Espaces vectoriels (II) - MPSI Saint

MPSI Lyc´ ee Rabelais Semaine du 12 aoˆut 2011
Espaces vectoriels (II)
Images et noyaux d’applications lin´eaires
Exercice 1:Soit f:R3→R2d´efinie par
∀(x, y,z)∈R3,f(x, y,z)=(2x−y,y+z)
1. Montrez quefest une application lin´eaire.
2. D´eterminez le noyau etl’image de f.fest-elle injective?surjective?
Exercice 2:
1. D´emontrez qu’il existe une application lin´eaire f:R3→R2,unique telle que
f(1,0,0) =(0,1),f(1,1,0) =(1,0),f(1,1,1) =(1,1)
2. Explicitez pour tout triplet (x, y,z)∈R3,f(x, y,z).
3. D´eterminez l’image et le noyau de f.fest-elle injective?surjective?
Exercice 3:Soit E=R5et Bsa base canonique. On consid`ere l’endomorphisme
fde Ecanoniquementassoci´e`a la matrice Aci-dessous.
1. D´eterminez des bases de Im fet Ker f.
2. Montrez que:E=Im f⊕Ker f.
3. fest-il un projecteur ?
A=
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
Exercice 4:Soit n∈N⋆.On consid`ere l’application f:Cn[X]→Cn[X]qui `a tout
polynˆome P∈Cn[X]associe le polynˆome f(P)tel que f(P)(X)=XP′−P
1. Montrez quefest lin´eaire.
2. D´eterminez Ker fet Im f.
Exercice 5:Soit E=R2[X]et f:E→Equi `a tout polynˆome P∈Eassocie le
polynˆome f(P)tel que f(P)(X)=P(X+1) +P(X−1) −2P(X).
1. Montrez quefest lin´eaire.
2. D´eterminez sonnoyau etson image.
Exercice 6:Soit E=C∞(R,R)et ϕ:E→El’application d´efinie par ∀y∈E,
ϕ(y)=y′′ −4y′+3y
1. Montrez que ϕest un endomorphisme de E.
2. D´eterminez son noyau. ϕest-il injectif ?
Exercice 7:Soit E=C0(R,R)et ϕl’application d´efinie sur Equi `a toute fonction
f∈Eassocie la fonction g:R→R,d´efinie par
∀x∈R,g(x)=Zx
0
tf(t)dt
1. Montrez queϕest un endomorphisme de E.
2. Est-il injectif, surjectif ?
Formes lin´eaires
Exercice 8:Trace d’une matrice
Etantdonn´ee une matrice carr´ee A∈Mn(K), on d´efinit la trace de Acomme la
somme des´el´ements diagonauxde A:
Tr(A)=
n
X
i=1
ai,i
1. Montrez que l’application Tr:Mn(K)→Kest une forme lin´eaire sur Mn(K).
2. D´emontrez que pour toutes matrices carr´ees Aet Bd’ordre n,on a:
Tr(A×B)=Tr(B×A).
3. En d´eduire qu’il n’existe pas de matrices Aet Btelles que A×B−B×A=In
Exercice 9:Soit E=C([0,1],R). On d´efinit J:E→Rpar
∀f∈E,J(f)=Z1
0
f(t)dt.
Montrez que Jest une forme lin´eaire sur E.
Exercice 10 :Soit E=C([0,1],R). On consid`ere l’application appel´ee fonctionnelle
de Diracδ:E→R
f7→ f(0)
1. Montrez queδest une forme lin´eaire sur E.
2. Les sous-ensembles {f∈E|f(0) =0},{f∈E|f(0) =1}de Esont-ils des
sous-espaces vectoriels de E?
Exercice 11 :Soit E=R3[X]. Soit F={P∈E|P(1) =P′(2) =0}.Montrez que
Fest un sous-espace vectoriel de Eet donnez-en une base.
1

Exercice 12 :Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel tel que pour tout
~x∈E,la famille ~x, f(~x)est li´ee.
Montrez que fest l’application nulle ou une homoth´etie vectorielle.
