Introduction à la Dynamique des Milieux Continus (Compléments au

Introduction à la Dynamique des Milieux Continus
(Compléments au notes de rhéologie des fluides)
École de Printemps. GDR Matériaux Vitreux
Mars 2003.
Didier Bernardin
Chargé de Recherches CNRS
L.E.M.T.A. UMR 7563. (Nancy)
email: db[email protected].fr
2
TABLE DES MATIÈRES 3
Table des matières
1 Cinématique et géométrie. 7
1.1 Mouvements d’un milieu continu 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Mouvements réguliers. Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Vitesses.............................................. 9
1.1.3 Gradient de déformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4 Cas de l’écoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Gradients de vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Décomposition polaire et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Dénition............................................ 16
1.2.2 Rotation et déformation locale. Décomposition infinitésimale de Helmholtz. . . . . . . . 17
1.2.3 Tauxdecisaillement...................................... 19
1.3 Mouvements rigidifiants. Changement de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Mouvements rigidifiants. Mouvements de solide rigide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Changements de référentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2.1 Dénitions....................................... 24
1.3.2.2 Loi de composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2.3 Loi de composition des déformations et des gradients de vitesses . . . . . . . . 25
1.4 Tenseurs des déformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 Tenseurs relatifs de Cauchy et de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1.1 Mouvement de solide rigide et mouvement rigidifiant. . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2 Tenseur des déformations linéarisées. Hypothèses de la déformation infinitésimale et de
la transformation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.3 Coordonnées matérielles. Champ de vecteurs gelé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.4 Transport des formes différentielles. Tenseur de Finger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.5 Variations relatives des aires infinitésimales. Transport des normales. . . . . . . . . . . . 32
1.5 Interfaces ................................................ 34
1.5.1 Généralités............................................ 34
1.6 Mouvements de milieux non miscibles. Interfaces matérielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.1 Mouvement 3D d’un domaine borné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.2 Mouvements de deux milieux continus non miscibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7 Ondedediscontinuité.......................................... 44
1.8 Dérivée particulaire ponctuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9 Théorèmes de transports. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.9.1 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume dans un mouvement régulier. . . . . . . . 51
1.9.2 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume dans un mouvement de milieux non mis-
cibles. .............................................. 52
1.9.3 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume en présence d’une onde de discontinuité. 54
1.9.3.1 Approche "physique" Eulérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.9.3.2 Approche Lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.9.4 Dérivée particulaire d’une intégrale de surface dans un mouvement régulier. . . . . . . . 58
1.10 Mouvement isovolume. Milieux incompressibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.11 Masse et densité de masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.11.1 Densitédemasse........................................ 61
1.11.2 Principe de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.11.3 Configuration naturelle d’un milieu homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4TABLE DES MATIÈRES
1.11.4 Bilan d’une quantité spécifique dans un mouvement régulier ou dans le mouvement de
deux milieux immiscibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.11.5 Bilan de masse en présence d’une onde de discontinuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.11.6 Bilan d’une quantité spécifique en présence d’une surface de discontinuité. . . . . . . . . 63
1.12 Appendice. Note sur la géométrie de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.12.1 Propriété intrinsèque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.12.2 Topologiecanonique....................................... 64
1.13 Appendice. Systèmes de coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.13.1 généralités............................................ 66
1.13.2 Coordonnées Cylindriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.13.2.1 Dénition. ...................................... 67
1.13.2.2 Baselocale....................................... 68
1.13.2.3 Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.13.2.4 Surfaces de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.13.3 Coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.13.3.1 Dénition. ...................................... 70
1.13.3.2 Baselocale....................................... 71
1.13.3.3 Calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.13.3.4 Surfaces de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 Dynamique du milieu continu 75
2.1 Principe fondamental de la dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.1 Équations de bilan local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.1.1 Ladémarche...................................... 76
2.1.1.2 Les équations locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.2 Bilan de puissances virtuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.2 PrincipedeDAlembert ........................................ 79
2.2.1 Les champs admissibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.1.1 Cas du milieu compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.1.2 Cas du milieu incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3 Changement de référentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3.1 Les équations de bilan dynamique pour le mouvement φ, connaissant celles du mouve-
