Cours de Calcul Matriciel

Cours de Calcul Matriciel
Yann Mor`ere
Mai 2001

Contents
1 G´en´eralit´es 1
1.1 D´efinitions....................................... 1
1.2 Exemples ....................................... 1
1.3 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 ´ Egalit´e..................................... 2
1.3.2 Somme..................................... 2
1.3.3 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.4 Multiplication................................. 3
1.3.5 Transpos´ee d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.6 D´erivation................................... 4
1.3.7 Int´egration .................................. 4
1.3.8 Tranconjug´ee ................................. 4
1.3.9 Trace d’une matrice A(m×n)= (aij ) ..................... 4
1.3.10 Matrice d´ecompos´ees en blocs (ou partitionnement) . . . . . . . . . . . . 4
2 Op´erations ´el´ementaires, application aux ´equations lin´eaires 7
2.1 Matrices ´echelonn´ees et canonique ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Algorithme de passage `a la forme ´echelonn´ee . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Algorithme de passage d’une forme echelonn´ee `a une forme canonique ligne 8
2.2 Syst`eme d’´equations lin´eaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Espaces vectoriels 13
3.1 D´ependance et Ind´ependance Lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 ´ Equation lin´eaire, matrices et espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i

4 Matrices Carr´ees 17
4.1 Matricescarr´ees.................................... 17
4.2 Matricesparticuli`eres................................. 17
4.2.1 MatriceUnit´e................................. 17
4.2.2 Matricediagonale............................... 17
4.2.3 Puissance et polynˆome de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.4 Matrices inversibles ou non singuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.5 Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.6 Matricesym´etrique.............................. 18
4.2.7 Matrice anti-sym´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.8 Matriceorthogonale ............................. 18
4.2.9 Matricenormale ............................... 18
4.2.10 Matricehermitienne ............................. 18
4.2.11 Matrice anti-hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.12 Matriceunitaire................................ 19
4.2.13 Matricenormale ............................... 19
4.3 Matrices´el´ementaires................................. 19
4.4 Equivalence entre matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4.1 Equivalence entre deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 D´eterminants 25
5.1 Propri´et´es ....................................... 25
5.2 Applications...................................... 27
5.2.1 Inversed’unematrice............................. 27
5.2.2 R´esolution d’un syst`eme d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Inversions Matricielles 31
6.1 D´efinitions et Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7´ Equation caract´eristique d’une matrice 35
7.1 D´efinitions,propri´et´es ................................ 35
8 Matrices semblables 39
8.1 D´efinitions et Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.2 Matricesdiagonales.................................. 39
8.3 Matrices sym´etriques r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ii

9 Formes quadratiques 43
9.1 D´efinitionetpropri´et´es................................ 43
9.2 Formequadratique .................................. 43
10 Syst`emes diff´erenciels 49
10.1 Propri´et´es et D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10.2Casscalaire ...................................... 49
10.3Casmatriciel ..................................... 49
10.4 ´ Evaluation de eAt ................................... 50
10.4.1 Calculnum´erique............................... 50
10.4.2 Adiagonale .................................. 50
10.4.3 Utilisation de la formule de Sylverster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11 Quelques extras 53
11.1FormedeJordan ................................... 53
11.2Matricecompagne .................................. 54
iii