Isomorphismes et automorphismes
Exercice 13 :Soit E=Rn[X]. On consid`ere T:E→El’application qui `a tout
polynˆome P∈Eassocie le polynˆome Qd´efini par Q(X)=P(X+1). Montrez que
Test un automorphisme de E.
Exercice 14 :Soit n∈N⋆un entier naturel non nul et D:Rn[X]→Rn[X]
l’application qui `a tout polynˆome associe son polynˆome d´eriv´e.
1. Montrez queDest un endomorphisme de Rn[X].
2. Consid´erons l’application Γl’application de Rn[X]dans lui-mˆeme d´efinie par
Γ=IdR[X]+D+D2+· · · +Dn.
Montrez que Γest un automorphisme de Rn[X]et d´eterminez son isomor-
phisme r´eciproque.
Exercice 15 :Soit Eun K-e.v. et f∈L(E)un endomorphisme de Ev´erifiant
f2−3f+2IdE=0L(E)
1. Montrez que fest un automorphisme et exprimez f−1comme polynˆome de f.
2. Montrez que Ker (f−Id)et Ker (f−2Id)sontdes sev suppl´ementaires de E:
E=Ker (f−Id)⊕Ker (f−2Id)
Projecteurs et sym´etries
Exercice 16 :Soit p:R2→R2l’application d´efinie par
∀(x, y)∈R2,p(x, y)=(4x−6y,2x−3y)
1. Montrez que pest lin´eaire.
2. Calculez p◦p.En d´eduire que pest un projecteur.
3. D´eterminez une base de Ker pet de Im p.
Exercice 17 :Soit ~v=(v1,v2,v3)∈R3un vecteur de R3v´erifiantv1+v2+v3=1.
On consid`ere l’application Φ:R3→R3d´efinie par :
∀~x=(x1,x2,x3)∈R3,Φ(~x)=~x−(x1+x2+x3)·~v
1. Montrez queΦest un endomorphisme de R3.
2. D´emontrez que Φest un projecteur.
3. Pr´ecisez les ´el´ements caract´eristiques de Φ.
Exercice 18 :Soientpet qdeux projecteurs d’un K-espace vectoriel E.
1. Montrez que p+qest un projecteur si et seulement si p◦q=q◦p=0.
2. Supposons que p+qsoit un projecteur, montrez que
Ker p+q=Ker p∩Ker qet Im p+q=Im p⊕Im q.
Endomorphismes
Exercice 19 :Soit Eun K-espace vectoriel et f∈L(E)un endomorphisme de E
v´erifiantpour un entier p∈N⋆
fp=0et fp−16=0.
Montrez qu’il existe un vecteur ~x∈Etel que la famille {~x, f(~x),...,fp−1(~x)}soit
libre.
Exercice 20 :Soit Eun K-espace vectoriel et f∈L(E)un endomorphisme de E
v´erifiantla relation f3=−f.Montrez que
E=Ker f⊕Im f.
Exercice 21 :Soientfet gdeux endomorphismesd’un espace vectoriel Equi
commutent. Montrez que Im fet Ker fsontstables par g.
Exercice 22 :Soientfet gdeux endomorphismes d’un espace vectoriel E.
1. Comparez Ker f∩Ker get Ker (f+g), Im (f+g)et Im f+Im g.
2. Comparez Ker fet Ker f2,Im fet Im f2.
Exercice 23 :Soit fun endomorphisme d’unespace vectorielE.Montrez que
Im f∩Ker f={~ 0E}⇐⇒ Ker f=Ker f2et E=Im f+Ker f⇐⇒ Im f=Im f2
Miscellaneous
Exercice 24 :Soit Eun K-espace vectoriel et f∈L(E)un endomorphisme de E
v´erifiantla relation
f3+2f2−f−2IdE=0.
