Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés
Géométrie
Exercice 1. Unicité du centre et du rayon d’une boule
Soit Eun evn non nul et a, a0∈E,r, r0>0 tels que B(a, r) = B(a0, r0). Montrer que a=a0et r=r0.
Exercice 2. x+y+z= 0
Soient x, y, z trois vecteurs d’un evn Etels que x+y+z= 0.
Montrer que : kx−yk+ky−zk+kz−xk>3
2(kxk+kyk+kzk).
Exercice 3. Médiatrice
Dans R2on considère les points O= (0,0) et A= (1,2). Pour chacune des trois normes classiques,
déterminer l’ensemble des points X= (x, y) équidistants de Oet A.
Exercice 4. Une boule est convexe
Soit Eun evn, a∈E,r > 0. On note B=B(a, r) et ˚ B=˚ B(a, r).
1) Montrer que Bet ˚ Bsont convexes.
2) Si la norme est euclidienne, montrer que si u, v ∈Bavec u6=v, alors ]u, v[⊂˚ B.
(]u, v[= {(1 −t)u+tv tq t∈]0,1[})
3) En déduire que si la norme est euclidienne, toute partie Atelle que ˚ B⊂A⊂Best convexe.
4) Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne.
Exercice 5. Distance à un ensemble
Soit Eun evn et A⊂Eune partie non vide. Pour x∈Eon pose : d(x, A) = inf{kx−aktq a∈A}.
1) Montrer que : ∀x, y ∈E,|d(x, A)−d(y, A)|6kx−yk.
2) Montrer que l’application x7→ d(x, A) est continue.
Exercice 6. Distance à un ensemble (ENS Cachan MP 2002)
Soit Aune partie de Rnnon vide. On note pour x∈Rn:dA(x) = inf{kx−yktq y∈A}.
1) Montrer que dAest continue.
2) Soient deux parties de Rnnon vides A, B. Donner une condition équivalente à dA=dB.
3) On note ρ(A, B) = sup{|dA(y)−dB(y)|,y∈Rn}, valant éventuellement +∞.
Montrer que l’on a ρ(A, B) = maxsup
x∈A
dB(x),sup
x∈B
dA(x).
Exercice 7. Distance entre un fermé et un compact
Soient A, B deux parties compactes non vides de Rn.
Montrer qu’il existe a∈Aet b∈Btels que ka−bk= min{kx−yktq x∈A,y∈B}.
Montrer que ceci est encore vrai si on suppose Acompact et Bfermé.
Exercice 8. Diamètre
Soit Eun evn de dimension finie et A⊂Eborné, fermé, non vide. Montrer qu’il existe a, b ∈Atels que
ka−bk= max(kx−yktq x, y ∈A) (considérer l’ensemble A×Adans l’evn E×E).
Exercice 9. Diamètres concourants (Ens Ulm MP∗2003)
1) Soit Kun compact convexe de R2d’intérieur non vide. Soit O∈˚ K. Montrer qu’il existe une
fonction f:R→R+continue 2π-périodique telle qu’en coordonnées polaires de centre O,Kest défini
par ρ6f(θ).
2) Soit g: [0,1] →Rcontinue telle que Rπ
x=0 g(x) cos(x) dx=Rπ x=0 g(x) sin(x) dx= 0. Montrer que g
s’annule au moins deux fois sur ]0, π[.
3) Soit Gle centre de gravité de K. Montrer que Gest le milieu d’au moins trois « diamètres » de K
(trois segments joignant deux points de la frontière).
Exercice 10. x/ max(1,kxk), Centrale MP 2005
Soit fdéfinie par f(x) = x
max(1,kxk). Montrer que fest 2-lipschitzienne.
evn.tex – vendredi 5 août 2016

Suites
Exercice 11. uncolinéaire à vn⇒lim uncolinéaire à lim vn
Soit Eun evn de dimension finie et (un), (vn) deux suites de vecteurs telles que :
∀n∈N, unest colinéaire à vn, un−→
n→∞ u, vn−→ n→∞ v.
