Sélection de sujets de Bac

[ Sélection de sujets de Bac \
E XERCICE 3 (P ONDICHÉRY AVRIL 2014)
5 points
Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent
le marché. Soit n un entier naturel.
On note : X n l’évènement « la marque X est utilisée le mois n »,
Yn l’évènement « la marque Y est utilisée le mois n »,
Z n l’évènement « la marque Z est utilisée le mois n ».
Les probabilités des évènements X n , Yn , Z n sont notées respectivement xn , y n , zn .
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
• Un acheteur de la marque X le mois n, a le mois suivant :
50 % de chance de rester fidèle à cette marque, 40 % de chance d’acheter la marque Y, 10 % de chance d’acheter Z.
• Un acheteur de la marque Y le mois n, a le mois suivant :
30 % de chance de rester fidèle à cette marque, 50 % de chance d’acheter la marque X, 20 % de chance d’acheter Z.
• Un acheteur de la marque Z le mois n, a le mois suivant :
70 % de chance de rester fidèle à cette marque, 10 % de chance d’acheter la marque X, 20 % de chance d’acheter Y.
1.
a. Exprimer xn+1 en fonction de xn , y n et zn .
On admet que : y n+1 = 0, 4xn + 0, 3y n + 0, 2zn et que zn+1 = 0, 1xn + 0, 2y n + 0, 7zn .
b. Exprimer zn en fonction de xn et y n . En déduire l’expression de xn+1 et y n+1 en fonction de xn et y n .
µ ¶
xn
pour tout entier naturel n.
2. On définit la suite (U n ) par U n =
yn
¶
µ ¶
µ
0, 1
0, 4 0, 4
.
et B =
On admet que, pour tout entier naturel n, U n+1 = A ×U n + B où A =
0, 2
0, 2 0, 1
µ ¶
0, 5
.
Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0), on estime que U 0 =
0, 3
On considère l’algorithme suivant :
Variables
Entrée et initialisation
Traitement
Sortie
n et i des entiers naturels.
A, B et U des matrices
Demander la valeur de n
i prend la valeur 0
¶
µ
0, 4 0, 4
A prend la valeur
0, 2 0, 1
µ ¶
0, 1
B prend la valeur
0, 2
µ ¶
0, 5
U prend la valeur
0, 3
Tant que i < n
U prend la valeur A ×U + B
i prend la valeur i + 1
Fin de Tant que
Afficher U
a. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n = 1 puis pour n = 3.
b. Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril ?
Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une expression de U n en fonction de n.
¶
µ
1 0
et N la matrice I − A.
On note I la matrice
0 1
3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
a. Démontrer que C = A × C + B équivaut à N × C = B.

 
45 20
17




23 23 
 46 
b. On admet que N est une matrice inversible et que N −1 = 
 10 30 . En déduire que C =  7 .
23 23
23
4. On note Vn la matrice telle que Vn = U n − C pour tout entier naturel n.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1 = A × Vn .

b. On admet que U n = A n × (U 0 − C ) + C .
Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
1
E XERCICE 2 (P OLYNÉSIE JUIN 2011)
5 points
On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors a p−1 ≡ 1 (modulop).
On considère la suite (un ) d’entiers naturels définie par :
u0 = 1et, pour tout entier naturel n, un+1 = 10un + 21.
1. Calculer u1 , u2 et u3 .
2.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
3un = 10n+1 − 7.
b. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un ·
3. Montrer que u2 est un nombre premier.
On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un ) par certains nombres premiers.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
5.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4 − (−1)n
(modulo11).
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n’est pas divisible par 11.
6.
a. Démontrer l’égalité : 1016 ≡ 1(modulo17).
b. En déduire que, pour tout entier naturel k, u16k+8 est divisible par 17.
E XERCICE 4 (A NTILLES -G UYANE JUIN 2013)
5 points
On définit les suites (un ) et (v n ) sur l’ensemble N des entiers naturels par :