D´emontrez que pour tout vecteur ~xde E, il existe un triplet (~a,~ b,~c), unique tel que
•~a∈Ker (f−IdE)
•~ b∈Ker (f+IdE)
•~c∈Ker (f+2IdE)
•~x=~a+~ b+~c
On notera :E=Ker (f−IdE)⊕Ker (f+IdE)⊕Ker (f+2IdE)
2

Correction des exercices
Exercice 1.— 1. fest l’application lin´eaire canoniquementassoci´ee `a la ma-
trice
A=2−1 0
0 1 1 
2. Im fest le sev engendr´epar les vecteurs canoniquementassoci´es aux colonnes
de AIm f=Vect R(2,0),(−1,1),(0,1)=Vect (1,0),(0,1)=R2.
Ker fest l’ensemble des solutions du syst`eme d’´equations lin´eaires homog`ene,
(S0)A×X=0. Or en r´esolvantpar remont´ee, on obtientais´ementKer f=
{(−z/2,−z,z),z∈R}=Vect {(−1,−2,2)}.
3. Comme Im f=R2,fest surjective, comme Ker f6={0R3},fn’est pas injec-
tive. N
Exercice 2.— 1. 2. La d´emonstration sera par analyse-synth`ese.
•Analyse :supposons qu’une telle application lin´eaire f:R3→R2existe.
Remarquons tout d’abord que les vecteurs ~u=(1,0,0),~v=(1,1,0),~w=
(1,1,1) formentune base de R3.Pour le prouver, utilisons la caract´erisation
des bases :
Soit (x, y,z)∈R3,montrons qu’il existe un unique triplet (λ1,λ2,λ3)∈R3
tel que
(1) λ1·(1,0,0) +λ2·(1,1,0) +λ3·(1,1,1) =(x, y,z)
Cette ´equation vectorielle se traduit enidentifiantles coordonn´ees dans la
base can de R3par le syst`eme triangulaire `a coefficients diagonauxnon nuls :
(1) ⇐⇒ 
λ1+λ2+λ3=x
λ2+λ3=y
λ3=z
⇐⇒ 
λ1=x−y
λ2=y−z
λ3=z
Ce syst`eme admet une unique solution. Par cons´equent, la famille ~u, ~v,~w
est une base de R3.D’apr`es le Lemme fondamental,fest enti`erementet
uniquementd´etermin´ee par la donn´ee de f(~u),f(~v),f(~w). De plus, pour tout
vecteur (x, y,z)∈R3,(x, y,z)se d´ecompose dans la base (~u, ~v,~w):
(x, y,z)=(x−y)·~u+(y−z)·~v+z·~w
Par lin´earit´ede f, il en r´esulte que
f(x, y,z)=(x−y)·f(~u)+(y−z)·f(~v)+z·f(~w)
=(x−y)·(0,1) +(y−z)·(1,0) +z·(1,1)
=(y−z+z,x−y+z)=(y,x−y+z)
Ainsi, fest l’application lin´eaire canoniquementassoci´ee `a la matrice
A=0 1 0
1−1 1 
•Synth`ese :R´eciproquement, on v´erifie ais´ementque l’applicationlin´eaire
canoniquementassoci´ee `a Av´erifie f(1,0,0) =(0,1),f(1,1,0) =
(1,0),f(1,1,1) =(1,1).
3. Im fest le sev de R2engendr´epar les vecteurs canoniquementassoci´es aux co-
lonnes de A.Donc Im f=Vect {(0,1),(1,−1),(0,1)}=Vect {(0,1),(1,0)}=
R2.Par cons´equentfest surjective.
Ker fest l’ens des solutions du syst`eme d’´equations lin´eaire homog`ene (S0)
A×X=0.
