ,x0 )
dα
Ainsi, d’une part les lignes de champ sont des lignes matérielles et d’autre part les points ayant les mêmes
valeurs du paramètre α sur une ligne et sur sa transportée, sont occupés par la même particule 17 . Ainsi un
champ gelé est donc un champ de vecteurs "attaché" aux particules, transporté dans le même mouvement que
celles-ci.
On peut alors se demander comment reconnaître, sans par ailleurs connaître le mouvement relatif, qu’un
champ est gelé. Pour cela, supposons pour simplifier que le champ est assez régulier. Par exemple, supposons
que h(t,x) possède des dérivées partielles continues par rapport à t et x. Il est alors facile de voir, d’après 1.34
que ce champ est gelé si et seulement si:
∂
∇v · h − ∇ h · v](t,x)
h(t,x) = [∇
∂t
Ainsi, le champ de vitesse Eulérien n’est gelé dans la matière que si et seulement si l’écoulement est stationnaire.
Dans ces conditions, on sait que les lignes de courant sont les trajectoires des particules.
Un exemple classique de champ gelé est le champ de vorticité dans l’écoulement d’un fluide parfait incompressible ou encore le champ magnétique H dans un liquide parfaitement conducteur de l’électricité (voir par
exemple le tome I de [18]).
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt :
15
Si il en est ainsi, vu la régularité du gradient relatif, le champ h est alors continu par rapport à x, pour chaque τ , sur la
configuration Ωτ . Un théorème classique de calcul différentiel permet alors d’affirmer que l’équation (1.35) possède une solution
locale. Celle-ci n’est cependant pas nécessairement unique. On aura l’unicité de la ligne de champ si de plus, par exemple, h est de
classe C 1 par rapport à x. 16 Avec un abus de langage évident. 17 Attention que le paramètre α est totalement indépendant
du temps: c’est une abscisse mise sur la ligne de champ à un instant donné.
1.4. TENSEURS DES DÉFORMATIONS.
1.4.4
31
Transport des formes différentielles. Tenseur de Finger
Donnons nous encore un système de coordonnées matérielles et gardons les notations précédentes. Soit
(g1 ,g2 ,g3 ) la base duale de la base (g1 ,g2 ,g3 ) et (G1 ,G2 ,G3 ) la base duale de la base (G1 ,G2 ,G3 ). Il est facile
de vérifier, à partir de la relation A.9 et de la définition du produit vectoriel, la relation fondamentale suivante:
∀i :
Gi (t,x) =T F−1 (t,X) · gi (X)
(1.36)
Cette relation montre, par dualité, que les formes différentielles de degré 1 ne sont pas déformées de la même
manière que les vecteurs, sauf si le mouvement est un mouvement de solide rigide. C’est ce que l’on verra un
peu plus bas.
Preuve On va faire la démonstration pour i = 1, les autres cas s’en déduisent par permutation circulaire. On a, par définition
de la base duale et du produit vectoriel, en omettant les dépendances pour simplifier:
G1 =
G2 ∧ G 3
detB (G1 ,G2 ,G3 )
g1 =
g2 ∧ g 3
detB (g1 ,g2 ,g3 )
où detB est le déterminant du système de vecteurs sur une base orthonormée directe quelconque. Par suite, pour tout vecteur U,
on a:
(G1 |U) =
detB (G2 ,G3 ,U)
det(F) detB (g2 ,g3 ,F−1 · U)
(g2 ∧ g3 |F−1 · U)
(G2 ∧ G3 |U)
=
=
=
= (T F−1 g1 |U)
detB (G1 ,G2 ,G3 )
detB (G1 ,G2 ,G3 )
det(F)
detB (g1 ,g2 ,g3 )
detB (g1 ,g2 ,g3 )
et le résultat s’en déduit en identifiant.
On peut donner une interprétation simple de cette identité en terme de 1-formes différentielles gelées dans
la matière. En effet, soit ω une forme différentielle de degré 1 quelconque définie sur B - ou sur un ouvert de
B - elle s’écrit dans la base 18 dξ i :
ω(X) = ωi (ξ 1 ,ξ 2 ,ξ 3 )dξ i
où les ωi sont des formes de degré 0 (i.e. des champs de scalaires).
Or, le vecteur qui est associé par le théorème de représentation de Riesz à dξ i n’est rien d’autre, par
définition d’un gradient, que gi . Ainsi, le champ de vecteurs sur B associé à ω par le théorème de représentation
n’est rien d’autre que le champ ωi gi . Comme les coordonnées (ξ i ) sont des coordonnées matérielles on peut
considérer le champ de vecteurs ωi Gi défini sur Ωt . Il est associé, par le théorème de représentation, à une forme
différentielle ω(t,x), définie sur Ωt . Comme les coordonnées sont matérielles, Gi n’est encore rien d’autre que
le vecteur dualement associé à dξ i et finalement la décomposition de ω(t,x) sur la base (dξ i ) est constamment
identique à celle de ω. On dit alors, comme pour les champs de vecteurs, que la forme différentielle ω(t,x) est
gelée dans la matière. Elle se déduit donc de ω par dualité:
ω(t,x) = (F(t,X)−1 )∗ · ω(X)
Ce à quoi on pouvait s’attendre, vu la définition du dual d’un endomorphisme.
Entre deux instants t et τ on a donc:
ω(τ,χt (τ,x)) = (Ft (τ,x)−1 )∗ · ω(t,x)
On laisse au lecteur le soin de chercher, à titre d’exercice, une condition différentielle pour reconnaître qu’un
champ Eulérien ω(t,x) de 1-formes est gelé.
On peut munir l’ensemble des formes linéaires sur E d’un produit scalaire naturellement associé au produit
scalaire de E, en convenant que le produit scalaire de deux formes linéaires n’est rien d’autre que le produit
scalaire de leurs vecteurs associés par dualité. On a donc, avec la convention habituelle de représentation des
formes bilinéaires sur les endomorphismes:
−
−
−
−
(→
ω (τ,χt (τ,x))|→
ω (τ,χt (τ,x))) = Ft (τ,x)−1 ·T Ft (τ,x)−1 (→
ω (t,x)|→
ω (t,x))
Le champ de produits scalaires: Ft (τ,x)−1 ·T Ft (τ,x)−1 défini à chaque instant sur la configuration Ωt mesure
donc les longueurs des 1-formes gelées. C’est donc l’analogue pour les 1-formes du tenseur relatif de Cauchy.
On remarquera qu’il est tout simplement égal à C−1
t .
Le tenseur:
1
Λ t (τ,x) = [Id − C−1
(1.37)
t (τ,x)]
2
est appelé tenseur des déformations relatif de Finger. Son interprétation est immédiate. C’est l’analogue pour
les 1-formes du tenseur des déformations relatif de Lagrange. Le lecteur vérifiera qu’en petite perturbations le
18
Avec la convention de sommation des indices répétés.
32
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
développement de Λ t (τ,x) coïncide à l’ordre principal avec celui du tenseur de Lagrange donné par 1.28. En
particulier, en hypothèse de la transformation infinitésimale ils se confondent.
On définit de la même manière le tenseur des déformations absolu de Finger par:
Λ (t,X) =
1
[Id − C−1 (t,X)]
2
qui est défini sur la configuration de référence. Son interprétation est analogue.
Exercice 1.4.1 Donner la loi de transformation par changement de référentiel des tenseurs absolus et
relatifs de Finger.
1.4.5
Variations relatives des aires infinitésimales. Transport des normales.
Donnons nous une surface plongée de classe C 1 , S(t), contenue dans la configuration Ωt . On peut, vu
la caractérisation d’une surface plongée 19 , trouver pour chaque point x0 de S(t) un ouvert borné O ∈ Ωt
contenant x0 , un ouvert U de R3 contenant (0,0,0) et un système de coordonnées Ξ : U ∈ R3 7→ O sur O de
telle sorte que la partie de S(t) contenue dans O, S(t) ∩ O, soit exactement confondue avec l’ensemble des
points de O vérifiant ξ3 = 0 (voir le schéma du théorème B.1).
Si on désigne par D la partie de R2 , intersection du plan ξ3 = 0 de R3 et de U , la restriction de Ξ à D
définit un système de coordonnées (ξ1 ,ξ2 ) sur la surface S(t) ∩ O. La mesure de l’aire de cette surface est alors
tout simplement, par définition même:
Z
Z
A(t) =
dσt =
||G1 (t,x) ∧ G2 (t,x)|| dξ1 dξ2
S(t)∩O
def
D
où dσt est la mesure surface naturelle dans E, et une normale unitaire à cette surface en x est:
n(t,x) =
G1 (t,x) ∧ G2 (t,x)
||G1 (t,x) ∧ G2 (t,x)||
Examinons alors comment varie cette aire quand on suit la surface S(t) dans son mouvement.
L’image de S(t) à un instant τ est S(τ ) = χt (τ,S(t)) et celle de O est O(τ ) = χt (τ,O). L’image du morceau
dont a calculé l’aire est donc S(τ ) ∩ O(τ ). Ainsi, en prenant comme coordonnées sur O(τ ) les coordonnées
matérielles définies par Ξ, la surface S(τ ) ∩ O(τ ) est encore donnée par ξ3 = 0 et son aire est donc:
Z
Z
dστ
||G1 (τ,x) ∧ G2 (τ,x)|| dξ1 dξ2 =
A(τ ) =
S(t)∩O
D
où dστ est la mesure qu’il faut mettre sur la même surface S(t) afin de déterminer l’aire à l’instant τ après
déformation.
D’après ce qui précède, on a aux points homologues:
dστ
||G1 (τ ) ∧ G2 (τ )||
=
dσt
||G1 (t) ∧ G2 (t)||
Or, d’après (1.36), on a aux points homologues:
G1 (τ ) ∧ G2 (τ ) = Jt (τ )T Ft (τ )−1 · (G1 (t) ∧ G2 (t))
on en déduit finalement que:
[dστ ]2 = [dσt ]2 Jt (τ )2 C−1
t (τ )(n(t),n(t))
(1.38)
On a ainsi une nouvelle interprétation du tenseur métrique C−1
en termes de variations relatives des aires
t
élémentaires 20 . Cette dernière relation reste vraie si on suppose seulement que la surface S(t) est lipschitzienne.
19
Ce que l’on note ici Ξ est l’inverse du difféomorphisme Ψ introduit dans théorème B.1 qui caractérise les surfaces plongées. 20
On voit que pour avoir une analogie complète avec le tenseur relatif de Cauchy, il y a lieu de multiplier C −1
par le scalaire Jt (τ )2
t
qui, comme on le sait, indique le carré de la variation relative de volume. L’usage veut néanmoins que le tenseur de Finger soit
défini comme on l’a indiqué. En fait, c’est sans importance pour les mouvements isovolumes car alors J t (τ ) = 1.
1.4. TENSEURS DES DÉFORMATIONS.
33
Pour ce qui concerne le transport des normales unitaires, supposons que S(t) soit par exemple le bord d’un
domaine 1-régulier borné. Elle est donc orientable. Choisissons alors le système de coordonnées matérielles de
sorte que n(t,x) soit en tout point x ∈ S(t) ∩ O la normale unitaire sortante et que l’ensemble des points où
ξ3 > 0 soit localement à l’extérieur du domaine. Dans ces conditions la base (G 1 (t,x),G2 (t,x),G3 (t,x)) est
directe. Alors, par continuité, elle reste directe et la normale sortante après transport est:
n(τ,χt (τ,x)) =
Au points homologues on a donc:
n(τ ) dστ =
et également:
Il vient finalement:
G1 (τ,x) ∧ G2 (τ,x)
||G1 (τ,x) ∧ G2 (τ,x)||
G1 (τ ) ∧ G2 (τ )
dσt
||G1 (t) ∧ G2 (t)||
G1 (τ ) ∧ G2 (τ ) = Jt (τ )T Ft (τ )−1 · (G1 (t) ∧ G2 (t))
n(τ ) dστ = Jt (τ )T Ft (τ )−1 · n(t) dσt
(1.39)
n(t) dσt = |J(t)|T F(t)−1 · N dΣ
(1.40)
qui est l’équation de transport des normales unitaires extérieures quand on suit un domaine 1-régulier dans
son mouvement. Cette relation reste vraie p.p. si, au lieu de suivre un domaine 1-régulier, on suit un domaine
de frontière seulement lipschitzienne dans son mouvement (un cube par exemple).
Il est quelquefois utile de suivre non pas un domaine de Ωt mais un domaine de la configuration de référence
B. Le mouvement absolu ne préserve pas nécessairement les orientations. Si c’est le cas, la formule ci-dessus
reste vraie. Sinon, la relation précédente donne évidemment la correspondance entre la normale intérieure
à un des domaines et la normale extérieure à l’autre. Ainsi, en convenant de ne prendre que des normales
extérieures, il vient dans tous les cas, aux points homologues entre la configuration de référence (où on note
dΣ la mesure surface et N la normale) et la configuration à l’instant t:
34
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
1.5
1.5.1
Mouvements des interfaces.
Généralités.
On adoptera la définition suivante:
Définition 1.15 (Mouvement d’interface) Soit I un intervalle ouvert de R et S une surface de classe
C 1 , plongeable dans E. On appelle mouvement d’interface de S sur l’intervalle de temps I, une famille à
un paramètre ψ(t){t∈I} de C 1 -plongements de S dans E telle, que pour toute carte locale (O,φ) de domaine
compact de S, l’application t ∈ I 7→ ψ(t) ◦ φ−1 :
x ∈ φ(O) 7→ ψ(t)[φ−1 (x)]
soit de classe C 1 [I,C 1 (φ(O),E)].
La définition 1.15 est une généralisation naturelle à un milieu continu 2D de la notion de mouvement de
milieu continu introduite pour les milieux 3D. Comme pour le milieu 3D, on dira que S est la configuration de
référence de l’interface et que Σt = ψ(t)[S] est le placement de l’interface à l’instant t.
Dans un mouvement d’interface, Σt est à chaque instant une surface plongée de classe C 1 . On peut alors
également, au lieu d’indexer les particules sur S, les repérer par les positions qu’elles occupent à un instant
particulier t. Il est alors immédiat de vérifier que pour chaque t ∈ I fixé, la famille {ψ(τ ) ◦ ψ −1 (t)}τ ∈I est un
mouvement d’interface défini sur la configuration de référence Σt et sur l’intervalle de temps I. D’où la:
Définition 1.16 (Mouvement Relatif d’interface) Soit ψ un mouvement d’interface relativement à
une configuration S sur un intervalle de temps I et t ∈ I un instant fixé. L’interface Σ t est une surface de
classe C 1 , plongée dans E, et la famille {χt (τ )}τ ∈I de fonctions définies sur Σt par:
∀τ ∈ I :
χt (τ ) = ψ(τ ) ◦ ψ −1 (t)
est un mouvement d’interface de Σt sur l’intervalle de temps I. On l’appelle mouvement relatif d’interface de
Σt , associé à ψ.
Comme dans le cas 3D, on a χt (t) = Id et on établira facilement une proposition analogue à la proposition
1.1.
Vu les définitions d’un plan tangent et de la différentielle d’une application différentiable définie sur une
surface plongée, on déduit immédiatement que le plan tangent Π τ (y) à Στ en un point y = χt (τ,x) est le
transporté du plan tangent Π t (x) de Σt par le gradient du mouvement relatif. C’est à dire:
I Proposition 1.19 Soit ψ un mouvement d’interface relativement à une configuration S sur un intervalle
de temps I. Soit (t,τ ) ∈ I 2 deux instants et x ∈ Σt . Alors, le plan tangent à Στ au point y = χt (x,τ ) est l’image
par la différentielle ∇ χt (x,τ ) du plan tangent à Σt en x. Ainsi, pour tout vecteur T tangent à Σt en x le vecteur
∇ χt (x,τ ) · T est tangent à Στ en y.
La trajectoire d’une particule dans un mouvement d’interface est une courbe régulière et sa vitesse est bien
définie, continue en temps et position. La vitesse d’un point de l’interface est en effet donnée par la relation
habituelle:
ψ(t + dt)(X) − ψ(t)(X)
W(t,X) = lim
dt→0
dt
dont le membre de droite est bien défini, vu la régularité de ψ. Le champ de vitesse Eulérien de l’interface à
l’instant t, w(t,·), est également défini sur Σt par la formule habituelle:
∀x ∈ Σt :
w(t,x) = W(t,ψt−1 (x))
On défini également, comme dans le cas 3D le champ de vitesse Lagrangien W t (x,τ ) sur la configuration Σt .
Il est facile de s’assurer que si le mouvement relatif {χt (τ )}τ ∈I est la restriction à Σt d’un mouvement
relatif de milieu continu 3D, au sens de la définition 1.1, alors c’est bien un mouvement relatif d’interface au
sens de la définition ci-dessus et qu’évidemment les champ de vitesses coïncident sur S. Réciproquement, si
la surface est compacte un mouvement d’interface est toujours la restriction d’un mouvement relatif de milieu
1.5. INTERFACES
35
continu régulier défini sur tout l’espace. Pour voir cela, commençons par un lemme qui indique que localement
un mouvement relatif d’interface est la restriction d’un mouvement relatif de milieu continu 3D.
Lemme 1.5.1 Soit ψ un mouvement d’interface relativement à une surface S sur l’intervalle I. Soit t 0 ∈ I
et x0 ∈ Σt0 . Alors, il existe un ouvert Ωt0 contenant x0 et un intervalle de temps J ⊂ I contenant t0 tels que
le mouvement relatif d’interface {χt0 (t)}t∈J restreint à S0 = Ωt0 ∩ Σt0 et à J soit la restriction à S0 d’un
mouvement relatif de milieu continu 3D défini sur la configuration Ω t0 et l’intervalle de temps J. De plus, si
Ft0 (t,x0 ) est le gradient de déformation relatif de ce mouvement, alors pour chaque vecteur T tangent à Σ t0
en x0 on a:
Ft0 (t,x0 ) · T = ∇ χt0 (t,x0 ) · T
Preuve On va se contenter d’indiquer les grandes lignes de la démonstration. On peut, grace au point 3 du théorème B.1,
trouver un ouvert borné U contenant x0 et un C 1 difféomorphisme Ξ de U sur le cube ] − 1,1[3 de R3 de telle sorte que U ∩ Σt0
soit l’ensemble des points de U vérifiant x3 = 0. On désigne alors par Ωt0 une sphère ouverte de centre x0 dont l’adhérence est
contenue dans U et on pose S0 = Ωt0 ∩ Σt0 . Le difféomorphisme Ξ définit donc un système de coordonnées locales sur l’ouvert
Ωt0 de E. On choisit alors un intervalle de temps J =]t0 − T,t0 + T [ avec J ⊂ I et on définit un mouvement relatif de milieu
continu 3D sur Ωt0 par son champ de vitesse Lagrangien de la manière suivante. Pour chaque point x ∈ Ω t0 de coordonnées
locales (x1 ,x2 ,x3 ) et chaque t ∈ J, on pose Wt0 (x,t) = Wt0 (x̃,t), où x̃ est le point de Ωt0 de coordonnées (x1 ,x2 ,0). Ce dernier
point est sur S0 et la vitesse est donc bien définie. Il est facile de voir que le champ de vitesse ainsi défini est de classe C 0 sur
J × Ωt0 , ainsi que son gradient. On définit alors l’application suivante:
Z t
φt0 (x,t) = x +
∀x ∈ Ωt0 ,∀t ∈ J :
Wt0 (x,s) ds
t0
Il est immédiat, par construction, de voir que la restriction de φt0 (·,t) à S0 coïncide avec le mouvement relatif d’interface de
S0 et que φt0 a bien la régularité d’un mouvement relatif de milieu continu 3D, sauf peut être la condition de difféomorphisme.
On laisse alors au lecteur le soin de vérifier qu’en choisissant T assez petit, la famille {φ t0 (·,t)}t∈J est bien une famille de C 1
difféomorphismes de Ωt0 . C’est le mouvement relatif de milieu 3D cherché. La relation sur les vecteurs tangents est alors évidente,
par définition. On peut donc utiliser la relation (1.39) pour étudier les variations des normales unitaires par le mouvement
d’interface. A noter que la formule (1.39) est alors indépendante du choix du mouvement relatif 3D qui coïncide
localement avec le mouvement relatif d’interface. A noter cependant qu’un tel mouvement 3D qui prolonge
localement le mouvement d’interface en dehors de S0 n’est pas unique, puisque l’on peut choisir une infinité
d’extensions différentes du champ de vitesse en dehors de S0 .
Du lemme, on déduit facilement le:
I Théorème 1.1 Soit ψ un mouvement d’interface relativement à une surface compacte S sur l’intervalle
I et soit t0 ∈ I. Alors, il existe un intervalle de temps J ⊂ I contenant t0 tels que le mouvement relatif
d’interface {χt0 (t)}t∈J soit la restriction à Σt0 d’un mouvement relatif de milieu continu 3D défini sur tout
l’espace E et l’intervalle de temps J.
En effet, il suffit de recouvrir Σt0 par un nombre fini d’ouverts et d’introduire une partition de l’unité
subordonnée. On laisse au lecteur les détails techniques: on construit un champ de vitesses à support compact
dans le recouvrement considéré et qui coïncide sur Σt0 avec le champ de vitesse Lagrangien du mouvement
relatif d’interface. On construit alors le mouvement par intégration comme dans le cas de l’extension locale.
Comme le champ de vitesse est à support compact, on est assuré de l’injectivité du mouvement sur une durée
non nulle. Attention que la proposition ne s’applique pas si Σt0 n’est pas compacte. Cependant, on a le corollaire
suivant qui en pratique est suffisant pour l’étude des bilans en présence d’une surface de discontinuité:
Corollaire 1.4 Soit ψ un mouvement d’interface relativement à une surface S sur l’intervalle I et soit
t0 ∈ I. Alors, pour chaque ouvert S0 ⊂ Σt0 de fermeture compacte dans Σt0 , il existe un intervalle de temps
J ⊂ I contenant t0 tels que le mouvement relatif d’interface {χt0 (t)}t∈J soit la restriction à S0 d’un mouvement
relatif de milieu continu 3D défini sur tout l’espace E et l’intervalle de temps J.
On déduit de ce qui précède la proposition suivante:
I Proposition 1.20 (Equation Eulérienne implicite d’une interface. 1.) Soit ψ un mouvement d’interface défini sur la configuration de référence S et sur l’intervalle I. Alors pour tout couple (t 0 ,x0 ) où t0 ∈ I
et x0 ∈ Σt0 , il existe un voisinage ouvert O ⊂ E de x0 dans E, un intervalle ouvert J ⊂ I contenant t0 et une
application F ∈ C 1 (J,C 1 (O,R)), non singulière, c’est à dire telle que en tout point de I ×O on ait ∇F (t,x) 6= 0,
tels que:
∀t ∈ J :
Σt ∩ O = {x ∈ O; F (t,x) = 0}
36
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
C’est immédiat, il suffit d’utiliser le corollaire précédent et la proposition 1.2 en caractérisant S 0 par
une équation implicite. Attention qu’en général, et même si la surface est compacte, on n’est pas assurer de
l’existence d’une équation implicite globale.
Définition 1.17 (Vitesse normale.) Soit ψ(t){t∈I} un mouvement d’une interface dont la position à
chaque instant t est Σt . Soit, pour chaque point x ∈ Σt , n une normale unitaire à Σt en x. Soit enfin w(t,x)
la vitesse Eulérienne de l’interface à l’instant t en x ∈ Σt . On appelle vitesse normale - ou encore célérité de l’interface au point x le vecteur wn défini par:
wn = (w|n)n
Il est évident que wn ne dépend pas du choix de la normale unitaire. En fait, la vitesse normale ne dépend
pas non plus du choix du mouvement d’interface ψ. Plus précisément, on dit que deux mouvements d’interface
ψ et ψ 0 , définis respectivement sur S et S 0 et sur le même intervalle de temps I, sont compatibles si à chaque
instant: ψ(t)[S] = ψ 0 (t)[S 0 ]. Autrement dit les deux mouvements assurent à chaque instant la même position
globale de l’interface Σt . On a la:
I Proposition 1.21 Si deux mouvements d’interface sont compatibles alors à chaque instant t et en chaque
point de l’interface Σt , les vitesses normales de l’interface pour l’un est l’autre mouvement sont identiques.
Preuve. En effet, l’interface Σt peut être décrite localement par une équation Eulérienne de la forme F (t,x) = 0 sur l’ouvert
J × U . C’est à dire:
∀t ∈ J : {x ∈ Σt ∩ U } ⇔ {F (t,x) = 0}
et ce indépendamment du mouvement compatible choisi. En un point x ∈ Σt on peut par exemple choisir comme normale unitaire
le vecteur:
∇ F (t,x)
n=
∇F (t,x)||
||∇
Soit (t0 ,x0 ) ∈ J × U . Soit ψ est un mouvement d’interface possible de Σt défini sur S et soit X0 ∈ S tel que ψ(t0 )(X0 ) = x0 . On
a par définition d’une équation Eulérienne:
∀t ∈ J :
F (t,ψ(t)(X0 )) = 0
qui exprime le fait trivial que l’image de X0 ∈ S à chaque instant t ∈ J est sur Σt . On en déduit, en dérivant, que la vitesse
Eulérienne du mouvement d’interface ψ vérifie:
∂F
∇F (t0 ,x0 )|w(t0 ,x0 )) = 0
(t0 ,x0 ) + (∇
∂t
Et la vitesse normale est donc complètement déterminée en x0 ∈ Σt0 par:
wn (t0 ,x0 ) = −
∂F
1
(t0 ,x0 ) n
∇F (t0 ,x0 )|| ∂t
||∇
et elle est donc la même quelque soit le mouvement compatible.
Inversement, on peut se poser la question de savoir si la donnée d’une famille de surfaces par une équation
implicite de la forme F (t,x) = 0 définit un mouvement d’interface. La réponse est négative, une telle donnée ne
définit pas un mouvement d’interface mais une famille de mouvements d’interfaces tous compatibles, c’est à
dire ayant même vitesse normale aux points (t,x) identiques. Ce à quoi on devait s’attendre vu ce que l’on vient
de voir. De plus, comme dans le cas 3D, on ne peut définir par une équation Eulérienne que des mouvements
relatifs d’interface, c’est à dire des mouvements où la configuration de référence est la position de l’interface à
un instant donné. Le lecteur pourra ainsi établir la proposition suivante 21 :
I Proposition 1.22 (Equation Eulérienne implicite d’une interface. 2.) Soit U un ouvert borné
de E, I un intervalle de R et F : I × U 7→ R une application de classe C 1 (I,C 1 (U ,R)) non singulière,
c’est à dire telle que en tout point de I × U on ait ∇ F (t,x) 6= 0 et soit (t0 ,x0 ) ∈ I × U tels que F (t0 ,x0 ) = 0.
Alors, il existe un ouvert O ⊂ U contenant x0 , un intervalle ouvert J ⊂ I contenant t0 et un mouvement
relatif d’interface {χt0 (t)}t∈J défini sur S0 = {x ∈ O; F (t0 ,x) = 0} telle que si Σt est la position de l’interface
à chaque instant t ∈ J on ait: Σt ∩ O = {x ∈ O; F (t,x) = 0}.
Autrement dit l’équation Eulérienne F (t,x) = 0 détermine au moins localement une famille de surfaces
qui peuvent être considérées comme les positions d’une interface dans un mouvement d’interface. De plus,
comme on l’a déjà vu, tous les mouvements d’interface compatibles auront même vitesse normale, laquelle est
21
On pourra représenter l’interface par un graphe et choisir un champ de vitesse de direction constante. Il ne faut pas choisir le
champ de vitesses normales car il n’a à priori pas la régularité voulue.
1.5. INTERFACES
37
parfaitement bien définie par l’équation Eulérienne F (t,x) = 0 seulement. Attention qu’il existe une infinité
de mouvement compatibles.
Ainsi quand on dit qu’un milieu 3D est "traversé par une interface qui se propage à la vitesse normale
wn ", généralement, cela signifie que l’on ne connaît ni la vitesse ni le mouvement d’interface mais seulement
la position globale de l’interface à chaque instant et sa vitesse normale w n les deux étant, par exemple, donnés
par une équation Eulérienne locale F (x,t) = 0. On considère alors la classe de tous les mouvements d’interface
compatibles, laquelle n’est pas vide. C’est exactement la situation habituellement rencontrée lors de l’étude du
mouvement de deux milieux non miscibles, par exemple.
Définition 1.18 (Mouvement d’interface stationnaire.) On dit qu’un mouvement d’interface est stationnaire si la position globale de l’interface à chaque instant est constante.
On a alors la:
I Proposition 1.23 Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un mouvement d’interface soit stationnaire est que la vitesse normale de l’interface soit constamment nulle.
En effet, si le mouvement d’interface est stationnaire, on peut caractériser localement la surface Σ t au
voisinage de (t0 ,x0 ) par une équation implicite qui ne dépend pas du temps et, vu l’expression de la vitesse
normale, celle ci est constamment nulle. Inversement, si la vitesse normale est constamment nulle, toute
équation Eulérienne implicite ne dépend pas du temps et la position Σt de l’interface est donc constante.
38
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
1.6
Mouvements de milieux non miscibles. Interfaces matérielles.
1.6.1
Mouvement 3D d’un domaine borné.
Jusqu’à présent on a uniquement considéré des mouvements 3D définis sur une partie ouverte de l’espace.
Mais dans la plupart des situations réelles le placement du milieu est limité dans certaines directions par la
présence de frontières avec d’autres milieux (parois, interfaces). Il est donc naturel d’étudier le prolongement
du mouvement sur ces frontières.
Soit donc I ⊂ R un intervalle de temps et t0 ∈ I un instant. Soit Ω un domaine 1-régulier connexe de E,
dont la frontière ∂Ω est donc une surface de classe C 1 , qui sera le placement du milieu à l’instant t0 .
A chaque instant t ∈ I on associe alors une application χ(t) de Ω dans E qui sera le mouvement relatif du
milieu. On suppose que χ à la régularité d’un mouvement de milieu continu, c’est à dire que pour tout ouvert
O tel que O ⊂ Ω la restriction de χ à O est de classe C 1 (I,C 1 (O,E)). On a alors la:
I Proposition 1.24 On suppose que χ(t0 ) = Id et que les champs Lagrangiens de vitesse V(t) = χ0 (t)
et de gradient de vitesse ∇ V(t) se prolongent continûment sur ∂Ω, uniformément par rapport à t sur tout
intervalle fermé inclus dans I. Alors:
1. χ est de classe C 1 (I,C 1 (Ω,E)).
2. Il existe un intervalle ouvert J ⊂ I contenant t0 tel que pour chaque t ∈ J χ(t) soit un homéomorphisme
de Ω sur son image et c’est un C 1 -difféomorphisme de Ω sur son image. En particulier, χ(t) est un
mouvement relatif de milieu continu, par rapport à la configuration Ω, sur l’intervalle de temps J.
3. Le prolongement de χ à ∂Ω est un mouvement relatif d’interface sur l’intervalle de temps J et on a:
∂(χ(t)[Ω]) = χ(t)[∂Ω]. A chaque instant t ∈ J, l’image χ(t)[Ω] est un domaine 1-régulier.
On notera que sur l’intervalle J, χ est donc bien un mouvement relatif de milieu continu, la configuration
de référence Ω étant le placement à l’instant t0 . On a demandé à χ d’avoir la régularité d’un mouvement de
milieu continu sur Ω mais on n’a pas demandé l’injectivité ni à fortiori une condition de difféomorphisme. En
fait la condition initiale χ(t0 ) = Id et les hypothèses de continuité jusqu’au bord de la vitesse et du gradient
de vitesse suffisent à assurer l’injectivité. La proposition est alors une application simple du théorème des
accroissements finis.
Preuve.
1. Pour chaque point x ∈ Ω on a:
χ(t,x) = x +
Z
t
V(s,x) ds
t0
Soit x0 ∈ ∂Ω. On a alors:
lim χ(t,x) = x0 +
x→x0
Z
∇ χ(t,x) = Id +
Z
t
t0
∇ V(s,x) ds
t
lim V(s,x) ds
t0 x→x0
lim ∇ χ(t,x) = Id +
x→x0
Z
t
lim ∇ V(s,x) ds
t0 x→x0
Par suite χ et ∇ χ se prolonge continûment sur ∂Ω, uniformément en t sur tout intervalle fermé et donc χ ∈ C 1 (I,C 1 (Ω,E)).
∇V|| admet une borne supérieure finie M (t). De plus, par composition, la
2. Comme Ω est compact, pour chaque t ∈ I, ||∇
fonction t 7→ M (t) est continue sur I. Soit x et y deux points de Ω et soit x1 = x, · · · ,xn = y une ligne brisée qui joint x
et y dans Ω. On a:
χ(t,y) − χ(t,x) =
n−1
X
i=1
χ(t,xi+1 ) − χ(t,xi ) = y − x +
n−1
XZ t
i=1
t0
(V(s,xi+1 ) − V(s,xi )) ds
On applique l’inégalité des accroissements finis et il vient:
||χ(t,y) − χ(t,x)|| ≥ ||y − x|| − |
Z
t
M (s) ds|
t0
n−1
X
i=1
||xi+1 − xi ||
Comme le résultat est vrai pour toute ligne brisée, on a:
||χ(t,y) − χ(t,x)|| ≥ ||y − x|| − |
Z
t
M (s) ds|δ(x,y)
t0
où δ est la borne inférieure des longueurs des lignes brisées qui joignent x et y. Comme Ω est un domaine 1-régulier, on
sait qu’il existe une constante C(Ω) ≥ 1 telle que pour tout x,y on ait: δ(x,y) ≤ C(Ω)||x − y||. Soit:
Z t
||χ(t,y) − χ(t,x)|| ≥ ||y − x||[1 − C(Ω)|
M (s) ds|]
t0
L’inégalité reste vraie par continuité sur Ω. Or, la fonction t ∈ I 7→
Rt
t0
M (s) est croissante, continue et nulle en t = t0 ,
Rt
t M (s) ds < 1. Par conséquent, pour
par continuité, il existe donc ∆t > 0 tel que pour t ∈]t0 − ∆t,t0 + ∆t[, on ait: C(Ω)
0
1.6. MOUVEMENTS DE MILIEUX NON MISCIBLES. INTERFACES MATÉRIELLES.
39
chaque t ∈]t0 − ∆t,t0 + ∆t[, χ(t) est injective sur Ω. Comme Ω est compact et E séparé, χ(t) est donc un homéomorphsime
de Ω sur son image. La condition ∂(χ(t)[Ω]) = χ(t)[∂Ω] est donnée dans le théorème 1.5. Par ailleurs, on a:
Z t
∇ χ(t,x) = Id +
∇ V(s,x) ds
t0
par suite:
∇χ(t,x)|| ≥ 1 − |
||∇
Z
t
M ds|
t0
et ∇ χ(t,x) est inversible pour tout t ∈]t0 − ∆t,t0 + ∆t[ et x ∈ Ω. En prenant J =]t0 − ∆t,t0 + ∆t[, χ(t) est donc un
C 1 -difféomorphisme de Ω sur son image.
3. χ(t) est pour chaque t ∈ J un homéomorphisme de ∂Ω sur son image. Par le théorème sur la limite uniforme des suites
de fonctions dérivées, on vérifie facilement que c’est un C 1 plongement ∂Ω dans E. Vu la régularité par rapport au temps,
c’est un mouvement d’interface.
Notons que si χ est de classe C 1 (I,C 1 (Ω,E)), les champs V(t) = χ0 (t) et ∇ V(t) se prolongent évidemment
continûment sur ∂Ω, uniformément par rapport à t sur tout intervalle fermé inclus dans I. Par conséquent,
on voit qu’une condition naturelle à imposer à un mouvement relatif de milieu continu défini sur un domaine
1-régulier Ω est de demander la classe C 1 (I,C 1 (Ω,E)) ou, ce qui est équivalent, de demander des prolongements
continus et uniformes en temps de la vitesse et du gradient de vitesse Lagrangiens. Attention toutefois que
cette condition n’assure l’injectivité sur le bord que localement en temps.
Exercice 1.6.1 (Extension aux domaines lipschitziens.) Dans le cas où Ω est seulement Lipschitzien
justifier que les points 1 et 2 de la proposition restent vrais et qu’à chaque instant t ∈ J, l’image χ(t)[Ω] est
un domaine Lipschitzien.
1.6.2
Mouvements de deux milieux continus non miscibles.
On s’intéresse aux mouvements de deux "milieux continus immiscibles" en contact par une interface. La
caractérisation fondamentale de tels mouvements est que la position de l’interface dans la configuration de
référence est fixe. Pour simplifier l’étude, on ne considérera que le cas où l’un des milieux entoure l’autre lequel
occupe un domaine 1-régulier: c’est par exemple la situation pour une goutte d’eau dans de l’air.
Soit t0 ∈ R un instant. Soit Ω1 un domaine 1-régulier connexe de frontière Σ21 , qui sera le placement du
milieu 1 à t0 . Soit Ω2 un ouvert également connexe qui sera le placement du milieu 2 à t0 . On suppose que ces
deux ouverts sont disjoints, c’est à dire que Ω2 ∩ Ω1 = ∅ et que Σ21 est leur frontière commune, c’est à dire que
Σ21 est une partie de la frontière de Ω2 . Sans restreindre la généralité et quitte à considérer une partie seulement
du placement du milieu 2, on peut alors supposer que Ω2 est borné et que c’est un domaine 1-régulier qui
"englobe" le milieu 1 (voir la figure) de sorte que ∂Ω2 = Σ21 ∪ Σ, où Σ est une surface compacte de classe C 1 ,
disjointe de Σ21 .
Ω2
Ω1
Σ21
Σ
Fig. 1.3 – Le milieu 2 englobe le milieu 1.
Soit alors I un intervalle ouvert contenant t0 et {χt0 (t)}t∈I une famille d’applications de l’ouvert Ω1 ∪ Ω2
dans E. On note {χit0 (t)}t∈I la restriction de {χt0 (t)}t∈I à Ωi . On dira que {χt0 (t)}t∈I est un mouvement
40
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
relatif de deux milieux continus immiscibles au voisinage de l’instant t 0 si:
1. Pour chaque i = 1,2, la famille {χit0 (t)}t∈I est un mouvement relatif de milieu continu, relativement à
Ωi sur l’intervalle de temps I.
d i
χ (t) ainsi que son gradient se
2. Pour chaque i et t ∈ I, le champ des vitesses Lagrangien Vti0 (t) =
dt t0
prolongent continûment sur ∂Ωi , uniformément en t.
La première condition exprime que chaque milieu à un mouvement de milieu continu qui lui est propre.
Comme il s’agit de mouvements relatifs, on a donc: χit0 (t0 ) = Id. On notera que l’on n’a pas demandé aux
mouvements d’être définis sur l’interface. Mais on sait cependant, vu la seconde condition de prolongement des
vitesses sur les bords et d’après l’étude faite au paragraphe précédent, que chaque application χ it0 se prolonge
continûment sur le bord ∂Ωi . On demande alors aux milieux de rester en contact, c’est à dire:
3. Pour chaque i et t ∈ I, l’application χit0 (t), qui se prolonge continûment sur Σ21 , vérifie: χ1t0 (t)(Σ21 ) =
χ2t0 (t)(Σ21 ).
La position de l’interface dans la configuration de référence est fixe et par conséquent, en prolongeant le
mouvement de chaque milieu sur l’interface, on peut donc considérer que l’interface, pour chacun des milieux,
est matérielle.
Les placements des milieux à l’instant t0 sont disjoints, mais on n’a pas imposé explicitement qu’ils le
restent au cours du mouvement. C’est en fait une conséquence des hypothèses.
I Proposition 1.25 Sous les conditions précédentes, chaque χit0 est de classe C 1 (I,C 1 (Ω,E)) et il existe
un intervalle ouvert J ⊂ I contenant t0 tel que:
1. Pour chaque t ∈ J et chaque i = 1,2, χit0 (t) est un homéomorphisme de Ωi sur son image et le prolongement de χit0 à ∂Ωi est un mouvement relatif d’interface sur l’intervalle de temps J.
2. Pour chaque t ∈ J, les placements restent disjoints. C’est à dire: χ1t0 (Ω1 ) ∩ χ2t0 (Ω2 ) = ∅.
La première partie résulte de la proposition 1.24 appliquée à chacun des deux domaines. La seconde partie
exprime explicitement l’immiscibilité des milieux. Montrons ce résultat. Notons Ω it = χit0 (Ωi ) le placement
de chaque milieu à l’instant t. Supposons qu’il existe t ∈ J tel que Ω1t ∩ Ω2t 6= ∅. On pourrait donc trouver
une particule (i.e. un point) X2 ∈ Ω2 dont l’image χ2t0 (t,X2 ) à l’instant t serait contenue dans Ω1t . On a
nécessairement t 6= t0 et, pour fixer les idées, supposons que t > t0 . Désignons par T la borne inférieure
des t > t0 tels que χ2t0 (t,X2 ) ∈ Ω1t . Par continuité, le point χ2t0 (T,X2 ) est nécessairement sur le bord de
Ω1T . Il est donc sur χ1t0 (T )(Σ21 ). Mais il est alors également sur χ2t0 (T )(Σ21 ) puisque les deux images sont
confondues, d’après la condition de contact. Ainsi, on aurait trouvé un point X 2 intérieur à Ω2 dont l’image
par l’homéomorphisme χ2t0 (T ) serait sur le bord de Ω2T : c’est absurde d’après le théorème 1.5. On obtient une
absurdité analogue en remplaçant borne inférieure par borne supérieure si on suppose t < t 0 . Le résultat est
donc établi.
A noter que l’on peut aussi bien prendre comme mouvement d’interface de Σ 21 le prolongement de χ1t0 (t)
ou celui de χ2t0 (t), qui sont en général différents. Ainsi, des parties initialement contiguës des deux milieux ne
restent pas nécessairement contiguës: le milieu 1 peut à priori "glisser" par rapport au milieu 2 (voir la figure
1.4).
Pour chaque i, on désignera par vi le champ de vitesses Eulérien du mouvement χit0 (t), qui est bien défini
à chaque instant t ∈ I sur Ωit . En chaque point x0 de Σ21 on peut par hypothèse prolonger les champs Eulériens
vi (t0 ) = Vti0 (t0 ) par continuité, mais les deux prolongements v1 (t0 ,x0 ) et v2 (t0 ,x0 ) seront en général différents:
le champ de vitesse Eulérien du "milieu" à t0 peut donc subir une discontinuité de première espèce sur Σ21 .
La proposition suivante donne alors une caractérisation cinématique simple du mouvement de deux milieux
continus immiscibles (voir aussi la proposition 1.21).
I Proposition 1.26 (Condition cinématique d’immiscibilité) Lors du mouvement de deux milieux
continus immiscibles on a la condition de saut:
∀i ∈ {1,2},∀x0 ∈ Σ21 :
(wn (t0 ,x0 ) − vi (t0 ,x0 )|n) = 0
(1.41)
où wn est la vitesse normale de l’interface et n une normale unitaire à Σ 21 en x0 .
Ce que dit la proposition, c’est que les vitesses normales des milieux de part et d’autre de l’interface
doivent coïncider, leur valeur commune étant alors la vitesse normale de l’interface. Le résultat est immédiat.
En effet, le prolongement de chaque χit0 (t) sur l’interface est un mouvement d’interface. Les deux mouvements
1.6. MOUVEMENTS DE MILIEUX NON MISCIBLES. INTERFACES MATÉRIELLES.
Σ21
Ω1
O
41
Ω2
O2
+x0
χ2t0 (t)
O1
Ω2t
Σt
Ot2
χ1t0 (t)
Ω1t
Ot1
Fig. 1.4 – Étude locale
d’interface sont donc compatibles et, d’après la proposition 1.21, les vitesses normales de chacun des deux
mouvements en un point de l’interface sont égales à la vitesse normale de l’interface.
Pour rendre la lecture de ce paragraphe indépendante, voyons comment réétablir facilement ce résultat. Désignons par Σ t
la position de l’interface à chaque instant, c’est à dire l’image commune de Σ 21 par les deux mouvements. Soit F (t,x) = 0 une
équation locale Eulérienne de l’interface Σt au voisinage de (t0 ,x0 ) (c.f. proposition 1.20). Soit n =
Σ21
∇ F (t0 ,x0 )
∇F (t0 ,x0 )||
||∇
une normale
unitaire à
en x0 . Considérons un mouvement d’interface quelconque compatible de vitesse Eulérienne w. Par définition d’une
équation Eulérienne de l’interface, on a 22 :
∂F
∇F (t0 ,x0 )|w) = 0
(t0 ,x0 ) + (∇
∂t
2
i
D’autre part le prolongement de χt0 (t) à Σ1 est un mouvement d’interface particulier. Ainsi, on peut par prolongement, définir le
mouvement relatif d’une particule du milieu i qui occuperait la position x0 à t0 . Or dans ce prolongement, les points de Σ21 sont
par définition "envoyés" sur Σt . Ce qui signifie que la trajectoire t 7→ χit0 (t,x0 ) de notre particule est constamment sur l’interface
et vérifie donc, au moins pour les t au voisinage de t0 :
F (t,χi0 (t,x0 )) = 0
En dérivant, il vient:
∂F
∇F (t0 ,x0 )|vi ) = 0
(t0 ,x0 ) + (∇
∂t
En identifiant on en déduit la condition de saut.
Considérons maintenant un domaine O assez petit traversé par l’interface (c.f. figure 1.4) et que l’on va
"suivre dans son mouvement". Plus précisément soit x0 un point de Σ21 et O un domaine connexe Lipschitzien
contenant x0 et contenu dans l’intérieur de Ω1 ∪ Ω2 . On pose Oi = O ∩ Ωi et S0 = O ∩ Σ21 et on choisit O de
telle sorte que chaque Oi soit lui même un domaine connexe lipschitzien de Ωi , ce qui est toujours possible vu
le choix des placements Ω1 et Ω2 . On a donc O = O1 ∪ O2 ∪ S0 . On pose Oti = χt0 (t)[Oi ]. On déduit de ce qui
précède la proposition:
I Proposition 1.27 Il existe un intervalle ouvert J ⊂ I, contenant t 0 , tel que pour tout t ∈ J: Ot1 ∩
= ∅ et chaque Oti soit un domaine connexe lipschitzien, de plus chaque champ Lagrangien V ti0 est dans
C (J,C 1 (Oi ,E)).
Ot2
0
22
Ce qui exprime le fait évident que la dérivée particulaire de F dans le "mouvement d’interface" de vitesse Eulérienne w est
nulle.
42
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
O2
+
x0
S0
O1
Fig. 1.5 – Domaine Lipchitzien O.
Retenons les points fondamentaux suivants:
– Ce qu’il est convenu d’appeler "mouvement relatif de deux milieux non miscibles" est tout simplement
la donnée de deux mouvements relatifs de milieux continus au sens de la définition 1.1 par rapport à des
configurations à un instant t0 disjointes et situées de part et d’autre d’une surface donnée qui est une
surface matérielle pour chacun des deux milieux.
– En chaque point de l’interface, les vitesses normales des deux milieux sont égales à la vitesse normale de
l’interface. Cette condition, purement cinématique, assure la compatibilité des mouvements et exprime
la matérialité de l’interface pour chacun des milieux.
– Lors du mouvement de deux milieux continus immiscibles, le mouvement de l’interface n’est pas défini,
seule sa vitesse normale et sa position globale sont définies.
Cas des mouvements stationnaires. Si l’un des deux milieux est en mouvement stationnaire, on sait
que le placement du milieu est invariant au cours du temps. Par conséquent, l’interface entre les deux milieux
est stationnaire. On sait alors que sa vitesse normale est nulle. En conséquence, la vitesse normale de chacun
des milieux sur l’interface est nulle. On peut donc énoncer la proposition:
I Proposition 1.28 Lors du mouvement de deux milieux continus immiscibles, si l’un des deux milieux
est en mouvement stationnaire alors on a:
∀i ∈ {1,2},∀x0 ∈ Σ21 :
(vi (t0 ,x0 )|n) = 0
(1.42)
Note. Les propositions 1.27 et 1.26 sont des propositions locales, au voisinage de l’interface. On s’attend
donc à ce qu’elles restent vraies dans des situations plus générales où les placements des milieux sont non bornés,
ou encore où aucun des milieux n’entoure entièrement l’autre. Le lecteur pourra alors facilement généraliser
les résultats locaux précédents en considérant l’exercice suivant.
Exercice 1.6.2 On se donne une surface plongée de classe C 1 , Σ21 . Soit x0 un point de Σ21 et U un
ouvert contenant x0 tel qu’il existe un ouvert V de R3 contenant (0,0,0) et un C 1 -difféomorphisme Ψ de U
sur V = Ψ(U ) vérifiant Ψ(x0 ) = (0,0,0) et tel que les points de U ∩ Σ21 soient les points x de U pour lesquels
x3 = 0 (voir la proposition B.1). Soit O ⊂ U l’image réciproque par Ψ d’une sphère de centre (0,0,0) strictement
contenue dans V . On désigne par O1 les points de O vérifiant x3 > 0 et par O2 ceux vérifiant x3 < 0.
1. Faire un dessin. Vérifier que O1 et O2 sont des domaines connexes Lipschitziens disjoints situés de part
et d’autre de leur frontière commune S0 = O ∩ Σ21 .
2. Soit t0 ∈ R un instant et I un intervalle contenant t0 . On se donne deux familles d’applications
{χ1t0 (t)}t∈I et {χ2t0 (t)}t∈I définies respectivement sur O1 et O2 telles que:
– Chaque χit0 est de classe C 1 (I,C 1 (Oi ,E)).
– χit0 (t0 ) = Id
– ∀t ∈ I : χ1t0 (S0 ) = χ2t0 (S0 )
Montrer qu’il existe un intervalle ouvert J contenant t0 tel que:
(a) {χit0 (t)}t∈J est un mouvement relatif de milieu continu pour la configuration de référence O i .
1.6. MOUVEMENTS DE MILIEUX NON MISCIBLES. INTERFACES MATÉRIELLES.
(b)
(c)
(d)
(e)
43
Le prolongement de {χit0 (t)}t∈J sur S0 est un mouvement d’interface.
Les domaines χ1t0 (t)[O1 ] et χ2t0 (t)[O2 ] sont pour chaque t ∈ J des domaines Lipschitziens disjoints.
Pour chaque t ∈ J, il y a continuité des vitesses normales à l’interface.
Si l’un des deux mouvements est stationnaire alors les vitesses normales à l’interface sont nulles.
44
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
1.7
Onde de discontinuité.
Heuristique
Dans certaines situations (changement de phase, onde de choc, etc...) le milieu est traversé par une interface
(ou onde), qui est en particulier une surface de discontinuité du champ de vitesse, ayant un mouvement propre. Par conséquent,
et contrairement au cas non miscible, l’interface n’est pas matérielle car la position des discontinuités dans la configuration de
référence n’est pas fixe comme on va le voir (c.f. proposition1.30). Cependant, le mouvement des particules qui sont sur l’interface
à un instant donné est alors bien défini, seule sa régularité est affaiblie, contrairement au cas non miscible. En général, cette perte
de régularité s’accompagnera d’un changement des propriétés physiques (i.e. thermodynamiques) du milieu. Autrement dit, une
particule peut changer de "nature" au cours du mouvement selon qu’elle est ou non balayée par l’interface.
B2 (t)
N21
S t0
St
X
ψ t0
φ(t)
X0
B1 (t)
δt0 (t)
Ω2t
φ(t0 )
B
ψ(t0 )
Ω1t
ψ(t)
x
Σt
x0
P
Σ t0
S
Ωt
Fig. 1.6 – Surface de discontinuité. Cas d’une onde ou de deux milieux miscibles.
Comme l’interface n’est pas matérielle, il est plus simple de considérer des mouvements absolus (voir
la note en fin de paragraphe). Soit donc B un ouvert connexe de E qui est une configuration de référence
pour le milieu, ou une partie de cette configuration. Le mouvement du milieu est ici donné par une famille
d’homéomorphismes de B, {φ(t)}t∈I , où I est un intervalle ouvert, telle que φ ∈ C(I ×B,E). On respecte ainsi les
conditions habituelles d’intégrité et de continuité d’un mouvement de milieu continu. L’ensemble Ω t = φ(t)[B]
est donc un ouvert connexe de E et c’est par définition la configuration du milieu à l’instant t, ou encore son
placement.
Le mouvement propre de l’interface dans la configuration de référence est par hypothèse un mouvement
d’interface, {ψ(t)}t∈I , défini sur une surface connexe orientable de classe C 1 , S, et sur l’intervalle de temps I,
à valeurs dans E. Il est tel qu’à chaque instant t ∈ I, la surface St = ψ(t)[S] sépare B en deux ouverts connexes
non vides disjoints (voir la figure 1.6). Désignons par Bi (t0 ) (i = 1,2) ces deux ouverts à un instant particulier
t0 . Comme St0 est orientable, il existe un champ continu sur S de normales unitaires à S t0 qui est orienté de
B1 (t0 ) vers B2 (t0 ). Désignons le par N21 (t0 ). Comme le mouvement de l’interface est continu en temps, il existe
alors une unique application continue définie sur I × S, N21 (t), qui à chaque instant t et à chaque point P ∈ S
associe une normale unitaire à St en ψ(t,P ) tel que ce champ de normales coïncide avec N21 (t0 ) à t0 . A chaque
instant t, on désigne alors par B2 (t) celui des deux ouverts qui est situé du même côté que N21 (t) par rapport
à St et on désigne par B1 (t) l’autre. Avec cette convention et par continuité, une particule de B qui n’est pas
sur l’interface à un instant donné reste du même côté de l’interface, et donc dans le même B i (t) (i.e. de même
i), pour les t voisins de cet instant.
Comme le mouvement de l’interface est à priori indépendant de celui du milieu, la surface S t ∩ B n’a pas de
raison d’être fixe dans B et l’interface n’est pas matérielle, contrairement au cas immiscible. Cependant, comme
φ(t) est un homéomorphisme, l’image Σt = φ(t)[St ∩ B] est à chaque instant une surface topologique qui sépare
1.7. ONDE DE DISCONTINUITÉ.
45
Ωt en deux ouverts connexes disjoints, Ωit = {φ(t)}[Bi (t)]. La surface Σt est la position réelle de l’interface
ou de l’onde à l’instant t. On va voir que moyennant quelques hypothèses naturelles c’est bien une surface
régulière et que sa vitesse de propagation est bien définie. On notera que, contrairement à la situation du cas
immiscible, le mouvement des particules qui sont sur l’interface à un instant donné (i.e. l’homéomorphisme
φ(t)) est bien défini à tout instant, et c’est précisément ce qui autorise à décrire la position réelle de l’interface
par transport convectif.
On suppose bien sûr que le mouvement des points hors de l’interface est un mouvement de milieu continu
régulier. C’est à dire que pour chaque t ∈ I et pour chaque ouvert O ⊂ B tel que 23 d(O,St ) > 0, on peut trouver
un intervalle ouvert IO ⊂ I contenant t tel que la restriction du mouvement {φ(t)}t∈IO à O soit un mouvement
de milieu continu au sens de la définition 1.1 sur l’intervalle de temps I O . Il en résulte, en particulier, que le
tenseur des déformations absolues F(t), le champ de vitesse Lagrangien V(t) ainsi que son gradient sont bien
définis à chaque instant t ∈ I sur tout B − St et qu’ils y sont spatialement continus. On notera qu’à chaque
instant t ∈ I, la restriction de φ(t) à l’ouvert B − St = B1 (t) ∪ B2 (t) est donc un difféomorphisme. On désignera
par Fi (t) et Vi (t) les restrictions des champs F(t) et V(t) à chaque Bi (t). Les points de St ∩ B sont des points
frontières des Bi (t) et on supposera alors que les champs Fi (t), Vi (t) et ∇ Vi (t) se prolongent continûment sur
St . On désignera par vi les deux champs de vitesses Eulériens correspondants, définis sur Ω it . Ils se prolongent
donc continûment sur Σt . A noter que les prolongements sur l’interface seront en général différents et que tous
ces champs peuvent donc présenter une discontinuité de première espèce à la traversée de l’interface.
Notons que les jacobiens det(Fi (t)) se prolongent continûment sur St . Pour simplifier, on supposera que
ces prolongements sont non nuls. Il en résulte que le prolongement de F i (t) à St est en chaque point une
application linéaire inversible. Le champ ∇ vi (t) = ∇ Vi (t) · F−1
i (t) se prolonge donc continûment sur Σt . On
en déduit également:
I Proposition 1.29 A chaque instant t ∈ I, Σt est une surface orientable de classe C 1 . De plus, pour
chaque vecteur T tangent à St en un point X ∈ St on a la relation:
[F2 (t,X) − F1 (t,X)] · T = 0
(1.43)
En effet, au vu des conditions ci-dessus sur les Fi , la restriction de φ(t) à Bi (t) se prolonge continûment en
un C 1 -plongement de St ∩ B sur Σt . Cette dernière est donc une surface de classe C 1 orientable. La relation
(1.43) exprime alors simplement le fait que la transportée par φ(t) d’une courbe de classe C 1 tracée sur St
est une courbe de classe C 1 de Σt , ce qui implique que le "transporté" d’un vecteur tangent à St est un
même vecteur tangent à Σt , qu’il soit "vu" du côté 1 ou du côté 2 (voir la proposition 1.19). Les détails de la
démonstration sont laissés au lecteur.
Examinons maintenant la vitesse de l’interface. Il y a deux mouvements surfaciques distincts: le mouvement
apparent de l’interface dans la configuration de référence, ψ(t), et son mouvement réel résultant de son transport
convectif par φ(t). La vitesse de l’interface dans la configuration de référence est bien définie sans ambiguïté
puisque ψ est un mouvement d’interface, on la désignera par U dans ce qui suit. Par contre, il n’est pas évident
que sa vitesse réelle soit bien définie puisque il n’est pas possible de composer les dérivations. En fait, la vitesse
réelle de l’interface est bien définie, moyennant une hypothèse naturelle supplémentaire, mais pour le voir et
introduire cette hypothèse il est nécessaire de procéder à un passage à la limite en prolongeant au préalable
le mouvement de l’interface dans la configuration de référence aux particules voisines. Pour ce qui suit, on
désignera par W et w les champs des vitesses réelles de l’interface, respectivement Lagrangiens et Eulériens.
Soit donc P un point de S. A un instant t0 quelconque, posons X0 = ψ(t0 ,P ) ∈ St0 . La vitesse apparente
de l’interface dans la configuration de référence est donc donnée par:
U(X0 ,t0 ) =
∂
ψ(t,P )|t=t0
∂t
On peut également exprimer cette vitesse en considérant le mouvement relatif ψ t0 (t) = ψ(t) ◦ {ψ(t0 )}−1 de
l’interface par rapport à la position St0 à t0 . On a de même:
U(X0 ,t0 ) =
∂
ψt (t,X0 )|t=t0
∂t 0
Quand le point X0 appartient à B, posons comme d’habitude x0 = φ(t0 ,X0 ) ∈ Σt0 . Par continuité et puisque
B est ouvert, on peut trouver un voisinage ouvert U ⊂ St0 ∩ B de X0 dans St0 et un intervalle ouvert J ⊂ I
contenant t0 tel que la restriction de {ψt0 (t)}t∈J à U soit un mouvement relatif d’interface dont l’image est
23
Rappelons que la distance entre deux parties de E est la borne inférieure des distances entre les points de l’une et l’autre
partie.
46
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
à chaque instant contenue dans B. Le mouvement réel de l’interface au voisinage du point x 0 ∈ Σt0 et de
l’instant t0 est alors, d’après la proposition précédente, donné par la famille de C 1 -plongements de U dans E:
δt0 (t) = φ(t) ◦ ψt0 (t) : U 7−→ Σt . Il n’a néanmoins, à priori, pas la régularité d’un mouvement d’interface 24 . On
sait cependant qu’un mouvement relatif d’interface se prolonge localement en un mouvement de milieu continu
3D. Ceci va nous permettre de définir sans ambiguïté la vitesse réelle de l’interface dans la configuration
actuelle. En effet, désignons sans changer de notation par ψt0 (t) un mouvement relatif de milieu continu 3D
qui coïncide avec le mouvement relatif d’interface sur un voisinage de (t 0 ,X0 ), ce qui est toujours possible
d’après le théorème 1.1. Ainsi, le mouvement réel δt0 (t) de l’interface se prolonge localement en un mouvement
de milieu 3D, que l’on notera encore δt0 (t). Considérons un point X1 situé au voisinage de St0 et qui appartient
à B1 (t0 ). Dans le mouvement relatif d’interface, par continuité, le point ψt0 (t,X1 ) reste du même côté de St à
chaque instant, c’est à dire dans B1 (t). Par suite, la vitesse à l’instant t0 du point X1 dans le mouvement réel
de l’interface, δt0 , est donc bien définie par composition et est donnée par:
∂
[φ(t,ψt0 (t,X1 ))]|t=t0
∂t
= V1 (t0 ,X1 ) + F1 (t0 ,X1 ) · U(t0 ,X1 )
W1 (X1 ,t0 ) =
De la même manière, si on considère un point X2 appartenant à B2 (t0 ) au voisinage de X0 , on aura:
∂
[φ(t,ψt0 (t,X2 ))]|t=t0
∂t
= V2 (t0 ,X1 ) + F2 (t0 ,X2 ) · U(t0 ,X2 )
W2 (X2 ,t0 ) =
Ces deux vitesses admettent des limites quand Xi → X0 . On sait en effet, par hypothèse, que pour chaque
t fixé au voisinage de t0 , les champs Vi (t,ψt0 (t,Xi )) et Fi (t,ψt0 (t,Xi )) admettent des limites quand Xi tend
vers X0 en restant dans B i (t0 ). On va alors supposer que ces limites sont atteintes uniformément en t sur un
voisinage de t0 . Il résulte alors du théorème sur la convergence uniforme des suites de fonctions dérivables que
1) la fonction t 7→ φ(t,ψt0 (t,X0 )) est dérivable en t0 et 2) sa dérivée qui est donc la vitesse réelle de l’interface
est la valeur commune des deux limites limXi →X0 Wi (Xi ,t0 ), qui sont donc égales. Par conséquent, la vitesse
réelle Eulérienne de l’interface w(x0 ,t0 ) en (x0 ,t0 ) est bien définie et on a:
∂
[φ(t,ψt0 (t,X0 ))]|t=t0
∂t
= lim V1 (t0 ,X1 ) + F1 (t0 ,X1 ) · U(t0 ,X1 )
w(x0 ,t0 ) =
X1 →X0
X1 ∈B1 (t0 )
=
lim
X2 →X0
X2 ∈B2 (t0 )
(1.44)
V2 (t0 ,X2 ) + F2 (t0 ,X2 ) · U(t0 ,X2 )
D’où l’on déduit:
∀X0 ∈ St0 :
V1 (t0 ,X0 ) + F1 (t0 ,X0 ) · U(t0 ,X0 ) = V2 (t0 ,X0 ) + F2 (t0 ,X0 ) · U(t0 ,X0 )
Désignons par UN la vitesse normale de l’interface dans B. Le vecteur U(t0 ,X0 ) − UN (t0 ,X0 ) est tangent à
St0 en X0 et d’après la proposition 1.29 on sait alors que
[F2 (t0 ,X0 ) − F1 (t0 ,X0 )] · [U(t0 ,X0 ) − UN (t0 ,X0 )] = 0
Comme t0 est arbitraire, on déduit:
I Proposition 1.30 Les hypothèses sur le mouvement étant celles décrites plus haut. A chaque instant
t ∈ I le champ des vitesses réelles, w, de l’interface est bien défini sur Σ t . On a la relation de Hadamard:
∀x ∈ Σt :
[F2 (t,X) − F1 (t,X)] · UN (t,X) = v1 (t,x) − v2 (t,x)
(1.45)
où UN est la vitesse normale "apparente" de l’interface dans la configuration de référence au point X =
φ(t)−1 (x).
On notera donc qu’une discontinuité de la vitesse du milieu à la traversée de l’interface, alors même que le
mouvement du milieu est continu (i.e. est une une famille d’homéomorphismes), s’accompagne nécessairement
24
Pourquoi: justifiez.
1.7. ONDE DE DISCONTINUITÉ.
47
1) d’une discontinuité de son gradient de déformation et 2) d’une célérité non nulle de l’interface dans la
configuration de référence. Par suite, la surface de discontinuité ne peut pas être matérielle.
En pratique, on n’accède pas à UN mais on peut comparer les vitesses normales de l’onde et du milieu
dans la configuration réelle. En présence d’une onde de discontinuité de vitesse, la vitesse normale par rapport
à l’onde, vue de l’un ou l’autre côté, ne peut alors être nulle. En effet, supposons que pour t ∈ I et x ∈ Σ t on
ait sur la partie i la condition:
(w(t,x) − vi (t,x)|n) = 0
où n est une normale unitaire à Σt en x. D’après l’équation 1.44 on aurait donc:
(Fi (t,X) · U(t,X)|n) = 0
C’est à dire par transposition:
(U(t,X)|T Fi (t,X) · n) = 0
Or on sait, vu l’étude faite sur le transport des normales (c.f. équation 1.40), que le vecteur T Fi (t,X) · n est
normal à St en X. En conséquence, on aurait UN = 0 et la relation de Hadamard nous indique que l’on
devrait alors avoir continuité des vitesses, ce qui est absurde. On voit donc (c.f. proposition 1.26) qu’il y a une
différence fondamentale de comportement entre une onde et une interface entre deux milieux immiscibles.
Note sur le mouvement relatif. Dans ce qui précède on a considéré un mouvement absolu du milieu par
rapport à une configuration de référence arbitraire. Cependant, comme dans le cas d’un mouvement régulier,
seul le mouvement relatif, par rapport à une configuration effectivement occupée, est observable. Il est donc
naturel de se demander ce que devient la proposition précédente si on considère le mouvement relatif du milieu.
Contrairement au cas régulier, il ne suffit pas de changer partout les grandeurs Lagrangiennes absolues en les
grandeurs Lagrangiennes relatives. Pour s’en convaincre, considérons le mouvement relatif χ t (τ ) = φτ ◦φ−1
t par
rapport à une configuration Ωt . On a comme d’habitude χt (t) = Id et, par suite, le gradient de déformation
relatif Ft (t,X) à l’instant t est partout égal à l’identité, y compris sur la surface Σ t . Si la relation 1.45 restait
vraie à t = τ en remplaçant les gradients absolus par les gradients relatifs, on devrait avoir continuité de la
vitesse sur l’interface et, comme t est arbitraire, finalement l’interface ne serait pas une surface de discontinuité
de vitesses!
En fait, contrairement au gradient absolu de déformation dont les singularités sont localisés sur une seule
surface, il y a deux surfaces singulières pour le gradient de déformation relatif. En effet, on a par dérivation
composée:
−1
∇ χt (τ,X) = F(τ,φ−1
(t,φ−1
t (X)) · F
t (X))
Cette formule a un sens aux points X ∈ Ωt pour lesquels φ−1
t (X) n’est 1) ni sur Sτ et 2) ni sur St . Autrement
dit, X ne doit être ni sur Σt ni sur la position apparente à l’instant τ de l’interface dans Ωt . Désignons par
Σt (τ ) cette position apparente, c’est à dire:
Σt (τ ) = φt [S(τ ) ∩ B]
A t = τ ces deux surfaces sont confondues avec la position réelle de l’onde à l’instant t. Mais, comme on a vu
que l’interface ne pouvait être matérielle, pour τ au voisinage de t mais τ 6= t, les surfaces Σ t et Σt (τ ) sont
distinctes. Par suite, par composition, le gradient relatif de déformation ∇ χt (τ,X) subit une discontinuité de
première espèce à la traversée de Σt (τ ) et une autre à la traversée de Σt . Il admet comme limite Id quand
τ → t à X fixé hors de Σt , mais quand X est entre Σt et Σt (τ ) et que τ → t, le gradient relatif de tend
pas vers Id. Par conséquent, la condition de limite uniforme utilisée sur le gradient absolu pour obtenir les
relations (1.44) tombe en défaut pour les gradients relatifs quand τ = t. Par contre, cette condition est vérifiée
par les gradients relatifs pour τ 6= t au voisinage de t dès qu’elle l’est pour les gradients absolus. Pour τ 6= t,
notons alors Fit (τ,X) les deux limites du gradient relatif sur Σt (τ ) de part et d’autre. Les hypothèses sur le
mouvement absolu étant celles énoncées plus haut, on déduit donc la proposition:
I Proposition 1.31 On a la relation de Hadamard, pour τ 6= t et tout x ∈ Σ τ :
[F2t (τ,X) − F1t (τ,X)] · U(N,t) (τ,X) = v1 (τ,x) − v2 (τ,x)
où U(N,t) est la vitesse normale "apparente" de l’interface dans la configuration Ω t et X = χt (τ )−1 (x).
(1.46)
48
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Condition de saut sur les Jacobiens. Multiplions scalairement chaque membre de la relation (1.46)
par la normale unitaire n21 (τ ) à Στ , orienté de Ω1τ vers Ω2τ . Par définition d’une transposée, il vient:
(U(N,t) (τ,X)|[T F2t (τ,X) −T F1t (τ,X)] · n21 (τ )) = (v1 (τ,x) − v2 (τ,x)|n21 (τ ))
D’après la relation (1.39) sur les transports des normales, on a pour chaque i = 1,2:
n21 (τ ) dστ = det(Fit (τ ))T Fit (τ )−1 · n21 (t) dσt
où n21 (t) est une normale unitaire à Σt (τ ) également orientée de 1 vers 2. En notant, pour simplifier Jti les
jacobiens et en omettant la dépendance spatiale, il vient donc pour t 6= τ :
[Jt2 (τ ) − Jt1 (τ )](U(N,t) (τ )|n21 (t)) dσt = (v1 (τ ) − v2 (τ )|n21 (τ )) dστ
Le produit scalaire (U(N,t) (τ )|n21 (t)) n’est rien d’autre que la mesure algébrique, [Ut (τ )]21 de la vitesse normale.
On en déduit l’équation de saut des Jacobiens sur l’interface à tout instant τ 6= t:
[Jt2 (τ ) − Jt1 (τ )] [Ut (τ )]21 dσt = (v1 (τ ) − v2 (τ )|n21 (τ )) dστ
(1.47)
[|J2 (t)| − |J1 (t)|] U12 (t) dΣ = (v1 (t) − v2 (t)|n21 (t)) dσt
(1.48)
Les mêmes calculs en considérant le mouvement absolu et la relation (1.45) conduisent à un résultat analogue
pour les Jacobiens "absolus", en utilisant cette fois la relation (1.40):
U12 (t)
(Un (t)|N21 (t)).
où
=
Contrairement au cas des mouvements relatifs, cette relation est vraie sans restriction sur t.
On voit donc que pour qu’il y ait un saut de vitesse normale sur l’onde il est nécessaire qu’il y ait un saut
des jacobiens: le milieu doit nécessairement être compressible.
Variation relative de surface de l’onde. Notons également que si l’on multiplie une des deux égalités
de (1.44) par n21 (t), le même calcul que ci-dessus donne:
|Ji (t)|U12 (t) dΣ = (w(t) − vi (t)|n21 (t)) dσt
(1.49)
1.8. DÉRIVÉE PARTICULAIRE PONCTUELLE.
1.8
49
Dérivée particulaire ponctuelle.
Soit φ un mouvement de milieu continu 3D, au sens de la définition 1.1. Supposons qu’étant donné
un instant
S
t0 ∈ I et un point x0 ∈ Ωt0 on dispose d’une fonction g définie sur un voisinage ouvert U ⊂ t∈I {t} × Ωt de
(t0 ,x0 ) (voir le corollaire de la proposition 1.2) et à valeurs dans un espace vectoriel ou affine de dimension finie
sur R. Notons en particulier que ceci englobe toutes les fonctions usuelles en mécanique (vitesse, contraintes,
densité de masse, température, etc...). Par définition, on peut trouver un intervalle ouvert J contenant t 0 et
un ouvert O ⊂ Ωt0 contenant x0 tel que J × O ⊂ U . Posons X0 = φ−1 (t0 )(x0 ). Considérons la fonction G
définie sur J × φ−1 (t0 )(O) par:
G : (t,X) ∈ J × φ−1 (t0 )(O) 7→ G(t,X) = g(t,φ(t,X))
C’est la fonction Lagrangienne, définie sur la configuration de référence, dont la fonction Eulérienne associée
est la restriction de g à J × O. Si g admet des dérivées partielles en (t0 ,x0 ), il en est de même de G en (t0 ,X0 ).
On appelle alors dérivée particulaire de g en (t0 ,x0 ) dans le mouvement φ, la quantité:
∂G
Dg
(t0 ,x0 ) =
(t,X0 )|X0 =φ−1 (t0 )(x0 ),t=t0
def ∂t
Dt
Un calcul immédiat donne (avec la convention habituelle sur le gradient):
Dg
∂g
(t0 ,x0 ) = [
+ ∇ g · v](t0 ,x0 )
Dt
∂t
On notera que le membre de droite ne dépend que de la fonction g et du champ Eulérien v et donc uniquement
du mouvement relatif. Le plus souvent, et en particulier en Mécanique des Fluides, on admet alors que la
relation précédente définit la "dérivée particulaire" de la fonction g selon le champ v partout où cette formule
à un sens. D’où la définition générale:
Définition 1.19 (Dérivée particulaire) Soit U un ouvert de R × E contenant un point (t 0 ,x0 ). Soit
v : U 7−→ E un champ de vecteurs et g : U 7−→ A une fonction définie sur U et à valeurs dans un espace
vectoriel ou affine de dimension finie sur R qui admet au point (t0 ,x0 ) des dérivées partielles par rapport à t
et à x. On appelle alors dérivée particulaire de g en (t0 ,x0 ) selon le champ v la quantité:
Dg
∂g
(t0 ,x0 ) =
(t0 ,x0 ) + ∇ g(t0 ,x0 ) · v(t0 ,x0 )
Dt
∂t
(1.50)
Application: Méthode des caractéristiques. Supposons que l’on veuille "résoudre" l’équation aux
dérivées partielles hyperbolique, à priori non linéaire, suivante:

 ∂u(t,x) + ∇ u · f (u(t,x)) = 0
∂t

u(0,x) = u0 (x)
On cherche une solution u, assez régulière, à valeurs dans un espace vectoriel F de dimension finie sur R, la
variable spatiale x varie dans un espace affine E de dimension finie sur R associé à un espace vectoriel E, et
f : F 7→ E est une fonction donnée assez régulière.
Si le problème possède une solution u, on peut alors "interpréter" (par une généralisation formelle évidente)
à chaque instant t ∈ R le champ:
x ∈ E 7→ f (u(t,x))
comme le champ des vitesses Eulérien d’"un mouvement de milieu continu" défini sur E dont le mouvement
relatif par rapport à la configuration à l’instant t0 = 0 est (en omettant l’indice 0 pour le mouvement relatif):
(t,x) ∈ R × E 7→ y = χ(t,x)
qui est solution de l’équation différentielle:
dy
= f (u(t,y))
dt
y(0) = x
50
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Dire que u est solution de l’équation aux dérivées partielles revient à dire que la dérivée particulaire de u dans
ce mouvement est constamment nulle. Ainsi, u est constant le long de la trajectoire qui passe par x à l’instant
0 et est donc égal à sa valeur initiale u0 (x). Ce qui signifie que l’on a:
u(t,y) = u0 (x)
là où
y = χ(t,x)
Ainsi, l’équation différentielle de la trajectoire qui passe par x à l’instant 0 devient:
dy
= f (u0 (x))
y(0) = x
dt
Dont la solution est donc:
y = x + tf (u0 (x))
Ainsi, la solution u de l’équation aux dérivées partielles est-elle définie implicitement par:
(
u(t,y) = u0 (x)
y = x + tf (u0 (x))
Pour chaque valeur du vecteur u0 (x) ∈ F, la droite y = x+tf (u0 (x)) est appelée "caractéristique" de l’équation
aux dérivées partielles. Quand le problème est non linéaire (i.e. f non constant) et que u 0 n’est pas constant, il
y a en général plusieurs caractéristiques différentes qui peuvent passer par un même point y à un instant t ce
qui conduit à une singularité: la solution ne peut plus rester continue. Ainsi, la méthode des caractéristiques
fournit une solution régulière locale.
1.9. THÉORÈMES DE TRANSPORTS.
1.9
1.9.1
51
Théorèmes de transports.
Dérivée particulaire d’une intégrale de volume dans un mouvement régulier.
Soit φ un mouvement de milieu continu au sens de la définition 1.1 et soit t ∈ I. On désigne, comme
d’habitude, par χt le mouvement relatif à la configuration Ωt . On
S se donne un ouvert O de Ωt , un intervalle
ouvert J ⊂ I contenant t et une fonction g définie sur l’ouvert τ ∈J {τ } × χt (τ )[O] (voir le corollaire de la
proposition 1.2) et à valeurs dans un espace vectoriel (ou affine) réel de dimension finie. On suppose que pour
chaque τ ∈ J la fonction x ∈ χt (τ )[O] 7→ g(τ,x) est intégrable sur χt (τ )[O]. On considère alors pour chaque
τ ∈ J l’intégrale :
Z
G(τ ) =
g(τ,x)dx
χt (τ )[O]
C’est à dire que l’on suit "dans le mouvement de O" la quantité dont la densité volumique est à chaque
instant g(τ,·). On notera que l’intégrale ne dépend que du mouvement
relatif et non du mouvement absolu.
R
Par définition, on appelle donc dérivée particulaire de l’intégrale: O g(t,x) dx dans le mouvement relatif χt , à
l’instant t la quantité:
Z
D
g(t,x) dx = G 0 (t)
def
Dt O
sous réserve que la dérivée dans le second membre existe. Il s’agit donc du taux de variation de notre intégrale
à l’instant t quand on suit la matière dans son mouvement.
Notons que par changement de variable on se ramène à l’ouvert fixe Lagrangien O de la configuration Ω t
(c’est à dire aux particules elles mêmes):
Z
Z
Jt (τ,x) g(τ,χt (τ,x)) dx
G(t) =
g(τ,x) dx =
def
χt (τ )[O]
O
On suppose que g admet des dérivées partielles en tout point de sorte que sa dérivée particulaire soit bien définie
et on suppose également que la dérivation sous le signe somme en t est justifiée (voir les cas d’applications
plus loin). On déduit alors facilement, en utilisant la proposition 1.8, que:
Z
∂
G 0 (τ )|τ =t =
[Jt (τ,x) g(τ,χt (τ,x))]|τ =t dx
∂τ
O
Z
∂g
Jt (τ,x)|τ =t [g(t,x)div(v) +
=
(t,x) + ∇ g(t,x) · v(t,x)] dx
∂t
ZO
Dg
=
(t,x) + g(t,x)div(v(t,x))] dx
[
O Dt
D’où:
D
Dt
Z
g(t,x) dx =
O
Z
[
O
Dg
(t,x) + g(t,x) div(v(t,x))] dx
Dt
(1.51)
On a:
∂g
Dg
+ g div(v) =
+ ∇ g · v + g div(v)
(1.52)
Dt
∂t
Par suite, si O est un domaine Lipschitzien, quelque soit la "dimensionnalité" du champ g (i.e. scalaire ou
vectorielle), on a par le théorème de Stokes (voir la formule (C.3)) dès que la fonction 25 x 7→ g(t,x) ⊗ v(t,x)
est assez régulière (par exemple de classe C 1 sur O, mais en fait il suffit qu’elle soit dans un W 1,p ):
D
Dt
Z
g(t,x) dx =
O
Z
O
∂g
(t,x) dx +
∂t
Z
g(t,x)(v(t,x)|n) dσ
(1.53)
∂O
Ce qui est la relation de bilan "habituelle" dont l’interprétation est classique: le premier terme représente la
variation instantanée de la quantité g dans O et le second son flux au travers de la frontière.
Comme dans le cas de la dérivée particulaire ponctuelle, on voit que la dérivée particulaire d’une intégrale
ne dépend en fait du mouvement que par son champ de vitesse Eulérien à l’instant considéré et plus précisément
par la composante normale de ce champ sur le bord du domaine d’intégration.
25
On a noté g ⊗ v l’application u ∈ E 7−→ (v|u)g.
52
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Cas d’un champ scalaire ou vectoriel. Si g est un champ scalaire, (1.51) s’écrit aussi (en omettant
les dépendances en t,x pour simplifier):
D
Dt
Z
g dx =
O
Z
[
O
∂g
+ div(gv)] dx
∂t
et si c’est un champ vectoriel (i.e. à valeurs dans E):
D
Dt
Z
g dx =
O
Z
[
O
∂g
+ div(g ⊗ v)] dx
∂t
Cas usuels d’application des formules (1.51-1.53) Les formules s’applique pour un mouvement de
milieu continu ayant la régularité de la définition 1.1 dans les deux cas simples suivants pour lesquels les calculs
précédents sont justifiés.
1. Quand O est un domaine Lipschtzien strictement intérieur
à Ωt , c’est à dire si O ⊂ Ωt , la fonction g
S
est en général définie sur
un
domaine
plus
large
que
{τ
} × χt (τ )[O]. Ainsi,
τ ∈J
S
S la formule s’applique
si g est la restriction à τ ∈J {τ } × χt (τ )[O] d’une fonction de classe C 1 sur τ ∈J {τ } × χt (τ )[U ], sans
hypothèses supplémentaires, quand U est un ouvert vérifiant O ⊂ U ⊂ Ω t .
2. Quand O est un domaine Lipschtzien de Ωt dont tout ou partie du bord coïncide avec le bord de Ωt , la
formule s’applique si les champs Lagrangiens définis sur O, Vt et Gt (τ,X) = g(τ,χt (τ,X) sont de classe
C 1 sur J × O, où J est un intervalle ouvert contenant t.
A noter que quand Ωt est lui même un domaine Lipschitzien, le dernier cas justifie qu’on lui applique les
bilans intégraux (1.51-1.53).
Bilan sur un domaine dont on ne connaît que le mouvement de la frontière. Soit O un domaine
C 1 ou lipschitzien. Supposons que sa frontière ∂O soit animée d’un mouvement relatif d’interface de vitesse
normale vn = (V|n)n. Cette frontière est une surface compacte et, d’après le théorème 1.1, on sait que ce
mouvement d’interface peut se prolonger à tout
R l’espace. On en déduit que la formule (1.53) s’applique pour
calculer la dérivée particulaire de l’intégrale O g(t,x) dx quand on suit ∂O dans son mouvement.
Exercice 1.9.1 (Application.) Soit f une fonction définie et localement intégrable sur un ouvert contenant une sphère fermée de centre O et de rayon r. Montrer que:
Z
Z
d
f (x) dσ
f (x) dx = −→
→
dr ||−
||Ox||=r
Ox||≤r
Sachant que le volume de la sphère unité est V = 4/3π en déduire que sa surface est S = 4π.
Exercice 1.9.2 (Généralisation) Soit f une fonction définie et localement intégrable sur un ouvert U
contenant la fermeture d’un domaine O de classe C 2 qui peut être décrit par l’équation implicite F (x) ≤ r, où
F est non singulière et de classe C 2 dans U et est telle que l’équation F (x) = r soit une équation implicite de
la frontière de O. Justifier que pour tout dr assez petit l’ensemble des points qui vérifient F (x) ≤ r + dr est
un domaine C 2 et montrer que:
Z
Z
d
f (x)
f (x) dx =
dσ
∇
dr F (x)≤r
||∇
F (x)||
∂O
1.9.2
Dérivée particulaire d’une intégrale de volume dans un mouvement de milieux non miscibles.
On se place au voisinage d’un instant t0 et on considère "un" mouvement relatif de deux milieux immiscibles
au voisinage de t0 tel que défini au paragraphe 1.6.2. Comme le mouvement de chacun des deux milieux est
régulier, si on considère un domaine lipschitzien de fermeture entièrement contenue dans l’un ou l’autre milieu,
le résultat du paragraphe précédent s’applique, sous la première condition énoncée à la fin de ce paragraphe,
par exemple.
On va donc considérer le cas d’un domaine lipschitzien traversé par l’interface. Plus précisément, on se place
dans les conditions de la proposition 1.27 ou de l’exercice 1.6.2. Soit donc O un domaine connexe Lipschitzien
1.9. THÉORÈMES DE TRANSPORTS.
53
qui rencontre Σ21 . On pose Oi = O ∩ Ωi , S0 = O ∩ Σ21 , Oti = χit0 (t)[Oi ] et Ot = Ot1 ∪ Ot2 . On choisit O de
sorte que chaque Oi soit un domaine connexe Lipschitzien et que O = O1 ∪ O2 ∪ S0 (voir les figures 1.4 et
1.5). On sait qu’il existe un intervalle ouvert J ⊂ I, contenant t0 , tel que pour tout t ∈ J: Ot1 ∩ Ot2 = ∅. De
plus, pour chaque
t ∈ J, Oti est un domaine connexe lipschitzien. On se donne alors une fonction g, définie sur
S
l’ensemble t∈J {t} × Ot qui, d’après le corollaire de la proposition 1.2, est encore un ouvert. On ne demande
pas à g d’être définie sur l’interface mais on suppose que pour chaque t ∈ J l’application x ∈ O t 7−→ g(t,x) est
intégrable sur Ot et on considère la fonction du temps:
Z
g(t,x)dx
t ∈ J 7−→ G(t) =
Ot
On a:
G(t0 ) =
Z
g(t0 ,x)dx
Ot0
mais comme S0 est de volume nul, en prolongeant arbitrairement g(t0 ,·) sur S0 , si besoin, on a également:
Z
G(t0 ) =
g(t0 ,x)dx
O
R
Par définition, on appelle alors dérivée particulaire de l’intégrale: O g(t0 ,x) dx dans le mouvement χt0 (t), la
quantité:
Z
D
g(t0 ,x) dx = G 0 (t0 )
def
Dt O
sous réserve que la dérivée dans le second membre soit définie. Les calculs du paragraphe précédent ne sont
évidemment plus justifiés, cependant la formule (1.51) reste
S vraie. Voyons cela.
Pour chaque i = 1,2, notons gi la restriction de g à t∈J {t} × Oti . Par additivité de l’intégrale, on a:
Z
Z
∀t ∈ J : G(t) =
g1 (t,x)dx +
g2 (t,x)dx
Ot1
Ot2
Comme chaque mouvement relatif χit0 est un difféomorphisme de classe C 1 (Oi ), par changement de variable
on se ramène aux domaines fixes Oi :
Z
Z
det(F2t0 (t,x)) g2 (t,χ2t0 (t,x)) dx
det(F1t0 (t,x)) g1 (t,χ1t0 (t,x)) dx +
G(t) =
O2
O1
De manière à justifier les dérivations sous le signe somme on supposera que chaque fonction Lagrangienne:
Gi (t,x) = gi (t,χit0 (t,x)) est de classe C 1 sur J × Oi . A noter cependant que les prolongements des Gi et de
leurs gradients sur S0 peuvent être différents. Les calculs sur chaque Oi sont alors les mêmes qu’au paragraphe
précédent et il vient:
Z
Z
Dg1
D
[
g(t0 ,x) dx =
+ g1 div(v1 )] dx
Dt O
O1 Dt
Z
Dg2
[
+
+ g2 div(v2 )] dx
O2 Dt
où toutes les quantités dans le second membre sont évaluées à t0 . Puisque l’interface est de volume nul, on
retrouve bien la formule (1.51):
D
Dt
Z
g(t0 ,x) dx =
O
Z
[
O
Dg
(t0 ,x) + g(t0 ,x) div(v(t0 ,x))] dx
Dt
(1.54)
Si O est un domaine régulier, on peut examiner comment est modifiée la relation (1.53). On applique à chaque
intégrale le théorème de Stokes, ce qui est justifié par les hypothèses de régularité, et il vient:
Z
Z
Z
D
∂g1
dx +
g1 (v1 |n) dσ
g(t0 ,x) dx =
Dt O
∂O
O ∂t
Z 1
Z 1
∂g2
dx +
g2 (v2 |n) dσ
+
∂O2
O2 ∂t
54
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Sur S0 , on sait que les vitesses normales des deux milieux coïncident et comme les normales unitaires sortantes
sont opposées, on obtient la formule:
D
Dt
Z
g(t0 ,x) dx =
O
Z
O
∂g
(t0 ,x) dx +
∂t
Z
∂O
g(t0 ,x)(v(t0 ,x)|n) dσ −
Z
S0
(g2 − g1 )(wn |n21 )
(1.55)
où n21 est la normale unitaire à S0 , orientée de 1 vers 2 et où (wn |n21 ) est la valeur commune des (vi |n21 ) sur
S0 , wn étant la vitesse normale de l’interface. L’interprétation physique du terme supplémentaire par rapport
à (1.53) est simple: c’est le flux net "balayé" par l’interface. Il ne dépend pas de la numérotation des côtés, la
normale étant toujours orientée de 1 vers 2.
Si g ne subit pas de discontinuité sur S0 , on retrouve exactement la formule (1.53) du cas régulier. On
pouvait s’y attendre puisque alors les flux au travers de l’interface se compensent.
Cas d’application des formules (1.54,1.55) Les formules s’appliquent pour des mouvements de milieux immiscibles ayant la régularité indiquée au paragraphe 1.6.2, quand les fonctions Lagrangiennes G i sont
de classe C 1 sur J × O i . Ce sera par exemple le cas quand g sera la densité de masse, de quantité de mouvement, de moment cinétique ou d’énergie. A noter que la formule s’applique si O est l’un des O i , c’est à dire
si O est entièrement contenu dans l’un des deux milieux, que son bord contienne ou non tout ou partie de
l’interface. Les formules s’appliquent donc également si O est un des deux domaines Ω 1 ou Ω2 .
1.9.3
Dérivée particulaire d’une intégrale de volume en présence d’une onde de
discontinuité.
On considère ici un mouvement tel que défini au paragraphe 1.7 dont on reprend les notations. On désire
effectuer le bilan d’une quantité g sur un domaine O, connexe lipschitzien, occupé par le milieu à un instant
t0 , que l’on suit dans son mouvement. On s’intéresse au cas où le domaine O est traversé par la surface de
discontinuité Σt0 qui se propage à la vitesse w.
B2 (t)
N21 (t0 )
O
B1 (t)
φ(t)
St
S t0
Ω2t
B
Ω1t
φ(t0 )
O2 (t)
O1 (t)
Ot
Ω2t0
n21 (t0 )
Σ t0
χt0 (t)
O2
O
Ω1t0
Ωt
O1
Ω t0
Fig. 1.7 – Bilan avec onde de discontinuité.
Σt
1.9. THÉORÈMES DE TRANSPORTS.
55
On désigne par S0 l’intersection de Σt0 et de O et par O1 et O2 les intersections respectives de O avec Ω1t0
et Ω2t0 . On a donc (c.f. figures 1.7 et 1.8):
O = O 1 ∪ O2 ∪ S0
S1 = ∂O1 − S0
S2 = ∂O2 − S0
On suppose que chaque Oi est un domaine connexe lipschitzien. On désigne par n21 (t0 ) la normale unitaire
en chaque point de Σt0 , orientée de Ω1t0 vers Ω2t0 . On pose Ot = χt0 (t)[O]. On se donne un intervalle ouvert
S2
O2
w
n21
S0
S1
O1
n
Fig. 1.8 – Bilan avec surface de discontinuité.
J ⊂ I contenant t0 et tel que le domaine Ot soit à chaque instant séparé par Σt en deux domaines
S connexes
disjoints, ce qui est possible par continuité. On se donne alors une fonction g, définie sur l’ouvert t∈J {t} × Ωt
(c.f. exercice 1.1.1) et intégrable pour chaque t fixé sur Ot et on considère pour chaque t ∈ J l’intégrale :
Z
g(t,x)dx
G(t) =
χt0 (t)[O]
Comme dans le cas régulier, on appelle dérivée particulaire de l’intégrale:
relatif χt0 (t), à l’instant t0 la quantité:
Z
D
g(t0 ,x) dx = G 0 (t0 )
def
Dt O
R
O
g(t0 ,x) dx dans le mouvement
sous réserve que la dérivée dans le second membre existe. Si O = {φ(t0 )}−1 [O] est le domaine fixe Lagrangien
de la configuration de référence occupé par les particules qui sont dans O à t 0 , la fonction g est une fonction
Eulérienne dont la fonction Lagrangienne associée est la fonction G définie sur J × O par:
∀t ∈ J,∀X ∈ O :
G(t,X) = g(t,φ(t,X))
On fait sur g des hypothèses analogues à celle faites pour le mouvement. En particulier, on suppose que
pour tout ouvert U ⊂ O tel que d(U,St ) > 0, la fonction G est de classe C 1 sur IU × U où IU est un voisinage
ouvert de t dans J. Il en résulte que la fonction G admet en tout point (X,t) ∈ O × J avec X 6∈ S t des
dérivées partielles en temps et en espace. A un instant t, la fonction G ainsi que ses dérivées partielles sont
spatialement continues sur chaque domaine ouvert Oi (t) = O ∩ Bi (t). On supposera alors, comme pour le
mouvement, que les restrictions de ces fonctions à chaque Oi (t) sont dans C(Oi (t)), c’est à dire qu’elles se
prolongent continûment sur le bord et en particulier sur St . A noter que les prolongements de chaque côté
peuvent être distincts. Enfin, et comme pour le mouvement, on supposera que les prolongements sur S t0 de la
fonction X 7→ G(t,ψt0 (t,X)) quand X reste d’un même côté de St0 sont uniformes en temps.
A noter qu’à chaque instant t ∈ J, l’ouvert χt0 (O) est la réunion des deux ouverts disjoints Oi (t) =
φ(t)[Oi (t)], situés de part et d’autre de Σt . On notera alors gi (t,·) la restriction de g à Oi (t).
1.9.3.1
Approche "physique" Eulérienne.
Comme les Oi (t) sont disjoints, on a:
G(t) =
Z
g1 (t,x) dx +
O1 (t)
Z
g2 (t,x) dx
O2 (t)
56
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
En admettant que les dérivées à l’instant t0 des deux intégrales soient bien définies, on a:
Z
Z
Z
d
d
D
g(t0 ,x) dx = [
g1 (t,x) dx]|t=t0 + [
g2 (t,x) dx]|t=t0
Dt O
dt O1 (t)
dt O2 (t)
Pour évaluer chaque dérivée, qui ne sont pas des dérivées particulaires, on applique néanmoins la formule de
bilan Eulérien (1.53) dont on admet l’"évidence physique" (on peut aussi appliquer directement (1.55) à tout
le domaine, en admettant l’évidence physique, ce qui revient au même). Faisons le pour le domaine numéro 1.
Les points de ∂O1 sont d’une part les points de S1 qui ont la vitesse v1 et d’autre part les points de S0 qui
ont la vitesse w. Il vient donc, puisque n21 est orientée vers l’extérieur de O1 :
Z
Z
Z
Z
d
∂g1
[
g1 (t,x) dx]|t=t0 =
dx +
g1 (v1 |n) dσ +
g1 (w|n21 ) dσ
dt O1 (t)
O1 ∂t
S1
S0
où toutes les quantités sont calculées à l’instant t0 . Comme v1 se prolonge par continuité sur S0 , on peut
transformer le membre de droite:
Z
Z
Z
Z
∂g1
d
dx +
g1 (t,x) dx]|t=t0 =
g1 (v1 |n) dσ +
g1 (w|n21 ) dσ
[
dt O1 (t)
S1
O1 ∂t
S0
Z
Z
g1 (v1 |n21 ) dσ
g1 (v1 |n21 ) dσ −
+
S0
S0
Z
Z
Z
∂g1
=
dx +
g1 (v1 |n) dσ −
g1 (v1 − w|n21 ) dσ
O1 ∂t
∂O1
S0
Comme g1 et v1 sont de classe C 1 (après prolongement) sur O 1 on peut appliquer le théorème de Stokes. Il
vient:
Z
Z
Z
∂g1
d
[
g1 (t,x) dx]|t=t0 =
g1 (v1 − w|n21 ) dσ
[
+ g1 div(v) + ∇ g1 · v] dx −
dt O1 (t)
O1 ∂t
S0
Z
Z
Dg1
[
=
g1 (v1 − w|n21 ) dσ
+ g1 div(v)] dx −
O1 Dt
S0
On a un résultat analogue pour O2 . En additionnant 26 , il vient:
Z
Z
Z
D
Dg
[
g(t0 ,x) dx =
[g2 (v2 − w|n21 ) − g1 (v1 − w|n21 )] dσ
+ gdiv(v)] dx +
Dt O
O Dt
S0
où la fonction dans l’intégrale de volume est bien définie presque partout (i.e. sauf sur Σ t0 ). On définit le saut
de g(v − w|n) au travers de Σt en un point x ∈ Σt à un instant quelconque t par:
[|g(v − w|n)|]21 = [g2 (v2 − w|n21 ) − g1 (v1 − w|n21 )]
On notera que le saut ne dépend pas du choix de numérotation des domaines, en convenant que l’orientation
de la normale à Σt qui en résulte est toujours de 1 vers 2. Finalement, le bilan s’écrit:
D
Dt
Z
g(t0 ,x) dx =
O
Z
[
O
Dg
+ gdiv(v)] dx +
Dt
Z
S0
[|g(v − w|n)|]21 dσ
(1.56)
où toutes les quantités dans le membre de droite sont calculées à l’instant t 0 .
1.9.3.2
Approche Lagrangienne.
On se ramène au domaine fixe O de la configuration de référence absolue, traversé à chaque instant t ∈ J
par la surface de discontinuité St qui le sépare en deux domaines disjoints O1 (t) et O2 (t). Comme φ(t) est de
classe C 1 (Oi (t)) par hypothèse, les changements de variables sont justifiés et il vient:
Z
Z
|J2 (t,X)|G2 (t,X)dX
|J1 (t,X)|G1 (t,X)dX +
G(t) =
O1 (t)
26
O2 (t)
A noter, qu’en additionnant sans transformer les flux en divergences, on obtient exactement la formule (1.55).
1.9. THÉORÈMES DE TRANSPORTS.
57
où les Gi sont les fonctions Lagrangiennes associées aux gi , c’est à dire:
Gi (t,X) = gi (t,φ(t,X))
Pour évaluer la dérivée à l’instant t0 d’une des deux intégrales on procède alors par dérivation "composée", ce
qui est justifié par les hypothèses faites mais dont on laisse les détails techniques
de la démonstration au lecteur
R
d
(c’est toutefois "géométriquement" évident). C’est à dire que la dérivée [ dt
|J1 (t,X)|G1 (t,X)dX]|t=t0 est
O1 (t)
la somme du taux de variation de l’intégrale quand le domaine est fixé augmenté du taux de variation dû au
mouvement indépendant de la frontière, considéré comme un mouvement régulier de milieu continu défini sur
tout l’espace en vertu du théorème 1.1, quand l’intégrande est fixée par sa valeur à t 0 et prolongée continûment
au delà de ∂O1 (t0 ), ce qui est possible car O1 (t0 ) est Lipschitzien (voir la proposition C.3 et les remarques
sur le cas Lipschitzien). La première variation se calcule par dérivation sous le signe somme, ce qui est justifié
par la régularité des champs à l’intérieur de O1 (t0 ). Pour calculer la seconde on note que le mouvement de la
frontière est uniquement celui des points de St qui se déplacent à la vitesse normale UN (t). Comme la normale
N21 est vers l’extérieur, il vient donc d’après la proposition 1.8:
Z
d
[
|J1 (t,X)|G1 (t,X) dX]|t=t0 =
dt O1 (t)
Z
∂
|J1 (t0 ,X)|[G1 (t0 ,X)div(v1 ) + G1 (t0 ,X)] dX
∂t
O1
Z
|J1 (t0 ,X)|G1 (t0 ,X)(UN (t0 )|N21 (t0 )) dΣ
+
O∩St0
On a une formule analogue pour O2 , avec un signe négatif devant l’intégrale de surface puisque N21 est alors
vers l’intérieur:
Z
d
|J2 (t,X)|G2 (t,X) dX]|t=t0 =
[
dt O2 (t)
Z
∂
|J2 (t0 ,X)|[G2 (t0 ,X)div(v2 ) + G2 (t0 ,X)] dX
∂t
O2
Z
|J2 (t0 ,X)|G2 (t0 ,X)(UN (t0 )|N21 (t0 )) dΣ
−
O∩St0
On ramène les intégrales de volumes, par changement de variable, sur les domaines Eulériens O i ⊂ Ωt , c’est à
dire (pour O1 par exemple):
Z
Z
Dg1
∂G1
] dX =
] dx
[g1 div(v1 ) +
|J1 |[G1 div(v1 ) +
∂t
Dt
O1
O1
où toutes les quantités sont évaluées à t0 . En rassemblant les expressions obtenues pour les deux domaines, il
vient:
Z
Z
Dg
0
G (t0 ) =
+ gdiv(v) dx +
[G1 |J1 | − G2 |J2 |](UN (t0 )|N21 (t0 )) dΣ
O Dt
O∩St0
On ramène la dernière intégrale de surface sur S0 grâce à la formule (1.49). Il vient:
Z
Z
Dg
0
[
[g2 (v2 − w|n21 ) − g1 (v1 − w|n21 )] dσ
+ gdiv(v)] dx +
G (t0 ) =
Dt
S0
O
On retrouve donc l’expression (1.56) qui est ainsi justifiée. Il en résulte, d’ailleurs, que la formule (1.55) obtenue
pour un bilan où la surface de discontinuité sépare deux milieux immiscibles reste vraie pour une onde.
Notons que dans le cas de milieux non miscibles, on a trivialemment: [|g(v − w|n)|] 21 = 0, puisque l’on a
la condition cinématique (vi − w|n) = 0 pour i = 1,2. Par suite, l’application formelle de la relation (1.56)
au cas de milieux non miscibles, redonne la relation (1.54). On peut donc considérer que la relation de bilan
(1.56) est valable dans les deux situations.
Cependant, il ne faudrait pas conclure que (1.54) se déduit de (1.56), contrairement à ce qui est fait dans de
nombreux ouvrages de MMC. En effet, ce n’est pas rigoureux et c’est même contradictoire car si (v i −w|n) = 0
on sait que la relation de Hadamard implique la continuité des vitesses à la traversée de l’onde alors que pour
des milieux immiscibles il peut y avoir glissement le long de l’interface: il s’agit de deux situations physiquement
et mathématiquement distinctes.
58
1.9.4
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Dérivée particulaire d’une intégrale de surface dans un mouvement régulier.
On considère un mouvement relatif de milieu continu régulier χt et on se donne une surface plongée de
classe C 1 , Σt , de la configuration Ωt que l’on suit dans son mouvement.
Cas général. Soit Σ ⊂ Σt une partie bornée de Σt strictement intérieure
à Ωt , c’est à dire: Σ ⊂ Ωt . Soit
S
g une fonction assez régulière, par exemple de classe C 1 , définie sur t {t} × Ωt et à valeurs dans un espace
vectoriel réel de dimension fini. Considérons la quantité:
Z
g(τ,x) dσ
G(τ ) =
χt (τ )[Σ]
Par définition, la dérivée particulaire de cette intégrale de surface est:
Z
D
[ g(t,x) dσ] = G 0 (t)
Dt Σ
D’après la formule (1.38) du paragraphe (1.4.5), on peut ramener l’intégrale G(τ ) sur le domaine fixe Σ:
Z
1
2
g(τ,χt (τ,x))Jt (τ ) [C−1
G(τ ) =
t (τ )(n,n)] dσ
Σ
où n est un champ de normales unitaires à Σt . Par suite, en dérivant sous le signe somme, il vient:
Z
Z
Z
D
Dg
∇v · n|n)] dσ
[ g(t,x) dσ] =
dσ +
g[div(v) − (∇
Dt Σ
Σ
Σ Dt
n
t
Σ
x
∂Σ
n̂
Fig. 1.9 – Cas où Σ est un domaine 2-régulier de Σt .
Cas où Σ est assez régulière. On va maintenant supposer, pour simplifier, que Σ est l’image d’un
domaine 2-régulier D du plan - par exemple un disque - par un C 2 paramétrage local (O,g) de Σt , avec D ⊂ O.
Ainsi, Σ est bornée, son bord ∂Σ est une courbe de classe C 2 régulière et Σ est d’un même côté de ce bord. Dans
ces conditions, pour calculer la seconde intégrale sur Σ, on la ramène en une intégrale sur D conformément à
la définition même d’une intégrale de surface, puisque l’on dispose d’un paramétrage. On peut alors appliquer
la formule de Green-Riemann à l’intégrale plane. Après calculs (laissés au lecteur à titre d’exercice) et retour
sur Σ, il vient:
Z
Z
Z
Dg
D
(v|n̂) dl
[ g(t,x) dσ] = [
+ 2gH(v|n)] dσ +
(1.57)
Dt Σ
Σ Dt
∂Σ
où H est la courbure moyenne et où n̂ est en chaque point x de ∂Σ la normale unitaire à ∂Σ située dans le
plan tangent à Σt en x et orientée vers l’extérieur de Σ (voir la figure).
Application. Prenons Ωt = E, g = 1 et considérons un mouvement relatif qui est une translation à
vitesse constante. Comme la formule précédente est vraie pour toute valeur de la vitesse, on en déduit pour
toute les surfaces Σ du type décrit plus haut 27 :
Z
Z
2
(1.58)
Hn dσ +
n̂ dl = 0
Σ
27
∂Σ
En fait, les formules 1.57 et 1.58 sont vraies pour tous les domaines 2-réguliers de Σ t , leur définition est une généralisation
immédiate pour les surfaces de celle d’un domaine 2-régulier du plan: voir [1].
1.9. THÉORÈMES DE TRANSPORTS.
59
En particulier, si Ω est un domaine 2-régulier de E, son bord est une surface fermée de classe C 2 et on en
déduit (en pavant le bord) la formule:
Z
(1.59)
Hn dσ = 0
∂Ω
60
1.10
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Mouvement isovolume. Milieux incompressibles.
On dit qu’un mouvement de milieu continu φ est isovolume, si il existe un instant t 0 tel que son mouvement
relatif χt0 conserve les volumes. C’est à dire:
Z
Z
dx
(1.60)
dx =
∀t ∈ I,∀A ∈ Ωt0 :
χt0 (A,t)
A
Considérons d’abord des mouvements réguliers au sens de la définition 1.1. Par changement de variable, il
vient:
Z
Z
det(Ft0 (t,x))dx
dx =
∀t ∈ I,∀A ∈ Ωt0 :
A
A
La relation étant vraie pour toute partie cubable A, on en déduit:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt0 : det(Ft0 (t,x)) = 1
(1.61)
∀(t,τ ) ∈ I × I,∀x ∈ Ωt : det(Ft (τ,x)) = 1
(1.62)
En conséquence, par composition, on a également:
et par suite, tous les mouvements relatifs χt du mouvement absolu φ conserve le volume, quelque soit t. En
dérivant la relation (1.61), par rapport à t et en utilisant la proposition 1.8, on en déduit la condition Eulèrienne
équivalente:
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt : div(v) = 0
(1.63)
A noter que
R l’on peut également obtenir directement cette condition en écrivant que la dérivée particulaire de
l’intégrale A dx est nulle pour toute partie cubable A.
A noter que, comme le déterminant d’une transformation orthogonale vaut ±1, si un mouvement est
isovolume alors tout mouvement déduit de ce mouvement par changement de référentiel l’est également
On dit qu’un milieu est incompressible si il ne peut subir que des mouvements isovolumes.
Mouvement isovolume en présence d’une onde de discontinuité. On considère ici un mouvement
tel que défini au paragraphe 1.7 dont on reprend les notations. On suppose que ce mouvement est isovolume.
On sait qu’au voisinage d’une particule située en dehors de la surface de discontinuité le mouvement est régulier
sur une durée non nulle. Par suite, de part et d’autre de l’onde on a la condition d’incompressibilité:
∀t ∈ I,∀x ∈
/ Σt : div(v) = 0
Et on a également la condition d’incompressibilité Lagrangienne:
∀τ ∈ I − {t},∀x ∈
/ Σt (τ ) : det(Ft (τ,x)) = 1
Par conséquent la limite, à τ 6= t fixé, du Jacobien det(Ft (τ,x)) quand x tend vers la surface de discontinuité
en restant d’un même côté de Σt (τ ) vaut 1 et il n’y a donc pas de saut du Jacobien à la traversée de l’onde.
De la relation (1.47) on déduit alors qu’il y a continuité de la vitesse normale à la traversée de l’onde. C’est à
dire:
(1.64)
∀t,∀x ∈ Σt : [|(v|n)|]21 = 0
A noter que l’on obtient le même résultat en étudiant la dérivée particulaire du volume. En effet, puisque le
volume est conservé, pour un domaine O traversé par l’onde, on a par définition:
Z
D
dx = 0
Dt O
Appliquons alors la relation (1.56) avec g = 1. Il vient:
Z
Z
Z
D
[|(v − w|n)|]21 dσ
div(v) dx +
0=
dx =
Dt O
S0
O
Comme div(v) = 0 p.p., il reste
Z
S0
[|(v − w|n)|]21 dσ = 0
et comme cette relation est vraie pour tout S0 assez petit, il vient:
ce qui est équivalent à la relation (1.64).
∀x ∈ Σt : [|(v − w|n)|]21 = 0
1.11. MASSE ET DENSITÉ DE MASSE.
1.11
1.11.1
61
Masse et densité de masse.
Densité de masse
La quantité fondamentale qui fait qu’un milieu continu a un comportement dynamique décrit par la mécanique est sa masse. Ainsi, à toute configuration Ω ⊂ E d’un milieu continu - que ce soit une configuration de
référence pour un mouvement ou une configuration occupée au cours d’un mouvement - on associe une mesure
M sur les parties cubables de cette configuration appelée masse sur Ω, telle que toute partie bornée ait une
masse finie. Pour un milieu tridimensionel le postulat fondamental est que la masse de toute partie de volume
nul est nulle.
En conséquence, si un ouvert Ω ⊂ E est une configuration d’un milieu continu, la masse M sur cette
configuration est donc une mesure σ-finie sur la tribu de Lebesgue de Ω, absolument continue par rapport
à la mesure volume. D’après le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue, il existe donc une unique fonction
mesurable positive, localement intégrable, ρ, telle que la masse de toute partie cubable A ⊂ Ω soit:
Z
M (A) =
ρ(x) dx
A
Cette fonction est appelée densité de masse sur la configuration Ω.
1.11.2
Principe de conservation de la masse
En mécanique non relativiste il y a conservation de la masse lors des mouvements. Soit alors φ un mouvement
régulier de milieu continu relativement à une configuration de référence B. Soit M 0 la masse sur la configuration
de référence et Mt la masse sur la configuration Ωt . Le principe de conservation signifie que la masse Mt (A)
de toute partie cubable A ⊂ Ωt est exactement égale à la masse M0 (A) de la partie A = φ(t)−1 (A) de la
configuration de référence, constituée des particules qui sont dans A à l’instant t. C’est à dire, en introduisant
les densités ρ0 et ρ(t) sur B et Ωt respectivement:
Z
Z
ρ0 (X) dX
ρ(t,x) dx =
∀A ⊂ Ωt :
A
φ−1
t (A)
Comme φ(t) est un C 1 difféomorphisme on peut alors changer de variable et ramener la seconde intégrale sur
A . Il vient:
Z
Z
ρ0 (φ(t)−1 (x))
ρ0 (X) dX =
dx
φ−1
A |det(F(t,X))|
t (A)
En identifiant, et comme la relation est vraie pour toute partie cubable A, on en déduit la relation locale
Lagrangienne (t ∈ I,X ∈ B):
ρ(t,φ(t,X)) |det(F(t,X))| = ρ0 (X)
(1.65)
Comme la relation est vraie pour tout t et que le Jacobien relatif est toujours positif, on en déduit la relation
Lagrangienne relative (t,τ ∈ I,x ∈ Ωt ):
ρ(τ,χt (τ,x)) det(Ft (τ,x)) = ρ(t,x)
(1.66)
On notera qu’à X ∈ B fixé l’application : t 7→ det(F(t,X)) garde un signe constant et n’est jamais nulle. Il en
résulte facilement que, pour X fixé, l’application:
t ∈ I 7→
ρ0 (X)
|det(F(t,X))|
est dérivable par rapport à t. Par conséquent, ρ admet une dérivée particulaire par rapport à t, puisque par
définition on a:
∂
Dρ
(t,x) =
ρ(t,φ(t,X))|X=φ(t)−1 (x)
def ∂t
Dt
et il résulte directement de la proposition 1.8 en dérivant (1.65) que (t ∈ I,x ∈ Ω t ):
Dρ
+ ρdiv(v) = 0
Dt
(1.67)
62
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Cette dernière relation exprime le bilan local Eulérien de masse. On l’appelle également "équation de continuité".
A noter que les relations (1.65), (1.66) et (1.67) sont vraies à priori seulement presque partout en X ou x
puisque l’on n’a pas fait d’hypothèse sur la régularité spatiale des densités. Cependant, si ρ 0 est continu, alors
ρ l’est également par rapport à x et les relations sont valables partout. De plus si ρ 0 est différentiable, alors
ρ admet des dérivées partielles par rapport à t et x et on peut alors appliquer la règle habituelle de calcul de
∂
∇
la dérivée particulaire. Dans ce dernier cas, on a en effet: Dρ
Dt (t,x) = ∂t ρ(t,x) + (∇ ρ|v) et la relation (1.67) se
met sous la forme usuelle:
∂ρ
∀t ∈ I,∀x ∈ Ωt :
(1.68)
+ div(ρv) = 0
∂t
A noter que l’on obtient également cette relation en exprimant que la dérivée particulaire de la masse en tant
qu’intégrale est nulle, ce qui est la définition même du principe de conservation de la masse.
A noter que dans un mouvement isovolume, d’après (1.67), la densité de masse ρ est constante sur les
trajectoires. Elle est alors constante (i.e. spatialement constante et identique sur toutes les configurations
occupées) si et seulement si elle est spatialement constante sur une configuration Ω t particulière. Attention
cependant que le fait qu’elle soit ou non constante sur la configuration de référence du mouvement absolu
n’implique rien sur la valeur de la densité au cours du mouvement.
1.11.3
Configuration naturelle d’un milieu homogène.
Le principe de conservation de la masse, qui est indépendant du mouvement, assure l’intégrité physique du
milieu. Ainsi, le choix de la configuration de référence est fondamental, puisque c’est elle qui "porte" la masse
du milieu. On convient alors d’appeler "configuration naturelle" d’un matériau continu, une configuration de
référence égale à tout l’espace E et sur laquelle la densité de masse est constante égale à un certain ρ 0 .
Pour ce qui suit, on ne s’intéressera qu’à des milieux homogènes dont le postulat suivant, purement physique,
peut être considéré comme une définition. Pour tout mouvement relatif d’un milieu continu homogène on peut
trouver un mouvement absolu dont il est le mouvement relatif et dont la configuration de référence est une
partie B d’une configuration naturelle arbitraire. Ainsi tous les mouvements absolus d’un milieu homogène
donné pourront être envisagés par rapport une configuration de référence qui sera une partie d’une configuration
naturelle que l’on se sera fixée une fois pour toutes. On pourra en particulier convenir que ρ 0 est l’unité de
densité. A noter que comme ρ0 est constante elle est différentiable et, lors des mouvements réguliers les relations
(1.65), (1.66) et (1.67) sont donc vraies partout et la relation (1.68) s’applique. A noter également que comme
on a nécessairement ρ0 > 0, lors d’un mouvement régulier on a donc toujours ρ(t,x) > 0.
Pour ce qui concerne les milieux incompressibles, on pourra donc toujours prendre comme configuration
naturelle une configuration où la densité ρ0 est la même que la densité ρ de toutes les configurations Ωt . Dans
ces conditions le Jacobien du mouvement absolu est également unitaire.
1.11.4
Bilan d’une quantité spécifique dans un mouvement régulier ou dans le
mouvement de deux milieux immiscibles.
Soit φ un mouvement de milieu continu régulier et g une fonction définie sur l’ouvert ∪ t {t} × Ωt , où sur
une partie de cet ouvert. On pose g = ρf et on dit que f est la densité spécifique (ou massique) de la quantité
dont la densité volumique est g. Effectuons alors le bilan de la quantité g quand on suit un domaine O ⊂ Ω t
dans son mouvement. On reprend les notations et hypothèses du paragraphe 1.9.1. La relation (1.51) s’écrit:
Z
Z
Dρf
D
[
ρf dx =
+ ρf div(v)] dx
Dt O
O Dt
Or, on a d’après l’équation de continuité:
Dρf
Df
Dρ
Df
=ρ
+f
=ρ
− ρf div(v)
Dt
Dt
Dt
Dt
D’où l’on déduit la relation:
D
Dt
Z
ρf dx =
O
Z
ρ
O
Df
Dt
(1.69)
D’après (1.54), la relation ci dessus reste vraie si au lieu d’un mouvement régulier φ, on considère le mouvement
de deux milieux immiscibles en contact par une interface quand O est traversé par cette interface.
1.11. MASSE ET DENSITÉ DE MASSE.
1.11.5
63
Bilan de masse en présence d’une onde de discontinuité.
On considère ici un mouvement tel que défini au paragraphe 1.7 dont on reprend les notations et on désire
effectuer un bilan de masse sur un domaine O ⊂ Ωt0 , traversé par la surface de discontinuité, que l’on suit
dans son mouvement. La formule (1.56) du paragraphe 1.9.3 s’applique et on a donc:
Z
Z
Z
D
∂ρ
[
[|ρ(v − w|n)|]21 dσ
ρ(t0 ,x) dx =
+ div(ρv)] dx +
Dt O
O ∂t
S0
Mais, d’après le principe de conservation de la masse, on a:
Z
D
ρ(t0 ,x) dx = 0
Dt O
D’autre part, comme les mouvements de part et d’autre de l’onde sont localement réguliers sur des durées non
nulles, la formule de bilan Eulérien (1.68) s’applique en t0 pour tous les points situés de part et d’autre de
l’onde. En conséquence, la fonction [ ∂ρ
∂t + div(ρv)] est nulle presque partout sur O. Finalement, il reste:
Z
[|ρ(v − w|n)|]21 dσ = 0
S0
Ce qui exprime que les flux relatifs de masse au travers de l’onde s’équilibrent. Comme cette relation est vraie
pour toute partie S0 assez petite et régulière de la surface, on en déduit la condition de saut en tout point de
la surface de discontinuité Σt0 et à tout instant t0 : [|ρ(v − w|n)|]21 = 0.
En résumé, comme l’analyse est vraie à chaque instant, pour un ouvert Ω occupé par le fluide à un instant
quelconque et traversé par une surface de discontinuité Σ on a:

