Le sujet du DS3 (suites, probabilités, dérivées et primitives)

TS - Maths - D.S.3 Samedi 14 Novembre 2015 - 2h
Exercice 1
Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
On donnera une valeur approchée à 10−2près des résultats.
Partie A :
Pour un premier jeu :
•si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 2
5.
•si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4
5.
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gnl’événement «l’internaute gagne la n-ième partie »et
on note pnla probabilité de l’événement Gn.
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1=1.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
Gn
pn
Gn+1
. . .
Gn+1
. . .
Gn
. . . Gn+1
. . .
Gn+1
. . .
2. Montrer que, pour tout nentier naturel non nul, pn+1=1
5pn+1 5.
3. Pour tout nentier naturel non nul, on pose un=pn−1
4.
(a) Montrer que (un)n∈Nest une suite géométrique de raison 1
5et de premier terme u1à préciser.
(b) Exprimer unen fonction de n, puis en déduire l’expression de pnen fonction de n.
(c) Déterminer la limite de pn.
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1
4.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2
près.
(c) Déterminer l’espérance de X.
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2. Le joueur doit payer 30 AC pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 AC.
(a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
(b) Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 AC. Le résultat sera
arrondi à 10−5près.
Exercice 2
On considère la suite numérique (vn)définie pour tout entier naturel npar
v0=1
vn+1=9
6−vn
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel ndonné, tous les termes de la suite,
du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No1 Algorithme No2 Algorithme No3
Variables : Variables : Variables :
vest un réel vest un réel vest un réel
iet nsont des entiers naturels iet nsont des entiers naturels iet nsont des entiers naturels
Début de l’algorithme : Début de l’algorithme : Début de l’algorithme :
Lire nLire nLire n
vprend la valeur 1 Pour ivariant de 1 à nfaire vprend la valeur 1
Pour ivariant de 1 à nfaire vprend la valeur 1 Pour ivariant de 1 à nfaire
vprend la valeur 9
6−vAfficher vAfficher v
Fin pour vprend la valeur 9
6−vvprend la valeur 9 6−v
Afficher vFin pour Fin pour
Afficher v
Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme
2. Pour n=10 on obtient l’affichage suivant :
1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714
Pour n=100, les derniers termes affichés sont :
2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn)?
3. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 <vn<3.
(b) Démontrer que, pour tout entier naturel n,vn+1−vn=(3−vn)2
6−vn
.
La suite (vn)est-elle monotone ?
(c) Démontrer que la suite (vn)est convergente.
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Partie B Recherche de la limite de la suite (vn)
On considère la suite (wn)définie pour tout nentier naturel par
wn=1
vn−3.
1. Démontrer que (wn)est une suite arithmétique de raison −1
3.
2. En déduire l’expression de (wn), puis celle de (vn)en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite (vn).
Exercice 3
On considère la fonction fpar
f(x)=(2x+1)5
x+1.
1. Déterminer en justifiant, l’ensemble de définition de la fonction f.
2. On admet à cette question que fest définie sur I=]− ∞;−1[∪]−1;+∞[.
(a) Montrer que la fonction fest une primitive sur Ide la fonction gdéfinie sur Ipar
g(x)=(2x+1)4(8x+9)
(x+1)2.
(b) En déduire le tableau de variation de la fonction f.
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