y=0
x−y+z=0⇐⇒ x=−z
y=0
Par cons´equent, Ker f={(−z,0,z),z∈R}=Vect R{(−1,0,1)}.Enparticu-
lier, Ker fn’´etantpas r´eduit `a {~ 0},fn’est pas injective. N
Exercice 3.— 1. Im fest le sev de R5engendr´epar les vecteurs canoniquement
associ´es aux colonnes de A.Notons ~u1=(1,1,1,1,1) et ~u2=(1,0,0,0,1). De
sorte que Im f=Vect (~u1,~u2). Ker fest l’esnmble des solutions du syst`eme
d’´equations lin´eaires homog`ene A×X=0. Gauss’ algorithm then yields
Ker f=Vect (~u3,~u4,~u5),
o`u~u3=(−1,0,0,0,1),~u4=(0,−1,1,0,0),~u5=(0,−1,0,1,0)
2. Montrer que (~u1,~u2,~u3,~u4,~u5)est une base de E.Conclure.
3. Calculer par exemple f(0,1,0,0,0) et f◦f(0,1,0,0,0). N
Exercice 4.— 1. Utiliser la d´efinition. Soit (λ1,λ2)∈C2et (P1,P2)∈E2.
Alors
f(λ1P1+λ2P2)=X×(λ1P1+λ2P2)′−(λ1P1+λ2P2)
=λ1X×P1−P1+λ2X×P2−P2
=λ1f(P1)+λ2f(P2)
2. Pour d´eterminer l’image de f,se rappeler qu’elle est engendr´ee par les images
des vectuers d’une base de E.
En prenantcomme base, B={1,X, . . . , Xn}la base canonique de Cn[X], on
obtientque
Im f=Vect {1,X2,X3,...,Xn}
Pour d´eterminer le noyau de f, il s’agit de r´esoudre dans El’´equation
(1) XP′=P
En raisonnantsur les degr´es, montrez que Ker f⊂C1[X]. Puis montrer que
Ker f=Vect {X}.N
3

Exercice 5.— 1. Par la d´efinition. Soit (λ1,λ2)∈R2,(P1,P2)∈E2.Calculer
f(λ1P1+λ2P2). Collecter en λ1et λ2.Then you’redone !
2. Pour d´eterminer l’image de f,se rappeler qu’elle est engendr´ee par lesimges
des vecteurs d’une base. Soit B={1,X,X2}la base canonique de R2[X].
f(1) =1+1−2=0
f(X)=X+1+X−1−2X=0
f(X2)=(X+1)2+(X−1)2−2X2=2
Par cons´equentIm f=Vect R{2}=R0[X]. Pour d´eterminer Ker f,r´esoudre
f(P)=0, avec P(X)=aX2+bX +c.N
Exercice 6.— 1. Par la d´efinition, ou bien par op´erations sur des endomor-
phismes de E:D:E→El’application d´efinie par D(f)=f′.Dest un
endomorphisme de E,et ϕ=D2−4D+3IdEest un polynˆome de D.
2. Pour d´eterminer Ker ϕ,r´esoudre dans El’´equation ϕ(f)=0. Il s’agit
d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 2 `a coefficients constants. Apr`es
r´esolution, on obtientque
Ker ϕ=Vect {f1,f3}
o`uf1(x)=exet f3=e3x.En particulier Ker ϕn’est pas r´eduit `a {~ 0E},ϕ
n’est donc pas injectif. N
Exercice 7.— 1. Montrons que ϕest lin´eaire. Soit (λ1,λ2)∈R2,(f1,f2)∈E2.
Alors pour tout x∈R,on a
ϕ(λ1f1+λ2f2)=Zx
0
tλ1f1(t)+λ2f2(t)dt
=λ1Zx
0
tf1(t)dt +λ2Zx
0
tf2(t)dt
=λ1ϕ(f1)(x)+λ2ϕ(f2)(x)
Ainsi, ϕ(λ1f1+λ2f2)=λ1ϕ(f1)(x)+λ2ϕ(f2)(x). Ceci ´etantvrai pour tout
x∈R,nous avons prouv´eque
ϕ(λ1f1+λ2f2)=λ1ϕ(f1)+λ2ϕ(f2)
Montrons que ϕ∈L(E). Soit f∈Eune fonction continue de Rvers R.Alors,
la fonction h:x7→ xf(x)est continue par OPA. D’apr`es le th´eor`eme fonda-
mental du calcul int´egral, ϕ(f)est l’unique primitivede hsur Rqui s’annule
en 0. En particulier, ϕest d´erivable et donc continue sur R.