un + v n

 un+1 =
2
u0 = 0 ; v 0 = 1 , et
un + 2v n

 v n+1 =
3
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (un ) et (v n ).
1. Calculer u1 et v 1 .
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables : u, v et w des nombres réels
N et k des nombres entiers
Initialisation : u prend la valeur 0
v prend la valeur 1
Début de l’algorithme
Entrer la valeur de N
Pour k variant de 1 à N
w prend la valeur u
w +v
u prend la valeur
2
w + 2v
v prend la valeur
3
Fin du Pour
Afficher u
Afficher v
Fin de l’algorithme
a. On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant
l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
k
1
2
w
u
v
b. Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation
étudiée dans cet exercice ?
2
µ1
µ ¶
un
et la matrice A par A = 12
3. Pour tout entier naturel n on définit le vecteur colonne X n par X n =
vn
3
1¶
2 .
2
3
a. Vérifier que, pour tout entier naturel n, X n+1 = AX n .
b. Démontrer par récurrence que X n = A n X 0 pour tout entier naturel n.
¶
µ1
¶
µ
µ 4
6¶
1 0
− 21
.
et
B
=
4. On définit les matrices P , P ′ et B par P = 56 56 , P ′ = 12
1
0 61
−5 5
2
3
5.
a. Calculer le produit P P ′ .
On admet que P ′ BP = A.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, A n = P ′ B n P .
µ
¶
1
0
¡ 1 ¢n .
b. On admet que pour tout entier naturel n, B n =
0
6
En déduire l’expression de la matrice A n en fonction de n.
µ 3 3 ¡ 1 ¢n ¶
−
a. Montrer que X n = 35 52 ¡ 61 ¢n pour tout entier naturel n.
5+5 6
En déduire les expressions de un et v n en fonction de n.
b. Déterminer alors les limites des suites (un ) et (v n ).
E XERCICE 4 ( EXTRAIT VALENCIA JUIN 2012 ET EXTRAIT A NTILLES -G UYANE JUIN 2012)
1 point par question
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse
non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.
1. On considère l’équation (E) : 3x − 2y = 1, où x et y sont des entiers relatifs.
Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9 + 2k ; 13 + 3k), avec k appartenant à l’ensemble Z
des entiers relatifs.
2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :
a = 3n + 1 et b = 2n + 3.
Affirmation : le PGCD de a et b est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7.
3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :
a = 2n 2 + 7n + 21 et b = 2n + 2.
Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à n + 2 et n + 17.
Les questions sont indépendantes (autre sujet).
4.
a. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation
(E)
11x − 5y = 14
b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x; y) vérifiant l’équation (E).
5.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
23n ≡ 1
(mod 7)
b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012 par 7.
3
6. On considère l’algorithme suivant où Ent
µ
¶
A
A
désigne la partie entière de .
N
N
A et N sont des entiers naturels
Saisir A
N prend la valeur
p 1
Tant que N 6 A
µ ¶
A
A
A
Si − Ent
= 0 alors Afficher N et
N
N
N
Fin si
N prend la valeur N + 1
Fin Tant que.
Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?
Que donne cet algorithme dans le cas général ?
E XERCICE 4 (M ÉTROPOLE SEPTEMBRE 2013)
5 points
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre
Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition.
Rapidement les scientifiques ont découvert qu’un individu pouvait être dans l’un des trois états suivants :
S : « l’individu est sain, c’est-à-dire non malade et non infecté »,
I : « l’individu est porteur sain, c’est-à-dire non malade mais infecté »,
M : « l’individu est malade et infecté ».
Partie A
Les scientifiques estiment qu’un seul individu est à l’origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population
et que, d’une semaine à la suivante, un individu change d’état suivant le processus suivant :
1
– parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à et la proportion de ceux
3
1
qui deviennent malades est égale à ,
3
1
– parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à .
2
La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-dessous.
S
1
3
1
2
1
3
1
3
I
1
2
M
1
On note P n = (sn i n m n ) la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines où s n , i n et m n désignent
respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain ou malade la n-ième semaine.
On a alors P 0 = (0, 99 0 0, 01) et pour tout entier naturel n,



sn+1




i n+1





 m n+1
=
=
=
1
sn
3
1
1
sn + i n
3
2
1
1
sn + i n + mn
3
2
4
1. Écrire la matrice A appelée matrice de transition, telle que pour tout entier naturel n,
P n+1 = P n × A.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, P n = P 0 × A n .
3. Déterminer l’état probabiliste P 4 au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à 10−2 .
Quelle est la probabilité qu’un individu soit sain au bout de quatre semaines ?
Partie B
La maladie n’évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu’au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques
découvrent un vaccin qui permet d’enrayer l’endémie et traitent immédiatement l’ensemble de la population.
L’évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :
5
 12