 ∂ρ + div(ρv) = 0 p.p. sur Ω
∂t
(1.70)

[|ρ(v − w|n)|]21 = 0 sur Σ
1.11.6
Bilan d’une quantité spécifique en présence d’une surface de discontinuité.
On considère d’abord un mouvement tel que défini au paragraphe 1.7 dont on reprend les notations. On
pose g = ρf et on effectue le bilan de la quantité g quand on suit un domaine O ⊂ Ω t , traversé par la surface
de discontinuité, dans son mouvement. On désigne par ρ̇ la valeur commune du débit surfacique de masse au
travers de l’interface. C’est à dire d’après (1.70):
ρ̇ = ρ2 (v2 − w|n21 ) = ρ1 (v1 − w|n21 )
def
(1.71)
où la normale unitaire à S0 , n21 , est orientée de 1 vers 2.
Pour les points x intérieurs à l’un des Oi , par hypothèse le mouvement est régulier et on a, comme au
paragraphe 1.11.4:
Dρf
Df
Dρ
Df
=ρ
+f
=ρ
− ρf div(v)
Dt
Dt
Dt
Dt
On applique alors la relation (1.56) et il vient:
Z
Z
Z
D
Df
(1.72)
ρf dx =
+
ρ
ρ̇(f2 − f1 )
Dt O
O Dt
S0
Si ρ̇ = 0, la formule précédente se réduit alors à la relation (1.69).
Ainsi, la relation (1.72) s’applique pour une surface de discontinuité quelconque, matérielle (auquel cas
ρ̇ = 0 et on retrouve (1.69)) ou non.
64
1.12
1.12.1
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Appendice. Note sur la géométrie de l’espace.
Propriété intrinsèque.
Dans un espace vectoriel réel (A, + ,·) on dit qu’une "propriété" est intrinsèque si elle ne dépend que de la
structure algébrique de l’espace, c’est à dire des lois d’addition et de multiplication par un scalaire.
Rappelons que la structure affine d’un espace affine A associé à un espace vectoriel réel A est son groupe de
translations TA quand il est canoniquement muni de sa structure d’espace vectoriel isomorphe à A. On peut
donc toujours considéré que l’espace vectoriel de définition d’un espace affine est son espace de translations.
Pour ce qui concerne la mécanique classique du milieu continu, cet espace des translations s’impose à nous.
On dit alors qu’une "propriété" définie sur A est intrinsèque si elle ne dépend que de la structure affine de
A. Au début du siècle dernier, pour les applications à valeurs réelles ou plus généralement à valeurs dans en
espace vectoriel réel de dimension finie, c’est que l’on appelait la "tensorialité". Pour ce qui concerne le milieu
continu 3D cette notion est un archaïsme.
1.12.2
Topologie canonique.
Le choix d’une topologie sur E est fondamental, puisque les ouverts déterminent les voisinages d’une particule et, in fine, caractérisent la "dimensionalité" du milieu. Afin de développer une mécanique des milieux
continus intrinsèque, il faut donc choisir une topologie qui ne dépend que de la structure algébrique de l’espace.
On dit qu’un espace vectoriel réel E, muni d’une topologie, est un espace vectoriel topologique si les opérations:
(u,v) ∈ E2 7−→ u + v
(λ,u) ∈ R × E 7−→ λu
sont continues. Le résultat suivant est fondamental (c.f. [12]) :
I Théorème 1.2 Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. Alors, il existe une et une seule
topologie séparée sur E telle que E soit un espace vectoriel topologique. Cette topologie est appelée topologie
canonique sur E. C’est la topologie associée à une norme quelconque sur E. En particulier, toutes les normes
sur E sont équivalentes.
On sait qu’en fixant une origine O ∈ E on peut munir E d’une structure d’espace vectoriel isomorphe à E,
que l’on note EO et que l’on appelle "espace pointé en O". D’après ce qui précède, il existe une et une seule
topologie séparée sur E telle que l’espace pointé EO soit un espace vectoriel topologique. Cette topologie est
invariante par translation et est donc indépendante du choix de l’origine et c’est la topologie d’espace métrique
de E pour une distance associée à une norme quelconque sur son espace vectoriel associé. On l’appelle également
"topologie canonique sur E" et elle est donc intrinsèque. C’est la seule topologie séparée qui rend continue les
opérations d’addition et de multiplication par un scalaire de l’espace des translations.
On considère, partout dans ces notes, que tous les espaces vectoriels ou affines réels de dimensions finies qui
interviennent sont munis de leurs topologies canoniques. Ainsi, l’espace affine où l’on étudie le mouvement d’un
milieu continu est muni de sa topologie canonique, sa topologie ne dépend donc que de la structure affine c’est
à dire uniquement de son espace de translations, lequel nous est imposé par la "réalité". Ainsi, les ouverts et
les voisinages sont purement déterminées par la structure affine de l’espace et sont intrinsèques. De même, des
propriétés comme "être connexe" ou "être bornée" pour des parties sont des propriétés purement topologiques
et donc intrinsèques. De la même manière, la continuité ou la différentiabilité d’une application d’un espace de
dimension finie dans un autre sont des propriétés intrinsèques. Ainsi, la différentielle d’une application définie
sur E à valeurs dans un espace vectoriel ou affine de dimension finie est intrinsèque, à la fois globalement,
en tant qu’application définie sur E à valeurs dans un espace d’applications linéaires, et localement en tant
qu’application linéaire.
Si O est un ouvert de E, on note C 0 (O,E) l’ensemble des applications continues de O dans E qui se
prolongent continûment sur la fermeture O. Cet ensemble est encore canonique et s’identifie à C(O,E). On
définit de même, l’ensemble C 1 (O,E) des fonctions de C 0 (O,E) dont la différentielle est dans C 0 (O,L(E,E)).
Dans le cas où O est borné, une origine étant fixée dans E, l’ensemble C 1 (O,E) est un espace affine associé à
l’espace de Banach C 1 (O,E). Il en résulte que pour tout intervalle ouvert I, l’ensemble des fonctions de classe
C 1 de I dans C 1 (O,E) est bien défini et intrinsèque.
Rappelons qu’un homéomorphisme entre deux espaces topologiques est une application continue, bijective et d’inverse continue. C’est la formulation mathématique usuelle de la notion géométrique intuitive de
"déformation continue". Si il existe un homéomorphisme entre deux espaces topologiques, on dit qu’ils sont
1.12. APPENDICE. NOTE SUR LA GÉOMÉTRIE DE L’ESPACE.
65
homéomorphes. Le théorème suivant, de Jordan, est fondamental. Il peut sembler élémentaire mais sa démonstration est difficile.
I Théorème 1.3 (Jordan) Soit E un espace affine de dimension finie sur R, soit || · || une norme sur
l’espace vectoriel E associé et O un point de E. On désigne respectivement par B(O,1) = {x ∈ E; ||O − x|| ≤ 1}
et S(O,1) = {x ∈ E; ||O − x|| = 1} la boule unité fermée de centre O et la sphère unité de centre O. Soit A
une partie de E homéomorphe à B(O,1) (resp. homéomorphe à S(O,1)), alors le complémentaire de A à une
seule composante connexe (resp. deux composantes connexes).
En corollaire, on en déduit l’important théorème de Brower sur l’invariance de la dimension:
I Théorème 1.4 (Brower) Soit E un espace affine de dimension finie sur R muni de sa topologie canonique. Soit A et B deux parties homéomorphes de E. Alors B est ouvert si et seulement si A l’est.
A noter, ce qui est élémentaire, que toute injection continue d’un compact dans un espace séparé est
un homéomorphisme de ce compact sur son image (car dans un espace séparé un compact est fermé). En
combinant avec le théorème de Brower, on déduit une caractérisation des homéomorphismes dans un espace
affine de dimension finie, fondamentale pour comprendre la structure des mouvements d’un milieu continu.
Corollaire 1.5 Soit E un espace affine de dimension finie sur R muni de sa topologie canonique. Soit B
un ouvert de E et f : B 7−→ E. Alors f est un homéomorphisme de B sur Ω = f (B) si et seulement si f est
continue et injective. Son image est alors ouverte.
Il est très souvent utile de savoir comment un homéomorphisme défini sur un ouvert et prolongeable sur
le bord de cet ouvert agit sur ce bord. Le cas utile en pratique est celui des domaines (voir les théorèmes de
transports) et plus généralement celui d’un ouvert borné qui coïncide avec l’intérieur de sa fermeture. On a le:
I Théorème 1.5 Soit E un espace affine de dimension finie sur R muni de sa topologie canonique et O
un ouvert borné tel que O soit l’intérieur de sa fermeture. Soit f : O 7→ E une application de classe C 0 (O,E).
On note f son unique prolongement sur O. Alors, si f est injective sur O:
– f est un homéomorphisme de O sur f (O).
– f (O) = f (O).
– f (O) = Int(f (O))
– ∂f (O) = f (∂O).
La première affirmation résulte de Brower, la seconde s’établit par compacité, les deux dernières résultent
facilement des hypothèses. Ainsi, l’image du bord est le bord de l’image. On en déduit le:
Corollaire 1.6 Soit E un espace affine de dimension finie sur R muni de sa topologie canonique et O un
ouvert borné tel que O soit l’intérieur de sa fermeture. Soit f : O 7→ E une application de classe C 0 (O,E) telle
que f soit injective sur O. Alors, la restriction de f à ∂O est un homéomorphisme de ∂O sur f (∂O) et, si ∂O
est une surface topologique, il en est de même de f (∂O).
A noter qu’un domaine p-régulier ou encore un domaine Lipschizien est l’intérieur de sa fermeture, de
sorte que le théorème et son corollaire s’appliquent et le bord du domaine image est alors une surface. Sur ces
questions on pourra consulter [3].
66
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
1.13
1.13.1
Appendice. Systèmes de coordonnées.
généralités
Soit E un espace affine réel de dimension finie n ≥ 1, associé à un espace vectoriel E.
Définition 1.20 (Système de coordonnées.) Soit Ω un ouvert de E. On appelle système de coordonnées
(sous entendu "global") sur Ω la donnée d’un couple (O,Ξ) où O est un ouvert de R n et Ξ un C 1 difféomorphisme de O sur Ω. L’image réciproque par Ξ de chaque point x de Ω est un n-uplet de réels, (ξ 1 , · · · ,ξ n ),
appelés coordonnées du point x.
Définition 1.21 (Système de coordonnées locales.) Soit Ω un ouvert de E. On appelle système de
coordonnées locales sur Ω, la donnée d’une famille (Oy ,Ξy )y∈Ω où, pour chaque y ∈ Ω, Oy est un ouvert de Rn
et Ξy un C 1 difféomorphisme de Oy sur un ouvert Ωy = Ξy (Oy ) de Ω qui contient y. Un couple (Ωy ,Ξ−1
y ) est
appelé 28 "carte locale". L’image réciproque par Ξy de chaque point x de Ωy est un n-uplet de réels, (ξy1 , · · · ,ξyn ),
appelés coordonnées du point x sur la carte locale (Ωy ,Ξ−1
y ).
Par abus de langage on dit souvent qu’un point x "appartient à la carte locale" (Ω y ,Ξ−1
y ) pour indiquer
qu’il appartient à l’ouvert Ωy .
On considère toujours qu’un système de coordonnées global (O,Ξ) est aussi un système de coordonnées
locales en prenant pour chaque y, Oy = O et Ξy = Ξ. Inversement, ce qui est évident, si (Oy ,Ξy )y∈Ω est
un système de coordonnées locales, chaque couple (Oy ,Ξy ) est un système de coordonnées (global) sur Ωy .
Attention que dans un système de coordonnées locales pour préciser les coordonnées d’un point il faut aussi
préciser la carte locale que l’on considère.
Le plus souvent, on se donne un système de coordonnées locales par la donnée d’une unique surjection
Ξ : O 7−→ Ω, où O est un ouvert de Rn et où Ξ est un C 1 difféomorphisme local 29 au voisinage de chaque point
de O. C’est le cas des coordonnées sphériques, cylindriques, polaires, bipolaires, etc... Par abus de langage, on
dit alors que (O,Ξ) est un système de coordonnées locales sur Ω, ce qui sous entend qu’à chaque point y on
associe un ouvert Oy sur lequel Ξ est bijective de cet ouvert sur son image qui contient y, ce qui est possible par
définition même d’un C 1 difféomorphisme local. On devrait en principe rendre cette association explicite, mais
pour les systèmes usuels où la base locale en un point ne dépend pas du choix de la carte, cette association est
le plus souvent implicite et on ne précise les cartes que si l’on a effectivement besoin qu’un point soit repéré
par un unique n-uplet de coordonnées.
Définition 1.22 (Base locale.) Soit Ω un ouvert de E et (O,Ξ) un système de coordonnées sur Ω. On
appelle base locale en x = Ξ(ξ 1 , · · · ,ξ n ) l’image (g1 , · · · ,gn ) par la différentielle Ξ0 (ξ 1 , · · · ,ξ n ) de la base
canonique de Rn . On a donc, par définition:
∀i ∈ {1, · · · ,n} :
gi =
∂Ξ 1
(ξ , · · · ,ξ n )
∂ξ i
Pour simplifier on note en général:
gi =
∂x
∂ξ i
(1.73)
étant entendu que le point "x" est mis pour: x = Ξ(ξ 1 , · · · ,ξ n ).
A noter que dans un système de coordonnées locales on peut en général associer à un point donné autant
de bases locales qu’il y a de cartes locales distinctes le contenant.
Définition 1.23 (Base locale duale.) On suppose que E est muni d’un produit scalaire Euclidien. Soit
Ω un ouvert de E et (O,Ξ) un système de coordonnées sur Ω. Soit (g1 , · · · ,gn ) la base locale en x. On appelle
base locale duale en x la base (g 1 , · · · ,gn ) définie par:
(gi |gj ) = δji
28
Comparer à la définition d’une surface.
de Ξ soit non nul en chaque point de O.
29
(1.74)
Ce qui est équivalent, en vertu du théorème d’inversion locale, à ce que le Jacobien
1.13. APPENDICE. SYSTÈMES DE COORDONNÉES.
67
A noter que la base duale de (g1 , · · · ,gn ) est la base initiale (g1 , · · · ,gn ) elle même et que les deux bases
coïncident si, et seulement si, elles sont orthonormées.
Si E est un espace Euclidien de dimension 3 orienté, alors par définition même du produit vectoriel, on a:
gi =
gi+1 ∧ gi+2
detB (g1 ,g2 ,g3 )
(1.75)
où detB est le déterminant sur une base orthonormée directe quelconque et où les indices sont pris modulo 3.
Cette formule est indépendante du choix de l’orientation. On a une formule analogue en dimension quelconque.
Dans ce qui suit E est un espace affine Euclidien orienté de dimension 3 sur R. On rapporte l’espace E à un
repère orthonormé direct (O,i,j,k) et on note (x,y,z) les coordonnées d’un point M ∈ E dans ce repère, c’est
à dire:
−−→
OM = xi + yj + zk
1.13.2
Coordonnées Cylindriques.
1.13.2.1
Définition.
On introduit l’application Ξ définie sur ]0, + ∞[×R × R 7−→ E, qui à chaque triplet (r,θ,z) associe le point
M , avec:
(
−−→
M = Ξ(r,θ,z) : OM = x(r,θ,z)i + y(r,θ,z)j + z(r,θ,z)k
x = r cos θ y = r sin θ z = z
L’image de Ξ est E privé de l’axe Oz. Le réel positif r est la distance de M à l’axe Oz et θ ∈ R est une mesure
−−→
−−→
−−→
de l’angle orienté entre les vecteurs Om et i, où Om est la projection orthogonale de OM sur le plan (i,j), ce
dernier étant orienté de sorte que la base (i,j) soit directe.
Le Jacobien de Ξ est r, il n’est donc
pas nul et, par suite, pour chaque triplet
(r,θ,z) ∈]0, + ∞[×R × R, l’application Ξ
ez
z
r
est un C ∞ difféomorphisme d’un voisinage
eθ
O de (r,θ,z) dans R3 sur un voisinage V
M
de M = Ξ(r,θ,z) dans E. L’application Ξ
er
définit donc un système de coordonnées locales sur l’ouvert E − Oz. On dit que le
k
triplet (r,θ,z) est un triplet de coordonj
O
nées cylindriques du point M = Ξ(r,θ,z).
y
Un tel triplet de coordonnées cylindriques
i
d’un point M de E − Oz n’est pas unique
θ
m
puisque les triplets (r,θ,z) et (r,θ + 2π,z)
représentent le même point. Par convention, le système usuel des coordonnées cyx
Fig. 1.10 – Coordonnées cylindriques d’axes (Ox,Oz).
lindriques est la restriction de l’application
Ξ à l’ensemble O =]0, + ∞[×[−π,π[×R de R3 (voir la figure). Le réel θ est alors l’unique mesure dans [−π,π[
−−→
−−→
−−→
de l’angle orienté entre les vecteurs Om et i, où Om est la projection orthogonale de OM sur le plan (i,j),
ce dernier étant orienté de sorte que la base (i,j) soit directe. De plus Ξ est alors un C ∞ difféomorphisme
de l’ouvert ]0, + ∞[×] − π,π[×R sur E privé du 1/2 plan fermé (Oxz,x ≤ 0), ce qui défini un système de
coordonnées global sur cet ouvert. On utilise également la restriction de Ξ à O 0 =]0, + ∞[×]0,2π[×R, c’est
alors un C ∞ difféomorphisme de l’ouvert ]0, + ∞[×]0,2π[×R sur E privé du 1/2 plan fermé (Oxz,x ≥ 0) et θ
−−→
est alors l’unique mesure dans ]0,2π[ de l’angle orienté entre Om et i.
Application. Calcul d’une intégrale par changement de variable. Soit V une partie cubable de
E qui est l’image par Ξ d’une partie D de [0, + ∞[×[θ0 ,θ0 + 2π] × R et soit f une fonction intégrable sur V .
Alors:
ZZZ
ZZZ
f (M )d3 M =
f (Ξ(r,θ,z))r drdθdz
V
D
68
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
1.13.2.2
Base locale.
A chaque triplet (r,θ,z) ∈]0, + ∞[×R × R on associe la base orthonormée directe:

∂M

= cos θi + sin θj
er =



∂r


1 ∂M
= − sin θi + cos θj
eθ =

r ∂θ




 e = ∂M = k
z
∂z
Si deux triplets (r,θ,z) et (r 0 ,θ0 ,z 0 ) sont associés au même point M , alors nécessairement r = r 0 , z = z 0 et
θ = θ 0 (2π) et les bases associées sont identiques et ne dépendent donc que de M = Ξ(r,θ,z) et non pas du choix
de θ. La base (er ,eθ ,ez ) ainsi définie est appelée base locale naturelle des coordonnées cylindriques en M . La
base naturelle est relié à la base locale par les relations:
g1 =
∂M
= er
∂r
g2 =
∂M
= reθ
∂θ
g3 =
∂M
= ez
∂z
On utilise en général la base locale naturelle car elle est orthonormée et ainsi, quand il n’y a pas d’ambiguïté,
la base locale naturelle est tout simplement appelée "base locale".
1.13.2.3
Calcul différentiel.
Soit F une application définie sur E − Oz, à valeurs dans un espace vectoriel ou affine de dimension finie,
et assez régulière. En notant ∇ F la différentielle de F, par composition des différentielles on a:
∇F · eθ dθ + F · ez dz + o((dr,dz,dθ))
F(Ξ(r + dr,θ + dθ,z + dz)) − F(Ξ(r,θ,z)) = ∇ F · er dr + r∇
En identifiant il vient donc au point M = Ξ(r,θ,z):
∇ F · er =
∂F
∂r
∇ F · eθ =
1 ∂F
r ∂θ
∇ F · ez =
∂F
∂z
(1.76)
où, par abus de notation et comme c’est l’usage, dans les membres de droites on a confondu la fonction F et
sa composée F ◦ Ξ.
Considérons le cas où F = v est un champ de vecteurs à valeurs dans E défini sur E − Oz et assez régulier.
Pour chaque point M de E − Oz posons:
v(M ) = vr er + vθ eθ + vz ez
où (er ,eθ ,,ez ) est la base locale (naturelle) des coordonnées cylindriques en M . On déduit de (1.76) appliquée
à v que, dans la base locale de coordonnées cylindriques, la matrice de la différentielle de v au point M est:
∇v](er ,eθ ,ez )
[∇

∂vr
 ∂r
 ∂vθ
=
 ∂r
 ∂v
z
∂r
1 ∂vr
vθ
−
r ∂θ
r
vr
1 ∂vθ
+
r
r ∂θ
1 ∂vz
r ∂θ

∂vr
∂z 
∂vθ 

∂z 
∂v 
z
∂z
On en déduit que:
div(v) =
1 ∂rvr
1 ∂vθ
∂vz
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
De même, en considérant la partie antisymétrique, par définition même, on en déduit que:
rotv = [
∂vθ
∂vr
∂vz
1 ∂rvθ
∂vr
1 ∂vz
−
]er + [
−
]eθ + [
−
]ez
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂θ
1.13. APPENDICE. SYSTÈMES DE COORDONNÉES.
Soit F = A un champ d’endomorphismes symétriques de E
sa matrice sur la base locale de coordonnées cylindriques:

Arr
[A](er ,eθ ,ez ) = Arθ
Arz
69
défini sur E − Oz et donné en chaque point M par
Arθ
Aθθ
Aθz

Arz
Aθz 
Azz
Par définition de l’opérateur divergence, on a pour tout champ de vecteurs M ∈ E −Oz 7→ u(M ) assez régulier,
puisque A est symétrique :
∀u ∈ E : (divA|u) = div(A · u) − A : ∇ u
Les composantes du vecteur divA au point M ∈ E − Oz dans la base locale des coordonnées cylindriques s’en
déduisent:


1 ∂(rArr ) 1 ∂Arθ
∂Arz
Aθθ
+
+
−
 r ∂r
∂θ
∂z
r 
 1 ∂(rArθ ) 1r ∂A
∂Aθz
Arθ 
θθ

[div(A)](er ,eθ ,ez ) = 
+
+
+
 r ∂r
r ∂θ
∂z
r 


1 ∂Aθz
∂Azz
1 ∂rAr z
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
Enfin dans le cas où F = f est une fonction scalaire alors, par convention, ∇ f ne désigne plus la différentielle
de f mais son gradient qui est le vecteur dualement associé par le produit scalaire. On a donc:
∇f =
∂f
1 ∂f
∂f
er +
eθ +
ez
∂r
r ∂θ
∂z
Vu l’expression de la différentielle d’un champ de vecteur, on en déduit également:
∇f ) =
4f = div(∇
def
1.13.2.4
1 ∂ ∂f
1 ∂2f
∂2f
(r ) + 2 2 + 2
r ∂r ∂r
r ∂θ
∂z
Surfaces de révolution.
Considérons une surface orientable S de classe C 2 , de révolution autour de l’axe Oz, donnée en coordonnées
cylindriques par l’équation paramétrique r = h(z). C’est à dire:
{M = Ξ(r,θ,z) ∈ S} ⇔ {r = h(z)}
où h :]z0 ,z1 [⊂ R 7→]0, + ∞[ est une fonction de classe C 2 . Si n désigne la normale unitaire en M orientée
k
h(z)
er
z
O
pour que (n|er ) > 0 et si H désigne la courbure moyenne algébrique en un point de S, calculée avec cette
orientation de la normale, alors on a:

n = φ(z)(er − h0 (z)k)






 H = 1 [ φ − h00 φ3 ]
2 h

1



φ(z) = q



1 + h0 2 (z)
70
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Enfin, l’élément de surface en un point M ∈ S est:
dσ = h(z)
q
1 + h0 2 (z) dzdθ
Ce qui signifie que si Σ ⊂ S est une partie quarable de S, image par l’application (θ,z) 7→ Ξ(h(z),θ,z) d’une
partie D de [0,2π] × R, et f une fonction intégrable définie sur Σ on a:
ZZ
ZZ
f (M )d2 M =
def
Σ
f (Ξ(h(z),θ,z)h(z)
D
1.13.3
Coordonnées sphériques.
1.13.3.1
Définition.
q
1 + h0 2 (z) dzdθ
On introduit l’application Ξ définie sur ]0, + ∞[×]0,π[×R 7−→ E, qui à chaque triplet (r,φ,θ) associe le
point M , avec:
(
M = Ξ(r,φ,θ) :
−−→
OM = x(r,φ,θ)i + y(r,φ,θ)j + z(r,φ,θ)k
x = r sin φ cos θ
y = r sin φ sin θ
z = r cos φ
−−→
L’image de Ξ est E privé de l’axe Oz. On a r = ||OM || et φ ∈]0,π[ est l’angle non orienté entre les vecteurs
−−→
OM et k.
Le Jacobien de Ξ est r 2 sin φ, il n’est
donc pas nul et, par suite, pour chaque
eθ
triplet (r,φ,θ) ∈]0, + ∞[×]0,π[×R, l’apM
φ
plication Ξ est un C ∞ difféomorphisme
eφ
d’un voisinage O de (r,φ,θ) dans R3 sur
r
un voisinage V de M = Ξ(r,φ,θ) dans E.
k
L’application Ξ définit donc un système
j
O
de coordonnées locales sur l’ouvert E − Oz.
y
i
Par définition, le triplet (r,φ,θ) est un triplet de coordonnées sphériques du point
θ
M = Ξ(r,θ,φ). Un tel triplet de coordonnées sphériques d’un point M de E − Oz
n’est pas unique puisque les triplets (r,φ,θ)
x
Fig. 1.11 – Coordonnées sphériques de centre O et d’axes Ox,Oz.
et (r,φ,θ + 2π) représentent le même point.
Par convention, le système usuel des coordonnées sphériques est la restriction de l’application Ξ à l’ensemble
O =]0, + ∞[×]0,π[×[−π,π[ de R3 (voir la figure). Dans ces conditions, le réel θ est alors la mesure dans
−−→
[0,2π[ de l’angle orienté entre le vecteur i et la projection orthogonale de OM sur le plan Oxy, ce dernier
étant orienté de sorte que la base (i,j) soit directe. De plus Ξ est alors un C ∞ difféomorphisme de l’ouvert
]0, + ∞[×]0,π[×] − π,π[ sur E privé du 1/2 plan fermé (Oxz,x ≤ 0). On utilise également souvent le triplet
(r,ψ,θ) où ψ = π/2 − φ est la latitude.
z
er
Application. Calcul d’une intégrale par changement de variable. Soit V une partie cubable de
E qui est l’image par Ξ d’une partie D de [0, + ∞[×[0,π] × [θ0 ,θ0 + 2π] et soit f une fonction intégrable sur V .
Alors:
ZZZ
ZZZ
f (M )d3 M =
f (Ξ(r,φ,θ))r 2 sin φ drdφdθ
V
D
1.13. APPENDICE. SYSTÈMES DE COORDONNÉES.
1.13.3.2
71
Base locale.
A chaque triplet (r,φ,θ) ∈]0, + ∞[×]0,π[×R on associe la base orthonormée directe:



er =





eφ =






 eθ =
∂M
= sin φ(cos θi + sin θj) + cos φk
∂r
1 ∂M
= cos φ(cos θi + sin θj) − sin φk
r ∂φ
1 ∂M
= − sin θi + cos θj
r sin φ ∂θ
Si deux triplets (r,φ,θ) et (r 0 ,φ0 ,θ0 ) sont associés au même point M , alors nécessairement r = r 0 , φ = φ0 et
θ = θ 0 (2π) et les bases associées sont identiques et ne dépendent donc que de M = Ξ(r,φ,θ) et non pas du
choix de θ. La base (er ,eφ ,eθ ) ainsi définie est appelée base locale des coordonnées sphériques en M .
1.13.3.3
Calcul différentiel.
Soit F une application définie sur E − Oz, à valeurs dans un espace vectoriel ou affine de dimension finie,
et assez réguliere. En notant ∇ F la différentielle de F, par composition des différentielles on a:
∇F · eφ dφ + r sin φ∇
∇F · eθ dθ + o((dr,dφ,dθ))
F(Ξ(r + dr,φ + dφ,θ + dθ)) − F(Ξ(r,φ,θ)) = ∇ F · er dr + r∇
En identifiant il vient donc au point M = Ξ(r,φ,θ):
∇ F · er =
∂F
∂r
∇ F · eφ =
1 ∂F
r ∂φ
∇ F · eθ =
1 ∂F
r sin φ ∂θ
(1.77)
où, par abus de notation, dans les membres de droites on a encore confondu la fonction F et sa composée
F ◦ Ξ.
Considérons le cas où F = v est un champ de vecteurs à valeurs dans E défini sur E − Oz et assez régulier.
Pour chaque point M de E − Oz posons:
v(M ) = vr er + vφ eφ + vθ eθ
où (er ,eφ ,eθ ) est la base locale des coordonnées sphériques en M . On déduit de (1.77) appliquée à v que, dans
la base locale de coordonnées sphériques, la matrice de la différentielle de v au point M est:
∇v(M )](er ,eφ ,eθ )
[∇

∂vr
 ∂r
 ∂v
 φ
=
 ∂r
 ∂vθ
∂r
vφ
1 ∂vr
−
r ∂φ
r
vr
1 ∂vφ
+
r
r ∂φ
1 ∂vθ
r ∂φ

vθ
1 ∂vr
−

r sin φ ∂θ
r
1 ∂vφ
cot φ vθ 

−


r sin φ ∂θ
r
vr
cot φ vφ 
1 ∂vθ
+
+
r sin φ ∂θ
r
r
On en déduit que:
∇v) =
div(v) = Tr(∇
def
1 ∂ sin φ vφ
1 ∂vθ
1 ∂r2 vr
+
+
r2 ∂r
r sin φ
∂φ
r sin φ ∂θ
De même, en considérant la partie antisymétrique, par définition même, on en déduit que:
rotv =
∂ sin φ vθ
∂vφ
1
∂vr
∂rvθ
1 ∂rvφ
∂vr
1
(
−
)er +
(
− sin φ
)eφ + (
−
)eθ
r sin φ
∂φ
∂θ
r sin φ ∂θ
∂r
r ∂r
∂φ
Soit F = A un champ d’endomorphismes symétriques de
par sa matrice sur la base locale de coordonnées sphériques:

Arr
[A(M )](er ,eφ ,eθ ) = Arφ
Arθ
E défini sur E − Oz et donné en chaque point M
Arφ
Aφφ
Aφθ

Arθ
Aφθ 
Aθθ
72
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
Par définition de l’opérateur divergence, on a pour tout champ de vecteurs M ∈ E −Oz 7→ u(M ) assez régulier,
puisque A est symétrique :
∀u ∈ E : (divA|u) = div(A · u) − A : ∇u
Les composantes du vecteur divA au point M ∈ E − Oz dans la base locale des coordonnées sphériques s’en
déduisent:

[divA(M )](er ,eφ ,eθ )

1 ∂r2 Arr
1 ∂ sin φ Arφ
1 ∂Arθ
Aφφ + Aθθ
+
+
−
 r2 ∂r

r sin φ
∂φ
r sin φ ∂θ
r


 1 ∂r3 Arφ
1 ∂ sin φ Aφφ
1 ∂Aφθ
cot φ Aθθ 

+
+
−
=
 r3 ∂r

r sin φ
∂φ
r sin φ ∂θ
r


2
3


1
1 ∂Aθθ
1 ∂r Arθ
∂ sin φ Aφθ
+
+
2
3
r
∂r
∂φ
r sin φ ∂θ
r sin φ
Enfin dans le cas où F = f est une fonction scalaire alors, par convention, ∇ f ne désigne plus la différentielle
de f mais son gradient qui est le vecteur dualement associé par le produit scalaire. On a donc:
∇f =
∂f
1 ∂f
1 ∂f
er +
eφ +
eθ
∂r
r ∂φ
r sin φ ∂θ
Vu l’expression de la différentielle d’un champ de vecteur, on en déduit également:
∇f ) =
4f = div(∇
def
1.13.3.4
1 ∂ 2 ∂f
∂
∂2f
1
∂f
1
(r
)+ 2
(sin φ
)+ 2 2
2
r ∂r
∂r
r sin φ ∂φ
∂φ
r sin φ ∂θ2
Surfaces de révolution.
Considérons une surface orientable S de classe C 2 , de révolution autour de l’axe Oz, donnée par l’équation
paramétrique r = h(φ), c’est à dire:
−−→
{M = Ξ(r,φ,θ) ∈ S} ⇔ {OM = h(φ)er }
où h :]φ0 ,φ1 [⊂]0,π[7→]0, + ∞[ est une fonction de classe C 2 . Si n désigne la normale unitaire en M orientée
z
er
k
φ
M : r = h(φ)
O
pour que (n|er ) > 0 et si H désigne la courbure moyenne algébrique en un point de S, calculée avec cette
orientation de la normale, alors on a:

er − u(φ)eφ


n= p



1 + u2 (φ)


u0 (φ)
1
p
[2
−
u(φ)
cot
φ
−
]
H
=



1 + u2 (φ)
2h(φ) 1 + u2 (φ)



 u(φ) = h0 (φ)/h(φ)
1.13. APPENDICE. SYSTÈMES DE COORDONNÉES.
73
Enfin, l’élément de surface en un point M ∈ S est 30 :
dσ = h2 (φ)
p
1 + u2 (φ) sin φ dφdθ
Ce qui signifie que si Σ ⊂ S est une partie quarable de S, image par l’application (φ,θ) 7→ Ξ(h(φ),φ,θ) d’une
partie D de ]0,π[×[0,2π], et f une fonction intégrable définie sur Σ on a:
ZZ
Σ
30
2
f (M )d M =
def
ZZ
f (Ξ(h(φ),φ,θ)h2 (φ)
D
En particulier, pour une sphère de rayon R: f (φ) = R,H =
p
1 + u2 (φ) sin φ dφdθ
1
, dσ = R2 sin φ dφdθ.
R
74
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE ET GÉOMÉTRIE.
75
Chapitre 2
Équations de la dynamique. Principe des
Puissances virtuelles. Thermodynamique
2.1
Principe fondamental de la dynamique. Bilan local de quantité
de mouvement.
Les notations sont celles du chapitre précédent. On se donne un milieu continu par sa configuration de
référence et, dans ce paragraphe, on examine le lien entre ses mouvements et les actions mécaniques extérieures
ou intérieures au milieu.
On considère des mouvements réguliers pour lesquels l’accélération est bien définie et continue sur B. Pour
1
simplifier, on supposera que dφ
dt ∈ C (I,C(Ō)) pour tout O b B. Il est important dans ce qui suit que les
mouvements soient réguliers de manière à ne pas avoir à discuter ici des liaisons sur d’éventuelles surfaces de
discontinuités du champ de vitesse.
Le principe fondamental de la dynamique pour le milieu continu non relativiste, ou principe de Newton,
s’énonce de la manière suivante:
Dans un référentiel quelconque, à chaque instant le torseur des efforts extérieurs appliqués à un système matériel est égal au torseur dynamique.
On suppose, pour tout ce qui suit, que la seule variable cinématique du milieu continu que l’on étudie est son
champ de vitesse tel que défini au chapitre précédent. En particulier il n’y a pas de densité de moment cinétique
autre que celle résultant de ce champ de vitesse. Cette hypothèse est restrictive, puisque, pour un liquide ou
un gaz par exemple, elle sous entend en particulier que le moment cinétique des molécules qui constituent
idéalement une "particule" du milieu continu se réduit au moment cinétique de leur vitesse moyenne. Ceci
étant, si φ est un mouvement de milieu continu vu par un certain observateur, les éléments de réduction en
un point O du torseur dynamique, pour la matière occupant un domaine ouvert borné quelconque A de Ω t à
l’instant t, sont donc:
Z

D


ρ(x,t)v(x,t) dx
 Dt
ZA
(2.1)
−→
D



ρ(x,t)Ox ∧ v(x,t) dx
Dt A
Le problème fondamental est alors de décrire les efforts extérieurs. On se limitera ici à la théorie classique de
Cauchy - aussi appelée théorie du premier gradient, ce que l’on justifiera plus loin - qui consiste à supposer
qu’étant donné un mouvement réel φ (i.e. "vu" par un certain observateur), pour tout domaine 1-régulier ou
lipschitzien borné quelconque 1 A ⊂ Ωt , vérifiant Ā ⊂ Ωt , les efforts extérieurs appliqués à la matière qui
1 Soit Ω un ouvert de E. Rappelons que l’on dit que Ω est un domaine si il est borné et si sa frontière ∂Ω est une surface assez
régulière telle que Ω soit localement d’un seul côté de ∂Ω: voir les rappels sur les surfaces en annexe. Un exemple simple de
domaine est une sphère. Le fait de demander à A d’être un domaine est important, ne serait-ce que pour que les points qui sont
au delà de ∂A soient bien extérieurs à A. De plus, quand on suit A dans son mouvement, le bord est donc une surface matérielle,
c’est à dire formée des mêmes particules.
76
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
occupe à l’instant t ce domaine sont:
1. Des forces "volumiques", données par une densité massique de forces f définie en chaque point x de Ω t .
2. Éventuellement, des couples "volumiques", donnés par une densité volumique de couples C définie en
chaque point x de Ωt .
3. Des forces de contact, données par une densité surfacique de forces tA définie en chaque point x de ∂A.
4. On suppose qu’il n’y a pas de densité surfacique de couples de contact 2 .
Les deux premiers types d’efforts représentent l’action de l’univers extérieur sur le milieu, les derniers
représentent l’action du reste du milieu sur la matière contenue dans A. Le vecteur tds a été appelé par
Cauchy : "vecteur contrainte". On suppose que toutes ces fonctions sont assez régulières pour pouvoir justifier
l’écriture de bilans intégraux et l’utilisation des théorèmes de transports. Pour simplifier, dans ce qui suit on
admet alors que tous ces champs sont continus 3 sur Ωt ou ∂A.
2.1.1
Équations de bilan local.
2.1.1.1
La démarche.
On commence par expliciter le principe de Newton pour un domaine strictement intérieur quelconque. Pour
obtenir les équations locales on utilise alors comme argument le fait physique que le principe de Newton doit
s’appliquer à tout domaine strictement intérieur. Une première utilisation de cet argument permet d’exhiber
l’existence du tenseur des contraintes. Historiquement c’est exactement de cette façon que Cauchy l’a introduit.
On utilise enfin une seconde fois cet argument pour obtenir les équations locales elles mêmes en transformant
d’abord les équations de bilan intégral par le théorème de Stokes (flux-divergence). Examinons maintenant le
détail.
2.1.1.2
Les équations locales.
En tenant compte des théorèmes de transport que nous avons établis au chapitre précédent, la relation fondamentale de la dynamique pour la matière occupant un domaine 1-régulier ou lipschitzien, borné, quelconque
A ⊂ Ωt , vérifiant Ā ⊂ Ωt s’écrit donc:
Z
Z
Z
Dv


ρ
tA ds
ρf dx +
dx =

Dt
∂A
A
ZA
Z
Z
Z
−→ Dv
−→
−→



ρOx ∧
dx =
Ox ∧ ρf dx +
Ox ∧ tA ds +
C dx
Dt
A
A
∂A
A
(2.2)
Notons que tA dépend à priori du domaine A (c’est pouruqoi j’ai mis un indice A). On fait alors, avec Cauchy,
l’hypothèse que la valeur tA (x) en un point x de ∂A ne dépend pas du domaine A dont la frontière passe par
x, mais seulement de l’allure locale de cette frontière au voisinage du point x. Plus précisément, on suppose
qu’il existe une fonction t(x,n), définie sur 4 Ωt × S(1), telle que si nA (x) est la normale extérieure à ∂A en x
on ait 5 : tA (x) = t(x,nA (x)). Les équations précédentes deviennent donc:
Z
Z
Z
Dv


ρ
t(x,n) ds
ρf dx +
dx =

Dt
∂A
A
ZA
Z
Z
Z
−→ Dv
−→
−→



C dx
ρOx ∧
Ox ∧ t(x,n) ds +
Ox ∧ ρf dx +
dx =
Dt
A
A
∂A
A
(2.3)
2 Sinon, on sort du cadre d’une théorie du premier gradient.
3 Ces conditions de régularité peuvent être affaiblies puisque in
fine le principe de D’Alembert comme on va le voir est une identité parfaitement définie au sens distributions pour les domaines
intérieurs. On peut par exemple se contenter de demander l’intégrabilité locale de chaque densité volumique que l’on introduit
(accélérations, forces, tenseurs des contraintes, couples) ce qui est en fait la seule propriété réellement imposée par la physique.
Cependant l’équivalence avec le principe de Newton, du fait de l’introduction explicite des forces de contact dans ce dernier, ne
peut s’établir que pour des champs assez réguliers: le plus simple est alors tout de même de demander la continuité aux champs
volumiques, en particulier aux tenseurs des contraintes et à sa divergence, si on veut "échapper" aux espaces de Sobolev et à
4 S(1) est la sphère de rayon 1 de E.
5 Pour un domaine lipschitzien, on demande
des discussions techniques fastidieuses.
évidemment l’égalité p.p..
2.1. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE.
77
On suppose, en outre, que la dépendance de cette fonction t(x,n) par rapport à x est continue. Cauchy a
alors montré (raisonnement du "petit tétraèdre 6 "), à partir du seul bilan de quantité de mouvement, que la
dépendance de t(x,n) par rapport à n était nécessairement linéaire. C’est à dire qu’il existe une application
linéaire π (x), définie pour chaque x ∈ Ωt , telle que:
∀x ∈ Ωt ,∀n ∈ S(1) :
t(x,n) = π (x) · n
(2.4)
Cette relation implique en particulier la loi d’égalité entre l’action et la réaction qui n’exprime rien d’autre
que le fait qu’une surface matérielle n’a pas de masse, de sorte que dans un mouvement régulier la somme des
efforts sur toute partie d’une surface matérielle est nulle.
Le champ d’applications linéaires π est appelé tenseur des contraintes. Il est donc continu si t l’est. Pour ce
qui suit, on supposera de plus qu’il est assez régulier pour justifier les calculs qui vont suivre, pour simplifier
on supposera qu’il est de classe C 1 sur Ωt , ce qui est cohérent avec les hypothèses de continuité sur les autres
champs.
On peut alors transformer les équations précédentes par le théorème de Stokes et il vient:
Z
Z
Dv