Montrer que uet vsont colinéaires (raisonner par l’absurde et compléter (u, v) en une base de E).
Exercice 12. Suites de Cauchy
Soient (un), (vn) deux suites d’un evn Etelles que un−vn−→
n→∞ 0 et (un) est de Cauchy. Montrer que
(vn) est de Cauchy.
Exercice 13. Suite de Cauchy non convergente
Soit E=R[X] muni de la norme : kPakXkk= max(|ak|, k ∈N). On note Pn= 1+X+X2
2+. . .+Xn n.
Montrer que la suite (Pn) est de Cauchy, mais ne converge pas.
Exercice 14. termes d’une suite
Soit (un) une suite convergeant vers `et f:N→N.
1) Si fest injective, que peut-on dire de la suite (uf(n)) ?
2) Si fest surjective, que peut-on dire de la suite (uf(n)) ?
Exercice 15. Mines PC 1998
Soit Bune matrice antisymétrique. On suppose que la suite (Bn) converge vers une matrice C. Que
peut-on dire de C?
Exercice 16. Suite de matrices inversibles
Soit (An) une suite de matrices de Mp(R) vérifiant les propriétés suivantes :
1 : An−→
n→∞ A∈ Mp(R) 2 : pour tout n,Anest inversible 3 : A−1
n−→
n→∞ B∈ Mp(R).
1) Montrer que Aest inversible et A−1=B.
2) Peut-on retirer la propriété 3 ?
Exercice 17. Suite de matrices inversibles
Soit A∈ Mp(R) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant vers A.
Exercice 18. DSE de I−A
Soit A∈ Mp(R). On suppose que la suite de matrices : An=I+A+A2+. . . +Anconverge vers une
matrice B. Montrer que I−Aest inversible, et B= (I−A)−1.
Remarque : La réciproque est fausse, c’est à dire que la suite (An) peut diverger même si I−Aest
inversible ; chercher un contre-exemple.
Exercice 19. Ensam PSI 1998
Soit A∈ Mn(C) telle que la suite (Ak) converge vers une matrice P. Montrer que Pest une matrice de
projection.
Exercice 20. Suites de fonctions
Soient E=C([a, b],R), (fn) une suite de fonctions de Eet f∈E. Comparer les énoncés :
1 : kfn−fk1−→
n→∞ 0 2 : kfn−fk2−→ n→∞ 0 3 : kfn−fk∞−→ n→∞ 0.
evn.tex – page 2

Exercice 21.
On note El’espace vectoriel des suites réelles (xn) telles que la série Px2
nconverge. On le munit du
produit scalaire (x|y) = P∞
n=0 xnyn. Soit (ys) une suite bornée d’éléments de E. Montrer qu’on peut
en extraire une sous-suite convergent faiblement, c’est-à-dire qu’il existe ztelle que pour tout xde Eon
ait (x|ysk)−→
k→∞(x|z).
Exercice 22. ENS Lyon MP 2002
Soit Eun espace vectoriel normé sur Rou Cde dimension finie, et u∈ L(E) tel que pour tout x∈Ela
suite (un(x))n∈Nest bornée.
1) Montrer que la suite ( un)n∈Nest bornée.
2) Déterminer la limite quand n→ ∞ de 1
n+1 Pn
i=0 ui(x).
Normes
Exercice 23. Norme bizarre
Montrer que (x, y)7→ sup
t∈R|x+ty|
1 + t+t2est une norme sur R2; dessiner la boule unité.
Exercice 24. Normes de polynômes
Soit E=R[X]. Pour P=Pn
k=0 akXk, on pose :
kPk1=
n
X
k=0 |ak|,kPk∞= max{|a0|, . . . , |an|},kPk∗= max{|P(t)|tq 0 6t61}.
Montrer que ce sont des normes, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes
(on considèrera Pn(t) = (t−1)net Qn(t) = 1 + t+t2+. . . +tn).