 5
B =
 12
 1
1
4
1
4
1
2

6

1
3

1
.
3
1
3
On note Q n la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines après la mise en place de ces nouvelles
mesures de vaccination. Ainsi, Q n = (S n I n Mn ) où S n , I n et Mn désignent respectivement la probabilité que l’individu
soit sain, porteur sain et malade la n-ième semaine après la vaccination.
Pour tout entier naturel n, on a alors Q n+1 = Q n × B.
D’après la partie A, Q 0 = P 4 . Pour la suite, on prend Q 0 = (0, 01 0, 10 0, 89) où les coefficients ont été arrondis à 10–2 .
1. Exprimer S n+1 , I n+1 et Mn+1 en fonction de S n , I n et Mn .
2. Déterminer la constante réelle k telle que B 2 = k J où J est la matrice carrée d’ordre 3 dont tous les coefficients sont
égaux à 1.
On en déduit que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, B n = B 2 .
µ
¶
1 1 1
3.
a. Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, Q n =
.
3 3 3
b. Interpréter ce résultat en terme d’évolution de la maladie.
Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
E XERCICE 3 (A MÉRIQUE DU S UD NOVEMBRE 2013)
5 POINTS
Le gestionnaire d’un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
Des études statistiques lui ont permis de s’apercevoir que :
• Si un internaute est sur la page no 1, alors il ira, soit sur la page no 2 avec la probabilité
probabilité
3
.
4
• Si un internaute est sur la page no 2, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité
avec la probabilité
1
1
, soit il ira sur la page no 3 avec la probabilité .
4
4
• Si un internaute est sur la page no 3, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité
la probabilité
1
1
,soit il restera sur la page no 3 avec la probabilité .
4
4
1
soit il restera sur la page no 2
2
1
, soit il ira sur la page no 2 avec
2
Pour tout entier naturel n, on définit les évènements et les probabilités suivants :
A n : « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no 1 » et on note an = P (A n ).
B n : « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no 2 » et on note b n = P (B n ).
C n : « Après la n-ième navigation, l’internaute est sur la page no 3 » et on note c n = P (C n ).
5
1
, soit sur la page no 3 avec la
4
1
1
1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a an+1 = b n + c n .
2
2
1
1
3
1
1
1
On admet que, de même, b n+1 = an + b n + c n et c n+1 = an + b n + c n .
4
4
4
4
4
4
Ainsi :


1
1

 an+1 =
bn + cn


2
2


1
1
1
a
+
bn + cn
b
=
n
n+1

4
4
4



3
1
1


 c n+1 =
an + bn + cn
4
4
4
 
an
2. Pour tout entier naturel n, on pose U n = b n .
cn
 
a0
U 0 = b 0  représente la situation initiale, avec a0 + b 0 + c 0 = 1.
c0
Montrer que, pour tout entier naturel n, U n+1 = MU n où M est une matrice 3 × 3 que l’on précisera.
En déduire que, pour tout entier naturel n,U n = M n U 0 .
 
x
3. Montrer qu’il existe une seule matrice colonne U =  y  telle que : x + y + z = 1 et MU = U .
z
4. Un logiciel de calcul formel a permis d’obtenir l’expression de M n , n étant un entier naturel non nul :


Mn = 

1
3
5
12
+
+
¡ −1 ¢n
2
3
×2
1
³ 4
¡ ¢n ´
− −1
×2
2
3
1
3
5
12
+
+
¡ −1 ¢n
2
−3
1
4
¡ ¢n
− −1
2
−3
1
3
5
12
+
+
¡ −1 ¢n
2
−3


1

4
¡ −1 ¢n 
− 2
−3
Pour tout entier naturel n non nul, exprimer an , b n et c n en fonction de n. En déduire que les suites (an ) , (b n ) et (c n )
convergent vers des limites que l’on précisera.
5. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.
6