Tutoriel Mathematica – Quelques applications

Éric Gaul, Dominic Boire, Issa Lizon
2010-03-04
Tutoriel Mathematica – Quelques applications
Pour cette dernière partie de théorie sur Mathematica, nous traiterons principalement du calcul
différentiel et intégral ainsi que de la résolution de systèmes d’équations linéaires.
Calcul de dérivée
Dans vos cours de calculs vous avez tous fait les calculs de dérivées en utilisant la définition,
c’est-à-dire avec les limites. Vous verrez plus tard (si ce n’est déjà fait) des techniques
permettant d’accélérer le travail. Cependant, même avec ces méthodes, il peut arriver que les
dérivées prennent un temps fou à calculer. Mathematica pour sa part permettra de vous
rendre la vie beaucoup plus facile.
La syntaxe de base pour effectuer la dérivée ne en Mathematica est la suivante :
D[fonction_à_dériver, {variable, n}]
Exemple
In[1] :=D[Sin[x],x]
Out[1] : Cos[x]
7
La dérivée première de Sin[x]
3
In[2] :=D[x -3x -7,{x,3}]
4
Out[2] : -18+210x
7
3
La dérivée troisième de x -3x -7
Une autre façon de trouver la derivée d’une fonction consiste à définir la fonction (par exemple
f) et d’utiliser les notations f ’, f ’’, f ’’’, ….
Exemple
12
In[3] :=f[x_] :=x +13x
9
In[4] := {f'[x], f''[x], f'''[x]} Les 3 premières dérivées de f[x]. Ici on demande la réponse sous forme de liste.
11
8
10
7
9
6
Out[4] : {12x + 117x , 132x + 936x , 1320x + 6552x } Les trois dérivées sous forme de liste.
Calcul d’intégrales
La suite du cours de calcul différentiel que vous êtes probablement en train de faire est le
cours de calcul intégral. Après avoir maîtrisé les diverses techniques de dérivation vous aurez
la chance de découvrir ce qu’est une intégrale. Sans trop élaborer sur le sujet, disons
seulement qu’une intégrale permet de prendre une dérivée de fonction et de retrouver la
fonction de départ avant dérivation. On la note de la façon suivante :
௕
‫ = )ݔ(ܨ‬න ݃(‫ ݔ݀ )ݔ‬ou encore ‫ )ܾ(ܨ‬− ‫ = )ܽ(ܨ‬න ݃(‫ݔ݀ )ݔ‬
௔
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La première représente une intégrale non-définie (une fonction de x qu’on appelle une
primitive de g(x)) tandis que l’autre représente une intégrale définie (un nombre) sur un
intervalle ]a,b[.
On se souvient que sur une courbe, la pente de la tangente en un point représente la dérivée
en ce point. Dans le cas d’une intégrale, le fait d’intégrer une fonction nous donne l’aire sous
la courbe de celle-ci et lorsque nous avons une intégrale définie, on trouvera l’aire de la
surface sous la courbe dans l’intervalle ]a,b[.
Avec Mathematica, pour utiliser l’intégrale nous pouvons utiliser la fonction (archaïque)
suivante :
Integrate[fonction_à_intégrer, variable] ou encore Integrate[fonction_à_intégrer, {variable, a, b}]
Exemples
7
3
In[1] :=D[x -3x ,x]
6
2
Out[2] : 7x -9x
7
3
6
2
La dérivée première de x -3x
6
2
6
2
In[1] :=Integrate[7x -9x ,x]
7
3
Out[2] : x -3x
L’intégrale de 7x -9x
In[1] :=Integrate[7x -9x ,{x,2,9}]
Out[2] : 4780678
6
2
L’intégrale de 7x -9x sur l’intervalle ]2, 9[
En fait, la fonction Integrate écrite sous cette forme est utile pour qui veut obtenir des
informations Mathematica supplémentaires sur les options de l’intégration. Mais, pour calculer
une intégrale en Mathematica il est beaucoup plus agréable d’utiliser les opérateurs défini et
indéfini d’intégration suivants :
Défini :
∫
Indéfini :
∫
d
d
que l’on peut trouver dans la « palette » nommée Basic Math Assistant de l’onglet Palettes
de la barre des menus de Mathematica. Le premier carré représente la fonction à intégrer et le
carré suivant le « d », la variable d’intégration, qui doit être spécifiée. Attention, il est de loin
préférable de mettre la fonction à intégrer entre parenthèses, sous peine de voir d’étranges
phénomènes arriver. Les petits carrés de l’intégrale indéfinie sont les bornes inférieure (a- en
bas) et supérieure (b- en haut) de l’intégrale sur l’intervalle ]a, b[ . Par exemple, les trois
calculs précédents se réécrivent ainsi (un copier-coller de Mathematica):
In[1] := ∫ (7‫^ݔ‬6 − 9‫^ݔ‬2) d‫ݔ‬
Out[1] := −3‫ ݔ‬ଷ + ‫଻ ݔ‬
‡ H7 x^6 − 9 x^2L x
9
In[2] :=
2
Out[2] := 4780678
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Les systèmes d’équations linéaires
Supposons que nous ayons les équations suivantes :
2x + 3y −4z =12
5x −12y + 6z = −32
7x +19 y −12z =78
Si nous voulons trouver les valeurs de x, y et z qui satisfont aux trois équations nous pouvons
nous servir de la fonction Solve de Mathematica.
Exemple
In[1] := Solve[{2x+3y-4z==12,5x-12y+6z==-32,7x+19y-12z==78}]
Out[2] : {{xØ2,yØ4,zØ1}}
De façon générale, nous n’avons qu’à utiliser la commande suivante :
Solve[{Équation1, Équation2, Équation3, …}]
Il est à noter que les équations doivent être situées à l’intérieur des accolades et tous
séparées par des virgules.
La fonction Solve mérite qu’on l’étudie. Elle ne fait pas que résoudre des systèmes
d’équations linéaires et peut s’attaquer à la résolution d’équation ou de systèmes d’équations
beaucoup plus sophistiqués que des systèmes linéaires. Notamment on peut trouver les
racines des équations quadratiques, cubiques, quartiques.
Exemples
In[1] := Solve[x^2-4 == 0]
Out[1] := {{x→-2},{x→2}}
In[2] := Solve[x^3+4 0]
2/3
2/3
1/3 2/3
Out[2] := {{x→-(-2) },{x→-2 },{x→(-1) 2 }}
Médiagraphie
TORRENCE Bruce F. et TORRENCE Eve A., The Student’s Introduction to Mathematica. A handbook for
precalculus, calculus and linear algebra., Cambridge University Press, 1999
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