poly du cours - AVR - Université de Strasbourg

Bases Scientifiques pour le G´enie ´ Electrique
Licence Professionnelle Qualit´ e et Ma
ˆ
ıtrise
de l’´ Energie ´ Electrique
UFR Physique et Ing´ enierie
Universit´ e de Strasbourg
Lyc´ ee Louis Couffignal
Edouard Laroche
[email protected]
http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student
2011–2012

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Table des mati`eres
1 G´en´eralit´es 7
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Les grandeurs ´electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Les dipˆoles ´electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 R´esistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.4 Capacit´e..................................... 11
1.4.5 Sources ..................................... 12
2 Le r´egime sinuso¨ıdal monophas´e 13
2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Dipˆoles en r´egime sinuso¨ıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 R´esistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Rel`evement du facteur de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Notations de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.2 Imp´edance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.3 Puissance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Lois des r´eseaux ´electriques 19
3.1 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Loi des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.3 Th´eor`eme de Millmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Sources ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Mod`ele de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Mod`ele de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Th´eor`eme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 R´esolution matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 Vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 R´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Le r´egime sinuso¨ıdal triphas´e 27
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Couplage en ´etoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Couplage en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Equivalence triangle/´etoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 M´ethode d’´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3

4TABLE DES MATI ` ERES
4.6 R´egime d´es´equilibr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6.1 Les trois types de r´egime ´equilibr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.6.2 D´ecomposition d’un syst`eme triphas´e d´es´equilibr´e . . . . . . . . . . . . . 33
5 R´egime harmonique 35
5.1 D´ecomposition en s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.2 Fondement th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.3 Propri´et´es de la d´ecomposition en s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.4 Sym´etries et s´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Puissance en non-sinuso¨ıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.1 Harmoniques de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.2 Harmoniques de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.3 Harmoniques de tension et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.4 R´egime triphas´e ´equilibr´e avec harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.5 R´egime triphas´e d´es´equilibr´e avec harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 R´egimes transitoires 49
6.1 Equation diff´erentielle du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.1 Equation sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.2 Equation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.1.3 M´ethode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Equation diff´erentielle du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.1 Equation diff´erentielle sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.2 ´ Equation diff´erentielle avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 D´etermination par la transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3.1 Transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3.2 Application `a la d´etermination du r´egime transitoire . . . . . . . . . . . . 55
7 Mesure 57
7.1 Mesures de tension et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.1 Les diff´erentes technologies de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.2 Lecture sur un appareil analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.3 R´eduction du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1.4 Sondes pour la visualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2 Mesures de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3 Incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.3.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4 Techniques num´eriques de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4.1 ´ Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Asservissement 63
8.1 Notion de syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.1.1 Propri´et´es relatives aux syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.1.2 Syst`eme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.1.3 Syst`eme du deuxi`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2 Asservissement d’un syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2.2 Performance des syst`emes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2.3 Pr´ecision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2.4 D´epassement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.2.5 Boucle ouverte ou boucle ferm´ee ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

TABLE DES MATI ` ERES 5
8.2.6 Exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3 Analyse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3.2 Repr´esentations fr´equentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3.3 Crit`eres de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3.4 Synth`ese de correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
A Rappels de Math´ematiques 77
A.1 D´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.1.1 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.1.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.1.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.2 Int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.2.2 D´efinition n˚2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.2.3 Calcul...................................... 79
A.2.4 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.2.5 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.2.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.3 Trigonom´etrie et nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80