Exercice 25. Norme de polynômes
Soit E=R[X]. Pour P∈Eon pose kPk= sup(|P(t)−P0(t)|tq t∈[0,1]).
Montrer qu’on définit ainsi une norme sur E.
Exercice 26. Normes de polynômes
Soit a∈R. On pose pour P∈R[X] : Na(P) = |P(a)|+R1
t=0 |P0(t)|dt. Montrer que. . .
1) Naest une norme.
2) N0et N1sont équivalentes.
3) Si a, b ∈[0,1], alors Naet Nbsont équivalentes.
4) Soit Pn= (X/2)n. Déterminer pour quelles normes Nala suite (Pn) est convergente et quelle est sa
limite.
5) Si 0 6a < b et b > 1 alors aucune des normes Na,Nbn’est plus fine que l’autre.
Exercice 27. Normes sur R[X]
Soit (λn) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur R[x] : N(Paixi) = Pλi|ai|.
Soient (λn) et (λ0
n) deux suites et N,N0les normes associées. Montrer que Net N0sont équivalentes si
et seulement si les suites (λn/λ0
n) et (λ0 n/λn) sont bornées.
Exercice 28. Centrale MP 2006
Eest l’ensemble des fonctions fde classe C2sur [0,1] telles que f(0) = f0(0) = 0. Pour f∈E, on pose :
N∞(f) = sup
x∈[0,1] |f(x)|, N(f) = sup x∈[0,1] |f(x) + f00(x)|, N1(f) = sup x∈[0,1] |f00(x)|+ sup x∈[0,1] |f(x)|.
1) Montrer que N∞,Net N1sont des normes sur E.
2) Montrer que N∞n’est équivalente ni à N1ni à N.
3) Montrer que Net N1sont équivalentes (introduire l’équation différentielle y00 +y=g).
evn.tex – page 3

Exercice 29. Norme de Frobenius
Pour A∈ Mn(R), on pose kAk=ptr(tAA).
Montrer que c’est une norme et que : ∀A, B ∈ Mn(R), kABk6kAk×kBk.
Exercice 30. Semi-norme
Soit pune semi-norme sur Mn(C) (ie. il manque juste l’axiome p(A) = 0 ⇒A= 0). On suppose de plus
que ∀(A, B)∈(Mn(C))2,p(AB)6p(A)p(B). Montrer que p= 0 ou pest en fait une norme.
Exercice 31. Normes produit
Soient E, F deux evn et G=E×F. On pose pour u= (x, y)∈G:
kuk1=kxkE+kykF,kuk2=qkxk2
E+kyk2 F,kuk∞= max(kxkE,kykF).
1) Montrer que ce sont des normes sur Get qu’elles sont deux à deux équivalentes (sans hypothèse de
dimension finie).
2) On prend E=F. Montrer que pour chacune de ces normes, l’application : G−→ E
(x, y)7−→ x+y
est continue.
Exercice 32. Normes sur les suites
Soit El’ensemble des suites u= (un) réelles bornées. On pose kuk= sup(|un|tq n∈N)
N(u) = sup(|un|+|u2n|tq n∈N).
Montrer que ce sont des normes sur Eet qu’elles sont équivalentes.
Exercice 33. Norme sur les suites
Soit El’ensemble des suites réelles u= (un)n>1telles que la suite ( n
p|un|) est bornée. Pour u∈E, on
pose kuk= sup( n
p|un|tq n∈N∗). Montrer que Eest un R-ev et que k.kn’est pas une norme sur E.
Exercice 34. Fonctions lipschitziennes
Soit El’ensemble des fonctions R→Rlipschitziennes. Pour f∈E, on pose :
kfk=|f(0)|+ sup 
f(x)−f(y)
x−y
tq x6=y!, N(f) = |f(0)|+ sup 
f(x)−f(0)
x
tq x6= 0!.
1) Montrer que Eest un R-ev.
2) Montrer que k.ket Nsont des normes sur E.