ment φ. ............................................. 85
2.3.2 Les équations de bilan dynamique pour le mouvement φ, d’après la théorie de Cauchy. 87
2.3.3 Le principe de D’Alembert pour les efforts extérieurs dans le reférentiel mobile. . . . . . 87
2.3.4 Le principe d’objectivité matérielle énoncé pour les efforts intérieurs. . . . . . . . . . . . 88
2.3.5 La mécanique du milieu continu basée sur le principe des puissances virtuelles. Théorie
dupremiergradient....................................... 89
2.3.6 Équations de la mécanique dans le repère mobile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4 Lepremierprincipe........................................... 92
2.4.1 Lénergieinterne......................................... 92
2.4.2 Lepremierprincipe ...................................... 93
2.4.3 Principe d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5 L’équilibre thermodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.1 Dénition............................................ 95
2.5.2 Le principe d’objectivité matérielle pour l’entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5.3 La température et le second principe à l’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5.4 Travailetchaleur. ....................................... 97
2.5.5 Note sur le groupe de symétrie à l’équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.5.6 Les fluides à l’équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5.7 Note sur le milieu incompressible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.5.8 Les solides isotropes à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.5.8.1 Elasticité linéaire finie du solide isotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5.8.2 Elasticité infinitésimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5.8.3 le problème de la statique des solides élastiques linéaires isotropes. . . . . . . . 105
2.6 Membranes................................................ 107
2.7 SecondPrincipe............................................. 109
TABLE DES MATIÈRES 5
2.7.1 La température dans les fluides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.7.2 Lesecondprincipe ....................................... 109
2.7.2.1 La dissipation en variable de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.7.3 Principe d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.8 Condition de saut aux interfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.8.1 Bilandemasse ......................................... 112
2.8.2 Cas du bilan de quantité de mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.8.3 Bilandénergie.......................................... 114
2.8.4 Bilandentropie. ........................................ 114
2.8.5 Cas d’une interface matérielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A Algèbre linéaire. 117
A.1 Espaces vectoriels. Vocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2 Espaces affines. Vocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.3 Formes linéaires et multilinéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.4 Dual algébrique quand K=Rou C. ................................. 123
A.5 Algèbre linéaire sur un espace réel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.5.1 Déterminants. Orientations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.5.1.1 Déterminant et trace d’un endomorphisme. Transformations directes. Matrices. 124
A.5.1.2 Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.5.1.3 Groupe linéaire. Groupe unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.5.2 Produit tensoriel et extérieur de formes linéaires. Bases duales. Adjoint . . . . . . . . . 127
A.5.2.1 basesduales ..................................... 128
A.5.2.2 Adjoint ........................................ 128
A.5.3 Espaces vectoriels Euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.5.3.1 Produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.5.3.2 Basesduales...................................... 129
A.5.3.3 Formes bilinéaires et endomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.5.3.4 Transposition. .................................... 130
A.5.4 Norme et Produit scalaire sur L(E,E). Produit contracté. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.5.5 Déplacements et transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.5.5.1 Transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.5.5.2 Déplacements affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.5.5.3 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.5.6 Fonctions isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B Surfaces. 141
B.1 Surfaces abstraites. Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.2 Plongements dans un espace affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.2.1 Plongement dans un espace de dimension 3.......................... 144
B.2.2 Plan tangent. Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.3 Différentielles. Courbures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.3.1 Cas des surfaces abstraites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.3.2 Cas des surfaces plongées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.3.2.1 Diérentielle...................................... 146
B.3.2.2 Application: Formes fondamentales. Courbures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C Domaines. 151
C.1 Partitionsdelunité. .......................................... 151
C.2 Ouverts réguliers. Domaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C.3 Intégration ............................................... 156
C.3.1 Mesure superficielle sur le bord d’un ouvert Lipschitzien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
C.3.2 Formules de Green pour les fonctions C1. .......................... 157
C.3.2.1 Formules usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.3.2.2 Divergence d’un champ d’endomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1 / 161 100%

Introduction à la Dynamique des Milieux Continus (Compléments au

La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !