Sélection de sujets de Bac

[Sélection de sujets de Bac \
EXERCICE 3 (PONDICHÉRY AVRIL 2014) 5 points
Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent
le marché. Soit nun entier naturel.
On note : Xnl’évènement « la marque X est utilisée le mois n»,
Ynl’évènement « la marque Y est utilisée le mois n»,
Znl’évènement « la marque Z est utilisée le mois n».
Les probabilités des évènements Xn,Yn,Znsont notées respectivement xn,yn,zn.
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
•Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant :
50 % de chance de rester fidèle à cette marque, 40 % de chance d’acheter la marque Y, 10% de chance d’acheter Z.
•Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant :
30 % de chance de rester fidèle à cette marque, 50 % de chance d’acheter la marque X, 20 % de chance d’acheter Z.
•Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant :
70 % de chance de rester fidèle à cette marque, 10 % de chance d’acheter la marque X, 20 % de chance d’acheter Y.
1. a. Exprimer xn+1en fonction de xn,ynet zn.
On admet que : yn+1=0,4xn+0,3yn+0,2znet que zn+1=0,1xn+0,2yn+0,7zn.
b. Exprimer znen fonction de xnet yn. En déduire l’expression de xn+1et yn+1en fonction de xnet yn.
2. On définit la suite (Un)par Un=µxn
yn¶pour tout entier naturel n.
On admet que, pour tout entier naturel n,Un+1=A×Un+Boù A=µ0,4 0,4
0,2 0,1¶et B=µ0,1
0,2¶.
Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n=0), on estime que U0=µ0,5
0,3¶.
On considère l’algorithme suivant :
Variables net ides entiers naturels.
A,Bet Udes matrices
Entrée et initialisation Demander la valeur de n
iprend la valeur 0
Aprend la valeur µ0,4 0,4
0,2 0,1¶
Bprend la valeur µ0,1
0,2¶
Uprend la valeur µ0,5
0,3¶
Traitement Tant que i < n
Uprend la valeur A×U+B
iprend la valeur i+1
Fin de Tant que
Sortie Afficher U
a. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n=1 puis pour n=3.
b. Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?
Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de Unen fonction de n.
On note Ila matrice µ1 0
0 1¶et Nla matrice I−A.
3. On désigne par Cune matrice colonne à deux lignes.
a. Démontrer que C=A×C+Béquivaut à N×C=B.
b. On admet que Nest une matrice inversible et que N−1=
45
23
20
23
10
23
30
23
. En déduire que C=
17
46
7
23
.
4. On note Vnla matrice telle que Vn=Un−Cpour tout entier naturel n.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n,Vn+1=A×Vn.
b. On admet que Un=An×(U0−C)+C.
Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai?
1

EXERCICE 2 (POLYNÉSIE JUIN 2011) 5 points
On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
Si pest un nombre premier et aest un entier naturel non divisible par p, alors ap−1≡1 (modulop).
On considère la suite (un)d’entiers naturels définie par :
u0=1et, pour tout entier natureln,un+1=10un+21.
1. Calculer u1,u2et u3.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
3un=10n+1−7.
b. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un·
3. Montrer que u2est un nombre premier.
On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un)par certains nombres premiers.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel n,unn’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
5. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un≡4−(−1)n(modulo11).
b. En déduire que, pour tout entier naturel n,unn’est pas divisible par 11.
6. a. Démontrer l’égalité : 1016 ≡1(modulo17).
b. En déduire que, pour tout entier naturel k,u16k+8est divisible par 17.
EXERCICE 4 (ANTILLES-GUYANE JUIN 2013) 5 points
On définit les suites (un)et (vn)sur l’ensemble Ndes entiers naturels par :
u0=0 ; v0=1 , et 
un+1=un+vn
2
vn+1=un+2vn
3
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (un)et (vn).
1. Calculer u1et v1.
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables : u,vet wdes nombres réels
Net kdes nombres entiers
Initialisation : uprend la valeur 0
vprend la valeur 1
Début de l’algorithme
Entrer la valeur de N
Pour kvariant de 1 à N
wprend la valeur u
uprend la valeur w+v
2
vprend la valeur w+2v
3
Fin du Pour
Afficher u
Afficher v
Fin de l’algorithme
a. On exécute cet algorithme en saisissant N=2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant
l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
k w u v
1
2
b. Pour un nombre Ndonné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation
étudiée dans cet exercice ?
2