3) Sont-elles équivalentes ?
Exercice 35. Fonctions C1
Soit El’ensemble des fonctions f: [0,1] →Rde classe C1. Pour f∈E, on pose : N1(f) = sup(|f|+|f0|),
N2(f) = sup |f|+ sup |f0|. Montrer que N1et N2sont deux normes équivalentes sur E.
Exercice 36. Norme sur les fonctions continues
E=C([0,1],R). Soit g∈E. Pour tout f∈Eon pose N(f) = sup{|f(x)g(x)|, x ∈[0,1]}.
1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur gpour que Nsoit une norme sur E.
2) Si pour tout x∈[0,1], g(x)6= 0, montrer qu’alors Net k k∞sont des normes sur Eéquivalentes.
3) Démontrer la réciproque de la proposition précédente.
Exercice 37. Comparaison de normes (ENS MP 2002)
1) Soit Eun espace préhilbertien réel et u1, . . . , undes éléments de E. Calculer Pσ
Pn
i=1 σ(i)ui
2où
σparcourt l’ensemble des fonctions de [[1, n]] dans {−1,1}.
2) On se place dans l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R. Montrer que la norme infinie
n’est équivalente à aucune norme euclidienne.
3) Même question avec la norme k kp,p∈[1,+∞[\ {2}.
evn.tex – page 4

Exercice 38. Jauge
Soit (E, k k) un R-evn et K⊂Eune partie convexe, bornée, symétrique par rapport à l’origine et telle
que 0 ∈˚ K. Pour x∈E, on pose n(x) = inf{|λ|tq x∈λK}. Montrer que nest une norme équivalente à
k k pour laquelle la boule unité est K.
Exercice 39. Polytechnique MP∗2006
Soit Eun espace vectoriel réel. On considère une application N:E→R+telle que :
(i)∀λ, x, N(λx) = |λ|N(x) ;
(ii)∀x, N(x) = 0 ⇔x= 0.
1) Montrer que Nest une norme si et seulement B={xtq N(x)61}est convexe.
2) Montrer que si Nvérifie aussi
(iii)∀x, y, N(x+y)262N(x)2+ 2N(y)2
alors c’est une norme.
Topologie
Exercice 40. Parties de Rn
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
1) A={(x, y)∈R2tq xy = 1}.
2) B={(x, y)∈R2tq x2+xy +y2<1}.
3) C={z∈Ctq Re(z2)61}.
Exercice 41. Addition de parties
Soient A, B deux parties non vides d’un evn E. On note A+B={a+btq a∈A, b ∈B}.
Montrer que . . .
1) Si Aou Best ouvert, alors A+Best ouvert.
2) Si Aet Bsont fermés, alors A+Bn’est pas nécessairement fermé (prendre A={(x, y)∈R2tq xy = 1}
et B={(x, 0) tq x∈R}).
3) Si Aet Bsont compacts, alors A+Best compact.
Exercice 42. Ouverts disjoints
Soient U, V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel normé. Montrer que ˚ Uet ˚ Vsont disjoints.
Donner un contrexemple lorsque Uet Vne sont pas ouverts.
Exercice 43. Aouvert disjoint de B
Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel normé disjointes. Si Aest ouvert, montrer que Aet B
sont disjoints.
Exercice 44. ˚ U=U.
Soit Uun ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que ˚ U=U.
Exercice 45. Frontière d’un ouvert
Soit Uun ouvert d’un espace vectoriel normé. Montrer que la frontière de Uest d’intérieur vide.
Exercice 46. Diamètre de la frontière
Soit Aune partie non vide et bornée d’un evn E. On note δ(A) = sup{d(x, y) tq x, y ∈A}(diamètre de
A). Montrer que δ(A) = δ(Fr(A)).
Exercice 47. Partie dense dans un compact
Soit Aune partie compacte d’un evn E. Montrer qu’il existe une suite (ak) d’éléments de Aqui est dense
dans A.
evn.tex – page 5