ρ
dx = (ρf + divπ
divπ) dx

A Dt
A
Z
Z
Z
(2.5)
−→
−→ Dv



Ω + C) dx
Ox ∧ (ρf + divπ
divπ) dx + (2Ω
ρOx ∧
dx =
Dt
A
A
A
où Ω est l’unique vecteur associé à la partie antisymétrique de π . C’est à dire:
1
π −T π ) · u = Ω ∧ u
(π
2
Introduisons également l’application linéaire c, associée à C, et définie par:
∀u ∈ E :
∀u ∈ E :
c·u=C∧u
(2.6)
(2.7)
Ces relations sont vérifiées pour tout domaine régulier A contenue dans Ω t , ce qui implique les relations
"locales" suivantes en tout point de Ωt :
Dv
Ω+C=0
= ρf + divπ
2Ω
(2.8)
Dt
La première relation exprime le bilan local de quantité de mouvement et la seconde le bilan de moment
cinétique. Cette dernière s’écrit aussi:
π −T π + c = 0
(2.9)
ρ
On voit que si il n’y pas de densité volumique de couples, le tenseur des contraintes est alors symétrique. La
partie symétrique du tenseur des contraintes est appelée tenseur des contraintes de Cauchy. On le notera σ
pour tout ce qui suit. On a donc, par définition:
1
π +T π ) = σ
(π
2
(2.10)
π −T π ) =
De l’expression de la divergence d’un tenseur antisymétrique, établie en annexe, on déduit: div
div(π
rot
Ω). On peut donc résumer les équations de bilan local au seul bilan de quantité de mouvement:
−2rot
rot(Ω
ρ
Dv
1
= ρf + divσ + rot
rot(C)
Dt
2
(2.11)
On voit en particulier que si C est constant ou nul (cas usuel), le bilan de quantité de mouvement ne fait
intervenir que les forces volumiques extérieures et le tenseur des contraintes de Cauchy. De plus, le vecteur
contrainte appliqué en un point x du bord d’un domaine régulier A, de normale extérieure n, est donc:
t=σ ·n−
C
∧n
2
(2.12)
Inversement, il est facile, en intégrant, de vérifier que si il existe un champ σ d’endomorphismes symétriques
tel que l’équation locale (2.11) soit vérifiée en tout point intérieur alors, les deux équations de bilan intégral
(2.3) sont vérifiées pour tout domaine intérieur A de classe C 1 , avec t donné par (2.12).
6 Voir par exemple [16]. On applique le bilan à un petit tétraèdre rectangle isocèle de côté > 0 et on fait tendre vers 0. Les
intégrales de surfaces sont d’ordre 2 alors que celles de volumes sont d’ordre 3 . L’égalité à la limite implique la nullité du terme
d’ordre principal en dans l’intégrale de surface et la linéarité de t.
78
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Résumé des équations de bilan dynamique local. Les forces agissant sur un domaine intérieur étant
celles décrites en début de paragraphe, il doit exister un champ d’endomorphismes linéaires symétriques σ appelé tenseur des contraintes de Cauchy - tel qu’en tout point intérieur on ait:
Dv
1
= ρf + divσ + rot
rot(C)
Dt
2
C
t(x,n) = σ · n −
∧n
2
ρ
(2.13)
Ce qui implique, par intégration, le principe de Newton pour les domaines intérieurs, où t est le vecteur
contrainte appliqué en un point x du bord d’un domaine régulier A de normale extérieure n. Le champ
d’endomorphismes π défini par:
C
π : u ∈ E 7−→ π · u = σ · u −
∧u
(2.14)
2
est appelé tenseur des contraintes, il n’est symétrique que si, et seulement si, il n’y a pas de densité volumique
de couples.
Dans le cas usuel où il n’y a précisément pas de densité volumique de couples, les relations précédentes se
résument à:
Dv
ρ
= ρf + divσ
Dt
(2.15)
σ
t= ·n
et le tenseur des contraintes est confondu avec le tenseur des contraintes de Cauchy.
Déviateur. Pression.
Pour tout ce qui suit, on désignera par τ le déviateur de σ , c’est à dire:
1
σ )Id
τ = σ − tr(σ
3
Le scalaire
1
σ)
p = − tr(σ
3
est, par définition la pression. De sorte que l’on a, par définition:
σ = −pId + τ
(2.16)
L’équation locale précédente, en l’absence de densité volumique de couples, se met donc également sous la
forme équivalente:
Dv
= ρf − ∇ p + divτ
ρ
(2.17)
Dt
Pour un milieu incompressible, quand les forces extérieures dérivent d’un potentiel φ (la pesanteur par exemple):
∇φ, l’équation s’écrit encore:
f = −∇
ρ
Dv
∇p̂ + divτ
= −∇
Dt
(2.18)
où p̂ = p + ρφ est la pression motrice (par analogie avec l’hydraulique).
2.1.2
Bilan de puissances virtuelles.
Soit u un champ assez régulier défini sur Ωt , par exemple de classe C 1 sur Ωt et soit A b Ωt un domaine
1-régulier ou lipschitzien. Multiplions scalairement chaque terme du bilan de quantité de mouvement dans
(2.11) par u et intégrons sur A. En tenant de la condition limite et en utilisant le théorème de Stokes, il vient:
Z
Z
Z
Z
Z
Dv
1
rot
|u) dx = [ (ρf |u) dx +
(C|rot
rotu) dx +
(t|u) ds] −
ρ(
σ : ∇ u dx
(2.19)
Dt
A
∂A
A
A 2
A
2.2. PRINCIPE DE D’ALEMBERT
Posons:
Pe (A,u) =
Pa (A,u) =
79
Z
A
Z
(ρf |u) dx +
ρ(
A
Pi (A,u) = −
Z
A
Z
A
1
rot
C|rot
rotu) dx +
2
Dv
|u) dx
Dt
Z
(t|u) ds
∂A
(2.20)
σ : ∇ u dx
Le terme Pe (A,u) est clair: il s’agit de la puissance de tous les efforts extérieurs appliqués à la matière contenue
dans A quand ces efforts "travaillent" contre le champ de vitesse u. On l’appelle puissance virtuelle des efforts
extérieurs. On notera, ce qui est évident vu la décomposition de Helmholtz, que les couples extérieurs travaillent
rotu.
contre la rotation locale caractérisée par le vecteur tourbillon: 21 rot
Le terme Pa (A,u) est la puissance des efforts d’inertie - i.e. d’accélération. On l’appelle puissance virtuelle
des efforts d’accélération.
Le terme restant, Pi (A,u), représente donc la puissance des efforts intérieurs conformément au principe de
D’Alembert. On l’appelle donc puissance virtuelle des efforts intérieurs. On notera que la puissance virtuelle
des efforts intérieurs ne fait intervenir que le seul tenseur des contraintes de Cauchy qui est toujours symétrique.
Or, on a:
σ : ∇ u = σ : D(u) + σ : Ω (u)
Et, comme les endomorphismes symétriques et antisymétriques sont orthogonaux pour le produit scalaire ":",
il reste:
Z
σ : D(u) dx
Pi (A,u) = −
(2.21)
A
et la puissance virtuelle des efforts intérieurs ne fait intervenir que le taux de déformation du champ virtuel
u. Elle est donc en particulier nulle pour tout champ de vitesses virtuelles u rigidifiant.
La relation (2.19) que l’on vient d’établir s’énonce donc simplement en: "Le champ u étant donné, la
puissance virtuelle de tous les efforts, aussi bien intérieurs qu’extérieurs, appliqués à la matière occupant un
domaine régulier borné quelconque intérieur à Ωt est égale à la puissance virtuelle des efforts d’accélération".
Ce qui s’écrit:
Pa (A,u) = Pe (A,u) + Pi (A,u)
(2.22)
Notons que si u = v est le champ réel, il est immédiat de voir que:
Z
D
1
ρ(v|v) dx
Pa (A,v) =
Dt A 2
(2.23)
La puissance réelle des efforts d’accélération représente donc le taux de variation de l’énergie cinétique. De
sorte que pour le mouvement réel on a donc:
Z
D
1
ρ(v|v) dx = Pe (A,v) + Pi (A,v)
(2.24)
Dt A 2
Cette relation est quelquefois appelée "théorème de l’énergie cinétique".
2.2
Équivalence entre le P.P.V. et le P.F.D., pour les domaines intérieurs, dans le cadre de la théorie de Cauchy
Le principe des puissances virtuelles pour le milieu continu non relativiste, ou principe D’Alembert, s’énonce
de la manière suivante:
Dans un référentiel quelconque, pour tout champ de vitesses virtuelles compatibles avec les liaisons, y compris l’incompressibilité si il y a lieu, la puissance virtuelle de tous les efforts extérieurs et intérieurs appliqués à un système matériel est égal à la puissance virtuelle des efforts d’accélération.
80
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
On se propose ici de montrer que le principe des puissances virtuelles appliquées à un domaine strictement
intérieur implique le bilan local de quantité de mouvement ainsi que la relation donnant le vecteur contrainte en
fonction du tenseur de Cauchy et de montrer ainsi que, pour les domaines intérieurs, le principe des puissances
virtuelles est, d’un point de vue physique, équivalent au principe de Newton.
La démarche que l’on va utiliser. On commence par fixer un domaine A strictement intérieur à Ω t
auquel on va appliquer le principe de d’Alembert. Pour cela on précise d’abord quels sont les champs virtuels
admissibles. La démarche est ensuite fondamentalement différente de la précédente. En effet, on va appliquer
ici le principe de D’Alembert au seul domaine A: c’est le fait que le bilan de puissance virtuelle s’équilibre
pour tout champ admissible (i.e. le principe lui-même) qui va donner les équations locales dans A puis la valeur
du vecteur contrainte. Fondamentalement, on doit donc se donner les diverses puissances virtuelles et on voit
alors que, contrairement au cas du principe de Newton, il n’y a pas lieu de se donner les forces de contact
ailleurs que sur le bord de A.
On suppose donc dans ce paragraphe que les puissances virtuelles des divers efforts sont données, pour un
domaine 1-régulier ou lipschitzien A, strictement intérieur à Ωt , par les expressions (2.20-2.21) obtenues au
paragraphe précédent à partir du P.F.D. et des hypothèses de Cauchy et on supposera, pour simplifier, que
toutes les forces volumiques réelles (ρ Dv
Dt ,ρf ,C) sont au moins continues et que σ (ou seulement τ si le milieu
1
est incompressible) est de classe C (A), et on suppose pour être cohérent que t est la restriction à ∂A d’un
champ C 1 défini sur un voisinage de ∂A dans Ωt .
2.2.1
Les champs admissibles.
Le principe de D’Alembert apporte une restriction sur les champs virtuels: pour être admissibles ils doivent
être compatibles avec les liaisons imposées au champ réel, c’est à dire que l’on doit pouvoir (par la pensée)
"arrêter le mouvement" à l’instant t et lui imposer le champ de vitesse virtuelle u puis examiner les puissances
des divers efforts. Pour ce qui concerne les problèmes usuels en MMC, et pour les mouvements réguliers, les
seules conditions imposées au mouvement réel sont des éventuelles conditions de liaisons cinématiques sur
le bord de Ωt et/ou l’incompressibilité. Par exemple, les liaisons cinématiques usuelles sur le bord pour des
milieux fluides sont en général des conditions d’adhérence sur les parois solides qui imposent la valeur de la
vitesse. Si il n’y a pas de condition cinématique imposée au mouvement sur le bord de Ω t , on dit que la frontière
du milieu est libre.
Pour les domaines strictement intérieurs, la seule restriction imposées par la physique aux vitesses virtuelles
est donc, éventuellement, l’incompressibilité. Par ailleurs, on a intérêt à établir l’équivalence (P.P.V.⇔P.F.D.)
avec un ensemble de vitesses virtuelles le plus "régulier" possible ce qui, par dualité donnera un sens aux
équations de bilans pour des champs réels même très irréguliers.
On désigne, conformément à l’usage, par D(Ωt ,E) l’ensemble des champs de classe C ∞ à support compact
dans Ωt et à valeurs dans E. On prend comme champs admissibles:
Définition 2.1 Soit A un ouvert de fermeture strictement intérieure à Ω t . Par définition, les champs
virtuels admissibles pour A seront:
1. Cas compressible. Les restrictions à A des champs de D(Ωt ,E).
2. Cas incompressible. Les restrictions à A des champs de D(Ωt ,E) à divergence nulle.
Il est évident, dans le cas des écoulements de fluides par exemple, que ces champs sont "physiquement"
admissibles puisqu’il suffit d’ajouter à un de ces champs définis sur tout Ω t le champ réel pour obtenir un
champ de vitesse qui vérifient toutes les liaisons cinématiques imposées au milieu et qui est donc, à priori,
virtuellement imposable à l’instant t.
1. En mathématiques, la restriction à A des champs de D(Ωt ,E) est noté D(A,E). Le résultat important est
que, quand le bord de A est assez régulier, ce qui est justement le cas que nous envisageons, l’ensemble
D(A,E) est dense dans l’espace de Sobolev 7 H1 (A,E): ce sera la clef de la démonstration.
7 L’espace de Sobolev H1 (A,E) est, par définition, l’espace des champs de L2 (A,E) - i.e. de carré scalaire intégrable - dont
toutes lesRdérivées partielles distributionnelles sont de carré intégrable sur A. C’est un espace de Hilbert pour le produit scalaire:
(u,v) 7→ A [(u|v) + ∇ u : ∇ u]. Pour une présentation des principales propriétés des espaces de Sobolev, on pourra consulter le
livre de H. Brézis: "Analyse fonctionnelle", Masson (1983).
2.2. PRINCIPE DE D’ALEMBERT
81
2. Dans le cas incompressible, les champs admissibles sont les champs du seul sous espace:
V(A) = {u ∈ D(A,E);
∃w ∈ D(Ωt ,E); div(w) = 0 et u = w|A }
Or, on a pour tout u dans V(A):
1
σ )div(u) = τ : ∇ u
σ : ∇ u = τ : ∇ u + tr(σ
3
En conséquence, pour les milieux incompressibles, la puissance virtuelle des efforts intérieurs ne fait
intervenir que le déviateur des contraintes, ce qui est bien normal puisque comme il ne peut pas y a voir
de variation de volume, la pression ne travaille pas. On a donc:
Cas incompressible:
Z
Z
Pi (A,u) = −
τ : ∇ u dx = − τ : D(u) dx
A
(2.25)
A
Comme on a vu que le principe de Newton impliquait le principe de D’Alembert pour tout domaine intérieur
A et pour tout champ virtuel u qui est la restriction à A d’un champ de de classe C 1 sur Ωt , il l’implique à
fortiori pour les champs virtuels que l’on a choisis. Il nous reste donc uniquement à examiner la réciproque.
2.2.1.1
Cas du milieu compressible
Soit A un domaine 1-régulier ou lipschitzien strictement intérieur à Ωt . Le principe des puissances virtuelles
appliqué à A s’écrit donc, d’après (2.19):
Z
Z
Z
Z
Z
Dv
1
rot
σ : ∇ u dx
(t|u) ds] −
ρ(
∀u ∈ D(A,E) :
|u) dx = [ (ρf |u) dx +
(C|rot
rotu) dx +
Dt
A 2
A
A
∂A
A
En utilisant le théorème de Stokes il vient:
Z
Z
Z
Dv
ρ(
(t − π · n|u) ds
divπ|u) dx +
|u) dx = (ρf + divπ
Dt
A
∂A
A
où:
c
2
l’endomorphisme antisymétrique c étant défini par la relation (2.7). En se limitant d’abord à des fonctions de
classe C ∞ à support compact dans A, et donc nulles sur le bord, on déduit:
Z
Dv
(ρ
∀u ∈ D(A,E) :
− ρf − divπ
divπ|u) dx = 0
Dt
A
π =σ−
Et comme D(A,E) est dense dans L2 (A), en passant à la limite la dernière relation a lieu pour tout u ∈ L2 (A).
Or, dans un espace de Hilbert, le produit scalaire d’un vecteur avec tout vecteur n’est nul que si et seulement
si, ce vecteur est nul. Ce qui implique:
ρ
Dv
= ρf + divπ
Dt
sur A
En reportant dans le bilan des puissances, il reste:
∀u ∈ D(A,E) :
Z
∂A
(t − π · n|u) ds = 0
Or, pour chaque point x de ∂A et pour chaque r > 0, on peut trouver une fonction 8 C ∞ égale à 1 sur la
sphère de centre x et de rayon r et nulle en dehors de la sphère de centre x et de rayon r + et ce pour tout
. Il en résulte, vu la régularité de t et σ , que:
t=π ·n
sur ∂A
Et on a bien retrouvé toutes les relations données par le principe de Newton.
Conclusion: le principe de D’Alembert appliqué à A implique 1) l’équation de bilan local
et 2) la condition limite sur le bord de A et est donc équivalent au principe de Newton.
8
Une telle fonction est appelée "fonction plateau": voir l’appendice sur les domaines ou encore, par exemple, [1] p.20.
82
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
2.2.1.2
Cas du milieu incompressible
Préliminaires. Le cas du milieu incompressible est plus délicat. On ne va faire la démonstration que
pour le cas où ∂A est un domaine de bord C 2 et dont la frontière possède une seule composante connexe (une
sphère ou un tore par exemple mais pas le domaine compris entre deux sphères concentriques, etc..). On aura
alors besoin des deux propositions suivantes:
I Proposition 2.1 Soit A b Ωt un domaine 2 régulier, i.e. de frontière C 2 , et tel que ∂A a une seule
composante connexe. On pose:
V(A) = {u ∈ H1 (A,E);
div(u) = 0}
V(A) = {u ∈ D(A,E);
∃w ∈ D(Ωt ,E); div(w) = 0 et u = w|A }
Alors V(A) est dense V(A).
En réalité, on a: V(A) = rot(H2 (A,E)), ce qui est la clef de la proposition.
Preuve succincte. L’inclusion V(A) ⊂ V(A) est évidente. Par ailleurs, comme ∂A n’a qu’une composante connexe, on a
l’identité V(A) = rot(H2 (A,E)) qui est un résultat classique fréquemment utilisé en electromagnétisme 9 . La conclusion de la
proposition s’en déduit. En effet, le bord de A étant C 2 (théorème de prolongement de Sobolev), tout champ de H2 (A,E) est
la restriction à A d’un champ de H20 (O,E) ou O b Ωt est un domaine régulier contenant A. Par suite, tout champ de V(A)
est la restriction à A d’un champ de {v ∈ H10 (O,E), div(v) = 0}. Or, un résultat fréquemment utilisé pour les équations de
Navier-Stokes 10 , affirme que {v ∈ D(O,E), div(v) = 0} est dense dans {v ∈ H10 (O,E), div(v) = 0}. La conclusion en résulte.
I Proposition 2.2 Soit A un domaine 1-régulier ou lipschitzien de E. On pose:
V(A) = {u ∈ H1 (A,E);
div(u) = 0}
Soit L une forme linéaire continue sur H1 (A,E).
Alors, L s’annule sur V(A) si, et seulement si, il existe une fonction φ de L 2 (A) telle que:
Z
φdiv(u) dx
∀u ∈ H1 (A,E) : L(u) =
A
De plus, la fonction φ ainsi déterminée est unique.
Si on remplace H1 par H10 , on a un résultat analogue mais φ n’est alors déterminé qu’à une constante près
sur chaque composante connexe de A. On utilise classiquement ce dernier résultat pour exhiber l’existence de
la pression dans les problèmes intérieurs de Stokes, par exemple. Je n’ai pas de référence précise pour l’un ou
l’autre de ces résultats et je vais donc indiquer les grandes lignes d’une démonstration possible, qui est à peu
près identique dans les deux cas.
Preuve succincte. L’image de H1 (A,E) par l’opérateur divergence est égale à L2 (A,R) et l’image de H10 (A,E), pour A
R
connexe, est le sous espace fermé: {f ∈ L2 ; A f = 0} (pour ces deux résultats, voir encore R. Dautrey et J.L. lions, ch. IX).
D’autre part, V(A) est fermé dans H1 (A,E) pusique c’est le noyau de l’opérateur divergence qui est continu H1 7→ L2 . Ainsi,
l’opérateur H1 (A,E)/V(A) 7−→ L2 (A,R), qui à chaque u de l’espace quotient H1 (A,E)/V(A) associe la divergence div(u) d’un
champ quelconque de la classe de u est bien défini, continu quand on munit l’espace quotient de la norme quotient et ce par
construction même, injectif, toujours par construction, et surjectif, vu l’identité L 2 (A,R) = div(H1 (A,E)). En vertu du théorème
de Banach sur l’opérateur inverse c’est donc un isomorphisme de H1 (A,E)/V(A) sur L2 (A,R). En conséquence, la forme linéaire L
induit, par passage au quotient, une unique forme linéaire continue sur L 2 (A,R): la conclusion de la proposition n’est rien d’autre
que le théorème de Riesz-Fischer qui permet de représenter cette forme par un produit scalaire. Le cas H 10 est pratiquement
identique en prolongeant la forme sur L2 (A,R) par Hann-Banach (ou même directement), puis en appliquant la formule de Green
pour l’unicité à une ou plusieurs constantes près.
Passons maintenant à la mise en oeuvre du principe des puissances virtuelles. Soit A un domaine strictement intérieur à Ωt , de frontière C 2 ayant une seule composante connexe. Les deux propositions précédentes
s’appliquent. Le principe des puissances virtuelles appliqué à A s’écrit, d’après (2.19):
Z
Z
Z
Z
Z
1
Dv
rot
τ : ∇ u dx
(t|u) ds] −
|u) dx = [ (ρf |u) dx +
(C|rot
rotu) dx +
ρ(
∀u ∈ V(A) :
Dt
A 2
A
A
∂A
A
9 Le résultat est établi dans R. Dautrey et J.L. lions, "Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les
techniques", Masson (1985), ch. IX. 10 Le résultat est établi dans R. Dautrey et J.L. lions (op. cité). ch. XIX.
2.2. PRINCIPE DE D’ALEMBERT
83
En utilisant le théorème de Stokes il vient, comme précédemment:
Z
Z
Z
Dv
|u) dx = (ρf + divπ 0 |u) dx +
ρ(
(t − π 0 · n|u) ds
Dt
A
A
∂A
où:
π0 = τ −
c
2
est un déviateur. Considérons alors la forme linéaire continue L définie sur H 1 (A) par:
Z
Z
Dv
(t − π 0 · n|u) ds
− ρf − divπ 0 |u) dx −
∀u ∈ H1 (A) : L(u) = (ρ
Dt
∂A
A
Par construction, est nulle sur V(A). Par densité, elle est donc nulle sur V(A). D’après la proposition 2.2, il
existe alors une unique fonction p ∈ L2 (A), telle que:
Z
∀u ∈ H1 (A) : L(u) =
pdiv(u) dx
A
En se restreignant aux champs u ∈ H10 (A), on en déduit:
Z
Z
Dv
1
0
∀u ∈ H0 (A) :
(ρ
− ρf − divπ |u) dx =
pdiv(u) dx
Dt
A
A
En appliquant la formule de Green (pour les distributions), ceci implique:
Z
Dv
∇p|u)D0
− ρf − divπ 0 |u) dx = −(∇
(ρ
∀u ∈ D(A) :
Dt
A
De sorte que d’une part la distribution ∇ p s’identifie à une fonction de L2 (A) et ainsi p ∈ H1 (A) et d’autre
part on a, puisque D(A) est dense dans L2 (A):
ρ
Dv
∇p
− f − divπ 0 = −∇
Dt
En posant finalement:
π =τ −
c
− pId
2
on en déduit l’équation locale:
ρ
Dv
= f + divπ
Dt
sur A
En reportant dans L, il reste après intégration par parties:
Z
(t − π · n|u) ds = 0
∀u ∈ H1 (A) :
∂A
ce qui implique, comme précédemment, la condition limite.
Conclusion: le principe de D’Alembert appliqué à A implique 1) l’équation de bilan local
et 2) la condition limite sur le bord de A et est donc encore équivalent au principe de
Newton.
Note 1 Il est remarquable que la pression, qui n’intervient pas dans le bilan de puissances virtuelles, soit
néanmoins bien déterminée. Elle apparaît clairement comme un multiplicateur de Lagrange pour la contrainte
d’incompressibilité. Il y a toutefois une subtilité. En effet, on voit que τ , f , C et le mouvement étant donnés,
p est univoquement définie par le bilan local de quantité de mouvement à une constante près. Inversement,
ajouter une constante k à p est équivalent à ajouter −kn au champ de vecteurs contraintes t et ceci ne modifie
pas le bilan de puissances virtuelles sur les champs admissibles. C’est donc la contrainte sur le bord, et en
particulier dans la démonstration le choix même de la forme linéaire L, qui fixe complètement la valeur de p.
84
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Note 2 A cause de la régularité du bord, on ne peut pas directement appliquer la conclusion à un cube
par exemple. En réalité, il est facile, mais un peu technique, de voir que la conclusion s’étend à un domaine
dont le bord est seulement de classe C 1 ou lipschitzien. Il "suffit" en effet d’étendre la proposition 2.1, ce
que l’on peut faire directement par des méthodes d’analyse fonctionnelle ou encore remarquer que l’on peut
approcher un domaine de frontière C 1 (par exemple) par un domaine de frontière très régulière, puis passer à
la limite: c’est géométriquement évident mais techniquement pénible et on ne le fera pas ici.
Note 3 Si on considère le mouvement de la matière qui occupe un domaine Ω t de bord d’un seul tenant,
à frontière libre ou encore avec des liaisons cinématiques de type "vitesse imposée" sur tout ou partie du bord
de Ωt - ce qui est la situation usuelle en Mécanique des Fluides - on peut alors prendre pour A le domaine
Ωt lui même, en adaptant l’espace des champs admissibles pour tenir compte des conditions limites si il y
a a lieu: le principe des puissances virtuelles induit alors toutes les équations dynamiques du mouvement.
Cette formulation est également appelée formulation faible ou encore formulation variationnelle des lois de la
mécanique: elle est la base de la méthode des éléments finis.
Note 4 La conclusion reste vraie pour un domaine A quelconque dont le bord est de classe C 2 mais qui
possède n + 1 composantes connexes avec n ≥ 0. Le résultat est plus délicat car la proposition 2.1 ne s’applique
plus en général. Le problème est que d’une part l’adhérence de V(A) dans H 1 (A,E) n’est en général plus
confondue avec l’ensemble de tous les champs à divergence nulle et que d’autre part ces derniers ne sont plus
nécessairement des rotationnels dès que n ≥ 1. Cependant, il est facile de voir que l’adhérence de V(A) contient
toujours les rotationnels, c’est à dire rot(H2 ). Or, d’après un résultat général de géométrie différentielle, on a
la décomposition de Hodge-de Rham 11 :
V(A) = rot(H2 ) ⊕ H2
où H2 est le second espace de cohomologie de de Rham. C’est un espace de dimension finie n, formé de champs
qui sont des gradients de potentiels harmoniques et dont une base (orthogonale dans L 2 ) est constituée des
∇φi )i=1,··· ,n où chaque φi (i = 0, · · · ,n) est l’unique solution du problème de Cauchy posé sur A:
(∇
4φi = 0
φi |Γj = δij j = 0, · · · ,n
où les (Γj )j=0,··· ,n sont les n + 1 composantes connexes du bord de A. La somme directe précédente est orthogonale dans L2 . Cette décomposition joue un rôle important en électromagnétisme et également en dynamique
de la vorticité dans les fluides parfaits. En reprenant la démarche précédente en se limitant aux champs nuls
sur le bord, on déduit l’existence d’une pression qui est dans H 1 et les équations locales. Ces dernières ne
permettent toutefois pas, à elles seules, de conclure à l’unicité de la pression mais seulement à l’unicité à au
plus autant de constantes près que A a de composantes connexes (et non pas ∂A). Cependant, en reportant
dans le bilan de puissances virtuelles on obtient la condition sur le bord de A:
Z
⊥
(t − τ · n + pn|u) ds = 0
∀u ∈ H2 :
∂A
Et on montre alors, mais c’est un peu plus technique que dans le cas où u peut être quelconque, que cette
condition implique bien la condition limite: t = τ · n − pn, ce qui en même temps fixe univoquement la valeur
de la pression (i.e. la ou les éventuelles constantes).
2.3
Changement de référentiel.
Considérons un mouvement de milieu continu φ et supposons que ce mouvement soit le mouvement du
milieu vu par un certain observateur.
Soit alors φ∗ le mouvement du même milieu déduit de φ par un changement de référentiel (T,Ψ).
On peut écrire les équations de la dynamique pour le mouvement φ∗ de deux manières distinctes.
La première consiste tout simplement à les déduire de celles connues pour le mouvement φ. La seconde
consiste à appliquer le principe fondamental directement au mouvement φ ∗ .
On se place dans le cadre de la théorie de Cauchy pour les efforts extérieurs et, dans les deux cas, vu l’étude
faite plus haut, on peut appliquer le principe fondamental à la matière contenue dans un domaine intérieur
sous la forme du principe de D’Alembert. C’est ce que l’on va faire.
11
Voir encore le livre de R. Dautrey et J.L. Lions, ch. IX, et aussi par exemple l’article de A. Bossavit dans "Problèmes non
linéaires appliqués. Electromagnétisme: Magnétostatique.", Ecole CEA-EDF-INRIA 12-15/05/87: notes de cours pp. 29-44, (Ed.
INRIA), (1987).
2.3. CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL.
2.3.1
85
Les équations de bilan dynamique pour le mouvement φ∗ , connaissant celles
du mouvement φ.
On considère un domaine A b Ωt et on se place dans le cadre de la théorie de Cauchy. Les puissances
virtuelles agissant sur les champs admissibles pour A sont (cas compressible par exemple):
Pe (A,u) =
Pa (A,u) =
Z
ZA
(ρf |u) dx +
ρ(
A
Pi (A,u) = −
Z
A
Z
A
1
rot
C|rot
rotu) dx +
2
Dv
|u) dx
Dt
Z
(t|u) ds
∂A
(2.26)
σ : ∇ u dx = −
Z
σ : D(u) dx
A
Par définition, le placement à l’instant t − T lors du mouvement φ∗ est Ω∗(t−T ) = Ψ(t − T )(Ωt ). On désignera
par A∗ la partie de Ω∗(t−T ) occupée par les particules de A, c’est à dire A∗ = Ψ(t − T )(A). Pour simplifier
l’écriture, on ne changera pas l’origine des temps (T = 0), mais ce qui suit peut être facilement étendu avec T
arbitraire.
La relation (1.17) (avec ici t∗ = t puisque T = 0) nous donne:
v(t,x) = ve (t,x) +T Q(t) · v∗ (t,x∗ )
(2.27)
où x = Ψ−1 (t)(x∗ ), où v∗ est par définition le champ de vitesse Eulérien du mouvement φ∗ et où:
−→
ve (t,x) = ve (t,O) + Ω e (t) ∧ Ox
−→
−→ ∂ T Q(t)
Q(t) · Ox
Ω e (t) ∧ Ox =
∂t
(2.28)
ve (t,x) est la vitesse d’entraînement du mouvement Ψ−1 . La vitesse relative d’une particule, par rapport à
Ψ−1 est donc 12 :
vr (t,x) =T Q(t) · v∗ (t,x∗ )
(2.29)
En dérivant, il vient:
∂ve (t,x)
Dv(t,x)
=
+ Ω e ∧ (ve (t,x) +T Q(t) · v∗ (t,x∗ ))+
Dt
∂t
Dv∗ (t,x∗ )
Ω e ∧ [T Q(t) · v∗ (t,x∗ )] +T Q(t) ·
Dt
Dv∗ (t,x∗ )
Ωe ∧ [T Q(t) · v∗ (t,x∗ )] +T Q(t) ·
= γ e (x,t) + 2Ω
Dt
Dv∗ (t,x∗ )
T
Ωe ∧ vr (t,x) + Q(t) ·
= γ e (x,t) + 2Ω
Dt
(2.30)
Ω ∧ vr (t,x) est l’accélération de Corriolis. Posons:
On sait que γ e est alors l’accélération d’entraînement et que 2Ω
Ωe −→
dΩ
d
∧ Ox − Ω e ∧ ve (t,x)
fee (t,x∗ ) = −γγ e (t,x) = − ve (t,O) −
dt
dt
Ωe (t) ∧ vr (t,x)
fec (t,x∗ ) = −2Ω
∗
e
fi (t,x ) = fe (t,x∗ ) + fc (t,x∗ )
(2.31)
ρe(t,x∗ ) = ρ(t,Ψ−1 (t)(x∗ ))
où les membres de droite sont à évaluer en x = Ψ−1 (t)(x∗ ). A noter que ρe n’est rien d’autre que la densité
de masse sur la configuration Ω∗t , puisque Ψ conserve les distances, et donc également le volume, et on a:
ρe(t,x∗ ) = ρ(t,x).
Par définition, fee est la densité massique des forces d’inertie d’entraînement, fec est la densité massiques des
forces de Corriolis et fei est tout simplement la densité massique totale des forces d’inertie pour le changement
de référentiel considéré 13 . On a donc:
ρ(x,t)
Dv∗ (t,x∗ )
Dv(t,x) T
= Q(t) · [e
ρ(t,x∗ )
] − ρe(t,x∗ )fei (t,x∗ )
Dt
Dt
Et ce n’est pas v∗ sauf si Q(t) = Id.
domaine Ω∗t .
12
13
(2.32)
On met le symbole tilde pour bien indiquer que ces forces sont posées sur le nouveau
86
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Appliquons à φ le principe des puissances virtuelles pour le domaine A, strictement intérieur à Ω t . Pour
simplifier, on suppose que le milieu est compressible, le cas incompressible se traite de la même manière en se
restreignant à des champs virtuels à divergence nulle et en remplaçant σ par son déviateur. Il vient:
Z
Z
Z
Z
Z
Dv
1
rot
ρ(
|u) dx = [ (ρf |u) dx +
(C|rot
rotu) dx +
(t|u) ds] −
σ : ∇ u dx
Dt
A
A
∂A
A 2
A
Comme la relation est vraie pour tout champ admissible u elle l’est pour le champ T Q(t) · u qui est également
admissible (dans le cas incompressible, il est évident que si u est à divergence nulle il en est de même de
T
Q(t) · u). On a d’après (2.32), aux points homologues:
ρ(
Dv T
Dv∗
| Q(t) · u) = ρe[(
|u) − (Q(t) · fei |u)]
Dt
Dt
(2.33)
Pour calculer les intégrales, effectuons le changement de variable: x∗ = Ψ(t)(x). Posons:
e
f (t,x∗ ) = f (t,Ψ−1 (t)(x∗ ))
∗
e
C(t,x
) = C(t,Ψ−1 (t)(x∗ ))
(2.34)
e
t(t,x∗ ) = t(t,Ψ−1 (t)(x∗ ))
De même, pour tout champ u ∈ D(Ωt ,E), posons: ũ(t,x∗ ) = u(t,Ψ−1 (t)(x∗ )). C’est évidement un champ de
D(Ω∗t ,E) et l’application D(Ωt ,E) 7→ D(Ω∗t ,E) ainsi définie est bijective et c’est d’ailleurs une isométrie si on
munit les espaces de départ et d’arrivée de la norme H1 . En changeant de variable on transforme le domaine
d’intégration en A∗ = Ψ(t)(A) et on a donc, pour la puissance des efforts d’accélération, puisque le jacobien
de Ψ(t) vaut 1:
Z
Z
Z
Dv∗
Dv T
| Q(t) · u) dx =
|ũ) dx∗ −
ρe(
ρe(Q(t) · fei |ũ) dx∗
ρ(
Dt
Dt
∗
∗
A
A
A
Or, par composition, on a: ∇ ũ(t,x∗ ) = ∇ u(t,x) ·T Q(t). D’où:
e (t,x∗ ) · Q(t)
∇ (T Q(t) · u(t,x)) =T Q(t) · ∇ u
On en déduit alors les expressions des autres puissances:
Z
Z
(ρf |T Q(t) · u) =
(Q(t) · ρee
f |ũ) dx∗
A
A∗
Z
Z
1
1
T
e rot
rot
(C|rot
rot( Q(t) · u)) dx = Q(t) · C|rot
rotũ) dx∗
2
2
∗
A
A
Z
Z
(t|T Q(t) · u) ds =
(Q(t) · e
t|ũ) ds
∂A
∂A∗
Z
Z
Q(t) · σ ·T Q(t) : ∇ ũ dx
σ : ∇ u dx =
A∗
A
où = det(Q(t)) = ±1.
Finalement, en omettant maintenant le tilda sur les champs virtuels, on vient de montrer que pour toute
partie intérieure A de Ω∗t et tout champ de vitesses virtuelles u admissible, on a:
Z
A
ρe(
Dv∗
|u) dx =
Dt
Z
1
rot
(e
ρQ(t) · (f̃ + fei )|u) dx + (Q(t) · C̃|rot
rotu) dx
A 2
A
Z
Z
σ : ∇ u dx
σ̃
(Q(t) · t̃|u) ds −
+
Z
∂A
(2.35)
A
σ = Q(t) · σ ·T Q(t).
où on a posé: σ̃
On en déduirait alors facilement les équations locales pour le mouvement relatif, exactement comme on l’a
fait au paragraphe précédent pour le mouvement φ.
Pour le milieu incompressible, on obtiendrait rigoureusement la même expression en remplaçant σ par τ et
σ par τ̃τ = Q(t) · τ ·T Q(t).
σ̃
2.3. CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL.
2.3.2
87
Les équations de bilan dynamique pour le mouvement φ∗ , d’après la théorie
de Cauchy.
Dans le cadre de la théorie de Cauchy, le principe de D’Alembert appliqué à une partie A strictement
intérieure à Ω∗t s’écrit, pour tout champ admissible (cas compressible par exemple):
Z
ρ∗ (
A
Dv∗
|u) dx =
Dt
Z
A
(ρ∗ f ∗ |u) dx +
Z
A
1 ∗
rot
(C |rot
rotu) dx +
2
Z
∂A
(t∗ |u) ds −
Z
A
σ ∗ : ∇ u dx
(2.36)
où ρ∗ est la densité de masse, et où f ∗ est la densité spécifique d’efforts extérieurs, C∗ la densité volumique
de couple extérieurs, t∗ la densité surfacique de forces de contacts et σ ∗ le tenseur des contraintes de Cauchy.
Comme ρ∗ = ρe on doit donc avoir pour tout champ admissible (cas compressible):
Z
Z
Z
Z
1
∗
e
rot
σ : ∇ u dx =
(ρ Q(t) · (f̃ + fi )|u) dx + (Q(t) · C̃|rot
rotu) dx +
(Q(t) · t̃|u) ds −
σ̃
A 2
A
Z ∂A
Z
Z
ZA
(2.37)
1 ∗
rot
σ ∗ : ∇ u dx
(t∗ |u) ds −
(C |rot
rotu) dx +
(ρ∗ f ∗ |u) dx +
A
∂A
A 2
A
et ce pour tout domaine strictement intérieur A b Ω∗t .
2.3.3
Le principe de D’Alembert pour les efforts extérieurs dans le reférentiel
mobile.
Pour le point matériel, ou pour le solide indéformable, on sait que les efforts extérieurs pour un mouvement
relatif sont les efforts extérieurs du mouvement initial augmentés des efforts d’inertie dus au changement de
référentiel. On postule alors qu’il en est de même pour le milieu déformable: c’est le principe de D’Alembert
pour les changements de référentiel. C’est à dire:
Dans un référentiel quelconque, pour tout champ de vitesses virtuelles u compatible avec
les liaisons - y compris l’incompressibilité, si il y lieu, la puissance virtuelle de tous les efforts,
aussi bien intérieurs qu’extérieurs appliqués à un système matériel, est égale à la puissance
virtuelle des efforts d’accélération. Les efforts extérieurs lors d’un mouvement relatif sont les
efforts extérieurs du mouvement initial augmentés des efforts d’inertie et tous déplacés dans le
mouvement inverse de celui de l’observateur mobile (i.e. on leur applique Q ou Q). A noter que le
coefficient pour les couples vient de ce que si le mouvement Ψ est rétrograde, le sens de rotation du couple
C est inversé.
En retirant les puissances extérieures à (2.37), on en déduit donc que pour tout domaine strictement
intérieur A assez régulier et tout champ admissible, on doit avoir:
Z
σ ∗ − σ̃
σ ] : ∇ u dx = 0
[σ
Compressible
A
Z
(2.38)
∗
[ττ − τ̃τ ] : ∇ u dx = 0
Incompressible
A
On fixe un point x et on utilise cette relation pour des sphères centrées en x (par exemple). On passe au
complété des champs admissibles dans H1 (A) et on en déduit que la relation est vraie pour tout champ
−→
u = D · Ox avec D constant (ou constant de trace nulle) et pour toute sphère A assez petite centrée en x. Il
σ ∗ − σ̃
σ ] : D = 0 (ou encore [ττ ∗ − τ̃τ ] : D = 0) et ce pour tout D constant
en résulte qu’en (x,t) on doit avoir [σ
(ou constant de trace nulle).
Finalement, en introduisant également une éventuelle translation de l’origine des temps, T , on en déduit
qu’entre les contraintes du mouvement φ et celles du mouvement φ∗ on doit avoir les relations suivantes en
tout point x ∈ Ωt .
1. Cas compressible:
σ ∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = Q(t − T ) · σ (x,t) ·T Q(t − T )
(2.39)
La pression est alors identique aux points homologues.
2. Cas incompressible:
τ ∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = Q(t − T ) · τ (x,t) ·T Q(t − T )
(2.40)
88
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
où:
φ∗ (t − T ) = Ψ(t − T ) ◦ φ(t)
A noter la subtilité suivante. Dans le cas du milieu incompressible, il n’y a pas de règle de transformation sur
la pression et il n’y a pas non plus lieu d’identifier les vecteurs contraintes eux mêmes mais uniquement la
puissance virtuelle qu’ils développent car on sait (voir la note 1 à la fin du paragraphe précédent) que l’on
peut ajouter à tout champ de vecteurs contraintes un champ kn sans modifier la puissance virtuelle des efforts
extérieurs. D’ailleurs, φ et φ∗ peuvent être identiques avec des pressions différentes (il suffit de considérer par
exemple un liquide incompressible au repos dans un récipient soumis à deux densités de forces extérieures qui
dérivent de potentiels différents).
A noter qu’il en résulte immédiatement que si Ψ est un changement de référentiel Galiléen, les équations
locales de bilan de quantité de mouvement pour φ et φ∗ sont identiques avec le même tenseur des contraintes (cas
compressible) ou avec le même déviateur des contraintes et le même gradient de pression (cas incompressible)
et ce puisqu’alors fi = 0 et Q(t) = Id.
2.3.4
Le principe d’objectivité matérielle énoncé pour les efforts intérieurs.
Pour le milieu déformable, il est plus naturel d’énoncer le principe de changement de référentiel directement
sur les efforts intérieurs.
En effet, on sait que l’existence d’une puissance des efforts intérieurs non nulle est une conséquence de la
déformation du système. Il est donc naturel de postuler, puisqu’un changement de référentiel ne modifie pas
les déformations, que la puissance virtuelle des efforts intérieurs, en tant que scalaire, doit être invariante par
changement d’observateur pour des champs virtuels et des domaines homologues. C’est le principe d’objectivité
matérielle que l’on peut énoncer sous la forme:
La puissance virtuelle des efforts intérieurs, en tant que scalaire, est invariante par changement de référentiel.
Pour le cas du point matériel ou du solide indéformable, comme la puissance virtuelle des efforts intérieures
est nulle dans un référentiel Galiléen, elle reste nulle dans tout référentiel et ce principe d’objectivité matérielle
est donc bien équivalent au principe de D’Alembert pour le référentiel mobile. Voyons qu’il en est de même
pour le milieu déformable.
Considérons donc un mouvement de milieu continu φ vu par un certain observateur et soit φ ∗ le mouvement
du même milieu déduit de φ par un changement de référentiel (T,Ψ). On garde les mêmes notations que dans
l’analyse précédente.
Désignons par Pi la puissance des efforts intérieurs sur Ωt pour le mouvement φ et par Pi∗ celle sur Ω∗(t−T )
pour le mouvement φ∗ . Soit u un champ de vitesses virtuelles défini sur Ωt et compatible avec l’incompressibilité
s’il y a lieu. Conformément à la loi de composition des vitesses (1.18), à ce champ u correspond le champ virtuel
u∗ défini sur Ω∗(t−T ) par:
u∗ (x∗ ) = ve∗ (t∗ ,x∗ ) + Q(t∗ ) · u(x)
(2.41)
où t∗ = t − T . L’interprétation de u∗ est simple. Si une particule matérielle à la vitesse u dans le référentiel
où le mouvement est φ, alors la vitesse de cette particule vue par un observateur mobile dans le mouvement
Ψ−1 est tout simplement u∗ . De sorte qu’en particulier u∗ est à divergence nulle si u l’est.
Exploitons le principe d’objectivité matérielle pour déduire l’expression du tenseur des contraintes de
Cauchy (ou de son déviateur) lors du mouvement φ∗ connaissant son expression pour φ. Pour simplifier on
traitera le cas compressible, le cas incompressible étant similaire en remplaçant σ par son déviateur τ .
Soit σ le tenseur des contraintes de Cauchy pour le mouvement φ et σ ∗ celui pour le mouvement φ∗ . On a,
pour tout domaine assez régulier strictement intérieur A b Ωt et tout champ admissible u:
Z



σ : ∇ u dx
P
(A,u)
=
−
i

A
Z


 Pi∗ (A∗ ,u∗ ) = −
σ ∗ : ∇ u∗ dx∗
A∗
Comme σ est symétrique, seul intervient la partie symétrique du gradient de vitesse c’est à dire le tenseur des
taux de déformations. De plus, on peut effectuer un changement de variable dans l’intégrale triple sur A ∗ pour
la ramener à une intégrale sur A en posant - évidemment - x∗ = Ψ(t − T )(x). Le jacobien est égal à 1 de sorte
que l’on a, en tenant compte de la loi de changement de référentiel pour le tenseur des taux de déformations
2.3. CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL.
(1.21):




89
Pi (A,u) = −


 Pi∗ (A∗ ,u∗ ) = −
Z
σ : D dx
ZA
A
σ ∗ : [Q(t − T ) · D ·T Q(t − T )] dx
Dans la seconde relation, D est évalué au point x et σ ∗ au point Ψ(t−T )(x). Le principe d’objectivité matérielle
s’écrit donc:
Z
Z
σ : D dx =
σ ∗ : [Q(t − T ) · D ·T Q(t − T )] dx
A
A
et ce pour tout domaine intérieur A et tout champ virtuel admissible u. Or, on a:
σ ∗ : [Q(t − T ) · D ·T Q(t − T )] = tr(T σ ∗ · Q(t − T ) · D ·T Q(t − T ))
= tr(T Q(t − T ) ·T σ ∗ · Q(t − T ) · D)
= [T Q(t − T ) · σ ∗ · Q(t − T )] : D
Il vient donc, en revenant aux gradients de vitesse (ce qui est justifié puisque le produit scalaire d’un tenseur
symétrique et d’un tenseur antisymétrique est nul):
Z
σ −T Q(t − T ) · σ ∗ · Q(t − T )] : ∇ u dx = 0
[σ
A
Finalement, comme cette relation a lieu tout domaine A et pour tout champ u ∈ H 1 (A), on peut l’appliquer
−→
à une famille de sphères centrées en un point x et à des champs de la forme u = D · Ox avec D symétrique et
constant. On en déduit, pour un milieu compressible:
σ ∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = Q(t − T ) · σ (x,t) ·T Q(t − T )
(2.42)
La pression est alors identique au points homologues.
−→
Dans le cas du milieu incompressible, la même démarche, en considérant des champs de la forme u = D· Ox
avec D symétrique de trace nulle et constant, conduit à:
τ ∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = Q(t − T ) · τ (x,t) ·T Q(t − T )
(2.43)
Ces deux dernières relations expriment donc la forme locale du principe d’objectivité matérielle. C’est cette
forme qui est le plus souvent postulée dans les ouvrages de référence.
Finalement, on retrouve les relations obtenues à partir du principe de D’alembert en référentiel mobile et,
en identifiant dans (2.37) on obtient le principe de D’Alembert en référentiel mobile lui même.
On a donc montré que le principe d’objectivité matérielle énoncer pour les efforts intérieurs était équivalent
au principe de D’Alembert en référentiel mobile, énoncé pour les efforts extérieurs.
2.3.5
La mécanique du milieu continu basée sur le principe des puissances virtuelles. Théorie du premier gradient.
On a vu que pour les domaines strictement intérieurs le principe de Newton était équivalent au principe des
puissances virtuelles quand ces dernières sont connues, par exemple à partir du principe fondamental, comme
dans le premier paragraphe. On peut donc aussi bien postuler le principe des puissance virtuelles comme
principe fondamental de la dynamique du milieu continu, complété par le principe d’objectivité matérielle
pour les changements de référentiels.
Dans ces conditions, il s’agit avant tout de décrire les diverses puissances qui interviennent dans le bilan. La
puissance des efforts d’accélération et la puissance des efforts extérieurs sont en principe connues et prennent
les formes déjà indiquées plus haut, les efforts extérieurs se résumant à des densités volumiques de forces
et de couples et à des forces de contacts. Pour ce qui concerne la puissance des efforts extérieurs, on voit
alors qu’elle fait intervenir le champ u et également son gradient à travers rot
rotu. On s’attend donc à ce que
les efforts intérieurs puissent, de la même manière, travailler contre u et son gradient: c’est le cadre d’une
théorie du premier gradient. On impose également le principe d’objectivité matérielle pour tout changement
de référentiel en demandant, de plus, à ce que la puissance des efforts intérieurs, en tant que forme linéaire,
agissent au même ordre de dérivation dans tous les référentiels. Dans le cadre d’une théorie du premier gradient,
90
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
pour un mouvement donné dans un certain référentiel, on prend alors la puissance virtuelle des efforts intérieurs
sous la forme:
Z
∀A b Ωt :
Pi (A,u) = − [(a|u) + b : ∇ u] dx
(2.44)
A
où a est un champ de vecteurs et b un champ d’endomorphismes, qui dépendent du référentiel, tous deux
définis et localement intégrables sur Ωt .
En appliquant le principe d’objectivité matérielle, en prenant pour u un champ constant on déduit que
−→
a est nécessairement nul, puis en prenant pour u un champ rigidifiant de la forme u = ω ∧ Ox, on déduit
que b est symétrique. Ce qui, dans tous les cas, définit donc le tenseur des contraintes de Cauchy, ou son
déviateur, de manière univoque. On retrouve ainsi, bien entendu, la théorie de Cauchy. En particulier, le principe
des puissances virtuelles appliqué à une partie intérieure à Ωt conduit aux équations locales du mouvement
identiques à celles déduites du principe fondamental de Newton, comme on l’a déjà vu. Le principe d’objectivité
matérielle nous donnant de plus la loi de transformation de σ ou τ lors des changements de référentiels.
A noter qu’une théorie du premier gradient n’est pas compatible avec l’existence de couples surfaciques de
contact entre une partie et le reste du milieu.
Notes:
1. Le principe des puissances virtuelles permet d’étendre "simplement" les équations de la mécanique à des
milieux plus complexes où une théorie du premier gradient ne suffit pas à décrire les efforts intérieurs (c’est
le cas des milieux micropolaires 14 , par exemple, où les contacts entre les parties du milieu transmettent
des couples surfaciques). On pourra consulter les articles de P. Germain [7] et [8] pour plus de détails.
2. Pour rester cohérent avec le cadre d’une théorie du premier gradient, puisque les efforts intérieurs peuvent
travailler contre u et ∇ u, il y a lieu de supposer qu’il en est de même pour les efforts extérieurs. Nous
avons introduit des densités volumiques de force et de couple qui travaillent respectivement contre u
et contre la partie antisymétrique de ∇ u. Mais rien ne s’oppose à l’existence d’efforts extérieurs qui
travailleraient contre la partie symétrique de ∇ u. Ces efforts ne seront alors plus représentés par une
densité volumique de forces mais par une densité volumique de "double force" qui sera localement un
tenseur symétrique d’ordre 2. De telles forces existent dans la nature et apparaissent en particulier en
electrodynamique du milieu continu. On consultera l’article de G.A. Maugin [13] pour plus de détails.
3. Le milieu continu déformable le plus simple du point de vue des efforts intérieurs est le fluide parfait
incompressible. On dit qu’un milieu continu incompressible est un fluide parfait si la puissance des efforts
intérieurs est nulle pour tout mouvement et tout champ virtuel à divergence nulle. Ainsi, le déviateur
des contraintes de Cauchy est toujours nul. D’après ce que l’on a vu au paragraphe précédent dans le
cas du milieu incompressible, les équations locales du mouvement, en l’absence de couples extérieurs, se
ramènent donc à l’existence d’une fonction p (la pression) telle que:

 divv = 0
(2.45)
 ρ Dv = ρf − ∇ p
Dt
Ce sont les équations habituelles du fluide parfait incompressible.
2.3.6
Équations de la mécanique dans le repère mobile.
On considère un mouvement φ engendré par un système de forces extérieures compatibles et on se place à
un instant particulier t. On considère un changement de référentiel (T,Ψ) avec encore T = 0 et on choisit Ψ
pour que Ψ(t) = Id. Notons que c’est toujours possible si on se donne Ψ uniquement par son champ de vitesse
d’entraînement à chaque instant, ce qui est le cas en pratique quand on étudie par exemple le mouvement en
bloc d’un liquide.
Avec les notations des paragraphes précédents, les configurations Ω ∗t et Ωt coïncident et de plus on a:
Q(t) = Id. On applique le principe de D’Alembert d’où l’on déduit les équations du mouvement φ ∗ à l’instant
t connaissant celles de φ en ajoutant aux forces extérieures les forces d’inertie et en ne modifiant pas le tenseur
des contraintes (ou son déviateur) puisque Q(t) = Id.
On retrouve alors la loi habituelle de composition des accélérations, encore appelée formule du repère
mobile. En effet, d’après (2.30) et puisque Q(t) = Id, v ∗ (t,x) coïncide alors avec la vitesse relative vr (t,x) au
même point x. En dérivant, il vient:
∂v
Dv(t,x)
Ωe (t) ∧ vr (t,x) + ( r + ∇ vr · vr )
= γ e (t,x) + 2Ω
Dt
∂t
14
Voir les exercices E5.3, E7.1, E8.1 de [4].
(2.46)
2.3. CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL.
91
D’après la relation (2.35) (le cas incompressible est identique) on aura donc pour tout champ de vitesses
virtuelles:
Z
Z
Z
∂vr
1
rot
+ ∇ vr · vr |u) dx = (f + fi |u) dx +
(C|rot
rotu) dx
ρ(
∂t
2
A
A
A
Z
Z
(2.47)
σ : ∇ u dx
(t|u) ds −
+
∂A
A
d’où l’on déduit l’équation de bilan local de quantité de mouvement:
1
∂vr
+ ∇ vr · vr ) = f + fi + divσ + rot
rot(C)
ρ(
∂t
2
où fi est donnée par:
Ωe (t) ∧ vr (t,x))
fi (t,x) = −ρ(x,t)(γγ e (t,x) + 2Ω
(2.48)
(2.49)
Les conditions donnant le vecteur contrainte sur le bord sont inchangées puisque Q(t) = Id.
Exercice 2.3.1 Écrire les équations dans le repère mobile, pour un fluide parfait incompressible ou pour
un fluide Newtonien, quand le mouvement d’entraînement est un mouvement de rotation autour d’un axe fixe.
Examiner le cas d’un milieu incompressible qui est au repos dans un réservoir tournant. Quelle relation y
a-t-il entre les pressions pour les mêmes forces de contact extérieures (pression atmosphérique par exemple)?
Interpréter.
92
2.4
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Bilan d’énergie. Premier principe au cours du mouvement.
Une "particule" dans un milieu continu est un concept idéal. En réalité, on sait (hypothèse atomique) qu’un
matériau réel est composé d’un ensemble discret de "constituants élémentaires" (les molécules pour un fluide),
très "grand". Un point x = φ(t,X) occupé par une particule d’un milieu continu doit plutôt, d’un point de vue
physique, être considéré comme le "centre" d’un domaine infinitésimal contenant un "assez grand nombre" des
constituants élémentaires du matériau. Ainsi, ρ et ρv, par exemple, doivent plutôt être considérées comme les
"valeurs moyennes 15 macroscopiques" des mêmes grandeurs (masse et quantité de mouvement en l’occurrence)
de ces constituants.
C’est précisément l’existence d’une telle "micro-structure" sous jacente qui permet de comprendre la notion
même d’équilibre thermodynamique ou de déséquilibre.
En règle générale, la connaissance d’un mouvement de milieu continu sur un matériau donné ne suffit pas,
à elle seule, à déterminer l’état "interne" du matériau. En effet, examinons, par exemple, l’énergie cinétique
dans un fluide en mouvement. Comme il est utopiqueR de penser que tous les constituants moléculaires ont
la même vitesse, il est alors évident que la quantité A 21 ρv2 dx ne représente en général qu’une partie (et
plutôt une petite partie) de l’énergie cinétique totale des constituants présents dans A. Ainsi, en général,
l’énergie d’agitation des constituants élémentaires ne sera pas et ne pourra pas être donnée par le mouvement
macroscopique φ, qui ne représente que leur mouvement moyen.
On doit donc introduire une ou plusieurs fonctions supplémentaires définies sur la configuration de référence
qui donnent une information "macroscopique" sur l’état interne "microscopique" du matériau à chaque instant,
indépendante(s) du mouvement. Parmi ces fonctions, l’une sera l’énergie interne.
2.4.1
L’énergie interne.
On est donc naturellement conduit au concept d’énergie interne du milieu. Celle-ci étant tout simplement la
différence entre l’énergie totale (pas seulement cinétiqueRd’ailleurs) de tous les constituants microscopiques qui
composent le système et de l’énergie cinétique moyenne Ωt 12 ρv2 dx. Hors équilibre thermodynamique, et donc
de manière générale au cours des mouvements, cette notion généralise la notion d’énergie interne à l’équilibre,
qui est alors une fonction bien déterminée de la température et du gradient de déformation seulement (voir
plus loin).
On va alors, de plus, supposer que l’énergie interne des particules dans un domaine A est la somme de
l’énergie cinétique d’agitation des constituants microscopiques élémentaires présents dans ce seul domaine et
de l’énergie potentielle des seules interactions entre les constituants élémentaires qui occupe ce domaine. C’est
à dire que l’on néglige les interactions des composants d’une "particule" avec les composants des particules
voisines, comme c’est le cas usuel à l’équilibre thermodynamique du milieu continu. Ceci est bien justifié quand
les potentiels d’interactions moléculaires restent à courte portée (forces de type Van der Walls par exemple),
ce qui est le cas général dans les fluides électriquement neutres.
Ainsi, on considère qu’il existe à chaque instant une fonction définie sur les parties cubables de Ω t qui,
à chaque partie associe l’énergie interne de la matière qu’elle contient. Désignons par E(A) l’énergie interne
contenue dans un domaine A ⊂ Ωt . Par définition, l’énergie totale de la matière contenue dans A est donc:
Z
1 2
ρv dx
E(A) +
A 2
Et cette énergie interne est additive d’ensembles. Comme les énergies potentielles intermoléculaires sont bornées
inférieurement et qu’elles n’interviennent qu’à une constante près, on peut supposer que cette fonction est
positive et donc on peut également supposer qu’elle est σ-additive. De plus, il semble évident que si une partie
est de masse nulle, c’est qu’elle ne contient en moyenne aucun constituant élémentaire et donc que son énergie
interne est nulle. On en déduit, par Radon-Nikodym (comme pour la masse) qu’il existe une densité d’énergie
interne spécifique (t,x) définie sur tout Ωt telle que pour toute partie mesurable A ⊂ Ωt on ait:
E(A) =
15
Z
ρ dx
(2.50)
A
On reste volontairement imprécis sur cette moyenne. En principe il s’agit d’une moyenne statistique, dite moyenne d’ensemble,
que l’on identifie (hypothèse d’ergodicité) à une moyenne spatio-temporelle. En principe, pour les fluides, cette dernière doit être
prise sur des "boîtes" dont la longueur caractéristique est grande devant le libre parcourt moyen et sur des durées dont la fréquence
caractéristique est grande devant la fréquence de collision.
2.4. LE PREMIER PRINCIPE
93
On définit également la densité d’énergie interne spécifique Lagrangienne par 16 :
(2.51)
e(t,X) = (t,φt (X))
On supposera que e est assez régulière pour justifier les calculs qui suivent, par exemple de classe C 1 (I,C 1 (Ō,R))
pour tout ouvert
R borné. On notera que, vu la définition, l’énergie totale contenue dans un domaine A ⊂ Ω t est
donc: E(A) + A 12 ρv2 dx.
A noter que l’on ne définit pas l’énergie interne d’une configuration de référence en tant que telle. C’est
inutile car soit cette configuration est occupée au cours du mouvement et son énergie interne est alors bien
définie, soit non et elle n’intervient pas.
2.4.2
Le premier principe
D’après ce qui précède et la définition de l’énergie interne, le premier principe de la thermodynamique
s’exprime simplement en indiquant que pour tout domaine 1-régulier borné, A, strictement intérieur à Ω t ,
le taux de variation de l’énergie totale dans ce domaine quand on le suit dans son mouvement est égal à la
puissance des efforts extérieurs appliqués à A, augmentée de la quantité de chaleur reçue par A de la part du
"monde extérieur" à A. On supposera, comme pour la modélisation des efforts extérieurs, que la chaleur reçue
est de deux types:
1. Une chaleur volumique produite directement dans A par des sources extérieures au matériau et caractérisée par une densité volumique de chaleur reçue h.
2. Une chaleur, transmise par contact avec le reste du milieu, caractérisée par une densité surfacique de
chaleur reçue q.
Le vecteur q(t,x) défini sur tout Ωt à l’instant t est appelé vecteur flux de chaleur reçue. Il caractérise les
échanges thermiques entre A et le reste du milieu. On supposera, pour simplifier, que le champ q est, par
exemple, de classe C 1 sur Ωt . Le premier principe de la thermodynamique pour le milieu continu se traduit
donc, sous forme intégrale, par:
Z
Z
Z
Z
(v|v)
D
ρ
(q|n) ds
(2.52)
h dx −
[ ρ dx +
dx] = Pe (A,v) +
Dt A
2
A
∂A
A
où l’expression de la puissance des efforts extérieurs est donnée à la relation (2.20). On en déduit, d’après le
théorème de l’énergie cinétique (2.24) et l’expression de la dérivée particulaire d’une intégrale que:
Z
Z
Z
D
dx =
ρ
h dx − (q|n) ds − Pi (A,v)
A Dt
Z
ZA
ZA
σ : ∇ v dx
(q|n) ds +
h dx −
=
A
A
∂A
On transforme l’intégrale de surface avec le théorème de Stokes et il vient:
Z
Z
D
ρ
dx = (h − div(q) + σ : ∇ v) dx
A
A Dt
On notera que, puisque σ est symétrique on a: σ : ∇ v = σ : D. Finalement, comme cette relation est vraie
pour tout domaine régulier borné on obtient l’équation locale de bilan d’énergie:
ρ
D
= σ : D + h − div(q)
Dt
(2.53)
Il est intéressant de faire apparaître la pression. Il vient:
ρ
D
= τ : D − pdiv(v) + h − div(q)
Dt
(2.54)
Dans le cas du milieu incompressible il reste donc:
ρ
16
D
= τ : D + h − div(q)
Dt
cas incompressible
(2.55)
Vu le nombre de lettres de l’alphabet on est un peu limité en notations, du moins si on veut éviter une inflation d’indices. Le
lecteur aura donc soin de ne pas confondre ce e "Lagrangien" avec la notation e utilisée plus loin pour la fonction énergie interne
à l’équilibre thermodynamique.
94
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Sinon, on sait que par conservation de la masse, on a: div(v) = −
ρ
2.4.3
1 Dρ
et il en résulte finalement que:
ρ Dt
D
p Dρ
=τ :D+
+ h − div(q)
Dt
ρ Dt
(2.56)
Principe d’objectivité
R
L’énergie interne A ρ dx représente la somme de l’énergie cinétique d’agitation et de l’énergie potentielle
des constituants élémentaires du milieu. Dans un voisinage "infinitésimal" de chaque point x l’énergie cinétique
d’agitation est indépendante du mouvement de solide local de la "particule fluide" (voir la décomposition locale
de Helmoltz) et comme l’énergie potentielle ne dépend que des distances entre les constituants élémentaires,
finalement la densité d’énergie interne ρ dx est invariante par changement de référentiel, c’est à dire qu’elle
est indépendante de l’observateur. On suppose bien sûr également que le taux volumique de chaleur reçue h
est indépendant de l’observateur. Comme la puissance des efforts intérieurs l’est également, on en déduit les
règles de transformation par changement de référentiel suivantes 17 pour , h et q. Les notations sont celles des
relations 2.43 et 2.42
∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = (x,t)
h∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = h(x,t)
(2.57)
q∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = Q(t − T ) · q(x,t)
17
Comme la masse dm = ρdx est invariante par changement de référentiel, on a invariance de la densité massique, , d’énergie
interne.
2.5. L’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE.
2.5
2.5.1
95
L’équilibre thermodynamique.
Définition
Il y a de nombreuses présentations de la notion "d’équilibre thermodynamique" d’un système. Celle que
nous allons proposer ici, purement macroscopiqque, permet d’unifier dans une même approche les fluides et
les solides. La différence entre les deux est fondée sur la nature de leur groupe de symétrie.
Les systèmes qui nous intéressent ici sont évidemment des matériaux que l’on souhaite décrire au niveau
"macroscopique" comme des milieux continus et pour lesquels on ne souhaite introduire comme variable cinématique macroscopique que le mouvement de milieu continu de la partie considérée. Sinon, en particulier, le
bilan de quantité de mouvement que l’on a fait précédemment ne serait plus justifié, il manquerait au moins
la puissance virtuelle des éventuels autres champs cinématiques 18 . Pour ce qui suit on ne va s’intéresser qu’à
des matériaux homogènes en théorie du premier gradient.
Rappelons que l’on a convenu (c.f. paragraphe 1.11.3) que l’on pouvait choisir comme configuration de
référence pour tout mouvement une partie d’une configuration particulière, appelée "configuration naturelle"
dont la propriété (pour les milieux homogènes) est d’avoir une densité de masse ρ 0 spatialement constante,
choisie comme unité. Fixons cette configuration naturelle que, par la suite, on nommera "la configuration
naturelle de référence". Pour un milieu incompressible, on choisit bien sur comme densité ρ 0 sur cette configuration naturelle, la densité "réelle" du milieu c’est à dire, en principe, la seule densité de masse que l’on
peut rencontrer sur les placements du milieu au cours de ses mouvements. Pour un milieu incompressible, ceci
implique en particulier que les mouvements par rapport à cette configuration naturelle ont tous un tenseur des
déformations absolu unitaire.
On dira alors qu’un mouvement de milieu continu est un mouvement où le milieu est à l’équilibre thermodynamique global par rapport à sa configuration naturelle si les conditions suivantes sont vérifiées:
1.
2.
3.
4.
Le mouvement est le repos, c’est à dire que le mouvement relatif est l’identité.
Le milieu est isolé, c’est à dire que la densité de chaleur volumique reçue, h, est nulle.
Le milieu est à l’équilibre thermique, c’est à dire que le flux de chaleur q est nul.
Le mouvement absolu est homogène, compatible avec l’ordre du gradient retenu dans le principe des puissances virtuelles. C’est à dire, ici, que le gradient de déformation absolu F est constant 19 . En particulier,
la densité de masse est constante.
5. L’énergie interne est stationnaire et homogène, c’est à dire que la densité massique d’énergie interne est
une constante e.
6. La densité massique d’entropie est stationnaire, égale à la densité s eq (e,F) où seq est l’entropie d’équilibre
du matériau.
Précisons la notion d’entropie que l’on vient d’introduire. Considérons la configuration constante Ω occupée
par notre matériau au repos, à l’équilibre thermodynamique au sens de cette définition. On sait (hypothèse
atomique) qu’un matériau idéalisé comme un milieu continu est en principe constitué d’un grand nombre de
constituants élémentaires (i.e. les molécules pour un fluide) "microscopiques". L’ensemble des états déterministes possibles de ces constituants élémentaires est appelé espace de phase du système. Pour un jeu de variables
macroscopiques (e,F) donné, qui caractérise l’état local macroscopique du voisinage d’une "particule" du milieu continu, il existe un très grand nombre d’états internes microscopiques dans lesquels peuvent se trouver les
constituants élémentaires de ce voisinage. La répartition statistique de ces états microscopiques dans l’espace
de phase, durant le mouvement, les contraintes macroscopiques (e,F) étant fixées, peut donc, en principe, être
arbitraire. L’équilibre thermodynamique est alors un mouvement particulier pour lequel la seule donnée des
variables (e,F) fixe complètement l’état statistique interne. D’après le principe du "minimum de l’information"
cet état statistique doit alors être celui pour lequel le nombre d’états microscopiques "raisonnablement visités"
par le système est maximum. En effet, si ce n’est pas le cas, c’est qu’il y a des contraintes supplémentaires qui
empêchent le système de visiter (ou qui lui font visiter moins souvent) certaines parties de son espace de phase.
Sauf à préciser ces contraintes, c’est à dire à introduire d’autres variables macroscopiques, on est condamné
à les ignorer et à supposer que toutes les parties de l’espace de phase sont alors statistiquement équivalentes.
Par ailleurs, comme le nombre de ces états raisonnablement visités est très grand on préfère en prendre le
logarithme. On suppose bien sûr, ce qui est compatible avec l’additivité de l’énergie interne, qu’à l’équilibre
thermodynamique chaque partie du milieu est elle même à l’équilibre thermodynamique. C’est à dire que le
18
Il ne s’agit pas de savoir si le matériau est du premier gradient ou pas, mais de savoir si il y a lieu d’introduire des variables
19 Il l’est
cinématiques indépendantes du mouvement, comme par exemple une orientation dans les milieux de Cosserat.
temporellement, puisque le mouvement est stationnaire et on demande à ce qu’il le soit spatialement
96
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
nombre, statistiquement maximum, d’états associés à la réunion de deux parties disjointes est alors le produit
des nombres associés à chaque partie. Ainsi, les logarithmes sont additifs.
Par conséquent, il doit exister une mesure (au sens ensembliste) sur les parties cubables de Ω qui à chaque
partie cubable associe une grandeur appelée entropie d’équilibre laquelle mesure le nombre maximum d’états
internes raisonnablement visités par les particules de cette partie quand elle est à l’équilibre thermodynamique,
lequel est caractérisé par les valeurs macroscopiques (e,F). D’après le théorème de Radon-Nicodym cette mesure
possède donc une densité massique que l’on note seq . Cette densité seq est donc une fonction bien déterminée
des variables (e,F), on dit que c’est une "fonction d’état" des variables d’état (e,F).
Par ailleurs, on postule que pour tout placement Ωt du milieu, lors d’un mouvement d’équilibre ou non,
on peut définir également une mesure d’entropie caractérisée par une densité spécifique sur ce placement, que
l’on notera η pour ne pas la confondre avec la fonction entropie à l’équilibre. On verra un peu plus loin les
restrictions qu’il y lieu de lui imposer. Ainsi, parmi tous les mouvements de repos ayant même (e,F) et vérifiant
les 5 premiers points de la liste caractéristique d’un mouvement d’équilibre, l’équilibre thermodynamique sera
celui pour lequel la densité massique d’entropie est stationnaire et spatialement constante, égale à sa valeur
d’équilibre.
On dira alors qu’un placement Ωt d’un milieu continu, lors d’un mouvement quelconque par rapport à la
configuration naturelle fixée précédemment, est un état d’équilibre thermodynamique global si 1) le tenseur de
déformations absolu F(t) est spatialement constant, 2) le vecteur flux de chaleur q est nul, 3) les densités
massiques d’entropie et d’énergie interne (t) et η(t) sont spatialement constantes et reliées par la relation
η(t) = seq (e(t),F(t)). Enfin, un état d’équilibre thermodynamique local est par définition un placement Ω t
pour laquelle les densités massiques d’entropie et d’énergie interne (x,t) et η(x,t) sont reliées par la relation
η(x,t) = seq (e(x,t),F(x,t)), on ne demande bien sûr plus au flux de chaleur d’être nul puisqu’il y a alors des
gradients de température.
A noter la subtilité suivante, si on examine un mouvement où le milieu est à l’équilibre thermodynamique
global par rapport à sa configuration naturelle et dont le mouvement absolu est l’identité, ce n’est pas la
configuration naturelle qui est à l’équilibre thermodynamique, mais son placement qui est géométriquement
identique. Il n’y a donc pas lieu d’affecter des propriétés thermodynamqiques particulières à la configuration
naturelle, même si il est plus commode de l’imaginer comme un état d’équilibre. Pour les fluides, c’est d’ailleurs
purement formel.
2.5.2
Le principe d’objectivité matérielle pour l’entropie.
Comme l’entropie à l’équilibre est une mesure du volume visité par le système dans son espace de phase, on
ne s’attend pas à ce qu’elle dépende de l’observateur. Autrement dit on postule que l’entropie d’équilibre est
invariante par changement de référentiel, tant que ce changement de référentiel est compatible avec un
mouvement d’équilibre: c’est à dire que ce ne peut être qu’un mouvement rigidifiant indépendant du temps
(sinon le mouvement vu par l’observateur mobile n’est plus un mouvement d’équilibre thermodynamique, par
définition). Comme l’énergie interne est invariante par changement de référentiel, il en résulte que l’on doit
avoir dans le cas compressible:
∀Q ∈ O(E),∀F ∈ Isom(E) :
seq (e,F) = seq (e,Q · F)
ou, dans le cas incompresible (U (E) est le groupe unitaire)
∀Q ∈ O(E),∀F ∈ U (E) :
2.5.3
seq (e,F) = seq (e,Q · F)
La température et le second principe à l’équilibre.
On admettra que la fonction seq possède par rapport aux variables (e,F) toute la régularité voulue pour
justifier les calculs qui vont suivre. D’autre part, puisque l’on ne va considérer que des états d’équilibre, on ne
mettra plus l’indice eq et on notera simplement l’entropie s.
L’étude de systèmes simples (le gaz idéal par exemple) montre qu’entre états d’équilibre globaux, l’entropie
est une fonction croissante de l’énergie interne à déformation fixée, ce qui est bien physiquement évident pour
les systèmes usuels.
Le taux de variation de l’entropie par rapport à l’énergie interne est par définition l’inverse de la température
d’équilibre que l’on note θ et qui est donc positive. On a donc, par définition:
1
∂
s(e,F) = > 0
∂e
θ
(2.58)
2.5. L’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE.
97
Il en résulte en particulier, par le théorème des fonctions implicites, que l’on peut exprimer e comme une
fonction de s et de F, que l’on notera e(s,F). D’autre part, et ceci constitue le second principe de la thermodynamique à l’équilibre, on postule que l’entropie est une fonction strictement convexe par rapport à e. C’est
à dire
∂2
s(e,F) > 0
(2.59)
∂e2
Il en résulte, par le théorème des fonctions implicites, que l’on peut exprimer e comme une fonction de θ et
de F que l’on notera e(θ,F). Par composition, on peut également exprimer s comme une fonction de θ et F,
que l’on notera s(θ,F). Afin d’éviter toutes confusions entre ces fonctions d’état, il est préférable de conserver
entre parenthèse la liste des variables.
Par ailleurs, on sait que pour une fonction convexe, la première variation est un opérateur monotone. Ce
qui signifie que l’on a pour tout (e,δe 6= 0,F):
s(e + δe,F) − s(e,F) >
δe
θ
(2.60)
Or, la quantité δe quand la déformation est fixée ne peut être que la chaleur reçue par unité de masse, comme
on va le voir un peu plus bas. En conséquence l’inégalité de convexité exprime que la quantité d’entropie reçue
par le système, δe
θ , est inférieure à la variation d’entropie entre les deux états. C’est exactement le second
principe. A noter que comme une fonction est convexe si et seulement si sa première variation est monotone,
en fait le second principe à l’équilibre est complètement équivalent à la convexité de l’entropie spécifique par
rapport à l’énergie interne spécifique. Ce qui explique que dans la littérature pour des milieux plus complexes,
on exige en général la convexité de l’entropie à l’équilibre par rapport aux variables extensives.
2.5.4
Travail et chaleur.
Vu la définition de la température, on a:
∂
e(s,F) = θ
∂s
et en différentiant:
∂
e(s,F) : dF
∂F
Attention à la subtilité suivante, la différentielle par rapport à F (que l’on identifie à une application linéaire
par la dualité définie par le produit scalaire canonique "· : ·" sur les endomorphismes) est soit à prendre parmi
tous les F inversibles si le milieu est compressible, soit uniquement parmi les F unitaires sinon. Dans les deux
cas il s’agit d’une différentielle d’une fonction définie sur une variété et non pas sur un espace affine ou vectoriel.
∂
La quantité ∂F
e(s,F) est une application linéaire. On note alors:
de = θds +
P = ρ0
∂
e(s,F)
∂F
et l’application linéaire ainsi définie P est appelée tenseur des contraintes de Piola à l’équilibre. On a donc:
de = θds +
P
: dF
ρ0
Introduisons l’endomorphisme que l’on note provisoirement u:
P T
u
=
· F
ρ
ρ0
On va voir que c’est soit le tenseur de Cauchy (cas compressible) soit son déviateur. Auparavant, notons les
propriétés:
I Proposition 2.3 Si le milieu est incompressible, l’endomorphisme u est un déviateur.
C’est tout simplement une conséquence de la définition de P par dualité. En effet, on a:
det(F + δF) = det(F)(1 + tr(δF · F−1 )) + o(δF)
98
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Ainsi, l’espace tangent à U (E) en un point F est l’ensemble des endomorphismes δF vérifiant la condition:
[δF · F−1 ] : Id = 0. Or, on a:
P
u
: δF = : [δF · F−1 ]
ρ0
ρ
Par dualité, u est donc orthogonal à l’identité et c’est donc un déviateur.
I Proposition 2.4 L’endomorphisme u est symétrique.
C’est, comme pour les mouvements quelconques, une conséquence du principe d’objectivité matérielle.
Attention que P ne l’est pas.
Preuve. Puisque s et e sont invariants par changement de référentiel on doit avoir:
∀Q ∈ O(E),∀F ∈ Isom(E) :
e(s,F) = e(s,Q · F)
(compressible)
ou:
∀Q ∈ O(E),∀F ∈ U (E) :
e(s,F) = e(s,Q · F)
(incompressible)
Prenons alors pour F une famille à un paramètre α de la forme F(α) = Q(α) · F où F est constant et arbitraire et où Q(α) est
orthogonal avec Q(0) = Id. Du fait du principe d’objectivité matérielle, on a pour tout α:
e(s,Q(α) · F) = e(s,F) = cste
En dérivant par rapport à α et en se plaçant en α = 0, il vient:
∂
e(s,F) : (Q0 (0) · F) = 0
∂F
C’est à dire, en passant à u:
u : Q0 (0) = 0
Or, on sait que Q0 (0) ·T Q(0) = Q0 (0) est antisymétrique et il peut être choisi arbitrairement. Autrement dit le produit scalaire
de u avec tout endomorphisme antisymétrique est nul, ce qui implique que u est symétrique.
On va maintenant examiner des mouvements qui sont des suites d’états d’équilibre thermodynamique du
milieu global. Comme chaque partie du milieu est à l’équilibre thermodynamique, il n’y a pas d’échange de
chaleur entre cette partie et le reste du milieu et, pour ces évolutions, on a q = 0.
Cas compressible. Un calcul simple donne:
ρde = ρθds + u : (dF · F−1 )
Lors des mouvements envisagés, on a: = e(s(t),F(t)) et il vient:
ρ
D
Ds
DF
Ds
Ds
= ρθ
+ ρθu :
· F−1 = ρθ
+ u : ∇ v = ρθ
+u:D
Dt
Dt
Dt
Dt
Dt
où D est la partie symétrique du gradient de vitesse à l’instant t. Pour obtenir la seconde relation on a tenu
compte de la symétrie de u. En identifiant avec le bilan d’énergie (2.53), il vient à un instant t quelconque:
σ − u) : D + [ρθ
(σ
Ds
− h] = 0
Dt
Or, ceci est vrai pour tout D et h arbitraire. On en déduit:
σ=u
ρθ
Ds
=h
Dt
Par suite, u n’est rien d’autre que le tenseur des contraintes de Cauchy pour l’état d’équilibre observé.
En conclusion: la quantité ρθds s’interprète donc comme une quantité de chaleur reçue par le système quand
il passe de l’état d’équilibre thermodynamique (s,F) à l’état (s + ds,F + dF), alors que u : dF · F −1 s’interprète
comme la quantité de travail reçue.
De plus, puisque d’après la loi de conservation de la masse on a: ρ/ρ0 = det(F), on a finalement la relation:
ρde = ρθds + σ : (dF · F−1 )
∂
e(s,F) ·T F
σ = ρ0 det(F)
∂F
(compressible)
où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy dans le milieu à l’équilibre.
(2.61)
2.5. L’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE.
99
Cas incompressible. Une démarche rigoureusement identique montre que le tenseur u est alors le déviateur des contraintes de Cauchy. On en déduit:
ρde = ρθds + τ : (dF · F−1 )
∂
τ = ρ0 det(F)
e(s,F) ·T F
∂F
(incompressible)
(2.62)
Retenons donc les points suivants:
1. Dans un milieu compressible, la loi d’état e = e(s,F) permet de déterminer le tenseur des
contraintes de Cauchy à l’équilibre.
2. Dans un milieu incompressible à l’équilibre, la loi d’état ne permet de déterminer que le
déviateur des contraintes.
On verra que l’on retrouve cette situation y compris hors équilibre.
A l’équilibre, le tenseur des contraintes de Cauchy, ou son déviateur, est donc complètement déterminé par
la connaissance de la seule loi d’état seq ou de toute autre fonction d’état qui lui est équivalente. En général,
comme on préfère travailler en température plutôt qu’en entropie, on utilise alors l’énergie libre. On définit
l’énergie libre spécifique, ψ, comme étant - au facteur θ > 0 près - la transformée de Legendre de la fonction
convexe seq :
ψ(θ,F) = e(θ,F) − θs(θ,F)
Ainsi, le tenseur des contraintes de Piola est-il également défini par:
P = ρ0
∂
ψ(θ,F)
∂F
(2.63)
et le tenseur de Cauchy est donné par (cas compressible):
σ = ρ0 det(F)
∂
ψ(θ,F) ·T F
∂F
(2.64)
Interprétation énergétique du tenseur de Piola Multiplions l’une ou l’autre des relations (2.61)
ou (2.62) par le volume actuel V , que l’on suppose borné, de la configuration d’équilibre que l’on considère.
Comme la densité de masse est spatialement constante, la quantité V ρ est la masse constante de la quantité de
matière que l’on considère. La quantité ∆E = ρV de est donc la variation totale d’énergie interne de la matière
qui occupe le volume V . D’après l’étude précédente, la quantité ∆Q = ρV θds est la quantité totale de chaleur
reçue par le système. De même, la quantité ∆W = V σ : (dF · F−1 ) (ou ∆W = V τ : (dF · F−1 ) dans le cas
incompressible) est la quantité de travail reçu par le système. On a bien sûr ∆E = ∆Q + ∆W conformément
au premier principe, puisque c’est le premier principe lui même (i.e. de la forme locale du bilan d’énergie) qui
a permis ces identifications. En revenant au tenseur de Piola, on voit que l’on a la relation:
∆W = V0 P : dF
où V0 est le volume de la configuration de référence. En conséquence, la quantité
P : dF = ρ0
∂
∂
e(s,F) : dF = ρ0
ψ(θ,F) : F
∂F
∂F
est donc la densité de travail reçue par unité de volume de la configuration de référence. Alors que la quantité
(cas compressible):
σ : (dF · F−1 )
est la densité de travail reçu par unité de volume de la configuration actuelle.
Interprétation géométrique du tenseur de Piola Pour simplifier, on suppose que le milieu est
compressible. Considérons un domaine B de la configuration naturelle et ψ un mouvement d’équilibre thermodynamique qui à chaque instant est une transformation affine homogène de gradient constant F. Ce mouvement
déforme le milieu et envoie donc B sur un domaine fixe Ω. Soit A un domaine 1-régulier borné quelconque
strictement intérieur à B. La matière contenue dans A occupe, après déformation le domaine ψ(A) ∈ Ω. Les
efforts de contacts fC exercés par le reste du milieu sur cette matière et résultants de σ sont:
Z
σ · n dσ
fC =
∂ψ(A)
100
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
En changeant de variables, on ramène cette intégrale sur la configuration non déformée. Comme on sait (voir
le chapitre cinématique) que les normales sont transformées par:
ndσ = |det(F)|T F−1 NdΣ,
il vient:
fC =
Z
∂A
P · N dΣ
Ainsi, P · N est la densité des efforts intérieurs de contacts par unité de surface de la configuration non
déformée.
Note: Notons toutefois que P n’est pas symétrique. En mécanique du solide on utilise alors le tenseur de Piola-Kirchoff
qui est défini par T = F−1 · P que l’on introduira un peu plus loin. Il apparaît naturellement grace au principe d’objectivité
matérielle. De sorte que l’on a: σ · n dσ = F[T · N dΣ]. Le vecteur contrainte de Piola-Kirchoff, T · N dΣ, est alors une force définie
sur la configuration de référence et transportée comme un vecteur matériel. Par transport convectif, il donne le vecteur contrainte
de Cauchy. En pratique, les tenseurs de Piola et Piola-Kirchoff ne sont utiles que pour les solides. En petites perturbations ils se
confondent tous deux avec le tenseur de Cauchy.
2.5.5
Note sur le groupe de symétrie à l’équilibre.
Considérons une application linéaire inversible unitaire S. On dit alors que S est une symétrie du matériau
considéré si, pour tout F inversible (resp. unitaire si le milieu est incompressible), on a:
s(e,F · S) = s(e,F)
Cette symétrie s’interprète donc comme une déformation que l’on peut faire subir à la configuration naturelle
sans modifier les équilibres thermodynamiques. Autrement dit, cela revient à considérer que si on change de
configuration naturelle de référence, par une transformation homogène et unitaire (qui conserve donc la densité
de masse) dont le gradient est S, et que l’on construit à partir de cette nouvelle configuration une théorie de
l’équilibre thermodynamique, la fonction "entropie d’équilibre" n’est pas modifiée. Le groupe de symétrie
est une caractéristique de l’état naturel de référence.
En dérivant, on voit que si S est une symétrie alors:
θ(s,F · S) = θ(s,F)
D’où l’on déduit en passant en variables (θ,F) que si S est une symétrie alors:
(
s(θ,F · S) = s(θ,F)
e(θ,F · S) = e(θ,F)
Il est également facile de voir, à partir de la définition du tenseur de Piola, qu’une symétrie laisse invariant
le tenseur des contraintes de Cauchy à l’équilibre (mais pas celui de Piola). On a en effet, en identifiant les
travaux reçus :
P(s,F · S) = P(s,F) ·T S−1
et donc:
σ (θ,F · S) = σ (θ,F)
C’est cette dernière propriété que l’on généralisera au chapitre suivant pour définir le groupe de symétrie d’un
matériau lors de mouvements quelconques.
L’ensemble des symétries d’un matériau forment évidemment un groupe, sous groupe du groupe unitaire,
appelé groupe de symétrie du matériau.
On dit alors qu’un matériau est isotrope si son groupe de symétrie contient tout le groupe orthogonal de
E. Ce qui signifie qu’à l’équilibre thermodynamique il n’a pas de direction de déformation privilégiée. Un
matériau qui n’est pas isotrope est dit orthotrope.
Le résultat suivant dû à W. Noll[14] est alors remarquable (voir le théorème A.19): le groupe de symétrie
d’un matériau isotrope est soit tout le groupe unitaire soit le groupe orthogonal.
Dans le premier cas le matériau est alors un fluide. En effet, si le groupe de symétrie est tout le groupe
unitaire on peut déformer un état naturel "comme on veut" pourvu que l’on conserve la densité de masse:
ceci implique qu’à l’équilibre thermodynamique le matériau occupe "naturellement" tout "contenant" mis à
sa disposition, ayant un volume donné, quelle que soit sa forme et ce, en vertu du principe du maximum
2.5. L’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE.
101
d’entropie. Ce qui est une propriété fondamentale des fluides. On le retrouve d’ailleurs facilement à partir de
la loi d’invariance de l’énergie interne comme on va le voir ci-dessous.
Dans le second cas, c’est alors un solide élastique à l’équilibre, comme par exemple le solide élastique
isotrope linéaire vu en cours d’élasticité. Les solides cristallins sont toutefois, en général, orthotropes. Pour
plus de détails on se reportera par exemple à [6] ou [10].
Dans la partie rhéologie, on supposera que le groupe de symétrie n’est pas modifié par le mouvement. On
verra comment traduire cela en pratique sur le tenseur des contraintes hors équilibre. Ainsi, un fluide reste
un fluide et un solide, un solide. En particulier, le second principe nous indique alors que si on supprime
toutes les causes du mouvement, le milieu retournera à un équilibre thermodynamique et que cet équilibre
thermodynamique sera donc rigoureusement de même nature (i.e. on a toujours les mêmes variables d’état
et les mêmes lois d’état) que si il n’y avait pas eu de mouvement: le mouvement n’aura fait que modifier les
valeurs des variables d’état finales.
On pourrait bien sûr envisager des matériaux plus complexes, par exemple ayant des états d’équilibre où il y lieu de préciser
les gradients de déformation à des ordres plus élevés ou encore ayant plusieurs constituants moléculaires ou atomiques et/ou
chimiquement réactifs pour lesquels il est nécessaire de préciser les concentrations (ou, par dualité les potentiels chimiques), ou
encore ayant des propriétés électromagnétiques, ou encore pour lesquels une température ne suffit pas à décrire l’état statistique de
la micro-structure. Sauf dans le dernier cas, où on doit introduire des variables d’état dite "internes" et où on peut être confronté à
l’existence de plusieurs entropies, la thermodynamique des autres situations reste classique et le lecteur trouvera des descriptions
précises dans des ouvrages de second cycle. Le problème des changements d’état au cours du mouvement est plus complexe et le
lecteur intéressé est invité à consulter des ouvrages spécialisés.
2.5.6
Les fluides à l’équilibre thermodynamique
Parmi les matériaux isotropes il y a donc les fluides, pour lesquels les équilibres thermodynamiques sont
"invariants" par toute transformation homogène et unitaire de l’état naturel. Leur thermodynamique à l’équilibre est la thermodynamique classique du milieu bi-paramétrique (du moins pour les compressibles). Voyons
cela.
Cas compressible. Considérons donc un matériau pour lequel le groupe de symétrie est le groupe
1
unitaire. Prenons, pour chaque F, la symétrie particulière: S = F−1 |det(F)| 3 qui est unitaire. Il vient:

ρ0 1

 e(s,F) = e(s,( ) 3 Id)
ρ
∀F ∈ Isom(E,E) :
ρ0 1

 θ(s,F) = θ(s,( ) 3 Id)
ρ
Comme ρ0 est fixée une fois pour toutes (c’est l’unité de référence pour le matériau considéré), on redéfinit
donc la fonction "énergie interne" comme étant une fonction de s et ρ seulement, de même pour la température.
Posons donc:
ρ0 1
(s,ρ) = e(s,( ) 3 Id)
ρ
A partir de la relation:
det(F + dF) = det(F)[1 + tr(F−1 dF) + o(dF)]
= det(F)[1 + dF :T F−1 + o(dF)]
on déduit que:
1
|det(F)| 3 ∂e(s,λId)
∂e
1
=
|
λ=|det(F)| 3
∂F
3
∂λ
et, par composition des dérivations, que:
T
F−1
et
T
F−1 : dF = −
1 ∂e(s,λId)
∂
dρ
1
1
dρ = − |det(F)| 3
|
λ=|det(F)| 3 ρ
∂ρ
3
∂λ
D’où:
∂ T −1
∂e
∂
∂e
(s,F) = −ρ
F
et
: dF =
dρ
∂F
∂ρ
∂F
∂ρ
Par suite, le tenseur des contraintes de Cauchy est sphérique, donné par:
σ = −ρ2
∂
Id
∂ρ
dρ
ρ
102
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Les forces de contacts se réduisent donc à des pressions. La quantité:
pth = ρ2
∂
(s,ρ)
∂ρ
est la pression thermodynamique. En variable (s,ρ), on a donc:
d = θds +
pth
dρ
ρ2
On retrouve, bien sûr, la relation habituelle. En particulier:
∆E = M d = M θds + M
pth
dρ = ∆Q − pth dV
ρ2
où M est la masse totale du milieu et V son volume.
Considérons alors le scalaire
∂
pth (s,ρ)
∂ρ
Exercice 2.5.1 Montrer que pour qu’un mouvement d’équilibre thermodynamique (i.e. le repos) soit stable
∂
∂
il est nécessaire que ∂ρ
pth (s,ρ) > 0. Indication: poser c2 = | ∂ρ
pth (s,ρ)| et considérer des petites perturbations
unidirectionelles et isentropiques de densité. Elles sont régies par l’équation ∂ tt u = c2 ∂xx u, où est le signe de
∂
∂ρ pth (s,ρ). En considérant le problème à valeurs initiales u(0,x) = u 0 (x), ∂t u(0,x) = u1 (x), avec les conditions
limites u(0) = u(L) = 0 vérifier qu’elles sont amplifiées exponentiellement si < 0.
En conséquence, le nombre c > 0 défini par:
c2 =
∂
pth (s,ρ) > 0
∂ρ
(2.65)
est la vitesse de transmission des petites perturbations de densité, c’est à dire la vitesse du son.
Cas incompresible. La même démarche montre que si le fluide est incompressible, à l’équilibre le déviateur des contraintes est nul. Ainsi, l’énergie interne ne dépend que de la température et la densité n’est donc
pas une variable d’état.
2.5.7
Note sur le milieu incompressible.
Pour les fluides usuels, qui sont normalement des milieux bi-paramétriques, l’hypothèse d’incompressibilité
signifie que la seule variable d’état pour l’équilibre est la température (ou indifféremment d’ailleurs, l’entropie
ou l’énergie interne et de manière générale n’importe qu’elle fonction monotone de la température) comme
on vient de le voir et que la densité n’est donc pas une variable d’état. On sera alors attentif au fait que,
même si la pression thermodynamique n’est pas définie dans un milieu incompressible, cela ne l’empêchera
pas lors d’écoulements de subir des pressions hydrodynamiques. Cela veut simplement dire qu’un matériau
incompressible peut subir des pressions hydrodynamiques arbitraires, indépendamment donc de sa température
ou de sa densité. Il est alors physiquement évident qu’il n’existe pas dans la nature de matériau strictement
incompressible: l’hypothèse d’incompressibilité est une hypothèse sur la nature des conditions expérimentales.
Pour les écoulements de fluides (liquides ou gaz) dans les situations habituelles, l’hypothèse d’incompressibilité
est bien vérifiée tant que le nombre de Mach dans l’écoulement reste partout petit et qu’il n’y a pas de gradients
de pressions hydrodynamiques trop importants.
2.5.8
Les solides isotropes à l’équilibre
On peut appliquer le principe d’objectivité matérielle à l’équilibre thermodynamique pour l’énergie libre
puisque l’énergie interne et l’entropie à l’équilibre sont invariantes par changement d’observateur, et donc
également la température. On en déduit immédiatement que (cas compressible par exemple):
∀R ∈ O(E),∀F ∈ Isom(E) :
ψ(θ,F) = ψ(θ,R · F)
Introduisons alors la décomposition polaire, F = Q · U, de F. En prenant R = T Q, il vient:
∀F ∈ Isom(E) :
ψ(θ,F) = ψ(θ,U)
2.5. L’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE.
103
Or U est une application linéaire symétrique définie et positive et on sait alors que l’application U 7→ U 2 est
un C 1 difféomorphisme entre applications linéaires symétriques définies et positives. Comme le tenseur des
déformations absolu de Lagrange est donné par:
1T
1
[ F · F − Id] = [U2 − Id],
2
2
on peut changer de variable et en déduire que ψ ne dépend que de θ et Γ . En changeant de notations, il vient:
Γ=
∀F ∈ Isom(E) :
Γ) = ψ(θ,F)
Ψ(θ,Γ
On notera que comme Ψ n’est définie que sur des endomorphismes symétriques, sa différentielle par rapport à
Γ est, par dualité, associée à un endomorphisme symétrique. Comme pour la définition du tenseur de Piola, on
confond cette différentielle et l’application linéaire associée. Il existe donc une application linéaire symétrique
T définie par:
Γ)
∂Ψ(θ,Γ
T = ρ0
Γ
∂Γ
T est le tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff. Par composition des dérivations, et en tenant compte de la
symétrie de T, on déduit
F · T : dF = P : dF
d’où:
T = F−1 · P
Ainsi, le tenseur de Cauchy est donné par:
T T
σ
=F·
· F
ρ
ρ0
(2.66)
On retrouve le fait que le tenseur des contraintes de Cauchy à l’équilibre thermodynamique est symétrique, ce
que l’on avait déjà vu. Il est intéressant de voir le lien entre les deux en termes de travail élémentaire reçu, ce
qui lors d’un mouvement indiquera la puissance des efforts intérieurs. Il vient:
Γ
∆W = V σ : (dF · F−1 ) = V0 T : dΓ
Γ est la densité de travail reçu par unité de volume de la configuration naturelle. C’est pourquoi,
Ainsi, T : dΓ
en mécanique du solide élastique on utilise en général le tenseur de Piola-Kirchoff.
Γ ·T Q) = Ψ(Γ
Γ) et, d’après
On notera que si le milieu est isotrope, alors pour tout Q orthogonal on a: Ψ(Q ·Γ
la proposition A.22, Ψ ne dépend que des invariants scalaires de Γ . Sans changer de notation pour Ψ et en
posant:
Γ2 )
Γ3 )
tr(Γ
tr(Γ
Γ)
I10 = tr(Γ
I20 =
I30 =
2
3
on en déduit immédiatement la loi la plus générale donnant le tenseur de Piola-Kirchoff à l’équilibre pour tout
matériau homogène et istotrope du premier gradient:
T = ρ0 (
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
Id + 0 Γ + 0 Γ 2 )
∂I10
∂I2
∂I3
A noter que l’expression est valable pour les milieux compressibles. Pour les milieux incompressibles, d’une
part les trois invariants ne sont pas indépendants et d’autre part la loi d’état ne donne que le déviateur des
contraintes 20 . Dans le cas des fluides on retrouverait bien sûr les résultats que l’on a déjà obtenus. Examinons
donc rapidement le cas des solides isotropes.
2.5.8.1
Elasticité linéaire finie du solide isotrope.
Si le groupe de symétrie est seulement le groupe orthogonal, le matériau est par définition un solide élastique
isotrope. On s’intéresse au cas usuel d’un solide compressible. Si on linéarise la loi d’état au voisinage de (θ 0 ,0)
(c’est à dire pour une petite déformation, au sens géométrique, par rapport à la configuration naturelle de
référence) on obtient alors:
Γ) = T(θ0 ,0) + λtr(δΓ
Γ)Id + 2µδΓ
δΓ − kδθId + o(|δθ|,||δΓ
Γ||)
T(θ0 + δθ,δΓ
(2.67)
Exercice 2.5.2 Etablir la relation (2.67).
20
Dans le cas incompressible, notons encore T = ρ0
∂Ψ
∂Ψ
Γ − 2I20 Id) + ∂I
Γ2 − 3I30 Id)].
vient: T = ρ0 [ ∂I
0 (Γ
0 (Γ
2
3
Γ)
∂Ψ(θ,Γ
.
Γ
∂Γ
On a ρ0 = ρ et donc τ = F · T ·
T F.
D’où l’on déduit T : Γ = 0 et il
104
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Les coefficients λ,µ sont les coefficients de Lamé et k est un coefficient de thermoélasticité 21 . A noter que
l’on a nécessairement:
T(θ0 ,0) = −p(θ0 )Id
où p(θ0 ) est un scalaire qui représente une pression. C’est la pression qui règne dans le milieu quand le placement
est géométriquement identique à la configuration naturelle, à une transformation orthogonale près. En effet,
Γ et tout Q orthogonal, on ait:
l’isotropie impose que pour tout δΓ
Γ · Q) = T(θ0 ,0) : δΓ
Γ
T(θ0 ,0) : (T Q · δΓ
Ce qui signifie, par définition du produit contracté, que T(θ0 ,0) commute avec tout le groupe orthogonal et
que c’est donc une homothétie. On note donc que le choix de l’état naturel de référence ne peut pas être
physiquement quelconque. En général, on peut simplifier la relation (2.67) car pour un solide on peut admettre
qu’il existe un choix de la configuration naturelle tel que p(θ0 ) = 0. La loi se simplifie en:
Γ) = λtr(δΓ
Γ)Id + 2µδΓ
δΓ − kδθId + o(|δθ|,||δΓ
Γ||)
T(θ0 + δθ,δΓ
L’élasticité linéaire finie consiste alors à supposer que l’on approche bien le comportement de certains solides
isotropes en conservant les termes d’ordre 1 de la linéarisation ci-dessus. La loi de l’élasticité linéaire finie est
donc:
Γ) = λtr(Γ
Γ)Id + 2µΓ
Γ − k(θ − θ0 )Id
T(θ0 + θ,Γ
(2.68)
Attention à la subtilité suivante: la loi est linéaire en Γ et elle est donc non linéaire par rapport au champ de
déplacement: les équations de l’équilibre mécanique sont donc non linéaires.
Comme pour le carré de la vitesse du son, on s’attend à ce que les coefficients (λ,µ,k) ne soient pas
quelconques afin d’assurer la stabilité de l’état de repos par rapport aux petites perturbations de déformation.
En étudiant la propagation de ces petites perturbations on obtient les conditions de stabilité:
3λ + 2µ > 0
µ>0
k>0
(2.69)
Exercice 2.5.3 Etablir ces conditions de stabilité.
Ces conditions étant vérifiées, on peut alors inverser la loi "contraintes-déformations" (2.68) et exprimer Γ
en fonction de T. Il vient 22 :
1+ν
ν
Γ=
T − tr(T)Id + α(T − T0 )Id
(2.70)
E
E
où:
λ
(1 − 2ν)k
(3λ + 2µ)
ν=
α=
(2.71)
λ+µ
2(λ + µ)
E
E est le "module d’Young", ν le "coefficient de Poisson" et α le coefficient de dilatation thermique. Les
conditions (2.69) sont équivalentes aux conditions:
E=µ
E>0
1
> ν > −1
2
α>0
(2.72)
Exercice 2.5.4 Montrer que la vitesse de propagation c des petites perturbations de cisaillement est donnée
par:
E
c2 =
ρ
2.5.8.2
Elasticité infinitésimale.
Désignons par u = φ − Id le champ des déplacements absolus du milieu par rapport au placement géométrique de la configuration naturelle. La loi (2.68) est non linéaire en u ce qui complique la résolution des
problèmes d’équilibre mécanique de ces matériaux. On peut alors faire certaines hypothèses afin de linéariser
la loi par rapport à u. La plus simple est l’hypothèse de la déformation infinitésimale qui consiste à approcher
le tenseur de Lagrange par le tenseur des déformations linéarisées (voir le paragraphe 1.4.2).
Définition 2.2 (Hypothèse de la déformation infinitésimale.) L’hypothèse de la déformation infi∇u +T ∇ u]|| 1.
Γ − 12 [∇
nitésimale consiste à supposer que l’on a: ||Γ
Si le matériau n’est pas isotrope il peut y avoir jusqu’à 6 coefficients de thermoélasticité et 21 = 7∗6
d’élasticité, ce qui est
2
1−2ν
ν
facile à vérifier. 22 Si p(θ0 ) n’est pas nul, on a alors: Γ = 1+ν
T
−
tr(T)Id
+
α(T
−
T
)Id
+
p(θ
)Id.
0
0
E
E
E
21
2.5. L’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE.
105
Dans ces conditions, à l’ordre principal la loi (2.68) se simplifie en:
T(X) = λtr()Id + 2µ − k(θ − θ0 )Id
(2.73)
où:
1
∇u +T ∇ u]
[∇
(2.74)
2
est le tenseur des déformations linéarisées et où X est la position d’une particule dans la configuration non
déformée qui occupe dans la configuration déformée la position x = X + u et qui est à la température θ.
La loi (2.73) est la loi de l’élasticité linéaire infinitésimale. On notera cependant qu’elle donne le tenseur
de Piola-Kirschoff alors que c’est le tenseur de Cauchy qui intervient dans les équations de la statique. En
hypothèse de déformation infinitésimale, on n’est alors pas assuré que le tenseur de Cauchy soit égal à celui de
Piola-Kirschoff. En effet, F peut être le produit d’une transformation orthogonale et du gradient d’une "petite"
transformation, ce qui revient à supposer que le mouvement est localement la superposition d’une petite
transformation est d’un déplacement rigidifiant. On fait alors le plus souvent l’hypothèse de la transformation
infinitésimale que nous avons vue au paragraphe 1.4.2.
=
Définition 2.3 (Hypothèse de la transformation infinitésimale.) L’hypothèse de la transformation
∇u|| = ||F − Id|| 1.
infinitésimale consiste à supposer que ||∇
∇u|| comme infiniment petit principal et il vient:
On prend = ||∇
F = Id + F(1) + o()
Sous l’hypothèse de la transformation infinitésimale, on a donc:
1
∇u +T ∇ u] + o()
[∇
2
ρ = ρ0 [1 − tr()] + o()
Γ=
Par conséquent, l’hypothèse de la transformation infinitésimale implique celle de la déformation infinitésimale
et la loi (2.73) est justifiée. Mais de plus, à l’ordre principal en , le tenseur de Cauchy et le tenseur de
Piola-Kirschoff se confondent. On obtient donc pour le tenseur de Cauchy à l’ordre principal en :
σ (x) = λtr()Id + 2µ − k(θ − θ0 )Id
(2.75)
L’équation (2.75) est l’équation fondamentale de la thermo-élasticité infinitésimale en hypothèse de la transformation infinitésimale.
A noter que lors du problème de l’équilibre mécanique du milieu supposé être en équilibre thermodynamique
local, les forces extérieures responsables de la déformation sont donc d’ordre . Par conséquent, on peut
remplacer la densité de masse ρ(x) inconnue par la densité ρ0 de la configuration naturelle pour la résolution.
Attention toutefois qu’il y a encore une subtilité. En effet, l’opérateur divergence qui intervient dans les
équations d’équilibre mécanique, aussi bien que les conditions limites, est posé sur la configuration déformée
que l’on ne connaît pas, puisque en autres choses c’est ce que l’on cherche. On est donc amené à faire une
hypothèse supplémentaire, qui sera justifiée à postériori (i.e. après résolution du problème de l’équilibre), et qui
consiste à admettre que l’on peut confondre pour exprimer les opérateurs différentiels et les conditions limites la
configuration naturelle et la configuration déformée. Cette hypothèse est l’hypothèse des petites perturbations.
Elle est en particulier justifiée en petit déplacements: ||u|| 1. C’est le cadre usuel de la statique des solides
élastiques linéaires.
2.5.8.3
le problème de la statique des solides élastiques linéaires isotropes.
Les développements que l’on vient de voir seraient sans grand intérêt si en final on ne pouvait pas résoudre les
problèmes d’équilibre statique des solides élastiques avec la loi (2.75) sous l’hypothèse des petites perturbations.
Disons donc quelques mots sur ces problèmes. On s’intéresse à déterminer le champ de déplacements d’un
solide élastique en équilibre statique et thermodynamique local qui occupe initialement un domaine 1-régulier
ou lipschitzien B de sa configuration naturelle et sur la frontière duquel on impose soit des déplacements soit
des efforts, soit les deux. On s’intéresse à une situation isotherme. Sous l’hypothèse des petites perturbations on
confond, aussi bien pour les conditions limites que pour la divergence du tenseur de Cauchy, les configurations
déformées et non déformées. Les forces extérieures sont:
– Une densité spécifique (i.e. massique) de forces, f (typiquement: acc. de la pesanteur).
106
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
– Une densité surfacique de forces, Td ("d" pour donnée), appliquée sur une partie ∂1 B du bord.
De plus, sur la partie ∂2 B = ∂B − ∂1 B du bord de B, on impose un déplacement u(X) = φ(X) − X = Ud .
La situation étant isotherme, le problème à résoudre est le suivant:

σ ) + ρ0 f = 0
div(σ
∀X ∈ B





σ · n = Td
∀X ∈ ∂1 B



u = Ud
∀X ∈ ∂2 B
(2.76)