3. Pour tout entier naturel non définit le vecteur colonne Xnpar Xn=µun
vn¶et la matrice Apar A=µ1
21 2
1
32 3¶.
a. Vérifier que, pour tout entier naturel n,Xn+1=AXn.
b. Démontrer par récurrence que Xn=AnX0pour tout entier naturel n.
4. On définit les matrices P,P′et Bpar P=µ4
56 5
−6
56 5¶,P′=µ1
2−1 2
1
21 3¶et B=µ1 0
01
6¶.
a. Calculer le produit PP′.
On admet que P′BP =A.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,An=P′BnP.
b. On admet que pour tout entier naturel n,Bn=µ1 0
0¡1
6¢n¶.
En déduire l’expression de la matrice Anen fonction de n.
5. a. Montrer que Xn=µ3
5−3 5¡1 6¢n
3
5+2 5¡1 6¢n¶pour tout entier naturel n.
En déduire les expressions de unet vnen fonction de n.
b. Déterminer alors les limites des suites (un)et (vn).
EXERCICE 4 (EXTRAIT VALENCIA JUIN 2012 ET EXTRAIT ANTILLES-GUYANE JUIN 2012) 1 point par question
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse
non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.
1. On considère l’équation (E) : 3x−2y=1, où xet ysont des entiers relatifs.
Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9 +2k; 13+3k), avec kappartenant à l’ensemble Z
des entiers relatifs.
2. Soit nun entier naturel. On considère les deux entiers aet bdéfinis par :
a=3n+1 et b=2n+3.
Affirmation : le PGCD de aet best égal à 7 si et seulement si nest congru à 2 modulo 7.
3. Soit nun entier naturel. On considère les deux entiers aet bdéfinis par :
a=2n2+7n+21 et b=2n+2.
Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de apar bsont respective-
ment égaux à n+2 et n+17.
Les questions sont indépendantes (autre sujet).
4. a. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation
(E) 11x−5y=14
b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x;y) vérifiant l’équation (E).
5. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
23n≡1 (mod 7)
b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012 par 7.
3

6. On considère l’algorithme suivant où EntµA
N¶désigne la partie entière de A N.
A et N sont des entiers naturels
Saisir A
N prend la valeur 1
Tant que N 6pA
Si A
N−EntµA N¶=0 alors Afficher N et A N
Fin si
N prend la valeur N + 1
Fin Tant que.
Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?
Que donne cet algorithme dans le cas général ?
EXERCICE 4 (MÉTROPOLE SEPTEMBRE 2013) 5 points
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre
Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition.
Rapidement les scientifiques ont découvert qu’un individu pouvait être dans l’un des trois états suivants :
S: « l’individu est sain, c’est-à-dire non malade et non infecté »,
I: « l’individu est porteur sain, c’est-à-dire non malade mais infecté »,
M: « l’individu est malade et infecté ».
Partie A
Les scientifiques estiment qu’un seul individu est à l’origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population
et que, d’une semaine à la suivante, un individu change d’état suivant le processus suivant :
– parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à 1
3et la proportion de ceux
qui deviennent malades est égale à 1
3,
– parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à 1
2.
La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.
S
I M
1
3
1
3
1
2
1
3
1
1
2
On note Pn=(sninmn)la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de nsemaines où sn,inet mndésignent
respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain ou malade la n-ième semaine.
On a alors P0=(0,99 0 0,01) et pour tout entier naturel n,
sn+1=1
3sn
in+1=1
3sn+1 2in
mn+1=1
3sn+1 2in+mn
4

1. Écrire la matrice Aappelée matrice de transition, telle que pour tout entier naturel n,
Pn+1=Pn×A.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nnon nul, Pn=P0×An.
3. Déterminer l’état probabiliste P4au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à 10−2.
Quelle est la probabilité qu’un individu soit sain au bout de quatre semaines ?
Partie B
La maladie n’évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu’au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques
découvrent un vaccin qui permet d’enrayer l’endémie et traitent immédiatement l’ensemble de la population.
L’évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :
B=
5
12
1
4
1
3
5
12
1
4
1
3
1
6
1
2
1
3
.
On note Qnla matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de nsemaines après la mise en place de ces nouvelles
mesures de vaccination. Ainsi, Qn=(SnInMn)où Sn,Inet Mndésignent respectivement la probabilité que l’individu
soit sain, porteur sain et malade la n-ième semaine après la vaccination.
Pour tout entier naturel n, on a alors Qn+1=Qn×B.
D’après la partie A, Q0=P4. Pour la suite, on prend Q0=(0,01 0,10 0,89) où les coefficients ont été arrondis à 10–2.
1. Exprimer Sn+1,In+1et Mn+1en fonction de Sn,Inet Mn.
2. Déterminer la constante réelle ktelle que B2=k J où Jest la matrice carrée d’ordre 3 dont tous les coefficients sont
égaux à 1.
On en déduit que pour tout entier nsupérieur ou égal à 2, Bn=B2.
3. a. Démontrer que pour tout entier nsupérieur ou égal à 2, Qn=µ1
3
1
3
1
3¶.
b. Interpréter ce résultat en terme d’évolution de la maladie.
Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
EXERCICE 3 (AMÉRIQUE DU SUD NOVEMBRE 2013) 5 POINTS
Le gestionnaire d’un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hyper-
textes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
Des études statistiques lui ont permis de s’apercevoir que :
•Si un internaute est sur la page no1, alors il ira, soit sur la page no2 avec la probabilité 1
4, soit sur la page no3 avec la
probabilité 3
4.
•Si un internaute est sur la page no2, alors, soit il ira sur la page no1 avec la probabilité 1
2soit il restera sur la page no2
avec la probabilité 1
4, soit il ira sur la page no3 avec la probabilité 1 4.
•Si un internaute est sur la page no3, alors, soit il ira sur la page no1 avec la probabilité 1
2, soit il ira sur la page no2 avec
la probabilité 1
4,soit il restera sur la page no3 avec la probabilité 1 4.
Pour tout entier naturel n, on définit les évènements et les probabilités suivants :
An: « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no1 » et on note an=P(An).
Bn: « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no2 » et on note bn=P(Bn).
Cn: « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no3 » et on note cn=P(Cn).
5