2. Pour savoir si ϕest injectif, on d´etermine son noyau. Il s’agit de r´esoudre
dans El’´equation vectorielle
(1) ϕ(f)=0
Cette ´equation se traduit par la propri´et´euniverselle :
(1) ∀x∈R,Zx
0
tf(t)dt =0
Autrementdit, l’unique primitivesur Rde h:x7→ xf(x)qui s’annule en
0est la fonction constante ´egale `a 0. En d´erivant, il s’ensuit que ∀x∈R,
x×f(x)=0. Il en r´esulte tout d’abord que ∀x∈R⋆,f(x)=0. Puis en utili-
santla continuit´ede f,que f(0) =0. Ainsi, Ker ϕ)={~ 0E}.Par cons´equent,
ϕest injectif.
En revanche, comme nous l’avonsremarqu´e, ϕest `a valeurs dansC1(R,R).
D’o`u
Im ϕ⊂C1(R,R)(E
Par cons´equentIm ϕ6=E,ϕn’est donc pas surjectif. N
Exercice 8.— 1. Il est clair que pour toute matrice A∈Mn(K), Tr(A)∈K.
Montrons que Trest lin´eaire. Soit (λ, µ)∈K2et (A, B)∈Mn(K)2.Alors
Tr(λ·A+µ·B)=
n
X
i=1 λ·A+µ·Bi,i =
n
X
i=1
λai,i +
n
X
i=1
µbi,i
=λ
n
X
i=1
ai,i +µ
n
X
i=1
bi,i =λTr(A)+µTr(B).
2. Soit (A, B)∈Mn(K)2.Par d´efinition du produit matriciel, pour tout
(i, j)∈[[1,n]]2,on a
(A×B)i,j =
n
X
k=1
ai,k bk,j
En particulier, ∀i∈[[1,n]], (A×B)i,i =Pn
k=1 ai,k bk,i.Ainsi,
Tr(A×B)=
n
X
i=1
(A×B)i,i =
n
X
i=1
n
X
k=1
ai,k bk,i
=
n
X
k=1
n
X
i=1
bk,i ai,k =
n
X
k=1
(B×A)k,k =Tr(B×A).
3. Par l’absurde. Supposons au contraireque (A, B)∈Mn(K)2v´erifie A×B−
B×A=In.Par lin´earit´ede la trace, il s’ensuit que Tr(A×B)−Tr(B×A)=
Tr(In). D’apr`es la question pr´ec´edente, il en d´ecoule que 0=n.Ce qui est
absurde,vu que n∈N⋆.N
Exercice 9.— c’est du cours N
Exercice 10 .— 1. Iδest bien d´efinie `a valeurs dans R.Pour d´emontrer que δ
est lin´eaire, utiliser la d´efinition. Soit λ1,λ2)∈R2,(f1,f2)∈E2. . . .
4

2. {f∈E|f(0) =0}={f∈E|δ(f)=0}=Ker δ.En particulier, c’estun s.e.v
de E.En revanche {f∈E|f(0) =1}ne contientpas la fonction nulle. Ce
n’est donc pas un sev de E.N
Exercice 11 .— Comme l’´enonc´edemande unebase de F,je ne prouvepas d’abord
que Fest un s.e.v. Soit P=aX3+bX2+cX +d∈E.Pappartient`a Fsi et
seulementsi ses coordonn´ees (d, c, b, a)dans la base canonique de R3[X]v´erifient
d+c+b+a=0
c+4b+12a=0
En r´esolvantce syst`eme par remont´ee, on obtient
F=Vect R{X3−12X+11,X2−4X+3}
Ainsi, Fest le sous-espace vectoriel engendr´epar les polynˆomes A=X3−12X+11
et B=X2−4X+3. En particulier, il s’agit bien d’un sev.
Par construction la famille (A, B)est g´en´eratrice de F.Comme elle est de plus
´etag´ee (cf TD 25) en degr´es, elle est libre. C’est donc une base de E.N
Exercice 12 .— 1. Montrer tout d’abord que pour tout ~x∈Enon nul, il existe
un scalaire λx∈K,unique, telque f(~x)=λx·~x.
