PC 1 Probabilités discrètes, tribus

(Xn)n≥1
P(Xn= 1) = P(Xn=−1) = 1/2.
Sn=X1+··· +Xn
- 20
- 15
- 10
- 5
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
P(S2n= 0) n
n!∼(n/e)n√2πn
P(S2n= 2j)P(S2n= 2j+ 1) −n≤j≤n
S2n
Ω (An)n≥1
lim sup
n→+∞
An=\
p≥1[ n≥p
An.
Ω = R
An= [−1/n; 3 + 1/n], Bn= [−2−(−1)n; 2 + (−1)n],
lim sup (An),(Bn)
ΩAnn
6 lim supnAn
(Xn)n≥1
P(Xn= 1) = p= 1 −P(Xn=−1),
p∈(0,1) Sn=X1+··· +Xn
P(S2n= 0)
{S2n= 0}

n≥1Mn
n
n1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .
FPPFPPPFP...
Mn0 1 2 2 2 2 3 3 3 . . .
(Mn)
k≤nP(Mn≥k)≤(n−k+ 1)(1/2)k
k≤nP(Mn< k)≤1−(1/2)kbn/kc
(Mn) (an)
ε > 0
P1−ε≤Mn
an≤1 + εn→+∞
→0.
6
p
p
Lancer
la pièce
Lancer
la pièce
Lancer
la pièce
pile
pile
face
face
face
pile
Renvoyer
“face”
Renvoyer
“pile”
DEBUT
FIN
FIN
T∈N
R∈ { ,}
T R PPPPFFPPPFFP
k≥1P(T=k)
P(T < +∞)=1
P(R= ) = 1/2