σ (X) = λtr()Id + 2µ ∀X ∈ B




1


∇u +T ∇ u]
= [∇
2
qui est complètement posé sur le domaine B, y compris l’opérateur divergence. Le problème est de trouver u.
La proposition suivante nous indique que ce problème possède une solution, en général unique, dans H 1 (B).
On désigne par C ("c", comme contrainte) l’espace des déplacements cinématiquement admissibles:
C = {v ∈ H1 (B) ; v(X) = Ud
∀X ∈ ∂2 B}
C0 = {v ∈ H1 (B) ; v(X) = 0
∀X ∈ ∂2 B}
et on posera:
A noter que le champ u cherché doit appartenir à C alors que les variations de u sont à prendre dans C 0 . Pour
que C ne soit pas vide, on suppose bien sur que le champ donné Ud est la restriction à ∂2 Ω d’un champ de
H1 (B). Ce qui est toujours vérifié si il est constant par exemple.
I Proposition 2.5
1. Un champ u ∈ C ∩ H2 (B) est solution de (2.76) si, et seulement si:
Z
Z
Z
∀v ∈ C0 :
ρ0 (f |v) d3 x +
(Td |v) ds − σ [u] : [v] d3 x = 0
B
∂1 B
(2.77)
B
2. Toute solution u ∈ C de (2.77) rend minimale sur C la fonctionnelle convexe définie sur H 1 (B) par:
Z
Z
Z
1
3
3
1
(Td |u) ds]
(2.78)
σ [u] : [u] d x] − [ ρ0 (f |u) d x +
u ∈ H (B) 7−→ J(u) = [
∂1 B
B
B 2
Réciproquement, tout point u ∈ C qui est tel que J(u) soit un minimum pour J sur C est une solution
de (2.77).
3. Si la partie ∂2 B sur laquelle sont imposés les déplacements n’est pas de surface nulle, l’équation (2.77)
possède une solution et une seule dans C.
4. Si la partie ∂2 B est de surface nulle, le problème ne possède de solutions que si, et seulement si, les
conditions suivantes d’équilibre global sont satisfaites par f et Td :
Z
Z
Z
Z
−→
−→
ρ0 f d3 x +
Td ds = 0
ρ0 Gx ∧ f d3 x +
Gx ∧ Td ds = 0
(2.79)
B
B
∂B
∂B
où G est le centre de gravité de B. Si cette condition est satisfaite, l’équation (2.77) possède une infinité
de solutions dans H1 (B) et elle en possède une et une seule dans l’espace vectoriel U :
Z
Z
−→
U = {u ∈ H1 (B);
u d3 x = 0
Gx ∧ u d3 x = 0}
B
B
Toute autre solution est la somme u + ur de l’unique solution u ∈ U et d’un champ rigidifiant. Si u1 et
u2 sont deux solutions, on a J(u1 ) = J(u2 ). Le champ de contrainte à l’équilibre, σ [u], quand à lui est
déterminé de manière unique.
La fonctionnelle J est appelée énergie potentielle du champ u. On peut donc énoncer: à l’équilibre mécanique l’énergie potentielle est minimale. Pour établir la proposition, on vérifie d’abord que la fonctionnelle
J est convexe (grâce aux conditions de stabilité sur les coefficients de Lamé) et continue sur H 1 (B), elle est
d’ailleurs strictement convexe sur C si |∂2 B| 6= 0. Puis, on utilise une inégalité de Korn 23 pour établir qu’elle
est coercitive sur C ou U et la proposition s’en déduit.
23
Voir P. G. Ciarlet[3] ou encore R. Temam, Problèmes mathématiques en plasticité, Gauthier-Villars (1983).
2.6. MEMBRANES.
107
Si le domaine est assez régulier (C 2 par exemple, mais aussi un polyhèdre convexe), la solution est dans
H2 (B) si les conditions sur le bord sont assez régulières. Ainsi, en pratique on recherche une approximation de
la solution par des éléments finis P 1 (voir le cours [17]) et on utilise une méthode de gradient conjugué pour
obtenir le minimum de la fonctionnelle quadratique convexe J. On est donc assuré de la convergence de la
méthode: le vrai problème pour les pièces complexes est de disposer d’un "bon" maillage.
En conclusion, les hypothèses simplificatrices faites sur la thermodynamique du solide isotrope 3D sont
pertinentes et conduisent à des problèmes de statique bien posés.
2.6
Équilibre des membranes élastiques. Tension superficielle.
Considérons une surface plongée S, de classe C 2 , que l’on suit dans ses mouvements d’interface. Soit Σt sa
position à l’instant t pour un mouvement particulier. On reste ici dans le cadre des milieux 3D et en particulier
cette surface S n’a pas d’inertie car son volume est nul. Néanmoins, on peut envisager comme pour le milieu
3D et par les mêmes arguments, de définir une énergie interne - purement potentielle - sur les parties de Σ t .
Comme pour le milieu 3D, cette énergie interne est en principe σ-additive d’ensembles sur les parties quarables
et possède donc une densité surfacique (et non massique puisque la densité de masse est nulle), que l’on note
γ. L’énergie interne d’une partie Σ ⊂ Σt est donc donnée par:
Z
γ(s,t) dσ(s)
E(A) =
A
On dit alors que S est une membrane si, lors de tous ses mouvements d’interface, la densité surfacique d’énergie
interne γ est une constante indépendante de s et t. Ce qui signifie que l’énergie interne d’une partie que l’on
suit dans son mouvement est proportionnelle à la mesure de sa surface déformée, c’est à dire - à une constante
près - à la différence d’aire entre la partie déformée et la partie non déformée, ce qui semble bien raisonnable
pour les "petites" variations d’aire.
A partir du moment où cette membrane possède une énergie interne, elle est sensible à certains efforts
extérieurs. En effet, conformément au premier principe de la thermodynamique, en évolution adiabatique la
variation d’énergie totale qui se résume à l’énergie interne, est égale à la puissance des efforts extérieurs. Pour
déterminer cette variation d’énergie interne, utilisons alors la relation (1.57) où g = 1. Il vient:
n
t
Σ
∂Σ
D
[
Dt
Z
γ dσ] = 2γ
Σ
Z
H(v|n) dσ + γ
Σ
x
Z
n̂
(n̂|v) dl
(2.80)
∂Σ
où H est la courbure moyenne algébrique associée au champ de normales n et où n̂ est en chaque point x du
bord ∂Σ la normale unitaire extérieure à la courbe simple fermée ∂Σ, située dans le plan tangent à Σ passant
par x. D’après le premier principe de la thermodynamique, le terme de droite est la puissance réelle des efforts
extérieurs. Or, on peut à partir de l’instant t appliquer tout champ de vitesses à Σ t , assez régulier, et en
déduire un mouvement ultérieur. En conséquence, tout se passe comme si le membre de droite de (2.80) était
la puissance virtuelle des efforts extérieurs à l’instant t. On en déduit que ces efforts extérieurs sont donc:
– Une densité surfacique de forces fs = 2γHn sur Σ.
– Une densité linéïque de forces fl = γ n̂ sur ∂Σ.
Cette densité linéïque est évidement la tension exercée par le reste de la membrane, ce que l’on vérifie
facilement en considérant un domaine extérieur à ∂Σ puis la réunion des deux. Comme pour le milieu 3D,
cette densité est la densité (ici linéïque) de forces de contacts exercées par le reste de la membrane ou le
support. En effet, si la membrane est encastrée sur son bord, c’est la tension exercée par "le bord" pour
108
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
maintenir l’encastrement. La densité surfacique fs peut quand à elle être interprétée comme une différence de
pression exercée par le milieu extérieur.
Le coefficient γ > 0 est appelé coefficient de tension superficielle et la densité linéïque de forces de contact
fl est la tension superficielle exercée par le reste de la membrane. On notera qu’une membrane sans inertie ne
peut pas supporter de densité surfacique d’efforts tangentiels.
A l’équilibre statique, la résultante des forces de tension superficielle sur le bord équilibre donc la résultante
des efforts normaux. En effet, si on considère des mouvements qui sont des changements de référentiel Galiléen,
le membre de gauche de (2.80) est nul et ce pour tout champ v constant. On en déduit:
Z
Z
n̂ dl = 0
Hn dσ + γ
2γ
Σ
∂Σ
Ce qui traduit l’équilibre global de la membrane et qui n’est rien d’autre que la relation (1.58).
Ce comportement de type membrane est assez bien vérifié par les interfaces fluide-fluide.
Note: Si on ne néglige pas l’inertie, le raisonnement précédent est valable à l’équilibre statique, et on trouve
que la résultante des forces de tension superficielle sur le bord de la membrane équilibre la résultante des efforts
normaux, augmentée du poids de la membrane. Ce qui permet d’étudier les formes d’équilibre des membranes
quand elles se déforment sous leur propre poids.
2.7. SECOND PRINCIPE
2.7
2.7.1
109
Le second principe.
La température dans les fluides.
Dans un fluide hors équilibre on peut en général introduire deux temps caractéristiques du comportement
des constituants moléculaires internes d’une "particule fluide".
Le plus court est un temps de thermalisation, τth , indépendant du déséquilibre initial, à l’issu duquel le
chaos moléculaire est tel que l’énergie cinétique moyenne d’agitation au sein de la particule est statistiquement
équidistribuée selon une distribution de Maxwell-Boltzmann contrôlée par une température. On notera que
cette température se confond avec la température d’équilibre thermodynamique quand le milieu est à l’équilibre
thermodynamique.
Le second, τr ≥ τth , est un temps d’équilibrage local des potentiels inter-moléculaires, appelé également
temps de relaxation, à l’issu du quel la totalité de l’énergie interne au sein de la particule - cinétique et potentielle
- est contrôlée par la température. Le fluide est alors à l’équilibre thermodynamique local : chaque "particule
fluide" est à l’équilibre thermodynamique mais les paramètres d’état (ρ,θ) peuvent varier spatialement.
Par ailleurs, il existe un temps macroscopique δt qui caractérise les variations significatives du mouvement
"local" de la particule fluide (la vitesse de déformation, etc...) dans la situation expérimentale considérée. L’hydrodynamique ne s’intéresse qu’aux processus pour lesquels δt est grand devant τ th . On peut alors caractériser
l’agitation interne locale par la seule température. Si ce n’est plus le cas, on sort du cadre de l’hydrodynamique, et plus généralement du cadre continu, et l’étude du mouvement doit se faire en étudiant la dynamique
moléculaire des constituants.
Ainsi, dans un milieu continu fluide à l’équilibre ou hors équilibre il existe à chaque instant un champ
Lagrangien, Θ(t,·) > 0, défini sur la configuration de référence B, tel que si x = φ(t,X) est la position de la
particule X à l’instant t alors Θ(t,X) est sa température.
Θ est donc le champ Lagrangien de température. On définit également le champ Eulérien de température,
θ, sur Ωt , qui est tel que pour chaque x, θ(t,x) soit la température de la particule X qui occupe la position x
à l’instant t. On a bien sûr la relation habituelle entre champs Lagrangiens et Eulériens:
θ(t,x) = Θ(t,φ−1
t (x))
(2.81)
On supposera pour simplifier que Θ est assez régulier pour justifier les calculs, par exemple de classe C 1 (I,C 1 (Ō,R))
pour tout ouvert borné. Le couple (φ,Θ) est appelé processus thermocinétique pour le milieu continu considéré.
On notera, que Θ est indépendant de φ. Ainsi, on peut imaginer - du moins par la "pensée" - de faire subir
à un matériau un mouvement arbitraire et par ailleurs de fixer arbitrairement l’état d’agitation interne des
constituants élémentaires de chaque particule (i.e. des petites échelles), c’est à dire la température.
Plusieurs situations expérimentales peuvent se produire. Schématiquement:
1. Si δt τr , le fluide est à l’équilibre thermodynamique local au cours du mouvement. La densité d’énergie
interne spécifique et la température sont alors en chaque point des fonctions de l’entropie s et de la densité
de masse ρ dont les expressions sont les mêmes qu’à l’équilibre. Sur les temps courts, le comportement
est celui d’un fluide parfait: la puissance dissipée par les efforts intérieurs est négligeable et le tenseur
des contraintes de Cauchy est à chaque instant réduit à la pression thermodynamique, les équations du
mouvement sont les équations d’Euler. Sur les temps plus longs, le comportement est celui d’un fluide
visqueux et il y a retour à l’équilibre global par diffusion de chaleur et de quantité de mouvement.
2. Si τr δt, le fluide n’est pas à l’équilibre thermodynamique local car le temps macroscopique δt n’est
pas assez long pour qu’il y ait réarrangement moléculaire aux petites échelles spatiales. Le fluide a donc
un comportement élastique sur l’échelle δt et diffusif sur les temps plus longs. Ce comportement, typique
des solutions de polymères, est de type "viscoélastique".
On remarquera que tout fluide est susceptible de présenter les trois types de comportement selon les
conditions expérimentales.
2.7.2
Le second principe
On définit sur les parties d’un milieu hors équilibre, à chaque instant, une fonction entropie qui coïncide
avec l’entropie définie à l’équilibre quand le milieu est à l’équilibre. Cette fonction est une mesure sur les parties
cubables du système et il existe donc une densité massique d’entropie, η, définie sur Ω t telle que pour toute
partie mesurable A ⊂ Ωt on ait:
Z
N (A) =
ρη dx
A
(2.82)
110
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Si on considère un domaine 1-régulier borné, A, strictement inclus dans Ω l’entropie qui lui est fournie par
l’extérieur vient de la chaleur qu’elle reçoit et ne dépend que de la distribution de température. Le taux
d’entropie fournie par l’extérieur à A est donc, puisque la température est bien définie:
Z
Z
h
q
Ṅ (A) =
dx −
( |n) ds
A θ
∂A θ
Le second principe indique alors que A doit "spontanément" aller vers l’équilibre thermodynamique global. On
généralise donc la forme du second principe que l’on a vue pour l’entropie d’équilibre en demandant à ce que
le taux de variation d’entropie quand on suit A dans son mouvement soit supérieur ou égal au taux d’entropie
reçue. Ce qui se traduit par l’inégalité de Clausius-Duhem:
D
N (A) ≥ Ṅ (A)
Dt
Soit, avec le théorème de Stokes:
Z
(ρ
A
Dη
h
q
− + div( )) dx ≥ 0
Dt
θ
θ
En transformant la divergence, on en déduit l’inéquation locale:
ρ
1
Dη h 1
∇θ|q)] ≥ 0
− + [div(q) − (∇
Dt
θ
θ
θ
Introduisons alors l’énergie libre spécifique:
Avec le bilan local d’énergie, il vient finalement:
σ : D − ρ(
[σ
ψ = − θη
Dθ
1
Dψ
∇θ|q) ≥ 0
+η
)] − (∇
Dt
Dt
θ
(2.83)
Le membre de gauche est donc le taux de dissipation volumique. Le terme entre crochets est la dissipation
volumique intrinsèque et le terme restant est la dissipation thermique volumique. Toutes ces quantités sont
rapportées à l’unité de volume de la configuration actuelle. Il s’agit donc fondamentalement de quantités
Eulériennes.
2.7.2.1
La dissipation en variable de Lagrange
Il peut être intéressant de faire apparaître le tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff, T. On le définit,
comme à l’équilibre, par la relation (c.f. 2.66):
σ
T T
=F·
· F
ρ
ρ0
(2.84)
On définit l’énergie libre Lagrangienne par la formule habituelle:
Ψ(t,X) = ψ(t,φt (X))
On vérifie immédiatement que la relation (2.83) devient:
[T :
Γ
∂Ψ
∂Θ
ρ0
∂Γ
∇θ|q) ≥ 0
− ρ0 (
+η
)] −
(∇
∂t
∂t
∂t
ρΘ
On rend l’expression complètement Lagrangienne en remarquant que 24 :
∇ θ(t,x) =T F−1 (t,X) · ∇ Θ(t,X)
On introduit alors le vecteur flux de chaleur reçue de Piola:
q0 (t,X) = F−1 (t,X) · q(t,x)|det(F)|
24
Se rappeler que le gradient d’une fonction scalaire n’est pas sa différentielle mais le vecteur associé par dualité, d’où la transposition.
2.7. SECOND PRINCIPE
111
dont l’interprétation est analogue à celle du vecteur contrainte de Piola. Il vient finalement:
[T :
Γ
∂Ψ
∂Θ
1
∂Γ
∇Θ|q0 ) ≥ 0
− ρ0 (
+η
)] − (∇
∂t
∂t
∂t
Θ
(2.85)
Toute les quantités sont maintenant rapportées à l’unité de volume de la configuration de référence. Il s’agit donc
fondamentalement de quantités Lagrangiennes. Les appellations restent les mêmes que dans le cas Eulèrien.
Notons que le second principe pour un système isolé montre que l’entropie de ce système ne peut qu’augmenter vers sa valeur d’équilibre.
2.7.3
Principe d’objectivité
L’entropie ρη dx d’une "particule fluide" de même que sa température θ sont, pour les mêmes raisons que
l’énergie interne, indépendantes du mouvement de solide local de la "particule fluide" (voir la décomposition
locale de Helmoltz) c’est à dire indépendantes de l’observateur. On a donc pour la densité d’entropie et la
température la même règle de transformation par changement de référentiel que pour l’énergie interne. Les
notations sont celles des relations 2.43 et 2.42
η ∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = η(x,t)
θ ∗ (Ψ(t − T )(x),t − T ) = θ(x,t)
(2.86)
112
2.8
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Bilan aux interfaces. Conditions de saut.
Dans ce paragraphe on s’intéresse aux équations de la dynamique et de la thermodynamique d’un milieu
continu quand son placement à un instant t est traversé par une interface qui peut soit être l’interface entre
deux milieux immiscibles, comme au paragraphe 1.6.2, soit une surface de discontinuité comme au paragraphe
1.7. On va traiter simultanément les deux cas, les calculs des bilans Eulériens globaux étant identiques.
On fait sur le mouvement les hypothèses décrites dans les paragraphes 1.6.2 ou 1.7 et on considère un
domaine 1-régulier ou lipschitzien O b Ωt traversé par une interface, comme aux paragraphes 1.9.2 ou 1.9.3
(avec ici t = t0 ). Le principe de tous les bilans (quantité de mouvement, énergie ou entropie) est le même
S2
O2
w
n21
S0
S1
O1
n̂
n
que pour le bilan de masse que l’on a déjà vu au paragraphe 1.11.5: on écrit le principe fondamental (de la
dynamique ou de la thermodynamique) pour la quantité considérée sur le domaine O, puis sur chaque domaine
Oi (voir la figure et les commentaires au paragraphe 1.9.3), les conditions de saut en résultent par identification.
On ne détaillera que le bilan de quantité de mouvement.
2.8.1
Bilan de masse
On a déjà vu au paragraphe 1.11.5 que les équations de bilan pour la masse étaient les suivantes: à l’intérieur
de O et presque partout, on a l’équation de conservation locale habituelle:
∂ρ
+ div(ρv) = 0
∂t
(2.87)
[|ρ(v − w|n)|]21 = 0
(2.88)
ρ2 (v2 − w|n21 ) = ρ1 (v1 − w|n21 )
(2.89)
et, sur l’interface on a les relations de saut:
Ce qui s’écrit:
La valeur commune de cette quantité est le débit surfacique de matière au travers de l’interface que l’on note
ρ̇:
ρ̇ = ρ2 (v2 − w|n21 ) = ρ1 (v1 − w|n21 )
(2.90)
def
Le signe de ρ̇ dépend du choix de numérotation des côtés, contrairement au bilan lui même.
Note: Dans le cas de deux milieux immiscibles on sait que ρ̇ = 0, puisque (v i − w|n21 ) = 0. Par conséquent
si ρ̇ 6= 0, la surface n’est pas matérielle: c’est une onde ou une interface entre milieux miscibles.
2.8.2
Cas du bilan de quantité de mouvement.
Notations. Hypothèses. On affecte d’un indice i toutes les quantités relatives au domaine i. Par
exemple, si σ désigne le tenseur des contraintes de Cauchy du milieu, on désigne par σ i sa restriction à
chaque Oi , etc... Pour simplifier, on considérera qu’il n’y a pas de densité volumique de couples
Si l’interface est l’interface matérielle entre deux milieux immiscibles, on considérera le cas général où
l’interface a un comportement de membrane sans inertie, de tension superficielle γ. Si l’interface n’est pas
matérielle (onde de choc par exemple) et qu’il n’y a pas lieu d’introduire de tension superficielle il suffit alors
de poser γ = 0 dans les relations de saut. On convient alors que la courbure moyenne algébrique H sera calculée
avec comme orientation positive la normale n21 .
2.8. CONDITION DE SAUT AUX INTERFACES.
113
Calcul. Compte tenu des conditions de prolongement du (ou des) mouvement(s) sur l’interface et de la
relation (2.87), la dérivée particulaire de la quantité de mouvement sur chaque domaine O i est donnée par la
relation habituelle:
Z
Z
D
Dvi
dx
ρi vi dx =
ρi
Dt Oi
Dt
Oi
Pour les points intérieurs à un des Oi , comme le mouvement est régulier, on a le bilan local de quantité
mouvement sous sa forme usuelle:
Dvi
σi
= ρi fi + divσ
ρi
Dt
La relation fondamentale de la dynamique pour la matière contenue dans O 1 s’écrit donc, en intégrant sur O1 :
Z
Z
Dv1
σ 1 ) dx
ρ1
dx =
(ρ1 f1 + divσ
(2.91)
Dt
O1
O1
On une relation analogue pour O2 :
Z
ρ2
O2
Dv2
dx =
Dt
Z
(2.92)
σ 2 ) dx
(ρ2 f2 + divσ
O2
Appliquons maintenant le principe fondamental à la matière contenue dans O. La dérivée particulaire de la
quantité de mouvement sur O s’obtient à l’aide de la relation (1.56), où l’intégrale de surface est nulle si
l’interface est matérielle. Comme il s’agit d’une quantité spécifique, il vient:
Z
Z
Z
D
Dv
ρ
(2.93)
ρv dx =
[|ρv(v − w|n)|]21 dσ
dx +
Dt O
O Dt
S0
où w est la vitesse de l’interface. Les efforts sur la matière contenue dans O sont d’une part les forces volumiques,
d’autre part les forces surfaciques sur le bord et enfin les forces de tension superficielle exercées sur ∂S 0 par le
reste de l’interface. La résultante F des efforts appliqués à O est donc:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
2γHn21 dσ
σ · n dσ −
ρf dx +
γb
ndl =
σ · n dσ +
ρf dx +
F=
S0
∂O
O
∂S0
∂O
O
R
σ 2 − σ 1 ) · n21 dσ, il vient avec le théorème de Stokes:
Or, en ajoutant et en retirant S0 (σ
Z
Z
Z
Z
Z
2
σ 2 − σ 1 ) · n1 dσ +
σ 2 − σ 1 ) · n21 dσ
σ · n dσ =
σ 1 · n dσ +
σ 2 · n dσ −
(σ
(σ
∂O
∂O1 −S0
∂O2 −S0
S0
S0
Z
Z
Z
σ 2 − σ 1 ) · n21 dσ
σ 2 ) dx +
σ 1 ) dx +
(σ
div(σ
div(σ
=
S0
O2
O1
La résultante des efforts extérieurs est donc donnée par:
Z
Z
Z
σ 2 − σ 1 ] · n21 dσ − 2γ
σ ) dx +
[σ
(ρf + divσ
F=
S0
O
Et on a donc:
Z
Dv
ρ
dx +
O Dt
Z
Z
O
S0
Hn21 dσ
[|ρ(v − w|n)|]21 dσ =
Z
Z
2
σ 2 − σ 1 ] · n1 dσ − 2γ
σ ) dx +
[σ
(ρf + divσ
(2.94)
S0
S0
(2.95)
S0
Hn21
dσ
Or, on a puisque S0 est de volume nul:
Z
Z
Z
Dv
Dv2
Dv2
ρ
ρ1
ρ2
dx =
dx +
dx
Dt
Dt
Dt
O
O1
O2
Z
σ ) dx
(ρf + divσ
=
(2.96)
O
En identifiant, on en déduit:
Z
Z
2
σ 2 − σ 1 ] · n1 dσ − 2γ
0=
[σ
S0
S0
Hn21
dσ −
Z
S0
[|ρv(v − w|n)|]21 dσ
(2.97)
114
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
Comme cette relation est vraie pour toute partie S0 assez petite de l’interface, on obtient des équations de
saut locales. En faisant apparaître le débit ρ̇ elles s’écrivent en tout point de l’interface:
σ 2 − σ 1 ) · n21 − 2γHn21
ρ̇(v2 − v1 ) = (σ
(2.98)
Elles ne dépendent pas du choix de la numérotation des côtés.
Note: si l’interface est la frontière entre deux fluides immiscibles au repos et en équilibre thermodynamique,
on sait que les tenseurs des contraintes sont réduits à des pressions. On en déduit que les pressions de part et
d’autre de l’interface sont reliées par la relation:
(p1 − p2 )n21 = 2γHn21
(2.99)
C’est la loi de Laplace qui montre que l’interface est alors une surface de courbure moyenne constante (surface
CMC). Comme γ > 0, pour une goutte sphérique (par exemple) la pression intérieure est donc toujours
supérieure à la pression extérieure. Attention de ne pas simplifier la normale car la courbure en dépend
puisqu’elle est calculée avec ce choix d’orientation.
2.8.3
Bilan d’énergie.
On procède exactement de la même manière, en prenant soin de ne pas oublier l’énergie interne de l’interface.
L’énergie totale dans O est:
Z
Z
E=
(ρv2 /2 + ρ) dx +
γ ds
O
S0
On a donc:
D
E=
Dt
Z
O
[(ρ
Dv
D
|v) + ρ
] dx +
Dt
Dt
Z
S0
2γH(w|n21 ) dσ +
Z
γ(w|b
n) dl +
∂S0
Z
[|ρ(
S0
v2
+ )(v − w|n)|]21 dσ
2
Par le premier principe, on a:
Z
Z
Z
Z
Z
D
E = [ (ρf |v) dx +
(t|v) dσ +
γ(w|b
n) dl] + [ h dx −
(q|n) dσ]
Dt
O
∂O
∂S0
O
∂O
En effectuant un bilan d’énergie sur chaque Oi et en additionnant, on a:
Z
Z
Dv
D
D
D
σ |v) + σ : D + h − div(q)] dx
[(ρ
[(ρf + divσ
E1 +
E2 =
|v) + ρ
] dx =
Dt
Dt
Dt
Dt
O
O
et, par différence, on obtient la condition de saut sur l’interface:
ρ̇(2 +
||v2 ||2
||v1 ||2
σ 2 · v2 − σ 1 · v1 − 2γHw|n21 )
− 1 −
) + (q2 − q1 |n21 ) = (σ
2
2
(2.100)
Comme pour la quantité de mouvement, le choix de numérotation des côtés est sans importance.
2.8.4
Bilan d’entropie.
On procède encore de la même manière, et on obtient la condition de saut sur l’interface:
ρ̇(η2 − η1 ) + (
q1 2
q2
−
|n ) ≥ 0
θ2
θ1 1
(2.101)
Le choix de numérotation est sans importance mais la convention d’orientation de la normale doit être de 1
vers 2.
Note: Les équations d’Euler des gaz (i.e. des fluides compressibles) sont hyperboliques et admettent des
solutions présentant des discontinuités. On dit qu’il s’agit de chocs. En particulier, on peut rencontrer des chocs
"droits" où, dans le repère lié au choc, le gaz est à l’équilibre thermodynamique de part et d’autre de l’onde.
Le problème est de savoir quel est la direction de propagation du choc. En général, la physique au voisinage
du choc étant très rapide, on peut admettre l’adiabaticité. La condition de saut sur l’entropie ρ̇(η 2 − η1 ) ≥ 0
permet alors de fixer le sens de propagation du choc. En effet, en orientant la normale au choc de manière à
ce que ρ̇ > 0 il vient: η2 > η1 et l’entropie doit augmenter dans le sens du flux de masse.
2.8. CONDITION DE SAUT AUX INTERFACES.
2.8.5
115
Cas d’une interface matérielle.
Dans le cas où l’interface est la frontière entre deux milieux immiscibles, on sait que ρ̇ = 0 et que les vitesses
normales des deux milieux de part et d’autre de l’interface sont égales à la vitesse normales de l’interface. Les
équations de saut sur l’interface S0 se résument à:
(v2 |n21 ) = (v1 |n21 ) = (w|n21 )
σ 2 − σ 1 ) · n21 = 2γHn21
(σ
σ2 ·
(σ
n21 |v2
σ1 ·
− v1 ) = (σ
n21 |v2
(2.102)
− v1 ) = (q2 −
q1 |n21 )
Si on néglige la tension superficielle, la seconde équation implique la continuité du vecteur contrainte.
Interface entre deux fluides visqueux immiscibles. En général, on considère qu’il n’y a pas de
cisaillement à l’interface entre deux fluides visqueux immiscibles, autrement dit on considère que l’interface
n’est pas source de rotationnel. C’est à dire que l’on impose la continuité des composantes tangentielles de
la vitesse. Dans ces conditions, il y a alors continuité des vitesses à l’interface et les équations précédentes se
résument à:
v2 = v 1
σ 2 − σ 1 ) · n21 = 2γHn21
(σ
(q2 −
q1 |n21 )
=0
(liquide − liquide)
(2.103)
Interface entre un fluide visqueux et un solide. On considère également que l’interface n’est pas
source de rotationnel: il y a adhérence du fluide aux parois, ce qui est expérimentalement bien vérifié. De
plus, on n’introduit en général pas de tension superficielle. Les relations se résument à écrire, la continuité des
vitesses, des contraintes et du flux de chaleur normal (il n’est plus utile de préciser l’orientation de la normale
unitaire):
v2 = v 1
σ2 − σ 1) · n = 0
(σ
(q2 − q1 |n) = 0
(solide − liquide)
(2.104)
Pour l’écoulement isotherme d’un fluide purement visqueux entre parois rigides, quand la vitesse des parois
est connues, la première équation donne une condition limite permettant de fermer le problème dynamique et
la seconde permet de déterminer les contraintes exercées par le fluide sur les parois.
116
CHAPITRE 2. DYNAMIQUE DU MILIEU CONTINU
117
Annexe A
Rappels d’algèbre linéaire en dimension
finie.
On ne donnera ici que des rappels qui sont utiles pour la partie cinématique et on ne cherchera pas la
généralité. Implicitement, même si la plupart des définitions sont rappelées, on suppose que le lecteur est
familier avec les faits usuels de la théorie de l’algèbre linéaire réelle ou complexe en dimension finie.
A.1
Espaces vectoriels. Vocabulaire.
Définition A.1 (Espace vectoriel) Soit K un corps commutatif. On dit qu’un ensemble non vide E est
muni d’une structure d’espace vectoriel sur K, ou encore que c’est un espace vectoriel sur K, si on a défini
deux lois "+" et "·", respectivement de E × E dans E et de K × E dans E telles que (E,+) soit un groupe
commutatif et telle que la loi "·" vérifie:
∀(λ,µ) ∈ K2 ,∀x ∈E
∀λ ∈ K,∀(x,y) ∈E
∀(λ,µ) ∈ K2 ,∀x ∈E
∀x ∈E
2
(λ + µ) · x = λ · x + µ · x
λ · (x + y) = λ · x + λ · y
λ · (µ · x) = (λµ) · x
1·x=x
Quand il n’y a pas d’ambiguïté sur les opérations on dit simplement que E est un espace vectoriel sur K
et on le note (E, + ,·). Quand K = R (resp. K = C) on dit que c’est un espace vectoriel réel (resp. complexe).
Les éléments d’un espace vectoriel sont souvent appelés "vecteurs".
Si (E, + ,·) est un espace vectoriel sur un corps K, on dit qu’une partie non vide X ⊂ E est un sous espace
vectoriel de E si (X, + ,·) est un espace vectoriel sur K, ce qui est équivalent à ce que X soit stable pour les
lois d’addition et de multiplication par un scalaire.
Si X et Y sont deux sous espaces vectoriels de E, on note X + Y la partie:
X + Y = {x + y; x ∈ X, y ∈ Y}
c’est un sous espace vectoriel de E appelé "somme " des sous-espaces X et Y. Si X ∩ Y = {0}, on dit que leur
somme est "directe" et on la note X ⊕ Y. On dit que deux sous-espaces sont "supplémentaires" si:
X⊕Y =E
On appelle "famille" de vecteurs de E une partie non vide de E. On appelle combinaison
Plinéaire d’une famille
F d’éléments d’un espace vectoriel, tout élément de cet espace qui est de la forme x = I λi xi , où les λi sont
dans le corps de base et où {xi }i∈I est une partie finie de F . La partie de E formée de toutes les combinaisons
linéaires finies d’éléments d’une famille F est évidemment un sous espace vectoriel. On l’appelle enveloppe
linéaire de la famille F et on le note L(F ). C’est le plus petit sous espace vectoriel (au sens de l’inclusion)
contenant F .
On dit qu’une famille est libre si toute combinaison linéaire nulle est à coefficients nuls, et on dit qu’elle est
liée sinon. On dit qu’une famille est génératrice si tout vecteur de l’espace est combinaison linéaire d’éléments
de cette famille.
118
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
Une famille qui est à la fois libre et génératrice est appelée base algébrique de l’espace.
On dit alors qu’un espace vectoriel est de dimension finie si il possède une base algébrique ayant un nombre
fini d’éléments. Un espace vectoriel de dimension nulle est, par définition, réduit à {0}. Un espace vectoriel
qui ne possède pas de base algébrique finie est dit de dimension infinie. On peut établir la:
I Proposition A.1
1. Tout espace vectoriel possède au moins une base algébrique.
2.
– Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases algébriques sont finies et ont le même
nombre d’éléments.
– Dans un espace vectoriel de dimension infinie, si une base algébrique est dénombrable, toutes les
bases algébriques sont dénombrables.
La première partie s’établit à partir du lemme de Zorn 1 . Le cas d’un espace de dimension finie se traite
directement par récurrence. Le dernier point est immédiat.
En dimension finie, comme toutes les bases algébriques ont le même nombre d’éléments, ce nombre est
appelé dimension de l’espace. On appelle alors base dans un espace de dimension finie n ≥ 1, une base
algébrique ordonnée, c’est à dire un n-uplet (e1 , · · · ,en ) où la famille {e1 , · · · ,en } est une base algébrique.
Définition A.2 (Codimension) Soit E un espace vectoriel et X un sous espace. On dit que X est de
codimension finie si il existe un supplémentaire de X de dimension finie.
On vérifie, par l’absurde par exemple, la:
I Propriété A.1.1 Soit E un espace vectoriel et X un sous espace de codimension finie. Alors tous les
supplémentaires de X ont la même dimension finie.
Comme tous les sous espaces supplémentaires à un sous espace de codimension finie X ont même dimension,
celle-ci est tout simplement appelée codimension de X.
Définition A.3 (Hyper-sous-espace.) Un sous espace vectoriel de codimension 1 est appelé hyper-sousespace.
Les hyper-sous-espaces jouent un rôle important en algèbre linéaire, en général, et en analyse fonctionnelle
en particulier car ce sont les noyaux des formes linéaires. Notons que tout vecteur qui n’appartient pas à un
hyper-sous-espace est une base d’un supplémentaire de cet hyper-sous-espace. C’est à dire:
I Proposition A.2 Soit E un espace vectoriel et X un hyper-sous-espace. Soit u 6∈ X. Alors, E = X ⊕
L(u).
Définition A.4 (Variétés affines.) Soit E un espace vectoriel. On appelle variété affine de E une partie
de la forme a + X où a est un vecteur et X un sous espace.
A noter que le sous espace X est unique et on peut choisir pour vecteur a tout vecteur de A. Plus précisément, on a la:
I Proposition A.3 Soit E un espace vectoriel et A une variété affine. Alors, si A = a + X et A = a 0 + X0 ,
on a X = X0 et a0 ∈ A. Réciproquement si A = a + X est une variété affine, alors A = a0 + X pour tout
a0 ∈ A.
On dit que le sous espace X dirige la variété A = a + X ou encore que cette variété est parallèle à X. Une
variété affine qui contient le vecteur nul est alors un sous espace vectoriel, on dit aussi que c’est une variété
linéaire. On appelle dimension d’une variété affine, la dimension du sous espace qui la dirige. Si ce sous espace
est de codimension finie, on dit également que cette variété est de codimension finie et la codimension de son
sous espace directeur est appelée codimension de la variété.
Définition A.5 (Hyperplan.) Une variété affine de codimension 1, c’est à dire dirigée par un hypersous-espace, est appelée hyperplan.
1
Tout ensemble ordonné dont toute partie totalement ordonnée est majorée possède un élément maximal.
A.1. ESPACES VECTORIELS. VOCABULAIRE.
si:
119
Si E et F sont deux espaces vectoriels sur le même corps, on dit qu’une application f : E → F est linéaire
∀(λ,µ) ∈ K2 ,∀(x,y) ∈ E2 :
f (λx + µy) = λf (x) + µf (y)
On désigne par Lalg (E,F) l’ensemble des applications linéaires 2 de E dans F. On sait que l’ensemble A(E,F)
de toutes les applications de E dans F est un espace vectoriel sur K pour les lois:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(λf )(x) = λ(f (x))
Par suite, Lalg (E,F) est visiblement un espace vectoriel sur le même corps que E et F, sous espace vectoriel
de A(E,F).
Il est évident que l’image d’un sous espace vectoriel par une application linéaire est un sous espace vectoriel.
De même, l’image réciproque d’un sous espace vectoriel par une application linéaire est un sous espace vectoriel.
L’image réciproque de {0F } est appelée noyau et notée 3 Ker(f ). Une application linéaire est injective si et
seulement si son noyau est réduit à 0E .
L’image de f est notée 4 Im(f ). Si F est de dimension finie, la dimension de l’image s’appelle le rang de f
et est notée rg(f ), une application linéaire est alors surjective si et seulement si rg(f ) = dim(F).
Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimensions finies sur le même corps et f : E → F une application
linéaire, en considérant un supplémentaire du noyau, on vérifie facilement que:
dim(E) = rg(f ) + dim(Ker(f ))
En particulier si E et F sont de même dimension finie, alors f est bijective si, et seulement si, elle est injective
ou si, et seulement si, elle est surjective. Attention une application injective ou surjective entre deux espaces
de dimensions infinies n’est pas nécessairement bijective.
Définition A.6 (Forme linéaire.) Soit E un espace vectoriel sur un corps K. On appelle forme linéaire
une application linéaire de E dans K.
Il y a un lien étroit entre les formes linéaires et les hyper-sous-espaces et, de manière générale, entre les
formes linéaires et les hyperplans, comme l’indique la proposition suivante.
I Proposition A.4 Soit E un espace vectoriel sur un corps K, non réduit à {0}, et X un sous espace
vectoriel de E. Alors, X est un hyper-sous-espace de E si et seulement si il est le noyau d’une forme linéaire
non identiquement nulle. C’est à dire, qu’il existe f ∈ Lalg (E,K) − {0} telle que:
X = {x ∈ E; f (x) = 0}
De plus, si f et g sont deux formes linéaires non identiquement nulles dont X est le noyau alors, il existe un
scalaire λ 6= 0 tel que f = λg.
d’où l’on déduit:
Corollaire A.1 (Hyperplan) Soit E un espace vectoriel non réduit à 0. Une partie H de E est un
hyperplan si et seulement si il existe une application linéaire f : E 7→ K non identiquement nulle et un scalaire
α ∈ K tels que:
H = {x ∈ E; f (x) = α}
Le sous espace directeur de H est le noyau de f .
Si une application est linéaire et bijective, son inverse est également linéaire. On dit que c’est un isomorphisme de structures vectorielles 5 . On dit alors que deux espaces vectoriels sur le même corps sont algébriquement isomorphes si il existe un isomorphisme de structures vectorielles de l’un sur l’autre. Ce qui
signifie que du point de vue purement algébrique, ils s’identifient. Il est évident que deux espaces vectoriels
algébriquement isomorphes à un même troisième sont algébriquement isomorphes entre eux. Tous les espaces
vectoriels de même dimension finie n sur un même corps sont algébriquement isomorphes à K n . Deux espaces
2
Si E et F sont des espaces réels ou complexes normés on réserve la notation L(E,F) pour les applications linéaires continues.
3 La notation est l’abréviation du mot
Cependant, si E est de dimension finie, Lalg (E,F) et L(E,F) sont alors confondus.
"kernel" qui, en anglais, signifie "noyau". 4 On rencontre souvent la notation R(f ), où R est l’abréviation du mot "Range" qui,
5 On réserve le mot "isomorphisme" seul aux applications linéaires bijectives qui
en anglais, désigne l’image d’une application.
sont des homéomorphismes.
120
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
de dimensions finies algébriquement isomorphes ont même dimension. Attention. Un espace de dimension
infinie peut également être algébriquement isomorphe à un de ses sous espaces stricts 6 , ce qui ne peut pas
avoir lieu en dimension finie.
Une application linéaire de E sur lui même est appelée endomorphisme et automorphisme de structure
vectorielle si elle est bijective. L’ensemble des automorphismes de E forme un groupe pour la composition des
applications, appelé groupe linéaire et noté GLalg (E).
Si f est un endomorphisme de E et u un vecteur de E, on notera souvent - par analogie avec le produit
matriciel, ce qui est standard - f · u l’image par f du vecteur u. On prendra cependant soin de ne pas confondre
ce · avec un produit matriciel ou un produit scalaire.
Définition A.7 (Homothétie.) Soit E un espace vectoriel sur un corps K et λ ∈ K. On appelle homothétie de rapport λ l’application qui à chaque vecteur x ∈ E associe λx.
Il est évident qu’une homothétie est un endomorphisme et qu’une homothétie de rapport λ 6= 0 est un
automorphisme dont l’application inverse est l’homothétie de rapport 1/λ.
Définition A.8 (Projecteur.) Soit E un espace vectoriel. On dit qu’un endomorphisme P : E 7→ E est
un projecteur si P ◦ P = P.
I Propriété A.1.2 Soit E un espace vectoriel et P : E 7→ E un projecteur. Alors: E = Ker(P) ⊕ Im(P).
Réciproquement, si X et Y sont supplémentaires, alors il existe un unique projecteur dont le noyau est Y et
l’image X. Cet unique projecteur est appelée projection sur X parallèlement à Y.
Définition A.9 (Involution.) Soit E un espace vectoriel. On dit qu’un endomorphisme S : E 7→ E est
une involution si S ◦ S = Id.
Il est évident qu’une involution est un automorphisme dont l’automorphisme réciproque est elle même.
I Propriété A.1.3 Soit E un espace vectoriel sur un corps de caractéristique différente de 2 et S : E 7→ E
une involution. Alors: E = Ker(S − id) ⊕ Ker(S + id). Réciproquement, si X et Y sont supplémentaires, alors
il existe une unique involution telle que X = Ker(S − id) et Y = Ker(S + id). Cet unique involution est appelée
symétrie par rapport à X relativement à Y.
A.2
Espaces affines. Vocabulaire.
Définition A.10 (Espace affine) Soit E un ensemble non vide dont les éléments sont appelés "points",
E un espace vectoriel dont les éléments sont appelés "vecteurs" et Φ : E × E → E une application.
On dit que le triplet (E,Φ,E) est un espace affine si:
1. Pour chaque point A et chaque vecteur x il existe un unique point B tel que: x = Φ(A,B).
2. Pour tout triplet de points (A,B,C) on a la relation de Chasles:
Φ(A,B) = Φ(A,C) + Φ(C,B)
Quand il n’y a pas d’ambiguïté sur Φ ou au contraire quand Φ n’a pas d’importance, on dit tout simplement
que "E est un espace affine associé à l’espace vectoriel E". On vérifie facilement que:
∀A ∈ E : Φ(A,A) = 0
∀(A,B) ∈ E 2 : Φ(A,B) = −Φ(B,A)
De plus, pour tout A ∈ E, l’application M 7→ Φ(A,M ) est une bijection.
Définition A.11 (Translation) Soit (E,Φ,E) un espace affine. On appelle translation de cet espace affine,
toute application T : E → E qui est telle que pour tout couple de points (M,N ), on ait Φ(T (M ),T (N )) =
Φ(M,N ).
6
Exemple: à chaque polynôme P de R[X] on associe le polynôme XP (X).
A.2. ESPACES AFFINES. VOCABULAIRE.
121
Si T est une translation, le vecteur V = Φ(M,T (M )) ∈ E est donc indépendant du point M et ne dépend
que de T : on dit alors que T est une translation de vecteur V et on la note T V . On dit aussi d’une translation
TV dont le vecteur V est colinéaire à un vecteur a donné qu’elle est "parallèle" au vecteur a. Inversement, vu
les propriétés de définition d’un espace affine, pour tout vecteur V de E il existe une unique translation de
vecteur V.
On note TE l’ensemble des translations de E et on vérifie facilement que (TE ,◦) est un groupe commutatif
et que l’application: V 7→ TV est un isomorphisme du groupe (E,+) sur le groupe (TE ,◦).
De plus, (TE , ◦ ,×) est un espace vectoriel sur K pour la multiplication extérieure définie par:
∀(λ,U) ∈ K × E :
λ × TU = TλU
−−→
Notation. Pour chaque couple (M,N ), il existe une et une seule translation T , qui est notée M N ou
encore "N − M ", telle que T (M ) = N . C’est tout simplement la translation de vecteur Φ(M,N ). L’unique
→
−
translation qui laisse invariant un point donné est l’identité, on la note aussi 0 puisque c’est l’élément neutre
−−→
−−→
du groupe (TE ,◦). L’image d’un point O par la translation M N est alors notée O + M N , ou encore O +N −M .
On vérifie facilement que l’espace vectoriel (TE , ◦ ,×) est algébriquement isomorphe à l’espace vectoriel
(E, + ,·) et que E est un espace affine associé à l’espace vectoriel TE .
Muni de ces lois, l’espace vectoriel (TE , ◦ ,×) est alors appelé espace des translations de l’espace affine
(E,Φ,E), on dit aussi que c’est la structure affine de l’espace affine E. Pour se donner un espace affine, il suffit
de se donner son espace de translations. En physique non relativiste, c’est d’ailleurs bien ainsi que l’on se
donne la structure algébrique de l’espace et il n’y a guère d’autre façon intrinsèque de procéder....
On dit qu’un espace affine est de dimension finie si son espace de translations est de dimension finie, on dit
qu’il est de dimension infinie sinon.
Un espace affine de dimension 1 est appelé droite, ou droite affine et un espace affine de dimension 2 est
appelé plan ou plan affine. Attention toutefois à se méfier de l’interprétation "géométrique" de ces définitions
quand le corps de base n’est pas R.
I Proposition A.5 Soit E un espace affine et O ∈ E un point de E appelé par convention origine. On peut
munir E d’une structure d’espace vectoriel (E, + ,·) sur le même corps que T E par les lois:
−−→
M + N = M + ON
−−→
λ · M = O + λ · OM
−
→
−
→
On note EO cet espace vectoriel. L’ensemble E est alors un espace affine associé à l’espace vectoriel EO , dont
−
→
l’espace des translations est TE , et tous les espaces EO sont isomorphes.
−
→
Les espaces EO ne dépendent que de la structure affine et de l’origine, ils sont appelés espaces pointés.
−
→
Quand il n’y a pas d’ambiguïté sur l’origine on note aussi M le point M considéré comme un élément de
−
→
l’espace vectoriel EO . Attention à ne pas additionner des vecteurs d’origines différentes....
−
→
En dimension finie, si B est une base de EO , le couple (O,B) est appelé repère affine d’origine O de l’espace
−
→ −
→
affine E. Si M est un point de E, les coordonnées du vecteur M ∈ EO sont appelées coordonnées du point M
dans le repère (O,B).
Définition A.12 (Translation dans un espace vectoriel) Soit E un espace vectoriel sur un corps K.
On dit qu’une application f : E 7→ E est une "translation de l’espace vectoriel E", si il existe un vecteur a ∈ E
tel que:
∀x ∈ E :
f (x) = a + x
On note Ta cette translation et on l’appelle "translation de vecteur a".
L’ensemble TE des translations d’un espace vectoriel E, muni des opérations usuelles d’addition et de
multiplication par un scalaire des fonctions de E 7→ E, est un espace vectoriel sur le même corps que E. Ainsi,
E est canoniquement un espace affine sur lui même pour l’injection naturelle Φ:
Φ(u,v) = v − u
et TE est son espace de translations. On considère toujours implicitement qu’un espace vectoriel est un espace
affine muni de sa structure affine canonique et l’on identifie en tant qu’espace vectoriel avec son espace pointé
en {0}. Pour indiquer que l’on considère plutôt la structure affine canonique que la structure vectorielle, on
122
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
appelle alors "points" les éléments de cet espace plutôt que "vecteurs". On a la proposition suivante qui justifie
le vocabulaire:
Définition A.13 Soit E un espace vectoriel sur un corps K et A = a + X une variété affine. Alors A est
un espace affine associé à l’espace vectoriel X pour l’injection naturelle Φ:
Φ(u,v) = v − u
Définition A.14 (Application affine) Soit E et F deux espaces affines sur le même corps et f : E → F
une application. On dit que f est une application affine, si il existe une application linéaire F : T E → TF telle
que:
−−→
∀(M,N ) ∈ E :
f (N ) = f (M ) + F(M N )
Si une telle application existe elle est évidement unique, on dit qu’elle est associée à f .
Quand il n’y a pas d’ambiguïté sur les espaces de translations, on note simplement A(E,F), l’ensemble des
applications affines de E dans F.
De la définition, on en déduit la:
I Proposition A.6 Soit E et F deux espaces affines sur le même corps et f : E → F une application.
Soit OE un point de E. Alors, f est une application affine si et seulement si il existe une application linéaire
F : TE → TF telle que:
−−−→
∀M ∈ E :
f (M ) = f (OE ) + F(OE M )
Très souvent, quand il n’y a pas d’ambiguïté sur le choix de O, on identifie implicitement f et F.
A.3
Formes linéaires et multilinéaires.
Soit K un corps, n ≥ 1 un entier, E1 , · · · ,En n espaces vectoriels sur K et F un espace vectoriel sur K. On
dit qu’une application f de E1 × · · · × En dans F est n-linéaire, si l’application:
(x1 , · · · ,xn ) 7−→ f (x1 , · · · ,xi , · · · ,xn )
est linéaire par rapport à chacune des variables. C’est à dire que pour chaque i ∈ {1, · · · ,n}, chaque n−uplet
(x1 , · · · ,xn ) de E1 × · · · × En , chaque yi de Ei et chaque λ de K, on a:
f (x1 , · · · ,xi + yi , · · · ,xn ) = f (x1 , · · · ,xi , · · · ,xn ) + f (x1 , · · · ,yi , · · · ,xn )
f (x1 , · · · ,λxi , · · · ,xn ) = λf (x1 , · · · ,xi , · · · ,xn )
Posons X = E1 × · · · × En . On sait que l’ensemble A(X,F) de toutes les applications de X dans F est un
espace vectoriel sur K pour les lois naturelles:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(λf )(x) = λ(f (x))
L’ensemble des applications n−linéaires de E1 × · · · × En dans F est alors évidemment un sous espace vectoriel
de A(X,F). On note alors 7 Lalg (E1 ×· · ·×En ,F) ce sous espace vectoriel. Si F = K, on le note plus simplement
Lalg (E1 × · · · × En ) et ses éléments sont alors appelé formes n-linéaires sur E1 × · · · × En , et plus simplement
encore formes linéaires si n = 1 ou formes bilinéaires si n = 2. Si tous les E i sont identiques et égaux à un
même E, on note alors plus simplement Lnalg (E) l’espace vectoriel Lalg (E × · · · × E,K). Pour n = 1, L1alg (E)
est noté encore plus simplement Lalg (E).
Dans les espaces réels ou complexes normés de dimension quelconque, on utilise la notation L n (E) pour
désigner le sous espace de Lnalg (E) formé des seules formes n−linéaires continues. Cependant, comme dans un
espace normé de dimension finie une forme n−linéaire est toujours continue, pour les espaces réels ou complexes
de dimension finie, on omet alors l’indice "alg" et on note tout simplement ces espaces L(E), L 2 (E), etc..,
Ln (E).
7
Ne pas le confondre avec l’ensemble des applications linéaires de E1 ×· · ·×En dans F: en général, le contexte lève l’ambiguïté.
A.4. DUAL ALGÉBRIQUE QUAND K = R OU C.
123
Applications multi-linéaires symétriques et alternées. Une bijection de {1, · · · ,n} dans lui même
est appelée permutation. On note P(n) l’ensemble des permutations de {1, · · · ,n}. C’est évidement un groupe
pour la composition des applications. Une permutation qui échange deux indices et laisse tous les autres
invariants est appelée transposition. Rappelons, ce qui est facile à établir par récurrence, que toute permutation
de {1, · · · ,n} se décompose en produit de transpositions. Cette décomposition n’est pas unique mais la parité
d’une telle décomposition est constante, ce qui est moins immédiat 8 . Ainsi, si σ est une permutation et si p
est le nombre de transpositions d’une décomposition de σ en transpositions, le nombre (−1) p ne dépend que
de σ et est appelé signature de la permutation σ. On le note souvent: (−1) σ ou encore (σ).
On dit qu’une application n−linéaire f de En dans F est symétrique si pour toute permutation σ de
{1, · · · ,n}, on a:
∀(x1 , · · · ,xn ) ∈ En :
f (x1 , · · · ,xi , · · · ,xn ) = f (xσ(1) , · · · ,xσ(i) , · · · ,xσ(n) )
On dit qu’une application multilinéaire f de En dans F est alternée si pour toute transposition τ de {1, · · · ,n},
on a:
∀(x1 , · · · ,xn ) ∈ En : f (x1 , · · · ,xi , · · · ,xn ) = −f (xτ (1) , · · · ,xτ (i) , · · · ,xτ (n) )
Si σ est une permutation de {1, · · · ,n} et x = (x1 , · · · ,xn ) un vecteur de En on note en général σ · x le vecteur
(xσ(1) , · · · ,xσ(i) , · · · ,xσ(n) ). Ainsi, si f est une application multilinéaire de En dans F, elle est symétrique si
et seulement si:
∀x ∈ En ,∀σ ∈ P(n) : f (σ(x)) = f (x)
et elle est alternée si et seulement si:
∀x ∈ En ,∀σ ∈ P(n) :
f (σ(x)) = (−1)σ f (x)
L’ensemble des applications n−linéaires symétriques (resp. alternées) muni des lois habituelles d’addition et
de multiplication des applications à valeurs dans K est alors un sous espace vectoriel de L nalg (E,F).
On peut vérifier que si E est un espace réel ou complexe 9 de dimension finie, l’espace vectoriel Lpalg (E,F)
p
des applications p−linéaires alternées est alors de dimension Cdim(E)
si 1 ≤ p ≤ dim(E) et il est réduit à 0 si
p > dim(E).
Déterminants. En particulier, l’espace vectoriel des formes n−linéaires alternées (i.e. F = K) sur un
espace vectoriel réel ou complexe de dimension n est de dimension 1. Ses éléments sont alors également appelés
déterminants.
Calcul de la valeur d’un déterminant. Soit B = (e1 , · · · ,en ) une base de E et f une forme n-linéaire
alternée. Alors si (a1 , · · · ,an ) est un système quelconque de vecteurs de E on a:
X
f (a1 , · · · ,an ) = f (e1 , · · · ,en )
(−1)σ a1σ(1) · · · aiσ(i) · · · anσ(n)
σ∈P(n)
où les aij sont les coordonnées du vecteur ai sur B. On voit donc qu’une forme n-linéaire alternée est complètement déterminée par sa valeur sur une base, laquelle n’est nulle que si, et seulement si, cette forme est
nulle.
A.4
Dual algébrique quand K = R ou C.
Si l’espace E est un espace vectoriel réel, l’espace vectoriel Lalg (E) est aussi noté E+ et est appelé dual
algébrique de E. On note alors Λ n E+ l’espace vectoriel des formes n linéaires alternées, avec - par convention
- Λ 0 E+ = R. A noter que Λ 1 E+ n’est rien d’autre que E+ ce qui justifie la notation.
Quand l’espace E est un espace vectoriel complexe, on peut munir l’ensemble des formes linéaires de E
dans C d’une structure d’espace vectoriel sur C, différente de celle de L alg (E), en définissant l’addition et la
multiplication par:
∀(f1 ,f2 ,x) ∈ Lalg (E) × Lalg (E) × E :
∀(f,x,λ) ∈ Lalg (E) × E × C :
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x)
(λf )(x) = λ(f (x))
8 Voir par exemple A. Doneddu, Cours de mathématiques de premier cycle., Tomes I, Vuibert (1982) p. 106-107.
manière générale si K est de caractéristique différente de 2.
9
Et de
124
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
Muni de cette structure d’espace vectoriel complexe, l’ensemble des formes linéaires de E dans C est, dans
certains ouvrages, appelé dual algébrique de E et noté E+ . Ce choix se justifie lors de l’étude de la dualité
dans les espaces préhilbertiens ou Hilbertiens car il évite de distinguer le cas réel du cas complexe.
A.5
Algèbre linéaire sur un espace réel de dimension finie
Dans ce paragraphe A.5, E désigne un espace vectoriel de dimension finie n sur R. On notera L(E,E)
l’ensemble des endomorphismes de E, c’est à dire l’ensemble des applications linéaires de E dans E et on
notera Ln (E) l’ensemble des formes n-linéaires sur E. Les notations sont justifiées car en dimension finie tous
les endomorphismes, de même que les formes n-linéaires, sont continus pour la topologie canonique. L(E,E)
est un espace vectoriel de dimension n2 sur R. On notera E∗ le dual algébrique plutôt 10 que E+ , c’est un
espace vectoriel de même dimension que E.
A.5.1
Déterminants. Orientations.
On appelle "déterminant" une forme n-linéaire alternée sur E. D’après ce qui a été dit plus haut, l’ensemble
des déterminants est un espace vectoriel de dimension 1 sur R.
Soit B = (e1 , · · · ,en ) une base de E. Il existe une et une seule forme n-linéaire alternée f telle que:
f (e1 , · · · ,en ) = 1
Comme elle est non nulle, elle est génératrice de l’ensemble des formes n-linéaires alternées sur E. On la note
detB . Sa valeur, detB (V1 , · · · ,Vn ), sur un système de n vecteurs (V1 , · · · ,Vn ) est appelé déterminant sur la
base B de ce système de vecteurs. Notons que la valeur de detB (V1 , · · · ,Vn ) ne change pas si on effectue une
permutation circulaire sur les vecteurs Vi .
Si B 0 = (e01 , · · · ,e0n ) est une autre base de E, puisque detB est génératrice, il en résulte que detB0 est
colinéaire à detB . D’où l’on déduit immédiatement:
detB0 = detB0 (B) · detB
(A.1)
Il est immédiat, par définition même d’une forme alternée, que si un système de n vecteurs est lié son déterminant sur une base quelconque est nul. Réciproquement, la relation précédente montre que s’il est libre - c’est
donc une base - alors son déterminant sur une base quelconque est non nul. On en déduit qu’un système de n
vecteurs est une base de E si et seulement si son déterminant sur une base quelconque est non nul.
On considère alors la relation suivante, notée R, sur l’ensemble des bases de E:
B R B 0 ⇔ detB (B 0 ) > 0
D’après la relation (A.1) c’est évidement une relation d’équivalence sur les bases de E. Les classes d’équivalence
sont appelées orientations. On a la proposition suivante, dont la démonstration est immédiate:
I Proposition A.7 Un espace vectoriel réel de dimension finie possède deux orientations et deux seulement.
Orienter l’espace c’est, par convention, choisir une des deux orientations est l’appeler positive. L’autre est
alors souvent appelée négative. Si une base fait partie de l’orientation positive on dit qu’elle est directe et
rétrograde sinon.
A.5.1.1
Déterminant et trace d’un endomorphisme. Transformations directes. Matrices.
Déterminant d’un endomorphisme. Soit f un endomorphisme de E. Soit B = (e 1 , · · · ,en ) une base
de E. Notons f · B l’image de cette base par f , c’est à dire le système (f · e1 , · · · ,f · en ).
On sait que f est bijective si et seulement si f · B est une base de E. Si elle est bijective, il est immédiat de
voir, d’après (A.1), que le nombre detB (f · B) ne dépend pas du choix de la base B. Sinon, ce nombre est nul
quelque soit B et donc ne dépend pas non plus du choix de B. On le note det(f ) et on l’appelle déterminant
de f . On a donc par définition:
∀B : det(f ) = detB (f · B)
Toujours pour la même raison. On réserve habituellement la notation E ∗ au dual topologique, c’est à dire aux formes linéaires
continues qui est un sous espace de E+ . Mais en dimension finie, ils se confondent.
10
A.5. ALGÈBRE LINÉAIRE SUR UN ESPACE RÉEL DE DIMENSION FINIE
125
Et il en résulte que si f et g sont deux endomorphismes de E:
det(f ◦ g) = det(g ◦ f ) = det(f ) det(g)
De plus, il en résulte également qu’un endomorphisme de E est bijectif si, et seulement si son déterminant, est
non nul. On dit alors qu’un endomorphisme bijectif conserve les orientations si il laisse globalement invariant
chacune des deux orientations de E. Il est évident qu’un endomorphisme bijectif conserve les orientations si et
seulement si son déterminant est positif.
Un endomorphisme dont le déterminant est strictement positif est alors appelé transformation directe de
E. Quelque soit l’orientation positive choisie, une transformation directe transforme une base directe en une
base directe et une base rétrograde en une base rétrograde.
Matrice d’un endomorphisme sur une base. Soit f est un endomorphisme et B = (e 1 , · · · ,en ) une
base de E. Par définition, il existe n2 coefficients fij tels que pour chaque j on ait:
f (ej ) =
n
X
fij ei
i=1
On appelle alors matrice de f sur la base B le tableau carré n × n, que l’on notera [f ] B ou [fij ], des coefficients
fij où, par convention, le coefficient fij est à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne. Ainsi, la
jème colonne de la matrice [f ]B est-elle formée des coordonnées sur B de l’image du jème vecteur de B.
Inversement, toute matrice carrée M = [Mij ] peut être considérée comme la matrice sur une base B d’une
application linéaire f . Comme le déterminant detB (f (B)) ne dépend pas du choix de la base B mais uniquement
des coefficients Mij , on l’appelle alors déterminant de la matrice M . On a donc, par définition:
det(M ) = det(f )
où, une base quelconque étant choisie, f est l’endomorphisme dont la matrice sur cette base est M .
Si M = [Mij ] on appelle transposée de M , la matrice T M = [Nij ] avec Nij = Mji . On vérifie alors
facilement, par les propriétés des formes n linéaires alternées, qu’une matrice et sa transposée ont même
déterminant.
Si M = [Mij ] et N = [Nij ] sont deux matrices carrées d’ordre n, on définit naturellement leur somme
M + N comme étant la matrice [Mij + Nij ], de même si λ est un réel on définit la matrice λM comme étant
la matrice [λMij ]. On définit également la matrice produit M N des deux matrices M et N par:
(M N )ij =
n
X
Mik Nkj
k=1
Le produit n’est pas commutatif et il est défini de telle sorte que si M est la matrice sur une base B d’un
endomorphisme f et que N est la matrice sur la même base d’un endomorphisme g alors M N est la matrice
sur B de f ◦ g. D’où il résulte que:
det(M N ) = det(M )det(N )
On dit que M est inversible si il existe N tel que M N = [Id], où [Id] est la matrice diagonale n’ayant que des
1 sur la diagonale: c’est aussi la matrice de l’application "identité" sur une base quelconque (d’où la notation).
On note alors N = M −1 et, en particulier, on a:
det(M −1 ) = 1/det(M )
Également, par les propriétés de la composition des applications, on a M −1 M = M M −1 = [Id].
Trace. Soit f un endomorphisme de E, on a appelle polynôme caractéristique de f le polynôme:
Pf (X) = det(f − XId)
C’est un polynôme de degré n de R[X] dont les racines sur C sont appelées valeurs propres de f . Comme le
déterminant de f − XId ne dépend que de f , les coefficients du polynôme caractéristique ne dépendent que de
f . On appelle trace de f , que l’on note tr(f ), le coefficient du terme de degré n − 1 de P f . C’est évidement la
somme des valeurs propres et c’est aussi la somme des coefficients diagonaux de la matrice de f sur une base
quelconque. On a la:
I Proposition A.8 Soit f et g deux endomorphismes de E. Alors f ◦ g et g ◦ f ont même polynôme
caractéristique. En particulier: tr(f ◦ g) = tr(g ◦ f ).
126
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
Preuve. Si l’un des deux, par exemple f , est inversible, c’est immédiat puisque:
det(f ◦ g − XId) = det(f ◦ [g − Xf −1 Id]) = det([g − Xf −1 Id] ◦ f ) = det(g ◦ f − XId)
Sinon, comme il y a au plus n valeurs propres, 0 n’est pas point d’accumulation et il existe donc r > 0 tel que pour 0 < |x| < r,
f − xId est inversible. De ce qui précède on a pour un tel x:
det((f − xId) ◦ g − XId) = det(g ◦ (f − xId) − XId)
A X fixé, c’est une identité entre polynômes en x et le résultat s’en déduit par continuité 11 en faisant x → 0 à X fixé.
On a la:
I Proposition A.9 Soit f est un endomorphisme de E, (a1 , · · · ,an ) n vecteurs quelconques de E, et B
une base quelconque. Alors:
tr(f ) detB (a1 , · · · ,an ) =
detB (f · a1 ,a2 , · · · ,an ) + detB (a1 ,f · a2 , · · · ,an ) + · · · + detB (a1 ,a2 , · · · ,f · an )
(A.2)
où, tr(f ) est la trace de f .
Preuve. Si (a1 , · · · ,an ) est libre, c’est une base B 0 et l’égalité est triviale si on prend pour base B cette base B 0 , par suite
l’égalité est vraie pour une base B quelconque, d’après la formule de changement de base dans les déterminants. Si, au contraire,
(a1 , · · · ,an ) est lié le membre de gauche est nul, il est alors facile de vérifier que le membre de droite est également nul en exprimant
qu’un des vecteurs au moins, que l’on peut prendre égal à a1 quitte à effectuer une permutation circulaire, est combinaison linéaire
des autres: les termes s’éliminent deux à deux.
A.5.1.2
Produit scalaire.
Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive. C’est à dire, un élément
Φ ∈ L2 (E) tel que:

2
Φ(x,y) = Φ(y,x)

 ∀(x,y) ∈ E :
{Φ(x,x) = 0} ⇔ {x = 0}


∀x ∈ E :
Φ(x,x) ≥ 0
En général, on note (.|.) les produits scalaires, plutôt que Φ. Un espace vectoriel réel de dimension finie muni
d’un produit scalaire est dit Euclidien. Dans un espace Euclidien, (E,(.|.)), l’application:
p
x ∈ E 7−→ ||x|| = (x|x)
est une norme appelée "norme Euclidienne". C’est à dire qu’elle vérifie les propriétés générale des normes sur
un espace vectoriel réel:

 ∀x ∈ E : ||x|| ≥ 0 et {||x|| = 0} ⇔ {x = 0}

∀λ ∈ R,∀x ∈ E :
||λx|| = |λ| ||x||


2
∀(x,y) ∈ E :
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
Elle vérifie, de plus, l’inégalité de Cauchy-Schwarz, propre aux normes Euclidiennes:
∀(x,y) ∈ E2 :
(x|y) ≤ ||x|| ||y||
Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Une famille est dite orthogonale si elle
est formée de vecteurs deux à deux orthogonaux. Une famille orthogonale formée de vecteurs non nuls est
nécessairement libre.
On dit qu’une base est orthogonale si elle est formée de vecteurs deux à deux orthogonaux et qu’elle est
orthonormée si c’est une base orthogonale formée de vecteurs unitaires, c’est à dire de norme Euclidienne unité.
En utilisant le procédé d’orthonormalisation de Schmidt, on montre que dans un espace Euclidien il existe
toujours des bases orthonormées. Si B et B 0 sont deux bases orthonormées de même orientation on a:
detB (B 0 ) = detB 0 (B) = 1
ces déterminants valant −1 si elles sont d’orientations contraires.
11
En réalité l’argument de continuité est inutile.
A.5. ALGÈBRE LINÉAIRE SUR UN ESPACE RÉEL DE DIMENSION FINIE
127
Preuve. Soit B = (e1 , · · · ,en ), B 0 = (e01 , · · · ,e0n ) et soit Q la matrice dont les vecteurs colonnes sont les coefficients des e0j
sur les ei . On vérifie facilement que Q est orthogonale, c’est à dire qu’elle est inversible et que son inverse est égale à sa transposée.
Comme le déterminant d’une matrice et de sa transposée sont identiques, on déduit que det(Q) 2 = (detB (B 0 ))2 = 1 et le résultat.
Si B est une base orthonormée, le volume n−dimensionel du paralellèpipède P construit sur n vecteurs
libres (a1 , · · · ,an ) est:
V(P ) = |detB (a1 , · · · ,an )|
quand l’unité de volume est le volume du cube unitaire construit sur B. En particulier, si f est un endomorphisme inversible de E, son déterminant indique la variation relative de volume entre un ouvert borné O de E
et son image f (O). C’est à dire:
V(f (O)) = |det(f )|V(O)
Cette formule est à la base des changements de variables dans les intégrales multiples.
A.5.1.3
Groupe linéaire. Groupe unitaire.
L’ensemble des endomorphismes inversibles forme évidement un groupe pour la composition des applications. On l’appelle groupe linéaire de E et on le note GL(E). En dimension finie, il est confondue avec le groupe
des isomorphismes. L’ensemble des transformations directes est donc un sous groupe du groupe linéaire, appelé
groupe spécial linéaire et noté GL+ (E).
L’ensemble des endomorphismes de déterminant égal à 1 ou −1 est particulièrement important en Mécanique, car ce sont les endomorphismes qui conservent le volume. Ils forment évidement un groupe pour la
composition des applications, sous groupe du groupe linéaire, appelé groupe unitaire et noté U(n).
La partie de U(n) formée des endomorphismes de déterminant égal à 1 est un sous groupe de U(n) appelé
groupe spécial unitaire et noté U+ (n).
A.5.2
Produit tensoriel et extérieur de formes linéaires. Bases duales. Adjoint
Soit p ≥ 0 et q ≥ 0 deux entiers. On définit une application de Lp (E) × Lq (E) dans Lp+q (E), appelée
produit tensoriel de la manière suivante (pour p ≥ 1 et q ≥ 1):
(f,g) ∈ Lp (E) × Lq (E) 7−→ f ⊗ g ∈ Lp+q (E) :
(u1 , · · · ,up ,up+1 , · · · ,up+q ) 7→ f (u1 , · · · ,up ) g(up+1 , · · · ,up+q )
Si l’un de p ou q (ou les deux) est nul, par convention le produit tensoriel n’est rien d’autre que le produit
habituel par un scalaire. Par induction, on définit ainsi le produit tensoriel d’un nombre quelconque de formes
multilinéaires.
Il est évident que si f 1 , · · · ,f n est une base de E∗ , on obtient une base de Lp (E) en considérant les np
formes f i1 ⊗ · · · ⊗ f ip quand (i1 , · · · ,ip ) parcourt {1, · · · ,n}p .
Soit alors f 1 , · · · ,f p , p formes linéaires. On définit leur produit extérieur par:
f1 ∧ · · · ∧ fp =
X
σ∈P(p)
(−1)σ f σ(1) ⊗ · · · ⊗ f σ(p)
Il est évident que l’application ainsi définie est une application linéaire de (E ∗ )p dans Λ p E∗ . De sorte que pour
p > n le produit extérieur de p formes est nul.
De manière générale, si f 1 , · · · ,f n est une base de E∗ et que p ≤ n, on obtient alors une base de Λ p E∗
en considérant les Cnp formes f σ(1) ∧ · · · ∧ f σ(p) , obtenues quand σ parcourt l’ensemble des permutations de
{1, · · · ,n}p qui vérifient: σ(1) < σ(2) · · · < σ(p)
Le produit extérieur de deux formes est donc donné par:
f1 ∧ f2 = f1 ⊗ f2 − f2 ⊗ f1
En dimension 3, par exemple, si (f 1 ,f 2 ,f 3 ) est une base de E∗ , la famille (f 1 ∧ f 2 ,f 1 ∧ f 3 ,f 2 ∧ f 3 ) est une
base de l’ensemble des formes bilinéaires alternées, alors que f 1 ∧ f 2 ∧ f 3 est une base de l’ensemble des
déterminants, c’est à dire de Λ 3 E∗ .
128
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
On peut alors définir de manière générale le produit extérieur de deux formes alternées quelconques. En
effet, soit f une forme p linéaire alternée et g une forme q linéaire alternée. Leur produit extérieur f ∧ g est
alors la forme p + q linéaire alternée, définie par:
f ∧ g(u1 , · · · ,up ,up+1 , · · · ,up+q ) =
X
(−1)σ f (uσ(1) , · · · ,uσ(p) )g(uσ(p+1) , · · · ,uσ(p+q) )
σ∈A
où la somme est étendue à l’ensemble A des permuations de {1, · · · ,p + q} qui vérifient:
σ(1) < σ(2) < · · · < σ(p)
σ(p + 1) < σ(p + 2) < · · · < σ(p + q)
Le produit extérieur est associatif et on peut vérifier qu’il coïncide, pour les 1 formes, avec le produit extérieur
des 1 formes.
A.5.2.1
bases duales
Soit B = (g1 , . . . ,gn ) une base de E. Pour chaque i il existe une unique forme linéaire g i vérifiant
∀j :
g i (gj ) = δji
(A.3)
Il est immédiat de vérifier que la famille (g 1 , . . . ,g n ) est une base de E∗ , on l’appelle base duale de la base B.
La forme g i est appelée ième forme coordonnée. La raison est simple, si v = ξ i gi est un vecteur 12 de E, alors
g i (v) = ξ i n’est rien d’autre que la ième coordonnée de v sur B.
On notera que, par définition, on a tout simplement:
detB = g 1 ∧ · · · ∧ g n
A.5.2.2
Adjoint
Soit E∗ le dual de E, ce dernier étant, rappelons le, un espace vectoriel de dimension finie sur R. Soit F
un endomorphisme de E.
Soit g ∈ E∗ une forme linéaire. Considérons l’application de E dans R, notée F∗ · g et définie par:
x ∈ E 7−→ g(F · x)
Cette application est évidement linéaire et c’est donc un élément de E∗ . L’endomorphisme F de E étant fixé, on
définit ainsi une application de E∗ dans E∗ qui à chaque forme linéaire g ∈ E∗ associe la forme linéaire F∗ · g. Il
est évident que la correspondance entre g et (F∗ ·g) est linéaire de sorte que l’on définit ainsi un endomorphisme
de E∗ , que l’on note naturellement F∗ , appelé adjoint de F. Il est facile de voir que l’application qui à chaque
endomorphisme F associe son adjoint F∗ est linéaire et injective. Comme nous sommes en dimension finie elle
est donc bijective. Pour résumer, on a donc la définition:
Définition A.15 Soit F un endomorphsime de E. Il existe un unique endomorphisme de E ∗ , noté F∗ et
appelé adjoint de F, tel que:
∀x ∈ E; ∀g ∈ E∗ :
g(F · x) = [F∗ · g](x)
(A.4)
l’application de L(E,E) dans L(E∗ ,E∗ ) qui à chaque endomorphisme de E associe son adjoint est une bijection
linéaire.
Cette correspondance entre L(E,E) et L(E∗ ,E∗ ) est canonique puisque elle ne dépend que de la structure
d’espace vectoriel de E. On vérifie en outre facilement que:
∀(F,G) ∈ L(E,E) :
(F ◦ G)∗ = G∗ ◦ F∗
(A.5)
D’autre part il est évident que l’adjoint de l’identité sur E est l’identité sur E ∗ , d’où l’on déduit que si F est
inversible, alors:
(F−1 )∗ = (F∗ )−1
(A.6)
12
avec la convention habituelle de sommation des indices répétés.
A.5. ALGÈBRE LINÉAIRE SUR UN ESPACE RÉEL DE DIMENSION FINIE
129
Désignons alors par E∗∗ le bidual de E c’est à dire le dual de E∗ . En dimension finie, E∗∗ et E s’identifient
naturellement. En effet, à chaque vecteur x de E on peut associer une unique forme linéaire x̃ sur E∗ définie
par:
∀g ∈ E∗ : g(x) = x̃(g)
Il est évident que l’application qui à chaque vecteur x associe x̃ est une bijection linéaire entre E et E∗∗ . C’est
d’ailleurs une isométrie si, E étant normé, on munit systématiquement le dual de la norme associée (voir les
rappels de topologie). On peut donc identifier E et E∗∗ en identifiant chaque vecteur x de E avec le vecteur x̃
de E∗∗ . Cette identification entre E et E∗∗ est également canonique, puisque elle ne dépend que de la structure
d’espace vectoriel de E, contrairement à la correspondance entre entre E et E∗ établie par le théorème de
Riesz qui dépend du choix du produit scalaire. Cette identification étant faite une application de E ∗∗ sur lui
même s’identifie donc à une application de E dans E. On vérifie facilement que :
∀F ∈ L(E,E) :
(F∗ )∗ = F
(A.7)
D’autre part, on vérifie également facilement que si B est une base de E alors, la base duale de sa base duale
n’est rien d’autre que B elle même.
A.5.3
Espaces vectoriels Euclidiens.
On se donne un produit scalaire sur E que l’on désignera par (·|·). L’espace E et son dual E ∗ sont alors
naturellement isomorphes grâce à la proposition suivante, évidente en dimension finie (il suffit d’introduire une
base orthonormée):
I Proposition A.10 (Théorème de Riesz) A chaque forme linéaire u sur E on peut associer un unique
vecteur u de E tel que:
∀x ∈ E : u(x) = (x|u)
(A.8)
Une conséquence immédiate du théorème de Riesz est la définition du produit vectoriel.
A.5.3.1
Produit vectoriel.
On suppose que n ≥ 3. Munissons E d’une orientation positive. Soit B une base orthonormée directe de E.
Donnons nous n − 1 vecteurs (V1 , · · · ,Vn−1 ) de E. On a la:
I Proposition A.11 Il existe un unique vecteur W tel que:
∀X ∈ E :
detB (V1 , · · · ,Vn−1 ,X) = (W|X)
de plus ce vecteur est indépendant du choix de la base orthonormée directe B.
La démonstration, est immédiate, puisque le membre de gauche de l’égalité définit une forme linéaire sur
E. Le vecteur W ainsi défini est appelé produit vectoriel des n vecteurs (V 1 , · · · ,Vn−1 ) et noté:
W = V1 ∧ · · · ∧ Vn−1
On vérifie immédiatement, vu la proposition, que le produit vectoriel est linéaire par rapport à chaque facteur
et alterné ( en dimension 3, c’est la propriété habituelle d’antisymétrie).
On notera que le produit vectoriel dépend à la fois du choix du produit scalaire et de l’orientation de
l’espace. En particulier, si on change l’orientation en gardant le produit scalaire, les produits vectoriels sont
changés en leurs opposés.
A.5.3.2
Bases duales.
Soit B = (g1 , . . . ,gn ) une base de E. Soit (g 1 , . . . ,g n ) sa base duale. Grace au théorème de Riesz on peut
alors identifier chaque forme linéaire g i à un unique vecteur gi de E. Il est immédiat de vérifier que la famille
(g1 , . . . ,gn ) ainsi déterminée est une base de E. On l’appelle encore base duale de B et on la note B ∗ . On
vérifie facilement que B et B ∗ sont de même orientation 13 mais qu’elles ne coïncident que si et seulement si B
est orthonormée. On notera que la base (g 1 , . . . ,g n ) de E∗ est canoniquement associée à B mais que la base B ∗
Car le déterminant de B sur la base B ∗ est le déterminant de la matrice carrée d’ordre n dont les coefficients sont les gij = (gi |gj )
qui est symétrique définie positive.
13
130
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
dépend du choix du produit scalaire. On vérifie facilement que la base duale de la base B ∗ n’est rien d’autre
que la base B elle-même.
On vérifie également que dans l’espace Euclidien orienté de dimension 3, on a alors:
g1 =
g2 ∧ g 3
,
(g1 ∧ g2 |g3 )
(A.9)
Les autres gi s’obtenant par permutations circulaires. On pourra vérifier qu’en fait ces formules ne dépendent
pas de l’orientation choisie. On notera que le dénominateur n’est rien d’autre que le déterminant de la base
B = (g1 ,g2 ,g3 ) sur une base orthonormée directe quelconque.
A.5.3.3
Formes bilinéaires et endomorphismes.
L’existence d’un produit scalaire permet également d’identifier les endomorphismes et les formes bilinéaires.
En effet a chaque endomorphisme f de E on peut associer une unique forme bilinéaire f par la formule (attention
à l’ordre):
∀(x,y) ∈ E2 :
f (x,y) = (x|f · y)
On définit ainsi une application de L(E,E) dans L2 (E). Cette application est évidement linéaire et il est facile
de vérifier qu’elle est injective. Comme L2 (E) et L(E,E) ont même dimension elle est donc bijective. D’où la :
I Proposition A.12 A toute forme bilinéaire φ sur E est associé un unique endomorphisme φ de E tel
que:
φ · y)
∀(x,y) ∈ E2 :
φ(x,y) = (x|φ
(A.10)
C’est cette identification qui conduit à considérer indifféremment le tenseur des déformations de Cauchy
comme un champ d’applications linéaires ou comme un champ de produits scalaires, appelé alors tenseur
métrique.
L’endomorphisme associé au produit scalaire (·|·) est évidement l’identité.
Étant donné deux vecteurs a et b on peut considérer la forme bilinéaire a ⊗ b définie par:
∀(x,y) ∈ E2 :
a ⊗ b(x,y) = (a|x) (b|y)
(A.11)
Il est clair que la notation est cohérente avec le produit tensoriel des formes linéaires. En effet, si a et b sont
les formes associées par le théorème de Riesz à a et b la forme bilinéaire a ⊗ b n’est rien d’autre que la forme
a ⊗ b.
D’après la proposition précédente, il correspond à a ⊗ b un unique endomorphisme que l’on note également
a ⊗ b et qui est donc défini par:
∀x ∈ E :
a ⊗ b · x = (b|x)a
(A.12)
Soit (g1 , . . . ,gn ) une base de E et soit (g1 , . . . ,gn ) sa base duale. On vérifie facilement que la famille des
n endomorphismes gi ⊗ gj forme alors une base de L(E,E). Si f est un endomorphisme de E il se décompose
donc sur cette base en (avec la convention habituelle de sommation des indices répétés):
2
f = fji gi ⊗ gj
(A.13)
Les coefficients fji sont tout simplement les coefficients 14 de la matrice de f sur la base (g1 , . . . ,gn ). En effet,
chacun est donné par:
(A.14)
fji = (gi |f · gj )
A.5.3.4
Transposition.
Munissons E d’un produit scalaire noté (·|·). On a la:
T
14
I Proposition A.13 Soit f est un endomorphisme de E. Il existe un unique endomorphisme de E, noté
f tel que:
∀(x,y) ∈ E2 : (x|f · y) = (T f · x|y)
Attention que ce n’est pas le cas pour les coefficients sur les base gi ⊗ gj ou gi ⊗ gj .
A.5. ALGÈBRE LINÉAIRE SUR UN ESPACE RÉEL DE DIMENSION FINIE
131
La démonstration est immédiate. L’endomorphisme T f ainsi défini est appelé transposée de f . Vu la définition, on a évidement: T (T f ) = f . On notera également la règle suivante, directement déduite de la définition:
∀(f ,g) ∈ L(E,E)2 :
T
(f · g) =T g ·T f
Il en résulte immédiatement, puisque T Id = Id que:
∀f ∈ GL(E) :
T
(f −1 ) = (T f )−1
On vérifie, de plus, qu’un endomorphisme et sa transposée on même déterminant. On vérifie également que:
T
[a ⊗ b] = b ⊗ a
Il y a un rapport évident entre l’adjoint d’un endomorphisme et sa transposée. En effet, soit g une forme linéaire
et soit g l’unique vecteur de E qui lui est associé par le théorème de Riesz. Alors T f · g n’est rien d’autre que
l’unique vecteur associé à la forme linéaire f ∗ · g par le théorème de Riesz. En effet, on par définition:
∀x ∈ E :
[f ∗ · g](x) = g(f · x) = (f · x|g) = (x|T f · g)
On dit qu’un endomorphisme f est symétrique si: T f = f .
I Proposition A.14 (Endomorphismes symétriques.) Soit (E,(·|·))un espace Euclidien de dimension n ≥ 1 et f un endomorphisme symétrique. Alors, f est diagonalisable sur R et ses espaces propres sont
deux à deux orthogonaux. C’est à dire qu’il existe n vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux e 1 , · · · ,en
et n réels λ1 · · · ,λn tels que pour chaque i:
f · e i = λ i ei
On laisse la démonstration à titre d’exercice. A noter que la matrice de f sur la base (e i ) est diagonale et
que les λi sont donc les racines du polynôme caractéristiques de f et ce sont donc bien les valeurs propres de
f telles qu’on les a définies plus haut.
Sketch d’une démonstration. On se place sur Cn muni de son produit hermitien canonique: (x|y) =
P
i
xi yi et on consi-
dère la matrice M de f sur une base orthonormée B de E comme une matrice à coefficients complexes. Elle est autoadjointe, c’est
à dire qu’elle vérifie T M = M . On en déduit que les racines du polynôme caractéristique det(M − X[Id]), qui sont également
les valeurs propres de f , sont toutes réelles. On revient sur E et on en déduit que des vecteurs propres associés à des valeurs
propres 6= sont orthogonaux. Comme il existe au moins une valeur propre, elle est réelle et il existe un vecteur propre associé
dans E. On achève la démonstration par récurrence en se plaçant sur le sous espace orthogonal à ce vecteur propre qui est un
hyper-sous-espace et donc de dimension n − 1.
On dit qu’un endomorphisme f est positif ( respectivement défini) si la forme quadratique x 7→ (x|f · x) est
positive (resp. définie, c’est à dire: (x|f · x) = 0 ⇒ x = 0 ).
Un endomorphisme symétrique est positif si, et seulement, si ses valeurs propres sont positives et il est
défini si et seulement si il n’a aucune valeur propre nulle. Il est donc défini-positif si et seulement si ses valeurs
propres sont strictement positives. La forme bilinéaire qui lui est associée: (x,y) 7→ (x|f ·y) est alors un nouveau
produit scalaire sur E. Inversement, à tout produit scalaire φ sur E est associé, d’après la proposition A.12, un
φ · y). Il est immédiat de voir que φ est alors symétrique
unique endomorphisme φ tel que: ∀(x,y) : φ(x,y) = (x|φ
défini-positif
Ainsi, un produit scalaire étant fixé, l’ensemble des endomorphismes symétriques définis-positifs pour ce
produit scalaire s’identifie à l’ensemble des produits scalaires sur E.
On vérifie facilement qu’une application linéaire est symétrique si et seulement si sa matrice sur une
base orthonormée quelconque l’est. Il n’y a pas de rapport entre la symétrie d’une matrice et la symétrie de
l’endomorphisme associé si la base n’est pas orthonormée.
On dit qu’un endomorphsime f est antisymétrique si: T f = −f . En dimension 3, on a la proposition suivante:
I Proposition A.15 Soit E un espace vectoriel Euclidien orienté de dimension 3. Soit Ω un endomorphisme antisymétrique de E. Alors il existe un unique vecteur ω de E, tel que:
∀x ∈ E :
Ω·x=ω∧x
La démonstration est immédiate, il suffit de considérer la matrice de Ω sur une base orthonormée directe.
Le résultat est fondamental pour la mécanique du solide rigide, les changements de référentiels et l’analyse
d’un champ de vitesses. Notons que si on change l’orientation de l’espace on change ω en son opposé.
132
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
A.5.4
Norme et Produit scalaire sur L(E,E). Produit contracté.
Supposons que E, de dimension n, soit muni d’une norme que l’on note || · ||. Comme E est ici de dimension
finie, il est facile de voir que toute application linéaire f de E dans E est continue (c’est faux en dimension
infinie). Ainsi, elle est bornée sur la sphère unité. On peut donc associer à chaque application linéaire f ∈
L(E,E) le nombre:
||f ||L = sup {||f (x)||}
||x||=1
L’application ||.||L ainsi définie est alors une norme sur L(E,E). C’est donc une norme canoniquement associée
à la norme || · || de E. L’intérêt de cette norme réside dans l’inégalité suivante, immédiatement déduite de la
définition:
||f (x)|| ≤ ||f ||L · ||x||
On notera également que si f et g sont dans L(E,E), alors:
||g ◦ f ||L ≤ ||g||L ||f ||L
Munissons E d’un produit scalaire noté (·|·) et désignons par || · || la norme Euclidienne associée. Soit f
un endomorphisme de E. Considérons l’endomorphisme T f · f . C’est un endomorphisme symétrique et comme
E est un e.v. réel, on sait que cet endomorphisme est diagonalisable sur une base orthonormée de vecteurs
propres. Il est évidement positif, de sorte que ses valeurs propres sont positives ou nulles. Désignons alors par
λ21 , · · · ,λ2n ces n valeurs propres, distinctes ou non. Il est alors facile de voir que la norme sur L(E,E) associée
à la norme Euclidienne est tout simplement définie par:
p
||f ||L = sup { (f · x|f · x)} = sup |λi |
||x||=1
i∈{1,··· ,n}
Cette norme n’est cependant pas Euclidienne. On préfère alors utiliser une norme équivalente, qui elle dérive
d’un produit scalaire, en posant:
sX
q
||f || =
λ2i = Tr(T f ◦ f )
i
On notera que l’on a:
||f ||
√ ≤ ||f ||L ≤ ||f ||
n
En particulier, on a donc l’inégalité:
||f · x|| ≤ ||f || ||x||
La proposition suivante, qui montre que l’on peut donc définir un produit scalaire sur les endomorphismes de
E, canoniquement associé au produit scalaire défini sur E est immédiate:
I Proposition A.16 (Produit scalaire sur L(E,E)) Soit E un espace vectoriel Euclidien de dimension
finie. L’application suivante est un produit scalaire sur L(E,E):
(f ,g) ∈ L(E,E)2 7−→ Tr(T f ◦ g)
La preuve est élémentaire, puisque l’application ainsi définie est évidement bilinéaire et symétrique (puisqu’un endomorphisme et sa transposée ont même trace), et elle est définie positive puisque la forme quadratique
associée n’est rien d’autre que le carré de la norme || · ||.
On notera d’ailleurs que l’ordre n’a pas d’importance puisque l’on sait que Tr(a ◦ b) = Tr(b ◦ a).
La notation standard pour ce produit scalaire est "· : ·" on dit qu’il s’agit du produit contracté. On a donc,
par définition
f : g = Tr(T f ◦ g) = Tr(T g ◦ f ) = Tr(f ◦
Par Cauchy-Schwarz on a donc:
1
1
|f : g| ≤ (f : f ) 2 (g : g) 2
Pour ce qui concerne la composition, on déduit alors l’inégalité:
||f ◦ g|| ≤ ||f || ||g||
T
g) = Tr(g ◦
T
f)
A.5. ALGÈBRE LINÉAIRE SUR UN ESPACE RÉEL DE DIMENSION FINIE
133
En effet:
||f ◦ g||2 = Tr(T g ◦T f ◦ f ◦ g) = Tr[(g ◦T g) ◦ (T f ◦ f )]
Pour l’évaluer on prend pour base une base orthonormée de vecteurs propres de
propres λ21 , · · · ,λ2n . Il vient:
||f ◦ g||2 =
X
i
λ2i (g ◦T g · ei |ei ) ≤ (
X
i
λ2i )
X
i
T
f ◦ f associée aux valeurs
(g ◦T g · ei |ei ) = (f : f )(g : g)
On remarquera que si on se donne la matrice de f sur une base orthonormée, f : f est simplement le carré
de la somme des coefficients.
C’est ce produit scalaire et la norme associée que l’on utilisera systématiquement pour les endomorphismes
de l’espace Euclidien, implicitement ou explicitement.
Les endomorphismes symétriques et antisymétriques sont orthogonaux pour ce produit scalaire. Plus précisément, on a la proposition suivante, dont la démonstration est immédiate:
I Proposition A.17 Soit E un espace vectoriel Euclidien de dimension finie n. Tout endomorphisme f
se décompose de manière unique en la somme d’une endomorphisme symétrique S et d’un endomorphisme
antisyméytrique A, avec :
f =S+A
1
1
S = [f +T f ] A = [f −T f ]
2
2
de L(E,E), noté
L’ensemble des endomorphismes symétriques est un sous espace vectoriel de dimension n(n+1)
2
de
S(E). L’ensemble des endomorphismes antisymétriques est un sous espace vectoriel de dimension n(n−1)
2
L(E,E), noté A(E).
S(E) et A(E) sont supplémentaires dans L(E,E) et ils sont de plus othogonaux si on munit L(E,E) du
produit scalaire (· : ·).
Un autre couple de sous espaces supplémentaires orthogonaux de L(E,E) intervient systématiquement en
mécanique. Ce sont les homothéties et les endomorphismes de trace nulle, ces derniers sont appelés déviateurs.
On a la proposition suivante, dont la démonstration est également immédiate:
I Proposition A.18 Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n. Tout endomorphisme f se
décompose de maniére unique en la somme d’une homothétie H et d’un déviateur D, avec :
f =H+D
H=
1
Tr(f ) Id
n
D=f −H
L’ensemble des homothéties et l’ensemble des déviateurs sont deux sous espaces supplémentaires de L(E,E) et
ils sont de plus othogonaux si E est Euclidien et que l’on munit L(E,E) du produit scalaire (· : ·) induit.
L’homothétie H qui intervient dans la décomposition de f est appelée partie sphérique de f .
A.5.5
Déplacements et transformations orthogonales
A.5.5.1
Transformations orthogonales
Munissons E d’un produit scalaire noté (·|·). On dit qu’une application f : E 7→ E est orthogonale si elle
conserve le produit scalaire, c’est à dire:
∀(u,v) ∈ E2 :
(f (u)|f (v)) = (u|v)
On dit qu’elle conserve la norme Euclidienne si:
∀u ∈ E :
||f (u)|| = ||u||
134
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
Une application orthogonale conserve évidement la norme Euclidienne, la réciproque est fausse 15 . Il se trouve
que les applications orthogonales sont linéaires, plus précisément, on a le théorème suivant:
I Théorème A.1 (Applications orthogonales) Soit E un espace vectoriel Euclidien de dimension finie. Soit f : E 7→ E une application de E dans E. Les propositions suivantes sont équivalentes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
f est une application orthogonale.
f est une application linéaire orthogonale.
f est une application linéaire qui conserve la norme Euclidienne.
f est une application linéaire inversible vérifiant: T f = f −1
f est une application linéaire vérifaint: T f ◦ f = Id
f est une application linéaire dont la matrice sur une base orthonormée quelconque est orthogonale, c’est
à dire vérifie: T [f ] · [f ] = [Id]
Les trois dernières équivalences sont triviales. Que (2) ⇒ (3) est évident. La réciproque se déduit facilement
de l’identité suivante:
4(u|v) = ||u + v||2 − ||u − v||2
Que (2) ⇒ (1) est également évident, par définition. Pour établir le théorème il suffit donc de montrer que toute
application qui conserve le produit scalaire est linéaire, ce qui est un exercice standard et facile de géométrie.
Exercice A.5.1 Le faire.
Indication: MontrerPd’abord que
P l’image (f (e1 ), · · · ,f (en )) d’une base O.N. (e1 , · · · ,en ) est une base O.N.
Puis en déduire que f ( λi ei ) − λi f (ei ) = 0.
L’ensemble des applications orthogonales forme donc un groupe pour la composition des applications.
On l’appelle Groupe Orthogonal de E et on le note O(n) où n est la dimension de l’espace. Le déterminant
d’une application orthogonale est égal à 1 ou à −1. Ainsi O(n) est un sous groupe du groupe unitaire U(n). Le
groupe orthogonal, comme sous groupe du groupe unitaire est maximal. De manière précise on a la proposition
suivante:
I Proposition A.19 (Maximalité de O(n)) Tout sous groupe de U(n) qui contient O(n) est soit U(n)
lui même, soit O(n).
On trouvera une démonstration dans l’article de W. Noll [14]. Cette proposition est importante en Mécanique car elle montre que le groupe de symétrie d’un matériau est soit un sous-groupe du groupe orthogonal,
soit tout le groupe unitaire. Dans ce dernier cas c’est une fluide 16 .
Une application orthogonale qui conserve les orientations, et dont le déterminant est donc égal à 1, est
appelé rotation vectorielle. L’ensemble des rotations vectorielles est évidement un groupe pour la composition
des applications, sous groupe du précédent, appelé Groupe Spécial Orthogonal de E et noté O + (n).
Le cas qui nous intéresse est bien sûr celui de la dimension 3. On a la:
I Proposition A.20 (Rotations vectorielles) Soit R une rotation vectorielle de l’espace Euclidien de
dimension 3. Alors 1 est valeur propre de R. L’espace propre associé est formé des vecteurs invariants par
R, il est soit égal à E si R = Id, soit de dimension 1 si R 6= Id. Dans ce dernier cas il est appelé axe de
la rotation R. Si e3 est un vecteur directeur de l’axe, il existe alors une base orthonormée (e 1 ,e2 ) du plan
perpendiculaire à l’axe et un nombre θ ∈ [0,π] tels que la matrice de R dans la base (e 1 ,e2 ,e3 ) soit:

cos(θ)
[R] =  sin(θ)
0
− sin(θ)
cos(θ)
0

0
0
1
Sur R l’application f définie par f (x) = x sur R+ et impaire, conserve la valeur absolue mais pas le produit scalaire. En
fait la réciproque est vraie si on impose de plus à f d’être différentiable. 16 Le groupe de symétrie d’un matériau homogène
incompressible est le groupe des transformations de l’état de repos qui laisse invariant la relation "contraintes-déformations" entre
cet état et un état déformé. C’est un sous groupe du groupe unitaire. Si le groupe de symétrie contient tout le groupe orthogonal,
on dit qu’il est isotrope, sinon on dit qu’il est orthotrope.
15
A.5. ALGÈBRE LINÉAIRE SUR UN ESPACE RÉEL DE DIMENSION FINIE
135
Notons que si l’espace est orienté, quitte à changer e3 en −e3 on peut toujours supposer que la base
(e1 ,e2 ,e3 ) est directe. Sur toute autre base (e1 ,e2 ,e3 ), avec e3 sur l’axe et (e1 ,e2 ) orthonormée dans le plan
perpendiculaire à l’axe, la matrice de R est soit égale à la précédente, soit déduite de la précédente en changeant
θ en −θ. Le nombre θ ∈ [0,π] ainsi défini ne dépend donc que de R et non pas du choix de la base, il est alors
appelé angle de la rotation.
Exercice A.5.2 Montrer la proposition et les remarques qui suivent.
A.5.5.2
Déplacements affines
Soit E un espace affine associé à l’espace Euclidien E identifié à l’espace des translations de E. On le munit
−−→
de la distance Euclidienne: d(M,N ) = ||M N ||. On dit qu’une application f : E 7→ E est un déplacement si elle
conserve la distance Euclidienne. C’est à dire si:
∀(M,N ) ∈ E : d(M,N ) = d(f (M ),f (N ))
On a le théorème suivant:
I Théorème A.2 (Déplacements) Soit E un espace vectoriel Euclidien de dimension finie et E un espace affine associé. Soit f : E 7→ E une application de E dans E. Les propositions suivantes sont équivalentes:
1. f est un déplacement.
2. f est une application affine associée à une application orthogonale.
Que (2) ⇒ (1) est immédiat. Puisque les applications othogonales et les translations dans E conservent la
norme Euclidienne. Le théorème affirme la réciproque.
Exercice A.5.3 Établir le théorème.
Indication: Soit O un point de E. On considère l’application f de E dans E:
f:
−−−−−−−→
−−→
OM ∈ E 7−→ f (O)f (M )
En considérant l’identité du parallélogramme:
2(||u||2 + ||v||2 ) = ||u + v||2 + ||u − v||2
montrer que f conserve le produit scalaire. En déduire qu’elle est linéaire et conclure.
L’ensemble des déplacements forme un groupe pour la composition des applications appelé tout simplement
Groupe des déplacements de E. On le notera D(E).
Les déplacements de l’espace Euclidien sont fondamentaux en Physique non relativiste puisque les seules
grandeurs mesurables sont in fine les durées et les distances, ces dernières étant mesurables indépendamment
du temps (i.e. quelque soit la position temporelle relative des événements).
Le théorème suivant montre qu’un déplacement est en fait complètement connu par son action locale.
I Théorème A.3 (Déplacement d’un ouvert) Soit Ω un ouvert d’un espace affine Euclidien E de dimension finie. Soit f une application de Ω dans E qui conserve la distance Euclidienne. Alors il existe un
unique déplacement de E qui coïncide avec f sur Ω.
Preuve: On se contentera de donner les étapes de la démonstration qui repose sur le fait qu’une application affine est
complètement déterminée par l’image de (n + 1) points affinement indépendants.
−−→
1. Soit O un point de Ω. On désigne par Ω l’ensemble des vecteur de E de la forme OM quand M parcourt Ω. On introduit
l’application f définie sur Ω par:
−−−−−−−→
−−→
f : OM ∈ Ω 7−→ f (O)f (M ) ∈ E
2. On montre que f conserve le produit scalaire.
3. On choisit n points Ai de Ω tels que les points (O,A1 , · · · ,An ) soient affinement indépendants. Ce qui est possible puisque
−−→
Ω est un ouvert et n’est donc pas inclus dans un hyper-plan. Les vecteurs u i = OAi forment une base de E et on montre
que l’image de cette base par f est une base.
4. On introduit l’application linéaire orthogonale Q définie par:
On vérifie que pour tout vecteur
Ω.
P
Q : Q · ui = f (ui )
P
P
λi ui ∈ Ω on a: f ( λi ui ) −
λi f (ui ) = 0 et on en déduit que f coïncide avec Q sur
136
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
−−→
5. En conclusion, on a pour tout M ∈ Ω, f (M ) = f (O) + Q · OM . Ainsi, f est la restriction à Ω du déplacement ainsi défini.
6. Celui-ci est le seul ayant cette propriété, puisque si deux applications affines coïncident sur (n + 1) points affinement
indépendants elles coïncident partout.
Ce théorème est important car il montre qu’un mouvement rigidifiant de milieu continu se définit indépendamment du domaine occupé par le milieu et se prolonge à tout l’espace, ce qui n’est plus vrai, en général,
pour un mouvement quelconque.
Un déplacement dont l’application linéaire associée est une rotation vectorielle est appelé déplacement
direct. L’ensemble des déplacements directs est un groupe pour la composition des applications. Il contient en
particulier les translations, puisqu’elles sont associées à l’identité.
En dimension 3, un déplacement direct qui possède un point fixe et qui n’est pas égal à l’identité est appelé
rotation. La droite, passant par ce point fixe et parallèle à l’axe de la rotation vectorielle associée, est alors
évidement invariante. On l’appelle axe de la rotation. L’axe d’une rotation est exactement égal à l’ensemble
de ses points invariants.
On a la caractérisation suivante, qui justifie que les déplacements directs de l’espace de dimension 3 qui ne
sont pas des translations sont aussi appelés vissages:
I Proposition A.21 (Vissages) Soit D un déplacement direct d’un espace affine Euclidien de dimension
3 qui n’est pas une translation. Alors il existe un unique couple (R,T ) où R est une rotation d’axe ∆ et T une
translation de vecteur parallèle à ∆ tel que:
D =T ◦R=R◦T
Notons qu’il existe une infinité de décompositions d’un déplacement direct qui n’est pas une translation
en le produit d’une translation et d’une rotation. Ce qu’affirme la proposition c’est qu’il y en a une et une
seule pour laquelle la translation se fait parallèlement à l’axe de la rotation vectorielle associée. Dans cette
décomposition, l’axe de la rotation est appelé axe du vissage. Cette décomposition joue un rôle fondamental
en mécanique du solide rigide. Les rotations sont donc des vissages dont le vecteur translation est nul.
Exercice A.5.4 Établir la proposition.
Indication: Soit R la rotation vectorielle associée à D. Soit A un point de E et soit T la translation dont
−−−−→
le vecteur V est la projection de AD(A) sur l’axe de R. En considérant la restriction de Id − R au plan
perpendiculaire à l’axe de R, montrer que T −1 ◦ D possède un point fixe et conclure.
A.5.5.3
Décomposition polaire
I Théorème A.4 (Décomposition polaire) Soit E un espace vectoriel Euclidien de dimension finie.
Soit F un endomorphisme inversible de E. Il existe alors un unique couple (Q,U) d’endomorphismes de E,
avec Q orthogonal et U symétrique, défini, positif, tel que:
F=Q·U
Le couple (Q,U) ainsi défini est appelé décomposition polaire de F.
Pour établir le théorème on utilisera le lemme suivant:
Lemme A.5.1 Soit E un espace Euclidien de dimension finie. Soit S +∗ l’ensemble des endomorphismes
symétriques définis-positifs. Alors, l’application:
φ:
u ∈ S +∗ 7→ u2 ∈ L(E)
est une bijection de S +∗ sur lui même.
Admettons le lemme et montrons la proposition.
Preuve: Soit F un endomorphisme inversible. Désignons par ψ l’inverse de la bijection φ introduite dans le lemme. Considérons
l’endomorphisme g =T F ◦ F. Il est évidement symétrique défini positif.
Si le couple (Q,U) existe avec les propriétés indiquées, on a nécessairement:
g =T F ◦ F =T U ◦T Q ◦ Q ◦ U = U ◦ Id ◦ U = U2
Donc nécessairement: U = ψ(g). Il résulte du lemme que U est symétrique défini positif et donc inversible. Ainsi, si le couple
(Q,U) existe avec les propriétés indiquées, il est nécessairement unique et donné par:
U = ψ(T F ◦ F)
Q = F ◦ U−1
A.5. ALGÈBRE LINÉAIRE SUR UN ESPACE RÉEL DE DIMENSION FINIE
137
Posons donc: Q = F ◦ U−1 et montrons que Q est orthogonal. On a:
Q ◦T Q = F ◦ U−1 ◦T (U−1 ) ◦T F
Or:
T
(U−1 ) = (T U)−1 = (U)−1
puisque U est symétrique. D’où:
Q ◦T Q = F ◦ U−1 ◦ (U−1 ) ◦T F
= F ◦ (U2 )−1 ◦T F
= F ◦ [φ ◦ ψ(g)]−1 ◦T F
= F ◦ g−1 ◦T F
= F ◦ F−1 ◦T (F−1 ) ◦T F = Id
Donc, Q est orthogonal. En conséquence, puisque Q = F ◦ U−1 , on a: F = Q ◦ U et le couple (Q,U) convient. CQFD Preuve du lemme: Soit u ∈ S +∗ . Comme u est symétrique, u2 l’est également et ses valeurs propres sont les carrés des
valeurs propres de u, de sorte que φ(S +∗ ) ⊂ S +∗ . Réciproquement, soit v ⊂ S +∗ . On peut trouver une base où la matrice de v
√
√
est diagonale: [v] = diag(λ1 ,...,λn ), avec: λi > 0. L’endomorphisme u dont la matrice sur cette même base est diag( λ1 ,..., λn )
est dans S +∗ et vérifie u2 = v = φ(u). CQFD A.5.6
Fonctions isotropes
Si dim(E) = 3 et si f est un endomorphisme de E on note
I1 = tr(f )
I2 = tr(f 2 )
I3 = tr(f 3 )
et on dit que I1 ,I2 ,I3 sont les invariants scalaires de f . Le vocabulaire est justifié car on va voir que quand les
valeurs propres de f sont réelles, et donc en particulier quand f est symétrique (qui est le cas qui nous intéresse
en rhéologie), ces trois scalaires sont en bijection avec les coefficients du polynôme caractéristique.
◦
On note C la partie de R3 : C = {x ≥ y ≥ z}. C’est un dièdre. L’intérieur de C est l’ouvert: C = x > y > z.
On désignera par C ∗ la partie de C formée des points (x,y,z) pour lesquels aucune coordonnées n’est nulle. On
définit les polynômes symétriques σi et Ii :
σ1 (X,Y,Z) = X + Y + Z
σ2 (X,Y,Z) = XY + Y Z + XZ
I1 (X,Y,Z) = X + Y + Z
2
2
I2 (X,Y,Z) = X + Y + Z
2
σ3 (X,Y,Z) = XY Z
I3 (X,Y,Z) = X 3 + Y 3 + Z 3
et les fractions rationnelles Ji :
J1 (X,Y,Z) = XY Z
J2 (X,Y,Z) = X + Y + Z
J3 (X,Y,Z) =
1
1
1
+ +
X
Y
Z
On notera que les fonctions σi sont les fonctions symétriques des racines des polynômes à une indéterminée
de degré ≤ 3.
Lemme A.5.2 L’application Σ : C 7→ Σ(C) définie par:
(x,y,z) 7→ (σ1 (x,y,z),σ2 (x,y,z),σ3 (x,y,z))
est une bijection de C sur son image.
Attention que l’image de Σ n’est pas tout R3 puisque les polynômes de degré 3 à coefficients réels n’ont
pas tous des racines réelles. Le résultat est immédiat puisque (x,y,z) sont les racines réelles du polynôme
X 3 − σ1 X 2 + σ2 X − σ3 et que ce triplet est unique quand on l’ordonne par la relation x ≥ y ≥ z. En fait Σ
◦
est un C ∞ difféomorphisme de C et c’est même un homéomorphisme de C.
Lemme A.5.3 L’application I : C 7→ I(C) définie par:
(x,y,z) 7→ (I1 (x,y,z),I2 (x,y,z),I3 (x,y,z))
est une bijection.
138
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
C’est immédiat par composition, d’après le lemme précédent, car on a:
σ2 = (I12 − I2 )/2
σ1 = I 1
σ3 = (5I13 + 2I3 − 3I1 I2 )/12
Lemme A.5.4 L’application J : C ∗ 7→ J(C ∗ ) définie par:
(x,y,z) 7→ (J1 (x,y,z),J2 (x,y,z),J3 (x,y,z))
est une bijection.
C’est immédiat par composition, d’après le lemme A.5.2, car sur J(C ∗ ) J1 6= 0 et on a toujours:
σ1 = J 2
σ3 = J 1
σ2 = J 3 J1
Définition A.16 (Fonction scalaire isotrope) Soit E un espace Euclidien, et S(E) l’ensemble des endomorphismes symétriques. Soit f une application définie sur S(E) à valeurs dans R ou C. On dit que f est
isotrope si:
∀Q ∈ O(n) ∀f ∈ S(E) :
f (Q · f ·T Q) = f (f )
I Proposition A.22 On se place en dimension 3 et on suppose que E est Euclidien. Soit f : S(E) 7→ K
une application définie sur S(E) à valeurs dans R ou C. Alors, f est isotrope si et seulement si il existe une
application g : I(C) 7→ R telle que:
∀f ∈ S(E) :
f (f ) = g(I1 ,I2 ,I3 )
où I1 ,I2 ,I3 sont les trois invariants scalaires de f .
Preuve: Que la condition soit suffisante est évident car la trace d’une matrice est invariante par changement de base. Voyons
qu’elle est nécessaire. Fixons une base orthonormée B de E et désignons, pour chaque endomorphisme f , par [f ] B sa matrice sur
B. On peut alors introduire l’application F définie sur les matrices carrées réelles symétriques d’ordre 3 par: f (f ) = F ([f ] B ). Soit
alors f ∈ S(E). On sait que f est diagonalisable sur R sur une base orthonormée. Soit λ 1 ≥ λ2 ≥ λ3 ses valeurs propres associées
aux vecteurs propres e1 ,e2 ,e3 que l’on choisis unitaires. Désignons par Q l’endomorphisme orthogonal qui transforme la base
(e1 ,e2 ,e3 ) en la base B. On a, puisque f est isotrope:
f (f ) = f (Q · f ·T Q) = F ([Q · f ·T Q]B ) = F (diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ))
où diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ) est la matrice diagonale:

λ1
diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ) =  0
0
0
λ2
0

0
0
λ3
Désignons par f˜ l’application f˜ de C dans R définie par: f˜(x,y,z) = F (diag(x,y,z)). On a:
∀f ∈ A :
f (f ) = f˜(λ1 ,λ2 ,λ3 )
et donc, d’après le lemme A.5.3:
∀f ∈ A :
d’où le résultat en prenant g = f˜ ◦ I −1 . f (f ) = f˜ ◦ I −1 (I1 (f ),I2 (f ),I3 (f ))
I Proposition A.23 On se place en dimension 3 et on suppose que E est Euclidien. Soit f : S(E) ∩
Gl(E) 7→ K une application isotrope. Alors, il existe une application g : J(C ∗ ) 7→ R telle que:
∀f ∈ A :
f (f ) = g(det(f ),tr(f ),tr(f −1 ))
La démonstration est identique à la précédente en utilisant cette fois le lemme A.5.4.
Définition A.17 (Fonction isotrope) Soit E un espace Euclidien. Soit f une application définie sur
S(E) à valeurs dans L(E,E). On dit que f est isotrope si:
∀Q ∈ O(n) ∀f ∈ S(E) :
f (Q · f ·T Q) = Q · f (f ) ·T Q
I Proposition A.24 On se place en dimension 3 et on suppose que E est euclidien. Soit f : S(E) 7→
L(E,E) une application de S(E) dans L(E,E). Alors f est isotrope si et seulement si il existe trois applications
g1 ,g2 ,g3 : I(C) 7→ R telle que:
∀f ∈ S(E) :
f (f ) = g1 (I1 ,I2 ,I3 )Id + g2 (I1 ,I2 ,I3 )f + g2 (I1 ,I2 ,I3 )f 2
où I1 ,I2 ,I3 sont les trois invariants scalaires de f .
A.5. ALGÈBRE LINÉAIRE SUR UN ESPACE RÉEL DE DIMENSION FINIE
139
La démonstration est basée sur le lemme suivant:
Lemme A.5.5 Soit f un endomorphisme diagonalisable de E. Si f et g ont mêmes espaces propres alors,
il existe n réels (α0 , · · · ,αn−1 ) tels que:
g = α0 Id + α1 f + · · · αn−1 f n−1
Exercice A.5.5 Montrer le lemme. Indication: ramener le problème à la discussion d’un système de Vandermonde.
Preuve de la proposition: Que la condition soit suffisante est immédiat, voyons la réciproque. Soit f ∈ S(E). On sait que
f est diagonalisable sur R sur une base ortnonormée car il est symétrique réel. Soit λ 1 ≥ λ2 ≥ λ3 ses valeurs propres associées
aux vecteurs propres e1 ,e2 ,e3 que l’on choisit unitaires. Désignons par Q la rotation d’angle π autour de e 1 . On a, puisque f est
isotrope et que T Q = Q:
Q · f (f ) ·T Q = f (Q · f ·T Q) = f (f )
et donc: Q · f (f ) = f (f )Q. Il en résulte que f (f ) · e1 est invariant par Q. En conséquence, il existe µ1 ∈ R tel que: f (f ) · e1 = µ1 e1 .
Il en résulte que tout vecteur propre de f est vecteur propre de f (f ). On examine ensuite les ordres de multiplicité. Supposons
par exemple que λ1 = λ2 . Alors, en considérons la transformation orthogonale Q qui échange e 1 et e2 en laissant e3 invariant, on
s’assure que µ1 = µ2 . Il en résulte que les espaces propres de f (f ) et de f sont identiques. D’après le lemme, il existe donc trois
fonctions h0 ,h1 ,h2 : S(E) 7→ R telles que:
∀f ∈ S(E) :
f (f ) = h0 (f )Id + h1 (f )f + h2 (f )f 2
La fin de la démonstration s’effectue comme pour les fonctions scalaires. On fixe une base orthonormée B de E et on désigne,
pour chaque endomorphisme f , par [f ]B sa matrice sur B. On introduit les applications Hi définie sur les matrices carrées réelles
symétriques d’ordre 3 par: hi (f ) = Hi ([f ]B ). On sait que f est diagonalisable sur R sur une base ortnonormée. Désignons par Q
l’endomorphisme orthogonal qui transforme la base (e1 ,e2 ,e3 ) en la base B. On a, puisque f est isotrope:
[f (f )]B = [T Q · f (Q · f ·T Q) · Q]B =H0 (diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ))[Id]B + H1 (diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ))[f ]B
+H2 (diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ))[f 2 ]B
et donc, en revenant aux endomorphismes:
f (f ) = H0 (diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ))Id + H1 (diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ))f + H2 (diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ))f 2
et le résultat par composition avec I −1 140
ANNEXE A. ALGÈBRE LINÉAIRE.
141
Annexe B
Surfaces.
On ne donnera ici que quelques éléments utiles pour la partie cinématique et on ne cherchera pas la généralité: en particulier on n’introduit ici la notion de surface abstraite uniquement pour disposer d’une définition
précise de la notion de cartes locales. Pour plus de détails sur la théorie des surfaces et plus généralement sur
la théorie des variétés différentielles, on pourra consulter un ouvrage de référence comme [12], [11] ou [1] par
exemple. Dans toute cette partie, E désigne un espace affine réel et E un espace vectoriel associé.
B.1
Surfaces abstraites. Définitions.
On appelle surface topologique 1 , un espace métrique séparable dont tout point possède un voisinage ouvert
homéomorphe à un ouvert de R2 .
Si S est une surface topologique, on appelle carte locale de S un couple (O,φ) où O est un ouvert de S,
appelé domaine de la carte, et φ : O 7→ φ(O) un homéomorphisme de O sur un ouvert de R 2 . On dit qu’une
carte (O,φ) est de domaine compact, si O est d’adhérence compacte dans S et si il existe une carte (U,ψ) telle
que O ⊂ U et que φ soit la restriction de ψ à O.
On peut montrer (voir [12] p.23) qu’il existe un ensemble E(S) tel que toute carte locale de S soit un
élément de cet ensemble. En conséquence, on peut parler d’"ensemble de cartes locales": ce sont des parties
de E(S).
On appelle alors atlas topologique d’une surface topologique S un ensemble de cartes locales dont la réunion
des domaines recouvre S. L’atlas formé de toutes les cartes locales de S est appelé atlas topologique maximal:
c’est la réunion de tous les atlas topologiques de S.
Si deux cartes locales (O1 ,φ1 ) et (O2 ,φ2 ) vérifient O1 ∩O2 6= ∅, par abus de notation, on désigne par f1 ◦f2−1
l’application de f2 (O1 ∩ O2 ) sur f1 (O1 ∩ O2 ) qui à x ∈ f2 (O1 ∩ O2 ) associe f1 [f2−1 (x)]. On l’appelle changement
de carte.
Définition B.1 (Atlas de classe C p .) Soit p ≥ 1 un entier, ou encore p = +∞. Soit S une surface
topologique. On appelle atlas de classe C p de S, un atlas de S dont tous les changements de cartes sont des
C p -difféomorphismes.
Définition B.2 (Atlas C p -équivalents.) Soit p ≥ 1 un entier, ou encore p = +∞. Soit S une surface
topologique qui possède au moins un atlas de classe C p . On dit que deux atlas de classe C p de S sont C p équivalents, ou encore C p -compatibles, si leur réunion est un atlas de classe C p .
La relation "être C p -équivalents" est une relation d’équivalence sur les atlas de classe C p d’une même
surface. La réunion de tous les atlas d’une même classe d’équivalence forme un atlas de classe C p qui est dit
"maximal".
Définition B.3 (Surface de classe C p .) Soit p ≥ 1 un entier, ou encore p = +∞. On appelle surface
de classe C p un couple (S,A) où S est une surface topologique et A un atlas maximal de classe C p .
1 La définition que nous donnons est celle d’une surface. Si on suppose seulement que S est un espace topologique sans demander
la séparabilité et la métrisabilité, on dit que c’est une variété topologique, ici de dimension 2. Ces dernières ont des propriétés
locales évidemment identiques à celles des surfaces mais leurs propriétés globales peuvent être très différentes. En particulier, elles
ne sont pas nécessairement plongeables dans un espace affine et ne nous intéressent donc pas ici.
142
ANNEXE B. SURFACES.
Par convention, on appelle "carte locale" d’une surface de classe C p , (S,A), toute carte locale de l’atlas
maximal A. Quand il n’y a pas d’ambiguïté sur l’atlas maximal, on dit tout simplement que S est une surface
de classe C p sans plus préciser l’atlas. A noter que pour se donner une surface de classe C p , (S,A), il suffit de
se donner 1) une surface topologique S et 2) un seul atlas B de classe C p de S. On dit que cet atlas est un
atlas de définition de la surface de classe C p : la surface elle même étant donnée par le couple (S,A) où A est
l’atlas maximal, réunion des atlas compatibles de la classe de B. On peut d’ailleurs toujours supposer que B
est formé de cartes de domaines compacts, quitte à restreindre les domaines de cartes.
Définition B.4 (Surface orientable) Soit (S,A) une surface de classe C p (p ≥ 1). On dit que S est orientable si elle possède un atlas de définition dont tous les changements de cartes sont de Jacobiens positifs. Un
tel atlas est dit "orienté".
Une surface topologique qui possède un atlas à une seule carte, munie de cet atlas de définition, est
évidemment une surface de classe C ∞ orientable (un plan par exemple). Ainsi, l’orientabilité de même que la
régularité sont des propriétés globales. A titre d’exemple, la sphère et le tore sont des surfaces C ∞ compactes
orientables. Le ruban de Moëbius est une surface C ∞ non orientable et non compacte, la sphère projective ou
la bouteille de Klein sont des surfaces C ∞ compactes et non orientables (pour une définition précise de ces
objets en tant que surfaces abstraites, voir [12] ou [11]).
On peut introduire la notion d’"orientation" d’une surface orientable. On dit d’abord que deux atlas de classe C p orientés
d’une même surface orientable de classe C p , (S,A), sont "équivalents" si leur réunion est un atlas de classe C p orienté. On appelle
"orientation" la réunion des atlas d’une classe d’équivalence d’atlas de classe C p orientés. On vérifie que si une surface orientable
de classe C p est connexe elle possède deux orientations et deux seulement et toute carte de l’atlas C p maximal fait partie d’une
de ces deux orientations. Pour un plan vectoriel π on peut identifier cette définition de l’orientation avec celle construite à partir
des familles de bases.
Note Pour ce qui concerne les surfaces abstraites, dans la littérature, on ne s’intéresse en général qu’au
surfaces C ∞ qu’on appellent tout simplement "surfaces différentielles" et plus généralement "variétés différentielles" quand la dimension locale n’est pas nécessairement 2. Ici, on a introduit la distinction sur la régularité
(i.e. la classe C p ) car ce sont essentiellement les surfaces plongées de classe C 1 qui nous intéressent en cinématique: la régularité d’un mouvement ne permet en effet pas d’assurer la conservation de la classe C ∞ au cours
du temps.
Attention à la subtilité suivante: une même surface topologique abstraite peut posséder plusieurs structures
différentes de surface différentielle, c’est à dire plusieurs atlas maximaux de classe C ∞ distincts. Cette subtilité
ne concerne toutefois pas les surfaces plongées dans un espace affine.
B.2
Plongements dans un espace affine.
Définition B.5 (Immersion) Soit O un ouvert d’un certain Rp et f : O 7−→ Rn une application différentiable avec n ≥ p ≥ 1. On dit que f est une immersion si sa différentielle en tout point est injective, c’est
à dire de rang p.
Définition B.6 (Surface plongée. Paramètrage local.) Soit E un espace affine de dimension finie sur
R. Soit p ≥ 1 un entier, ou encore p = +∞. On dit qu’une partie Σ de E est une "surface plongée" de classe
C p de E, ou encore que c’est une "sous variété de dimension 2" et de classe C p de E, si pour chaque point
x0 ∈ Σ il existe un couple (Ω,g), où Ω est un ouvert de R2 et g : Ω 7→ E une application de Ω dans E, tels que:
1. Il existe un ouvert U de E contenant x0 tel que g soit un homéomorphisme de Ω sur Σ ∩ U , Σ étant
munie de sa topologie induite.
2. g soit une immersion 2 de classe C p de Ω dans E.
Par définition, un couple (Ω,g) qui vérifie les conditions de la définition est appelé paramétrage local de Σ
au voisinage de x0 . La condition d’immersion est fondamentale.
S
On dit qu’une famille (Ωi ,gi )i∈I de paramétrages locaux d’une surface plongée est totale si i gi (Ωi ) = Σ.
Une famille totale de paramétrages caractérise complètement une surface plongée. Plus précisément:
I Proposition B.1 Soit E un espace affine de dimension finie n ≥ 3 sur R et soit Σ ⊂ E une surface
plongée de E. Soit (Ωi ,gi )i∈I une famille totale de paramétrages locaux où I est un ensemble d’indices.
2
C’est à dire que sa différentielle est injective en tout point de Ω, et donc ici de rang 2.
B.2. PLONGEMENTS DANS UN ESPACE AFFINE.
143
Alors, Σ, munie de sa topologie induite, est une surface topologique et chaque couple (g i (Ωi ),gi−1 ) est une
carte locale de la surface topologique Σ. L’ensemble B des couples (g i (Ωi ),gi−1 )i∈I est un atlas de classe C p
de Σ et Σ, munie de l’atlas maximal de classe C p , A, contenant B, est une surface de classe C p . Cet atlas
maximal contient toute carte locale (g(Ω),g −1 ) associé à un quelconque paramétrage local de Σ. Inversement,
pour toute carte (O,f ) de A, (f (O),f −1 ) est un paramétrage local de S.
Preuve. Que Σ soit une surface topologique est évident car pour tout x0 , il existe i tel que x0 ∈ Ωi et le couple (gi (Ωi ),gi−1 )
est une carte locale en x0 par définition. Si on admet que l’atlas indiqué est de classe C p alors, par définition, Σ est une surface de
classe C p quand on la munit de l’atlas maximal compatible avec B, c’est à dire A. Montrons alors que l’atlas qui contient toutes
les cartes locales (g(Ω),g −1 ) quand (Ω,g) parcourt tous les paramétrages locaux possibles, est bien de classe C p , ce qui prouvera
que l’atlas maximal contient tous les (g(Ω),g −1 ). C’est une conséquence de la propriété d’immersion et du théorème des fonctions
implicites, car c’est une propriété locale. En effet, donnons deux couples (Ω 1 ,g1 ) et (Ω2 ,g2 ) tel que g1 (Ω1 ) ∩ g2 (Ω2 ) 6= ∅. Soit
x ∈ Σ un point commun, image par g1 d’un point (α,β) ∈ Ω1 . On identifie les points de E avec leurs coordonnées (x1 ,x2 , · · · ,xn )
dans un repère cartésien. On note g1i les n applications coordonnées de g1 . Comme g10 (α,β) est de rang 2, quitte à permuter les
coordonnées, on peut supposer que le Jacobien de l’application:
ge1 : (ξ1 ,ξ2 , · · · ,ξn ) ∈ Ω1 × Rn−2 7→ (g11 (ξ1 ,ξ2 ),g12 (ξ1 ,ξ2 ),g13 (ξ1 ,ξ2 ) − ξ3 , · · · ,g1n (ξ1 ,ξ2 ) − ξn )
est non nul en (α,β,0, · · · ,0). Par conséquent, ge1 est un C p difféomorphisme d’un voisinage V ⊂ Rn de (α,β,0, · · · ,0) sur un
voisinage de x dans E, qui coïncide par construction avec g1 sur V ∩ Ω1 si on identifie R2 avec le sous espace R2 × {0n−2 } de
Rn . Par suite, le changement de carte g1−1 ◦ g2 , coïncide localement avec ge1 −1 ◦ g2 , laquelle application est de classe C p par
composition. En conséquence, les changements de cartes sont de classe C p et l’atlas formé de tous les (g(Ω),g −1 ) est donc de
classe C p et A contient donc tous les (g(Ω),g −1 ). Inversement, si (O,f ) est une carte locale de A, on fixe un point x0 de O et
un paramétrage local (Ω,g) au voisinage de x0 , qui existe par définition même de S. Comme A est de classe C p , le changement
de carte φ−1 ◦ g −1 est un C p difféomorphisme entre ouverts de R2 . On étend alors g, comme on l’a fait plus haut, en un C p
difféomorphisme ge d’un ouvert de Rn sur un ouvert de E contenant x0 . Par composition, φ−1 ≡ (φ−1 ◦ ge−1 ) ◦ ge est donc de classe
C p . On vérifie ensuite la condition de rang puisque g 0 = (g ◦ φ)0 · (φ−1 )0 .
On convient toujours qu’une surface plongée est munie de sa structure de surface de classe C p , c’est à dire
de son atlas maximal C p associé à ses paramétrages locaux introduit dans la proposition. Cette structure est
caractérisée univoquement par la donnée d’une famille totale quelconque de paramétrages locaux.
On verra un peu plus loin d’autres caractérisations équivalentes d’une surface plongée quand E est de
dimension 3 (théorème B.1).
Définition B.7 (Plongement dans un espace affine.) Soit E un espace affine de dimension finie sur
R, (S,A) une surface de classe C p (p ≥ 1) et f : S 7→ E une application de S dans E. On dit que f est un C p
plongement de S dans E si:
1. f est un homéomorphisme de S sur f (S), ce dernier ensemble étant muni de sa topologie induite.
2. Pour toute carte locale (O,φ) de S, f ◦ φ−1 est une immersion 3 de classe C p de φ(O) ⊂ R2 dans E.
A noter, par composition, qu’il n’est pas utile de vérifier la propriété d’immersion pour toutes les cartes
mais seulement pour les cartes d’un atlas de définition. A noter également que si S est compacte, on peut
remplacer la condition d’homéomorphisme par la condition "f est une injection continue de S sur f (S)",
car un théorème de topologie permet d’affirmer que toute injection continue d’une espace compact dans un
espace topologique séparé est un homéomorphisme de cet espace sur son image. A titre d’information signalons
(théorème de Whitney: voir [11] pour une démonstration) que toute surface de classe C p est plongeable 4 dans
R5 , de plus toute surface compacte orientable est plongeable 5 dans R3 . Attention à la subtilité suivante, une
même surface topologique abstraite peut admettre des plongements différentiels distincts dans un même espace
affine 6 .
3 C’est à dire que sa différentielle est injective en tout point, et donc ici de rang 2.
4 Le théorème de Whitney affirme de
manière générale l’existence d’un plongement dans R2n+1 d’une variété différentielle de dimension n. Pour les surfaces on est donc
assuré d’un plongement dans R5 . En fait, on peut établir l’existence d’un plongement dans R4 : voir S. Smale: "A survey of some
5 c’est un résultat difficile qui
recent development in differential topology", Bull. Amer. Math. Soc. (69-2), pp. 131-145 (1963).
est en rapport avec le théorème de Jordan. En fait, tout vient de ce qu’à un homéomorphisme près une surface compacte connexe
6 Ainsi,
orientable est soit une sphère soit un tore à n trous: voir [11], théorème 0.2.13 (non démontré dans cette référence).
la sphère topologique S3 admet une structure de surface C ∞ orientable, qui est sa structure habituelle de surface plongée de R3 ,
mais elle admet aussi une structure de surface C ∞ non orientable. Cette dernière est plongeable dans R4 . Comme elle est non
orientable, on peut alors la retourner sans la déchirer... Sur ce problème du retournement de la sphère voir, par exemple, l’article
de B. Morin et J-P. Petit dans "Pour la science", 15 (janvier 1979) pp. 34-49, Belin.
144
ANNEXE B. SURFACES.
On vérifie facilement la proposition:
I Proposition B.2 Soit E un espace affine de dimension finie sur R, (S,A) une surface de classe C p
(p ≥ 1) et f : S 7→ E un C p plongement de S dans E. On pose Σ = f (S) et on désigne par f (A) l’ensemble des
couples (f (O),φ ◦ f −1 ) quand (O,φ) parcourt l’ensemble des cartes de A. Alors, Σ est une surface plongée de
classe C p et f (A) est son atlas maximal associé à ses paramétrages locaux. Pour chaque carte (O,φ), le couple
(Ω,g) avec Ω = φ(O) et g = f ◦ φ−1 est un paramétrage local.
C’est immédiat, puisque si (O,φ) est l’ensemble des cartes de S, alors par définition même, la famille des
(Ω,g) avec Ω = φ(O) et g = f ◦ φ−1 est une famille totale de paramétrages. D’autre part que l’atlas f (A) soit
maximal est évident, puisque A l’est, les changements de cartes étant identiques.
Inversement, toute surface plongée Σ est l’image d’une surface de classe C p par un C p -plongement: il suffit
de prendre comme surface initiale Σ elle même munie de son atlas maximal associé à ses paramétrages, et
comme plongement l’identité (en vertu de la proposition B.1).
En conséquence, les surfaces plongées de classe C p ne sont rien d’autre que les images par les plongements
différentiels des surfaces différentielles abstraites plongeables (et en réalité de toutes les surfaces différentielles
abstraites en vertu du théorème de Whitney).
On vérifie facilement que le plongement (f (S),f (A)) dans un espace affine d’une surface orientable est une
surface orientable.
B.2.1
Caractérisation des surfaces plongées dans un espace affine de dimension
3.
Rappelons que, quand on considère une surface plongée de classe C p , on convient toujours que c’est une
surface de classe C p pour l’atlas maximal associé à l’ensemble de tous ses paramétrages locaux possibles.
Σ
U
ξ3
φ
ξ2
+ x0
Ψ
ξ1
g
V = Ψ(U )
O = U ∩ Σ = g(Ω)
Ω = Ψ(U ∩ Σ) = φ(O)
Fig. B.1 – Surface plongée dans E: paramétrisation et carte locale.
En cinématique, on ne s’intéresse qu’aux surfaces plongées dans un espace affine Euclidien E de dimension
3: celui dans lequel on étudie les mouvements d’un milieu continu. On a la caractérisation suivante:
B.2. PLONGEMENTS DANS UN ESPACE AFFINE.
145
I Théorème B.1 (Caractérisation des surfaces plongées dans E.) Soit E un espace affine réel de
dimension 3, soit Σ une partie de E et p ≥ 1 un entier. Les propositions suivantes sont équivalentes.
1. Σ est une surface plongée de E.
2. Pour tout point x0 de Σ, il existe un couple (Ω,g), où Ω est un ouvert de R2 et g : Ω 7→ A une application
de Ω dans A, tel que:
(a) Il existe un ouvert U de A contenant x0 tel que g soit un homéomorphisme de Ω sur Σ ∩ U , Σ étant
munie de sa topologie induite.
(b) g soit une immersion de classe C p de Ω dans A.
3. Pour tout point x0 de Σ il existe un ouvert U de E le contenant, un ouvert V de R3 contenant (0,0,0) et
un C p -difféomorphisme Ψ de U sur V = Ψ(U ) vérifiant Ψ(x0 ) = (0,0,0):
Ψ : x ∈ U 7→ Ψ(x) = (ψ1 (x),ψ2 (x),ψ3 (x)) ∈ V
Ψ(x0 ) = (0,0,0)
et tel que les points de U ∩ Σ soient les points x de U pour lesquels ψ 3 (x) = 0. C’est à dire:
Ψ(U ∩ Σ) = {(ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ) ∈ V ; ξ3 = 0}
4. Pour tout point x0 de Σ, il existe un ouvert U de E le contenant et une application F : U 7→ R de classe
C p telle que 7 :
– F soit non singulière, c’est à dire: ∀x ∈ U : F 0 (x) 6= 0.
– U ∩ Σ = F −1 (0).
5. Pour tout point P de Σ, il existe un ouvert U de E le contenant, un système de coordonnées affines
(x1 ,x2 ,x3 ) sur E dans un repère (O,B), un ouvert W de R2 contenant (x01 ,x02 ) où (x01 ,x02 ,x03 ) sont les
coordonnées de P et une application f de classe C p de W dans R, telle que U ∩ Σ soit le graphe de
l’application: (x1 ,x2 ) ∈ W 7→ x3 = f (x1 ,x2 ).
La première équivalence n’est rien d’autre que la définition. Les démonstrations des autres points, qui sont
spécifiques à la dimension 3, sont pour l’essentiel des applications du théorème des fonctions implicites et sont
laissées au lecteur (voir par exemple [1]).
Le point 3 indique que l’on peut se donner localement une surface plongée par un système de coordonnées
locales sur l’espace lui-même, le point 4 indique que l’on peut se la donner localement par une équation
implicite et enfin le point 5 indique que l’on peut se la donner localement comme le graphe d’une fonction de
deux variables.
B.2.2
Plan tangent. Normale
Définition B.8 (Plan tangent. Normale.) Soit E un espace affine de dimension n ≥ 3 sur R associé
à l’espace vectoriel E et soit Σ une surface plongée de E de classe C p (p ≥ 1). Soit x0 ∈ Σ et soit (Ω,g) un
paramétrage de Σ au voisinage de x0 . Soit α ∈ Ω l’unique point tel que g(α) = x0 .
Alors, le plan vectoriel g 0 (α)(R2 ) ⊂ E est indépendant du choix du paramétrage et est appelé "espace
tangent" ou "plan tangent" à Σ en x0 et noté Π x0 . Ses éléments sont appelés "vecteurs tangents" à Σ en
Πx0 ) est appelé "plan affine tangent", ou encore "plan tangent" quand il n’y a pas de
x0 . Le plan affine (x0 ,Π
confusion, à Σ en x0 et noté Πx0 .
Si E est un espace Euclidien de dimension 3, les vecteurs de la droite vectorielle de E perpendiculaire à
Π x0 sont appelés "vecteurs normaux" à Σ en x0 et les deux vecteurs normaux unitaires sont appelés "normales
unitaires" à Σ en x0 .
A noter que l’on peut caractériser un vecteur tangent en un point comme étant un vecteur tangent à un arc
de classe C 1 tracé sur la surface et passant par ce point. Avant de voir cela, rappelons d’abord que, si F est un
espace affine ou vectoriel réel, on appelle "arc paramétré" (ou tout simplement "arc") de F toute application
d’un intervalle de R à valeurs dans F. On dit qu’un tel arc est "tracé sur une partie de F" si son image est
contenue dans cette partie.
I Proposition B.3 Soit E un espace affine de dimension n ≥ 3 sur R associé à l’espace vectoriel E et
soit Σ une surface plongée de E de classe C p (p ≥ 1). Soit x0 ∈ Σ et soit T ∈ E. Les propositions suivantes
sont équivalentes:
1. T est un vecteur tangent à Σ en x0 .
7
Si E est Euclidien, la condition F 0 (x) 6= 0 se traduit de manière équivalente par la condition ∇ F (x) 6= 0.
146
ANNEXE B. SURFACES.
2. Il existe un intervalle ouvert I ⊂ R et un arc paramétré de classe C 1 , γ : I 7→ E, tracé sur Σ tel que:
– ∃t0 ∈ I; γ(t0 ) = x0 .
– γ 0 (t0 ) = T.
Dans un espace Euclidien de dimension 3, quand on dispose d’une équation implicite locale, comme au
point 4 du théorème B.1, il est alors facile de déterminer les vecteurs normaux. En effet, soit F (x) = 0 une
équation implicite d’une surface plongée Σ au voisinage de x0 . Alors, d’après la proposition précédente, pour
tout vecteur T tangent à Σ en x0 , on a:
∇F (x0 )|T) = 0
(∇
Et par suite, les vecteurs normaux à Σ en x0 sont les vecteurs de la droite vectorielle dirigée par le vecteur
∇ F (x0 ) (qui est non nul puisque F est non singulière en x0 ).
On laisse au lecteur le soin de vérifier le théorème suivant.
I Proposition B.4 Soit E un espace affine Eucliden de dimension n ≥ 3 sur R et Σ une surface plongée
de E de classe C p (p ≥ 1). Alors, Σ est orientable si et seulement si elle possède un champ continu de normales
unitaires.
B.3
B.3.1
Applications différentiables à valeurs dans un espace de dimension finie. Courbures.
Cas des surfaces abstraites.
On notera que comme une surface n’est en général pas plane la différentielle d’une fonction définie sur cette
surface n’est pas définie directement au sens usuel et on doit passer par les cartes, comme pour les plongements
(comparer d’ailleurs la définition suivante à celle d’un plongement).
Définition B.9 (Application de classe C r définie sur une surface.) Soit S une surface de classe
C , F un espace vectoriel ou affine de dimension finie sur R et 1 ≤ r ≤ p un entier. On dit qu’une application f : S 7→ F est de classe C r si pour toute carte locale (O,φ) l’application f ◦ φ−1 est de classe C r de
φ(O) ⊂ R2 dans F.
p
On note C r (S,F) l’ensemble des applications de classe C r de S dans F. Notons que la définition a bien
un sens, puisque f ◦ φ−1 est une fonction d’un ouvert de R2 dans F, et qu’une application de classe C r
(r ≥ 1) est automatiquement continue. En fait, pour vérifier qu’une application est de classe C r (S,F) il ne
faut heureusement pas vérifier la propriété pour toutes les cartes. On a la proposition:
I Proposition B.5 Soit S une surface de classe C p et B un atlas de définition, F un espace vectoriel ou
affine de dimension finie sur R et f : S 7→ F. Alors, f est de classe C r (1 ≤ r ≤ p) si et seulement si pour
toute carte (O,φ) appartenant à B l’application f ◦ φ−1 est de classe C r de f (O) dans F.
B.3.2
Cas des surfaces plongées.
B.3.2.1
Différentielle.
Soit Σ une surface plongée dans un espace affine E de dimension n ≥ 3 sur R, de classe C p (p ≥ 1) et
x0 ∈ Σ. On la munit de son atlas canonique de classe C p défini par ses paramétrages locaux. On sait que
l’on peut identifier le plan tangent Π x0 à l’ensemble de tous les vecteurs de E qui sont tangents en x0 à au
moins une courbe de classe C 1 tracée sur Σ et passant par x0 . Ceci va permettre de définir sans ambiguïté la
"différentielle" d’une application de classe C r définie sur cette surface plongée. Observons d’abord que l’on a
la:
I Proposition B.6 Soit E un espace affine de dimension n ≥ 3 sur R et soit Σ une surface plongée de
E de classe C p . Soit f une application de classe C r (1 ≤ r ≤ p) de Σ sur un espace vectoriel ou affine F de
dimension finie sur R. Soit I un intervalle ouvert et γ : I 7→ E un arc de classe C 1 tracé sur Σ et x0 = γ(t0 )
un point de cet arc. Alors:
1. L’application δ = f ◦ γ est un arc de classe C 1 de F.
B.3. DIFFÉRENTIELLES. COURBURES.
147
2. Pour toute paramétrage local (Ω,g) tel que x0 ∈ g(Ω), le vecteur δ 0 (t0 ) tangent à δ en y0 = f (x0 ) = δ(t0 )
est donné par la relation:
δ 0 (t0 ) = ∇(f ◦ g) · (g −1 ◦ γ)0 (t0 )
On notera que le gradient (i.e. la différentielle) ∇ (f ◦ g) est bien défini, il est à considérer dans R2 au
point g −1 (x0 ). Que l’application f ◦ g soit différentiable résulte de la définition précédente. Que g −1 ◦ γ le soit
également résulte du fait que l’on peut étendre localement g en un C p difféomorphisme d’un ouvert de R3 dans
E, comme on l’a déjà vu lors de la preuve de la proposition B.1.
On obtient ainsi une relation linéaire γ 0 (t0 ) 7→ δ 0 (t0 ) qui ne dépend pas du choix du paramétrage ni de la
courbe qui passe par x0 = γ(t0 ) de vecteur tangent t0 = γ 0 (t0 ). On peut donc définir la différentielle de f en
tout point x de Σ: ce sera une application linéaire du plan tangent Π x à Σ en x sur l’espace vectoriel F (ou
sur l’espace vectoriel associé à F si ce dernier est affine) définie par la proposition:
I Proposition B.7 (Différentielle) Soit E un espace affine de dimension n ≥ 3 sur R, soit Σ une surface
plongée de E de classe C p et f une application de classe C 1 de Σ sur un espace vectoriel F de dimension finie
sur R (ou sur un espace affine associé à cet espace vectoriel). Alors, à chaque point x ∈ Σ, on peut associer
une unique application linéaire f 0 : Π x 7→ F, appelée "différentielle de f " au point x, telle que pour tout arc
γ : I 7→ E de classe C 1 tracé sur Σ et passant par x = γ(t) on ait:
(f ◦ γ)0 (t) = f 0 (x)[γ 0 (t)]
L’intérêt de cette définition est qu’il s’agit d’une "vraie" différentielle dans le sens où la règle de Leibnitz
de composition s’applique. Ainsi, si h est une application différentiable définie sur un espace normé à valeurs
dans E, on a: (f ◦ h)0 (x) = f 0 (g(x)) · h0 (x) et si h est une application différentiable définie sur F, on a:
(h ◦ f )0 (x) = h0 (f (x)) · f 0 (x).
D’ailleurs si Σ est localement plane au voisinage de x0 , la différentielle d’une application de C r (Σ,F)
s’identifie localement à la différentielle habituelle d’une fonction définie sur un plan. De même, si f est la
restriction à Σ d’une fonction F de classe C r définie sur un ouvert de E contenant Σ, alors f est de classe C r
et sa différentielle f 0 (x0 ) en x0 ∈ Σ, n’est rien d’autre que la restriction de F 0 (x0 ) à Π x0 .
Par analogie avec la différentielle d’une application de E dans E, la différentielle d’une application différentiable f : Σ 7−→ E est également appelée "gradient" de f et noté ∇ f .
B.3.2.2
Application: Formes fondamentales. Courbures.
On se place en dimension 3. Considérons une surface Σ de classe C 2 plongée dans un espace affine Euclidien
de dimension 3 sur R. Soit x0 un point de cette surface. Choisissons un voisinage ouvert Σ0 ⊂ Σ de x0 , de
sorte que Σ0 soit orientable, ce qui est toujours possible en prenant pour Σ0 un domaine de carte. Choisissons
alors une orientation, c’est à dire donnons nous une application continue sur Σ 0 qui en chaque point associe
une normale unitaire que l’on désigne par x 7→ n(x). Puisque Σ0 est de classe C 2 , il est facile de voir que cette
application est une application de classe C 1 définie sur Σ0 et à valeurs dans E. Sa différentielle est donc bien
définie. Comme chaque n(x) est unitaire, on a:
∀x ∈ Σ0 :
(n(x)|n(x)) = 1
et, par composition des dérivations, il vient:
∀u ∈ Π x0 :
(n0 (x0 ) · u|n(x0 )) = 0
Ce qui signifie simplement que l’image de l’application linéaire n0 (x0 ) est contenue dans le plan tangent Π x0 .
Ainsi, on peut donc considérer que n0 (x0 ) est une application linéaire du plan tangent sur lui même. Plus
précisément, si on désigne par p0 la projection orthogonale de E sur le plan tangent Π x0 , on peut identifier
n0 (x0 ) et p0 ◦ n0 (x0 ). Cette différentielle est intrinsèque dans le sens où elle ne dépend que de la surface Σ, du
point x0 ∈ Σ et de l’orientation locale choisie mais pas d’une paramétrisation qui permet son calcul pratique.
On peut de plus vérifier facilement, par Schwarz, que n0 (x0 ) en tant qu’application linéaire du plan tangent
sur lui même est symétrique si on munit le plan tangent du produit scalaire ambiant de E. La différentielle
n0 (x0 ) s’identifie donc de manière univoque avec une forme bilinéaire symétrique définie sur Π x0 quand Π x0
est muni du produit scalaire de E ambiant.
Pour une surface orientable, une orientation étant choisie, cette forme est appelée seconde forme fondamentale de Σ en x0 , la première étant tout simplement la restriction du produit scalaire ambiant à Π x0 .
148
ANNEXE B. SURFACES.
k
h(z)
er
z
O
Fig. B.2 – Surface de révolution d’axe Oz.
Les 2 valeurs propres de n0 (x0 ) (plus exactement de p0 ◦ n0 (x0 )) sont réelles (du fait de la symétrie) et
intrinsèques. Elles sont appelées courbures principales de la surface en x 0 . On les note le plus souvent k1 et k2 .
On a donc, par définition (en omettant p0 ):
k1 + k2 = Tr(n0 (x0 ))
k1 k2 = Det(n0 (x0 ))
k1 + k 2
est appelée Courbure
2
moyenne. Par analogie avec la divergence d’un champ défini sur E, la trace de la différentielle n 0 (x0 ) est appelé
divergence de n. On a donc la définition:
Le produit K = k1 k2 est appelé Courbure totale de Gauss. La demi somme H =
H=
k1 + k 2
1
= div(n)
2
2
On notera que si on change n en −n la courbure moyenne H change de signe mais la courbure totale garde
un signe constant.
Exemple d’une surface de révolution. Donnons nous une fonction h : I 7→ R définie sur un intervalle
ouvert I ⊂ R, de classe C 2 et à valeurs strictement positives. Soit Ω = I × R. On utilise des coordonnées
cylindriques d’axe Oz et Ox, définies par la fonction Ξ du paragraphe (1.13.2.1). Considérons l’application
g : Ω 7→ E définie par:
(z,θ) 7→ M = g(z,θ) :
g(z,θ) = Ξ(h(z),θ,z) = O + zk + h(z)er (M )
où (er ,eθ ,k) est la base locale (naturelle)
de coordonnées cylindriques en M = Ξ(h(z),θ,z). Comme Σ est
p
donnée localement par l’équation x2 + y 2 − h(z) = 0, qui est non singulière (par la condition h > 0),
l’image g(Ω) est une surface plongée Σ de classe C 2 . On vérifie également facilement que pour chaque point
M0 = g(z0 ,θ0 ), le couple (Ω0 ,g0 ), où Ω0 = I×]θ0 − π,θ0 + π[ et où g0 est la restriction de g à Ω0 , est un
paramétrage local de Σ.
Le plan tangent en un point M = g(z,θ) ∈ Σ est, par définition, le plan vectoriel engendré par les vecteurs:
t1 =
∂g
(z,θ) = h(z)eθ (M )
∂θ
t2 =
∂g
(z,θ) = k + h0 (z)er (M )
∂z
On prend, par exemple, comme champ de normales unitaires à Σ:
n=
er − h0 (z)k
t1 ∧ t 2
=q
||t1 ∧ t2 ||
1 + h0 2 (z)
qui est continue sur Σ, et Σ est donc orientable. On détermine la différentielle n 0 (M ) en calculant la différentielle
de l’application t 7→ n ◦ γ(t), où γ : I 7→ Σ est un arc tracé sur Σ. C’est à dire:
γ(t) = Ξ(h(z(t)),θ(t),z(t))
B.3. DIFFÉRENTIELLES. COURBURES.
149
On a:
γ 0 (t) = θ 0 (t)t1 (γ(t)) + z 0 (t)t2 (γ(t))
D’où:
[n ◦ γ]0 (t) =
h(z)
q
1
1+
h0 2 (z)
θ0 (t)t1 (γ(t)) −
h00 (z)
3
(1 + h0 2 (z)) 2
z 0 (t)t2 (γ(t))
t1 et t2 sont vecteurs propres et il vient:
1
1
h00
H= q
]
[ −
h 1 + h0 2 (z)
2 1 + h0 2 (z)
K=−
h00
h(1 + h0 2 (z))2
Pour une sphère de centre O et de rayon R > 0, on a I =] − R,R[, h(z) =
K = 1/R2 , H = 1/R et on vérifie que n0 = R1 IdΠ .
√
R2 − z 2 et on trouve bien sûr:
150
ANNEXE B. SURFACES.
151
Annexe C
Domaines.
C.1
Partitions de l’unité.
I Proposition q
C.1 (Fonctions plateau) Soit n ≥ 1 un entier. On munit R n de sa norme Euclidienne
P 2
n
canonique: ||x|| =
i xi . Soit a < b < 0 des réels et x0 ∈ R . Alors, il existe une fonction de classe
∞
n
C (R ,R), à valeurs dans [0,1], égale à 1 pour ||x − x0 || ≤ a et nulle pour ||x − x0 || > b.
Preuve: Considérons la fonction φ définie sur R par:

−1

 exp(
)
(t − a2 )(b2 − t)
φ(t) =

0
sinon
Elle est de classe C ∞ . Considérons la fonction θ définie sur R par:
Rx
et enfin, considérons la fonction ψ définie sur Rn par:
−∞
φ(t) dt
−∞
φ(t) dt
θ(x) = R +∞
si t ∈]a2 ,b2 [
x ∈ Rn 7→ ψ(x) = 1 − θ(||x − x0 ||2 )
C’est la fonction cherchée. Soit E un espace affine réel de dimension finie que l’on munit d’une distance Euclidienne. Si Ω ⊂ E est
un ouvert on désigne par D(Ω) l’ensemble des fonctions réelles E 7−→ R, de classe C ∞ et à support 1 dans un
compact de Ω. Cet ensemble n’est pas vide d’après la proposition précédente.
I Théorème C.1 (Partition C ∞ de l’unité.) Soit Ω un ouvert non vide et {Uα } un recouvrement ouvert quelconque de Ω par des ouverts de E. Alors, il existe une suite de fonctions de D(Ω), {φ i }{i≥1} , telles
que:
1. ∀i,∀x ∈ Ω : φi (x) ∈ [0,1]
2. Pour chaque indice i, il existe un indice α tel que le support de φi soit dans Uα .
3. Pour chaque compact K ⊂ Ω, il existe un ouvert V , avec K ⊂ V ⊂ Ω et un indice m ≥ 1 telle que:
∀x ∈ V :
m
X
φi (x) = 1
i=1
4. La famille (suppφi )i≥1 est localement finie, c’est à dire que chaque point x de Ω possède un voisinage
qui ne rencontre qu’un nombre fini de supports.
P
5. ∀x ∈ Ω :
i φi (x) = 1
A noter que le recouvrement de départ est quelconque, non nécessairement dénombrable ni localement fini,
mais puisqu’un point x n’appartient qu’à un nombre fini de supports la dernière somme est bien définie et ne
contient qu’un nombre fini de termes non nuls.
1 Le support d’une fonction f : E 7→ R est l’adhérence des points x où f (x) 6= 0. Une fonction continue à support compact est
une fonction continue, nulle en dehors d’un compact.
152
ANNEXE C. DOMAINES.
On dit que la famille {φi }{i≥1} est une partition C ∞ de l’unité subordonnée au recouvrement {Uα }.
Preuve (d’après [15]) Quitte à remplacer chaque Uα par Uα ∩ Ω, on peut considérer que les Uα sont tous inclus dans Ω.
Comme E est séparable (c’est à dire possède une partie dense dénombrable: par exemple l’ensemble des points de coordonnées
rationnelles), on peut trouver une partie S ⊂ Ω dénombrable et dense dans Ω. Considérons l’ensemble de toutes les boules fermées
B(x,r) qui sont contenues dans au moins un Uα et dont le centre est un élément x ∈ S et dont le rayon est un rationnel r > 0. Cet
ensemble de boules est dénombrable, comme réunion dénombrable d’ensembles dénombrables. Ordonnons le et soit {B i (xi ,ri )}i≥1
la suite ordonnée de ces boules. Pour chaque i désignons par V
Si la boule ouverte de centre xi et de rayon ri /2. Comme S est dense
dans Ω et que les Uα recouvrent Ω, on en déduit que Ω = i Vi . Pour chaque i, désignons alors par ψi une fonction de classe
C ∞ (E), à valeurs dans [0,1], égale à 1 sur Vi et nulle en dehors de Bi : son existence est assurée par la proposition précédente.
Posons φ1 = ψ1 et définissons les autres φi par la formule:
φi+1 = (1 − ψ1 ) · · · (1 − ψi )ψi+1
Les points 1) et 2) sont vérifiés. Par récurrence, on a pour tout i:
Par suite, pour tout m ≥ 1 on a:
Par conséquent, on a
P
i≥1
φ1 + · · · φi = 1 − (1 − ψ1 ) · · · (1 − ψi )
φ1 (x) + · · · φm (x) = 1
si x ∈ V1 ∪ · · · ∪ Vm
φi (x) = 1 pour tout x de Ω et le point 5) est vérifié. De plus, si K ⊂ Ω est compact on a K ⊂ V 1 ∪· · ·∪Vm
pour un certain m et le point 3) est donc vérifié, le point 4) en résulte. Les φi ont donc toutes les propriétés voulues.
On en déduit le corollaire:
Corollaire C.1 Soit K un compact non vide et {Oi }i=1,...,n un recouvrement fini de K par des ouverts de
E. Alors il existe n fonctions de D(E), {φi }i=0,...,n , telles que:
1. ∀i ∈ {0, . . . ,n},∀x ∈ E : 1 ≥ φi (x) ≥ 0
2. ∀i ∈ {1, . . . ,n} supp(φi ) ⊂ Oi
Pn
3. ∀x ∈ K :
φ (x) = 1
Pni=1 i
4. ∀x ∈ E :
φ
i=0 i (x) = 1
Sn
En effet, on applique le théorème principal à E recouvert par (E − K) ∪ 1 Oi .
Corollaire C.2 Soit K un compact non vide et Ω un ouvert contenant K. Alors, il existe une fonction
φ : E 7→ [0,1] de D(Ω), égale à 1 sur K.
En effet, on applique le corollaire précédent au cas où le recouvrement est constitué du seul ouvert Ω.
Le théorème de partition de l’unité permet le passage de propriétés locales à des propriétés globales par
partitionnement puis recollement. C’est particulièrement utile en ce qui concerne les surfaces plongées, par
exemple, puisqu’elles sont en général définie par des paramétrages locaux. Grâce aux partitions de l’unité on
peut ainsi, par exemple, définir la mesure surface sur une surface plongée en se contentant d’une définition
locale puis en recollant (voir par exemple [1]) ou encore prolonger une fonction définie sur cette surface, etc...
Pour les domaines, le théorème permet le prolongement des fonctions définies seulement à l’intérieur.
C.2
Ouverts réguliers. Domaines
Dans ce qui suit, on va considérer des ouverts d’espaces affines réels de dimension n ≥ 2 et on identifiera
localement E à Rn par un système de coordonnées cartésiennes orthonormées. Toutefois, les propriétés que l’on
va énoncer seront bien intrinsèques et ne dépendent que de la structure algébrique (car la topologie d’espace
Euclidien est la topologie canonique).
Afin d’éviter toutes confusions dans les définitions qui suivent il y a lieu de retenir que le mot domaine
signifie systématiquement ouvert borné ayant certaines bonnes propriétés. Les adjectifs qualificatifs que l’on
ajoute (p-régulier ou lipschitzien) concernent la régularité du bord.
Définition C.1 (Ouvert de classe C p .) Soit E un espace affine de dimension n ≥ 2 sur R et p ≥ 1
un entier, éventuellement p = ∞. On dit qu’un ouvert Ω ⊂ E est un "ouvert de classe C p " de E si, pour
chaque point P ∈ ∂Ω, il existe un ouvert U de E le contenant, un système de coordonnées cartésiennes
orthonormées (x1 , · · · ,xn−1 ,xn ) sur E, un ouvert W de Rn−1 contenant (x01 · · · ,x0n−1 ) où (x01 · · · ,x0n−1 ,x0n )
sont les coordonnées de P et une application continue et de classe C p , f de W dans R, tels que 2 :
– U ⊂ W × R.
2 La première condition est un abus de notation pour indiquer que les coordonnées des points de U sont dans W × R de sorte
que la troisième condition a bien un sens. A noter que, par continuité de f , toute boule de centre P contenue dans U contient
des points de coordonnées (x1 , · · · ,xn ) vérifiant xn − f (x1 , · · · ,xn−1 ) > 0. de tels points ne sont donc ni sur ∂Ω, ni dans Ω. Par
conséquent, Ω est l’intérieur de son adhérence.
C.2. OUVERTS RÉGULIERS. DOMAINES
153
– U ∩ ∂Ω soit le graphe de l’application:
(x1 , · · · ,xn−1 ) ∈ W 7→ xn = f (x1 , · · · ,xn−1 )
– U ∩ Ω soit l’ensemble des points de U pour lesquels
xn − f (x1 , · · · ,xn−1 ) < 0
En dimension 1 (i.e. si E est une droite), un ouvert de classe C p est par définition une réunion d’intervalles
ouverts dont deux quelconques ne sont pas contigus.
Par convention, l’espace E, dont la frontière est vide est un ouvert de classe C p pour tout p.
En dimension 3, le bord d’un ouvert de classe C p est donc une surface plongée de classe C p puisque c’est
localement le graphe d’une fonction de classe C p (voir la caractérisation d’une surface plongée). Cette surface
est alors orientable. En effet, avec les notations de la définition, on peut identifier E et R 3 , en identifiant un
point avec ses coordonnées (x1 ,x2 ,x3 ). Le théorème d’inversion locale permet alors d’affirmer que l’application
φ : (x1 ,x2 ,x3 ) 7−→ (x1 ,x2 ,x3 − f (x1 ,x2 )) ∈ E, définie sur W × R ⊂ E et qui est évidement injective, est un
C p difféomorphisme de W × R et par suite, sa restriction à ∂Ω ∩ U ⊂ W × R ∩ ∂Ω définit une carte locale
en P à image dans W (en identifiant R2 et R2 × {0}), par définition, et son inverse définit un parémétrage
local. L’atlas ainsi obtenu est évidement de classe C p , puisque φ l’est. On peut alors supposer que les ouverts
W sont connexes, quitte à les réduire à des disques par exemple, et on peut également supposer que tous les
systèmes sont directs quitte à échanger les deux premières coordonnées. Ainsi, ∂Ω est une surface orientable
car les changements de cartes sont alors tous de Jacobiens positifs 3 .
Ainsi, en dimension 3, un ouvert de classe C p est un ouvert situé localement d’un même
côté de sa frontière, laquelle est une surface orientable de classe C p , comme par exemple un
demi-espace ou encore l’intérieur ou l’extérieur d’une sphère, d’un tore, etc....
Définition C.2 (Domaine p-régulier.) Soit E un espace affine de dimension n ≥ 1 sur R. On dit qu’une
partie Ω ⊂ E est un "domaine p-régulier" de E si c’est ouvert de classe C p , borné.
Le bord d’un domaine p régulier en dimension 3 est donc une surface de classe C p orientable, de plus elle
est évidement compacte, comme fermé borné.
Pour résumer, un domaine p-régulier de l’espace E de dimension 3 est donc un ouvert borné
dont la frontière est une surface compacte orientable de classe C p telle que Ω soit partout
localement d’un même côté de cette frontière. A une déformation continue près (i.e. un homémorphisme) cette frontière est donc une réunion disjointe de sphères ou de tores à p trous.
A noter que le bord d’un domaine p-régulier connexe n’est pas nécessairement lui même connexe (par
exemple le domaine compris entre deux sphères concentriques). L’intérieur d’une sphère ou d’un tore sont des
exemples de domaines ∞-réguliers, connexes.
Voici une caractérisation des ouverts de classe C p (voir le théorème B.1 dans le cas où n = 3) déduite du
théorème des fonctions implicites, on l’appelle "rectification" de ∂Ω par cartes locales.
I Proposition C.2 Soit E un espace affine de dimension n ≥ 1 sur R et Ω un ouvert de E. Alors, Ω est
un ouvert de classe C p si et seulement pour chaque point P ∈ ∂Ω il existe un C p -difféomorphisme Ψ d’un
voisinage ouvert O de P sur la boule Euclidienne ouverte Bn de rayon 1 de Rn tel que:
x|| < 1,xn > 0}.
1. Ψ(O ∩ Ω) = Bn ∩ Rn+ = {(x1 , · · · ,xn ) ∈ Rn ; ||x
x|| < 1,xn = 0}.
2. Ψ(O ∩ ∂Ω) = {(x1 , · · · ,xn ) ∈ Rn ; ||x
Rappelons que si Ω est un ouvert de E et X un espace affine ou vectoriel de dimension finie sur R, C k (Ω,X)
est par définition l’ensemble des fonctions de classe C k sur Ω qui se prolongent continûment ainsi que leurs
différentielles jusqu’à l’ordre k (si k ≥ 1) sur Ω. Il n’est toutefois pas évident qu’une telle fonction puisse être
prolongée à l’extérieur: c’est le cas si Ω est un ouvert C p et k ≤ p. On a en effet le théorème suivant:
3 Ce n’est pas si évident. Tout repose sur la remarque suivante. Désignons par (x 0 ,x0 ,x0 ) un autre système de coordonnées au
1 2 3
∂f ∂x1
∂f ∂x2
3
voisinage du même point P du bord. Alors, on a nécessairement au point P la condition: [ ∂x
− ∂x
− ∂x
] > 0 qui exprime
∂x0
∂x0
∂x0
3
1
3
2
3
que localement Ω est en dessous du graphe pour les deux systèmes de coordonnées. Or, comme les systèmes sont orthonormés
directs, cette dernière relation est précisément le Jacobien du changement de carte en P et il est donc strictement positif. Il le
reste alors sur toute la carte car elle est de domaine connexe.
154
ANNEXE C. DOMAINES.
I Proposition C.3 (Théorème de prolongement.) Soit E un espace affine de dimension n ≥ 1 sur
R, Ω ⊂ E un ouvert de classe C p (+∞ ≥ p ≥ 1) et X un espace vectoriel ou affine de dimension finie sur
R. Alors, toute fonction de C k (Ω,X) (resp. Cck (Ω,X)) se prolonge continûment en une fonction de C k (E,X)
(resp. Cck (E,X)) pour tout 0 ≤ k ≤ p.
Preuve. On se ramène au cas où X = R. En rectifiant par cartes locales et en introduisant une partition de l’unité subordonnée,
n
n
on voit que tout revient à montrer qu’une fonction f de classe C k (Rn
+ ) est la restriction à R+ = {(x1 , · · · ,xn ) ∈ R ; xn > 0}
d’une fonction F de classe C k (Rn ). Pour k ≥ 0 fini, c’est élémentaire, il suffit de définir F pour xn < 0 par: F (x1 , · · · ,xn ) =
Pk
i=0 ci f (x1 , · · · , − ixn ), (pour k = 0 c’est tout simplement un prolongement par réflexion) où les coefficients c i sont solutions
Pk
j
du système de Van der Monde
i=0 ci (−i) = 1; j = 0, · · · ,k. Le cas p = k = ∞ est plus délicat et on ne l’abordera pas ici, on
peut par exemple utiliser un théorème de Whitney 4 pour conclure.
Un grand nombre de "surfaces" usuelles, comme le bord d’un cube ou plus généralement d’un polyhèdre
convexe, par exemple, ne sont pas des surfaces de classe C 1 (à cause des arêtes). La généralisation la plus simple
est alors celle de surface Lipschitzienne. Rappelons d’abord que l’on dit qu’une application f : O 7−→ R, où O
est un ouvert de Rn , est Lipschitzienne, si il existe un nombre k > 0 tel que:
∀(x,y) ∈ O 2 :
|f (x) − f (y)| ≤ k||x − y||
A noter que la définition est indépendante du choix de la norme sur Rn . Une telle application est évidemment
continue.
Définition C.3 (Surface Lipschitzienne.) Soit E un espace affine de dimension 3 sur R et Σ ⊂ E. On
dit que Σ est une surface Lipschitzienne si pour chaque point P de Σ, il existe un ouvert U de E le contenant,
un système de coordonnées cartésiennes (x1 ,x2 ,x3 ) sur E, un ouvert W de R2 contenant (x01 ,x02 ) où (x01 ,x02 ,x03 )
sont les coordonnées de P et une application Lipschitzienne, f de W dans R, telle que U ∩ Σ soit le graphe de
l’application: (x1 ,x2 ) ∈ W 7→ x3 = f (x1 ,x2 ).
A titre d’exemple, le bord de tout polyhèdre convexe est une surface Lipschitzienne mais qui n’est pas
partout C 1 (à cause des arêtes). On a la proposition, qui montre que le vocabulaire est "heureux":
I Proposition C.4 Toute surface plongée de classe C p (p ≥ 1) est Lipschitzienne. Toute surface Lipschitzienne, munie de sa topologie induite, est une surface topologique.
La première partie est évidente d’après le point 5 du théorème B.1. Pour la seconde, on observera que
l’application: φ : (x1 ,x2 ,x3 ) 7−→ (x1 ,x2 ,x3 − f (x1 ,x2 )) ∈ E, définie sur W × R ⊂ E est injective et continue.
C’est donc un homéomorphisme de l’ouvert W ×R sur son image (théorème de Brower). Par suite, sa restriction
à Σ∩U est un homéomorphisme de cet ouvert de Σ sur l’ouvert W de R2 et Σ est donc une surface topologique.
D’ailleurs, en identifiant E à R3 , cette image est W × R et l’inverse est: φ : (y1 ,y2 ,y3 ) 7−→ (y1 ,y2 ,y3 + f (y1 ,y2 )).
Ainsi, φ et φ−1 sont Lipschitziens. On dit simplement que φ est un homéomorphisme Lipschitzien.
La proposition suivante 5 sera fondamentale pour la définition de l’intégrale sur une surface lipschitzienne
et montre qu’une surface Lipschitzienne est intermédiaire entre une surface continue (i.e. topologique) et une
surface C 1 .
I Proposition C.5 On munit Rn de sa mesure de Lebesgue. Soit f : W 7−→ R une fonction k-Lipschitzienne
définie sur un ouvert de Rn . Alors, f est presque partout différentiable sur W et:
∀i ∈ {1, · · · ,n} :
De plus, chaque application
∂f
∂xi
|
∂f
(x)| ≤ k
∂xi
p.p.
est localement intégrable.
On généralise naturellement la notion d’ouvert de classe C p en:
Définition C.4 (Ouvert lipschitzien.) Soit E un espace affine réel de dimension n. On dit qu’un ouvert
Ω ⊂ E est un "ouvert Lipschitzien" de E si, pour chaque point P ∈ ∂Ω, il existe un ouvert U de E le contenant,
un système de coordonnées cartésiennes orthonormées (x1 , · · · ,xn−1 ,xn ) sur E, un ouvert W de Rn−1 contenant
(x01 · · · ,x0n−1 ) où (x01 · · · ,x0n−1 ,x0n ) sont les coordonnées de P et une application lipschitzienne, f de W dans
R, tels que:
– U ⊂ W × R.
4
5
Voir Whitney, Analytic extensions of differentiables functions defined in closed sets, Trans. Am. Math. Soc. 36, p. 63-69, (1934).
Pour une démonstration, voir J. Necǎs, "Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques. Masson, 1967.
C.2. OUVERTS RÉGULIERS. DOMAINES
155
– U ∩ ∂Ω soit le graphe de l’application:
(x1 , · · · ,xn−1 ) ∈ W 7→ xn = f (x1 , · · · ,xn−1 )
– U ∩ Ω soit l’ensemble des points de U pour lesquels
xn − f (x1 , · · · ,xn−1 ) < 0
En dimension 1 (i.e. si E est une droite), un ouvert Lipschitzien est par définition une réunion d’intervalles
ouverts dont deux quelconques ne sont pas contigus.
Par convention, l’espace E, dont la frontière est vide est un ouvert Lipschitzien.
Autrement dit, en dimension 3 un ouvert Lipschitzien est un ouvert dont la frontière est une surface
lipschitzienne telle que Ω soit partout localement d’un même côté de cette frontière. On généralise de même
la notion de domaine p-régulier en:
Définition C.5 (Domaine lipschitzien.) Soit E un espace affine réel de dimension n ≥ 1. On dit qu’une
partie Ω ⊂ E est un "domaine Lipschitzien" de E si c’est un ouvert lipschitzien borné.
A titre d’exemple, un polyhèdre convexe est un domaine Lipschitzien et, bien sûr:
I Proposition C.6 Tout ouvert de classe C p est un ouvert lipschtzien et tout domaine p-régulier est un
domaine Lipschitzien.
A noter également que la proposition C.3 pour k = 0, sur le prolongement à l’extérieur des fonctions
continues, s’applique au cas d’un ouvert Lipschitzien, la démonstration étant identique la rectification se
faisant par des homéomorphismes lipchitziens.
Citons deux propriétés topologiques importantes des domaines (voir[3]). La première résulte facilement de
la définition (voir la note à la définition d’un ouvert régulier).
I Proposition C.7 Soit Ω un ouvert p-régulier ou Lipschitzien. Alors, Ω est l’intérieur de son adhérence.
C’est à dire:
Int(Ω) = Ω
La seconde qui concerne uniquement les domaines bornés connexes est plus technique:
I Proposition C.8 Soit Ω un domaine p-régulier ou Lipschitzien, connexe de E et d une distance sur E
associée à une norme. Alors, il existe une constante C(Ω) telle que:
∀(x,y) ∈ Ω2 :
d(x,y) ≤ δ(x,y) ≤ C(Ω)d(x,y)
où 6 δ(x,y) est la borne inférieure des longueurs des lignes brisées qui joignent x à y dans Ω.
A noter que les ouverts C p ou lipschitziens sont conservés par les difféomorphismes des ouverts qui les
contiennent strictement. Plus précisément, on a la proposition évidente:
I Proposition C.9 Soit E un espace affine de dimension n sur R et soit φ un C p -difféomorphisme d’un
ouvert O de E. Alors, l’image par φ d’un ouvert de classe C p (resp. Lipschitzien) Ω tel que Ω ⊂ O est un
ouvert de classe C p (resp. Lipschitzien).
Il est utile de disposer d’un critère permettant de savoir si une application qui n’est définie que sur un
domaine donné, le transforme encore en un domaine. Un cas utile en Mécanique est celui où cette application
est définie par un champ de déplacements. On déduit ainsi facilement du théorème des accroissements finis et
de la proposition C.8 le résultat suivant (voir la preuve de la proposition 1.24):
I Proposition C.10 Soit Ω un domaine 1-régulier (resp. lipschitzien), connexe de E. Soit || · || une norme
sur A et || · ||L(A,A) la norme subordonnée sur les endomorphismes. Alors, il existe une constante C > 0
∇u||L(A,A) < C l’application: χ : x ∈ Ω 7→ x + u(x) soit
telle que pour tout champ u ∈ C 1 (Ω,A) vérifiant ||∇
un homéomorphisme de Ω et un C 1 difféomorphisme de Ω. De plus, χ(Ω) est un domaine 1-régulier (resp.
lipschitzien).
Ainsi, si Ω est le placement à l’instant t0 d’un milieu continu, la proposition nous indique qu’au voisinage
de t0 le placement du milieu reste un domaine 1-régulier (resp. Lipschitzien).
6
δ est aussi appelée "distance géodésique" sur Ω.
156
C.3
ANNEXE C. DOMAINES.
Intégration. formules de Green et théorème de Stokes.
On suppose ici que le lecteur connaît la théorie de la mesure et l’intégrale de Lebesgue sur un R n (voir par
exemple [9]).
C.3.1
Mesure superficielle sur le bord d’un ouvert Lipschitzien.
Soit E un espace affine Euclidien de dimension n ≥ 2 sur R et Σ = ∂Ω le bord d’un ouvert C p ou plus
généralement lipshitzien Ω de E. Le produit scalaire est fixé.
Mesure surface. On se place sur la tribu des Boréliens 7 de Σ. Soit S ⊂ Σ un Borélien. Donnons nous
un recouvrement ∪α Uα de Σ = ∂Ω constitué d’ouverts de E tel que, conformément à la définition C.4, pour
chaque indice α l’intersection Uα ∩ Σ soit le graphe d’une fonction lipschitzienne fα définie sur un ouvert Wα
de Rn−1 . On pose alors:
2
2 21
XZ
∂fαi
∂fαi
µΣ (S) =
1+
ψi [gi (x1 , · · · ,xn−1 )] dx1 · · · dxn−1
+ ··· +
∂x1
∂xn−1
gi−1 (Uαi ∩S)
i
où (ψi ) est une partition C ∞ de l’unité subordonnée au recouvrement ∪α Uα et où chaque gi est un paramétrage
local associé à fαi et défini par:
(x1 , · · · ,xn−1 ) ∈ Wαi 7→ gi (x1 , · · · ,xn−1 ) = (x1 , · · · ,xn−1 ,fαi (x1 , · · · ,xn−1 ))
et, pour chaque i, αi est un des indices α tel que supp φi ⊂ Uαi (voir le théorème sur les partitions de l’unité).
Les intégrales dans le membre de droite sont bien définies puisque les g i−1 (Uαi ∩ S) sont des Boréliens de R2 ,
et la somme est positive, finie ou infinie, sa valeur étant indépendante de de la partition de l’unité et de la
famille de fonctions fα (par changement de variable dans les intégrales multiples).
On s’assure alors que la fonction d’ensemble ainsi définie est une mesure σ-finie sur la tribu des Boréliens.
On la complète, par adjonction à la tribu des Boréliens des ensembles négligeables et la mesure complète ainsi
construite est la mesure surface habituelle. On notera qu’elle n’est pas intrinsèque car elle dépend du choix du
produit scalaire sur E (à travers la norme de la normale).
On a la propriété suivante (de régularité): une partie A ⊂ Σ est µΣ -mesurable si, pour chaque > 0 on
peut trouver un ouvert O et un fermé F tels que F ⊂ A ⊂ O et µΣ (O − F ) ≤ . La théorie de l’intégration se
construit alors par le procédé habituel. En utilisant les partitions de l’unité on montre (comme dans R n ) que
l’ensemble Cc (Σ) des fonctions continues à support compact est dense dans Lp (Σ) pour tout 1 ≤ p < +∞.
Si Σ est compacte (car du bord d’un domaine) alors sa mesure est finie et les fonctions continues sont alors
intégrables sur Σ.
Intégrale d’une fonction intégrable. Donnons nous encore un recouvrement ∪ α Uα de ∂Ω constitué
d’ouverts de E tel que, conformément à la définition C.4, pour chaque indice α l’intersection U α ∩ Σ soit le
graphe d’une fonction lipschitzienne fα définie sur un ouvert Wα de Rn−1 . Soit h une fonction intégrable sur
Σ.
Deux cas se présentent. Le premier cas est le cas simple, mais usuel, où la fonction h à son support dans
un certain Uα ∩ Σ. Pour simplifier, désignons alors par f,W la fonction fα et l’ouvert Wα . Alors, l’intégrale de
h est donnée par
2
2 12
Z
Z
∂f
∂f
h[g(x1 , · · · ,xn−1 )] 1 +
h dσ =
+ ··· +
dx1 · · · dxn−1
∂x1
∂xn−1
W
Σ
où g est le paramétrage local associé à f et défini par:
(x1 , · · · ,xn−1 ) ∈ W 7→ g(x1 , · · · ,xn−1 ) = (x1 , · · · ,xn−1 ,f (x1 , · · · ,xn−1 ))
Dans le cas plus général où h est quelconque, on introduit comme précédemment une partition de l’unité
subordonnée au recouvrement ouvert {∪α Uα }. Alors, l’intégrale de h est donnée par:
Z
7
h dσ =
Σ
XZ
i∈I
∂fαi
h[gi (x1 , · · · ,xn−1 )] 1+
∂x1
gi−1 (Uαi )
i.e. la plus petite tribu contenant les ouverts: voir [9].
2
∂fαi
+· · ·+
∂xn−1
2 12
ψi [gi (x1 , · · · ,xn−1 )] dx1 · · · dxn−1
C.3. INTÉGRATION
157
où (Oi ,ψi ) est une partition C ∞ de l’unité subordonnée au recouvrement ∪α Uα et où chaque gi est un paramétrage local associé à fαi et défini par:
(x1 , · · · ,xn−1 ) ∈ Wαi 7→ gi (x1 , · · · ,xn−1 ) = (x1 , · · · ,xn−1 ,fαi (x1 , · · · ,xn−1 ))
Pour chaque i, αi est un des indices α tel que supp φi ⊂ Uαi .
On peut vérifier que la valeur du membre de droite est indépendante du choix de la partition de l’unité
et de la famille de fonctions fα , dont Σ est localement le graphe, et que la formule coïncide avec la formule
précédente quand h à son support dans l’un des Uα ∩ Σ.
C.3.2
Formules de Green pour les fonctions C 1 .
C.3.2.1
Formules usuelles.
Dans ce qui suit, Ω désigne un domaine 1-régulier ou Lipschitzien d’un espace affine Euclidien de dimension
n ≥ 2, E. Soit Σ le bord de Ω. On peut alors définir presque partout sur Σ un champ de normales unitaires
extérieures, qui sera d’ailleurs défini partout si Ω est C 1 .
Pour cela, à chaque point P ∈ Σ on associe le triplet (U,f,W ) de la définition du bord d’un ouvert lipshitzien.
Puis on extrait un recouvrement fini, ce qui est possible puisque ce bord est compact. Pour un de ces triplets,
on désigne par (e1 , · · · ,en ) la base orthonormée de E associée au système de coordonnées (x1 , · · · ,xn ) de la
définition. On définit alors presque partout sur un Σ ∩ U une base locale de vecteurs "tangents" à Σ. Plus
précisément, a chaque x ∈ Σ ∩ U , de coordonnées (x1 , · · · ,xn−1 ,f (x1 , · · · ,xn−1 )), tel que f soit différentiable
au point (x1 · · · ,xn−1 ), associons les n − 1 vecteurs:
t1 = e 1 +
∂f
∂f
en , · · · ,tn−1 = en−1 +
en
∂x1
∂xn−1
On choisit alors comme vecteur n l’unique vecteur unitaire telle que la base (t 1 , · · · ,tn−1 ,n) soit de même
orientation que la base (e1 , · · · ,en ). On a donc:
n =
p.p.
∇ (xn − f (x1 , · · · ,xn−1 ))
∇(xn − f (x1 , · ,xn−1 ))||
||∇
(n|en ) > 0
p.p.
Vu le choix des coordonnées, il est donc partout où il est défini sur Σ ∩ U dirigé vers l’extérieur de Ω. On
peut alors vérifier que la valeur de n, sauf peut être sur un ensemble de mesure nulle, ne dépend pas du
triplet (U,f,W ) tel que x ∈ Σ ∩ U . Comme il n’y a qu’un nombre fini de U et que la réunion d’un nombre fini
d’ensembles de mesures nulles est de mesure nulle, on définit ainsi un champ de normales unitaires presque
partout sur le bord de Ω. Ce champ est unitaire, et comme Σ est bornée il est donc dans chaque L p (∂Ω,E)
pour p ∈ [1, + ∞]. Dans le cas où Ω est un domaine 1 régulier d’un espace de dimension 3, son bord est une
surface plongée et il s’agit bien sûr de l’unique champ de normales unitaires extérieures défini directement à
partir du plan tangent.
On munit alors E de sa mesure de Lebesgue pour laquelle la mesure du cube d’arête unité est l’unité. Soit
O un ouvert tel que Ω ⊂ O et soit u : O 7→ R un champ C 1 . On a alors la formule de Green "basique":
Z
Z
∇u|g) dx =
u(n|g) dσ
(∇
∀g ∈ E :
Ω
∂Ω
qui se démontre en intégrant par tranches parallèles au vecteur constant g. Ce n’est rien d’autre qu’une
Rb
généralisation de la formule 1D: a u0 (x) dx = u(b) − u(a). Les autres formules de Green se déduisent de la
formule basique. Ainsi, si u ∈ C 1 (O,R):
Z
Z
un dσ
∇ u dx =
Ω
1
et si u,v ∈ C (O,R):
Z
Ω
∇u dx = −
v∇
∂Ω
Z
Ω
∇v dx +
u∇
Z
uvn dσ
∂Ω
De même, en sommant la formule basique pour les vecteurs d’une base de E on a le:
I Théorème C.2 (Stokes) Soit E un espace affine Euclidien de dimension n ≥ 2 et Ω un domaine 1régulier ou Lipschitzien de E. Soit n : ∂Ω 7−→ E le champ de normales unitaires extérieures. Soit O un ouvert
avec Ω ⊂ O et v : O 7−→ E un champ de vecteurs de classe C 1 (O). Alors:
Z
Z
(v|n) dσ
div(v) dx =
Ω
∂Ω
158
ANNEXE C. DOMAINES.
A noter, ce qui est remarquable,
que la mesure surface et le vecteur normal dépendent du produit scalaire
R
choisit sur E mais que le flux ∂O (v|n) dσ n’en dépend pas (sous réserve de conserver la même unité de volume)
puisque le champ div(v) est intrinsèque.
Si u ∈ C 2 (O,R) et v ∈ C 1 (O,R), on a:
∇u) = (∇
∇v|∇
∇u) + v∆u
div(v∇
En intégrant, on déduit la formule de Green:
Z
Z
Z
∇v|∇
∇u) dx −
−
v∆u dx = (∇
Ω
Ω
Si u et v : O 7−→ E sont des champs C 1 , on vérifie que:
Z
Z
(udiv(v) + ∇ u · v) dx =
Ω
∂Ω
∇u|n) dσ
v(∇
(v|n)u dσ
(C.1)
(C.2)
∂Ω
De manière générale, si F un espace vectoriel réel de dimension finie avec f ∈ C 1 (O,F) et e ∈ C 1 (O,E), la
formule de Stokes se généralise en:
Z
Z
(C.3)
(f div(e) + ∇ f · e) dx =
(e|n)f dσ
Ω
C.3.2.2
∂Ω
Divergence d’un champ d’endomorphismes.
Soit O un ouvert de E, Ω un domaine 1-régulier ou Lipschitzien d’adhérence contenue dans O et A un
champ d’applications linéaires, à valeurs dans L(E,E), de classe C 1 sur O. Considérons l’application de E
dans R, définie par:
u ∈ E 7−→ div(T A · u)
Elle est évidement linéaire et continue. C’est donc une forme linéaire sur E. On appelle alors divergence du
champ A le champ de vecteurs, noté div(A), et défini par:
div(T A · u) = (div(A)|u)
∀u ∈ E :
(C.4)
Son existence et son unicité son assurées par le théorème de Riesz.
Expression dans une base orthonormée. Soit B = (e1 , · · · ,en ) une base orthonormée de E et (aij (x))
les coefficients de la matrice de A sur B. De la relation (C.4), on déduit:
div(A) =
X ∂aij
i,j
∂xj
ei
Exercice C.3.1 Vérifiez que l’opérateur divergence ainsi défini dépend du produit scalaire de E et examiner
l’effet d’un changement de produit scalaire. Réponse: On a: (u|v)2 = (F · u|v)1 où F est définie positive et
symétrique pour le premier produit scalaire, alors: div 2 (A) = div1 (A · F−1 ).
Considérons l’application de E dans R, définie par:
Z
div(T A · u) dx
u 7−→
Ω
Elle est évidement linéaire et continue. C’est donc une forme linéaire sur E. D’après le théorème de Riesz, il
existe donc un unique vecteur a tel que:
Z
∀u ∈ E :
div(T A · u) dx = (a|u)
Ω
Vu la définition de la divergence on a:
∀u ∈ E :
Z
Ω
div(T A · u) dx = (
Z
div(A) dx|u)
Ω
C.3. INTÉGRATION
159
D’où:
a=
Z
div(A) dx
Ω
On peut également transformer l’intégrale par le théorème de Stokes et il vient:
Z
Z
A · n dσ|u)
(T A · u|n) dσ = (
∀u ∈ E :
(a|u) =
∂Ω
∂Ω
D’où:
a=
Z
∂Ω
A · n dσ
Finalement, en identifiant, on en déduit la formule:
Z
div(A) dx =
Ω
Z
∂Ω
A · n dσ
(C.5)
qui est la forme du théorème de Stokes pour les champs d’applications linéaires, le produit scalaire de E étant
choisi.
Si u ∈ C 1 (O,E), de la définition de la divergence, on déduit facilement la formule locale suivante qui est
utile dans les bilans de puissances:
∀x ∈ O :
div(T A · u) = (div(A)|u) + A : ∇ u
(C.6)
On vérifiera de la même manière que, si a et b sont des champs de vecteurs de C 1 (O,E), on a:
div(a ⊗ b) = adiv(b) + ∇ a · b
(C.7)
De même, si λ est un champ scalaire de classe C 1 :
∀x ∈ O :
div(λA) = λdiv(A) + A · ∇ λ
(C.8)
Exercice C.3.2 En dimension 3, déduire de (C.7) l’expression de la divergence d’un champ d’applications
linéaires de E dans E donné en chaque point par sa matrice dans une base orthonormée de coordonnées
cylindriques ou sphériques.
Cas des applications antisymétriques On se place en dimension 3. Si A est antisymétrique et que
l’on oriente E, on sait qu’il existe un unique vecteur ω tel que:
∀u ∈ E :
A·u=ω ∧u
On en déduit que pour tout domaine Lipschitzien U tel que U ⊂ O:
Z
Z
ω ∧ n dσ
div(A) dx =
U
∂U
D’où l’on déduit, en identifiant, que:
∀x ∈ O :
ω)
div(A) = −rot(ω
Cette expression ne dépend pas de l’orientation choisie sur E car changer d’orientation revient à changer
simultanément le signe de ω et du rotationnel. On en déduit que pour tout champ de scalaires λ et de vecteurs
v, de classe C 1 sur U :
rot(λv) = λrot(v) + ∇ λ ∧ v
160
ANNEXE C. DOMAINES.
BIBLIOGRAPHIE
161
Bibliographie
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O. Séro-Guillaume Introduction aux équations aux dérivées partielles, Cours de seconde année: 1998-1999.
ENSEM
L. Sedov Mécanique des milieux continus Tome I et II. MIR 1975

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