2. Montrons que l’application λ:E\ {0}→Kest constante. Pour cela, soit
(~x, ~y)∈Eun couple de vecteurs non nuls. Montrons que λx=λy.Pour cela,
il convientde distinguer que (~x, ~y)est libre ou pas.
(a) si (~x, ~y)est libre. En ce cas, en utilisantla lin´earit´ede f,nous avons
f(~x+~y)=λ~x+~y·(~x+~y)=λx+y·~x+λx+y·~y
f(~x+~y)=f(~x)+f(~y)=λx·~x+λy·~y
Par soustraction, il s’ensuit que
λx+y−λx·~x+λx+y−λy·~y=~
0E
l’´egalit´eci-dessus n’est possible que si les coefficientsde cette C-L sont
nuls. Il s’ensuit que λx=λy.
(b) Si ~xet ~ysontli´es, comme ils sontnon nuls, il existe une scalaire µ∈K⋆
tel que ~y=µ·x.Par cons´equent
f(~y)=λy·~y=(µλy)·~x
=f(µx)=(µλx)·~x
Il s’ensuit encore que λx=λy.
Conclusion, dans tous les cas, λx=λy.N
Exercice 14 .— 1. c’est du cours
2. penser `a l’identit´eg´eom´etrique, puis aux endomorphismes nilpotents. N
Exercice 15 .— 1. Isoler IdEpuis factoriser `a droite et `a gauche par f.
2. Soit ~x∈E.Montrons par analyse-synth`ese qu’il existe un couple, (~x1,~x2)∈
E×E,unique tel que
•~x=~x1+~x2
•~x1∈Ker (f−Id)
•~x2∈Ker f−2Id
(a) Analyse :supposons qu’un tel couple existe, alors f(~x1)=vecx1et
f(~x2)=2·~x2.Il s’ensuit
~x=~x1+~x2
f(~x)=~x1+2·~x2
Par cons´equent
~x1=2·~x−f(~x)
~x2=f(~x)−~x
(b) Synth`ese :v´erifier `a l’aide de larelation polynomiale f2−3f+2IdE
que ~x1et ~x2ainsi construits satisfontles troispropri´et´es voulues.
Ainsi, tout vecteur ~xse d´ecompose de fa¸con unique en la somme d’un vecteur
de Ker (f−IdE)et d’un vecteur de Ker (f−2IdE). Par d´efinition, cela signifie
que E=Ker (f−Id)⊕Ker (f−2Id). De plus, les endomorphismes 2IdE−f
et f−IdEsontles projecteursassoci´es. N
Exercice 17 .— 1. soit (λ, µ)∈R2,(~x, ~y)∈R2.
Φ(λ·~x+µ·~y)=λ·~x+µ·~y−λx1+µy1+λx2+µy2+λx3+µy3·~v
=λ~x+(x1+x2+x3)·~v+~y+(y1+y2+y3)·~v
=λ·Φ(~x)+µ·Φ(~y).
2. Soit ~x∈R3.Alors, en utilisantla lin´earit´ede Φ, on a
Φ◦Φ(~x)=Φ~x−(x1+x2+x3)·~v
=Φ(~x)−(x1+x2+x3)·Φ(~v)
Comme Φ(~v)=~v−1·~v=~ 0, il s’ensuitque Φ◦Φ(~x)=Φ(~x). Ceci ´etantvrai
pour tout vecteur ~x∈R3,on abien Φ◦Φ=Φ.
3. Φest la projection de R3sur Im Φparall`element`a Ker Φ.
(a) D´eterminons l’image de Φ. Comme Φest un projecteur c’est l’ensemble
des points invariants par Φ. Soit ~x∈E
~x∈Im Φ⇐⇒ Φ(~x)=~x
⇐⇒ x1+x2+x3=0
Par cons´equentIm Φest l’hyperplan (le plan ici) Pd’´equation cart´esienne
x1+x2+x3=0.
5