Classe de terminale 10 Vendredi 1er octobre 2010 Devoir de spécialité mathématiques n°1 Exercice 1 : (12 points) 1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 2010 par 27. 2. Dans toute la suite de l’exercice, 𝑛 désigne un entier naturel. Vérifier que, pour tout 𝑛, 3𝑛2 + 5𝑛 + 10 = (𝑛 + 2)(3𝑛 − 1) + 12. 3. On appelle 𝑎 un diviseur positif de 3𝑛2 + 5𝑛 + 10 et 𝑛 + 2 Déduire de la question précédente les valeurs possibles de 𝑎. Est-il possible que 𝑎 soit égal à 12 ? Pour quelles valeurs de 𝑛 ? 4. À quelle condition le reste de la division euclidienne de 3𝑛2 + 5𝑛 + 10 par 𝑛 + 2 estil égal à 12 ? 5. Étudier les cas où le reste de la division de de 3𝑛2 + 5𝑛 + 10 par 𝑛 + 2 est 10 − 𝑛. 6. Que deviennent les questions 3 et 4 si 𝑛 = 25 ? Exercice 2 : (8 points) Pour chacune des affirmations suivantes, dites si elle est vraie ou fausse, avec une justification (𝑎, 𝑏, 𝑐 désignent des entiers) 1. Si 𝑎 divise 𝑏 et 𝑎 divise 𝑐, alors 𝑏 divise 𝑐 ou 𝑐 divise 𝑏. 2. La somme de deux nombres impairs est un nombre pair. 3. En divisant le carré d’un nombre impair par 4, le reste est toujours 1 4. Si 𝑎 divise 𝑏𝑐, alors 𝑎 divise 𝑏 ou 𝑎 divise 𝑐. Classe de terminale 10 Vendredi 1er octobre 2010 Devoir de spécialité mathématiques n°1 Exercice 1 : (12 points) 1. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 2010 par 27. 2. Dans toute la suite de l’exercice, 𝑛 désigne un entier naturel. Vérifier que, pour tout 𝑛, 3𝑛2 + 5𝑛 + 10 = (𝑛 + 2)(3𝑛 − 1) + 12. 3. On appelle 𝑎 un diviseur positif de 3𝑛2 + 5𝑛 + 10 et 𝑛 + 2 Déduire de la question précédente les valeurs possibles de 𝑎. Est-il possible que 𝑎 soit égal à 12 ? Pour quelles valeurs de 𝑛 ? 4. À quelle condition le reste de la division euclidienne de 3𝑛2 + 5𝑛 + 10 par 𝑛 + 2 estil égal à 12 ? 5. Étudier les cas où le reste de la division de de 3𝑛2 + 5𝑛 + 10 par 𝑛 + 2 est 10 − 𝑛. 6. Que deviennent les questions 3 et 4 si 𝑛 = 25 ? Exercice 2 : (8 points) Pour chacune des affirmations suivantes, dites si elle est vraie ou fausse, avec une justification (𝑎, 𝑏, 𝑐 désignent des entiers) 1. Si 𝑎 divise 𝑏 et 𝑎 divise 𝑐, alors 𝑏 divise 𝑐 ou 𝑐 divise 𝑏. 2. La somme de deux nombres impairs est un nombre pair. 3. En divisant le carré d’un nombre impair par 4, le reste est toujours 1 4. Si 𝑎 divise 𝑏𝑐, alors 𝑎 divise 𝑏 ou 𝑎 divise 𝑐.