Le sujet du DS3 (suites, probabilités, dérivées et primitives)

TS - Maths - D.S.3
Samedi 14 Novembre 2015 - 2h
Exercice 1
Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
On donnera une valeur approchée à 10−2 près des résultats.
Partie A :
Pour un premier jeu :
2
• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à .
5
4
• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à .
5
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G n l’événement « l’internaute gagne la n-ième partie » et
on note p n la probabilité de l’événement G n .
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p 1 = 1.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
. . . G n+1
pn
Gn
. . . G n+1
...
. . . G n+1
Gn
. . . G n+1
1
1
2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, p n+1 = p n + .
5
5
1
3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose u n = p n − .
4
1
(a) Montrer que (u n )n∈N est une suite géométrique de raison et de premier terme u 1 à préciser.
5
(b) Exprimer u n en fonction de n, puis en déduire l’expression de p n en fonction de n.
(c) Déterminer la limite de p n .
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
1
La probabilité de gagner chaque partie est égale à .
4
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1.
(a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2
près.
(c) Déterminer l’espérance de X.
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2. Le joueur doit payer 30 A
C pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 A
C.
(a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
(b) Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 A
C. Le résultat sera
arrondi à 10−5 près.
Exercice 2
On
 considère la suite numérique (v n ) définie pour tout entier naturel n par
 v0
= 1
9
 v n+1 =
6 − vn
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite,
du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No 1
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Algorithme No 2
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Algorithme No 3
Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
9
v prend la valeur
6−v
Fin pour
Début de l’algorithme :
Lire n
Pour i variant de 1 à n faire
v prend la valeur 1
Début de l’algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
Afficher v
Fin pour
Fin algorithme
Fin algorithme
Afficher v
Afficher v
v prend la valeur
9
6−v
v prend la valeur
Fin pour
Afficher v
Fin algorithme
9
6−v
2. Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :
1
1,800
2,143
2,333
2,455
2,538
2,600
2,647
2,684
2,714
2,969
2,969
2,970
2,970
2,970
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :
2,967
2,968
2,968
2,968
2,969
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (v n ) ?
3.
(a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < v n < 3.
(b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, v n+1 − v n =
(3 − v n )2
.
6 − vn
La suite (v n ) est-elle monotone ?
(c) Démontrer que la suite (v n ) est convergente.
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Partie B Recherche de la limite de la suite (v n )
On considère la suite (w n ) définie pour tout n entier naturel par
wn =
1
.
vn − 3
1
1. Démontrer que (w n ) est une suite arithmétique de raison − .
3
2. En déduire l’expression de (w n ), puis celle de (v n ) en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite (v n ).
Exercice 3
On considère la fonction f par
(2x + 1)5
.
x +1
1. Déterminer en justifiant, l’ensemble de définition de la fonction f .
f (x) =
2. On admet à cette question que f est définie sur I =] − ∞; −1[∪] − 1; +∞[.
(a) Montrer que la fonction f est une primitive sur I de la fonction g définie sur I par
g (x) =
(2x + 1)4 (8x + 9)
.
(x + 1)2
(b) En déduire le tableau de variation de la fonction f .
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