TP 1. Loi binomiale et probabilité conditionnelle. Dix composants

TP 1. Loi binomiale et probabilité conditionnelle.
Dix composants électroniques identiques sont mis en service simultanément. La
probabilité pour que l’un quelconque de ces composants soit encore en service au bout
d’un an est 0,8.
1°
Quelle est la probabilité pour qu’il y ait encore 7 composants en fonctionnement
au bout d’un an ? Au moins 7 ?
2°
Sachant qu’il y a au moins 7 composants en fonctionnement, calculer la
probabilité pour qu’il y en en ait au plus 9.
TP 2. Loi de Poisson.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre
d’une ampoule. On admet que X obéit à la loi de Poisson de paramètre λ = 4.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
1°
Il n’y a aucun défaut sur l’ampoule.
2°
Il y a plus de 2 défauts (2 défauts ou plus) sur l’ampoule.
3°
Le nombre de défauts est compris entre 2 et 5 bornes comprises.
Correction
TP 3. Loi normale.
Une entreprise fabrique en série des boites en carton.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur la hauteur d’une boite en carton.
On admet que X suit la loi normale de moyenne 2,5 cm et d’écart type 0,2 cm.
1°
Calculer la probabilité qu’une boite choisie au hasard dans la production est une
hauteur inférieure à 2,25 cm.
2°
Déterminer le réel α tel que la probabilité que X soit inférieure à α, ait pour
valeur 0,67.
Correction
TP 4. Problème type.
Dans cet exercice n est un entier strictement supérieur à 1.
Une entreprise fabrique des composants électroniques en grand nombre. La probabilité
pour qu’un composant de cette fabrication soit défectueux est : p = 0,04.
Un tirage au hasard de n composants de cet fabrication étant assimilé à un tirage avec
remise, on appelle X la variable aléatoire qui à chacun de ces tirages, associe le
nombre de composants défectueux.
1°
Indiquez quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X pour n = 8.
Donner l’expression de P(X = k) où 0 ≤ k ≤ 8 et calculer la probabilité d’avoir
exactement 3 composants défectueux dans le tirage, puis celle d’avoir au moins
2 composants défectueux dans le tirage.
2°
Si n = 50, on admet que l’on peut approcher la loi de X par une loi de Poisson
dont le paramètre λ est égal à l’espérance mathématique de X.
a) Déterminer l’espérance mathématique E(X) de X pour n = 50 et en déduire λ.
b) Calculer, avec la précision permise par les tables, et en utilisant cette loi de
Poisson, la probabilité d’avoir exactement 4 composants défectueux dans le
tirage, puis celle d’en avoir au plus 3.
3°
Si n = 600, on admet que l’on peut approcher la loi X par la loi normale de
moyenne m et d’écart type σ, où m est l’espérance mathématique de X et σ
l’écart type de X.
a) Déterminer m et σ, moyenne et écart type de la variable X pour n = 600.
b) En utilisant cette loi normale, calculer, avec la précision permise par les
tables, la probabilité d’avoir au moins 27 composants défectueux dans un
tirage de 600 composants.